´Algebra Linear I

Algebra Linear I ´

Anna Regina Cˆorbo

DEMAT - CEFET/RJ

Aula Te´orica 3 - Retas no R²

Pontos Colineares

Os pontosA,P e B s˜ao colineares. Ser´a poss´ıvel deduzir a equa¸c˜ao da reta que passa por eles ?

Estudo da Reta no R

A equa¸c˜ao ´e dada por 9x+ 7y+ 13 = 0 !

Para pensar:

a) O pontoAsatisfaz a esta equa¸c˜ao da reta?

b) O pontoB satisfaz a esta equa¸c˜ao da reta?

c) Qual o ponto desta reta que intercepta o eixo das abcissas?

d) Qual o ponto desta reta que tem abscissa igual a ordenada?

Estudo da Reta no R

- Generaliza¸c˜ ao

Dados dois pontosA eB, a reta que passa por eles ser´a obtida utilizando a condi¸c˜ao de paralelismo:

Se P ∈−→

AB qualquer⇒ −→

AB//−→

AP A equa¸c˜ao geral da reta ser´a escrita na forma:

ax+by+c = 0

Vetor Normal a uma Reta

Chamamos de vetor normal a uma reta qualquer vetor que seja perpendicular a esta reta.

Dada uma retar :ax+by+c = 0, podemos afirmar que o vetor

⇒n = (a,b) ´e perpendicular a retar. Exercitando: Demostra¸c˜ao

Vetor Normal a uma Reta

Exerc´ıcio

Determine um vetor normal `a retax+ 3y−1 = 0 que tenha norma igual a 20.

Retas Paralelas

Se r//s ent˜ao−→nr//−→ns

Retas Perpendiculares

Se r ⊥s ent˜ao−→n_r ⊥ −→n_s portanto <−→n_r,−→n_s >= 0

Distˆ ancia de um ponto a uma reta

Distˆ ancia de um ponto a uma reta

Distˆ ancia de um ponto a uma reta

Distˆ ancia de um ponto a uma reta

Distˆ ancia de um ponto a uma reta

Distˆ ancia de um ponto a uma reta

Distˆ ancia de um ponto a uma reta

Temos qued =Proj_~n−→

AP Como −→

AP = (x −x0,y −y0) e

~

n= (a,b) ent˜ao:

d =|<−→

AP,_|~^~n_n| >|

=|<(x−x₀,y−y₀),^(a,b)_|~n| >|

=

a(x−x0)+b(y−y0)

|~n|

=

ax0+by0−ax−by

|~n|

Ou seja, d =

ax0+by0+c

|√

a²+b²|

Inequa¸c˜ oes

do tipoax+by+c <0 eax+by+c>0

Representam pontos que n˜ao est˜ao na retaax +by+c = 0 e sim acima (ou abaixo) dela. Considera-se ent˜ao que a reta

ax+by+c = 0 divide o plano em dois semi-planos cada um satisfazendo um tipo de inequa¸c˜ao.

Exercitando: Qual a regi˜ao ´e descrita por 2x−y+ 4<0 ?

Equa¸c˜ ao param´ etrica da reta

Outras formas de escrever a reta noR²

Seja P(x,y) um ponto gen´erico da reta r.

Podemos afirmar que o ve- tor −→

AP ´e paralelo ao vetor diretor −→v, ou seja, −→

AP = t· −→v, ondet ´e um n´umero real.

Assim temos que (x−x0,y−y0) =t·(a,b) onde t∈R, ou seja, x =x₀+a·t

y=y₀+b·t

Equa¸c˜ ao reduzida da reta

Outras formas de escrever a reta noR²

Dada a equa¸c˜ao geral da reta

r :ax +by+c = 0, podemos escrever y em fun¸c˜ao dex por:

y =−a b −c

b

Tomandom=−^a_b eq = ^c_b temos que y = mx + q onde

m=tgθ⇒coeficiente angular

Exerc´ıcios

1 Calcule o(s) valor(es) de m para que o ponto (m,−2) diste 3 unidades da reta 3x−4y−1 = 0.

2 Escreva as equa¸c˜oes param´etricas da reta 2x−3y+ 4 = 0.

3 Escreva a equa¸c˜ao geral da reta r:

x = 2−5·t

y =−1 + 3·t