x = 0, 1, 2, . . .

^{Uma Publiação daSoiedade BrasileiradeMatemátiaApliadae}Computaional.

Intervalos de Conança para os Parâmetros do

Modelo Geométrio om Inação de Zeros

C.G. CARRASCO 1

, Unidade Universitária de Ciênias Exatas e Tenológias,

UniversidadeEstadualdeGoiás,UEG,75132-903Anápolis,GO,Brasil.

M.H. TUTIA 2

, Fauldade de Tenologia de Ourinhos, FATEC - Ourinhos,

19910-206Ourinhos,SP,Brasil.

E.Y. NAKANO 3

, Departamento de Estatístia, Universidade de Brasília -

UnB,70910-900Brasília,DF,Brasil.

Resumo. PropomosnestetrabalhoautilizaçãodomodeloGeométrioomina-

çãodezeros,queéumageneralizaçãodomodeloGeométrio,naanálisededados

desobrevivêniaeonabilidade. Ouso destemodelo sefazneessárioprinipal-

mente quando os dados apresentam um número exessivo de zeros. Estimativas

demáximaverossimilhançadosparâmetrosdomodeloforamobtidas,assimomo

seusintervalosdeonançabaseadosnateoriaassintótia. Ademais,usamosaté-

niadereamostragembootstrapomoumproedimentoalternativoadequadopara

onstrução deintervalos deonança para os parâmetrosdo modelo Geométrio

ominaçãodezeros.

Palavras-have. Estimaçãointervalar,probabilidadedeobertura,téniaboots-

trap.

1. Introdução

A distribuição Geométria [7℄ é utilizada para ontar o número de fraassosque

preedemoprimeirosuesso, eamesmapodeservista omouma versãodisreta

dadistribuição Exponenial [11℄. Em partiular, naanálise deonabilidade, po-

demosestarinteressadosnonúmerode impatostermo-elétriosreebidosporum

equipamentoeletrnio antes domesmofalhar. Nosasosonde,ahane defalha

desse equipamento noprimeiroimpatoémuitoalta,podemoster umaoorrênia

muitograndedenúmeroszerosnesseonjuntodedados. Nesta situação,omodelo

Geométrioominaçãodezeros(ZIG)serámaisapropriadodoqueomodeloGeo-

métriopadrãoparaoajustedessesdados. Osmodelosominaçãodezerosomo

omodeloBinomialNegativoouPoissonominaçãodezerosjáforamamplamente

disutidospor[2℄e[8℄.

1

leber.arrasoueg.br

2

marelo.tutiafate.sp.gov.br

3

nakanounb.br

Neste artigo,propomos trabalharom adistribuiçãoGeométria ominação

de zeros na análise de dados de sobrevivênia e onabilidade, aqual é uma ge-

neralizaçãoda distribuiçãoGeométria. Oobjetivo deste trabalhoé apresentar a

téniadereamostragembootstrap [3℄omo umproedimentoalternativonaons-

truçãodeintervalosdeonançapara osparâmetrosdomodeloZIG,umavezque

osproedimentosusuaispodemnãoserválidos[1℄.

EssaténiadereamostragemfoipropostaprimeiramenteporEfron[5℄,evisaa

obtençãodeestimativasintervalaresempíriasparaosestimadoresdosparâmetros

deinteressepormeiodareamostragemdoonjuntodedadosoriginal. Existembasi-

amente doistiposdebootstrap: oparamétrio,noqualosestimadoresdemáxima

verossimilhança (EMV) são obtidos atravésdo modelo ajustado, isto é, geramos

dadosdomodeloajustadoomosvaloresdosparâmetrosxadosnosEMVobtidos

daamostraoriginal;eobootstrapnãoparamétrio,ondeosEMVsãobaseadosem

Breamostrasomreposiçãoobtidasdaamostraoriginal.

Osparâmetros do modelo ZIG são estimados atravésdo logaritmo da função

de verossimilhança, utilizando-se de um algoritmodo tipoNewton implementado

nafunçãonlm (non linear minimization) dopaote statsdisponívelno softwareR

[4℄. Do mesmo modo, intervalos de onançasão onstruídos para osparâmetros

do modeloZIG atravésda teoriaassintótia usual, utilizando-se das propriedades

assintótiasdosestimadoresdemáximaverossimilhança. Tambémsãoonstruídos

intervalos de onança bootstrap para os parâmetros do modelo ZIG omo uma

alternativaadequadaaosmétodosusuaisdeestimaçãointervalar. Paraompararos

proedimentosdeonstruçãodeintervalosdeonança,alulamosaprobabilidade

deoberturaeasamplitudesmédiasdessesintervalos.

Parailustrarmosametodologiaadotadanestetrabalho,geramosnosoftwareR

umonjuntodedadosommuitoszerose,aessesdados,ajustamososmodelosZIG

eGeométrioatravésdassuasrespetivasfunçãodesobrevivênia,omparando-as

omasestimativasdeKaplan-Meier.

2. Desenvolvimento

AdistribuiçãoGeométriaominaçãodezeroséumageneralizaçãodadistribuição

Geométria, onde temos uma ombinação da distribuição Geométria om uma

distribuiçãoujaprobabilidadedezeroéiguala1. Adistribuiçãodeprobabilidades

domodeloZIGpodeserexpressadaseguinteforma

f(x) = θ(1 − θ) ^x ρ + (1 − ρ)I ₍ x ) {0} = (θρ + (1 − ρ)) ^{I ( x ) {0}} (θ (1 − θ) ^x ρ) ^{1− I (x) {0}}

^(2.1)

onde

x = 0, 1, 2, . . .

^;

0 ≤ θ ≤ 1

^{é o parâmetro da} distribuição Geométria que representa a probabilidade instantânea do evento de interesse e,

0 ≤ ρ ≤ 1

^{é o}

parâmetrodemisturadadistribuiçãoGeométriaomumadistribuiçãodegenerada

em

x = 0

^{quemodelaosexessosdezerosnãoexpliadospelomodelogeométrio.}

I (x) {0}

^{éumafunçãoindiadora,quevaleumquando}

x = 0

^ezeropara

x > 0

^.

Empartiularse

ρ = 1

^{,omodelo(2.1)sereduzaomodeloGeométrio.}

Asfunçõesdesobrevivêniaederisopodemseresritas,respetivamentepor

S(x) = P (X > x) = ρ (1 − θ) ^x−1

e

h(x) = (θ + (1 − ρ) (1 − θ)) ^{I (x) {0}} θ ( ^{1−I (x) {0}} ) =

θ + (1 − ρ) (1 − θ) , se x = 0 θ, se x > 0

SejaXumavariávelaleatóriaomfunçãodensidadedeprobabilidadedadaem

(2.1), então na ausênia de ensuras, os parâmetros do modelo ZIG podem ser

estimadosatravésdamaximizaçãodafunçãodeverossimilhançadenidaomo[9℄

L(X | ρ, θ) =

n

Y

i=1

(θρ + (1 − ρ)) ^{I ( xi ) {0}} (θ (1 − θ) ^{x i} ρ) ^{1−I ( xi ) {0}}

Ologaritmodafunçãodeverossimilhançapodeserapresentadopor

l (X | ρ, θ) = n 0 log (θρ + (1 − ρ)) + (n − n 0 ) (log (ρ) + log (θ)) + log (1 − θ)

∞

X

x =1

n x x

^(2.2)

onde

n x

^{éonúmerodeoorrêniasdovalor}

x

^naamostra,

x = 1, 2, . . .

^Empartiular,

n 0

^{éonúmerodezerosnaamostra. Noteque}

P n

i=1 x i = P ∞ x=1 n x x

^.

OsestimadoresdemáximaverossimilhançadosparâmetrosdomodeloZIGpo-

dem ser obtidos diretamente através da maximização do logaritmo da função de

verossimilhança(2.2)pormétodosnumérios.

Ovetorgradiente dasderivadaspariaisde(2.2)éobtidoatravésde

▽l (X | ρ, θ) =

∂l(X|ρ,θ)

∂ρ

∂l(X|ρ,θ)

∂θ

!

=





n−n 0

ρ − _{θρ+(1−ρ)} ^{n 0 (1−θ)}

n 0 ρ

θρ+(1−ρ) + ⁿ⁻ⁿ _θ ⁰ − P ^∞

x=1 n x x 1−θ





eamatrizJaobiana omasderivadassegundas édadapor

▽ ² l (X | ρ, θ) =

∂ ² l(X|ρ,θ)

∂ρ ²

∂ ² l(X|ρ,θ)

∂ρ∂θ

∂ ² l(X|ρ,θ)

∂θ ²

!

=

=





− _{[θρ+(1−ρ)]} ^{n 0 (1−θ) 2} 2 − ⁿ⁻ⁿ _ρ 2 ⁰ n 0

θρ+(1−ρ) + _{[θρ+(1−ρ)]} ^{n 0 (1−θ)ρ} 2

− _{[θρ+(1−ρ)]} ^{n 0 ρ 2} 2 − ⁿ⁻ⁿ _θ 2 ⁰ − P ^∞

x=1 n ^x x (1−θ) ²





Note que

n i ∼ Binomial (n, P (X = i))

^{, assim,}

E(n i ) = nP (X = i)

^{. Dessa}

forma,temos

E (n 0 ) = nP (X = 0) = n (θρ + 1 − ρ)

e

E

∞

X

x=1

n x x

!

= n

∞

X

x=1

xP (X = x) = nρ(1 − θ)

θ

Logo,éfáilveriarmosque

E (▽l (X | ρ, θ)) =





E _{∂l(X|ρ,θ)}

∂ρ

E _{∂l(X|ρ,θ)}

∂θ



 = 0

0

AmatrizdeinformaçãodeFisher

I n (ρ, θ)

^,édadapor

I n (ρ, θ) = E − ▽ ² l (X | ρ, θ)

=



 E

− ^{∂ 2 l(X|ρ,θ)} _∂ρ 2

E

− ^{∂ 2 l(X|ρ,θ)} _∂ρ∂θ E

− ^{∂ 2 l(X|ρ,θ)} _∂θ 2



 =

=





n(1−θ)

ρ(θρ+1−ρ) − _θρ+1−ρ ⁿ

nρ ( θ+(1−ρ)(1−θ) ² )

θ ² (1−θ)(θρ+1−ρ)





InvertendoamatrizdeinformaçãodeFisherobtemos

I _n ⁻¹ (ρ, θ) =

ρ(1−ρ)

n + _n(1−θ) ^θρ 2 θ ² n(1−θ)

θ ² nρ

!

Portanto,temosque

ρ ˆ θ ˆ

≈ N ormal 2

ρ θ

, I _n ⁻¹ (ρ, θ)

(2.3)

Assim,osintervalosde

100 (1 − α) %

^{deonançaparaosparâmetrosdomodelo}

ZIG(2.1)sãodadosrespetivamentepor

ˆ

ρ ± z ( ^{1− α} 2 )

s ρ (1 − ρ)

n + θρ

n (1 − θ) ²

(2.4)

e

θ ˆ ± z ( ^{1− α} 2 ) s

θ ²

nρ

^(2.5)

onde

z ( ^{1− α} 2 )

^éoquantil

1 − ^α ₂

deumadistribuiçãoNormalPadrão. Noteque

θ

^e

ρ

^{emgeralsãoparâmetros}desonheidos,dessaforma,podemossubstituí-lospelos seusestimadores

θ ˆ

^e

ρ ˆ

^,respetivamente em(2.4)e(2.5).

Autilização de(2.3)é direionadapelo tamanho daamostra,que devesersu-

ientemente grande. No entanto, em análise de sobrevivênia e onabilidadeé

omum termos amostraspequenas ou moderadas, onde aaproximação(2.3) pode

nãoserválida[1℄. Nestesasosumapossibilidadeéautilizaçãodaténiaderea-

mostragembootstrapparamétriae/ounãoparamétrianaonstruçãodeintervalos

deonança,atravésdareamostragemdoonjuntodedadosoriginal[3℄.

Consideremos

θ

^{omo o parâmetrode interessedomodeloZIG. Para ada re-}

amostra da amostra original, alulamos o EMV para

θ

^{e temos no nal de B}

reamostragens,

θ ˆ 1 < . . . < θ ˆ B

^{valoresdosEMVordenados. Utilizamos então}

θ ˆ _(B) ( ^α 2 ) e θ ˆ _(B) ( ^{1− α} 2 )

^(2.6)

omoos limites inferioresesuperioresdointervalo

100(1 − α)%

^{deonançapara}

θ

^,onde

α

^{éoníveldesigniânia. Nestetrabalhoutilizamos}

B = 1000

^{. Intervalos}

de onançaperentis bootstrap

100(1 − α)%

^{para oparâmetro}

ρ

^{do modelo ZIG}

podemserobtidosdemaneiraanáloga.

Quandoareamostra forobtida de um modelo probabilístio,utilizando omo

parâmetrosdeste modelo as estimativasdos mesmos aluladas atravésda amos-

tra original, temos o bootstrap paramétrio. Agora, se a reamostra for feita om

reposição diretamentedaamostraoriginal,temos obootstrap nãoparamétrio. No

bootstrap paramétrio é feita suposição sobre a distribuição dos dados que gerou

a amostra original, isto é, neessita supor ou onheer a distribuição que gerou

a amostra original. No aso do bootstrap não paramétrio não preisa supor ou

onheer essa distribuição. Em ambosos asos, é neessário que a amostra seja

representativadapopulação. Maioresdetalhessobre essaténiapodem servistos

em[3℄.

Para ompararmosos proedimentos de onstrução de intervalosde onança

paraosparâmetrosdeumadistribuição,éusualoálulodasprobabilidadesdeo-

berturaedasamplitudesmédiasdessesintervalos[10℄. Aprobabilidadedeobertura

édeterminadarepetindooproedimentodeonstruçãodointervalodeonançaD

vezes,nasquaisveriamosem adaumaseoverdadeirovalordoparâmetroper-

teneounãoaointervalodeonançaobtido. Assim,aprobabilidadedeobertura

paraumintervalodeonançapodeseraluladapor

1 − P D

j=1 ψ(vp / ∈ IC j )

D

^(2.7)

onde

ψ(.)

^{éuma funçãoindiadoraquevale umse}

vp / ∈ IC j

^{ezeroasoontrário,}

vp

^{é o verdadeiro valor do parâmetro e}

IC j

^{é o j-ésimo intervalo de onança}

onstruído. Nestetrabalhoutilizamos

D = 1000

^.

Aamplitudedeumintervalodeonançaéoutroritériopara omparaçãode

intervalos deonança. Comamesmaprobabilidade deobertura,proedimentos

de intervalos deonança quepossuemmenores amplitudes são onsideradosme-

lhores[6℄. Proedimentos deintervalosde onançaonservativostendematerem

maioresamplitudesdoqueosproedimentosnãoonservativos.

3. Resultados e Disussões

A metodologia adotadaneste trabalho é apliada aum onjunto dedados de ta-

manho50geradonosoftwareRatravésdomodeloZIGomosparâmetrosxados

em

θ = 0, 15

^e

ρ = 0, 4

^{. Otamanho da amostrafoi denido de forma aser su-}

iente pararepresentarbemoexessodezerosepequenoobastantepara evitara

normalidadeassintótia dasestimativas. Nesteexemploestamosonsiderandoque

essesdadossãoreferentesatolerâniadeumequipamentoeletrnioaonúmerode

impatos termo-elétrios onde, pelas araterístiasde fabriação,sabemos que o

primeiro impato éo maisfatal para oequipamento, isto é, ahane de falhano

20, 0,2,0,0,2,0,0,0,1,0,0,2,0,0,0,0,0,17, 4,0,0,0,0,4,0,11,0,0,0,0,

0,2,0,15,0,0,14,5,0,0,0,11,0,5,19e9.

AFigura1apresentaasurvasdesobrevivêniadosmodelosZIGeGeométrio

juntamente om a urva de Kaplan-Meier, observa-se que o modelo Geométrio

ominação dezerosse ajustamelhor aesse onjunto dedadosdo queomodelo

Geométriosimples, oqueera esperado devidoaoexesso de zerosontidonesses

dados.

0 5 10 15 20

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

Impactos

Função de Sobre viv ência

Figura1: Curvasde sobrevivêniadosmodelosZIG (ontínua),Geométrio(pon-

tilhada) edeKaplan-Meier(esada).

Asestimativasdemáximaverossimilhançaparaosparâmetros

θ

^e

ρ

^domodelo

ZIG, aluladasatravésdamaximizaçãode (2.2)utilizando afunçãonlm dosoft-

wareR, sãorespetivamente

θ ˆ = 0, 1189

^e

ρ ˆ = 0, 3859

^{. Osintervalosde onança}

paraosparâmetrosdomodeloZIGonstruídosutilizandoateoriaassintótiausual

(2.4)e(2.5),eaténiabootstrap(2.6)estãoondensadosnaTabela1,quetambém

apresentaasvariâniaseosvíiosdosestimadoresobtidospelosmétodosdesritos

neste trabalho. ObservandoaTabela1perebemosque osintervalosde onança

estão próximos, sendoque ointervalovia téniabootstrap não paramétria apre-

sentaumamenoramplitudeevariâniaem relaçãoaobootstrapparamétrio. Este

fato tambémoorreentre os víiosdosestimadores, ondenovamente osintervalos

nãoparamétriosapresentam-semenores.

AFigura2apresentaoshistogramaseosqq-plotsdasdistribuiçõesempíriasdos

EMV obtidosviabootstrap paramétrioe nãoparamétrio,ondeháumindiativo

de nãonormalidadedosEMV, empartiular paraosestimadoresde

θ

^{, sugerindo,}

nesteaso,queateoriausualdeverossimilhança(2.3)podenãopropiiarresultados

Tabela 1: IntervalosdeonançaparaosparâmetrosdomodeloZIG.

IntervalodeConança Parâmetro IC(95%) Variânia Víio

Assintótio

[0, 0658 ; 0, 1719] 0, 0007 −

BootstrapParamétrio

θ [0, 0785 ; 0, 1964] 0, 0010 0, 0592

BootstrapNão Param.

[0, 0876 ; 0, 1842] 0, 0007 0, 0468

Assintótio

[0, 2351 ; 0, 5367] 0, 0059 −

BootstrapParamétrio

ρ [0, 2460 ; 0, 5408] 0, 0060 0, 0049

BootstrapNão Param.

[0, 2578 ; 0, 5410] 0, 0055 0, 0060

OsresultadosdaTabela2mostramqueasprobabilidadesdeoberturaestima-

das dosproedimentos de intervalo de onançaaluladasatravésde (2.7) estão

próximasdaprobabilidadedeoberturanominalxadaem0,95,exetoparaopa-

râmetro

θ

^{dointervalo bootstrapnão paramétrio (0,895) e, queos}proedimentos deonstrução dosintervalosdeonançasãonão onservativos,poisasprobabili-

dadesdeoberturaestimadasestãoabaixodaprobabilidadedeoberturanominal

(0,95). Comrelaçãoàsamplitudesmédias,aTabela2apresentaamplitudesmédias

próximasentreosproedimentosdeintervalodeonança.

Tabela 2: Probabilidade de obertura e amplitude média para os parâmetrosdo

modeloZIG.

IntervalodeConança ProbabilidadedeCobertura Amplitude Média

Parâmetros

θ ρ θ ρ

Assintótio

0, 944 0, 945 0, 139 0, 316

BootstrapParamétrio

0, 937 0, 945 0, 156 0, 318

BootstrapNão Paramétrio

0, 895 0, 942 0, 148 0, 317

4. Conlusões

PodemosutilizaromodeloGeométrioominaçãodezerosemdadosdesobrevi-

vêniaeonabilidade,noentanto,épreisoteruidadonaonstruçãodeintervalos

deonançaparaosparâmetrosdesse modelo,uma vezqueosproedimentosusu-

aispodem nãoserválidos,empartiular paraamostraspequenas. Nesteontexto,

a ténia de reamostragem bootstrap paramétria e/ou não paramétria utilizada

apresenta-se omo um proedimento alternativo de estimação intervalar para os

parâmetrosdestemodelo,possibilitandoaobtençãodeintervalosdeonançaade-

quados. Para o onjunto de dados simulados, destaamos o intervalo bootstrap

paramétrio,queapresentouumaprobabilidade deoberturapróxima danominal

emaiordoqueobootstrapnãoparamétrio,alémdeumaamplitudemédiapróxima

Bootstrap Paramétrico

Theta

Frequência

0.05 0.15 0.25

0 50 100 150 200 250

−3 −1 1 2 3

0.10 0.15 0.20 0.25 0.30

Bootstrap Paramétrico

Quantis Teóricos

Quantis Amostr ais

Bootstrap Paramétrico

Rho

Frequência

0.1 0.3 0.5 0.7

0 50 100 150 200 250

−3 −1 1 2 3

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

Bootstrap Paramétrico

Quantis Teóricos

Quantis Amostr ais

Bootstrap Não Paramétrico

Theta

Frequência

0.10 0.20

0 100 200 300

−3 −1 1 2 3

0.10 0.15 0.20 0.25

Bootstrap Não Paramétrico

Quantis Teóricos

Quantis Amostr ais

Bootstrap Não Paramétrico

Rho

Frequência

0.1 0.3 0.5

0 50 100 150 200

−3 −1 1 2 3

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

Bootstrap Não Paramétrico

Quantis Teóricos

Quantis Amostr ais

Figura 2: QQ-plotsehistogramasdasdistribuiçõesempíriasdosestimadoresdos

parâmetrosdomodeloZIGviabootstrapparamétrioenãoparamétrio.

Abstrat. We propose inthis paperthe use of zero-inated Geometri model,

whihisageneralization oftheGeometri model,intheanalysisofreliability and

survivaldata.Theuseofthismodelisneessaryespeiallywhenthedatapresents

anexessivenumberofzeros. Maximumlikelihood estimates ofparameters were

obtained,evenastheirondeneintervalsbasedonasymptotitheory.Inaddition,

weusethebootstrapresamplingtehniqueasanappropriatealternativeproedure

toonstrutondeneintervalsofparametersofzero-inatedGeometrimodel.

Keywords. Intervalarestimation,overageprobability,bootstrappingtehnique.

Referênias

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