MAT 111

MAT 111

C´ alculo Diferencial e Integral I

Prof. Paolo Piccione

Prova 3

7 de julho de 2014

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N´umero USP:

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Instru¸c˜oes

• A dura¸c˜ao da prova ´e de duas horas.

• Assinale as alternativas corretas na folha de respostas que est´a no final da prova. ´e permitido deixar quest˜oes em branco.

• Cada quest˜ao tem apenasuma resposta correta.

• O valor total da prova ´e de5pontos; cada quest˜ao correta vale ¹₂ ponto (0.5) ecada quest˜ao errada implica num desconto de ₁₀¹ de ponto(0.10).

• No final da prova, deve ser entregue apenas a folha de respostas (na

´

ultima p´agina).

• Esta prova tem peso ¹₂ no c´alculo da m´edia final.

• Boa Prova!

Terminologia e Nota¸c˜oes Utilizadas na Prova

• Rdenota o conjunto dos n´umeros reais.

• sinx ´e a fun¸c˜ao seno de x, lnx ´e o logaritmo natural de x; log_ax ´e o logaritmo em base ade x,a∈]0,1[S

]1,+∞[.

• Para intervalos abertos useremos a nota¸c˜ao: ]a, b[.

• AS

B denota auni˜ao dos conjuntos Ae B.

N ˜AO ESQUEC¸ A DE POR SEU NOME NA FOLHA DE RESPOSTAS!!!

C

MAT 111 — Prova 3 C — 07.07.2014 2

Quest˜ao 1. Calcule a integral R1

0 xe^xdx.

(a) 2e²; (b) 1−e²;

(c) e²+ 1;

(d) 0;

(e) 1.

Quest˜ao 2. Calcule a ´area da regi˜ao R dada por:

R=n

(x, y)∈R²: 0≤x≤ π

2, −sinx≤y≤0o . (a) −cos 1;

(b) 2;

(c) −2;

(d) cos 1;

(e) 1.

Quest˜ao 3. Determine a derivada da fun¸c˜ao F(x) = Z x

0

sin⁵tdt.

(a) F⁰(x) = 5 sin⁴xsinx;

(b) F⁰(x) = cos⁵x;

(c) F⁰(x) = 5Rx

0 sin⁴tdt;

(d) F⁰(x) = 5 sin⁴x;

(e) F⁰(x) = sin⁵x.

Quest˜ao 4. Determine P2(f;x0), o polinˆomio de Taylor de ordem 2 da fun¸c˜aof centrado no ponto x₀, para a fun¸c˜aof(x) = lnx e o ponto x₀ = 2.

(a) P2(f;x0) = ln 2 +¹₂x−¹₈x²;

(b) P2(f;x0) = 1 +¹₂(x−2)−¹₄(x−2)²; (c) P₂(f;x₀) = ln 2 +¹₂(x−2)−¹₈(x−2)²; (d) P₂(f;x₀) = ln 2 +¹₂(x−2)−¹₄(x−2)²;

(e) P₂(f;x₀) = ¹₂(x−2)−¹₈(x−2)².

Quest˜ao 5. Calcule a integral Z π

π 2

cosxdx.

(a) 0;

(b) 2;

(c) −1;

(d) 1;

(e) −2.

Quest˜ao 6. Determine P2(f;x0), o polinˆomio de Taylor de ordem 2 da fun¸c˜aof centrado no ponto x₀, para a fun¸c˜ao f(x) =e^x e o ponto x₀ = 1.

(a) P₂(f;x₀) =e+e(x−1) +e(x−1)²; (b) P2(f;x0) =e+ex+e

2x²; (c) P₂(f;x₀) = 1 + (x−1) +1

2(x−1)²; (d) P2(f;x0) = 1 +x+¹₂x²;

(e) P2(f;x0) =e+e(x−1) +e

2(x−1)².

Quest˜ao 7. Qual dos seguintes ´e o enunciado correto do Teorema Funda- mental do C´alculo Integral?

(a) Se f : [a, b] → R ´e cont´ınua, ent˜ao f ´e uma primtiva da fun¸c˜ao F definida porF(x) =Rx

a f(t) dt;

(b) Sef : [a, b]→R´e deriv´avel, ent˜ao Rb

af(t) dt´e a ´area da regi˜ao abaixo do gr´afico da f;

(c) Sef : [a, b]→R´e cont´ınua, ent˜ao f⁰(x) =Rx

a f(t) dt;

(d) Se f : [a, b]→ R ´e cont´ınua, ent˜ao F(x) = R_x

a f(t) dt ´e uma primitiva de f em [a, b] que satisfazF(b) = 0;

(e) Se f : [a, b]→ R ´e cont´ınua, ent˜ao F(x) = Rx

a f(t) dt ´e uma primitiva de f em [a, b] que satisfazF(a) = 0.

Quest˜ao 8. Calcule a ´area da regi˜ao R=

(x, y)∈R²:−1≤x≤1, 0≤y≤x⁴ . (a) 5;

(b) ¹₅; (c) ²₅; (d) 0;

(e) 4.

MAT 111 — Prova 3 C — 07.07.2014 4

Quest˜ao 9. Calcule uma primitivaF(x) da fun¸c˜ao f(x) =xsinx.

(a) F(x) = sinx−xcosx;

(b) F(x) =xsinx+xcosx;

(c) F(x) =xsinx−cosx;

(d) F(x) =−sinx−xcosx;

(e) F(x) = sinx+xcosx.

Quest˜ao 10. Determine uma primitivaF(x) da fun¸c˜aof(x) =x²−x+ 1.

(a) F(x) = 2x−1;

(b) F(x) = ²₃x³−¹₂x²+x−1;

(c) F(x) = ¹₃x³−x²+x;

(d) F(x) =x³−¹₂x²+x+ 2;

(e) F(x) = ¹₃x³−¹₂x²+x−2.

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Prova 3

7 de julho de 2014

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Folha de Respostas C

1 a b c d e 2 a b c d e 3 a b c d e 4 a b c d e 5 a b c d e 6 a b c d e 7 a b c d e 8 a b c d e 9 a b c d e 10 a b c d e

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Corretas Erradas Nota