OFeBGBDOA,,Solução. Observando as divisões, temos:a) A(2, 4, 0); B(0, 4 , 5); C(2, 0, 0); D(0, 0, 5) e E(2, 4, 5).b) Marcados na figura.c)

VESTIBULAR: 2016 PROFESSOR: WALTER TADEU

MATEMÁTICA II

VETORES II - GABARITO 1. Observe a figura ao lado:

a) Dê as coordenadas dos pontos A, B, C, D e E.

b) Assinale os pontos F(2,0,1), G(0, 2,3) e H(2,3,4).

c) Obtenha as coordenadas dos vetores OF

e BG BD OA , ,

Solução. Observando as divisões, temos:

a) A(2, 4, 0); B(0, 4 , 5); C(2, 0, 0); D(0, 0, 5) e E(2, 4, 5).

b) Marcados na figura.

c)

) 1 , 0 , 2 ( ) 0 , 0 , 0 ( ) 1 , 0 , 2 (

) 2 , 2 , 0 ( ) 5 , 4 , 0 ( ) 3 , 2 , 0 (

) 0 , 4 , 0 ( ) 5 , 4 , 0 ( ) 5 , 0 , 0 (

) 0 , 4 , 2 ( ) 0 , 0 , 0 ( ) 0 , 4 , 2 (















































O F OF

B G BG

B D BD

O A OA

.

2. Considere o conjunto dos pontos da forma (t, 2-t, 3+t) , onde t é um número real.

a) Qual destes pontos pertence ao plano xy?

b) Existe algum ponto deste conjunto que esteja sobre o eixo z?

Solução. Os pontos estão no R

³

, com coordenadas (x, y, z).

a) O ponto P do plano XY é da forma (x, y, 0):

)0,5,3(

5)3(

2 3 3 03

2 

 







 

 

 









 y P x tt yt xt

.

b) O ponto Q sobre o eixo Z é da forma (0, 0, z). Para que existisse o mesmo valor de “t”

deveria anular as coordenadas “x” e “y” o que não ocorre, pois se t = 0, a coordenada y vale 2. Logo, não existe tal ponto.

3. Considere o ponto A = (1,2,3). Quais são as coordenadas dos pontos:

a) A’ simétrico de A em relação ao eixo Oz?

b) A’’ simétrico de A em relação ao plano xy?

c) A’’’ simétrico de A em relação à origem?

Solução.

- Dizemos que dois pontos distintos são simétricos em relação a um plano (coordenado) se, e somente se, o segmento retilíneo que une esses dois pontos é dividido ao meio e normalmente pelo referido plano (coordenado). Esse plano é chamado de plano de simetria.

- Dizemos que dois pontos distintos são simétricos em relação a um ponto (origem) se, e

somente se, esse ponto (origem) for o ponto médio do segmento de reta que une esses dois

pontos.

a) A  ^{( 1 , 2 , 3 )}  A ^'  ⁽  ^{1 ,}  ^{2 , 3 )} b) A  ^{( 1 , 2 , 3 )}  A ^{' '}  ^{( 1 , 2 ,}  ^{3 )} c) )

3 , 2 , 1 ( ' ' ' ) 3 , 2 , 1

(     

 A

A

4. Encontre o vetor v que satisfaz a igualdade: 2v + (3,0,-1) = (5,2,-3) Solução. Isolando o vetor procurado, temos:

) 2 , 2 , 1 ( ) 4 , 2 , 2 2 ( ) 1

4 , 2 , 2 ( 2 ) 1 , 0 , 3 ( ) 3 , 2 , 5 ( 2 ) 3 , 2 , 5 ( ) 1 , 0 , 3 (

2 v     v     v    v     .

5. Dados os vetores do R

³

, u = i + 2j , v = 3i-j+k e w = 2i+k, encontre o vetor u – v + 2w.

Solução. Expressando os vetores em função dos ternos ordenados, temos:

)1,3, 2(

)2,0 ,4(

)1,1 ,3(

)0,2 ,1(

2 )1,0,

2(

)1,0, 0(

)0,0 ,1(2 2

)1,1 ,3(

)1,0, 0(

)0,1, 0(

)0,0 ,1(3 3

)0,2 ,1(

)10, 0(2 )0,0 ,1(

2















 



 





































w v u k

i w

k j i v

j i u

.

6. Quais são as coordenadas do ponto médio do segmento AB sendo A = (0,2,-1) e B = (5,-1,4)?

Solução. Calculando a média aritmética das coordenadas, temos:

 

 



 

 

 



     

 2

, 3 2 , 1 2 5 2

4 ) 1 , ( 2

) 1 ( , 2 2

5

PM 0 .

7. Quais são as coordenadas do baricentro do triângulo de vértices A = (-1, 2,4) , B = (3,5,-1) e C = (4, 2,3)?

Solução. Aplicando a fórmula que calcula as coordenadas, temos:

 2 , 3 , 2 

3 3 ) 1 ( , 4 3

2 5 , 2 3

4 3

1  



 



        



G .

8. Encontre os valores de m e de n para que os vetores u = (3,-1,m) e v = (2,n,-3) tenham a mesma direção.

Solução. Dois vetores possuem a mesma direção se forem paralelos. Neste caso suas coordenadas são proporcionais. Temos:

 

 

  

 

 

  



 



 







 

 



 

 

  3,

3 ,2. 2 2 3 2 ,1,3 9 2

9 3 2 92 23 3 1 2

// 3 kvu

m n m m n

vu n ^.

9. Quais são as coordenadas do vetor _AB ?

Solução. Identificando as coordenadas do ponto A e do

ponto B, temos:

)3, 2, 1(

)0, 2,1(

)3, 0,0 )3, (

0,0 (

)0,

2,1(        

 





 AB B A

B A

10. O esquema abaixo representa uma sala. Nele estão representados uma lâmpada L (que está presa ao ponto central do teto através de um fio com 1 m de comprimento) e um interruptor I (que está a 1 m de altura e distante 0,5 m da parede em que a porta está localizada). Dê as coordenadas dos pontos L e I com relação ao sistema de eixos dado na figura.

Solução. Marcando a origem (0,0,0) do sistema e considerando como positivo a direção das setas o terno (x, y, z) é identificado na figura ao lado.

11. Determinar os vértices de um

triângulo sendo conhecidos o baricentro , 2 ) 3 , 1 4

 (

G e os pontos médios de dois lados

2 ) , 1 1 , 3

 (

M e N = ( 0 , -1 , 2 ).

Solução. Considere como A o vértice oposto ao ponto M e B, o vértice oposto ao ponto N.

Pela definição do baricentro, GM vale a terça parte de AM e GN, a terça parte de BN.

   

 12 , 1 , 6  ( 0 , 2 , 4 ) ( 12 , 3 , 2 ) )

2 , 1 , 0 .(

2 2 3 , , 1 4 3 2

3 )

( 3 3

) 5 , 1 , 6 ( 1

, 2 , 6 6 , 1 , 2 12 , 1 1 , 3 . 2 2 3 , , 1 4 3 2

3 )

( 3 3













 



 



 



























 



 



 

 

 



 



















B B

N G B G N B BN N

GN

A A

M G A G M A AM M

GM

.

Representando as coordenadas do vértice C como (x, y, z) e aplicando a fórmula do cálculo das coordenadas do baricentro, temos:

 

 









































 



 



 







 

 

)1 ,1 ,6 (

)2 ,3 , 12 (

)5 ,1 ,6 (

)1 ,1 ,6 ( )2 ,3 , 12 ( )5 ,1 ,6 ( )6 ,1, 12 ( )2

,3 , 12 ( )5 ,1 ,6 ( 3 2, ,4 1 .3 3 3

C B A Vértices

C B

A G C C

B G A

.

12. Até que ponto se deve prolongar o segmento de extremos A = (2,0,0) e B = (0,2,0) , no sentido de A para B , de modo que seu comprimento quadruplique ?

Solução. Devemos calcular o ponto B’ tal que AB’ = 4AB. Considerando B’ = (x, y, z), temos:

AB AB AB

o AB Verificand

AB B

z y

x x zy

x AB AB

zy x zyx AB zyx AB B A

AB B AB

A

.4' 28 128 0 8) 8(

'

22 8 0 2) : 2(

)0,8,8 ()0 ,0,2(

)0,8,6 (' )0,8,6 (' 0

8 6 8 2 )0,2,2 (4) ,,2 ( 4'

),, 2(

)0,0,2 () ,,(

),, '' ('

)0,0,2 (

)0,2,2 ()0 ,0,2(

)0,2,0 )0,2,0 (

( )0,0,2 (

2 2 2

2 2 2



 

 





























 



 































 

 













 

 





13. (UFRJ) Considere um cubo de vértices A, B, C, D, E, F, G, H (como mostra a figura), os vetores u  , v  e w  dados por _{u AB}    , _{v AE}    e _{w AD}    . Sejam P o ponto médio do segmento AG e Q um ponto do segmento DB tal que QB 2DQ   

.

Determine os números a, b e c, tais que PQ  au + bv + cw.

Solução. Posicionando o cubo no eixo tridimensional com os vetores unitários marcados, vemos que as coordenadas de P e Q ficam determinadas.

Logo,

 





 



























 

 



  

 



 



 

 

 



 





6 1

2 1 6 1 )1

,0 ,0 6 ( )0 1 ,1, 0 2 ( )0 1 ,0 ,1 6 ( 1

6 , 1 2 , 1 6 1 2

, 1 2 , 1 2 1 3 ,0 2 3 , 1

c b a PQ

P Q PQ

.

14. (UFRJ) Marcos Charada, o matemático espião, concebeu um código para transformar uma palavra P de três letras em um vetor Y de R

³

como descrito a seguir: A partir da correspondência descrita nas tabelas abaixo, a palavra P é transformada em um vetor X de R

³

.

A B C D E F G H I J L M N O P Q R S T U V X Z

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

Em seguida, usando a matriz código A, dada por A =

 







 







1 0 1

1 3 3

0 2 2

, o vetor Y é obtido pela

equação Y = A . X . Por exemplo, a palavra MAR corresponde ao vetor X = (12,1,17) e é codificada como Y = A . X = (26, 56, 29). Usando o processo acima, decodifique Y = (64,107,29) Solução. Resolvendo a equação, temos:

SOL Palavra z

y x x

x x x x z zx

zy x

x y yx z y x



 



 



























 



 





















 







 







 







 









 







 







1118 29

1418 32

1811 29 96 107 29

107 29) 32(3 3 29 29

107 33

32 642 2 . 10 1

13 3

02 2 29 107 64

.

15. (UFRJ) As contas correntes de um banco são codificadas através de um número sequencial seguido de um dígito controlador. Esse dígito controlador é calculado conforme as orientações abaixo:

PROCESSO DE CODIFICAÇÃO DE CONTAS CORRENTES Número sequencial: abc  vetor u = (a,b,c)

Ano de abertura da conta: xyzw  vetor v = (y,z,w) Produto Escalar: u . v = a. y + b. z + c.w

Dígito controlador: d é o resto da divisão do produto u.v pela constante 11; para resto 0 ou 10, teremos d = 0. A conta 643-5, aberta na década de 80, foi cadastrada no ano de:

A) 1985 B) 1986 C) 1987 D) 1988 Solução. Pelas informações, u = (6, 4, 3) e v = (9, 8, w).

O produto escalar vale u . v = (6).(9) + (4).(8) + (3).(w) = 86 + 3w. O resto dessa expressão por 11 deve ser 5, dígito verificador. Isto é (86 + 3w) + 5 deve ser múltiplo de 11. O 1º múltiplo de 11 maior que 86 que satisfaz essa condição é 99, pois

w Mult

Mult

w ( 11 ) 5 ( 11 ) 81 3 3

86       .

O número 88 não serve, pois 7 não é da forma (3w). Logo deve ser 99 = 81 + 18 = 81 + (3.6).

Logo, w = 6. A conta foi cadastrada em 1986.