Algebra Linear Alunos Teoria

(1)

Notas para o acompanhamento das aulas de

´

Algebra Linear

(2)

(3)

Sum´

ario

1 Sistemas, Matrizes e Determinantes 3

1.1 Sistemas de Equa¸c˜oes Lineares . . . 3

1.2 Matrizes Reais . . . 6

1.3 Determinantes de Matrizes Reais . . . 11

2 Espa¸cos Vetoriais 19 2.1 O conceito de Espa¸co Vetorial . . . 19

2.2 Subespa¸cos Vetoriais . . . 25

2.3 Soma de Dois Subespa¸cos Vetoriais . . . 27

2.4 Combina¸c˜oes Lineares . . . 29

2.5 Subespa¸co Vetorial Gerado por um Conjunto . . . 29

2.6 Espa¸cos Vetoriais Finitamente Gerados . . . 31

2.7 Dependˆencia e Independˆencia Linear . . . 32

2.8 Base e Dimens˜ao de Um Espa¸co Vetorial Finitamente Gerado . . . 34

3 Transforma¸c˜oes Lineares 45 3.1 O Conceito de Transforma¸c˜ao Linear . . . 45

3.2 N´ucleo de uma Transforma¸c˜ao Linear . . . 48

3.3 Isomorfismos e Automorfismos . . . 51

3.4 Matrizes e Transforma¸c˜oes Lineares . . . 52

4 Espa¸cos com Produto Interno 59 4.1 O Conceito de Produto Interno . . . 59

4.2 Autovalores e Autovetores . . . 67

(4)

(5)

Cap´ıtulo 1

Sistemas, Matrizes e Determinantes

1.1 Sistemas de Equa¸

c˜

oes Lineares

Sejam:

R: conjunto dos n´umeros reais;

C: conjunto dos n´umeros complexos.

Estes conjuntos munidos das opera¸cões de adi¸cão e multiplica¸cão usuais são chamados decorpos numéricos.

Sejam a1, . . . , an, b∈R(ou C), sendo n≥1, chama-seequa¸c˜ao linearsobre R(ou C) uma equa¸c˜ao da forma: a1x1+_{· · ·}+anxn=b

sendo:

xk,1_≤k_≤n,vari´aveisouinc´ognitasem R(ou C). ak,1_≤k_≤n, s˜ao os coeficientes dexk.

b´e otermo independente.

Dizemos que a n-upla (α1, . . . , αn), ou x1 =α1, . . . , xn = αn,αk ∈R (ou C) é solu¸cão da equa¸cão linear acima quando a1α1+· · ·+anαn=bfor verdadeira.

Observa¸cão: xk ser variável significa que xk pode assumir infinitos valores, enquanto que xk ser incógnita significa

que xk pode assumir apenas um valor.

Exemplos. As equa¸cões2x1+4x2=2oux2+x3+x4=0 são equa¸cões lineares sobre R.

Um sistema linear S, mpor n sobre R (ou C) é um conjunto de m equa¸cões lineares sobre R(ou C), cada uma com nvariáveis ou incógnitas. Representamos S do seguinte modo:

S=

        

a11x1 + a12x2 +· · · + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 +· · · + a2nxn = b2

.. .

am1x1+am2x2+· · · +amnxn=bm _(m_×_n)

Se m=ndizemos simplesmente que S´e deordem n.

Dizemos que a n-upla (α1, . . . , αn)ésolu¸cãode S quando for solu¸cão de cada uma das mequa¸cões lineares de S.

Observa¸cão: salvo men¸cão contrária, trabalharemos apenas comS sobreR.

Exemplo. O sistema

S=

2x1+4x2 =2

x2 +x3+x4=0

´e um sistema linear2_×4 sobreR.

Dado um sistema linear S, dizemos que:

Séincompat´ıvel(ouimposs´ıvel) quandonão admitirsolu¸cões. (SI)

S´ecompat´ıvel determinado (ouposs´ıvel e determinado) quando admitir apenas umasolu¸c˜ao. (SPD)

(6)

P´agina 4 UFU Algebra Linear Exemplos.

Exemplo (1)Os sistemas

S=

x1+x2=1

x1+x2=2 eS=

0x1+0x2=3 4x1+2x2=0

s˜ao sistemas lineares imposs´ıveis.

Exemplo (2)O sistema

S=

 



1x1+0x2+0x3=1 0x1+2x2+0x3=2 0x1+0x2+3x3=3

´e um sistema linear poss´ıvel e determinado. Solu¸c˜ao: x1=x2=x3=1(ou(1, 1, 1)).

Exemplo (3)O sistema

S=

x1 + x2 =1 2x1+2x2=2

´e um sistema linear poss´ıvel e indeterminado.

Seja S um sistema linear. São chamadas opera¸cões elementaresem Sas seguintes opera¸cões:

(i) permuta de duas linhas de S.

(ii)multiplica¸cão de uma linha de Spor um número real não nulo.

(iii)soma de uma linha de Scom outra linha que foi multiplicada por um n´umero real n˜ao nulo.

Observemos que opera¸cões elementares não alteram a(s) solu¸cão(ões) do sistema linear.

Um sistema linear S1 é equivalente a um sistema linear S2 quando S2 é obtido de S1 por opera¸cões elementares. Nota¸cão: S1∼S2.

Exemplo. Os sistemas

S1=

   

  

x1+2x2+3x3+4x4=1 2x1+3x2+4x3+5x4=2 3x1+4x2+5x3+6x4=3 .(-1) 4x1+5x2+6x3+7x4=4 +

eS2=

   

  

2x1+3x2+ 4x3 + 5x4 =2 x1 +2x2+ 3x3 + 4x4 =1 6x1+8x2+10x3+12x4=6 x1 + x2 + x3 + x4 =1

s˜ao sistemas lineares equivalentes.

Observa¸c˜oes.

(i)A equivalência∼definida acima é chamada derela¸cão de equivalênciaentre sistemas lineares, ou seja: (a)S1∼S1 (reflexiva);

(b)S1∼S2⇐⇒S2∼S1(sim´etrica);

(c)S1∼S2eS2∼S3=⇒S1∼S3(transitiva).

(ii)Sistemas lineares equivalentes possuem a(s) mesma(s) solu¸c˜ao(˜oes).

Dizemos que um sistema linear m_×nest´aescalonadoquando possui o seguinte formato: a1r1xr1 + · · · + a1nxn = b1

a2r2xr2 + · · · + a2nxn = b2

.. .

ajrjxrj + · · · + ajnxn = bj 0xn = bj+1

.. .

0xn = bm

(as linhas nulas podem ser eliminadas)

(7)

Exemplos.

Exemplo (1)O sistema abaixo est´a escalonado e ´e um sistema poss´ıvel e indeterminado(SPI):

x1 + 2x2 + 4x4 + 5x5 = 1

4x3 + 5x4 = 2

6x4 + 7x5 = 3

8x5 = 4

Exemplo (2)O sistema abaixo est´a escalonado e ´e um sistema imposs´ıvel(SI):

x1 + x2 = 1 2x2 = 3 0x2 = 5

Exemplo (3)O sistema abaixo est´a escalonado e ´e um sistema poss´ıvel e determinado(SPD):

x1 + x2 = 1

2x2 + 3x3 = 2 6x3 = 3

Proposi¸c˜ao 1. Todo sistema linear ´e equivalente a um sistema linear escalonado.

Classifica¸c˜ao de Sistemas Lineares Via Escalonamento

SejaS um sistema linear escalonadom_×ncom linhas nulas e repetidas eliminadas. (i)Se a última linha deS for da forma0xn =b6=0, então o sistema é imposs´ıvel(SI).

Caso as linhas da forma0xn=b6=0n˜ao ocorram temos:

(ii)Sem=n, então o sistema é poss´ıvel e determinado(SPD). (iii)Sem < n, então o sistema é poss´ıvel e indeterminado(SPI).

Observa¸c˜ao: sem > n, ent˜ao necessariamente ocorrem linhas do tipo0xn=b6=0.

Exemplos. Escalone e classifique. (aqui faremos x1=x,x2=yex3=zpara simplificar a nota¸c˜ao)

Exemplo (1)SejaS1=

 



x +2y−3z= −1 3x− y +2z= 7 5x+3y−4z= 2

. Temos

S1=  



x +2y−3z= −1 .(-3) .(-5)

3x− y +2z= 7 +

5x+3y−4z= 2 +

∼ S2=  



x+2y− 3z = −1

−7y+11z= 10 .(-1)

−7y+11z= 7 +

∼ S3=  



x+2y− 3z = −1

−7y+11z= 10 0z = −3

Como a última linha do sistema escalonadoS3é da forma0z= −36=0, temos que S1é um sistema imposs´ıvel.

Exemplo (2)SejaS1=

 



x+ y + z = 6 x− y +2z= 5 x+6y+3z=22

. Temos

S1=

 



x+ y + z = 6 .(-1) .(-1) x− y +2z= 5 +

x+6y+3z=22 +

∼ S2=

 



x+ y + z = 6

−2y+ z = −1 .(5/2)

+5y+2z= 16 +

∼ S3=

 



x+ y + z = 6

−2y+ z = −1

+ 9 2z=

27 2

Como a última linha do sistema escalonadoS3não é da forma0z=b6=0 em=n=3, temos queS1é um sistema

(8)

P´agina 6 UFU Algebra Linear

Exemplo (3)SejaS1=

 



x+ y +z= 2 x− y +z= −2

+2y = 4

. Temos

S1=

 



x+ y +z= 2 .(-1) x− y +z= −2 +

+2y = 4

∼ S2=

 



x+ y +z= 2

−2y = −4 .(1)

+2y = 4 +

∼ S3=

 



x+ y +z= 2

−2y = −4

0y = 0

∼

S4=

x+ y +z= 2

−2y = −4

Como a última linha do sistema escalonado S3 não é da forma 0z = b6= 0 em = 2 < n = 3, temos que S1 é um

sistema poss´ıvel e indeterminado, sendo{(a, 2,−a) :a_∈R}o conjunto solu¸c˜ao.

1.2 Matrizes Reais

Sejam m, n∈N. Chama-sematriz real m×numa tabela retangular da forma

M= 

   

a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n

..

. ...

am1 am2 · · · amn



   

sendo aij∈R,i=1, . . . , me j=1, . . . , n.

Nota¸c˜ao: M= [aij]1≤i≤m 1≤j≤n

ou, simplificadamente, M= [aij].

Ao conjunto de todas as matrizes reais m_×ndenotamos Mm×n(R).

Quando m=n, chamamos Mde matriz quadrada de ordem ne denotamos o conjunto de todas as matrizes reais de ordem npor Mn(R).

´

E poss´ıvel definir opera¸cões sobre Mm×n(R) que serão extremamente úteis para o desenvolvimento das

trans-forma¸c˜oes lineares que ser˜ao objetos de estudos futuros.

Opera¸c˜oes com matrizes:

(i)Adi¸c˜ao: Sejam A= [aij],B= [bij]∈Mm×n(R). Chama-se soma de Acom B, e indica-se por A+B, a matriz C= [cij]∈Mm×n(R)tal que cij=aij+bij.

Simbolicamente:

+ : Mm_×n(R)×Mm×n(R) −→ Mm×n(R)

(A, B) ₇₋_→ A+B

(ii)Multiplica¸c˜ao de matriz por escalar: Sejam A= [aij]_∈Mm_×n(R)e α∈R. Chama-se produto de αpor A a matriz reais m×ndada por αA= [αaij].

(iii)Multiplica¸c˜ao de matrizes: Sejam A= [aik]∈Mm×p(R)e B= [bkj]∈Mp×n(R). Chama-se produto de A por B, e indica-se por AB, a matriz C= [cij]∈Mm×n(R)tal que cij =

p P

k=1 aikbkj.

(9)

Exemplos.

Exemplo (1)Adi¸c˜ao:

  1 2 3 4 5 6  

3×2

+   6 5 4 3 2 1  

3×2

=   7 7 7 7 7 7  

3×2

.

Exemplo (2)Multiplica¸c˜ao por escalar: 2

1 2

3 4

2×2

=

2 4

6 8

2×2

.

Exemplo (3)Multiplica¸c˜ao:

  1 2 2 1 2 2  

3×2

1 2 3 4

5 6 7 8

2×4

=

 

11 14 17 20

7 10 13 16

12 16 20 24

 

3×4

.

Proposi¸c˜ao 2. Propriedades operat´orias:

(a)Da adi¸c˜ao:

Sejam A, B, C∈Mm_×n(R).

(1) (A+B) +C=A+ (B+C); (associativa)

(2)A+B=B+A; (comutativa)

(3)Existe O∈Mm_×n(R)tal que A+O=A; (elemento neutro aditivo)

(4)Existe −A_∈Mm×n(R)tal que A+ (−A) =O. (elemento inverso aditivo)

(b)Da multiplica¸c˜ao por escalar: Sejam α, β∈Re A, B∈Mm_×n(R).

(1)α(βA) = (αβ)A; (associativa)

(2)α(A+B) =αA+αB; (distributiva em rela¸c˜ao `a soma de matrizes)

(3) (α+β)A=αA+βA; (distributiva em rela¸c˜ao `a soma de escalares)

(4)1A=A. (elemento neutro da multiplica¸c˜ao por escalar)

(c)Da multiplica¸c˜ao:

(1)A(BC) = (AB)Csendo A∈Mm_×p(R),B∈Mp×q(R)e C∈Mq×n(R); (associativa)

(2) A(B+C) = AB+AC; A ∈ Mm_×p(R), B, C ∈ Mp×n(R); (distributiva à direita em rela¸cão à soma de matrizes)

(3) (A+B)C = AC+BC; A, B ∈ Mm_×p(R), C ∈ Mp×n(R); (distributiva à esquerda em rela¸cão à soma de matrizes)

Observa¸cão: a propriedade comutativa não é válida para a multiplica¸cão de matrizes. Um contra-exemplo:

1 2 3 4 1 1 1 1 = 3 3 7 7 1 1 1 1 1 2 3 4 = 4 6 4 6

Transposta de uma Matriz

A transposta de uma matriz A, denotada por At_{, ´e a matriz obtida de} _A_{escrevendo as linhas de} _A_{como colunas de} At_{, ou seja, quando} _A_{= [}_a

ij]∈Mm×n(R), temos At= [bji]∈Mn×m(R) tal que aij=bji. Mais explicitamente: A=     

a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n

..

. ...



   

m×n

⇒At= 

   

a11 a21 · · · am1 a12 a22 · · · am2

..

. ...

a1n a2n · · · amn



   

n×m

Exemplo. SeA=

  1 2 3 4 5 6  

3×2

, ent˜ao At₌

1 3 5

2 4 6

2×3

(10)

P´agina 8 UFU Algebra Linear Proposi¸c˜ao 3. Propriedades da transposta:

(1) (A+B)t=At₊_Bt_{, sendo} _{A, B}_∈_M

m×n(R).

(2) (kA)t=kAt_{, sendo} _A_∈_M

m×n(R).

(3) (At₎t₌_{A, sendo} _A_∈_M

m×n(R).

(4) (AB)t=Bt_At_{, sendo} _A_∈_M

m×p(R)e B∈Mp×n(R). Matrizes Invert´ıveis

Consideremos Mn(R)o conjunto das matrizes quadradas de ordem n. Definimos

In=     

1 0 · · · 0 0 1 · · · 0

..

. ...

0 0 · · · 1



   

n×n

como sendo amatriz identidade de ordem n.

´

E f´acil verificar a seguinte propriedade: InA=AIn =Apara qualquerA∈Mn(R).

Dizemos que A_∈Mn(R)éinvert´ıvelquando existe B∈Mn(R)tal que AB=BA=In. Nota¸cão: B=A−1; (Bé a inversa de A).

Proposi¸c˜ao 4. Sejam A, B_∈Mn(R).

(i) Se Aapresentar uma linha ou coluna nula, então Anão é invert´ıvel.

(ii)Se Afor invert´ıvel, ent˜ao A−1−1

=A; (a inversa da inversa ´e a pr´opria matriz).

(iii)Se Ae Bforem invert´ıveis, então AB também é invert´ıvel e (AB)−1=B−1A−1.

Determina¸c˜ao da Inversa de uma Matriz

De modo an´alogo a sistemas lineares, dizemos queA, B∈Mn(R)s˜aoequivalentesquandoBpuder ser obtida de

Avia um n´umero finito de opera¸c˜oes elementares sobre as linhas deA.

Proposi¸cão 5. Uma matriz A_∈Mn(R)é invert´ıvel se, e somente se,Aé equivalente à In e, neste caso, as mesmas opera¸cões elementares que transformam Aem In, transformam In em A−1.

Exemplos.

Exemplo (1)Verificar seA=

 

1 0 1

1 1 0

0 2 1



´e invert´ıvel e obter a inversa, caso afirmativo.

Resolu¸c˜ao. Montemos um arranjo com a matrizAeI3lado a lado para aplicarmos as opera¸c˜oes elementares simulta-neamente nas duas matrizes.

A|I3=⇒

 

1 0 1

1 1 0

0 2 1

   

1 0 0

0 1 0

0 0 1

  .(-1) + =_⇒  

1 0 1

0 1 −1

0 2 1

   

1 0 0

−1 1 0

0 0 1

  .(-2) + =⇒  

1 0 1

0 1 −1

0 0 3

 

 

1 0 0

−1 1 0

2 −2 1

  .(1/3) =⇒  

1 0 1

0 1 −1

0 0 1

 

 

1 0 0

−1 1 0

2/3 −2/3 1/3

  + .(1) + .(-1) =⇒  

1 0 0

0 1 0

0 0 1

 

 

1/3 2/3 −1/3

−1/3 1/3 1/3

2/3 −2/3 1/3



=⇒I3|A−1

Logo,A´e invert´ıvel eA−1= 1 3

 

1 2 −1

−1 1 1

2 −2 1

(11)

Exemplo (2)Verificar seA=

 

3 −1 0

2 1 −1

1 0 2



´e invert´ıvel e obter a inversa, caso afirmativo.

Resolu¸c˜ao. Montemos um arranjo com a matrizAeI3lado a lado para aplicarmos as opera¸c˜oes elementares simulta-neamente nas duas matrizes.

A| I3=⇒

 

3 −1 0

2 1 −1

1 0 2

   

1 0 0

0 1 0

0 0 1

  =⇒  

1 0 2

2 1 −1

3 −1 0

   

0 0 1

0 1 0

1 0 0

  .(-2) + .(-3) + =⇒  

1 0 2

0 1 −5

0 −1 −6

 

 

0 0 1

0 1 −2

1 0 −3

  .(1) + =⇒  

1 0 2

0 1 −5

0 0 −11

   

0 0 1

0 1 −2

1 1 −5

  .(-1/11) =⇒  

1 0 2

0 1 −5

0 0 1

   

0 0 1

0 1 −2

−1/11 −1/11 5/11

  + .(5) + .(-2) =⇒  

1 0 0

0 1 0

0 0 1

   

2/11 2/11 1/11

−5/11 6/11 3/11

−1/11 −1/11 5/11



=⇒I3 |A−1

Logo,A´e invert´ıvel eA−1₌ 1 11

 

2 2 1

−5 6 3

−1 −1 5

 .

Matrizes Ortogonais

Seja A_∈ Mn(R) invert´ıvel. Dizemos que A´e ortogonal quando sua inversa for igual a sua transposta, ou seja, A−1₌_At_{. Desta forma, quando} _A_{´e ortogonal, temos}

AAt₌_At_A₌_I n .

Exemplo. A=

1/2 √3/2 √

3/2 −1/2

´e ortogonal poisAt₌

1/2 √3/2 √

3/2 −1/2

eAAt₌_At_A₌_I2_.

Matrizes e Sistemas Lineares

Consideremos o sistema linear

S=         

a11x1 + a12x2 +· · · + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 +· · · + a2nxn = b2

.. .

am1x1+am2x2+_{· · ·} +amnxn=bm ₍_m

×n) Podemos colocarS na nota¸c˜ao matricial adotando as seguintes matrizes:

A=     

a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n

..

. ...

    

m×n

matriz dos coeficientes deS

X=      x1 x2 .. . xn     

n×1

matriz das vari´aveis ou inc´ognitas deS eB=

     b1 b2 .. . bm     

m×1

matriz dos termos independentes deS

Logo,Am×nXn×1=Bm×1(ou, resumidamente, AX=B) ´e uma equa¸c˜ao matricial que representa o sistema linearS.

Exemplo. O sistemaS=

 



3x−y =1

2x+y− z =0

x +2z=2

possui representa¸c˜ao matricialAX=Btal que

 

3 −1 0

2 1 −1

1 0 2

 

3×3

| {z }

A   x y z  

3×1 | {z }

X =   1 0 2  

3×1 | {z }

(12)

P´agina 10 UFU Algebra Linear Sistemas de Cramer

Dizemos que um sistema linear S de ordem n´e um Sistema de Cramer quando a matriz A dos coeficientes de S ´e invert´ıvel.

Observa¸c˜oes:

(1)Em um Sistema de Cramer,AX=B⇒A−1_AX₌_A−1_B_⇒_InX₌_A−1_B_⇒_X₌_A−1_B_{, o que significa que todo}

Sistema de Cramer ´e poss´ıvel e determinado.

(2)Se um sistema linear é homogêneo (ou seja, a matriz Bdos termos independentes é uma matriz coluna nula) e é um Sistema de Cramer, então a solu¸cão do sistema é a solu¸cão trivial (isto é, solu¸cão nula). De fato,AX=0⇒X=

A−1₀_⇒_X₌₀_{. (}₀_{´e matriz coluna nula).}

Exemplo. Resolva o Sistema de CramerS=

 



3x−y =1

2x+y− z =0

x +2z=2

invertendo a matriz de coeficientes.

Resolu¸c˜ao.

RepresentandoStemos

AX=B, sendoA=

 

3 −1 0

2 1 −1

1 0 2

 ,B=

 

1 0 2

  eX=

 

x y z

 .

Mas vimos em exemplo anterior queA−1₌ 1 11

 

2 2 1

−5 6 3

−1 −1 5



. Logo,AX=B⇒X=A−1B, ou seja, 



x y z

 =

1 11

 

2 2 1

−5 6 3

−1 −1 5

   

1 0 2

 =

 

4/11 1/11 9/11

 ⇒x=

4 11,y=

1 11 ez=

9 11.

Portanto, ₁₁4,₁₁1,₁₁9

´e a solu¸c˜ao procurada.

Observa¸cão: embora a técnica acima seja interessante, normalmente é bem mais simples resolver um sistema linear por escalonamento do que invertendo matriz de coeficientes.

Exerc´ıcio. Uma companhia produz 3 tipos de produtos: A, B eC. Esta companhia possui3 f´abricas: F1, F2 eF3

sendo que as f´abricas produzem diariamente as seguintes quantidades: -F1 produz1tonelada de cada produto;

-F2 n˜ao produzA, produz1tonelada deBe2 toneladas deC; -F3 produz2toneladas de A,1 tonelada deBe2toneladas de C.

A companhia recebeu um pedido de 20toneladas deA,22toneladas deBe26toneladas deC.

Quantos dias inteiros cada uma das f´abricas ter´a de trabalhar para que juntas produzam exatamente a quantia solicitada?

Resolu¸c˜ao.

Sejam:

xa quantidade de dias queF1 trabalhar´a.

ya quantidade de dias queF2 trabalhar´a.

za quantidade de dias queF3trabalhar´a.

Quantidade total de produtoAproduzido em F1: 1x.

Quantidade total de produtoAproduzido em F2: 0y.

Quantidade total de produtoAproduzido em F3: 2z.

Queremos1x+0y+2z=20.

Quantidade total de produtoBproduzido emF1: 1x.

Quantidade total de produtoBproduzido emF2: 1y.

Quantidade total de produtoBproduzido emF3: 1z.

Queremos1x+1y+1z=22.

(13)

Quantidade total de produtoCproduzido emF2: 2y.

Quantidade total de produtoCproduzido emF3: 2z. Queremos1x+2y+2z=26.

Logo,

S=

 



x +2z=20

x+ y + z =22 x+2y+2z=26

⇒S′=

 



x +2z=20

y − z = 2

2y = 6

⇒S′′=

 



x +2z=20 y− z = 2

2z= 2

⇒z=1, y=3ex=18.

Conclusão: F1trabalhará1 dia,F2trabalhará3 dias eF3trabalhará18dias.

1.3 Determinantes de Matrizes Reais

Toda aplica¸cão bijetiva σ:{1, 2, . . . , n}_→{1, 2, . . . , n}é chamada depermuta¸cãodo conjunto {1, 2, . . . , n}. Exemplo. Existem6 permuta¸cões do conjunto{1, 2, 3}. Chamemo-as deσ1, σ2, . . . , σ6. São elas:

 



σ1(1) =1 σ1(2) =2 σ1(3) =3

,

 



σ2(1) =1 σ2(2) =3 σ2(3) =2

,

 



σ3(1) =3 σ3(2) =1 σ3(3) =2

,

 



σ4(1) =3 σ4(2) =2 σ4(3) =1

,

 



σ5(1) =2 σ5(2) =3 σ5(3) =1

e

 



σ6(1) =2 σ6(2) =1 σ6(3) =3

Vamos adotar a seguinte nota¸c˜ao para uma permuta¸c˜aoσ:{1, 2, . . . , n}→{1, 2, . . . , n}

σ:

1 2 3 _{· · ·} n σ(1) σ(2) σ(3) _{· · ·} σ(n)

Assim, no exemplo acima as6 permuta¸c˜oes s˜ao denotadas do seguinte modo:

σ1:

1 2 3

;σ2:

1 2 3

1 3 2

;σ3:

1 2 3

3 1 2

;σ4:

1 2 3

3 2 1

;σ5:

1 2 3

2 3 1

eσ6:

1 2 3

2 1 3

´

E fácil notar que o número de permuta¸cões de um conjunto comnelementos én! No exemplo acima,n=3e temos3! =6permuta¸cões.

Seja σuma permuta¸c˜ao de {1, 2, . . . , n}e r a quantidade de vezes que ocorre um decrescimento na imagem de σ, ou seja,

i < j_⇒σ(i)> σ(j)

sendo i, j_∈{1, 2, . . . , n}.

Definimos a fun¸c˜ao sinal de σ, denotada por sgn(σ), do seguinte modo:

sgn(σ) =1, quandor´e par. sgn(σ) = −1, quandor´e ´ımpar.

Exemplo. Consideremos as permuta¸c˜oes do exemplo anterior Paraσ1 temosr=0. Logo, sgn(σ1) =1.

Paraσ2 temosr=1. Logo, sgn(σ2) = −1. Paraσ3 temosr=2. Logo, sgn(σ3) =1. Paraσ4 temosr=3. Logo, sgn(σ4) = −1. Paraσ5 temosr=2. Logo, sgn(σ5) =1. Paraσ6 temosr=1. Logo, sgn(σ6) = −1.

Seja A= [aij]∈Mn(R) uma matriz real de ordem n. Ao n´umero P

σ

sgn(σ)a1σ(1)a2σ(2)· · ·anσ(n)

chamamos de determinantede Ae indicamos por detA.

(14)

P´agina 12 UFU Algebra Linear Exemplos.

Exemplo (1)Sen=1, entãoA= [a11]e existe apenas uma permuta¸cãoσ:{1}→{1}que éσ(1) =1. Logo,r=0e

sgn(σ) =1. Logo,

detA=P

σ

sgn(σ)a1σ(1)=1a11=a11.

Assim, por exemplo, seA= [7], ent˜ao detA=7.

Exemplo (2)Sen=2, ent˜aoA=

a11 a12 a21 a22

e existem2! =2 permuta¸c˜oesσ1:

1 2

eσ1:

1 2

2 1

. Logo, para

σ1temosr=0 e sgn(σ1) =1, enquanto que paraσ2temos r=1e sgn(σ2) = −1.

Logo,

detA=P

σ

sgn(σ)a1σ(1)a2σ(2)

=sgn(σ1)a1σ1(1)a2σ1(2)+sgn(σ2)a1σ2(1)a2σ2(2)

=1a11a22+ (−1)a12a21

=a11a22−a12a21.

Assim, por exemplo, seA=

1 2

3 4

, ent˜ao detA=4−6= −2.

Exemplo (3)Sen=3, ent˜ao A=

 

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33



e existem3! =6permuta¸c˜oes que s˜ao as apresentadas nos dois

primeiros exemplos dessa se¸c˜ao. Logo,

detA=P

σ

sgn(σ)a1σ(1)a2σ(2)a3σ(3)

=sgn(σ1)a1σ1(1)a2σ1(2)a3σ1(3)+· · ·+sgn(σ6)a1σ6(1)a2σ6(2)a3σ6(3)

=1a11a22a33+ (−1)a11a23a32+1a13a21a32+ (−1)a13a22a31+1a12a23a31+ (−1)a12a21a33

= (a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32) − (a13a22a31+a11a23a32+a12a21a33).

Assim, por exemplo, seA=

 

1 2 3

4 5 6

7 8 9



, ent˜ao detA=45+84+96−105−48−72=0.

Exemplo (4)Seja A=

    

a11 0 0 · · · 0 a21 a22 0 · · · 0

..

. ...

an1 an2 an3 · · · ann

    

. Seja uma permuta¸c˜ao σde {1, 2, . . . , n} diferente da

identi-dade. Logo, existe i_∈{1, . . . , n}tal queσ(i) =j > ie, portanto,a1σ(1). . . aiσ(i). . . anσ(n)=0poisaiσ(i)=0. Logo, detA=P

σ

sgn(σ)a1σ(1)a2σ(2). . . anσ(n)=1a11a22. . . ann. (s´o a permuta¸c˜ao identidade)

Proposi¸c˜ao 6. Propriedades de determinantes:

(1)Linearidade sobre colunas.

(i)det 

   

a11 · · · a1i+a1i′ · · · a_1n a21 · · · a2i+a2i′ · · · a_2n

..

. ...

an1 · · · ani+ani′ · · · a_nn

     =det     

a11 · · · a1i · · · a1n a21 · · · a2i · · · a2n

..

. ...

an1 · · · ani · · · ann

     +det     

a11 · · · a1i′ · · · a_1n a21 · · · a2i′ · · · a_2n

..

. ...

an1 · · · ani′ · · · a_nn

     .

(ii)det 

   

a11 · · · ka1i · · · a1n a21 · · · ka2i · · · a2n

..

. ...

an1 · · · kani · · · ann



   

=kdet 

   

a11 · · · a1i · · · a1n a21 · · · a2i · · · a2n

..

. ...

an1 · · · ani · · · ann



   

, sendok_∈R.

Propriedades an´alogas valem para as linhas (linearidade sobre linhas).

(15)

(3) Seja B uma matriz real de ordem n obtida de Apela permuta¸c˜ao de duas linhas ou duas colunas de A. Ent˜ao,

detB= −detA.

(4)det 

 

a11 · · · a1i · · · a1n

..

. ...

an1 · · · ani · · · ann



 =det

        

a11 · · · a1i+ n P

k=1 k6=i

αka1k · · · a1n

..

. ...

an1 · · · ani+ n P

k=1 k6=i

αkank · · · ann

        

, sendo αk∈R.

A propriedade (4)acima tamb´em vale para linhas.

(5)Se A∈Mn(R), ent˜ao detA=detAt_.

(6)Se A, B∈Mn(R), ent˜ao det(AB) =detAdetB.

(7)Se A∈Mn(R)´e invert´ıvel, ent˜ao det A−1= 1 detA.

Da propriedade(1) (i)resulta que se uma matriz real de ordemnpossui uma linha ou uma coluna nula, ent˜ao seu determinante ´e zero.

A propriedade(4)permite fazer escalonamento em matrizes sem alterar o determinante (veja exemplo abaixo). Como det(In) =1, a propriedade(7)´e uma consequˆencia direta da propriedade(6).

Exemplos.

Exemplo (1)det

 

1 2+3 4 5 6+0 5 4 3+2 1

 =det

 

1 2 4

5 6 5

4 3 1

 +det

 

1 3 4

5 0 5

4 2 1



= −15+75=60.

Exemplo (2)det

 

1 2.2 3

4 2.5 6

7 2.8 0



=2det  

1 2 3

4 5 6

7 8 0

 =54.

Exemplo (3)det

 

1 1 2

3 3 4

5 5 6



=0. (duas colunas iguais)

Exemplo (4)det

 

1 2 3

4 5 6

7 8 0



= −det  

2 1 3

5 4 6

8 7 0

 =27.

Exemplo (5)det

 

1 2 3

4 5 6

7 8 0

 =det

 

1+2.2+5.3 2 3 4+2.5+5.6 5 6 7+2.8+5.0 8 0



=27. (neste exemplo,n=3,i=1,α2=2eα3=5)

Exemplo (6) Calcule o determinante da matrizA =

   

1 5 2 1

3 4 2 0

1 2 1 2

0 3 1 3

   

aplicando a propriedade (5) sucessivas vezes,

fazendo um escalonamento.

Resolu¸c˜ao: det    

1 5 2 1

3 4 2 0

1 2 1 2

0 3 1 3

    .(-5) .(-2) .(-1) =det    

1 5+ (−5)1 2+ (−2)1 1+ (−1)1 3 4+ (−5)3 2+ (−2)3 0+ (−1)3 1 2+ (−5)1 1+ (−2)1 2+ (−1)1 0 3+ (−5)0 1+ (−2)0 3+ (−1)0

    = det    

1 0 0 0

3 −11 −4 −3

1 −3 −1 1

0 3 1 3

    .(-4/11) .(-3/11) = det    

1 0 0 0

3 −11 0 0

1 −3 1/11 20/11

0 3 −1/11 24/11

    .(-20) =det    

1 0 0 0

3 −11 0 0

1 −3 1/11 0

0 3 −1/11 4

   

=1(−11)

1 11

(16)

Exerc´ıcio. Mostre que det

   

1 2 3 4

0 2 3 1

1 1 0 2

0 4 1 2

   

= −15utilizando opera¸c˜oes elementares sobre linhas ou colunas.

(Proprie-dades(1),(3)e(4))

Regra de Laplace para c´alculo de determinantes

A defini¸cão abaixo é fundamental para a introdu¸cão de uma das técnicas mais comuns para cálculo de determinantes, que é aRegra de Laplace, enunciada em seguida.

Sejam

A= 

 

a11 · · · a1n

..

. ...

an1 · · · ann



 

n×n

e aij uma entrada de A. Ao n´umero Aij= (−1)i+jDij, sendoDij o determinante da matriz (n−1)_×(n−1)obtida pela supressão da i-ésima linha e j-ésima coluna de A, chamamos de cofator de aij. Dizemos ainda que Dij é o menor complementar de aij.

Proposi¸c˜ao 6. (Regra de Laplace) Seja Amatriz real n×ne aij uma entrada dessa matriz. Ent˜ao,

detA=

n P

i=1 aijAij | {z }

↓

=

n P

j=1 aijAij | {z }

↓

soma dos soma dos produtos produtos dos elementos dos elementos

da colunaj da linhai por seus por seus cofatores cofatores

Exemplo. Calcular o determinante de A=

 

1 2 3

4 5 6

7 8 9



utilizando a Regra de Laplace.

Resolu¸c˜ao.

Escolhendo a primeira linha deAtemos detA=

3 P

j=1

a1jA1j. Logo,

detA=a11A11+a12A12+a13A13

=a11(−1)1+1D11+a12(−1)1+2D12+a13(−1)1+3D13

=a11(−1)1+1det

5 6

8 9

+a12(−1)1+2det

4 6

7 9

+a13(−1)1+3det

4 5

7 8

=1(1) (45−48) +2(−1) (36−42) +3(1) (32−35) = −3+12−9

=0

 

1 2 3

−1 1 1

2 1 3



=3 utilizando a Regra de Laplace.

Regra de Chi´o para c´alculo de determinantes

(17)

Depois, basta a aplicar a Regra de Laplace utilizando essa linha ou coluna. Com isso, precisamos calcular apenas um cofator.

SejaA=

  

a11 · · · a1n

..

. ...

an1 · · · ann

 

∈Mn(R)n˜ao nula. Sem perda de generalidade, suponhamos quea116=0.

Da propriedade(1) (ii)podemos escrever

detA=a11det

    

1 b12 · · · b1n

a21 a22 a2n

..

. ...

an1 an2 · · · ann

    

sendob1j= _aa₁₁1j.

Da propriedade(4)podemos escrever

detA=a11 det

    

1 b12 · · · b1n

a21 a22 a2n

..

. ...

an1 an2 · · · ann

     .(-b12) .. . .(-b1n)

=a11det

    

1 0 _{· · ·} 0 a21 a′22 a′2n

..

. ...

an1 a′_n2 · · · a′_nn

    

sendoa′

ij =aij−ai1b1j;i=2, . . . , nej=2, . . . , n.

Utilizando a Regra de Laplace:

detA=a11det

    

1 0 · · · 0 a21 a′₂₂ a′_2n

..

. ...

an1 a′n2 · · · a′nn

    

=a11(1) (−1)1+1det

  

a′₂₂ a′_2n

.. .

a′

n2 · · · a′nn

  

detA=a11det

  

a′

22 a′2n

.. .

a′

n2 · · · a′nn

  

 

2 2 4

−1 5 7

1 2 1



utilizando a Regra de Chi´o.

Resolu¸c˜ao.

Escolhendo a primeira linha e a primeira entrada:

det

 

2 2 4

−1 5 7

1 2 1



= 2det  

1 1 2

−1 5 7

1 2 1

 

.(-1) .(-2)

=2det

 

1 0 0

−1 6 9

1 1 −1

 =2det

6 9

1 −1

=2(−6−9) = −30

 

3 6 9

−1 5 7

1 2 1



= −42utilizando a Regra de Chi´o.

Regra de Sarrus para c´alculo de determinantes de matrizes de ordem 3

Este métodosó vale para matrizes de ordem 3. Já vimos que seA=

 

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

 , ent˜ao

(18)

O m´etodo de Sarrus consiste apenas em enxergar um dispositivo pr´atico com a tabela de entradas da matriz A

que nos conduza ao resultado acima.

Para simplificar, reescrevamos a matrizAdo seguinte modo: A=

 

a b c

d e f

g h i

 . Logo,

detA=aei+bfg+chd−ceg−bdi−ahf.

Observe na figura abaixo o procedimento pr´atico daRegra de Sarrus:

g h i g h d e f d e a b c a b

-ceg-afh bdi aei bfg cdh- + + +

Note que os produtos advindos das setas paralelas à diagonal principal permanecem inalterados, enquanto que os produtos advindos das setas paralelas à diagonal secundária são multiplicados por −1 (ou seja, seus “sinais” são trocados). No final, todos os seis termos são somados para obtermos o determinante.

 

1 2 3

3 2 1

1 1 1



utilizando a Regra de Sarrus.

Resolu¸c˜ao.

Temos, de acordo com o dispositivo pr´atico:

1 1 1 1 1

3 2 1 3 2

1 2 3 1 2

-6 - -1 6 +2 +2 +9

Logo, detA=2+2+9−6−1−6=0.

 

1 2 3

4 5 4

3 2 1



= −8 utilizando a Regra de Sarrus.

Matriz Adjunta

Nesta subse¸c˜ao apresentamos um novo m´etodo para calcular a matriz inversa de uma matriz invert´ıvel.

Seja A= [aij] matriz real de ordem n e sejam Aij os cofatores de aij. Definimos a matriz adjunta de Acomo sendo

AdjA= [Aij]t= 

   

A11 A21 · · · An1 A12 A22 · · · An2

..

. ...

A1n A2n · · · Ann



   

n×n

A importˆancia da matriz adjunta reside no resultado abaixo.

Proposi¸c˜ao 7. Seja Amatriz real n_×ntal que detA₆=0. Ent˜ao,A´e invert´ıvel e

A−1= 1

detAAdjA

Exemplo. Calcular a matriz inversa deA=

 

1 2 3

1 1 1

−1 2 −1



utilizando a matriz adjunta.

(19)

Precisamos calcular os9cofatores deA:

A11= (−1)1

+1_det1 1 2 −1

= −3;A12= (−1)1

+2_det 1 1

−1 −1

=0;A13= (−1)1

+3_det1 1

−1 2

=3

A21= (−1)2+1det

2 3

2 −1

=8;A22= (−1)2+2det

1 3

−1 −1

=2;A23= (−1)2+3det

1 2

−1 2

= −4

A31= (−1)3+1det

2 3

1 1

= −1;A32= (−1)3+2det

1 1

3 1

=2;A33= (−1)3+3det

1 2

1 1

= −1

Precisamos do determinante deA:

det

 

1 2 3

1 1 1

−1 2 −1



= −1−2+6+3+2−2=6

Logo,

A−1= 1

detAAdjA= 1 6

 

−3 8 −1

0 2 2

3 −4 −1

 

Exerc´ıcio. Mostre que a matriz inversa de A =

 

1 1 2

2 3 −1

−2 1 −1



 ´e A−1 = ₁₈1  

−2 3 −7

4 3 5

8 −3 1



 utilizando a matriz

adjunta.

Regra de Cramer para resolu¸c˜ao de Sistemas Poss´ıveis e Determinados

Podemos encontrar solu¸c˜oes de um Sistema de Cramer (portanto, um sistema linear poss´ıvel e determinado) utilizando determinantes, via o seguinte resultado:

Proposi¸c˜ao 8. (Regra de Cramer) Seja AX = B um Sistema de Cramer escrito em forma matricial, sendo A = 

 

a11 · · · a1n

..

. ...

an1 · · · ann



 

n×n ,B=

   b1 .. . bn   

n×1 e X=

   x1 .. . xn   

n×1

. Ent˜ao,

xk=

det∆k

detA sendo

∆k=



 

a11 · · · a1(k−1) b1 a1(k+1) · · · a1n

..

. ... ... ... ...

an1 · · · an(k−1) bn an(k+1) · · · ann



 

n×n

(∆k ´e a matriz que se obter de Asubstituindo a k-´esima coluna pela matriz coluna B).

´

E importante enfatizar que a Regra de Cramer possui interesse teórico apenas. Comparado ao método de resolu¸cão de sistemas lineares por escalonamento, a Regra de Cramer é extremamente ineficiente, devido ao fato de ser necessário o cálculo de diversos determinantes (o que geralmente é bem trabalhoso). Quanto maior a ordem do sistema, maior é a ineficiência desse método.

Exemplo. ResolverS=

 



x +2y+3z= 14 2x − y +3z= 9

−x−2y+ z = −2

utilizando a Regra de Cramer.

Resolu¸c˜ao

TemosA=

 

1 2 3

2 −1 3

−1 −2 1

 ; B=

  14 9 −2  eX=

  x y z 

. Temos tamb´em que detA= −1−6−12−3−4+6= −20.

(i)det∆1=det

 

14 2 3

9 −1 3

−2 −2 1



(20)

Portanto,x1=x= detdet∆A1 =

−20

−20 =1.

(ii)det∆2=det

 

1 14 3

2 9 3

−1 −2 1



=9−42−12+27−28+6= −40.

Portanto,x2=y= detdet∆A2 =

−40

−20 =2.

(iii)det∆3=det

 

1 2 14

2 −1 9

−1 −2 −2



=2−18−56−14+8+18= −60.

Portanto,x3=z= detdet∆A3 =

−60

−20 =3.

Conclusão: (x, y, z) = (1, 2, 3)é solu¸cão do sistema.

Exerc´ıcio. ResolverS=

 



−x+2y− z = 0 2x +5y+3z= 10

−x+2y−4z= −3

utilizando a Regra de Cramer.

(21)

Cap´ıtulo 2

Espa¸

cos Vetoriais

2.1 O conceito de Espa¸

co Vetorial

Motiva¸c˜ao:

SejaV3_{conjunto dos vetores do espa¸co euclidiano.}

Podemos definir duas opera¸c˜oes sobreV3_{: a adi¸c˜}_{ao e a multiplica¸c˜}_{ao por escalar.}

u

v

u₊v A

B C

u

v

e a multiplica¸c˜ao por escalar.

gv _{(g - )}< 1 v

av (a>1)

bv 0< <1( b )

dv (-1< <0d )

Formalmente:

+ : V3_×_V3 ₋

→ V3

(~u,~v) ₇₋_→ ~u+~v é a opera¸cão de adi¸cão de vetores.

·: R_×V3 ₋ → V3

(α,~u) ₇₋_→ α~u é a opera¸cão de multiplica¸cão de escalar por vetor.

O conjuntoV3_{munido das opera¸c˜}_{oes acima cumpre as seguintes propriedades:}

(1)Adi¸c˜ao: sejam~u,~v,w~ _∈V3_.

(i)~u+ (~v+w~) = (~u+~v) +w~ (associativa); (ii)~u+~v=~v+~u(comutativa);

(iii)_∃~0_∈V3_{tal que}_~_u₊_~₀₌_~₀₊_~_u₌_~_u_{(elemento neutro aditivo);}

(iv)_∃−~u_∈V3_{tal que}_~_u_{+ (−}_~_u_{) =}_~₀_{(elemento oposto).}

(2)Multiplica¸c˜ao por escalar: sejam~u,~v∈V3_e_{α, β}_∈_R_.

(i)α(β~u) = (αβ)~u(associativa);

(ii) (α+β)~u=α~u+β~u(distributiva em rela¸cão à adi¸cão de escalares); (iii)α(~u+~v) =α~u+α~v(distributiva em rela¸cão à adi¸cão de vetores); (iv)1~u=~u(elemento neutro multiplicativo).

Nessas condi¸c˜oes, dizemos queV3_{munido das opera¸c˜}_oes₊_e_·_possui_{estrutura vetorial} _{e ´e chamado de}_espa¸_co vetorial sobreR, indicado por V3_,₊_,_·

.

Os conjuntos que possuem as mesmas propriedades de V3 _ser˜_{ao chamados de espa¸cos vetoriais. Abaixo segue a}

(22)

P´agina 20 UFU Algebra Linear Sejam V um conjunto e Kum corpo num´erico (K=Rou K=C).

Dizemos que V ´e umespa¸co vetorialsobre Kquando:

(1)Existe uma opera¸c˜ao de adi¸c˜ao

+ : V×V −→ V

(u, v) ₇₋_→ u+v satisfazendo, para quaisquer u, v, w_∈V:

(i) (u+v) +w=u+ (v+w);

(ii)u+v=v+u;

(iii)_∃ 0∈V tal que u+0=0+u=u;

(iv)_∃ −u∈V tal que u+ (−u) =0.

(2)Existe uma opera¸c˜ao de multiplica¸c˜ao por escalar

·: K_×V ₋_→ V

(α, v) ₇₋→ αv satisfazendo, para quaisquer u, v_∈V e α, β_∈K:

(i) α(βu) = (αβ)u;

(ii) (α+β)u=αu+βu;

(iii)α(u+v) =αu+αv;

(iv)1u=u.

Os elementos de V s˜ao comumente chamados devetores, independente de sua natureza.

A menos que se diga o contrário, trabalharemos com espa¸cos vetoriais sobreK=R(espa¸cos vetoriais reais). Tendo em vista a existência de elemento oposto para qualquer elemento de um espa¸co vetorial, é comum escrever

u+ (−v)comou−v, ou seja,u+ (−v) =u−v.

Alguns Exemplos Simples.

Exemplo (1)Mm×n(R)munido das opera¸cões de adi¸cão e multiplica¸cão por escalar usuais de matrizes é um espa¸co

vetorial sobre R. J´a vimos as propriedades no cap´ıtulo anterior.

Exemplo (2)V2 _ou _V3 _{munidos das opera¸c˜}_{oes de adi¸c˜}_{ao e multiplica¸c˜ao por escalar usuais de vetores s˜ao espa¸cos}

vetoriais sobre R. Usamos V3 _{no exemplo de motiva¸c˜}_{ao acima e a verifica¸c˜}_{ao das propriedades geralmente ´e feita em}

um curso deGeometria Anal´ıtica.

Exemplo (3)O próprio conjunto Rdos números reais munido das opera¸cõs de adi¸cão e multiplica¸cão usuais é um espa¸co vetorial sobreR. Também o conjuntoCdos números complexos munido das opera¸cões de adi¸cão e multiplica¸cão usuais é um espa¸co vetorial sobreR. A verifica¸cão das propriedades é óbvia.

Alguns Exemplos Importantes.

Exemplo (1)O conjuntoRn₌_{₍_{x1, x2, . . . , xn}_{) :}_xi_∈_R_}_{munido das opera¸c˜}_oes:

+ : Rn_×_Rn ₋

→ Rn

((x1, . . . , xn),(y1, . . . , yn)) 7−→ (x1+y1, . . . , xn+yn)

e

·: R_×Rn ₋

→ Rn

(α,(x1, . . . , xn)) 7−→ (αx1, . . . , αxn)

ou seja,

(x1, . . . , xn) + (y1, . . . , yn) = (x1+y1, . . . , xn+yn) α(x1, . . . , xn) = (αx1, . . . , αxn)

´e um espa¸co vetorial sobreR.

(23)

Verifiquemos as propriedades:

Adi¸c˜ao: sejamu= (x1, . . . , xn);v= (y1, . . . , yn)ew= (z1, . . . , zn)emRn_.

(1i)Associativa:

(u+v) +w= ((x1, . . . , xn) + (y1, . . . , yn)) + (z1, . . . , zn)

= (x1+y1, . . . , xn+yn) + (z1, . . . , zn) = ((x1+y1) +z1, . . . ,(xn+yn) +zn)

= (x1+ (y1+z1), . . . , xn+ (yn+zn)) (∗) = (x1, . . . , xn) + (y1+z1, . . . , yn+zn)

= (x1, . . . , xn) + ((y1, . . . , yn) + (z1, . . . , zn))

=u+ (v+w)

(∗)aqui usamos a propriedade associativa dos n´umeros reais.

(1ii)Comutativa:

u+v= (x1, . . . , xn) + (y1, . . . , yn) = (x1+y1, . . . , xn+yn)

= (y1+x1, . . . , yn+xn) (∗∗) = (y1, . . . , yn) + (x1, . . . , xn)

=v+u

(∗∗₎_{aqui usamos a propriedade comutativa dos n´}_{umeros reais.}

(1iii)Elemento neutro:

Seja0= (0, . . . , 0)_∈Rn_{. Temos}

u+0= (x1, . . . , xn) + (0, . . . , 0)

= (x1+0, . . . , xn+0) = (x1, . . . , xn) (∗∗∗)

=u

(∗∗∗)aqui usamos a propriedade do elemento neutro aditivo dos n´umeros reais.

(1iv)Elemento oposto:

Seja−u= (−x1, . . . ,−xn)∈Rn. Temos

u+ (−u) = (x1, . . . , xn) + (−x1, . . . ,−xn) = (x1+ (−x1), . . . , xn+ (−xn))

= (0, . . . , 0) (∗∗∗∗) =0

(∗∗∗∗₎_{aqui usamos a propriedade do elemento oposto dos n´}_{umeros reais.}

Multiplica¸c˜ao por escalar: sejam u= (x1, . . . , xn)ev= (y1, . . . , yn)emRn _e_{α, β}_∈_R_.

(2i)Associativa:

α(βu) =α(β(x1, . . . , xn))

=α(βx1, . . . , βxn) = (α(βx1), . . . , α(βxn))

= ((αβ)x1, . . . ,(αβ)xn) #

= (αβ) (x1, . . . , xn)

(24)

P´agina 22 UFU Algebra Linear #

aqui usamos a propriedade associativa dos n´umeros reais.

(2ii)Distributiva em rela¸cão à adi¸cão de escalares:

(α+β)u= (α+β) (x1, . . . , xn)

= ((α+β)x1, . . . ,(α+β)xn)

= (αx1+βx1, . . . , αxn+βxn) ##

= (αx1, . . . , αxn) + (βx1, . . . , βxn)

=α(x1, . . . , xn) +β(x1, . . . , xn) =αu+βu

##

aqui usamos a propriedade distributiva dos n´umeros reais.

(2iii)Distributiva em rela¸cão à adi¸cão de elementos deRn_:

α(u+v) =α((x1, . . . , xn) + (y1, . . . , yn))

=α(x1+y1, . . . , xn+yn) = (α(x1+y1), . . . , α(xn+yn))

= (αx1+αy1, . . . , αxn+αyn) ###

= (αx1, . . . , αxn) + (αy1, . . . , αyn)

=α(x1, . . . , xn) +α(y1, . . . , yn) =αu+αv

###

aqui usamos a propriedade distributiva dos n´umeros reais.

(2iv)Elemento neutro multiplicativo:

1u=1(x1, . . . , xn) = (1x1, . . . , 1xn)

= (x1, . . . , xn) ####

=u

####

aqui usamos a propriedade do elemento neutro multiplicativo dos n´umeros reais.

Exemplo (2) O conjunto Pn(R) =

anxn+an−1xn−1+· · ·+a1x+a0:ai∈R;x∈Rvari´avel ´e o conjunto dos

polinômios de grau menor do que ou igual anacrescido do polinômio nulo (que não tem grau definido), munido das opera¸cões:

+ : Pn(R)_×Pn(R) ₋_→ Pn(R)

((anxn₊_{· · ·}₊_a0₎_,₍_bnxn₊_{· · ·}₊_b0₎₎ ₇₋_→ ₍_an₊_bn₎_xn₊_{· · ·}_{+ (}_a0₊_b0₎

e

·: R_×Pn(R) ₋_→ Pn(R)

(α,(anxn₊_{· · ·}₊_a0₎₎ ₇₋_→ ₍_αan₎_xn₊_{· · ·}_{+ (}_αa0₎

ou seja,

(anxn+· · ·+a0) + (bnxn+· · ·+b0) = (an+bn)xn+· · ·+ (a0+b0) α(anxn+_{· · ·}+a0) = (αan)xn+_{· · ·}+ (αa0)

Por exemplo, paran=2 temos 3x2₊_x

+ 5x2₊₃

=8x2₊_x₊₃_e₂₍_3x₊₁_{) =}_6x₊₂_.

Verifica¸c˜ao das propriedades: exerc´ıcio.

Exemplo (3)O conjuntoF(R) =

f: R ₋_→ R

x ₇₋→ f(x)

é o conjunto das fun¸cões reais de uma váriável real com

dom´ınio R, munido das opera¸c˜oes

+ : F(R)_×F(R) ₋_→ F(R)

(f, g) ₇₋_→ f+g: R −→ R

(25)

e

·: R_×F(R) ₋→ F(R) (α, f) ₇₋→ αf: R_x −₇₋→ R

→ αf(x) ou seja,

(f+g) (x) =f(x) +g(x) (αf) (x) =αf(x)

Por exemplo, paraf(x) =x2_;_g₍_x_{) =}_ex _e_α₌₂_temos ₍_f₊_g_{) (}_x_{) =}_x2₊_ex _e_2f₍_x_{) =}_2x2_.

Verifiquemos as propriedades:

Adi¸c˜ao: sejamf, g, hemF(R).

(1i)Associativa:

((f+g) +h) (x) = (f+g) (x) +h(x) = (f(x) +g(x)) +h(x) =f(x) + (g(x) +h(x)) (∗) =f(x) + (g+h) (x)

= (f+ (g+h)) (x) para qualquerx_∈R.

(∗₎_{aqui usamos a propriedade associativa dos n´}_{umeros reais.} Portanto,(f+g) +h=f+ (g+h).

(1ii)Comutativa:

(f+g) (x) =f(x) +g(x) =g(x) +f(x) (∗∗)

= (g+f) (x) para qualquerx_∈R.

(∗∗)aqui usamos a propriedade comutativa dos n´umeros reais. Portanto,f+g=g+f.

(1iii)Elemento neutro:

Seja0=θsendoθ(x) =0para qualquerx∈R(θ´e a fun¸c˜ao nula). Temos

(f+0) (x) = (f+θ) (x) =f(x) +θ(x) =f(x) +0

=f(x) para qualquerx_∈R. (∗∗∗)

(∗∗∗)aqui usamos a propriedade do elemento neutro aditivo dos n´umeros reais. Portanto,f+0=f.

(1iv)Elemento oposto:

Seja−f∈F(R)tal que(−f) (x) = −f(x). Temos

(f+ (−f)) (x) =f(x) + (−f) (x) =f(x) + (−f(x))

=0para qualquerx_∈R. (∗∗∗∗)

(∗∗∗∗₎_{aqui usamos a propriedade do elemento oposto dos n´}_{umeros reais.} Portanto,f+ (−f) =0. (0=θ´e a fun¸c˜ao nula)

Multiplica¸c˜ao por escalar: exerc´ıcio.

(26)

P´agina 24 UFU Algebra Linear Exerc´ıcio (1)Verifique seR2_{munido das opera¸c˜}_oes

+ : R2_×_R2 ₋_→ _R2

((x1, y1),(x2, y2)) ₇₋_→ (x1+x2, y1+y2)

e

·: R_×R2 ₋

→ R2

(α,(x, y)) ₇₋_→ (αx, 0) ou seja,

(x1, y1) + (x2, y2) = (x1+x2, y1+y2) α(x, y) = (αx, 0)

´e um espa¸co vetorial.

Observe que a adi¸cão é a usual, mas a multiplica¸cão por escalar não é a usual

Resolu¸c˜ao.

Já vimos que as propriedades de adi¸cão se verificam. Quanto à multiplica¸cão por escalar:

(2i)α(β(x, y)) =α(βx, 0) = ((αβ)x, 0) = (αβ) (x, y)se verifica.

(2ii) (α+β) (x, y) = ((α+β)x, 0) = (αx+βx, 0) = (αx, 0) + (βx, 0) =α(x, y) +β(x, y)se verifica.

(2iii) α((x1, y1) + (x2, y2)) = α(x1+x2, y1+y2) = (α(x1+x2), 0) = (αx1+αx2, 0) = (αx1, 0) + (αx2, 0) = α(x1, y1) +α(x2, y2)se verifica.

(2iv)1(x, y) = (1x, 0) = (x, 0)₆= (x, y)quandoy₆=0. Portanto,1(x, y) = (x, y)não se verifica. Conclusão: R2_{munido das opera¸c˜}_{oes acima n˜}_{ao é um espa¸co vetorial.}

Exerc´ıcio(2)Mostre que em um espa¸co vetorial(V,+,_·), vale aLei do Cancelamentopara a adi¸c˜ao: u+w=v+w_⇒ u=v.

Resolu¸c˜ao.

Comow_∈V, existe o oposto −w_∈V tal que w+ (−w) =0, sendo0o elemento neutro aditivo. Logo,

u+w=v+w⇒(u+w) + (−w) = (v+w) + (−w)⇒ u+ (w+ (−w)) =v+ (w+ (−w))_⇒u+0=v+0_⇒u=v

Exerc´ıcio (3)Mostre que em um espa¸co vetorial (V,+,_·), o oposto de um elemento ´e ´unico.

Resolu¸c˜ao.

Suponhamos queu_∈V possua dois elementos opostos: −u1e−u2tais queu+ (−u1) =0eu+ (−u2) =0, sendo 0 o elemento neutro aditivo.

Logo,

u+ (−u1) =u+ (−u2) =0⇒−u1+u= −u2+u⇒−u1= −u2

Exerc´ıcio (4)Mostre que em um espa¸co vetorial (V,+,_·), o oposto neutro ´e ´unico.

Resolu¸c˜ao.

Suponhamos que existam dois elementos neutros emV, indicados por 01 e02, tais queu+01=ueu+02=u,

sendou_∈V. Logo,

u+01=u+02⇒01+u=02+u⇒01=02

Proposi¸c˜ao 1. (Propriedades de Espa¸cos Vetoriais)Seja (V,+,_·)espa¸co vetorial sobre R.

(1)Se α_∈Re 0_∈V ´e elemento neutro aditivo, ent˜ao α0=0.

(27)

(3)Se α_∈Re u_∈Vsão tais que αu=0, então α=0ou u=0. (o primeiro0é o zero dos números reais, enquanto que o segundo 0é o elemento neutro aditivo de V)

(4) Se α_∈R e u_∈V, ent˜ao (−α)u= α(−u) = − (αu). (geralmente escrevemos de forma simplificada − (αu) = −αu)

(5)Sejamα, β_∈Re u_∈V, ent˜ao (α−β)u=αu−(βu). (geralmente escrevemos de forma simplificada (α−β)u=

αu−βu)

(6)Sejam α∈Re u, v∈V, ent˜ao α(u−v) =αu− (αv). (geralmente escrevemos de forma simplificada α(u−v) =

αu−αv)

Demonstra¸c˜ao.

(1)0+α0=α0+0=α0=α(0+0) =α0+α0⇒0=α0⇒α0=0.

(2)0+0u=0u+0=0u= (0+0)u=0u+0u⇒0=0u⇒0u=0. (3)Seα=0_∈R, o resultado ´e ´obvio.

Seα₆=0_∈R, ent˜ao existeα−1_∈_R_{tal que}_α−1_α₌₁_.

Assim,αu=0⇒α−1₍_αu_{) =}_α−1₀_⇒ _α−1_α

u=0⇒1u=0⇒u=0.

(4)Primeira parte: − (αu) =α(−u).

De fato: αu+ (− (αu)) =0=α(u+ (−u)) =αu+α(−u)_⇒− (αu) =α(−u). Segunda parte: − (αu) = (−α)u.

De fato: αu+ (− (αu)) =0=0u= (α+ (−α))u=αu+ (−α)u_⇒− (αu) = (−α)u.

(5) (α−β)u= (α+ (−β))u=αu+ (−β)u=αu+ (− (βu)) =αu− (βu).

(6)α(u−v) =α(u+ (−v)) =αu+α(−v) =αu+ (− (αv)) =αu− (αv).

Exerc´ıcio. Sendo(V,+,_·)espa¸co vetorial eu, v, w_∈V, calcule3u+v−3we encontrex_∈V tal que u+x 2 −

x−v 3 =w

para os seguintes casos:

(1)V=M3_×2(R),u=

 

1 1

0 0

 ,v=

 

0 1

2 1

1 1

 ew=

 

1 2

1 0

0 −1

 ;

(2)V=R3_,_u_{= (}_{1, 2, 1}_),_v_{= (}_{2, 3, 1}₎_e_w_{= (}_{1, 1, 1}_);

(3)V=P2(R),u=x2, v=xew=2x+1;

(4)V=F(R),u=f(x) =2x+2, v=g(x) =3x+3ew=h(x) =sen(x).

2.2 Subespa¸

cos Vetoriais

Sejam V um espa¸co vetorial sobre R e W_⊂V. Dizemos que W ´e umsubespa¸co vetorialde V quando:

(i)0_∈W;

(ii)_∀u, v_∈W⇒u+v_∈W;

(iii)_∀α_∈Re ∀u_∈W⇒αu_∈W. Nota¸c˜ao: W ⊂

seV.

Obviamente,W tamb´em ´e um espa¸co vetorial sobreR.

Exemplos.

Exemplo (1)SejaV espa¸co vetorial, ent˜aoW=V ouW={0}s˜ao subespa¸cos vetoriais deV (triviais).

Exemplo (2) Seja R2 _{espa¸co vetorial (opera¸c˜}_{oes usuais) sobre} _R_{, ent˜ao} _W ₌ ₍_{x, y}₎_∈_R2_:_x₊_2y₌₀ _{´e um}

(28)

De fato:

(i)0= (0, 0)_∈Wpois 0+2.0=0;

(ii)_∀(x1, y1),(x2, y2)∈W⇒x1+2y1=0 ex2+2y2=0⇒(x1+x2) +2(y1+y2) =0⇒(x1+x2, y1+y2)∈ W_⇒(x1, y1) + (x2, y2)∈W;

(iii)_∀α∈Re(x, y)_∈W⇒x+2y=0⇒αx+2αy=0⇒(αx, αy)_∈W⇒α(x, y)_∈W.

Exemplo (3)SejamMn(R)espa¸co vetorial (opera¸cões usuais) sobreReA∈Mn(R)fixa, então W={X_∈Mn(R) :AX=XA}é subespa¸co vetorial deR2.

De fato:

(i)X=0∈W(matriz nula de ordemn), poisAX=A0=0=0A=XA;

(ii)_∀X, Y_∈W⇒AX=XA eAY=YA⇒AX+AY=XA+YA⇒A(X+Y) = (X+Y)A⇒X+Y_∈W; (iii)_∀α_∈Re∀X_∈W_⇒A(αX) =α(AX) =α(XA) = (αX)A_⇒αX_∈W.

Exemplo (4)Sejam F(R)espa¸co vetorial (opera¸cões usuais) sobreR, entãoW={f∈F(R) :f(−x) =f(x)}(fun¸cões pares) é um subespa¸co vetorial deF(R).

De fato:

(i)f(x) =0,∀x_∈R, (elemento neutro) est´a emW, pois f(−x) =0=f(x);

(ii)_∀f, g_∈W_⇒f(−x) =f(x)eg(−x) =g(x)_⇒f(−x) +g(−x) =f(x) +g(x)_⇒(f+g) (−x) = (f+g) (x)_⇒

f+g_∈W;

(iii)_∀α∈Re∀f∈W⇒f(−x) =f(x)_⇒α(f(−x)) =α(f(x))_⇒(αf) (−x) = (αf) (x)_⇒αf∈W.

Exerc´ıcios.

Exerc´ıcio(1)Verifique queW={f∈F(R) :f(−x) = −f(x)}(fun¸cões ´ımpares) é subespa¸co vetorial deF(R)(opera¸cões usuais).

Exerc´ıcio (2) Verifique que W = {A∈Mn(R) :A=At} (matrizes sim´etricas) ´e subespa¸co vetorial de Mn(R)

(opera¸c˜oes usuais).

Exerc´ıcio (3)Verifique queW={A_∈Mn(R) :A= −At}(matrizes antisim´etricas) ´e subespa¸co vetorial deMn(R)

(opera¸c˜oes usuais).

Exerc´ıcio (4)Verifique queW={f∈F(R) :f(3) =0}´e subespa¸co vetorial de F(R)(opera¸c˜oes usuais).

Observemos que os elementos deWsão todas as fun¸cões cujos gráficos passam pelo ponto(3, 0)do plano cartesiano.

Exerc´ıcios Diversos.

Exerc´ıcio (1)(Resolvido) Verifique seW=(a, b, c)_∈R3_:_a_≥₀ _{´e subespa¸co vetorial de}_R3_(opera¸c˜_{oes usuais).}

Resolu¸c˜ao.

´

E f´acil perceber que (0, 0, 0) _∈ W e que se (a, b, c),(a′_{, b}′_{, c}′₎ _∈ _W_{, ent˜ao} ₍_a₊_a′_{, b}₊_b′_{, c}₊_c′_{) = (}_{a, b, c}_{) +} (a′_{, b}′_{, c}′₎_∈_W_.

No entanto, paraα= −1 e(1, 1, 1)_∈W temos que(−1) (1, 1, 1) = (−1,−1,−1)_∈/W. Logo,Wn˜ao ´e subespa¸co vetorial deR3_.

Exerc´ıcio (2) (Proposto) Verifique se W = {f_∈F(R) :f(7) =2+f(1)} ´e subespa¸co vetorial de F(R) (opera¸c˜oes usuais).

Exerc´ıcio(3)(Resolvido) Mostre que seUeWsão subespa¸cos vetoriais do espa¸co vetorialV, entãoU∩Wé subespa¸co vetorial deV.

Resolu¸c˜ao.

(i)0_∈Ue0_∈W⇒0_∈U_∩W(obs. vimos que0´e ´unico);

(ii)_∀u, v_∈U_∩W_⇒u, v_∈Ueu, v_∈W_⇒u+v_∈Ueu+v_∈W_⇒u+v_∈U_∩W; (iii)_∀α∈Reu∈U∩W⇒α∈R, u∈Ueu∈W⇒αu∈Ueαu∈W⇒αu∈U∩W.

Um exemplo simples: U=(a, 0, 0)_∈R3 _e_W₌₍_{0, b, c}₎_∈_R3 _{s˜ao subespa¸cos vetoriais de}_R3_{, com opera¸c˜}_oes

usuais (verifique isso). É fácil ver queU∩W={(0, 0, 0)}é subespa¸co vetorial deR3_.

Exerc´ıcio(4)(Resolvido) Mostre que seUeWsão subespa¸cos vetoriais do espa¸co vetorialV, entãoU_∪Wnem sempre é subespa¸co vetorial deV.

(29)

Trata-se de um exerc´ıcio onde basta exibir um contra-exemplo. De fato:

U=(x, y)∈R2_:_x₊_y₌₀ W=(x, y)_∈R2_:_x₋_y₌₀

s˜ao subespa¸cos vetoriais deR2_{com opera¸c˜}_{oes usuais (verifique isso).}

Temos que (−1, 1) _∈ U e(1, 1) _∈ W. Entretanto, (−1, 1) + (1, 1) = (0, 2) _∈/ U _∈ W, pois x = 0 e y = 2 n˜ao satisfazemx+y=0oux−y=0.

0 ₁

P 0 2( , )

x 1

2 y

W U

2.3 Soma de Dois Subespa¸

cos Vetoriais

Sejam UeWsubespa¸cos vetoriais de V. Definimos asomadeUcom We indicamos porU+Wo seguinte conjunto: U+W={u+w:u_∈Ue w_∈W}

Proposi¸cão 2. Nas condi¸cões acima U+W é um subespa¸co vetorial de V (com as opera¸cões de V).

Demonstra¸c˜ao.

(i) 0_∈Ue 0_∈W_⇒0+0_∈U+W_⇒0_∈U+W.

(ii) v1, v2 ∈ U+W ⇒ v1 = u1+w1 e v2 = u2+w2 com u1, u2 ∈ U e w1, w2 ∈ W ⇒ u1+u2 ∈ U e w1+w2∈W⇒(u1+u2) + (w1+w2)∈U+W⇒(u1+w1) + (u2+w2)∈U+W⇒v1+v2∈U+W.

(iii) α _∈R e v _∈U+W _⇒α _∈ R e v = u+w com u _∈ Ue w_∈ W _⇒ αu _∈ U e αw _∈W _⇒αu+αw _∈

U+W_⇒α(u+w)_∈U+W_⇒αv_∈U+W.

Observa¸c˜oes:

(1)U+{0}=U;

(2)U_⊂U+WeW_⊂U+W;

(3)U+W´e o menor subespa¸co de V que cont´emUeW.

Justificativa: sejaL subespa¸co deV tal queU_⊂L eW_∈L.

Mostremos queU+W_⊂L(comoLé arbitrário,U+W será o menor). Sejav_∈U+W⇒v=u+wcomu_∈U

ew∈W⇒u∈L ew∈L⇒u+w∈L⇒v∈L. Logo,U+W⊂L, como quer´ıamos.

Soma Direta de Dois Subespa¸cos Vetoriais

Dados U e W subespa¸cos vetoriais de V, dizemos que U+W ´e uma soma direta de Ucom W, e indicamos por U⊕W, quando U∩W={0}.

Exemplo. U={(a, 0, 0) :a∈R}eW={(0, b, c) :b, c∈R}s˜ao subespa¸cos vetoriais deR3 _(opera¸c˜_{oes usuais).}

ComoU∩W={(0, 0, 0)}temos U⊕W como soma direta.

Exerc´ıcio. Sejam U = (x, y, z)∈R3_:_x₌_z _e _W ₌ ₍_{x, y, z}₎_∈_R3_:_x₊_y₊_z₌₀ _{subespa¸cos vetoriais de} _R3_.

Verifique se U+W´e soma direta de UcomW.

Resolu¸c˜ao.

Seja(x, y, z)_∈U∩W⇒

x=z

x+y+z=0 ⇒