+ f 10 e z + f 11 ze z + f 12 z 2 e z + + f 1d z d e z = 0.

GREGORIO MALAJOVICH

Neste artigo, nosso objeto de estudos é o número de soluções complexas de equa- ções ou de sistemas de equações analíticas ou holomorfas. Essa classe de equações engloba polinômios e sistemas de polinômios. Um exemplo de equação analítica não polinomial é

f00+f₀₁z+ f02z²+· · ·+ f_0dz^d+

+f₁₀e^z+f₁₁ze^z+ f₁₂z²e^z+· · ·+ f_1dz^de^z =0.

(1)

O número de soluções complexas de (1) é infinito, mesmo com d = 0. Mas faz sentido investigar o número de soluções em um subconjunto, por exemplo o disco D = {z ∈ _C : |z| < 1}. Como o número de zeros depende dos coeficientes, vamos introduzir uma medida de probabilidade no espaço das equações (a distribuição de probabilidade normal com média zero e variância 1), e tratar o número nD(f) de zeros de f em D como uma variável aleatória.

Por exemplo, o número esperado de soluções de (1) é (2) E(nD(f)) =d/2+0, 202.918.921.282· · ·

Ao longo deste artigo, precisaremos das seguintes notações (padrão) para a deri- vada exterior em uma ou várias variáveis complexas. Em primeiro lugar, escrevemos um número complexo e seu conjugado como

z=x+iy e z¯= x−iy.

Com essa notação,

x = ¹

2(z+z¯) e y= ¹

2i(z−z¯). Isso permite definir os operadores diferenciais

∂

∂z = ¹ 2

∂

∂x + ¹ 2i

∂

∂y e ∂

∂z¯ = ¹ 2

∂

∂x − ¹ 2i

∂

∂y.

O autor foi parcialmente financiado por: CNPq, CAPES, FAPERJ e pelo acordo de cooperação internacional MathAmSud.

1

Uma função f de uma variável complexa é holomorfa se e somente se ela satisfaz a equação aderivadas parciais¹

∂

∂z¯f =0,

conhecida como equação deCauchy-Riemann. Para equações a várias variáveis com- plexas, define-se os operadores de derivação exterior holomorfa e anti-holomorfa por

∂f(z) =

∑

j

∂

∂zj

f(z)dz_j e ∂¯f(z) =

∑

j

∂

∂z¯j

f(z)d ¯z_j

Uma função multivariada f é holomorfa se e somente se ela satisfaz à equação de Cauchy-Riemann

∂¯f =0

que é também uma equação a derivadas parciais. Funções holomorfas e funções analíticas coincidem, em uma [1] ou várias variáveis complexas [9].

Os operadores ∂ e ¯∂ são definidos de maneira análoga para formas de ordem maior. Por exemplo,

∂

∑

fj(z)dzj+gjd ¯zj

!

=

∑

∂fj

∂z_i(z)dzi∧dzj+^∂gj

∂z_i(z)dzi∧d ¯zj

e em geral, escrevendo dz^J =dz_J1∧ · · · ∧dz_Jk,

∂

∑

J₁<···<J_k K₁<···<K_l

fJK(z)dz^J∧d¯z^K =

∑

J₁<···<i J_k K₁<···<K_l

∂fJK(z)

∂z_i dzi∧dz^J∧d¯z^K Utilizaremos sem aviso prévio as seguintes identidades:

d=_∂+_∂^¯ , ∂∂=0 e ∂¯∂¯ =0

Pretendo começar enunciando quatro teoremas famosos sobre zeros de sistemas de polinômios (Teoremas de Bézout, de Bézout multi-homogêneos, de Kushnirenko e BKK). Os dois primeiros são clássicos, os dois últimos dos anos70.

Ao escrever o livro [11], ficou patente que era possível unificar a prova desses teoremas, e que os métodos permitiam um ataque a um problema bem mais geral do que o de sistemas de polinômios, a saber sistemas de equações analíticas sobre uma variedade complexa. O preço módico a pagar por sair do domínio da geometria algébrica era trocar o númerogenéricode zeros pelo númeroesperadode zeros.

Na seção 2 pretendo enunciar e explicar teoremas sobre o número esperado de soluções de oligonômioscomplexos (polinômios ou equações analíticas com poucos termos). Esses resultados estão mostrados em [12], mas pretendo expor as constru- ções básicas na seção3. No final vamos explicar a cota (2)

1Este artigo é uma versão editada de Conferência em concurso para Professor Titular, IM-UFRJ, novembro de2011. Mas as vagas de professor titular em matemática foram reservadas para especia- listas em Equações a Derivadas Parciais[16].

Na seção 4, vou mostrar os Teoremas de Bézout e de Bézout multi-homogêneo a partir de fatos conhecidos. Vou também mostrar que o Teorema de Kushnirenko implica o Teorema de Bernstein.

1. Quatro teoremas famosos

Adotamos as seguintes convenções: se z ∈ _Cⁿ é um vetor e a ∈ (_Z≥0)ⁿ é um multi-índice,

z^a=z^a₁¹z₂^a2· · ·z^a_nⁿ e

|a|=a₁+· · ·+an.

O mais famoso dos quatro teoremas (talvez o único teorema tão famoso que teria sido incorporado ao vernáculo, sob a corruptelabizu):

Teorema 1 (Etienne Bézout, XVIII). Sejam d₁, . . . ,dn inteiros positivos. O sistema de equações polinomiais a coeficientes complexos

(3)

∑|a|≤d₁ f_1az^a = 0 ...

∑|a|≤dn fnaz^a = 0

tem no máximo B = d₁d₂· · ·dn soluções isoladasz ∈ _Cⁿ. Para uma escolha genérica dos coeficientes f_ia ele tem exatamente B soluções.

Existem várias definições decoeficientes genéricos em uso. Aqui, a definição rele- vante é que os coeficientes não satisfazem uma certa equação não trivial, também polinomial. Em particular, o conjunto dos coeficientes onde há estritamente menos deBsoluções isoladas tem medida zero.

Um exemplo onde a igualdadenãovale é o problema de autovalores:

(4) Cu−tu =0

com variáveis são u1, . . . ,un−1,λ e fixando un = 1. Neste caso, o número previsto pelo Teorema de Bézout é 2ⁿ⁻¹, quando existem no máximo n autovetores isolados comun =1.

Outro resultado famoso permite estimar de maneira precisa o número de soluções deste tipo de equações, desde que saibamos particionar as variáveis de maneira adequada. Separamos as variáveis em dois grupos,Z1 ={u1, . . . ,un−1} eZ2={t}. O teorema de Bézout multi-homogêneo nos diz que o número de soluções isola- das é de no máximo B, onde B é o coeficiente de λ^#Z₁ ¹λ^#Z₂ ² = _λⁿ₁⁻¹_λ2 na expressão formal(λ₁+λ₂)ⁿ, ou sejan.

Formalmente, seja n = n₁+· · ·+n_k uma partição de n. Decompomos Cⁿ = Cⁿ¹× · · · ×_C^nk. Usamos a seguinte notação para vetoresz emCⁿ¹ × · · · ×_C^nk:

z=z₁⊕z₂⊕ · · · ⊕z_k

com z_j ∈ _C^nj. A mesma convenção vale para conjuntos de variáveis ou multi- índices.

Teorema 2 (Bézout multi-homogêneo). Seja n = n1+· · ·+ns, com n1, . . . ,ns ∈ _N.

Sejam dij ∈_{Z≥0 para1}≤_i≤_{n e1}≤ _j≤_s.

Seja B o coeficiente deλⁿ₁¹λⁿ₂²· · ·λⁿs^s em

∏

(di1λ1+· · ·+disλs). Então o sistema de equações

|a₁

∑

...

|a_k|≤d_1k

f_1az^a₁¹· · ·z^a_k^k = ₀ ...

|a₁

∑

...

|a_k|≤d_nk

fnaz^a₁¹· · ·z^a_k^k = 0

tem no máximo B soluções isoladas z ∈ _Cⁿ. Para valores genéricos dos coeficientes f_ia, ele tem exatamente B soluções isoladas.

Observação1. Em [13], provamos que é NP-difícil, dado um sistema de equações arbitrário, achar a partição ótima das variáveis ou até aproximar o valor otimal de B por um fator fixo.

Um teorema dos anos70permite uma cota mais fina para o número de soluções, não mais emCⁿ mas em(_C\0)ⁿ.

Teorema3(Kushnirenko [10]). Seja A⊂_Zⁿ finito. SejaAo fecho convexo de A. Então, o sistema de equações

a

∑

f_1az^a = 0 ...

a

∑

fnaz^a = 0

tem no máximo B=n!Vol(A)soluções isoladas em(_C\ {0})ⁿ. Para valores genéricos dos coeficientes f_ia, ele tem exatamente B soluções isoladas.

O cason=1 é atribuido a Newton, e o cason =2 foi publicado por Minding [15] em1841.

O conjunto A é chamado de suportedas equações f₁, . . . ,fn. Quando cada equa- ção tem o mesmo suporte, o sistema é dito não misto. Sistemas mistos exigem a introdução de novos conceitos.

+¹₂ ⁼ 0

0 0

Figura 1. Combinação linear de Minkowski.

Definição1(Combinações lineares de Minkowski). (Fig.1) Dados os conjuntos con- vexosA₁, . . . ,A_ne os coeficientesλ1, . . . ,λn, a combinação linearλ1A₁+· · ·+λnA_n é o conjunto de todos os

λ1a₁+· · ·+_λnan

coma_i ∈ A_i.

Não mostraremos aqui a:

Proposição1. SejamA_{1, . . . ,}A_ssubconjuntos compactos e convexos deRⁿ. Sejamλ1, . . . ,λs >

0. Então,

Vol(λ₁A₁+· · ·+λsA_s) é um polinômio homogêneo de grau n inλ1, . . . ,λs.

Teorema 4 (Bernstein [4], BKK [5]). Sejam A1, . . . ,An ⊂ _Zⁿ finitos. Seja A_i o fecho convexo de Ai. Seja B o coeficiente deλ1. . .λn no polinômio

Vol(λ1A₁+· · ·+λnA_n). Então, o sistema de equações

a

∑

f_1az^a = 0 ...

a

∑

fnaz^a = 0

tem no máximo B soluções isoladas. Para valores genéricos dos coeficientes f_ia, ele tem exatamente B soluções isoladas em(_C\ {0})ⁿ.

O númeroB/n! é conhecido comovolume mistoda n-uplaA₁, . . . ,A_n. 2. Equações analíticas

O Teoremas da seção anterior permitem estimar o número de soluções de sistemas de polinômios. Agora vamos sair dos domínios da geometria algébrica e considerar o caso de funções (ou sistemas de funções) analíticas, como (1).

Precisamos formalizar a classe de espaços funcionais para a qual vamos estimar o número de soluções. A seguinte definição foi introduzida em [11].

Definição2. Umespaço de oligonômios complexos(ouoligoespaço) de funções sobre M é um espaço de Hilbert de funções holomorfas de M em C, com as propriedades abaixo. SejaV : M → F^∗ a forma de avaliação V(z) : f 7→ f(z). Para todo z ∈ M, exigimos que:

(1) V(z) seja uma função linear contínua, e que (2) V(z) não seja a forma f 7→0.

Dizemos que o oligoespaço énão degeneradose e somente se para todoz ∈ M, 3. P_V(z)DV(z) tem posto máximo,

ondePW é a projeção ortogonal sobreW^⊥. (A derivação é em relação az).

Um exemplo clássico é o espaço de Bergman (funções analíticas em um domínio conexo e limitado deCⁿ, com métrica L²).

Vamos mostrar que oligoespaços são espaços com núcleo reprodutor. Uma ope- ração de produto entre espaços de núcleo reprodutor foi estudada no famoso artigo de Aronszajn [2]. SeF eG são espaços de Hilbert de funções emM, então o produto F G pode ser construido da seguinte maneira:

Primeiro constroi-se o produto tensorial F ⊗ G, cujos elementos são funções de M×Mem C. O produto interno emF ⊗ G é induzido por

hf1⊗g1, f2⊗g2i_{F ⊗G} =hf1, f2i_Fhg1,g2i_G.

A todo elemento h(x,y) de F ⊗ G, podemos associar a sua restrição h(x,x) à diagonal, que é uma função de M. O espaço produto F G pode ser definido como o complemento ortogonal do núcleo do operador de restrição. Ele herda o produto interno de F ⊗ G.

Exemplo1. SejaP₁o espaço dos polinômios univariados de grau1, com produto in- ternohf₁z+f0,g₁z+g0i_P1 = f₁g¯₁+ f2g¯2. Definimos indutivamenteP_d=P_d−1P₁= P₁^d. Então, obtemos o espaço dos polinômios univariados de graud, com o produto interno de Weyl [17], por vezes atribuido a Bombieri:

hf,gi_Pd =

∑

fjg¯j

d j

.

Se K é um conjunto mensurável em M, denotamos pornK(f) o número de zeros isolados defem K.

Teorema5. [12]SejamF₁, . . . ,F_n oligoespaços em M. Assumimos que todos os oligoespa- ços estão munidos da distribuição de probabilidade normal de média zero e variância1. Seja K ⊆ M um conjunto mensurável. Então,

Ef₁∈F₁,...,fn∈F_n(nK(f))

é o coeficiente deλ₁λ2· · ·λn no polinômio homogêneo de grau n na expressão formal 1

n!E_g

1,...,g_n∈F₁^λ1F₂^λ2···F_n^λn(nK(g))

3. Núcleos reprodutores,formas simpléticas e densidade das soluções Vamos definir dois invariantes associados a um oligoespaçoF sobre a variedade complexa M. O primeiro é onúcleo reprodutor. Para todosx,y∈ M, definimos

K(x,y) =V(y)^∗(x). Então teremos, para todo f ∈ F_:

f(y) =V(y)(f) =hf(·),K(·,y)i_F. Dessa propriedade deduzimos que

K(x,y) = hK(·,y),K(·,x)iF =hK(·,x),K(·,y)iF =K(y,x). Finalmente,

kK(·,x)k²_F =hK(·,x),K(·,x)i_F =K(x,x).

O segundo invariante associado ao oligoespaçoF é uma forma simplética em M, possivelmente degenerada. Lembremos que a forma de Fubini-Study em um espaço linearF está definida para todo 0 6= f ∈ F por:

ωf =

√−1

2 ∂∂¯logkfk²_F.

Essa forma é equivariante por mudanças de escala t 6= 0 e por transformações unitáriasQ ∈U(F)_,

ω_{t f}(tu,tv) = ω_f(u,v) ω_{Q f}(Qu,Qv) = ω_f(u,v).

Além disso, a forma de Fubini-Study é fechada. Assim, ela define uma forma simplética no espaço projetivo P(F). Seja agora ω o seu pull-back pela função diferenciável x7→ V(x)^∗ =K(·,x):

ωx =

√−1

2 ∂∂¯logK(x,x)².

Vamos precisar a seguir de dois resultados de Aronszajn [2]:

Teorema 6 (Aronszajn). Sejam F₁ e F₂ espaços com núcleo reprodutor K1(x1,y1) (resp.

K2(x2,y2)). Então F =F₁⊗ F₂tem núcleo reprodutor

K((x1,x2),(y1,y2)) =K1(x1,y1)K2(x2,y2).

Teorema 7 (Aronszajn). Sejam F₁ e F₂ espaços com núcleo reprodutor K₁(x,y) (resp.

K₂(x,y)). EntãoF =F₁F₂tem núcleo reprodutor

K(x,y) =K1(x,y)K2(x,y). Vamos admitir o seguinte Teorema (ver [7] ou [11]):

Teorema8. [Densidade dos zeros] SejamF₁, . . . ,F_n oligoespaços de funções sobre M, com formas simpléticas respectivasω1, . . . ,ωn. Seja K ⊆ M mensurável. Então

Ef₁∈F₁,...,fn∈F_n(nK(f)) =π⁻ⁿ Z

Kω₁∧ · · · ∧ωn.

Prova do Teorema5. Pelo Teorema8,

B =_{Ef1∈F1,...,fn∈Fn}(nK(f)) =π⁻ⁿ Z

Kω₁∧ · · · ∧ωn.

Seja G = F₁^λ1F₂^λ2· · · F_n^λn. Assumimos que os λ_i são inteiros positivos. Pelo Teorema7, G tem núcleo reprodutor

K(x,y) =K1(x,y)^λ1K2(x,y)^λ2· · ·Kn(x,y)^λn

onde osK_i são os núcleos dosF_i. A forma simpléticaω deG _{é portanto} ω =λ₁ω₁+· · ·+λnωn.

Assim, 1

n!Eg₁,...,gn∈G(nK(g)) = _π⁻ⁿ Z

Kω^∧n =_π⁻ⁿ Z

K

(_λ1ω1+· · ·+_λnωn)^∧n. O coeficiente emλ1. . .λn da expressão acima é exatamente

n!π⁻ⁿ Z

Kω₁∧ · · · ∧ωn.

A cota (2) da introdução pode ser explicada agora: em uma variável, o número esperado de soluções é aditivo em relação ao produto dos espaços. Seja E o oligo- espaço de funçõesD →_C com base ortonormal 1 ee^x. Então

Ef∈E P_dnD(f) = _{Ef∈E P}d 1nD(f)

= _dEf∈EnD(_f) +_Ef∈Pd

1EnD(_f)

= d/2+0, 202.918.921.282· · ·

A constante 0, 202· · · foi obtida numericamente estimando a integral da densi- dade das soluções (Teorema 8). Agradeço a Steve Finch por ter achado um erro na quarta casa decimal.

4. Dedução das estimativas clássicas

Lembremos da geometria algébrica elementar que o grau de uma variedade ou quase-variedade complexa é o número genérico de interseções desta variedade com um hiperplano da dimensão complementar, e está sempre bem definido. No caso dos Teoremas 1a4, isso implica na existência de um número genérico de soluções.

(A referência canônica sobre geometria algébrica é [8]).

Utilizaremos também uma consequência do teorema do grau de Brouwer, pelo qual o número genérico de soluções isoladas é semi-contínuo inferior em relação aos coeficientes. Por esses motivos, onúmero esperado de soluções é o número genérico de solucões e é também o número máximo de soluções isoladas.

Prova do Teorema1. Seja P_d,n o espaço de polinômios de grau ≤ d em n variáveis.

Podemos escrever que

P_d,n =P_1,n^d .

Observação2. O monômioz₁^a1z^a₂²· · ·z^a_nⁿ pode ser produzido de d

a

= ^d!

a₁!a2!· · ·an!d− |a|!

maneiras diferentes como produto ordenado dos vetores da base canônica de P_1,n (1,z₁,· · · ,zn). Assim, pode-se deduzir que a base ortonormal canônica deP_1,d é

s d a

z^a.

Esse produto interno é invariante pela ação do grupo unitárioU(n+1) [17].

Por aplicações repetidas do Lema, Ef₁∈P_d

1,n,...,fn∈P_dn,n(n_Cⁿ(f)) = (

∏

∏

Antes de prosseguir, precisamos primeiro da versão não mista do Teorema de Bézout multi-homogêneo.

Lema1. Seja n=n₁+· · ·+n_k com n_j ∈ _{N. Sejam d1},· · · ,d_k ∈ _{N. Então} B=_{Eh1,...,hn∈Pd}

1,n1⊗···⊗P_dk,nk(n_Cⁿ(h)),

é igual ao coeficiente deω₁ⁿ¹ωⁿ₂²· · ·ω_k^nk na expressão formal(d1ω1+· · ·+d_kω_k)ⁿ.

Demonstração. Sejaω_j a forma simplética em C^nj associada aP1n_j. Seja π_ja projeção Cⁿ →C^nj de acordo com a partição den.

Então a forma simplética associada aP_d1,n1⊗ · · · ⊗P_dk,nk é ω =d₁π₁^∗ω1+· · ·+d_kπ^∗_kωk. Temos que:

ω^∧n = Bπ^∗₁ω^∧₁ⁿ¹∧ · · · ∧π^∗_kω_k^∧nk

onde Bé o coeficiente de ω₁ⁿ¹ωⁿ₂²· · ·ωⁿ_k^k na expressão formal(d1ω1+· · ·+d_kω_k)ⁿ. O resultado segue do Teorema8:

Sabemos queπ^−njR

ω^∧_j ^nj =1. Logo, π⁻ⁿ

Z

ω^∧n =B

∏

O Lema1implica o Teorema2. Sejam

F_i =P_di1,n1 ⊗ · · · ⊗ P_diknk

para 1 ≤ i ≤ n. Então B = Ef_i∈F_i(n_Cⁿ(f)). Pelo Teorema 5, B é o coeficiente de λ1λ2· · ·_λn na expressão formal

1 n!E_g

1,...,g_n∈F₁^λ1F₂^λ2···F_n^λn(n_Cⁿ(g)).

Como

F₁^λ1F₂^λ2· · · F_n^λn =P_1,n^{d11λ1+···+dn1λn}

1 ⊗ · · · ⊗ P_1n^{d1kλ1+···+dnkλn}

k ,

podemos aplicar o Lema1e concluir que Bé o coeficiente deλ₁λ2· · ·λn ω₁ⁿ¹· · ·ωⁿ_k^k

em 1

n!((d11λ1+· · ·+dn1λn)ω1+· · ·+ (d1kλ1+· · ·+dnkλn)ωn)ⁿ. Esta última expressão se rescreve:

1 n! λ₁

∑

d_1kω_k+· · ·+λn

∑

d_nkω_k

!n

. Logo,B é o coeficiente de ω₁ⁿ¹· · ·ωⁿ_k^k na expressão formal

∏

∑

d_ikωk

como queriamos demonstrar.

Vamos agora assumir o Teorema de Kushnirenko (Teorema3).

O Teorema de Kushnirenko implica o Teorema de Bernstein. Vamos assumir as hipóteses do Teorema 4. Seja F_i o espaço dos sistemas de polinômios com suporte A_i. Assu- mimos queF_i é dado com um produto interno arbitrário.

Pelo Teorema 5, o número esperado B de soluções de um sistema misto com suportes A₁, . . . ,An é o coeficiente deλ₁λ2· · ·λn na expressão

1 n!E_g

1,...gn∈F₁^λ1F₂^λ2···F_n^λn(n(_C\{0})ⁿ)(g)

Podemos interpretar F₁^λ1F₂^λ2· · · F_n^λn como o espaço de polinômios com suporte λ1A1+· · ·+λnAn. Assim, pelo Teorema 3, Bé o coeficiente de λ1· · ·λn na expres- são

vol(Conv(λ1A1+· · ·+λnAn)) =vol(λ1A₁+· · ·+λnA_n).

5. Conclusões

O estudo probabilístico de zeros de polinômios é um assunto clássico e de inte- resse corrente (ver [3] ou as referências de [12]).

Aqui mostramos como generalizar esse campo ao estudo probabilitico de zeros de certos sistemas de funções analíticas. Vimos também como utilizar métodos probabilísticos para provar teoremas de geometria algébrica.

Outra aplicação é geometria integral. Por exemplo, o comprimento de uma curva retificável em Sⁿ é π vezes o número esperado de interseções com um hiperplano aleatório. Dessa maneira, podemos calcular comprimentos e curvaturas estimando números de interseções.

Em [6], o Teorema2 foi utilizado para estimar a curvatura (média, em certo sen- tido) do caminho central utilizado em métodos interiores para programação linear.

Chegamos à conclusão de que a curvatura esperada não depende do número de

variáveis de folga, e é linear na dimensão do problema. (Média sobre todas as condições de sinal que fazem sentido para o problema de otimização).

Outra aplicação importante dos mesmos métodos é análise numérica de sistemas de polinômios esparsos, nos moldes de [14]. Uma referência para esse projeto é meu livro [11].

Referências

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[2] N. Aronszajn,Theory of reproducing kernels, Trans. Amer. Math. Soc.68(1950),337–404.

[3] Jean-Marc Azaïs and Mario Wschebor,Level sets and extrema of random processes and fields, John Wiley & Sons Inc., Hoboken, NJ,2009.

[4] D. N. Bernstein,The number of roots of a system of equations, Funkcional. Anal. i Priložen.9(1975), no.3,1–4(Russian).

[5] D. N. Bernstein, A. G. Kušnirenko, and A. G. Hovanski˘ı, Newton polyhedra, Uspehi Mat. Nauk 31(1976), no.3(189),201–202(Russian).

[6] Jean-Pierre Dedieu, Gregorio Malajovich, and Mike Shub,On the curvature of the central path of linear programming theory, Found. Comput. Math.5(2005), no.2,145–171, DOI10.1007/s10208- 003-0116-8.

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[8] Robin Hartshorne, Algebraic geometry, Springer-Verlag, New York, 1977. Graduate Texts in Mathematics, No.52.

[9] Steven G. Krantz, Function theory of several complex variables, AMS Chelsea Publishing, Provi- dence, RI,2001. Reprint of the1992edition.

[10] A. G. Kušnirenko,Newton polyhedra and Bezout’s theorem, Funkcional. Anal. i Priložen.10(1976), no.3,82–83. (Russian).

[11] Gregorio Malajovich, Nonlinear Equations, Publicações de Matemática, 28º Colóquio Brasileiro de Matemática, IMPA, Rio de Janeiro,2011.

[12] , On the expected number of zeros of nonlinear equations (preprint), available at http://

arxiv.org/abs/1106.6014.

[13] Gregorio Malajovich and Klaus Meer, Computing minimal multi-homogeneous Bézout numbers is hard, Theory Comput. Syst.40(2007), no.4,553–570, DOI10.1007/s00224-006-1322-y.

[14] Gregorio Malajovich and J. Maurice Rojas, High probability analysis of the condition num- ber of sparse polynomial systems, Theoret. Comput. Sci. 315 (2004), no. 2-3, 524–555, DOI 10.1016/j.tcs.2004.01.006.

[15] Ferdinand Minding,On the determination of the degree of an equation obtained by elimination, To- pics in algebraic geometry and geometric modeling, Contemp. Math., vol. 334, Amer. Math.

Soc., Providence, RI, 2003, pp.351–362. Translated from the German (Crelle,1841)and with a commentary by D. Cox and J. M. Rojas.

[16] Universidade Federal do Rio de Janeiro, Instituto de Matemática,Ata da525ª Reunião da Congre- gação do Instituto de Matemática da Universidade Federal do Rio de Janeiro, realizada, em caráter ex- traordinário, em 24de novembro de2009. http://www.im.ufrj.br/arquivos/atas/Ata 525- 24 nov 2009.pdf.

[17] Hermann Weyl,The theory of groups and quantum mechanics, Dover Publications, New York,1949. XVII+422pp.

Departamento deMatemáticaAplicada, Instituto deMatemática daUFRJ. C.P.68530, Rio deJaneiro, RJ21941-909, Brasil

URL:http://www.labma.ufrj.br/~gregorio E-mail address:gregorio.malajovich@gmail.com