Questão 1. Questão 2 ETAPA. Resposta

Com base na tirinha cômica “Dry Bones”, responda em português:

a) O que o personagem de boné considera uma boa notícia?

b) Por que a última fala do diálogo tem efeito humorístico? Justifique sua resposta.

Resposta

a) O personagem de boné considera uma boa notícia o fato de os adolescentes poderem acessar a in- ternet de seus telefones celulares, e assim ficarem mais tempo fora de casa.

b) O efeito humorístico da última fala evidencia que, apesar da portabilidade da internet, os jovens a utilizam para organizar tumultos nas grandes cidades como os ocorridos na Inglaterra em meados de 2011. É importante notar que a tirinha ocorre num bar londrino.

ETAPA

Questão 2

Questão 1

THERE IS A great historical irony at the heart of the current transformation of news.

The industry is being reshaped by technology – but by undermining the mass media’s business models, that technology is in many ways returning the industry to the more vibrant, freewheeling and discursive ways of the pre-industrial era.

Until the early 19th century there was no technology for disseminating news to large numbers of people in a short space of time. It travelled as people chatted in marketplaces and taverns or exchanged letters with their friends.

The invention of the steam press in the early 19th century, and the emergence of mass-market newspapers, marked a profound shift in news distribution. The new technologies of mass dissemination could reach large numbers of people with unprecedented speed and efficiency, but put control of the flow of information into the hands of a select few.

In the past decade the internet has disrupted this model and enabled the social aspect of media to reassert itself. In many ways news is going back to its pre-industrial form, but supercharged by the internet.

Camera-phones and social media such as blogs, Facebook and Twitter may seem entirely new, but they echo the ways in which people used to collect, share and exchange information in the past.

The Economist, July 9th 2011. Adaptado.

Com base no texto, responda em português:

a) Que mudanças ocorreram no início do século XIX na indústria de notícias?

b) Explicite a ironia histórica, provocada pelo advento da internet, no modo de distribuição atual das notícias.

Resposta

a) Novas tecnologias de disseminação em massa de notícias, como a imprensa movida a vapor e os jornais de grande tiragem, passaram a atingir grande número de pessoas com velocidade e efi- cácia sem precedentes, embora deixando o con- trole do fluxo de informações nas mãos de poucas pessoas.

b) A internet democratiza a produção e dissemi- nação de informações por meio das redes sociais e de celulares, por exemplo, restaurando, de certa forma, o modelo pré-industrial de distribuição de notícias.

Examine estas imagens, que reproduzem, em preto e branco, dois quadros da pintura brasi- leira.

Anita Malfatti,O homem das sete cores, 1915-1916, MBA-FAAP.

Tarsila do Amaral,A negra, 1923, MAC-USP.

a) Identifique o movimento artístico a que elas pertencem e aponte uma característica de sua proposta estética.

b) Cite e caracterize um evento brasileiro im- portante relacionado a esse movimento.

Resposta

a) Os dois quadros pertencem ao Movimento Mo- dernista.

O Modernismo brasileiro representou a assimila- ção de movimentos de vanguarda europeus (Fu- turismo, Cubismo, Dadaísmo, entre outros) ao meio cultural brasileiro. Caracterizou-se, entre ou- tros aspectos, pelo sentido nacionalista voltado

Questão 3

para a tentativa consciente de estabelecer uma cultura brasileira, fundada, entretanto, na incorpo- ração das mais variadas manifestações estéticas.

Cria-se uma arte revolucionária no plano formal quando utiliza, por exemplo, o verso livre e uma "lin- guagem brasileira" no sentido de fazê-la mais próxi- ma da fala cotidiana. Revolucionária também no plano temático ao aproximar-se do cotidiano, das mazelas e das grandezas da vida urbano-industrial.

As manifestações estéticas modernistas estão as- sociadas às grandes transformações econômicas, sociais e políticas ocorridas no Brasil nas duas primeiras décadas do século XX.

b) A grande manifestação do Modernismo brasilei- ro foi a Semana de Arte Moderna ocorrida em fe- vereiro de 1922, em São Paulo, quando os artis- tas mostram o que haviam realizado de revolucio- nário no campo das artes.

Nela, os artistas também transportaram o folclore, o regional e a realidade brasileira à literatura, às artes plásticas e à música.

Dentre os participantes destacam-se Mário de Andrade e Oswald de Andrade, na literatura;

Villa-Lobos, na música e Di Cavalcanti, Anita Mal- fatti, Victor Brecheret e Tarsila do Amaral nas ar- tes plásticas.

Fernand Braudel, Civilização material, econo- mia e capitalismo, Vol. II, Lisboa, Teorema, 1992, p. 175. Adaptado.

Considerando os dois gráficos anteriores, a) defina e explique o significado geral de uma balança comercial “favorável” ou “desfa- vorável” para um determinado país;

b) compare os papéis político-econômicos da França e da Inglaterra na competição inter- nacional do século XVIII, bem como a impor- tância desses países para as regiões coloniais americanas da época.

Resposta

a) Um país apresenta uma balança comercial fa- vorável quando os recursos obtidos com as ex- portações superam os capitais gastos com as im- portações. Durante a Idade Moderna (XV-XVIII), tiveram destaque as práticas mercantilistas.

Para o mercantilismo, a riqueza de um país é dada em função da maior quantidade de moedas ou me- tais preciosos existentes dentro de suas fronteiras.

Nesse sentido, ganha importância a balança co- mercial.

Um país que consiga obter e manter sua balança superavitária (favorável) terá a possibilidade de acumular capitais.

A Inglaterra tornou-se no século XVII a principal potência marítima europeia, apresentando, ainda, grande desenvolvimento manufatureiro; acumu- lando capitais que fizeram dela o berço da Revolu- ção Industrial. Enquanto na França, principalmente após a revogação do Edito de Nantes (1685), quando milhares de calvinistas deixaram o país, suas atividades manufatureiras declinaram. No fi- nal do século XVIII o Estado francês era essencial- mente agrário, apresentando um

em que as importações superavam as exportações, levando a uma crise econômico-financeira que abriu cami- nho para a revolução que iria liquidar com o Anti- go Regime.

b) França e Inglaterra eram os principais rivais no contexto da competição entre os Estados capita- listas europeus do século XVIII. A França lutava pela condição de potência hegemônica, principal- mente em função de seu poder político e militar, à medida que se tornava o centro de uma revolução contra o absolutismo monárquico no continente europeu. Já a Inglaterra buscava a condição de maior potência em função principalmente de seu poder econômico, graças a uma série de transfor- mações, conhecidas pela expressão "Revolução Industrial". Tal competição abalou as bases políti- cas, econômicas e sociais da Europa na época, conhecidas como o "Antigo Regime", num proces- so que avançou até o início do século XIX.

Na América, as Revoluções Francesa e Industrial tiveram um grande impacto ao difundirem os prin- cípios do liberalismo político e econômico, deter- minando a destruição do Sistema Colonial que se desenvolveu ao longo da Época Moderna. Vale

Questão 4

lembrar que no contexto das transformações mundiais do século XVIII, a crise do Sistema Co- lonial se manifestou através dos movimentos como a independência dos EUA (1776) e a Revo- lução de escravos, no Haiti (1794).

Le monde diplomatique, 2011. adaptado.

Há anos, a região acima representada vem sendo atingida por sérios conflitos políticos, sociais e étnicos, vários deles com enfrenta- mento bélico.

Acerca das dinâmicas socioespaciais em curso nessa região,

a) explique o significado de “Primavera Ára- be”, citando dois países com ela envolvidos di- retamente, nos últimos anos;

b) identifique uma mudança na configuração territorial da área assinalada pelo círculo.

Explique.

Resposta

a) A Primavera Árabe caracterizou-se por uma sé- rie de manifestações populares e laicas, a partir de dezembro de 2010, iniciadas na Tunísia e que se estenderam para outros países do Norte da África e do Oriente Médio, contestando a ausência de go- vernos democráticos, o elevado grau de corrupção e do custo de vida e a elevada taxa de desemprego.

Entre os países envolvidos podemos citar: a Tunísia, a Líbia, o Egito, o Iemên, a Síria, entre outros.

b) Na região assinalada pelo círculo temos a for- mação do mais novo país africano, o Sudão do Sul. Tal fato é resultado de uma longa guerra civil entre o Norte (árabe-muçulmano) e o Sul (cris- tão-animista). Com o fim do conflito em 2005, fi- cou acertado entre as partes a realização de um plebiscito, realizado em janeiro de 2011, em que a população optou pela independência do Sudão do Sul, que se concretizou em julho de 2011.

Questão 5

Questão 6

Théry & Mello, 2009. Adaptado.

Considerando-se a atual divisão administra- tiva do Brasil e sobrepondo-se a ela represen- tações esquemáticas da gênese do território brasileiro, entre os séculos XVI e XIX, a) relacione os focos econômicos em ascensão (coluna I) com os novos centros econômicos e suas respectivas zonas de atração (coluna II);

b) analise os principais avanços territoriais (coluna III).

Resposta

a) No século XVI a região nordestina destacou-se pela produção açucareira, especialmente Pernam- buco (coluna I). Com o açúcar, o eixo econômico mais importante da Colônia era o próprio Nordes- te, destacando-se as cidades de Salvador (cen- tro administrativo colonial) e Recife (coluna II).

Nos séculos XVII e XVIII, a região das Gerais passou a ser o novo foco econômico em virtude da mineração e da decadência do açúcar nordes- tino (coluna I). A partir desse momento, o Rio de Janeiro passou a ser o centro econômico mais im- portante, gerando uma camada de comerciantes que controlavam as importações e exportações da Colônia (coluna II).

No século XIX, o Sudeste transformou-se no novo eixo econômico devido ao café, originalmente no Rio de Janeiro e, posteriormente, expandindo-se para São Paulo e Minas Gerais (coluna I). Nesse contexto, as zonas de atração ligadas à cafeicul- tura eram São Paulo e Rio de Janeiro (coluna II).

b) No século XVI, nas regiões interioranas do Nor- deste houve a expansão das fazendas de gado, com a ocupação do sertão da Bahia, Pernambuco e Piauí, destacando-se o Vale do rio São Francisco.

No século XVII e XVIII várias regiões foram ocu- padas na América portuguesa. Na Amazônia a ocupação se deu pela exploração das drogas do Sertão e pela instalação de missões jesuíticas. O Sul foi ocupado pelo apresamento de indígenas e, em seguida, por ocasião da destruição das missões jesuíticas espanholas, o gado existente dispersou-se em direção ao Sul. Os paulistas di- rigiram-se para a região visando apresar tais re- banhos. A partir daí, eram fornecedores para a região mineradora das Gerais. Ocorreu também o chamado "sertanismo de contrato", destinado ao combate a indígenas e escravos africanos fu- gitivos.

No século XVIII teve início a ocupação da região de Goiás e Mato Grosso, basicamente em busca de metais preciosos.

No século XIX, os avanços territoriais se deram, principalmente, em direção à Amazônia com o chamado

da borracha, propiciando um cur- to desenvolvimento da região.

Na região Sul, o café de São Paulo expandiu-se em direção ao oeste do Paraná abrindo, assim, uma nova área de ocupação.

Obras célebres da literatura brasileira foram ambientadas em regiões assinaladas neste mapa:

IBGE, 2007.

Com base nas indicações do mapa e em seus conhecimentos, identifique

a) uma causa da depressão econômica sofrida pela Zona do Cacau na segunda metade do século XX. Explique;

b) a cidade que polarizou a Zona do Cacau e aponte o nome do escritor que tratou dessa região em um conjunto de obras, chamado de

“ciclo do cacau”;

c) o escritor mineiro que ambientou, princi- palmente na região denominada “Gerais”, o grande romance que marca sua obra. Indique também o nome do romance em questão.

Resposta

a) Dentre os fatores da "depressão econômica"

que afetou a zona cacaueira no litoral sul da Bahia, pode-se destacar a doença que afetou intensa- mente as plantas (vassoura-de-bruxa) e a concor- rência da produção africana.

b) Cidade de Ilhéus e o escritor é Jorge Amado.

c) João Guimarães Rosa e o romance é

.

Questão 7

O rótulo de um frasco contendo determinada substância X traz as seguintes informações:

Propriedade Descrição ou valor

Cor Incolor

Inflamabilidade Não inflamável

Odor Adocicado

Ponto de fusão − 23

C Ponto de ebulição a

1 atm 77

C

Densidade a 25

C 1,59 g / cm

Solubilidade em água

a 25

C 0,1 g / 100 g de H

O a) Considerando as informações apresenta- das no rótulo, qual é o estado físico da substância contida no frasco, a 1 atm e 25

C?

Justifique.

b) Em um recipiente, foram adicionados, a 25

C, 56,0 g da substância X e 200,0 g de água. Determine a massa da substância X que não se dissolveu em água. Mostre os cálculos.

c) Complete o esquema da página de respos- ta, representando a aparência visual da mis- tura formada pela substância X e água quan- do, decorrido certo tempo, não for mais obser- vada mudança visual. Justifique.

Dado: densidade da água a 25

C =

= 1,00 g / cm

Resposta

a) Como está em condições intermediárias aos pontos de fusão e ebulição, a substância contida no frasco está no estado líquido.

b) Determinação da massa de X que será dissol- vida:

200 g H O 0,1 g X

100 g H O 0,2 g X

2 2

solubilidade

⋅ =

1 244 443

Portanto, com 0,2 g de X em solução, a massa de X que não se dissolveu é de 55,8 g.

c)

A partir do momento em que não houver mais mu- dança visual, as duas fases se organizarão se- gundo suas densidades, sendo que X, mais den- sa que a água, ocupa a fase inferior do sistema.

O experimento descrito a seguir foi planejado com o objetivo de demonstrar a influência da luz no processo de fotossíntese. Em dois tubos iguais, colocou-se o mesmo volume de água saturada com gás carbônico e, em cada um, um espécime de uma mesma planta aquática.

Os dois tubos foram fechados com rolhas.

Um dos tubos foi recoberto com papel alu- mínio e ambos foram expostos à luz produzi- da por uma lâmpada fluorescente (que não produz calor).

a) Uma solução aquosa saturada com gás car- bônico é ácida. Como deve variar o pH da so- lução no tubo não recoberto com papel alu- mínio, à medida que a planta realiza fotossín- tese? Justifique sua resposta.

Questão 8

Questão 9

No tubo recoberto com papel alumínio, não se observou variação de pH durante o experi- mento.

b) Em termos de planejamento experimental, explique por que é necessário utilizar o tubo recoberto com papel alumínio, o qual evita que um dos espécimes receba luz.

Resposta

a) No tubo não recoberto com papel alumínio, a planta realiza fotossíntese, processo que conso- me gás carbônico da solução aquosa. Nesse caso, o pH da solução aumenta.

b) Como o experimento foi planejado com o obje- tivo de demonstrar a influência da luz no processo de fotossíntese, o tubo recoberto com papel alu- mínio pode ser utilizado como controle.

A um recipiente, contendo solução aquosa de ácido sulfúrico, foi adicionada uma massa m de carbonato de sódio. Imediatamente após a adição desse sal, foi adaptado, à boca do reci- piente, um cilindro de raio r, no interior do qual um êmbolo, de massa desprezível, pode se deslocar sem atrito. Após algum tempo, o carbonato de sódio foi totalmente consumido, e o gás liberado moveu o êmbolo para cima.

Nessa transformação, o ácido sulfúrico era o reagente em excesso.

a) Escreva a equação química balanceada que representa a transformação que ocorreu den- tro do recipiente.

b) O experimento descrito foi repetido utili- zando-se carbonato de potássio em lugar de carbonato de sódio. A massa de carbonato de potássio utilizada nesse segundo experimento também foi m. A altura atingida pelo êmbolo foi a mesma nos dois experimentos? Explique.

(Considere desprezível a variação de tempera- tura no sistema).

c) Escreva a expressão matemática que rela- ciona a altura x, atingida pelo êmbolo, com a massa m de carbonato de sódio.

Para isso, considere que

– a solubilidade do gás, na solução, é desprezí- vel, e não há perda de gás para a atmosfera;

– nas condições do experimento, o gás forma- do se comporta como um gás ideal, cujo volu- me é dado por V = nRT/P, em que:

P = pressão do gás

n = quantidade de matéria do gás (em mol) R = constante universal dos gases

T = temperatura do gás (em K)

Observação: Use a abreviatura MM para re- presentar a massa molar do carbonato de só- dio.

Resposta a) A equação química é:

H SO

₊ Na CO

_→ Na SO

₊ H O

₊ CO

b) Não, pois as massas molares dos sais são dife- rentes (n

de mols diferentes para a mesma mas- sa de sal) gerando diferentes n

de mols de CO

, ou seja, volumes diferentes nas condições do ex- perimento. Portanto, as alturas são diferentes.

c) O n

de mols de gás CO

é igual ao n

de mols de carbonato de sódio que reage, então:

n m

CO2

= MM .

A relação da altura

com a massa

é:

P V _{⋅ =} nRT

P V m

MM RT

⋅ = ⋅

P r X m

MM RT

⋅ π

⋅ = x

m

RT

P r MM

= ⋅ ⋅ π

⋅

Questão 10

Um pequeno cata-vento do tipo Savonius, como o esquematizado na figura a seguir, acoplado a uma bomba d'água, é utilizado em uma propriedade rural. A potência útil P (W) desse sistema para bombeamento de água pode ser obtida pela expressão P = 0,1 x A x v

, em que A (m

) é a área total das pás do cata-vento e v (m/s), a velocidade do vento. Consideran- do um cata-vento com área total das pás de 2 m

, velocidade do vento de 5 m/s e a água sendo elevada de 7,5 m na vertical, calcule

a) a potência útil P do sistema;

b) a energia E necessária para elevar 1 l de água;

c) o volume V

de água bombeado por segundo;

d) o volume V

de água, bombeado por segun- do, se a velocidade do vento cair pela metade.

NOTE E ADOTE

Densidade da água = 1 g/cm

. Aceleração da gravidade g = 10 m/s

.

Resposta

a) Da expressão fornecida e do enunciado, a po- tência útil (P) é dada por:

P ₌ 0,1 A v _{⋅ ⋅}

₌ 0,1 2 _{⋅ ⋅} 5

_⇒ P ₌ 25 W b) A energia mínima (E) necessária para elevar 1 L de água de 7,5 m na vertical é dada por:

E _{= ⋅ ρ} V _{⋅ ⋅ ⇒} g h

⇒ E = 1 kg ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ L 1 L 10 m

s 7,5 m

2

E ₌ 75 J

c) Como a velocidade do cata-vento é constante, a potência útil pode ser tratada como potência média. Assim, temos:

P E

t

V g h

= Δ = ρ ⋅ Δ ⋅ ⋅ t ⇒ Δ = ⇒ ρ V

t P

gh

⇒ =

⋅ ⋅ ⇒

V 1 s

25 W 1 kg

L 10 m

s 7,5 m

1

2

V 1

3 L

1

=

Assim, o volume V

de água bombeado por se- gundo é 1

3 L.

d) Do item anterior e do enunciado, vem:

V t

P gh P 0,1 A v

0,1 A v t

3

gh

Δ =

Δ

= ⋅ ⋅

⇒ = ⋅ ⋅ ⋅

ρ V ρ

Analisando a expressão anterior, temos que o vo- lume V é diretamente proporcional ao cubo da ve- locidade do vento. Logo, se a velocidade do vento cair pela metade, o volume cairá 2

₌ 8 vezes.

Dessa forma, temos: V 1

8 V 1

8 1 3

1 24 L

2

=

= ⋅ = .

Assim, o volume V

de água bombeado por se- gundo é 1

24 L.

O fluxo de íons através de membranas celula- res gera impulsos elétricos que regulam ações fisiológicas em seres vivos. A figura a seguir ilustra o comportamento do potencial elétri- co V em diferentes pontos no interior de uma célula, na membrana celular e no líquido ex- tracelular. O gráfico desse potencial sugere que a membrana da célula pode ser tratada como um capacitor de placas paralelas com distância entre as placas igual à espessura da membrana, d = 8 nm. No contexto desse modelo, determine

Questão 11

Questão 12

a) o sentido do movimento – de dentro para fora ou de fora para dentro da célula – dos íons de cloro (C l

) e de cálcio (Ca

) , presen- tes nas soluções intra e extracelular;

b) a intensidade E do campo elétrico no inte- rior da membrana;

c) as intensidades F

e F

das forças elétri- cas que atuam, respectivamente, nos íons C l

e Ca

enquanto atravessam a membrana;

d) o valor da carga elétrica Q na superfície da membrana em contato com o exterior da célula, se a capacitância C do sistema for igual a 12 pF.

NOTE E ADOTE

Carga do elétron = − 1,6 × 10

C . 1 pF = 10

F.

1 nm = 10

m.

C = Q/V.

Resposta

a) Pela análise do gráfico concluímos que o po- tencial elétrico na superfície externa da membra- na celular é maior que o da superfície interna.

Assim, os íons C

deslocam-se de dentro para fora da célula, enquanto os íons Ca

se deslo- cam de fora para dentro.

b) Da situação proposta podemos concluir que a intensidade E do campo elétrico no interior da membrana é constante e dada por:

E V

d E 64 10

8 10

3

= ⇒ = ⋅

⋅

⇒

Δ E 8 10 V

m

= ⋅

c) A intensidade da força elétrica sobre os íons C

é dada por:

F

₌

q

_{⋅ ⇒} E F

₌ 1,6 10 _⋅

_{⋅ ⋅} 8 10

_⇒

⇒ F

₌ 1,28 10 _⋅

N

A intensidade da força elétrica sobre os íons Ca

é dada por:

F

₌

q

_⋅ E _⇒ F

₌ 2 1,6 10 _{⋅ ⋅}

_{⋅ ⋅} 8 10

_⇒

⇒ F

₌ 2,56 10 _⋅

N

d) Da definição de capacitância, temos que o valor da carga elétrica (Q) na superfície da membrana em contato com o exterior da célula é dado por:

C Q

V 12 10 Q

64 10

12

= ⇒ ⋅ =

⋅ ⇒

− −

⇒ Q ₌ 7,68 10 _⋅

C

A figura abaixo mostra alguns dos integran- tes do ciclo do carbono e suas relações.

a) Complete a figura reproduzida na página de resposta, indicando com setas os sentidos das linhas numeradas, de modo a represen- tar a transferência de carbono entre os inte- grantes do ciclo.

b) Indique o(s) número(s) da(s) linha(s) cuja(s) seta(s) representa(m) a transferência de carbono na forma de molécula orgânica.

Questão 13

Resposta a)

b) As setas que representam a transferência de carbono na forma de molécula orgânica são 6, 7, 8, 9 e 10.

Luz do sol

Que a folha traga e traduz Em verde novo

Em folha, em graça, em vida, em força, em luz

Os versos de Caetano Veloso descrevem, poe- ticamente, um processo biológico. Escolha, entre as equações abaixo (1, 2 ou 3), a que re- presenta esse processo, em linguagem quími- ca. Justifique sua resposta, relacionando o que dizem os versos com o que está indicado na equação escolhida.

(1) 6CO

+ 6H

O + Energia C

H

O

+ 6O

(2) C

H

O

+ 6O

6CO

+ 6H

O + Energia (3) ADP + P

+ Energia ATP + H

O

Resposta

O processo biológico descrito nos versos da músi- ca de Caetano Veloso é a fotossíntese, que está representado na equação I.

As folhas absorvem a energia luminosa e produ- zem matéria orgânica que será utilizada na produ-

ção de novas folhas ("verde novo") e também como alimento para o vegetal ("em vida, em for- ça").

Considere uma progressão aritmética cujos três primeiros termos são dados por

a

= + 1 x , a

= 6 x , a

= 2 x

+ 4 , em que x é um número real.

a) Determine os possíveis valores de x.

b) Calcule a soma dos 100 primeiros termos da progressão aritmética correspondente ao menor valor de x encontrado no item a).

Resposta

a) Para que (a ,a ,a , ...)

seja uma progressão aritmética, devemos ter a

₊ a

₌ 2a

_⇔

⇔ + 1 x + 2x

+ 4 = 2 ⋅ (6x) ⇔

⇔ 2x

− 11x + 5 = ⇔ 0 x = 5 ou x 1

= 2 . b) Para o menor valor encontrado no item

,

x 1

= 2 , temos a 1 1 2

3

1

= + = 2 , a 6 1

2 3

2

= ⋅ = e

r 3 3

2 3

= − = 2 .

Logo a 3

2 99 3

2 150

100

= + ⋅ = e a soma dos

100 primeiros termos da PA é:

S 3 2 150

2 100 7 575

100

= ⎛ +

⎝

⎜ ⎜

⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟

⎟ ⋅ = .

Considere a função f, cujo domínio é o inter- valo fechado [0, 5] e que está definida pelas condições:

• ^{para 0 ≤ x ≤ 1 , tem-se f x ( ) = 3 x + 1;}

• ^{para 1 < x < 2 , tem-se f x ( ) = − 2 x + 6;}

• ^f é linear no intervalo [2, 4] e também no intervalo [4, 5], conforme mostra a figura a seguir;

Questão 14

Questão 15

Questão 16

• a área sob o gráfico de f no intervalo [2, 5]

é o triplo da área sob o gráfico de f no inter- valo [0, 2].

Com base nessas informações,

a) desenhe, no sistema de coordenadas indi- cado na página de resposta, o gráfico de f no intervalo [0, 2];

b) determine a área sob o gráfico de f no in- tervalo [0, 2];

c) determine f(4).

Resposta

a) A reta y ₌ 3x ₊ 1 passa pelos pontos (0; 1) e (1; 3 1 1) _{⋅ + =} (1; 4) e a reta y _{= −} 2x ₊ 6 passa pelos

pontos (1; _{− ⋅ +} 2 1 6) ₌ (1; 4) e (2; _{− ⋅} 2 2 ₊ 6) ₌

= (2; 2). Como f(2) ₌ 2, o gráfico pedido é a união dos segmentos que unem (0; 1) e (1; 4), e (1; 4) e (2; 2):

b) A área sob o gráfico de

no intervalo [0; 2] é a soma das áreas dos trapézios de bases f(0) ₌ 1 e f(1) ₌ 4 e altura 1 e bases f(1) ₌ 4 e f(2) ₌ 2 e altu- ra 2 ₋ 1 ₌ 1, ou seja, (1 4) 1

2

(4 2) 1 2

+ ⋅ + + ⋅ =

= 11 2 .

c) A área sob o gráfico de

no intervalo [2; 5] é a soma das áreas do trapézio de bases f(2) ₌ 2 e f(4) e altura 4 ₋ 2 ₌ 2 e do triângulo retângulo de catetos f(4) e 5 ₋ 4 ₌ 1.

Assim, (2 f(4)) 2 2

f(4) 1

2 3 11

2 f(4)

+ ⋅ + ⋅ = ⋅ ⇔ =

= 29

3 .