Probabilidades e Estatística Capítulo 2 - Noções básicas de probabilidade

Probabilidades e Estat´ıstica

Cap´ıtulo 2 - No¸c˜oes b´asicas de probabilidade

Concei¸c˜ao Amado, Isabel M. Rodrigues

Instituto Superior T´ecnico

Lisboa, 2022

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Sum´ ario

1 2.1 Experiˆencias aleat´orias. Espa¸co de resultados.

Acontecimentos

2 2.2 No¸c˜ao de probabilidade. Probabilidade condicionada e lei da probabilidade total

3 2.3 Teorema de Bayes

4 2.4 Acontecimentos independentes

Acontecimentos

”Sempre que aplicamos matem´atica a fim de estudar alguns fen´omenos de observa¸c˜ao, devemos essencialmente come¸car por construir um modelo matem´atico (determin´ıstico ou n˜ao) para esses fen´omenos.“ Neyman, J.

Defini¸c˜ao: Modelo Determin´ıstico

As condi¸c˜oes em que a experiˆencia ´e realizada determinam o resultado da experiˆencia.

Exemplos: lei movimento uniforme; lei de Ohm; . . . Defini¸c˜ao: Modelo Probabil´ıstico

A realiza¸c˜ao de uma experiˆencia ir´a ter v´arios resultados poss´ıveis, aos quais, se poss´ıvel, vamos associar um n´umero (probabilidade).

Exemplos: fen´omenos meteorol´ogicos; euromilh˜oes;

lan¸camento de uma moeda; . . .

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2.1 - Experiˆ encia Aleat´ oria

Defini¸c˜ao:

Experiˆencia Aleat´oria (E.A.) ´e a realiza¸c˜ao de um fen´omeno aleat´orio.

Caracter´ısticas:

os resultados particulares s˜ao imprevis´ıveis mas ´e poss´ıvel descrever o conjunto de todos os resultados poss´ıveis;

apesar dos resultados particulares serem imprevis´ıveis ´e poss´ıvel observar um padr˜ao de regularidade ao fim de um grande n´umero de realiza¸c˜oes.

2.1 - Exemplos de E.A.’s

Algumas EA

jogos de azar:

lan¸camento de uma moeda;

lan¸camento de um dado;

escolha de uma carta num baralho.

energia consumida numa rea¸c˜ao qu´ımica;

dura¸c˜ao de uma chamada telef´onica;

caracter´ıstica “defeituosa” ou “n˜ao defeituosa” de pe¸cas produzidas em s´erie.

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2.1 (cont.)

Defini¸c˜ao: Espa¸co de Resultados/Espa¸co Amostral

Todos os resultados poss´ıveis de uma experiˆencia aleat´oria.

Representa-se geralmente por Ω ou S.

A formula¸c˜ao de um modelo probabil´ıstico associado a uma experiˆencia aleat´oria inicia-se pela defini¸c˜ao do espa¸co de resultados;

Os elementos de Ω podem ser n´umeros, atributos ou uma combina¸c˜ao de elementos quantitativos e qualitativos;

Ω pode ser finito, infinito numer´avel ou infinito n˜ao numer´avel.

Classifica¸c˜ao de Ω:

Discreto: Se cardinal de Ω (#Ω) ´e finito ou infinito numer´avel;

Cont´ınuo: Se cardinal de Ω (#Ω) ´e infinito n˜ao numer´avel.

Exemplos:

E.A. Ω

EA1 lan¸camento de moeda Ω1 ={cara,coroa}

EA2 lan¸camento de dado Ω2 = { , , , , , }

EA3 dura¸c˜ao de chamada telef´onica Ω3 = [0,+∞[

EA4 classifica¸c˜ao de uma pe¸ca Ω4 ={defeituosa, n˜ao defeituosa}

EA5 lan¸camento de moeda at´e sair cara Ω5 =

F,F F¯ ; ¯FF F¯ ; ¯FF¯F F¯ , . . . F =’cara’ e ¯F =’coroa’

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2.1 (cont.)

Defini¸c˜ao: Acontecimento

Qualquer subconjunto de Ω ´e um acontecimento.

Os acontecimentos s˜ao, em geral, representados pelas primeiras letras mai´usculas do alfabeto latino; A, B, C,· · ·

Defini¸c˜ao: Espa¸co de acontecimentos de uma experiˆencia aleat´oria, A E o conjunto de todos os acontecimentos definidos num espa¸´ co de resultados.

EA₂ =’ Lan¸camento do dado’

A = {∅,{ , , . . . ,( , ),( , ), . . . ,Ω2}

#A= ⁶₀

+ ⁶₁

+, . . . ,+ ⁶₆

= 2^#Ω2 = 2⁶

Defini¸c˜ao: Ocorrˆencia/Realiza¸c˜ao do acontecimento A

Diz-se que A ocorreu/realizou-se se ao realizar-se a experiˆencia (uma

´

unica vez) o resultado obtido ´e um elemento de A.

2.1 (cont.)

Exemplos Acontecimentos:

EA₁: A₁ = {cara}

EA₂: A₂ = {n.^o de pontos inferior a 3} = { , } (defini¸c˜ao em compreens˜ao) (defini¸c˜ao em extens˜ao)

EA₃: A₃ = {dura¸c˜ao inferior a 30 unidades} = [0,30[

Considere-se EA₂:

se o dado for lan¸cado e sair ent˜ao A₂ ocorreu;

se o dado for lan¸cado e sair ent˜ao A₂ n˜ao ocorreu (¯A ou A^c)

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2.1 (cont.)

Mais exemplos...

EA₆ = ’Lan¸camento de dois dados equilibrado, com faces numeradas de 1 a 6, com o objetivo de registar as faces voltadas para cima’

Ω6 = {( , ),( , ), . . . ,( , )} ´e o espa¸co de resultados e

#Ω = 36.

O resultado {( , )} ´e um acontecimento designado por elementar.

O acontecimento A=“ocorrer faces iguais”´e representado por A = {( , ),( , ), . . . ,( , )}.

Alguns Acontecimentos Especiais

Acontecimento certo - Ω (realiza-se sempre);

Acontecimento imposs´ıvel - ∅ (n˜ao cont´em nenhum elemento de Ω, nunca se realiza).

Acontecimento elementar - Ω (discreto)

Todos os subconjuntos com cardinal 1, usualmente denotados por {ωi} ,i = 1,2,· · · .

Opera¸c˜oes com acontecimentos (⇔ opera¸c˜oes com conjuntos) – complementa¸c˜ao (A);

– uni˜ao (A∪B);

– intersec¸c˜ao (A∩B);

– diferen¸ca (A\B)

Rever: diagramas de Venn; propriedades das opera¸c˜oes (comutativas, associativas, distributivas, elementos neutros, elementos absorventes, leis de De Morgan, dupla nega¸c˜ao).

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2.1 (cont.)

Defini¸c˜ao:

Dois acontecimentos A e B dizem-se exclusivos (disjuntos) se n˜ao puderem ocorrer simultaneamente, ou seja, se A∩B = ∅.

Ω

A

B

Generaliza¸c˜ao: ∀_{A1,A2,...∈A:Ai∩Aj=∅, (i̸=j)} dizem-se acontecimentos mutuamente exclusivos

2.2 No¸c˜ ao de probabilidade. Probabilidade condicionada e lei da probabilidade total

Probabilidade

A probabilidade ´e uma medida que pretende quantificar a

“possibilidade” de ocorrˆencia de cada acontecimento.

Dado um acontecimento A ⊂ Ω representa-se por P(A) a probabilidade desse acontecimento se realizar, a qual ´e traduzida por um n´umero real no intervalo [0,1].

A no¸c˜ao de probabilidade ´e um conceito complexo, no entanto pode-se adiantar algumas das suas interpreta¸c˜oes.

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2.2 No¸c˜ ao de probabilidade. Probabilidade condicionada e lei da probabilidade total

Interpreta¸c˜ao/defini¸c˜ao cl´assica ou de Laplace (`a priori) Dado um espa¸co de resultados com N elementos equiprov´aveis, P({ω_i}) = 1/N,∀i, a probabilidade de qualquer acontecimento A ´e dada por

P(A) = #A

N = n.^o de casos favor´aveis a A n.^o de casos poss´ıveis

=⇒ Rever c´alculo combinat´orio.

Limita¸c˜ao:

A defini¸c˜ao cl´assica n˜ao pode ser aplicada quando:

o espa¸co de resultados tem um n´umero infinito de elementos;

os elementos n˜ao s˜ao igualmente poss´ıveis.

=⇒ S˜ao necess´arias outras interpreta¸c˜oes de probabilidade!

Defini¸c˜ao: frequˆencia relativa do acontecimento A

Dada uma experiˆencia aleat´oria que se realizou n vezes, e um acontecimento A, chama-se frequˆencia relativa do acontecimento A, ao quociente

f_n(A) = n(A) n

onde n(A) representa o n´umero de vezes que se observou o acontecimento A (ou seja, ´e a frequˆencia absoluta de A).

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2.2 (cont.)

Interpreta¸c˜ao/defini¸c˜ao frequencista

A probabilidade do acontecimento A, P(A), ´e o “limite” da frequˆencia relativa, f_n(A), quando n → ∞.

Limita¸c˜ao:

A defini¸c˜ao frequencista n˜ao pode ser aplicada quando:

n˜ao ´e poss´ıvel repetir a experiˆencia um n´umero muito elevado de vezes;

n˜ao ´e poss´ıvel repetir a experiˆencia exatamente nas mesmas condi¸c˜oes.

2.2 (cont.)

Exemplo

Imagine-se uma experiˆencia aleat´oria s´o com dois resultados poss´ıveis mas que n˜ao sejam necessariamente igualmente prov´aveis. Pode ser o caso do lan¸camento de uma moeda em que n˜ao se tem a certeza de que a moeda ´e equilibrada ou a experiˆencia E₄ da Sec¸c˜ao 2.1 (classifica¸c˜ao de pe¸cas em defeituosas ou n˜ao defeituosas).

Repetindo a experiˆencia um n´umero muito elevado de vezes observa-se que a frequˆencia relativa dos acontecimentos elementares (que s˜ao s´o dois, neste caso), tende a estabilizar `a medida que o n´umero de repeti¸c˜oes cresce (embora a sequˆencia particular de valores seja imprevis´ıvel).

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2.2 (cont.)

Em ...

set.seed(2022)

n<-3000 ## n = n´umero de repeti¸c~oes p<-0.2 ## p = verdadeiro valor de P(A) k<-10 ## k = n´umero de sequ^encias

aux<-rbinom(n,1,p)

plot(cumsum(aux)/(1:n),type="l",ylim=c(0,1),xlab="n", ylab="fn(A)",col="blue")

abline(h=p,lty=2,col=2) for (i in 1:k){

aux<-rbinom(n,1,p)

if (interactive()) {cat("\nCarregue em

<Return> para continuar: ") readline()}

lines(cumsum(aux)/(1:n),col="blue") }

Interpreta¸c˜ao/defini¸c˜ao subjetivista ou subjectiva:

Admite-se que cada pessoa pode atribuir a cada acontecimento um n´umero — a que chama “probabilidade do acontecimento” — e que expressa o seu grau de credibilidade pessoal em rela¸c˜ao

`

a ocorrˆencia do acontecimento.

Limita¸c˜ao:

A probabilidade subjectiva de um dado acontecimento pode variar de indiv´ıduo para indiv´ıduo, mas deve ser coerente para o mesmo indiv´ıduo.

A coerˆencia ´e garantida pela defini¸c˜ao axiom´atica.

Os axiomas s˜ao inspirados em propriedades verificadas pelas interpreta¸c˜oes anteriores (cl´assica e frequencista) e a sua verifica¸c˜ao ´e exigida no caso da interpreta¸c˜ao subjetivista;

Consoante a situa¸c˜ao, ´e razo´avel admitir qualquer uma das interpreta¸c˜oes.

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2.2 (cont.)

Axiom´atica (Kolmogorov, 1933)

As probabilidades dos acontecimentos pertencentes ao conjunto dos acontecimentos definidos em Ω, designado por A (ver Obs. 1), ´e um n´umero satisfazendo os trˆes Axiomas seguintes:

Axioma 1:P(A) ≥ 0, ∀_A ∈ A Axioma 2:P(Ω) = 1

Axioma 3:P S+∞

i=1 A_i

= P+∞

i=1 P(A_i), ∀_{A1,A2,...∈A: Ai∩Aj=∅,(i̸=j)} (Probabilidade da uni˜ao de acontecimentos mutuamente exclusivos)

Obs. 1 Se Ω for discreto A pode conter todos os subconjuntos de Ω, caso contr´ario ´e necess´ario impor restri¸c˜oes;

Obs. 2 Para mais detalhes sobre sigma-aditividade ver, por exemplo, Bauer, H. (2001), Measure and Integration Theory, Berlin: de Gruyter.

2.2 - Teoremas (Resultados ) decorrentes dos Axiomas

Resultado 1: P(A) = 1−P(A)

Demonstra¸c˜ao: A∪A = Ω, A∩A = ∅

pelo Axioma 3, P(Ω) = P(A∪A) = P(A) +P(A) pelo Axioma 2, P(Ω) = 1

)

⇔ P(A)+P(A) = 1

Resultado 2: P(∅) = 0

Demonstra¸c˜ao: consequˆencia do Resultado 1 e do Axioma 1, pois ∅ = Ω

Resultado 3: P(B\A) = P(B)−P(A ∩B)

Demonstra¸c˜ao: B = (B\A)∪(A∩B) e como (B\A)∩(A∩ B) = ∅ pelo Axioma 3 tem-se P(B) = P(B\A) +P(A∩B).

Assim P(B\A) = P(B)−P(A ∩B).

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2.2 (cont.)

Resultado 4: Se A ⊂ B ent˜ao P(A) ≤ P(B) Demonstra¸c˜ao: Se A ⊂ B, pode escrever-se

B = A∪(B\A) e A∩(B\A) = ∅

pelo Axioma 3, P(B) = P(A) +P(B\A) pelo Axioma 1, P(B\A) ≥ 0

logo P(B) ≥ P(A)

Ω

B A

Resultado 5: ∀_A,B P(A∪B) = P(A) +P(B)− P(A∩B) Demonstra¸c˜ao: A∪B = A∪(B\A) e como A∩(B\A) = ∅ pelo Axioma 3: P(A∪ B) = P(A) +P(B\A)

e pelo Resultado 3: P(B\A) = P(B)−P(A ∩B) Assim, obt´em-se:

P(A∪B) = P(A) +P(B\A) = P(A) +P(B)−P(A∩ B).

Ω

A ^A∩B B

A\B B\A

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2.2 (cont.)

Resultado 6: Para trˆes acontecimentos A, B e C do mesmo Ω, tem-se:

P(A∪B ∪C) = P(A) +P(B) +P(C)−

−P(A∩B)−P(A∩C)−P(B ∩C) + +P(A∩B ∩C)

Demonstra¸c˜ao: A∪B ∪C = (A∪B)∪C =A^∗∪C e aplicar o resultado anterior.

Generaliza¸c˜ao: Para k acontecimentos, A1, A2, . . . , Ak, quaisquer do mesmo Ω, tem-se

P(A1∪ · · · ∪Ak) = P

k

[

i=1

Ai

!

=

k

X

i=1

P(Ai)−

k

X

i<j=1

P(Ai ∩Aj) +· · ·

· · ·+ (−1)^k+1P(A1∩ · · · ∩Ak) Demonstra¸c˜ao: Por indu¸c˜ao aplicando o Resultado 5.

Exemplo de aplica¸c˜ ao da Axiom´ atica

Exemplo aplica¸c˜ao Axiomas e resultados

Numa determinada popula¸c˜ao 9.8% das pessoas adquirem a revista A, 22.9% a revista B e 5.1% ambas as revistas. Calcule a probabilidade de uma pessoa:

a) Adquirir pelo menos uma das revistas;

b) Adquirir somente a revista A;

c) N˜ao adquirir nenhuma das revistas.

Resolu¸c˜ao: Sejam os acontecimentos A -“Adquirir revista A” e B -“Adquirir revista B”

Ω = {(A,B); (A,B); (A,B); (A,B)} mas ∄ equiprobabilidade.

Sabe-se que: P(A) = 0.098, P(B) = 0.229 e P(A∩B) = 0.051

a) P(A∪B) =P(A) +P(B)−P(A∩B) = 0.098 + 0.229−0.051 = 0.276 b) P(A\B) =P(A)−P(A∩B) = 0.098−0.051 = 0.047

c) P(A∩B) =P(A∪B) = 1−P(A∪B) = 1−0.276 = 0.724

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2.2 (cont.)

Probabilidade condicionada: C´alculo de probabilidades quando h´a alguma informa¸c˜ao adicional sobre o resultado de uma experiˆencia. ´E importante porque em muitas situa¸c˜oes ´e mais f´acil calcular

probabilidades condicionadas do que n˜ao condicionadas.

Motiva¸c˜ao - Probabilidade Condicionada

Considere-se o lan¸camento de um dado equilibrado com 6 faces (Ω = {1,2,3,4,5,6}), e os acontecimentos

A - sai a face 2, A = {2}

B - sai a face 1, B ={1}

C - sai face com n´umero ≤2, C = {1,2}

dado equilibrado ⇒ P(A) = P(B) = 16, P(C) = 13. Informa¸c˜ao adicional: saiu face par (acontecimento D)

D ={2,4,6} −→ espa¸co de resultados reduzido

Motiva¸c˜ao - Probabilidade Condicionada (cont.)

As probabilidades dos acontecimentos A, B e C, s˜ao alteradas em face da informa¸c˜ao adicional de que ocorreu o acontecimento D!

Nota¸c˜ao: representa-se por P(A|D) a probabilidade de A ocorrer sabendo que D ocorreu (pode ler-se probabilidade condicionada de A dado D).

E simples verificar que´

no espa¸co reduzido (D) no espa¸co original (Ω) P(A|D) = 13 = P(A∩D)

P(D) P(B|D) = 0 = P(B ∩D)

P(D) P(C|D) = 1

3 = P(C ∩D)

P(D)

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2.2 (cont.)

Defini¸c˜ao: Probabilidade Condicionada

Defini¸c˜ao: A probabilidade condicionada do acontecimento A sabendo que ocorreu B (com P(B) >0) ´e:

P(A|B) = P(A∩B) P(B)

A probabilidade condicionada (sendo fixo o acontecimento condicionante, D, com P(D) >0) ´e uma nova medida de probabilidade que verifica os Axiomas e os resultados decorrentes destes.

A1. P(A|D) ≥0 A2. P(Ω|D) = 1 A3. P

S+∞

i=1 Ai|D

= P+∞

i=1 P(Ai|D), ∀_{A1,A2,...∈A:Ai∩Aj=∅,(i̸=j)} R1. P(A|D) = 1−P(A|D)

R5. P((A∪B)|D) = P(A|D) +P(B|D)−P((A∩B)|D) etc.

2.2 (cont.)

Muitas vezes P(A|B) ´e conhecida ou f´acil de obter recorrendo ao espa¸co de resultados reduzido e a defini¸c˜ao de

probabilidade condicionada tem tamb´em grande aplica¸c˜ao no c´alculo de probabilidades de intersec¸c˜oes, como ´e f´acil de verificar se observarmos que:

⇓

Lei das probabilidades compostas (ou regra da multiplica¸c˜ao) Para dois acontecimentos A e B com P(A) > 0 e P(B) > 0

P(A∩B) = P(B)P(A|B) = P(A)P(B|A)

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2.2 (cont.)

Estas rela¸c˜oes podem ser generalizadas e apresentadas no teorema seguinte:

Lei das probabilidades compostas (geral) Para n acontecimentos tais que P(∩ⁿ⁻¹_i=1A_i) > 0

P(A₁ ∩A₂ ∩ · · · ∩A_n) = P(A₁)P(A₂|A₁)P(A₃|A₁ ∩A₂)· · ·

· · ·P(A_n|A₁ ∩A₂ ∩ · · · ∩A_n−1)

Defini¸c˜ao: (Parti¸c˜ao de Ω)

Os subconjuntos n˜ao vazios A1, A2, . . . , Am formam uma parti¸c˜ao de Ω se

A₁ ∪A₂ ∪ · · · ∪A_m = Ω e A_i ∩A_j = ∅, ∀_i̸=j=1,...m (ou seja s˜ao exaustivos e mutuamente exclusivos)

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2.2 (cont.) e 2.3 Teorema de Bayes

Teorema da probabilidade total

Se A₁, A₂, . . . , A_m ´e uma parti¸c˜ao de Ω tal que P(A_i) > 0, ∀_i, ent˜ao P(B) = P(B|A₁)P(A₁) +· · ·+P(B|A_m)P(A_m)

Teorema de Bayes

Se A₁, A₂, . . . , A_m ´e uma parti¸c˜ao de Ω tal que P(A_i) > 0, ∀_i, ent˜ao para qualquer acontecimento B com P(B) > 0

P(A_i|B) = P(B|A_i)P(A_i)

P(B) = P(B|A_i)P(A_i)

P(B|A1)P(A1) +· · ·+P(B|Am)P(Am)

2.2 + 2.3 (cont.)

Exemplo: Aplica¸c˜ao dos teoremas de Bayes e probabilidade total

Considere uma f´abrica que produz “Bicos de Bunsen” e que h´a duas linhas de produ¸c˜ao tais que:

linha 1 −→ probabilidade de defeituoso = 0.05 linha 2 −→ probabilidade de defeituoso = 0.02 sabe-se ainda que a linha 1 produz apenas 1/4 da produ¸c˜ao total.

Suponha que por erro humano os produtos produzidos de cada linha foram misturados. Sendo escolhido um “Bico de Bunsen” ao acaso dessa mistura, qual ´e a probabilidade de ele ser defeituoso?

Resolu¸c˜ao: Sejam os acontecimentos:

D - “Bico de Bunsen defeituoso”

L₁ - ”Bico de Bunsen produzido na linha 1”

L₂ - ”Bico de Bunsen produzido na linha 2” (= L₁)

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2.2 + 2.3 (cont.)

Resolu¸c˜ao (cont.): Elementos fornecidos:

P(L₁) = 1/4, P(L₂) = P(L₁) = 3/4, P(D|L₁) = 0.05, P(D|L₁) = 0.02 Como combin´a-los?

D = (D ∩L1)∪(D ∩L1)

onde (D ∩L₁) e (D ∩L₁) s˜ao acontecimentos exclusivos.

P(D) = P(D ∩L₁) +P(D ∩L₂) =

= P(D|L₁)P(L₁) +P(D|L₁)P(L₁) =

= 0.05×0.25 + 0.02×0.75 =

= 0.0275

Recordar: Para um acontecimento A com P(A)>0,

P(B) =P(B|A)P(A) +P(B|A)P(A), pelo teorema da probabilidade total.

Generaliza¸c˜ao:

O que acontece se forem mais do que duas linhas de produ¸c˜ao, por exemplo 4?

P(D) = P(D|L₁)P(L₁) +P(D|L₂)P(L₂) +P(D|L₃)P(L₃) +P(D|L₄)P(L₄) Aten¸c˜ao! Para que esta express˜ao seja v´alida ´e necess´ario que

L₁ ∪L₂ ∪L₃ ∪L₄ = Ω

L1 ∩L2 = ∅, · · ·, L3 ∩L4 = ∅ ⇔ Li ∩Lj = ∅, ∀_i̸=j=1,...4

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2.2 + 2.3 (cont.)

Exemplo: Aplica¸c˜ao dos teoremas de Bayes e probabilidade total (cont.)

Foi escolhida um Bico de Bunsen ao acaso e verificou-se que era defeituoso. Qual ´e a probabilidade de ter sido produzido na linha 1?

Resolu¸c˜ao:

P(L₁|D) = P(L₁ ∩D)

P(D) = P(D|L₁)P(L₁)

P(D) = 0.05×0.25

0.0275 ≃ 0.4545 E na linha 2?

P(L₂|D) = P(L₁|D) = 1− P(L₁|D) ≃ 0.5455

2.4 Acontecimentos independentes

Defini¸c˜ao: Acontecimentos independentes

Dois acontecimentos A e B s˜ao independentes (A ⊥⊥B) se e s´o se P(A∩B) = P(A)P(B).

Observa¸c˜oes:

Esta defini¸c˜ao ´e sempre v´alida.

Se A ´e tal que P(A) = 0, ent˜ao A ´e independente de qualquer outro acontecimento;

Todo o acontecimento A ´e independente dos acontecimentos ∅ e de Ω.

Se P(A) >0 e P(B)>0 e A∩B =∅ (A e B exclusivos), ent˜ao A e B n˜ao s˜ao independentes;

Se A ⊥⊥B ent˜ao P(A|B) = P(A) e P(B|A) =P(B), para A e B tais que P(A)>0 e P(B)> 0.

Se A ⊥⊥B ent˜ao A ⊥⊥B, A ⊥⊥B e A ⊥⊥B. Exerc´ıcio: demonstrar as afirma¸c˜oes anteriores.

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2.4 (cont.)

Defini¸c˜ao: Independˆencia de mais do que dois acontecimentos A1, A2, . . . , An s˜ao acontecimentos mutuamente ou completamente independentes se para qualquer n´umero inteiro 2 ≤ r ≤n e qualquer grupo de r acontecimentos A_i1, A_i2, . . . , A_ir

P (A_i1 ∩A_i2 ∩ · · · ∩A_ir) = P(A_i1)P(A_i2)· · ·P(A_ir) Por exemplo:

A, B e C s˜ao (mutuamente) independentes se:

P(A∩B ∩C) = P(A)P(B)P(C) P(A∩B) = P(A)P(B)

P(A∩C) = P(A)P(C) P(B ∩ C) = P(B)P(C)

Defini¸c˜ao: Independˆencia condicional

Dois acontecimentos A e B s˜ao independentes condicionalmente a um acontecimento C, com P(C) > 0, ((A ⊥⊥ B)|C) se

P ((A∩B)|C) = P(A|C)P(B|C) Observa¸c˜oes:

(A ⊥⊥ B)|C ⇏ A ⊥⊥ B A ⊥⊥ B ⇒ (A ⊥⊥ B)|C Exerc´ıcios (na aula)

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