Raciocínio Lógico e matemático
PM-to
Teoria dos Conjuntos
S UMÁRIO
Teoria dos Conjuntos ...3
Apresentação do Professor ...3
Conjuntos ...5
Introdução ...5
Operações com Conjuntos ...9
1. União ou Reunião ...9
2. Intersecção ...12
3. Diferença ...14
4. Complementar de B em A ...15
Questões de Concurso ...19
Gabarito – Questões de Concurso ...23
Gabarito Comentado ...24
Autoavaliação ...42
Gabarito – Autoavaliação ...47
Comentário do Desafio ...48
TEORIA DOS CONJUNTOS
Teoria de conjuntos: definição de conjunto e subconjunto; relação de perti- nência; relação de inclusão; linguagem matemática (simbologia); representações por diagramas, representação na reta numérica, operações de união, interseção, diferença e complementar.
Apresentação do Professor
Olá, caro(a) aluno(a), tudo bem? Sou o professor e autor Josimar Padilha, e é com grande alegria que tenho o privilégio de compartilhar esse momento impor- tantíssimo com você, que pretende ingressar na Polícia Militar de Tocantins PM-TO.
Já tenho mais de 16 anos de experiência em aulas presenciais e mais de 8 anos em aulas on-line, possuo mais de 4 obras escritas, dentre elas podemos citar:
“Raciocínio Lógico Matemático – Fundamentos e Métodos Práticos, Editora Juspodi- vm- 2016”, e em especial, “Mais de 350 Questões Comentadas de Raciocínio Lógico – Cespe”, também pela editora Juspodivm.
De uma maneira clara, simples e bem objetiva iremos aprender como a banca AOCP exige o assunto indicado nesta aula, para que você obtenha êxito na prova que lhe espera.
JOSIMAR PADILHA
Professor do Gran Cursos Online. Ministra aulas presenciais, telepresenciais e online de Matemática Básica, Raciocínio Lógico, Matemática Financeira e Estatística para processos seletivos em concursos públicos estaduais e federais. Além disso, é professor de Matemática e Raciocínio Lógico em várias faculdades do Distrito Federal. É servidor público há mais de 20 anos. Autor de diversas obras e palestrante.
É notável que não temos muitas questões da banca AOCP, desta forma iremos uti- lizar questões de outras bancas que sejam semelhantes para que possamos exercitar.
O assunto deste módulo é de suma importância, pois trata de um dos principais fundamentos da matemática e do desenvolvimento do raciocínio, sendo um dos pilares para o estudo da lógica matemática.
Pensando nisso, teremos uma metodologia infalível e estrategista, pois, além de aprendermos os princípios e os fundamentos do assunto deste módulo, sabendo interpretar suas aplicações nas questões de concursos, iremos aprender os melho- res métodos de resolução, que, no decorrer desses 16 anos como professor, me dediquei para que os meus alunos alcançassem seus sonhos no serviço público nos diversos processos seletivos em todo do Brasil.
No decorrer do nosso estudo, iremos seguir um cronograma didático que tem dado muito certo, que se trata:
1) exposição do assunto – conceitos – de forma esquematizada;
2) métodos e dicas de resolução rápida;
3) esquemas estratégicos;
4) questões comentadas;
5) autoavaliação.
Nesta nossa primeira aula, iremos abordar os seguintes assuntos:
Operações com conjuntos: definição de conjunto e subconjunto; relação de pertinência; relação de inclusão; linguagem matemática (simbologia); representa- ções por diagramas, representação na reta numérica, operações de união, interse- ção, diferença e complementar.
Antes de começarmos, vamos brincar um pouco, ok? E nada melhor que o bom ânimo para respondermos um desafio. Vejamos:
Uma comunidade para lá de especial!
Em uma comunidade, todo trabalhador é responsável. Todo artista, se não for filó- sofo, ou é trabalhador ou é poeta. Ora não há filósofo e não há poeta que não seja responsável. Portanto, tem-se que, necessariamente:
a) todo responsável é artista.
b) todo responsável é filósofo ou poeta.
c) todo artista é responsável.
d) algum filósofo é poeta.
e) algum trabalhador é filósofo.
O Comentário está no final do módulo. Boa sorte!
Conjuntos
Primeiramente, é importante que saibamos que “Teoria de Conjuntos” traz uma in- terpretação concreta dos fundamentos utilizados na lógica proposicional. É importante ressaltar que é um conteúdo constante nas últimas provas de concursos públicos.
Introdução
O que é um conjunto? Pois bem, nada mais é que uma coleção de objetos ou elementos que possuem características comuns. Um conjunto fica caracterizado por uma regra quando se permite decidir se um elemento pertence ou não ao con- junto. Assim, se chamarmos por H o conjunto dos seres humanos, podemos dizer, por exemplo, que a José é um elemento de H, bem como o uma Orquídea não é elemento de H. Na linguagem de conjuntos, tais considerações serão simbolizadas (escritas) da seguinte forma:
José ∈ H (lê-se: José é um elemento do conjunto H)
Orquídea ∉ H (lê-se: Orquídea não é elemento do conjunto H)
Como em toda ciência, é importante a questão da linguagem, ou seja, sua escrita, isto para que se evite interpretações errôneas. Dessa forma, vamos ressaltar 2 (duas) relações essenciais que serão fundamentais para as futuras operações com conjuntos:
Relação de pertinência: essa primeira consiste em relacionar um elemento a um determinado conjunto. Se por acaso queremos relacionar um elemento “t” a um conjunto “T”, a relação deverá ser:
O elemento “t” pertence a T (t ∈ T) ou
O elemento t não pertence a T (t ∉ T).
É importante ressaltar que os conjuntos são representados por letra maiúsculas e os elementos por letras minúsculas.
Há vários modos para descrever um conjunto, os mais comuns nas provas de concursos públicos são:
1) A = {a; a é um algarismo arábico}, que se lê “A é o conjunto do elemento
“a” tal que “a” é um algarismo arábico.”
2) Outra maneira para definir conjunto consiste em escrever uma lista dos seus elemen- tos entre chaves. Desse modo, representaríamos o conjunto A da seguinte forma:
A = {1,2, 3,4,5,6, 7, 8, 9, 10...}
3) Um conjunto poderá ser representado por diagramas (o mais utilizado nas resoluções de questões) da seguinte forma:
Para dar a descrição completa de um conjunto, nem sempre é preciso incluir todos os elementos na lista. Por exemplo, o conjunto dos algarismos poderia ser indicado da seguinte forma:
A = {0, 1, 2, 3,..., 8}
Nem sempre é possível descrever um conjunto relacionando todos os seus ele- mentos, como é o caso do conjunto A formado pelos números naturais. Entretanto, A pode ser descrito por uma lista parcial, ou seja,
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6,...}
Relação de inclusão: relação existente entre conjunto e subconjunto ou sub- conjunto e conjunto. Caso se queira relacionar um subconjunto A a um conjunto B, a relação deverá ser:
A ⊃ B (A contém B) e B ⊂ A (B está contido em A)
Exemplo: no diagrama a seguir temos que A contém o conjunto B. Logo, A é um conjunto e B é um subconjunto.
Número de Subconjuntos
Exemplo de número de subconjuntos de um conjunto:
A = {a, b} = {a}, {b}, {a, b}, ∅; temos neste caso 4 subconjuntos de um con- junto A com 2 elementos.
O Conjunto vazio é aquele que não possui nenhum elemento e está contido em qualquer conjunto.
Representação: ∅ ou {}, nunca { ∅}.
Agora vejamos se o conjunto possui 3(três) elementos:
C= {a, b, c} = {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}, {} = 23 = 8 subconjuntos.
Vejamos uma aplicação!!!
Exemplo:
Um mestre de cozinha dispõe de 6(seis) frutas para preparar uma salada de frutas, saben- do que uma salada deve conter pelo menos duas frutas, quantas podem ser preparadas?
COMENTÁRIO
É uma questão que poderia ser respondida por análise combinatória, em que iria- mos calcular as combinações de com pelo menos duas frutas.
Uma maneira mais prática e rápida é se calcularmos o número de subconjuntos, ou seja:
2n = 26 = 64 subconjuntos, em que cada elemento é representado por uma fruta.
Temos na composição dos subconjuntos, subconjuntos com 1, 2, 3, 4, 5, 6 e nenhum elemento. Sendo assim, temos saladas com 1, 2, 3, 4, 5,6 e nenhuma fruta, logo temos que subtrair aquilo que não é salada, ou seja, os subconjuntos unitários e o subconjunto vazio, uma vez que para ser salada deve conter no mínimo duas frutas, ou seja 64 – 7.
Resposta: 57 saladas.
Agora que já sabemos um pouco da linguagem com as relações de pertinência, inclusão e número de subconjuntos que são importantíssimos para a matemática e para o estudo da lógica, podemos iniciar a operações com conjuntos que proporcio- naram uma interpretação concreta do desenvolvimento do raciocínio.
Operações com Conjuntos 1. União ou Reunião
DICA!
Identificaremos uma união entre dois conjuntos quando tivermos o termo: “OU”
Consideremos os dois conjuntos:
A = {1,2,3,4,5} e B = {4,5,6,7,8}
Podemos pensar em um novo conjunto C, constituído por aqueles elementos que pertencem a A ou que pertencem a B. No exemplo em questão, esse novo conjunto é:
C = {1,2,3,4,5,6,7,8}
O conjunto C foi formado a partir dos conjuntos A e B, em que os elementos repetidos (os que estão em A e em B) foram escritos apenas uma vez, e dizemos que se trata da reunião (ou união) do conjunto A com o conjunto B. A reunião (ou união) de A e de B (ou de A com B) é usualmente representada por A ∪ B. Com esta notação tem-se:
C: A ∪ B = {1,2,3,4,5,6,7,8}
Podemos, desta forma, expressar o seguinte conceito: dados dois con- juntos quaisquer, A e B, chama-se união ou reunião de A e B o conjunto formado pelos elementos que pertencem a pelo menos um desses conjuntos (podendo, evi- dentemente, pertencer aos dois), isto é, o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A ou a B. Em muitas provas de concursos, os conceitos são expressos em símbolos, logo é importante interpretá-los.
A ∪ B = {X ∈ U | X ∈ A ou X ∈ B}
A definição acima nos diz que se um elemento x pertencer a A ∪ B, é equivalen- te dizer que uma das proposições “x pertence A” ou “x pertence a B” é verdadeira.
Desse fato, decorre que:
A ⊂ A ∪ B (o conjunto A está contido na união de A com B) e
B ⊂ A ∪ B ( o conjunto B está contido na união de A com B)
Exemplos:
{x; y} ∪ {z; w} = {x; y; z; w}
{n, e, w, t, o, n} ∪ {h, o, r, t, a} = {a, e, h, n, o, r, t, w}
Vejamos uma questão comentada com a operação de União:
1. (CESPE) Com relação às operações com conjuntos, julgue o item abaixo.
Considere que os candidatos ao cargo de programador tenham as seguintes espe- cialidades: 27 são especialistas no sistema operacional Linux, 32 são especialistas no sistema operacional Windows e 11 desses candidatos são especialistas nos dois sistemas. Nessa situação, é correto inferir que o número total de candidatos ao cargo de programador é inferior a 50.
Certo.
É importante observar que inferir sobre o número total de candidatos, significa dizer: os candidatos que são especialistas no sistema operacional Linux ou os can- didatos que são especialistas no sistema operacional Windows.
Temos, neste caso, uma operação de união, porém percebemos que existem es- pecialistas nos dois sistemas operacionais. Sendo assim, vem uma excelente dica para você, que é a seguinte: se há elementos em comum, construímos diagramas com interseção, vejamos abaixo:
2. Intersecção
Identificaremos uma intersecção entre dois conjuntos quando tivermos os termos
“e”, “simultaneamente” e “ao mesmo tempo”.
Seja A o conjunto dos eleitores que votaram em Josimar para Presidente e B o conjunto dos eleitores que votaram em Enny Giuliana para Governadora do DF, no primeiro turno das eleições de 2018. É certo supor que houve eleitores que vota- ram simultaneamente nos dois candidatos no primeiro turno. Assim, somos levados a definir um novo conjunto, cujos elementos são aqueles que pertencem ao con- junto A e ao conjunto B. Esse novo conjunto nos leva à seguinte definição geral:
Conceito: sejam A e B dois conjuntos quaisquer, chamaremos intersecção de A e de B (ou de A com B) a um novo conjunto, assim definido:
A ∩ B = {X ∈ U| X ∈ A e X ∈ B}
Exemplos:
{1, 2} ∩ {3, 4} = Ø
{n, e, w, t, o, n} ∩ {h, o, r, t, a} = {o, t}
Da definição de intersecção resulta que:
(∀X ∈ U) X ∈ A ∩ B ⇒ X ∈ A (∀X ∈ U) X ∈ A ∩ B ⇒ X ∈ B
Os fatos nos dizem que A intersecção B é um subconjunto de A e de B, ou seja:
A ∩ B ⊂ A A ∩ B ⊂ B
Propriedades da Intersecção
Sejam A, B e C três conjuntos quaisquer. Então são verdadeiras as seguintes propriedades:
1) Idempotência: A ∩ A = A 2) Comutativa: A ∩ B = B ∩ A
3) Elemento neutro: o conjunto universo U é o elemento neutro da intersecção de conjuntos: A ∩ U = A
4) Associativa: A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
Quando dois conjuntos quaisquer A e B não têm elemento comum, dizemos que A e B são conjuntos disjuntos. Em outras palavras, dois conjuntos são disjuntos quando a intersecção entre eles é igual ao conjunto vazio.
Propriedades da União e Intersecção
Sejam A, B e C três conjuntos quaisquer, então valem as seguintes propriedades que inter-relacionam a união e intersecção de conjuntos:
1) A ∪ (A ∩ B) = A 2) A ∩ (A ∪ B) = A
3) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) 4) A ∩ (B U C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
3. Diferença
Identificaremos uma diferença entre dois conjuntos quando tivermos os termos
“apenas”, “somente” e “exclusivamente”, ligados ao conjunto.
Seja A o conjunto dos eleitores que votaram em Josimar para Presidente e B o conjunto dos eleitores que votaram em Enny Giuliana para Governadora do DF, no primeiro turno das eleições de 2008. É certo pensar que teve eleitores que votaram em Josimar, mas não votaram em Enny Giuliana.
Isto nos leva ao conjunto dos elementos que pertencem a A que não são ele- mentos que pertencem a B.
Conceito: sejam A e B dois conjuntos quaisquer, chamaremos a diferença entre A e B o conjunto dos elementos de A que não pertencem a B.
A – B = {X ∈ U | X ∈ A e X ∉ B}
Exemplos:
{a, b, c} – {a, c, d, e, f} = {b}
{a, b} – {e, f, g, h, i} = {a, b}
{a, b} – {a, b, c, d, e} = Ø
Temos, a seguir, uma interpretação concreta por meio do diagrama de Euler- -Venn em que a diferença corresponde à parte branca de A.
4. Complementar de B em A
Dados os conjuntos A e B quaisquer, com B contido em A, chama-se comple- mentar de B em relação a A o conjunto A – B, e indicamos como:
Exemplos:
A = {a, b, c, d, e, f} e B = {a, b}. Complementar: A – B = {c, d, e, f}
A = B = {1}. Complementar: A – B = Ø
Verificamos que no diagrama exposto temos o conjunto B em relação a A defi- nido como: (B está contido em A).
Propriedades da Complementação
Sendo B e C subconjuntos de A, valem as propriedades a seguir:
1. CBA∩ = ∅B e CBA∪ =B A 2. CAA= ∅ e C∅A =A
3. CCABA =B
4. C(B C)A∧ =CBA∪CCA 5. C(B C)A∨ =CBA∩CCA
Intervalos
Abordaremos agora o conceito de intervalo na reta real R, ou seja, dos subcon- juntos de R que satisfazem à seguinte propriedade:
Se a e b pertencem a A ⊂ R, a ≤ b, então para todo c tal que a ≤ c ≤ b, então c pertence a A.
Podemos representar da seguinte maneira:
A = {c ∈ R | a ≤ c ≤ b}
Os intervalos podem ser classificados:
I – Características topológicas: abertos, fechados e semiabertos (fechados ou abertos à esquerda ou à direita).
II – Características métricas: comprimento nulo, finito não nulo ou infinito.
Notação
Utilizam os colchetes – “[” e “]” – para indicar que um dos limites do intervalo é parte deste intervalo e os parênteses – “(” e “)” – ou, também, os colchetes inver- tidos – “]” e “[” – para indicar o contrário.
Assim, por exemplo, dados x e y números reais, com x ≤ y, o intervalo W = (x, y] = ]x, y] representa o conjunto dos a ∈ R, tal que x < a ≤ y. Note que x não faz parte do intervalo.
Tipos de Intervalos
Dados t e z números reais, com t ≤ z, s pertencente ao intervalo e c o seu com- primento, podemos classificar os intervalos como:
a) Intervalo fechado de comprimento finito k = z – t:
[t, z] = {s ∈ R | t ≤ s ≤ z}
b) Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita de comprimento finito k = z – t:
[t, z[ = [t, z) = {s ∈ R | t ≤ s < z}
c) Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita de comprimento finito k = z – t:
(t, z] = ]t, z] = {s ∈ R | t < s ≤ z}
d) Intervalo aberto de comprimento finito k = z – t:
]t, z[ = (t, z) = {s ∈ R | t < s < z}
e) Intervalo aberto à direita de comprimento infinito:
]-∞, z[ = (-∞, z) = {s ∈ R | s < z}
f) Intervalo fechado à direita de comprimento infinito:
]-∞, z] = (-∞, z] = {s ∈ R |s ≤ z}
g) Intervalo fechado à esquerda de comprimento infinito:
[t,+ ∞) = [t, + ∞[ = {s ∈ R | t ≤ s}
h) Intervalo aberto à esquerda de comprimento infinito:
]t, + ∞[ = (t, + ∞) = {s ∈ R | s > t}
i) Intervalo aberto de comprimento infinito:
]-∞, + ∞[ = (-∞, + ∞) = R
j) Intervalo fechado de comprimento nulo:
Como o comprimento é nulo e o intervalo é fechado, então t = z e esse intervalo corresponde ao conjunto unitário {t}, isto é, a um ponto da reta real.
Representação Gráfica
Um intervalo é representado na reta real utilizando-se de uma pequena “bolinha vazia”
para indicar que um dos pontos (elemento) extremos não pertence ao intervalo e de uma
“bolinha cheia” para indicar que o ponto (elemento) extremo pertence ao intervalo.
União e Intersecção de Intervalos
Sendo intervalos conjuntos é natural que as operações mencionadas anteriormente possam ser efetuadas. E, é importante para resolução de questões de concursos públicos.
A forma mais prática de realizar essas operações é por meio da representação gráfica dos intervalos envolvidos. Vejamos um exemplo:
Sejam X = [–1, 6] = {x ∈ R | –1 ≤ x ≤ 6} e Y = (1, + ∞) = {x ∈ R | x > 1}
dois intervalos e vamos determinar X ∪ Y e X ∈ Y.
X – ∩ Y = {x ∈ R | 1 < x ≤ 6}eX ∪ Y = {x ∈ R | –1 ≤ x}
QUESTÕES DE CONCURSO
1. (ESAF) X e Y são dois conjuntos não vazios. O conjunto X possui 64 subconjun- tos. O conjunto Y, por sua vez, possui 256 subconjuntos. Sabe-se, também, que o conjunto Z = X ∩ Y possui 2 elementos. Desse modo, conclui-se que o número de elementos do conjunto P = Y – X é igual a:
a) 4.
b) 6.
c) 8.
d) vazio.
e) 1.
2. (CESPE) Para preencher vagas disponíveis, o departamento de pessoal de uma empresa aplicou um teste em 44 candidatos, solicitando, entre outras informações, que o candidato respondesse se já havia trabalhado
I – em setor de montagem eletromecânica de equipamentos;
II – em setor de conserto de tubulações urbanas;
III – em setor de ampliações e reformas de subestações de baixa e de alta tensão.
Analisados os testes, o departamento concluiu que todos os candidatos tinham experiência em pelo menos um dos setores citados acima e que tinham respondido afirmativamente
• 28 pessoas à alternativa I.
• 4 pessoas somente à alternativa I.
• 1 pessoa somente à alternativa III.
• 21 pessoas às alternativas I e II.
• 11 pessoas às alternativas II e III.
• 13 pessoas às alternativas I e III.
Com base nas informações acima, assinale a opção incorreta.
a) Apenas 10 candidatos têm experiência nos 3 setores.
b) Somente 36 candidatos têm experiência no setor de conserto de tubulações urbanas.
c) Apenas 15 candidatos têm experiência no setor de ampliações e reformas de subestações.
d) Somente 2 candidatos têm experiência apenas nos setores de montagem e de ampliações e reformas de subestações.
e) Somente 1 candidato tem experiência apenas nos setores de conserto de tubu- lações urbanas e de ampliações e reformas de subestações.
3. (CESPE/ADAPTADA) No curso de línguas Esperanto, os 180 alunos estudam Inglês, Espanhol ou Grego. Sabe-se que 60 alunos estudam espanhol e que 40 estudam so- mente Inglês e Espanhol. Com base nessa situação, julgue os itens que se seguem.
a) Se 40 alunos estudam somente Grego, então mais de 90 alunos estudam so- mente Inglês.
b) Se os alunos que estudam Grego estudam também Espanhol e nenhuma outra língua mais, então há mais alunos estudando Inglês do que Espanhol.
c) Se os 60 alunos que estudam Grego estudam também Inglês e nenhuma outra língua mais, então há mais alunos estudando somente Inglês do que Espanhol.
4. (ESAF) Foi feita uma pesquisa de opinião para determinar o nível de aprovação popular a três diferentes propostas de políticas governamentais para redução da cri- minalidade. As propostas (referidas como “A”, “B” e “C”) não eram mutuamente ex- cludentes, de modo que o entrevistado poderia declarar-se ou contra todas elas, ou a favor de apenas uma, ou a favor de apenas duas, ou a favor de todas as três. Dos en-
trevistados, 78% declararam-se favoráveis a pelo menos uma delas. Ainda do total dos entrevistados, 50% declararam-se favoráveis à proposta A, 30% à proposta B e 20% à proposta C. Sabe-se, ainda, que 5% do total dos entrevistados declararam-se favoráveis a todas as três propostas. Assim, a percentagem dos entrevistados que se declararam favoráveis a mais de uma das três propostas foi igual a:
a) 17%.
b) 5%.
c) 10%.
d) 12%.
e) 22%.
5. (FUNIVERSA) Em um grupo de 200 profissionais da área de saúde de determi- nado estado brasileiro, apenas 50 têm olhos verdes, apenas 100 são servidores públicos e apenas 83 residem na capital desse estado. Assinale a alternativa que apresenta o número máximo desses profissionais que podem, simultaneamente, ter olhos verdes, ser servidores públicos e residir na capital dos estados.
a) 16.
b) 17.
c) 33.
d) 50.
e) 83.
6. (CESPE/POLÍCIA FEDERAL/2012) Dez denúncias foram classificadas apenas como crime de tráfico de pessoas.
7. (CESPE/POLÍCIA FEDERAL/2012) Os crimes de tráfico de pessoas foram mais denunciados que os de pornografia infantil.
8. (CESPE/MDIC/2014). Em um grupo de 2.000 empresas, 1/9 das que encerra- ram as atividades este ano foram abertas em anos anteriores, 1/10 das que foram abertas em anos anteriores encerraram as atividades este ano e 200 empresas não encerraram as atividades este ano e não foram abertas em anos anteriores.
Com base nessas informações, julgue os próximos itens.
a) O número de empresas que foram abertas em anos anteriores é superior ao número de empresas que encerraram as atividades este ano.
b) O número de empresas que encerraram as atividades este ano e que foram abertas em anos anteriores é superior a 110.
c) Do grupo de 2.000 empresas, metade foi aberta em anos anteriores.
9. (CESPE/PREFEITURA DE SÃO PAULO) Determinado departamento da PMSP re- cebeu recentemente 120 novos assistentes administrativos. Sabe -se que 70 deles são especialistas na área de gestão de recursos humanos (RH); 50, na área de pro- dução de material de divulgação (MD); e 60, na de administração financeira (AF).
Observou-se também que nenhum deles é especialista em mais de duas dessas três atividades; exatamente 25 deles são especialistas tanto em RH quanto em AF e nenhum deles é especialista tanto em AF quanto em MD. Além disso, verificou-se que nenhum deles é especialista em qualquer outra área além dessas três citadas.
Com base nessas informações, é correto afirmar que a quantidade de novos assis- tentes administrativos que são especialistas tanto na área de recursos humanos (RH) quanto na área de produção de material de divul gação (MD) é igual a
a) 5.
b) 15.
c) 25.
d) 35.
e) 45.
GABARITO – QUESTÕES DE CONCURSO
1. b 2. d 3. ECE 4. a 5. a 6. C 7. E 8. CEC 9. d
GABARITO COMENTADO
1. (ESAF) X e Y são dois conjuntos não vazios. O conjunto X possui 64 subconjun- tos. O conjunto Y, por sua vez, possui 256 subconjuntos. Sabe-se, também, que o conjunto Z = X ∩ Y possui 2 elementos. Desse modo, conclui-se que o número de elementos do conjunto P = Y – X é igual a:
a) 4.
b) 6.
c) 8.
d) vazio.
e) 1.
Letra b.
Nessa questão são dados dois conjuntos não vazios, ou seja, possuem elementos, mas é fornecida a quantidade de subconjuntos de cada conjunto, em que devere- mos encontrar o número de elementos da seguinte maneira:
Para o conjunto X, temos que: P(X) = 64, sendo P(X) = 2n. Logo, 2n = 64, fatorando o número 64 temos que 64 = 26
2n = 26
n = 6 (o número de elementos do conjunto n(X) = 6)
Para o conjunto Y, temos que: P(Y) = 256, sendo P(Y) = 2n. Logo,
2
n= 256, fatorando o número 256 temos que 256 = 282
n= 28n = 8 (o número de elementos do conjunto n(Y) = 8)
Para o conjunto Z, segundo o enunciado, temos: Z = X ∩ Y possui 2 elementos(n(Z)
= 2). Logo, observe o diagrama.
Após construirmos os diagramas e suas respectivas operações, temos que a ques- tão solicita o número de elementos do conjunto P = Y – X. Sendo assim, trata-se da diferença entre os conjuntos Y e X, em que devemos selecionar os elementos pertencentes a Y, mas não pertencentes a X.
De acordo com o diagrama, temos que P = Y – X = 6 elementos.
2. (CESPE) Para preencher vagas disponíveis, o departamento de pessoal de uma empresa aplicou um teste em 44 candidatos, solicitando, entre outras informações, que o candidato respondesse se já havia trabalhado
I – em setor de montagem eletromecânica de equipamentos;
II – em setor de conserto de tubulações urbanas;
III – em setor de ampliações e reformas de subestações de baixa e de alta tensão.
Analisados os testes, o departamento concluiu que todos os candidatos tinham ex- periência em pelo menos um dos setores citados acima e que tinham respondido afirmativamente
• 28 pessoas à alternativa I.
• 4 pessoas somente à alternativa I.
• 1 pessoa somente à alternativa III.
• 21 pessoas às alternativas I e II.
• 11 pessoas às alternativas II e III.
• 13 pessoas às alternativas I e III.
Com base nas informações acima, assinale a opção incorreta.
a) Apenas 10 candidatos têm experiência nos 3 setores.
b) Somente 36 candidatos têm experiência no setor de conserto de tubulações urbanas.
c) Apenas 15 candidatos têm experiência no setor de ampliações e reformas de subestações.
d) Somente 2 candidatos têm experiência apenas nos setores de montagem e de ampliações e reformas de subestações.
e) Somente 1 candidato tem experiência apenas nos setores de conserto de tubu- lações urbanas e de ampliações e reformas de subestações.
Letra d.
Nesta questão, são dados três conjuntos:
I – em setor de montagem eletromecânica de equipamentos;
II – em setor de conserto de tubulações urbanas;
III – em setor de ampliações e reformas de subestações de baixa e de alta tensão.
A questão deixa claro que todos têm experiência em pelo menos um dos setores citados, logo não existem elementos do lado de fora. De outro lado temos candi- datos que possuem experiências nos três setores. Sendo assim, construiremos o diagrama para melhor interpretação.
Vamos agora preencher o diagrama referente ao setor de montagem:
O setor de montagem possui 28 candidatos com experiência.
Ao analisar o diagrama, temos que 4 candidatos têm experiência, apenas, no setor de montagem, logo, podemos inferir que nos espaços (X + Y + Z) que estão hachu- radas, sobraram (28 – 4) = 24 candidatos. De acordo com os valores dados de 21 candidatos nos setores (I e II) e 13 candidatos nos setores (I e III), se somarmos, temos: 21 + 13 = 34, mas a quantidade real das áreas pintadas é igual 24, logo, temos 10 candidatos a mais. O que passa da realidade encontra-se na interseção, pois é na interseção que os elementos são contados mais de uma vez, logo, temos 10 candidatos com experiências nos três setores (Y = 10).
Segundo os valores encontrados, podemos agora preencher de forma completa o diagrama para julgar os itens, não esquecendo de que o total de candidatos, ou seja, a soma dos números abaixo deve totalizar 44 candidatos.
Vamos analisar as assertivas:
a) Certa.
b) Certa.
c) Certa.
d) Errada. Temos 3 candidatos.
e) Certa.
3. (CESPE/ADAPTADA) No curso de línguas Esperanto, os 180 alunos estudam Inglês, Espanhol ou Grego. Sabe-se que 60 alunos estudam espanhol e que 40 estudam so- mente Inglês e Espanhol. Com base nessa situação, julgue os itens que se seguem.
a) Se 40 alunos estudam somente Grego, então mais de 90 alunos estudam so- mente Inglês.
b) Se os alunos que estudam Grego estudam também Espanhol e nenhuma outra língua mais, então há mais alunos estudando Inglês do que Espanhol.
c) Se os 60 alunos que estudam Grego estudam também Inglês e nenhuma outra língua mais, então há mais alunos estudando somente Inglês do que Espanhol.
ECE
Analisando a questão, temos que:
– 180 alunos estudam Inglês, Espanhol ou Grego, e representaremos da seguinte maneira (I ∪ E ∪ G);
– 60 estudam Espanhol (E = 60);
– 40 estudam somente Inglês e Espanhol ((I ∩ E) – G).
a) Errado.
Se 40 alunos estudam somente Grego, então mais de 90 alunos estudam somente Inglês.
Vimos que as duas áreas pintadas totalizam 100 alunos, o que resta 80 para preen- cher os espaços em branco, supondo que a interseção de somente Inglês e Grego fosse igual a zero, ou seja, não tivesse nenhum aluno, mesmo assim, não teríamos 90 alunos que estudam apenas inglês.
Logo, o item está errado.
b) Certo.
De acordo com o diagrama acima, o item está certo.
c) Errado.
Logo, este item está errado.
4. (ESAF) Foi feita uma pesquisa de opinião para determinar o nível de aprovação popular a três diferentes propostas de políticas governamentais para redução da criminalidade. As propostas (referidas como “A”, “B” e “C”) não eram mutuamente excludentes, de modo que o entrevistado poderia declarar-se ou contra todas elas, ou a favor de apenas uma, ou a favor de apenas duas, ou a favor de todas as três.
Dos entrevistados, 78% declararam-se favoráveis a pelo menos uma delas. Ainda do total dos entrevistados, 50% declararam-se favoráveis à proposta A, 30% à
proposta B e 20% à proposta C. Sabe-se, ainda, que 5% do total dos entrevista- dos declararam-se favoráveis a todas as três propostas. Assim, a percentagem dos entrevistados que se declararam favoráveis a mais de uma das três propostas foi igual a:
a) 17%.
b) 5%.
c) 10%.
d) 12%.
e) 22%.
Letra a.
Assim,
d + e + f + 5% = 17%
Aproveitando a questão para uma análise mais profunda e melhor entendimento, fiz umas inferências que poderiam ser perguntas da banca.
5. (FUNIVERSA) Em um grupo de 200 profissionais da área de saúde de determi- nado estado brasileiro, apenas 50 têm olhos verdes, apenas 100 são servidores públicos e apenas 83 residem na capital desse estado. Assinale a alternativa que apresenta o número máximo desses profissionais que podem, simultaneamente, ter olhos verdes, ser servidores públicos e residir na capital dos estados.
a) 16.
b) 17.
c) 33.
d) 50.
e) 83.
Letra a.
No primeiro comentário, a resolução é trivial, uma vez que a banca não exime a possibilidade de uma inclusão entre os conjuntos. Se a banca tivesse realizado tal restrição, a questão se tornaria mais interessante.
Não há restrição para que o conjunto “olhos verdes” esteja contido no conjunto “residen- tes na capital” nem que esse esteja contido no conjunto “servidores públicos”. Então, de fato, é possível que até 50 profissionais pertençam simultaneamente aos três conjuntos.
Obs.:
se a questão formulada pela Funiversa tivesse dito que não havia uma inclu- são entre os conjuntos, ou seja, deixasse claro tal situação, esta seria resol- vida da maneira abaixo. É importante ressaltar que, no gabarito preliminar da referida prova, a resposta está de acordo com a resolução a seguir.
Em uma página da Polícia Federal, na Internet, é possível denunciar crimes contra os direitos humanos. Esses crimes incluem o tráfico de pessoas – aliciamento de homens, mulheres e crianças para exploração sexual – e a pornografia infantil – en- volvimento de menores de 18 anos de idade em atividades sexuais explícitas, reais ou simuladas, ou exibição dos órgãos genitais do menor para fins sexuais.
Com referência a essa situação hipotética e considerando que, após a análise de 100 denúncias, tenha-se constatado que 30 delas se enquadravam como tráfico de pessoas e como pornografia infantil; outras 30 não se enquadravam em nenhum desses dois crimes e que, em relação a 60 dessas denúncias, havia apenas a cer- teza de que se tratava de pornografia infantil, julgue os itens subsequentes, acerca dessas 100 denúncias analisadas.
6. (CESPE/POLÍCIA FEDERAL/2012) Dez denúncias foram classificadas apenas como crime de tráfico de pessoas.
Certo.
Tomando como TP = tráfico de pessoas e PI = pornografia infantil, para responder à questão, vamos construir o seguinte diagrama:
Pelo diagrama, podemos inferir que são 10 denúncias.
7. (CESPE/POLÍCIA FEDERAL/2012) Os crimes de tráfico de pessoas foram mais denunciados que os de pornografia infantil.
Errado.
Tomando como TP = tráfico de pessoas e PI = pornografia infantil, para responder à questão vamos construir o seguinte diagrama:
Pelo diagrama anterior, podemos inferir que TP < PI.
8. (CESPE/MDIC/2014). Em um grupo de 2.000 empresas, 1/9 das que encerra- ram as atividades este ano foram abertas em anos anteriores, 1/10 das que foram abertas em anos anteriores encerraram as atividades este ano e 200 empresas não encerraram as atividades este ano e não foram abertas em anos anteriores.
Com base nessas informações, julgue os próximos itens.
a) O número de empresas que foram abertas em anos anteriores é superior ao número de empresas que encerraram as atividades este ano.
b) O número de empresas que encerraram as atividades este ano e que foram abertas em anos anteriores é superior a 110.
c) Do grupo de 2.000 empresas, metade foi aberta em anos anteriores.
CEC
Temos uma questão de conjuntos devido à presença de elementos que pertencem aos dois conjuntos: empresas que encerraram as atividades este ano (E) e empre- sas que foram abertas em anos anteriores (A).
A questão é de alta complexidade, pois temos um universo de 2000 empresas, em que 200 não fazem parte dos conjuntos citados. Sabe-se que 1/9 das que encerra- ram as atividades este ano e foram abertas em anos anteriores é igual a 1/10 das que foram abertas em anos anteriores e encerraram as atividades este ano. Desta forma podemos escrever a seguinte equação:
1 = 9E X
A = X, em que X são as empresas em comum.
Logo, podemos inferir que
E = X, isto significa que E = 9X
1 10
1 9
A = X, isto significa que a = 10X Construindo o diagrama teremos:
E= empresas que encerraram as suas atividades este ano;
A= empresas que foram abertas em anos anteriores.
8X + X + 9X + 200 = 2000 18X = 2000 – 200
18X = 1800 X – = 100
X – é a quantidade de empresas em comum em A e B Substituindo os valores no diagrama teremos:
1 10
Julgando os itens:
a) Certo.
A > E, ou seja, 1000> 900.
b) Errado.
X – é igual a 100.
c) Certo.
A = 1000, ou seja, A = 1/2 de 2000( total de empresas).
9. (CESPE/PREFEITURA DE SÃO PAULO) Determinado departamento da PMSP re- cebeu recentemente 120 novos assistentes administrativos. Sabe -se que 70 deles são especialistas na área de gestão de recursos humanos (RH); 50, na área de pro- dução de material de divulgação (MD); e 60, na de administração financeira (AF).
Observou-se também que nenhum deles é especialista em mais de duas dessas três atividades; exatamente 25 deles são especialistas tanto em RH quanto em AF e nenhum deles é especialista tanto em AF quanto em MD. Além disso, verificou-se que nenhum deles é especialista em qualquer outra área além dessas três citadas.
Com base nessas informações, é correto afirmar que a quantidade de novos assis- tentes administrativos que são especialistas tanto na área de recursos humanos (RH) quanto na área de produção de material de divul gação (MD) é igual a
a) 5.
b) 15.
c) 25.
d) 35.
e) 45.
Letra d.
Temos uma questão simples em que o total é igual a 120 assistentes administrativos.
Sabe-se que:
• 70 deles são especialistas em (RH);
• 50 deles são especialistas em (MD);
• 60 deles são especialistas em (AF);
• nenhum deles é especialista em mais de duas dessas três atividades;
• exatamente 25 deles são especialistas tanto em RH quanto em AF e nenhum deles é especialista tanto em AF quanto em MD;
• nenhum deles é especialista em qualquer outra área além dessas três citadas.
Construindo os diagramas temos:
Podemos interpretar que:
Total de funcionários é igual a 120;
Somar todos os três diagramas (realidade): (70+50+60) = 180.
Sabemos que o número de funcionários que passam da realidade (total) se encontram na interseção: 180-120= 60.
Observando o diagrama, podemos inferir que a região que está a interrogação pode ser calculada da seguinte maneira:
25 + 0 + 0 +? = 60
? = 60 – 35, logo, a quantidade de novos assistentes administrativos que são espe- cialistas tanto na área de recursos humanos (RH) quanto na área de produção de material de divulgação (MD) é igual a 35.
AUTOAVALIAÇÃO
1. (2017/INSTITUTO AOCP) PARA realização de uma pesquisa sobre a preferência de algumas pessoas entre dois canais de TV, canal A e Canal B, os entrevistadores colheram as seguintes informações: 17 pessoas preferem o canal A, 13 pessoas assistem o canal B e 10 pessoas gostam dos canais A e B. Assinale a alternativa que apresenta o total de pessoas entrevistadas.
a) 20 b) 23 c) 27 d) 30 e) 40
2. (2017/INSTITUTO AOCP) Foi realizada uma entrevista com 45 candidatos que pretendem ocupar uma vaga no escritório de uma empresa. Sabe-se que do total de candidatos, 33 são do sexo masculino, 28 usam óculos e 10 são do sexo femi- nino e não usam óculos. Assim, o número de candidatos entrevistados que são do sexo masculino e usam óculos é igual a
a) 33.
b) 7.
c) 26.
d) 2.
e) 10.
3. (2016/INSTITUTO AOCP) Um grupo de 200 pessoas respondeu a uma pesquisa sobre a preferência entre dois produtos. Dessas pessoas, 160 optaram pelo pro-
duto X e 80 pessoas optaram pelo produto Y. Sabendo que todas as 200 pessoas optaram por pelo menos um dos produtos, qual foi a porcentagem de pessoas que optou apenas pelo produto X?
a) 40%.
b) 50%.
c) 60%.
d) 70%.
e) 80%.
4. (2016/INSTITUTO AOCP) Para saber sobre a preferência entre dois determi- nados produtos, 300 pessoas foram entrevistadas. Sabendo que 2/3 do total de pessoas optou pelo produto A, 3/5 do total de pessoas optou pelo produto B e 90 pessoas optaram pelos 2 produtos (A e B), quantas pessoas NÃO optaram por ne- nhum desses dois produtos?
a) 80 b) 50 c) 10 d) 9 e) 0
5. (2016/INSTITUTO AOCP) Em uma pesquisa feita com um grupo de 160 pessoas, descobriu-se que 60% gosta de chocolate ao leite e 40% gosta de chocolate amar- go, mas não gosta de chocolate ao leite. Dos que gostam de chocolate ao leite, 25% também gosta de chocolate amargo. Desse grupo de 160 pessoas, o número de pessoas que gosta de chocolate amargo é de
a) 24.
b) 64.
c) 72.
d) 88.
e) 90.
6. (2015/INSTITUTO AOCP) Em um jantar, foram servidas duas opções de carne:
boi e frango. Sabe-se que no jantar havia 65 pessoas, das quais 40 comeram carne de boi, 20 comeram carne de frango e 10 não comeram nenhuma das duas carnes.
Então, quantas pessoas comeram carne de boi, mas não comeram carne de frango?
a) 5 b) 15 c) 30 d) 35 e) 45
7. (2015/INSTITUTO AOCP) Sabe-se que, em um grupo de 500 pessoas, 400 têm dores de cabeça e 300 têm dor de garganta ao menos uma vez por ano. Se todas as 500 pessoas responderam sim a ao menos uma das “dores”, o número de pessoas que disse sim às duas é igual a
a) 700.
b) 200.
c) 100.
d) 350.
e) 800.
8. (2015/INSTITUTO AOCP) Em uma sala de aula de ensino médio, 44 alunos es- crevem com a mão direita e 12 escrevem com a mão esquerda. Sabendo que o número total de alunos é 50, o número de pessoas que escrevem apenas com a mão direita é
a) 40.
b) 38.
c) 35.
d) 29 e) 17.
9. (2016/AOCP/SERCOMTEL S.A) Em um escritório, trabalham 50 pessoas. Dessas 50 pessoas, 9 tomam café, 28 são mulheres ou tomam café e 2 são homens que tomam café. Sendo assim, qual é o número de mulheres que não tomam café?
a) 26 b) 24 c) 20 d) 19 e) 7
10. (2012/AOCP/TCE-PA) O Tribunal de Contas do Estado decidiu oferecer a seus funcionários cursos de inglês, espanhol e alemão, mas não será permitida a inscri- ção simultânea de Inglês e Alemão. Após as inscrições, constatou-se que
- Dos 65 inscritos em Espanhol, 15 só farão esse idioma;
- 35 se inscreveram em Alemão;
- 38 se inscreveram em Inglês;
- O número de inscritos somente para os cursos de Alemão supera em 5 o número de inscritos somente para Inglês.
Nessas condições, quantos funcionários se inscreveram simultaneamente em Inglês e Espanhol?
a) 26 b) 27 c) 28 d) 29 e) 30
11. (2012/AOCP/TCE-PA) Numa pesquisa sobre a preferência dos candidatos aos cursos preparatórios ao Concurso Público para o Tribunal de Contas do Estado, fo- ram consultados 250 candidatos. Desses, 130 preferem o curso A, 150 preferem o curso B, há aqueles que preferem os cursos A e B, mas 30 disseram que preferem outros cursos diferentes de A e B. Nessas condições, quantos candidatos preferem o curso B e não preferem o curso A?
a) 60 b) 90 c) 100 d) 120 e) 150
GABARITO – AUTOAVALIAÇÃO
1. a 2. c 3. c 4. c 5. d 6. d 7. b 8. b 9. d 10. d 11. b
COMENTÁRIO DO DESAFIO
De acordo com o enunciado da questão, um artista só pode ser trabalhador, filóso- fo ou poeta, ou seja, são conjuntos disjuntos. Assim, os respectivos conjuntos (T, F e P) interceptam o conjunto dos artistas sem deixar vazios e sem superposição, porque um artista não pode ser mais de um desses ao mesmo tempo. O enunciado também diz que trabalhador, filósofo e poeta são responsáveis. Denominando R o conjunto dos responsáveis, tem-se:
T ⊂ R F ⊂ R P ⊂ R
Ou seja, T, F e P são subconjuntos de R.
Analisando as respostas, temos:
a) Todo responsável é artista: não necessariamente, porque o quantificador Uni- versal afirmativo não aceita a propriedade comutativa, uma vez que há elementos que são responsáveis que não trabalhadores.
b) Todo responsável é filósofo ou poeta: não. Pode ser trabalhador.
c) Todo artista é responsável: correto, porque T, F e P são subconjuntos de R e o artista só pode ser um deles.
d) Algum filósofo é poeta: pode ser ou não. Os conjuntos F e P podem ter inter- seção, embora não indicado na figura.
e) Algum trabalhador é filósofo: pode ser ou não, de forma similar à do item anterior.
Resposta: Letra c.
