EXERCÍCIOS RESOLVIDOS - Introdução à Algebra Linear

(1)

EXERC´ICIOS RESOLVIDOS - Introdu¸c˜ ao ` a Algebra Linear

1. Seja V ={(x, y) :x, y ∈R}. Considere em Vas opera¸c˜oes:

(x, y) + (x₁, y₁) = (x+x₁, y+y₁); α(x, y) = (α x, y) E´ V com tais opera¸c˜oes um espa¸co vetorial?

Solu¸c˜ao

Observemos que pelas defini¸c˜oes de acima,

(0,2) = (0,1) + (0,1) = 2(0,1) = (2·0,1) = (0,1) ou seja (0,2) = (0,1) e portanto 2 = 1 qual ´e falso.

2. Considere R⁺ o conjunto dos n´umeros reais positivos. Con- sidere neste conjunto as opera¸c˜oes:

x+y=xy para x, y ∈R⁺ α·x=x^α para x∈R⁺ e α∈R

Quais das condi¸cões que definem um espa¸co vetorial (pag. 99) são válidas?

Solu¸c˜ao Exerc´ıcio.

3. Determinar se o conjunto W ´e um subespa¸co do espa¸co V: (a) W : matrizes invert´ıveis de ordem 2; V =M2×2(R) (b) W: solu¸c˜oes de AX = 0, A∈Mm×n(R); V =Mm×n(R)

(c) W ={(x, y)∈R² :y≥0}; V =R² (d) W ={(x, y)∈R² :x²+y² = 0}; V =R²

(e) W ={(x, y)∈R² :x²−y² = 0}; V =R²

(f ) W ={a₁+a₂t+a₃t² : a₁, a₂, a₃ ∈R;a₃ 6= 0}; V =P₃(R) (g) W ={p(t) = a₁+a₂t, a₁, a₂ ∈R; 2p(0) =p(1)}; V =P₂(R)

(2)

Solu¸c˜ao

(a) W n˜ao ´e subespa¸co vetorial de V. Temos que:

1 0 0 1

,

1 0 0 −1

∈We

1 0 0 1

+

1 0 0 −1

=

2 0 0 0

Claramente,

2 0 0 0

∈/ W.

(b) • W 6=φ pois0∈W j´a que A0=0.

• SeX1, X2 ∈W temosA(X1+X2) =AX1+AX2 =0+0=0.

Assim, X₁ +X₂ ∈W.

• Seα∈R e X ∈W temos A(α X) =α AX =α0=0.

Assim, αX ∈W.

Desta forma, concluimos que W é um subespa¸co vetorial de V. (c) W não é subespa¸co vetorial de V: Sejam w= (2,1)∈W e

α=−1∈R. Ent˜aoαw = (−2−1)∈/W.

(d) De x² +y² = 0, onde x, y ∈ R, resulta x = y = 0. Assim W = {(0,0)}. W ´e um subespa¸co do espa¸co R² como mostrado no exemplo 9.1 na p´agina 111.

(e) Exerc´ıcio.

(f) Exerc´ıcio.

(g) • W 6= φ. O polinˆomio nulo p = 0 = 0 + 0t satisfaz 2p(0) = 0 =p(1). Logo 0∈W.

• Sejam p e q elementos de W. Ent˜ao 2p(0) = p(1) e 2q(0) = q(1). Dai

2(p+q)(0) = 2p(0) + 2q(0) =p(1) +q(1) = (p+q)(1) Assimp+q ∈W.

• Sejam p∈W e α∈R. Tem-se que 2p(0) =p(1) e 2(αp)(0) = 2αp(0) =αp(1) = (αp)(1) Assimαp∈W.

Desta forma, concluimos que W ´e um subespa¸co vetorial de V.

(3)

4. Dada a matriz real A de ordem 3, considere o conjunto M ={y:y=Ax, x∈M3×1(R)}

Determinar se M ´e um subespa¸co vetorial de M_3×1(R).

Solu¸c˜ao

(a) M 6=φ pois parax=0∈M3×1(R) resulta y=A0=0 ∈M. (b) Sejamy₁, y₂ ∈M. Existem x₁, x₂ ∈M3×1(R) tais que y₁ =Ax₁ e

y₂ =Ax₂. Da´ı,

y₁+y₂ =A(x₁+x₂) = Ax₃, sendo x₃ =x₁+x₂ ∈M3×1(R) Desta forma y₁+y₂ ∈M.

(c) Seja α ∈ R e y ∈ M. Tem-se que, y = Ax para algum x ∈ M_3×1(R) e

αy=α(Ax) =A(αx)∈M

Concluimos dos items acima que o conjunto M ´e um subespa¸co vetorial de M3×1(R).

5. E o conjunto´

W ={(x, y, z)∈R³ : 5x−2y+ 3z = 1} ⊂R³ um subespa¸co de R³?

Solu¸c˜ao

Observamos que o elemento nulo0 = (0,0,0) de R³ n˜ao pertence aW j´a que

5(0)−2(0) + 3(0) = 06= 1 Desta forma W n˜ao ´e um subespa¸co de R³.

6. Considere o espa¸co vetorial das matrizes de ordem 2, isto ´e, V =M₂(R). Seja

W = a b

c 1 E´ W subespa¸co vetorial de V ?

(4)

Solu¸c˜ao

Consideremos u =

a b c 1

e v =

0 0 0 1

elementos do conjunto W. Resulta que,

u+v =

a b c 1

+

0 0 0 1

=

a b c 2

Observamos que u+v não é um elemento de W já que os elementos de W são da forma

a b c 1

.

Concluimos que W n˜ao ´e um subespa¸co vetorial do espa¸co V.

7. Seja V =P₂(R) o espa¸co vetorial dos polinˆomios de grau ≤ 2.

E o conjunto´

W ={p(t) =a+bt+ct² :a+b+c= 0}

um subespa¸co vetorial do espa¸co V ? Solu¸c˜ao

Exerc´ıcio.

8. (a) ´E o vetor v = (1,1,1) combina¸c˜ao linear dos vetores v₁ = (1,2,3), v2 = (3,2,0) e v3 = (2,0,0) ?

(b) ´E o vetor v = (1,1,1) combina¸c˜ao linear dos vetores v₁ = (1,2,3), v₂ = (3,2,0) e v₃ = (−1,2,6) ?

Solu¸c˜ao

(a) Determinemos, se poss´ıvel, constantes a, be ctais que, av1+bv2+cv3 =v

ou equivalentemente,

a(1,2,3) +b(3,2,0) +c(2,0,0) = (1,1,1) =v (1) Resulta de (1) o sistema linear,

a+ 3b+ 2c= 1 2a+ 2b = 1 3a= 1

(5)

Segue que

a= 1

3, b= 1

6, c= 1 12 Podemos reescrever (1) na forma,

1

3(1,2,3) + 1

6(3,2,0) + 1

12(2,0,0) = (1,1,1) =v

Isto nos diz que v = (1,1,1) ´e uma combina¸c˜ao linear dos vetores v₁, v₂ ev₃.

(b) Determinemos, se poss´ıvel, constantes a, be ctais que, av₁+bv₂+cv₃ =v

ou equivalentemente,

a(1,2,3) +b(3,2,0) +c(−1,2,6) = (1,1,1) =v (2) Resulta de (2) o sistema linear,

a+ 3b−c= 1 2a+ 2b+ 2c= 1 3a+ 6c= 1 Escalonando a matriz associada obtemos,





1 3 −1 | 1 2 2 2 | 1 3 0 6 | 1



−→





1 0 2 | 0 0 1 −1 | 0 0 0 0 | 1





(verifique!) A última linha desta matriz indica que o sistema é imposs´ıvel. Desta forma, não existem constantes a, b e c tais que se cumpra (2). Ou seja, o vetor v = (1,1,1) não é combina¸cão linear dos vetores v₁, v₂ e v₃.

9. Determinem ∈R tal que o vetorv = (1,−m,3)seja combina¸c˜ao linear dos vetores v₁ = (1,0,2), v₂ = (1,1,1) e v₃ = (2,−1,5).

Solu¸c˜ao

Determinemos constantes a, be ctais que

v = (1,−m,3) =a(1,0,2) +b(1,1,1) +c(2,−1,5) (1)

(6)

Resulta o sistema,

a+b+ 2c= 1 b−c= −m 2a+b+ 5c= 3

Escalonando a matriz associada ao sistema obtemos





1 1 2 | 1

0 1 −1 | −m

2 1 5 | 3



−→





1 0 3 | 1 +m

0 1 −1 | −m

0 0 0 | 1−m





(verifique!)

Observando a ´ultima linha desta matriz, para que o sistema seja con- sistente devemos ter que 1−m = 0, ou seja m= 1.

10. No exerc´ıcio anterior, substituindo o valor de m, escreva v como combina¸c˜ao linear de v1, v2 e v3.

Solu¸c˜ao

Tomando m = 1 temos que v = (1,−1,3). Para este valor a ´ultima matriz do exemplo anterior ´e,





1 0 3 | 2

0 1 −1 | −1

0 0 0 | 0





Resulta da´ı que,

a+ 3c= 2 b−c= −1 Tomando c=t vem que,

a= 2−3t

b= −1 +t (t ∈R) c= t

Para tais valores de a, b e c segue da equa¸c˜ao (1) do exemplo anterior que,

v = (1,−1,3) = (2−3t)(1,0,2) + (−1 +t)(1,1,1) +t(2,−1,5) qualquer que seja t∈R.

(7)

11. Represente qualquer vetor v = (α, β) de R² como combina¸c˜ao linear dos vetores v₁ = (1,2) e v₂ = (3,4).

Ou seja, R² ´e gerado pelo conjunto {v1, v2}.

Solu¸c˜ao

Determinemos as constantes a e b tais que

v = (α, β) =a(1,2) +b(3,4) Desta equa¸c˜ao resulta o sistema,

a+ 3b = α 2a+ 4b = β Dai

4b−6b=β−2α⇒b=α− β

2 e a= 3β 2 −2α Assim,

v = (α, β) = 3β

2 −2α

(1,2) + α−β 2

(3,4) e portanto o espa¸co R² ´e gerado pelo conjunto {v₁, v₂}.

12. E o conjunto´ {p1(t) = 1, p2(t) = t−1, p3(t) = (t−1)²} um conjunto gerador do espa¸co P₂(R) ? Escreva p(t) = 1 +t² como combina¸c˜ao linear dos polinˆomios desse conjunto.

Solu¸c˜ao

Sejap(t) =a+bt+ct² um polinˆomio qualquer deP₂(R). Determinemos, se poss´ıvel, α₁, α₂, α₃ tais que,

α₁·1 +α₂·(t−1) +α₃·(t−1)² =p(t) =a+bt+ct² Equivalentemente,

α₁+α₂t−α₂+α₃t²−2α₃t+α₃ = (α₁−α₂+α₃)+(α₂−2α₃)t+α₃t² =a+bt+ct² Resulta o sistema,

α₁−α₂+α₃ = a α₂−2α₃ = b α₃ = c

(8)

cuja solu¸cão única é

α₁ = a+b+c α₂ = b+ 2c α₃ = c Podemos escrever,

p(t) = a+bt+ct² = (a+b+c) + (b+ 2c)(t−1) +c(t−1)² (1) Segue dai que o conjunto {p1(t) = 1, p2(t) = t−1, p3(t) = (t−1)²} ´e um conjunto gerador do espa¸co P₂(R).

Representemos agora o polinômiop(t) = 1 +t² como combina¸cão linear dos polinômios desse conjunto gerador.

Para tal obsevemos que a= 1, b= 0 e c= 1. Desta forma, de (1), p(t) = 1 +t² = (1 + 0 + 1)·1 + (0 + 2·1)(t−1) + 1·(t−1)² ou seja,

p(t) = 1 +t² = 2·1 + 2·(t−1) + 1·(t−1)²

13. E o conjunto´ {p₁(t) = t² −1, p₂(t) = t² + 3t −5, p₃(t) = t} um conjunto gerador do espa¸co P₂(R) ? Escreva p(t) = 7t² − 15 como combina¸c˜ao linear dos polinˆomios desse conjunto.

14. Considere o conjunto B ={(3,3),(4,4)}.

E o vetor´ (−11,−11)combina¸c˜ao linear dos vetores do conjunto B ?

Diga se o conjunto B gera R². Solu¸c˜ao

(a) Procuremos constantes a e b tais que

(−11,−11) =a(3,3) +b(4,4) Equivalentemente temos a equa¸c˜ao,

3a+ 4b=−11

(9)

Considerando, por exemplo,a =−1 resulta b =−2 e (−11,−11) = (−1)(3,3) + (−2)(4,4)

Assim o vetor (−11,−11) ´e combina¸c˜ao linear dos vetores do conjunto B.

(b) Dado o vetor (α, β)∈R² procuramos constantes a e b tais que (α, β) =a(3,3) +b(4,4)

Equivalentemente, temos o sistema linear, 3a+ 4b = α 3a+ 4b = β

Observamos que existe solu¸cão para este sistema apenas no caso em queα=β. Segue que o conjuntoB não é um conjunto gerador para o espa¸co R².

15. Determinar o conjunto gerador do subespa¸co de solu¸c˜oes do sistema

x+ 2y+z = 0 2x+ 3y−z = 0 4x+ 5y−5z = 0 Solu¸c˜ao

Escalonando a matriz associada ao sistema temos que,





1 2 1 2 3 −1 4 5 −5





L2←L₂−2L₁ L3←L−→3−4L1





1 2 1

0 −1 −3 0 −3 −9





L3←L₃−3L₂

−→





1 2 1

0 −1 −3

0 0 0





L2←(−1)L₂

−→





1 2 1 0 1 3 0 0 0





L1←L₁−2L₂

−→





1 0 −5 0 1 3 0 0 0





Resulta o sistema,

x−5z = 0 y+ 3z = 0

(10)

Tomando z =t ∈Robtemos,

(x, y, z) = (5t,−3t, t) = (5,−3,1)t, t∈R

Desta forma o conjunto solu¸c˜ao S ´e gerado pelo vetor (5,−3,1), ou seja,

S = [(5,−3,1)]

16. Sejam U e W subespa¸cos do espa¸co vetorial V. Tem-se que a interse¸c˜ao U ∩W ´e um subespa¸co de V.

Sejam U e W os subespa¸cos de V =R⁴ definidos pelos sistemas de equa¸c˜oes:

U :

x+y+z = 0

2x−y+z = 0 V :

x−2y−t = 0

x−t = 0

Determinar um conjunto gerador para U∩W. Solu¸c˜ao

Um elemento do subespa¸co U ∩W ´e uma solu¸c˜ao do sistema, x+y+z+t = 0

2x−y+z = 0 x−2y−t = 0 x−t = 0

Escalonando a matriz associada ao sistema obtemos,







1 1 1 1

2 −1 1 0 1 −2 0 −1

1 0 0 −1







−→







1 0 0 −1 0 1 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0







(verifique!) Ou seja,

x−t = 0 y= 0 z+ 2t = 0

(11)

Desta forma, os elementos do subespa¸coU∩W s˜ao os vetores da forma (t,0,−2t, t), t ∈R

Equivalentemente, o conjunto gerador para U ∩W ´e{(1,0,−2,1)} ou ainda,

U ∩W = [(1,0,−2,1)]

17. Determinar o subespa¸co deR³ gerado pelo conjunto{(1,−2,−1),(2,1,1)}.

Solu¸c˜ao

O vetor (x, y, z) pertence ao subespa¸co gerado pelos vetores (1,−2,−1) e (2,1,1) se existirem constantes α e β tais que

(x, y, z) =α(1,−2,−1) +β(2,1,1) (1)

Para resolver esta equa¸c˜ao escalonamos a matriz associada. Tem-se que





1 2 x

−2 1 y

−1 1 z



−→





1 2 x

0 1 ^2x+y₅ 0 0 −x−3y+ 5z





Observando a ´ultima linha desta matriz temos que para (1) ser com- pat´ıvel devemos ter que

x+ 3y−5z = 0

o qual ´e um plano pasando pela origem no espa¸co R³.

18. E o conjunto´ {v₁ = (1,1,0), v₂(0,1,1), v₃ = (1,0,1)} um conjunto gerador deR³?Se a resposta for positiva, determinar a, b, c∈R tais que u= (3,2,1) =av₁+bv₂+cv₃.

19. Determinar um conjunto gerador para cada um dos subespa¸cos W de R³

(a) conjunto dos vetores da forma (a, a, b).

(b) conjunto dos vetores da forma (a, b, a+b).

(c) conjunto dos vetores da forma (a, a, b) onde a+b+c= 0.

(12)

Solu¸c˜ao

(a) Escrevemos (a, a, b) = a(1,1,0) +b(0,0,1). Ent˜ao, W = [(1,1,0),(0,0,1)]

(b) Escrevemos (a, b, a+b) = a(1,0,1) +b(0,1,1). Ent˜ao, W = [(1,0,1),(0,1,1)]

(c) Escrevemos (a, b, c) = (a, b,−a − b) = a(1,0,−1) +b(0,1,−1).

Ent˜ao,

W = [(1,0,−1),(0,1,−1)]

20. Determinar um conjunto gerador para o subespa¸co vetorialW das matrizes anti-sim´etricas 3×3.

Solu¸c˜ao

Para a matriz A =





a b c d e f g h i



 ser anti-sim´etrica devemos ter que A^T =−A. Isto ´e,





a d g b e h c f i



=





−a −b −c

−d −e −f

−g −h −i





Desta igualdade resulta,

a=e=i= 0, b=−d, f =−h, g =−c Desta forma,

W =





0 x y

−x 0 z

−y −z 0



: x, y, z ∈R

Assim, um conjunto gerador para o subespa¸co W ´e,





0 1 0

−1 0 0 0 0 0



,





0 0 1 0 0 0

−1 0 0



,





0 0 0

0 0 1

0 −1 0





(13)

21. Determinar um conjunto gerador para o subespa¸co vetorialW das matrizes anti-sim´etricas 3×3.

22. Seja U o subespa¸co de R⁵ dado por

U ={(x₁, x₂, x₃, x₄, x₅)∈R⁵ :x₁ = 3x₂, x₃ = 7x₄} Determinar um conjunto gerador para U.