609 11.5 A F´ormula de Baker, Campbell e Hausdorff

(1)

Cap´ıtulo 11

T´opicos de ´Algebra Linear. II

Conte´udo

11.1 Uma Topologia M´etrica emMat (C, n) . . . 585

11.2 Exponenciais, Logaritmos e Fun¸c˜oes Anal´ıticas de Matrizes . . . 588

11.2.1 Exponencial de Matrizes Como Limite de Potˆencias . . . 595

11.2.2 A Exponencia¸c˜ao de Matrizes e os Grupos GL(C, n) e GL(R, n) . . . 598

11.3 A F´ormula de Lie-Trotter e a F´ormula do Comutador . . . 601

11.4 Aplica¸c˜oes Lineares emMat (C, n) . . . 604

11.4.1 Alguns Fatos Gerais sobre Aplica¸c˜oes Lineares em Mat (C, n) . . . 604

11.4.2 Alguns Exemplos Espec´ıficos de Aplica¸c˜oes Lineares em Mat (C, n) . . . 609

11.5 A F´ormula de Baker, Campbell e Hausdorff . . . 614

11.6 A F´ormula de Duhamel e Algumas de suas Consequˆencias . . . 619

11.7 Continuidade do Determinante . . . 623

11.8 Exerc´ıcios Adicionais . . . 625

Opresente cap´ıtulo diferencia-se do anterior por explorar aspectos mais topológicos de álgebras de matrizes. Portanto, uma certa familiaridade com as no¸cões básicas de espa¸cos métricos (vide Cap´ıtulo 24, página 1245) é útil. Discutiremos a defini¸cão de fun¸cões anal´ıticas de matrizes, em particular, a exponencial e o logaritmo. Nosso principal objetivo, porém, é provar as seguintes rela¸cões: para matrizesA, B∈Mat (C, n), valem: •Fórmula de Lie-Trotter¹: exp (A+B) = lim m→∞ exp 1 mA exp 1 mB m . (11.1) •Fórmula do comutador: exp [A, B] = lim m→∞ exp 1 mA exp 1 mB exp −1 mA exp −1 mB m² . (11.2) •Série de Lie: exp(B)Aexp(−B) = A+ X∞ m=1 1 m! hB, B, . . . ,[B | {z } mvezes , A]· · ·i

. (11.3)

•Fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff²(sobre a convergência, vide comentário adiante):

exp(A) exp(B) = exp

A+B+1

2[A, B] + 1 12

A,[A, B]

+ 1 12

B,[B, A]

+· · ·

. (11.4)

•F´ormula de Duhamel³:

exp(A+B) = exp(A) + Z1

0

exp (1−s)(A+B)

BexpsA

ds , (11.5)

da qual se obtem as´erie de Duhamel:

e^t(A+B) = e^tA

"

1+ Zt

0

e⁻^t¹^ABe^t¹^Adt1+ X∞

m=2

Zt 0

Zt1 0· · ·

Ztm−1 0

Ym

k=1

e⁻^t^k^ABe^t^k^A dtm· · ·dt1

#

. (11.6)

1Marius Sophus Lie (1842–1899). Hale Freeman Trotter (1931–).

2Henry Frederick Baker (1866–1956). John Edward Campbell (1862–1924). Felix Hausdorff (1868–1942).

3Jean Marie Constant Duhamel (1797–1872).

584

Uma outra rela¸cão útil que obteremos é a chamadaFórmula de Duhamel para derivadas de exponenciais: seA(λ) for uma fam´ılia de matrizes em Mat (C, n) que depende cont´ınua e diferenciavelmente de um parâmetroλ, então vale

d dλ

e^A(λ)

= Z1

0

e⁽¹⁻^s)A(λ) d

dλA(λ)

e^sA(λ)ds . (11.7)

A série dentro da exponencial no lado direito de (11.4) é um tanto complexa, mas envolve apenas comutadores múltiplos de ordem cada vez maior deAeB. A expressão completa encontra-se em (11.68), página 614. Ao contrário das fórmulas que lhe precedem e sucedem, a fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff não é válida para quaisquer matrizes AeBpois, no caso geral, a convergência da série do lado direito só pode ser estabelecida para matrizes suficientemente

“pequenas”, a saber, tais quekAk^CekBk^Csejam ambas menores que¹₂ln 2−^√2²

≈0,12844. . .(a defini¸cão da norma operatorialk · k^Cde matrizes será apresentada adiante). Claro é que, nos casos felizes em que os comutadores múltiplos das matrizesAeBse anulam a partir de uma certa ordem, a série do lado direito será finita e, portanto, convergente.

Comentamos ao leitor mais avan¸cado que as expressões acima (e, mutatis mutandis, suas demonstra¸cões abaixo) valem não apenas para álgebras de matrizes, mas também no contexto mais geral de álgebras-∗de Banach com unidade.

As fórmulas acima são empregadas em várias áreas da F´ısica (como na Mecânica Quântica, na Mecânica Estat´ıstica e na Teoria Quântica de Campos) e da Matemática (como na Teoria de Grupos). Faremos uso delas, por exemplo, nos Cap´ıtulos 21 e 22. Suas provas serão apresentadas, pela ordem, na Proposi¸cão 11.13, página 601, na Proposi¸cão 11.15, página 610, no Teorema 11.1 da Se¸cão 11.5, página 614 e na Se¸cão 11.6, página 619. A única demonstra¸cão que se pode classificar como complexa é a da fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff, as demais são simples. No correr das páginas seguintes outras identidades úteis, não listadas acima, serão obtidas.

11.1 Uma Topologia M´etrica em Mat (C, n)

Discutiremos nesta se¸cão uma topologia métrica natural em Mat (C, n) a qual usaremos na Se¸cão 11.2 para definir certas fun¸cões anal´ıticas de matrizes, tais como a exponencial e o logaritmo.

Recordando, Mat (C, n) é o conjunto de todas as matrizes complexasn×ne GL(C, n)⊂Mat (C, n) é o conjunto de todas as matrizes complexasn×ninvers´ıveis. Como já observamos, GL(C, n) é um grupo.

•Normas de matrizes. A norma operatorial

SejaV um espa¸co vetorial de dimens˜ao finita, comoCⁿ ouRⁿ, dotado de uma normak · k^V. ParaCⁿ ∋u= (u1, . . . , un), por exemplo, podemos adotarkuk^Cⁿ :=p

|u1|²+· · ·+|un|². Vamos denotar porL(V) o conjunto de todas as aplica¸cões lineares deV emV. É bem sabido queL(V) é igualmente um espa¸co vetorial. Por exemplo, L(Cⁿ) = Mat (C, n) eL(Rⁿ) = Mat (R, n).

Com uso da norma deV ´e poss´ıvel definir uma norma tamb´em emL(V). ParaA∈L(V) define-se kAkL(V) := sup

u∈V u6=0

kAukV

kukV

.

E. 11.1Exerc´ıcio. Mostre quek · kL(V)assim definida ´e, de fato, uma norma no espa¸co vetorialL(V). 6

Observa¸c˜oes. Note que

kAkL(V)= sup

u∈V kukV=1

kAukV.

ParaA∈L(V), a normakAkL(V)definida acima é denominadanorma operatorialinduzida pela normak · kV. Como comentaremos abaixo, há outras normas emL(Cn) eL(Rn) que não a norma operatorial, mas que são equivalentes àquela. É uma consequência imediata da defini¸cão de norma operatorial que

kAukV ≤ kAkL(V)kukV, (11.8)

para todo vetoru∈V. ♣

A norma operatorial tem a seguinte propriedade importante: paraA, B∈L(V) quaisquer, tem-se kABkL(V) ≤ kAkL(V)kBkL(V).

(2)

Essa propriedade ´e denominadasubmultiplicatividadeda normak · kL(V). Nem toda norma em Mat (C, n) possui essa propriedade.

E. 11.2Exerc´ıcio importante. Mostre isso. Sugest˜ao: use (11.8). 6

Observa¸c˜ao. Em Mat (C, n) ´e poss´ıvel provar quekA^∗kMat(C, n)=kAkMat(C, n)e quekAk²_Mat_{(C, n)}=kA^∗AkMat(C, n)(propriedade

C^∗). Vide Teorema 39.11, p´agina 2045. ♣

E importante comentar que o procedimento de constru¸c˜´ ao de normas emL(V) pode ser repetido. ComoL(V) é igualmente um espa¸co vetorial normado e de dimensão finita, podemos definir uma norma emL(L(V)) (o conjunto de todas as aplica¸cões lineares deL(V) emL(V)) definindo paraA∈L(L(V))

kAkL(L(V)) := sup

A∈L(V) A6=0

kAAkL(V)

kAkL(V)

.

E assim por diante para todos os espa¸cos de aplica¸c˜oesL(L(· · ·L(V))· · ·).

Vamos a um exemplo. TomemosV =Cⁿ,L(V) = Mat (C, n). Seja uma matrizX∈Mat (C, n) fixa. Com ela poderemos definir um elemento denotado porad[X] deL(Mat (C, n)) por

ad[X]A:= [X, A] = XA−AX, A∈Mat (C, n).

E evidente que´ ad[X] ´e uma aplica¸c˜ao linear de Mat (C, n) em Mat (C, n), ou seja, um elemento deL(Mat (C, n)).

Note-se que

kad[X]kL(Mat (C, n)) = sup

A∈L(V) A6=0

kXA−AXkMat (C, n)

kAkMat (C, n) ≤ sup

A∈L(V) A6=0

kXAkMat (C, n)+kAXkMat (C, n)

kAkMat (C, n) ≤ 2kXkMat (C, n). Daqui para a frente denotaremos a norma operatorial de matrizes emCⁿpork·k^Cou simplesmente pork·k. Al´em da norma operatorial, h´a outras normas que podem ser definidas emL(Cⁿ). ParaA∈Mat (C, n) podemos, por exemplo, definir as seguintes normas:

kAk∞ := max

a, b= 1, ..., n|Aab|, (11.9)

kAk1 :=

Xn

a=1

Xn

b=1

|Aab|, (11.10)

kAk2 :=

Xn

a=1

Xn

b=1

|Aab|²

!1/2

, (11.11)

kAkp :=

Xn

a=1

Xn

b=1

|Aab|^p

!1/p

, comp≥1. (11.12)

A express˜ao (11.12) generaliza (11.10) e (11.11). A normakAk2´e por vezes denominada anorma de Frobenius⁴da matriz A.

E. 11.3Exerc´ıcio. Mostre que (11.9)-(11.12) de fato definem normas emMat (C, n). (Note que (11.10)-(11.11) s˜ao casos particulares de (11.12)). Use a desigualdade de Minkowski (p´agina 1280) para (11.12). 6

E. 11.4Exerc´ıcio. A norma de Frobenius (11.11) tem uma interpreta¸c˜ao interessante. Mostre que,

hA, Bi= Tr(A^∗B) =

n

X

a=1 n

X

b=1

AabBab, (11.13)

4Ferdinand Georg Frobenius (1849–1917).

A, B∈Mat (C, n), define um produto escalar emMat (C, n). Mostre que (11.11) ´e a norma associada a esse produto escalar, ou seja,kAk2=p

hA, Ai=p

Tr(A^∗A). 6

Observa¸cão. E importante lembrar o Teorema 3.2, p´^´ agina 235, que afirma que em espa¸cos vetoriais de dimensão finita todas as normas são equivalentes. Assim, em Mat (C, n) a norma operatorialkAkCe as normaskAk∞ekAkpcomp≥1 são todas equivalentes. Note-se, porém, que a propriedade de submultiplicatividadekABkC≤ kAkCkBkCda norma operatorial não é necessariamente compartilhada por outras normas. Devido à equivalência de todas as normas matriciais, tem-se em geralkABk ≤ckAk kBkpara alguma constantec >0. ♣

E. 11.5Exerc´ıcio. SejaD∈Mat (C, n)uma matriz diagonal: D= diag (d1, . . . , dn)comdk∈C. Mostre quekDkC= max{|d1|, . . . ,|dn|}, ou seja, para matrizes diagonaiskDkC=kDk∞. 6

•Equivalˆencia entre normas matriciais

Aqui denotaremos a norma operatorial de uma matrizAporkAk.

Sejamei,i= 1, . . . , nos vetores da base canônica deCⁿ, ou seja, os vetores cujaj-ésima componente é (ei)j=δij. SeA∈Mat (C, n), é claro que ai-ésima componente do vetorAejé (Aej)i=Aij. Da´ı,

kAejk²C

kejk²C

= Xn

i=1

|Aij|².

Logo, para todoj,

kAk² := sup

v∈Cn v6=0

kAvk²C

kvk²^C ≥ max

j=1, ..., n

kAejk²C

ke^jk²^C = max

j=1, ..., n

(n

X

i=1

|Aij|² )

. (11.14)

Tem-se tamb´em o seguinte. Para qualquer vetorv ∈Cⁿ, vale (Av)i =Pn

j=1Aijvj. Assim, pela desigualdade de Cauchy-Schwarz (3.17), p´agina 232,

|(Av)i|² ≤



 Xn

j=1

|Aij|²



 Xn

k=1

|vk|²

!

=



 Xn

j=1

|Aij|²



kvk²C.

Da´ı,

kAvk²^C = Xn

i=1

|(Av)ⁱ|² ≤



 Xn

i=1

Xn

j=1

|A^ij|²



kvk²^C. Logo,

kAk² := sup

v∈Cn v6=0

kAvk²^C kvk²C

≤ Xn

i=1

Xn

j=1

|Aij|². (11.15)

Como Xn

i=1

|Aij|²≥ max

i=1, ..., n

|Aij|² , segue de (11.14) que

kAk² ≥ max

j=1, ..., n max

i=1, ..., n|Aij|². Logo, para todoi, jvale|Aij| ≤ kAk, ou seja,

kAk∞ ≤ kAk. De (11.15) vemos tamb´em que

kAk² ≤ Xn

i=1

Xn

j=1

|Aij|² ≤ Xn

i=1

Xn

j=1

kAk²_∞ = n²kAk²_∞. Conclu´ımos assim que em Mat (C, n)

kAk∞ ≤ kAk ≤ nkAk∞. (11.16)

(3)

A expressão (11.16) mostra-nos que caso tenhamos uma sequência de matrizesAmcomkAmk →0 quandom→ ∞, então cada elemento de matriz (Am)ijtambém converge a zero quandom→ ∞. E vice-versa: Se (Am)ij→0 para todos ijquandom→ ∞, entãokAmk →0 quandom→ ∞.

Nota.Antes de prosseguirmos, comentemos também que as duas desigualdades (11.16) são optimais, ou seja, não podem ser melhoradas para matrizes genéricas. Por exemplo, é evidente quek1k∞= 1 e quek1k= 1. Assim, pelo menos nesse caso tem-se a igualdade na primeira desigualdade de (11.16). Há também um caso em que se tem a igualdade na segunda desigualdade de (11.16). Considere-se a matrizMcujos elementos de matriz são todos iguais a 1, ou seja,Mij= 1 para todosi, j. Seja o vetorudeCⁿcujas componentes são todas iguais a 1, ou seja,ui= 1 para todoi. É elementar ver queM u=nu. LogokM ukC

kukC

=n. Portanto,kMk ≥nekMk∞= 1. Assim,kMk ≥nkMk∞e, da

segunda desigualdade de (11.16), conclu´ımos que, nesse caso,kMk=nkMk∞. ♣

A desigualdade (11.15) significa quekAk ≤ kAk2. Ao mesmo tempo, a desigualdade (11.14) mostra que nkAk² =

Xn

j=1

kAk² ≥ Xn

j=1

Xn

i=1

|Aij|² = kAk²2. Logo, conclu´ımos que em Mat (C, n)

√1

nkAk2 ≤ kAk ≤ kAk2. (11.17)

E. 11.6Exerc´ıcio. Mostre que emMat (C, n) 1

n²kAk1 ≤ kAk ≤nkAk1. (11.18)

Sugest˜ao:Mostre primeiro quekAk∞≤

n

X

i, j=1

|Aij| ≤n²kAk∞ou seja

kAk∞ ≤ kAk1 ≤n²kAk∞. (11.19)

e, ent˜ao, use (11.16). 6

E. 11.7Exerc´ıcio. Mostre que as desigualdades (11.19) tamb´em n˜ao podem ser melhoradas. 6

Nota. As expressões (11.16), (11.17), (11.18) e (11.19) mostram-nos de modo expl´ıcito que em Mat (C, n) as normask · k,k · k∞,k · k1e k · k2são equivalentes (vide defini¸cão à página 235). Como já mencionamos, em espa¸cos de dimensão finita todas as normas matriciais são

equivalentes (Teorema 3.2, p´agina 235). ♣

*

A importância de se introduzir uma norma emL(V) é que podemos dessa forma introduzir uma no¸cão de distância entre elementos desse conjunto, ou seja, podemos definir uma métrica emL(V) pord(A, B) =kA−Bk. Deixamos para o leitor a tarefa de demonstrar que isso de fato define uma métrica emL(V). Com isso, fazemos deL(V) um espa¸co dotado de uma topologia métrica. Fora isso, o importante Teorema 39.2 demonstrado à página 2025 afirma queL(V) será um espa¸co métrico completo seV o for. Logo, comoCⁿeRⁿsão sabidamente espa¸cos vetoriais completos, assim o serão Mat (C, n), Mat (R, n), assim comoL(Mat (C, n)) etc. É poss´ıvel dessa forma falar de convergência de sequências e séries de matrizes de Mat (C, n), Mat (R, n), assim como de elementos deL(Mat (C, n)) etc. Abaixo faremos uso repetido desse fato fundamental.

11.2 Exponenciais, Logaritmos e Fun¸c˜oes Anal´ıticas de Ma- trizes

No estudo da teoria de grupos e em outras áreas é muito conveniente definir certas fun¸cões de operadores lineares, tais como exponenciais, logaritmos etc. Já abordamos a defini¸cão da exponencia¸cão de matrizes nos cap´ıtulos 10 e 14. Vamos aqui tentar uma abordagem mais geral.

•S´eries de potˆencias de matrizes

SejaA∈Mat (C, n) uma matrizn×ncomplexa e seja{am m∈N}uma sequência de números complexos. A expressão

X∞

m=0

amA^m = lim

N→∞

XN

m=0

amA^m = a01+a1A+a2A²+a3A³+· · ·

é dita ser uma série de potências convergente, caso o limite acima exista em Mat (C, n).

Nota.Adotaremos sempre a conven¸c˜ao queA⁰=1. ♣

A seguinte proposi¸c˜ao ´e fundamental:

Proposi¸cão 11.1A séria de potências X∞

m=0

amA^m´e convergente se X∞

m=0

|am| kAk^mC<∞. 2

A importˆancia dessa proposi¸c˜ao reside no fato queP∞

m=0|am|kAk^mCé uma série numérica e, portanto, mais simples de lidar.

Prova.Sejam as somas parciaisSN:=

XN

m=0

amA^m.Teremos paraM < N,

kSN−SMk^C =

XN

m=M+1

amA^m C

≤ XN

m=M+1

|am| kAk^m^C.

Agora, como a s´erie num´ericaP_∞

m=0|am| kAk^m^C converge,sN:=PN

m=0|am| kAk^m^C ´e uma sequˆencia de Cauchy. Logo PN

m=M+1|am| kAk^mC pode ser feito menor que qualquerǫ >0 dado, desde que escolhamosMeN grandes o suficiente.

LogoSN é também uma sequência de Cauchy no espa¸co métrico completo Mat (C, n). Portanto,SN converge em Mat (C, n) quandoN→ ∞.

•Fun¸c˜oes anal´ıticas de matrizes

A Proposi¸cão 11.1 conduz à seguinte defini¸cão. Sejar >0 eDr={z∈C| |z|< r}o disco aberto de raiorcentrado em 0 no plano complexo. Sejaf:Dr→Cuma fun¸cão anal´ıtica emDr. Como bem sabemos,f pode ser expressa em termos de uma série de potências (série de Taylor centrada emz0= 0): f(z) =P∞

m=0fmz^m, ondefm=f^(m)(0)/m!.

E bem sabido também que essa série é absolutamente convergente em´ Dr: P∞

m=0|fm| |z|^m<∞, se|z|< r. Podemos ent˜ao definir

f(A) :=

X∞

m=0

fmA^m

para toda a matrizAcomkAk^C< r, pois a proposi¸cão acima garante que a série de matrizes do lado direito converge a alguma matriz de Mat (C, n), que denotamos porf(A), fazendo uma analogia óbvia com a fun¸cão numéricaf.

A seguinte proposi¸cão sobre essas fun¸cões de matrizes será frequentemente usada no que seguirá.

Proposi¸cão 11.2 I.Sejamf egduas fun¸cões anal´ıticas no mesmo dom´ınioDr. Definamos(f+g)(z) :=f(z) +g(z) e(f g)(z) :=f(z)g(z),z∈Dr. Então, paraA∈Mat (C, n)comkAk^C< rteremosf(A) +g(A) = (f+g)(A)e f(A)g(A) =g(A)f(A) = (f g)(A).

II.Sejamfegduas fun¸cões anal´ıticas, com dom´ıniosDrfeDrg, respectivamente, e tais que a imagem degesteja contida no dom´ınio def. Podemos então definirf◦g(z) :=f(g(z)). Então, paraA∈Mat (C, n)comkAk^C< rg

teremosf(g(A)) =f◦g(A). 2

Prova.←→Exerc´ıcio.

Note-se que a parteIda proposi¸cão acima afirma que existe um homomorfismo da álgebra das fun¸cões anal´ıticas em um dom´ınioDr⊂Ce Mat (C, n).

(4)

Vamos mais adiante usar o seguinte resultado, que essencialmente afirma que as matrizesf(A) definidas acima, com fanal´ıtica em um dom´ınioDr⊂C, dependem continuamente deA.

Proposi¸cão 11.3Sejaffun¸cão complexa anal´ıtica em um dom´ınioDr⊂C, comftendo a série de Taylor absolutamente convergentef(z) =P∞

k=0fkz^k,|z|< r. Seja tambémBm,m∈N, uma sequência de matrizes deMat (C, n)tais quelimm→∞kBmk^C= 0. Então, para todoA∈Mat (C, n)comkAk^C< rtem-se

mlim→∞f(A+Bm) = f(A).

2

Prova.Comecemos com um comentário sobre o enunciado do teorema. Para quef(A+Bm) esteja definido é necessário quekA+BmkC< r. ComokA+BmkC≤ kAk^C+kBmk^CekAk^C< r, a condi¸cão é satisfeita paramgrande o suficiente, pois limm→∞kBmk^C= 0. Assim, estaremos supondo quemé grande o suficiente de modo quekBmk^C< ǫpara algum ǫtal quekAk^C+ǫ < r. Feita essa ressalva, passemos à demonstra¸cão.

A prova da proposi¸cão segue das duas observa¸cões seguintes. A primeira é que para quaisquer matrizesX, Y ∈ Mat (C, n) e qualquerkinteiro positivo tem-se a seguinte identidade algébrica, denominadasoma telescópicaouidenti- dade telescópica:

X^k−Y^k =

k−1

X

p=0

X^p(X−Y)Y^k⁻¹⁻^p. (11.20)

Para provar isso, basta expandir a soma do lado direito e mostrar, ap´os alguns cancelamentos, que obtem-se o lado esquerdo (fa¸ca!).

A segunda observa¸cão é que sefé anal´ıtica emDr, sua derivada também o é. Assim,f^′(z) =P_∞

k=0kfkz^k⁻¹converge absolutamente para|z|< r, ou seja,P∞

k=0k|fk| |z|^k⁻¹<∞sempre que|z|< r.

Assim,

f(A+Bm)−f(A) = X∞

k=0

fk

(A+Bm)^k−A^k . Usando (11.20) comX=A+BmeY =A, teremos

f(A+Bm)−f(A) = X∞

k=0

fk k−1

X

p=0

(A+Bm)^pBmA^k⁻¹⁻^p. Logo,

kf(A+Bm)−f(A)k^C ≤ kBmk^C X∞

k=0

|fk|

k−1

X

p=0

kA+Bmk^pCkAk^kC⁻¹⁻^p. Agora, como dissemos,kA+Bmk^C<kAk^C+ǫ < re, obviamente,kAk^C<kAk^C+ǫ < r. Portanto,

kf(A+Bm)−f(A)k^C ≤ kBmk^C X∞

k=0

|fk|

k−1

X

p=0

(kAk^C+ǫ)^k⁻¹ = kBmk^C X∞

k=0

k|fk|(kAk^C+ǫ)^k⁻¹.

Como comentamos acima, a soma do lado direito é finita. Como, porém, kBmk^C → 0 param → ∞, teremos limm→∞kf(A+Bm)−f(A)k^C= 0, que é o que quer´ıamos provar.

•Exponenciais e logaritmos de matrizes

Com as defini¸c˜oes apresentadas acima, podemos definir exponenciais e logaritmos de matrizes. Temos, exp(A) ≡ e^A :=

X∞

m=0

1

m!A^m (11.21)

para toda matrizA∈Mat (C, n), pois a s´erie de Taylor da fun¸c˜ao exponencial converge absolutamente em todo o plano complexo.

Analogamente, podemos definir

ln(1+A) = X∞

m=1

(−1)^m⁻¹

m A^m (11.22)

para toda matrizA∈Mat (C, n) comkAk^C<1, pois a s´erie de Taylor da fun¸c˜ao ln(1 +z) converge absolutamente em D1.

Nota.ParakA−1kC<1 podemos definir ln(A) por ln(A) := ln 1+ (A−1)

. ♣

E. 11.8Exerc´ıcio. Usando a Proposi¸c˜ao 11.2, mostre que(exp(A))^m= exp(mA)para toda matrizA∈Mat (C, n)e todom∈Z.

Mostre tamb´em que

exp ln(1+A)

=1+A para toda matrizA∈Mat (C, n)comkAkC<1e que

ln exp(B)

=B para toda matrizB∈Mat (C, n)comkexp(B)−1kC<1.

Note que

kexp(B)−1kC=

∞

X

m=1

1 m!B^m

_C

≤

∞

X

m=1

1

m!kBk^mC =e^kBk^C−1.

Assim, a condi¸c˜aokexp(B)−1kC<1´e satisfeita sekBkC<ln 2. 6

Sobre a exponencial de matrizes temos o seguinte:

Proposi¸cão 11.4Existe uma bola abertaBr(0)de raior >0centrada em0emMat (C, n)tal que a aplica¸cãoexp : Mat (C, n)→Mat (C, n)definida acima é um homeomorfismo (em verdade, um difeomorfismo) entreBr(0)e sua imagem,exp(Br(0)), a qual é uma vizinhan¸ca aberta da matriz identidade1. 2

Prova. Temos que, para todoA∈Mat (C, n), exp(A)−1=A+ϕ(A), ondeϕ(A) :=

X∞

m=2

1

m!A^m.E f´´ acil ver que

kϕ(A)k

kAk →0 parakAk →0. exp(A)−1é cont´ınua e diferenciável em uma vizinhan¸ca de 0 (em verdade, em toda parte) e sua derivada em 0 é a identidade. A afirma¸cão da Proposi¸cão 11.4 segue então do bem conhecido Teorema da Aplica¸cão Inversa (vide, por exemplo, [256]).

Junto com o ´ultimo exerc´ıcio, isso prova a seguinte proposi¸c˜ao:

Proposi¸c˜ao 11.5Para toda matrizA∈Mat (C, n)comkA−1k^C<1tem-se exp ln(A)

= A . Para toda matrizB∈Mat (C, n)comkBk^C<ln 2tem-se

ln exp(B)

= B . (11.23)

2

•Exponenciais de matrizes diagonaliz´aveis e o Teorema Espectral

SeA∈Mat (C, n) é diagonalizável, o Teorema Espectral (Teorema 10.7, página 494) e o Cálculo Funcional (Teorema 10.8, página 496) permitem obter expressões simples para a exponencial exp(A) em termos dos autovalores e dos projetores espectrais deA. De fato, sejaA=Pr

k=1αkEka decomposi¸c˜ao espectral deA, com{α1, . . . , αr}sendo seus autovalores