Apêndice B
Revisão: Notações Tensorial e Simbólica
Este apêndice complementa a revisão matemática iniciada no Apêndice A. As relações aqui deduzidas se aplicam a sistemas de coordenadas retangulares, para vetores no espaço tridimensional. Os diversos tipos de produtos e operadores apresentados são usados eminentemente nos capítulos 6, 7 e 8 da apostila. Na medida do possível, todas as operações são apresentadas nas notações vetorial, tensorial, matricial e simbólica. Ao leitor interessado em se aprofundar no assunto, recomenda-se consultar as referências [1], [2] e [3].
B.1- Produto escalar entre vetores
Como se sabe, dados dois vetores u u
1x ˆ
1 u
2x ˆ
2 u
3x ˆ
3e v v
1x ˆ
1 v
2x ˆ
2 v
3x ˆ
3, define- se o produto escalar (single dot) de u
e v
como:
3 3 2 2 1
1
v u v u v
u v
u
(B.1) e assim, o resultado de um produto escalar dois vetores é um escalar.
Na notação tensorial, ter-se-ia u u
ix ˆ
i, v v
ix ˆ
i, onde o índice repetido i implica em somatório para i=1, 2 e 3:
ij j i j i j i j j i
i
x v x u v x x u v
u v
u ( ˆ ) ( ˆ ) ( ˆ ˆ )
(B.2)
sendo
ijo delta de Kronecker. Como
ij 0 somente para i=j (e seu valor é unitário), tem-se também
i i
v u v u
(B.3) Em notação matricial, o produto escalar dos vetores u e v é dado por
31 3 1 3 1
i i i
Tx
u v
x
v
u (B.4)
B.2 – Notação de produto diádico
A notação de produto diádico para tensores (single dot, também), que define a forma para
se escrever o produto matricial
1
1 x x
x nn n
n
T v
u (B.5)
num sistema de coordenadas retangular, é T
Tv v T
u ~ ~
(B.6)
Ressalta-se que esta representação simbólica não deve ser interpretada somente como uma outra forma de se escrever o produto matricial. Na verdade, simboliza uma operação que relaciona um vetor físico ou geométrico com outro, sendo que não se depende do sistema de coordenadas usado para a representação. Por outro lado, Tv é o produto matemático de matrizes apropriadas das componentes de T ~
e de v ~ num dado sistema de coordenadas. Contudo, num sistema de coordenadas retangular, a forma matricial sempre pode ser usada para representar a operação
v T
~
. Alguns autores usam a notação de operação simbólica de produto diádico sem o ponto:
v T
u ~ (B.7)
É importante enfatizar que o produto diádico converte o produto de uma matriz por um vetor em outro vetor.
A seguir, apresentam-se algumas propriedades das diádicas (para coordenadas retangulares):
a) S ~ T ~ U ~
equivale a S
ij T
ij U
ij(B.8 a)
b) ~ )
(
~ )
( T v T v
(B.8 b)
c) T ~ U ~ U ~ T ~ (B.8 c)
d) T U V T U V ~
~ ) ( ~
~ ) ( ~
~ (B.8 d)
e) T T ~
) (
~ )
(
(B.8 e)
f) T ~ T ~
1 (B.8 f)
g) T ~ T ~ T ~
)
( (B.8 g)
h) T U T ~ U ~
~ )
( ~
(B.8 h)
B.3- Produto escalar de dois tensores
O produto escalar de dois tensores é denotado por T U ~
~ :
e corresponde (em coordenadas retangulares) a
ij ij
U T U T ~
~ :
(B.9)
e resulta num escalar. De fato, percebe-se que
33 33 32 32 31 31 23 23 22 22 21 21 13 13 12 12 11 11
3 3 2 2 1 1
: ~
~
U T U T U T U T U T U T U T U T U T
U T U T U T U
T
j j j j j j
(B.10) é um escalar.
A seguir, apresentam-se algumas propriedades do produto escalar de dois tensores:
a) T U U T ~
~ : : ~
~ (B.11 a)
b) T U V T U T V ~
~ : : ~ ) ~
~ ( ~
~ : (B.11 b)
c) ~ )
(
~ : : ~
~ ) (
~ )
~ :
( T U T U T U
(B.11 c)
d) ~ 0
~ : T
T a não ser que T ~ ~ 0 (B.11 d)
Dados os vetores, em notação matricial, a [ U
11U
12U
13] , b [ U
21U
22U
23] , etc, então
31 3
1 3
1 3
1 3 1
3 1
3 1
3 1
3 1
:
i i i i
i i i
i i T
T T T
f c e
b d
a f
c e b d a f
e d
c b a
x x x
x x x
(B.12)
B.4 – Produto tensor de dois vetores
O produto tensor (ou produto aberto) de dois vetores, denotado por a b
(ou a b
), é um tensor de segunda ordem ou diádica, definido pela seguinte exigência
) ( )
( a b v a b v
(B.13 a)
ou
) ( )
( a b v a b v
(B.13 b)
para todos os vetores v
, sendo que ( ) denota produto diádico e ( ) é o produto escalar entre vetores.
Então, se T a b
~
, ocorre )
~ (
v b a v
T
(B.14)
para todo v
, em conformidade com a discussão da seção B.2, onde se estabeleceu que o produto diádico entre matriz e vetor resulta em vetor.
Em coordenadas retangulares, tem-se que T ~
corresponde à
j i
ij
a b
T , para i,j=1, 2, 3 (B.15)
resultando em cada elemento do tensor T ~
.
Em notação matricial, o produto tensor a b
é dado por:
T T T T
b b b
a a a
a a a
a a a
T ~ [ a a a ] b
3 2 1
3 3 3
2 2 2
1 1 1
(B.16)
sendo a [ a
1a
2a
3] e b [ b
1b
2b
3] . B.5 – Produto de duas diádicas
O produto de dois tensores de segunda ordem (diádicas), denotado por T ~ U ~
. , designa a composição de duas operações T e U, com a de U realizada primeiro, definida pela exigência:
~ )
~ (
. ~
~ U v T U v
T (B.17)
para todos os vetores v
, onde ( ) denota produto diádico de matriz por vetor. Observe que isto torna necessário que T ~ U ~
. resulte numa diádica.
Se P T U ~
~ .
~ , em notação tensorial, tem-se
kj ik
ij
T U
P (B.18)
ou em notação matricial TU
P (B.19)
A seguir, apresentam-se algumas propriedades do produto de duas diádicas:
a) ~ )
~ .
~ .(
). ~ . ~
( T ~ U R T U R (B.20 a)
b) T U R T U T R ~
~ . . ~ ) ~
~ .( ~
~ (B.20 b)
c) U R T U T R T ~
~ . . ~
~ ). ~
~
( ~ (B.20 c)
d) ~ )
~ .(
~ )
~ ).
(
~ )
~ .
( T U T U T U
(B.20 d)
e) T T T ~
~ 1
~ . . ~
1 ~ (B.20 e)
B.6 – Gradiente de função escalar
O gradiente de uma função escalar é definido por
k
k
x
F F
)
( (B.21)
onde se fornece cada componente. Em notação simbólica (em coordenadas retangulares), tem-
se
k k
x x
F F ˆ
, para k=1, 2, 3 (B.22)
Como se observa, este tipo de gradiente transforma um escalar num vetor. Outras notações usadas na literatura são:
k k
k
F x F
F
,
, para k=1, 2, 3 (B.23 a)
e
x k k
k
F x F
x
F ˆ ˆ
, (B.23 b)
Se o operador for tratado como o vetor simbólico
3 3 2 2 1
1
ˆ ˆ
ˆ x x
x x x x
, então, o
gradiente corresponde ao simples produto entre o vetor e o escalar F (em coordenadas retangulares).
B.7 – Divergente de um vetor
O divergente de um vetor, em coordenadas retangulares, é definido por ˆ )
ˆ ˆ ˆ (
ˆ
ˆ
1 2 3x
1v
xx
2v
yx
3v
zx z
x y x x
v
(B.24)
ou
i i i i y z
x
v
x v z x v y v x
v v ˆ
3
,
(B.25)
Verifica-se, assim, que o divergente de um vetor resulta num escalar (ao contrário do gradiente). Com isso, verifica-se que se for tratado como um vetor, a divergência corresponde ao produto escalar entre vetores estudados na seção B.1.
B.8 – Rotacional de um vetor
O rotacional de um vetor é definido, em coordenadas retangulares, como
i j k ijk z
y x
x v u
u u
z y
x
x x
x
v / / / ˆ
ˆ ˆ
ˆ
, 3
2 1
x (B.26)
sendo que
ijké o tensor permutação, definido como
repetidos são
índices dois
quando ,
0
132 de cíclica comutação por
obtido é índices de
conjunto o
quando ,
1
123 de cíclica comutação por
obtido é índices de
conjunto o
quando ,
1
ijk(B.27)
O termo v
k,jcorresponde à v
j/ x
kcomo descrito na seção B.6 ( v
,j / j ). A forma tensorial em (B.26) tem índices i, j e k repetidos, implicando em somatório triplo. Como se observa, o rotacional de um vetor resulta num outro vetor.
B.9 – Laplaciano de função escalar
O operador laplaciano de uma função escalar é definido como
2 2 2 2 2 2 2
z F y
F x
F F
F
(B.28)
Neste caso, tanto F quanto o seu laplaciano resultante são funções escalares.
Em notação tensorial, costuma-se escrever (B.28) como F
kkF
,2
(B.29)
onde a representação com vírgula, F
,k, indica uma derivação em relação a x
k. O duplo índice (,kk) implica tanto em derivada dupla em relação a x
k, quanto somatório (pois o índice k é repetido), ou seja
31 , ,
k k
kk
F
F (B.30)
B.10- O gradiente de um vetor
Na seção B.6 se discutiu o gradiente de um escalar. A fim de se introduzir o conceito de gradiente de um vetor de forma matematicamente precisa, considere-se o exemplo de um deslocamento u
de um ponto em x
com relação a uma origem arbitrária x
0, como esquematizado na Fig. B.1.
Figura B.1 – Deslocamento generalizado de um segmento de linha d x
. O ponto x
0se desloca de uma quantidade u ( x
0)
, enquanto o outro ponto extremo, x
0 d x , desloca-se por u ( x
0 d x ).
Tomando-se os dois primeiros termos da série de Taylor da expressão de u
em torno de x
0:
...
) ( ) (
0
0
jj x i i
i
dx
x x u u x u
para i=1, 2, 3 (B.31)
sendo u
ia componente i do vetor u
. O índice repetido (j) implica em somatório. O termo u
i( x
0)
representa a translação de corpo sólido, pois todos os pontos na vizinhança de x
0compartilham o mesmo deslocamento. Expandindo-se (B.31) (usando-se apenas as duas primeiras parcelas da série de Taylor), tem-se:
j j
x dx x u
u x
u
1 0 11
( ) ( )
(B.32 a)
j j
x dx x u
u x
u
2 0 22
( ) ( )
(B.32 b)
j j
x dx x u
u x
u
3 0 33
( ) ( )
(B.32 c) ou então, na forma matricial (para j=1, 2 e 3)
3 2 1
3 3 2 3 1 3
3 2 2 2 1 2
3 1 2 1 1 1
0 3
0 2
0 1
3 2 1
/ /
/
/ /
/
/ /
/
) (
) (
) (
) (
) (
) (
dx dx dx
x u x u x u
x u x u x u
x u x u x u
x u
x u
x u
x u
x u
x u
(B.33)
Em notação vetorial, (B.33) é escrito como x
d u x
u x
u
( ) )
(
0(B.34)
onde u
ou
ij u
i/ x
jé denominado de tensor gradiente do deslocamento. Como se observa, o gradiente de um vetor resulta numa matriz. Infelizmente, o tensor u não é simétrico, o que limita diretamente seus limites de aplicação.
O tensor gradiente do deslocamento pode ser separado nas partes simétrica e anti- simétrica como:
j i
j j i j
i j j i i
i
dx
x u x dx u
x u x x u
u x
u
2
1 2
) 1 ( )
(
0(B.35) os quais podem ser associados a tensores de deformação e rotação. Expandindo (B.35) e expressando na forma matricial:
3 2 1
3 3 3
2 2 3 3
2 1 3
2 3 3 2 2
2 2
1 1 2
1 3 3 1 1
2 2 1 1
1
0 3
0 2
0 1
3 2 1
2 1 2
1
2 1 2
1
2 1 2
1
) (
) (
) (
) (
) (
) (
dx dx dx
x u x
u x u x
u x u
x u x u x
u x
u x u
x u x u x
u x u x
u
x u
x u
x u
x u
x u
x u
3 2 1
3 2 2 3 3
2 1 3
2 3 3 2 2
1 1 2
1 3 3 1 1
2 2 1
2 0 1 2
1
2 0 1
2 1
2 1 2
0 1
dx dx dx
x u x u x
u x u
x u x u x
u x u
x u x u x
u x u
(B.36)
Assim,
x d u x d u x
u x
u ( ) (
0)
S
A (B.37)
sendo
u u u
S
A
(B.38 a)
ij ij
ij
S R
(B.38 b)
e onde S
ije R
ijsão definidos abaixo.
A parte simétrica do tensor gradiente do deslocamento é
3 3 3
2 2 3 3
2 1 3
2 3 3 2 2
2 2
1 1 2
1 3 3 1 1
2 2 1 1
1
2 1 2
1
2 1 2
1
2 1 2
1
x u x
u x u x
u x u
x u x u x
u x
u x u
x u x u x
u x u x
u
S
u
(B.39)
ou então (ver Capítulo 6):
i j j i
ij
x
u x S u
2
1 , para i,j=1, 2 e 3 (B.40)
A parte anti-simétrica do tensor gradiente do deslocamento é
2 0 1 2
1
2 0 1
2 1
2 1 2
0 1
3 2 2 3 3
2 1 3
2 3 3 2 2
1 1 2
1 3 3 1 1
2 2 1
x u x u x
u x u
x u x u x
u x u
x u x u x
u x u
A
u
(B.41)
ou então (ver Capítulo 6):
i j j i
ij
x
u x R u
2
1 , para i,j=1, 2 e 3 (B.42)
Assim, (B.37) pode ser escrita como:
j ij j ij i
i
x u x S dx R dx
u ( ) (
0)
(B.43)
B.11- Notação simbólica para strain
Partindo-se da expressão (B.40), para i,j=1, 2 e 3, tem-se:
1 1
11
x
S u
(B.44 a)
2 2
22
x
S u
(B.44 b)
3 3
33
x
S u
(B.44 c)
32 2
3 3 2
23
2
1 S
x u x
S u
(B.44 d)
31 1
3 3 1
13
2
1 S
x u x
S u
(B.44 e)
21 1
2 2 1
12
2
1 S
x u x
S u
(B.44 f)
A partir daí, define-se a matriz S ~
como
3 4
5
4 2 6
5 6
1
33 32 31
23 22 21
13 12 11
2 / 2 /
2 / 2
/
2 / 2 /
~
S S
S
S S S
S S
S
S S S
S S S
S S S
S (B.45)
onde foi empregada a notação de Voigt (111, 222, 333, 234, 135, 126). A relação (B.45) também costuma ser expressa nos textos de mecânica dos sólidos como [3]:
z y x
u u u
x y
x z
y z
z y
x
S S S S S S
S S S S S S
.
0 /
/
/ 0 /
/ /
0
/ 0 0
0 /
0
0 0
/
2 2 2
12 13 23 33 22 11
6 5 4 3 2 1
(B.46)
Em notação simbólica, (B.46) é escrita como:
u S ~
s
(B.47) onde
sé a parte simétrica do gradiente de u
i.
Derivando (B.47) no tempo, tem-se t v
u t
S
s s
~
(B.48)
Como o operador
sem (B.46) é uma matriz 6x3, então, também se usa a representação:
Ij
s
, para I=1, ..., 6 (6 linhas) e j=1, 2 e 3 (3 colunas), ou seja
I j j I
IJ
x
u x u
(B.49)
Nota-se que, se não houver rotação, então R
ij 0 , e
ij S
ij, isto é, torna-se igual ao gradiente total. De fato, se não há rotação, então,
2 0 1
1 2 2
1
x u x
u
1 2 2 1
x u x u
2 1 1
2 2 1
2 1
x u x
u x u
(B.50 a)
2 0 1
1 3 3
1
x u x
u
1 3 3 1
x u x u
3 1 1
3 3 1
2 1
x u x
u x u
(B.50 b)
e então, (B.43) torna-se, para i=1
3 2 1
3 1 2 1 1 1 0
1
1
( ) ( ) .
dx dx dx x u x u x x u
u x
u
(B.51)
e idem para u
2( x )
e u
3( x )
. Nesta situação, pode-se escrever que x
d u x
u x
u . ) ( )
(
0 (B.52)
como havia sido anunciado em (B.34), porém, agora, com u
su
. Nesta situação, (B.48) torna-se
v t v
S
s
~
(B.53) ou então
j ij i
x v t S
(B.54)
Ou seja, se não há rotação, u só exibe a parte simétrica
su , o qual passa a ser simplesmente a matriz u com u
1/ x
2 u
2/ x
1, u
1/ x
3 u
3/ x
1, etc. Como discutido no capítulo 6, equivale a se ter ângulos
1
2durante a deformação.
B.12- Dilatação
A dilatação do vetor u
, , corresponde a um divergente de vetor, definido conforme
33 22 11 3 3 2 2 1
1
S S S
x u x u x
u u
(B.55)
ou então, em notação matricial
3 3
2 2
1 1 3 1 2 1 1
1
ˆ
ˆ ˆ ˆ . ˆ
ˆ
x u
x u
x u x x
x x
x x (B.56)
B.13- Stress
A equação de movimento (lei de Newton) descrita no Capítulo 6, por (6.84), estabelece que
2 2
t u x
T
ij ij
(B.57)
a qual, na versão expandida, torna-se
2 3 2
3 33 2
32 1
31
2 2 2
3 23 2
22 1
21
2 1 2
3 13 2
12 1
11
t u x
T x T x T
t u x
T x T x T
t u x
T x T x T
(B.58)
O sistema (B.58) pode ser escrito como o produto de um vetor por uma matriz (diádica):
3 3
2 2
1 1 2 2
33 23 13
32 22 12
31 21 11 3
3 2 2 1
1
ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ
x u
x u
x u T t
T T
T T T
T T T x x
x x
x x (B.59)
Neste estágio, pode-se recorrer à definição de produto diádico (single dot) estudado na seção
B.2, e se escrever (B.59) como
2
~
2t T u
(B.60)
desde que se opere no sistema de coordenadas retangulares.
Conforme havia sido estabelecido na definição do produto diádico, o operador divergente matricial transforma uma diádica (um matriz) num vetor.
Em notação de índices reduzidos, o tensor stress dado em (B.59) é escrito como
3 4 5
4 2 6
5 6
~
1T T T
T T T
T T T
T (B.61)
no qual observa-se que os fatores ½ [como os usados em (B.45)]) não são necessários. Já a equação de movimento (B.57) torna-se
t T v
~
(B.62)
Em notação simbólica, a equação de movimento (B.57), ou (B.62), para índices reduzidos, fica como
z y x
v v v t
T T T T T T
x y
z
x z
y
y z
x
6 5 4 3 2 1
. 0 /
/ /
0 0
/ 0 /
0 /
0
/ /
0 0
0 /
(B.63)
onde foi necessário se aplicar
Ts, a transposta de
s. Assim, tratando-se T ~
na forma de matriz coluna, dada em (B.63), tem-se
t T v
T
s
