USO DE MODELOS AUTO-REGRESSVO E MÉDIAS-MÓVEIS PARA GERAÇÃO DE VAZÕES MÉDIAS MENSAIS NA BACIA HIDROGRÁFICA DO ALTO SÃO FRANCISCO
Josiclêda Domiciano Galvíncio, Francisco de Assis Salviano de Sousa e Inajá Francisco de Sousa Universidade Federal da Paraíba - CCT/DCA, Av. Aprígio Veloso, 882, Campina Grande-PB
josicle@dca.ufpb.br ABSTRACT
This study presents two models AR(1) and MA(1) for generating mean monthly streamflows at five locations in the San Francisco river basin. The validity of the models is tested by means of an efficiency equation.
Values of efficiency for the models varied between 5.9 and 6.3 indicating low efficiency particularly in representing observed maximum values. The MA(1) model can be used to generate synthetic series of monthly mean streamflows at Santo Inácio and Ponte do Bicudo. How ever, the model does not represent well the extreme values at Ponte do Bicudo and the persistency of the historical series at Santo Inácio. The AR(1) model represents the extreme values at Ponte do Bicudo reasonably well but does not adequately generate the intermediate values.
INTRODUÇÃO
Desde épocas mais remotas que o homem procura conhecer, de forma empírica, e mais recentemente de forma científica, como se desenvolverão as complexas interações do meio ambiente.
Em recursos hídricos, procura-se sintetizar esse conhecimento através de modelos que possam quantificar, qualificar e gerenciar a água disponível no ciclo hidrológico. A importância do gerenciamento e planejamento dos recursos hídricos, aumenta na proporção em que esses recursos se apresentam de forma escassa, especialmente nas regiões semi-áridas do mundo, onde ocorrem baixa taxa de pluviometria, alta taxa de evaporação e irregular distribuição espaço-temporal das chuvas. Nessas regiões a água é um elemento fundamental no quadro sócio- econômico da região, gerando a necessidade de racionalização do seu uso. Portanto, o planejamento dos recursos hídricos ganha dimensão fundamental; através dele se estabelecem diretrizes a serem seguidas para proporcionar um melhor aproveitamento, controle e conservação desses recursos.
A simulação de um modelo sintetiza passado, presente e futuro no entanto, há diferenças entre a realidade dos eventos observados e estimados. Estas diferenças representam as incertezas dos modelos e, uma forma de minimizá-las é selecionar o modelo com base em critérios físicos do sistema. Esses critérios podem ser representados por expressões matemáticas e/ou matemática-estatísticas ou estocásticas.
SOUSA (1991) apresentou simulações para vazões anuais, usando os modelos autoregressivos AR (p) médias móveis MA (q) e autoregressivos médias-móveis ARMA (p, q) e em seguida desagregou-as em vazões mensais. O autor conclui que os modelos ARMA (p, q) representam melhor as séries históricas do que os modelos autoregressivos (AR) e médias-móveis (MA). Segundo SOUSA (1991), esse ajuste dos dados a modelos ARMA comprova uma maior flexibilidade no tocante aos parâmetros p e q.
Neste trabalho é apresentado dois modelos para gerar vazões médias mensais: o autoregressivos (AR) e o médias-móveis (MA). O objetivo aqui é o de obter o melhor ajuste dos dados a um dos modelos e elegê-lo como o mais apropriado para gerar séries sintéticas de vazões.
MATÉRIAS E MÉTODOS
Neste estudo foram utilizados dados de vazões médias mensais da sub-região do Alto São Francisco (ASF), no período de 1978 a 1983, como mostrados na Tabela 1.
Tabela 1- Localização, sub-bacia e área de drenagem pertencente aos postos em estudo
Estação fluviométrica / Nome do rio Latitude Longitude SB* Área de Drenagem (Km2) Santo Inácio / Rio Urucuia 16,28 45,4 43 23765
Vila Urucuia / Rio Urucuia 16,3 45,74 43 18600 São Romão / Rio São Francisco 16,37 45,05 43 154100 Várzea da Palma / Rio das Velhas 17,59 44,71 41 25940 Ponte do Bicudo / Riacho do Bicudo 18,03 44,57 41 1922 ∗ SB = Sub-bacia
Modelos Auto-regressivos – AR(p)
Neste modelo o valor do processo é expresso com um agregado linear dos valores anteriores e a adição do distúrbios εt, ou seja:
p t p t t
t Yt Y Y
Y =φ1 −1 +φ2 −2 +...+φ − +ε (1)
em que os φ’s são os coeficientes auto-regressivos, εt o ruído branco e Yt a vazão no mês t. Representando o operador autoregressivo de ordem p por:
∑
=
−
= P
v j j
p B B
1
1 φ
φ ( ) (2)
pode-se representar a Eq.(1) de forma compacta,
t t
p(B)Y =Z
φ (3)
O modelo contém (p+2) parâmetros desconhecidos: µ, φ1, φ2, ... φp, σ2ε, que são estimados por regressão e correlação linear múltipla e/ou por relações com os coeficientes de autocorrelação, inferidos a partir da amostra.
Na prática, normalmente, as amostras são pequenas e não fornecem justificativas estatísticas para o uso de modelos com ordem p>2, isto é o que afirma Box e Jenkins (1970). A equação (3) pode ser reescrita como:
t
t p B
Y =φ−1( )ε (4)
e a série Yt pode ser tratada como a saída de um filtro linear com função de transferência (B)
φ−p1 , após a entrada do ruído branco εt.
Modelos Médias-Móveis – MA(q)
Nos modelos médias-móveis Yt é considerado linearmente dependente de um número finito, q, de ruídos brancos, ou seja, Yt representa o modelo linear, porém com o somatório truncado em q termos. Matematicamente:
q t q t
t t t
Y =ε −θ1ε −1 −θ2ε −2 −...−θ ε − (5)
em que os θ’s são os coeficientes médias-móveis, εt o ruído branco e Yt é a vazão mensal no mês t. Representando o operador média-móvel de ordem q por:
∑
=
−
= q
j j j
q B B
1
1 θ
θ ( ) (6)
A equação (6) pode ser expressa por:
t
t q B
Y =θ ( )ε (7) Esse modelo contém (q+2) parâmetros desconhecidos: µ, φ1, φ2, ... φp, σ2ε, que devem ser estimados por método semelhante ao do modelo auto-regressivo. Não há justificativas estatísticas, também, para o uso de modelos com ordem q superior a 2, segundo BOX & JENKINS (1970).
Verificação dos modelos
A verificação dos modelos deverá demonstrar que os modelos postulados foram implementados corretamente, ou seja, que preservam, por construção, estatisticamente o primeiro e o segundo momentos. As estatísticas utilizadas aqui serão: o coeficiente de assimetria e o coeficiente de autocorrelação de lag 1. Para análise dos resíduos dos modelos selecionados, será utilizado o teste de Porte Manteau.
Validação dos modelos
A qualidade da simulação quando comparada com os dados históricos e algumas interpretações, são critérios apropriados para o propósito da validação, STENDINGER & TAYLOR (1982). A validação dos modelos para a geração de vazões mensais requer que os valores sintéticos mantenha uma boa aproximação dos valores históricos, SILVEIRA apud VIANA(1986) propõe a minimização do critério de eficiência para validar os modelos:
2 1
( )
N
si hi
i
hi
Y Y
E N Y
=
-
= ×
å
(8)
em que E é a eficiência, Ys é a vazão mensal sintética, Yh é a vazão mensal histórica e N é o número de observações da série temporal.
RESULTADOS E DISCUSSÃO
Os dois modelos aqui estudados preservaram os dois primeiros momentos. A validação dos modelos deu-se pelo o uso da Eq.(8). Os valores calculados para a eficiência de cada um dos modelos, entre 5,9 e 6,3, indicam baixa eficiência, principalmente na representação dos picos (valores extremos) observados. As Figuras 1 a 5 exibem os valores observados (os primeiros 60 valores) e estimados (os últimos 30 valores) das séries estudadas, utilizando o modelo MA(1). Nota-se que, para as estações Santo Inácio (Figura 5) e Ponte do Bicudo (Figura 1), o modelo mostrou-se mais adequado para gerar séries sintéticas de vazões mensais; nas demais localidades a utilização do modelo deve ser precedida de cautela. Duas características devem ser ressaltadas: 1) a persistência da série histórica, na estação de Santo Inácio, não foi preservada pelo modelo; 2) o modelo não representa o valor extremo histórico, na estação Ponte do Bicudo. As Figuras 6 a 10 exibem os valores observados (os primeiros 60 valores) e estimados (os últimos 30 valores) das séries estudadas, utilizando o modelo AR(1). Pode ser visto que, para a estação Ponte do Bicudo (Figura 6), o modelo representa muito bem os extremos (superiores e inferiores), mas em contrapartida não gera de forma adequada os valores intermediários de vazões. Aqui, também, a persistência da série histórica não foi preservada pelo modelo. Segundo os resultados das análises dos correlogramas, o AR(1) não deve ser recomendado para gerar vazões médias mensais nas demais localidades.
CONCLUSÃO
Após os resultados conclui-se que o modelo MA(1) pode ser utilizado para gerar séries sintéticas de vazões mensais nas localidades de Santo Inácio e Ponte do Bicudo. Nas demais localidades a utilização do modelo deve ser precedida de cautela. Deve-se ressaltar duas características: 1) a persistência da série histórica, na estação de Santo Inácio, não foi preservada pelo modelo; 2) o modelo não representa o valor extremo histórico, na estação Ponte do Bicudo. O AR(1), na estação Ponte do Bicudo, representa muito bem os valores extremos (superiores e inferiores), mas em contrapartida não gera de forma adequada os valores intermediários de vazões. Aqui, também, a persistência da série histórica não foi preservada pelo modelo.
0 50 100 150 200 250
0 20 40 60 80 100
Meses
Vazões (m3/s)
Figura 1 – Vazões médias mensais (observada e estimada) usando MA(1) para estação Ponte do Bicudo
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600
0 20 40 60 80 100
Meses
Vazões (m3/s)
Figura 2 – Vazões médias mensais (observada e estimada) usando MA(1) para estação de Várzea de Palma
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000
0 20 40 60 80 100
Meses
Vazões (m3/s)
Figura 3 - Vazões médias mensais (observada e estimada) usando MA(1) para a estação de São Romão
0 200 400 600 800 1000 1200
0 20 40 60 80 100
Meses
Vazões (m3/s)
Figura 4 - Vazões médias mensais (observada e estimada) usando MA(1) ) para estação de Vila Urucuia
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
0 20 40 60 80 100
Meses
Vazões (m3/s)
Figura 5 - Vazões médias mensais (observada e estimada) usando MA(1) para a estação de Santo Inácio
0 20 40 60 80 100 120
0 20 40 60 80 100
Meses
Vazões (m3/s)
Figura 6 - Vazões médias mensais (observada e estimada) usando AR(1) para estação Ponte do Bicudo
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600
0 20 40 60 80 100
Meses
Vazões (m3/s)
Figura 7 - Vazões médias mensais (observada e estimada) usando AR(1) para estação de Várzea de Palma
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000
0 20 40 60 80 100
Meses
Vazões (m3/s)
Figura 8 - Vazões médias mensais (observada e estimada) usando AR(1) para a estação de São Romão
0 200 400 600 800 1000 1200
0 20 40 60 80 100
Meses
Vazões (m3/s)
Figura 9 - Vazões médias mensais (observada e estimada) usando AR(1) ) para estação de Vila Urucuia
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
0 20 40 60 80 100
Meses
Vazões (m3/s)
Figura 10 - Vazões médias mensais (observada e estimada) usando AR(1) para a estação de Santo Inácio
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BOX, G. E. P. & JENKINS, G. M. – Time Series Analysis, Forecasting and Control. San Francisco, Holden-Day, pág. 553, 1970.
SOUSA, F. de A. S. Modelo Estocástico de Vazões Mensais Utilizando o Método de Desagregação de Valencia- Schaake. Dissertação apresentada à Escola de Engenharia de São Carlos, da Universidade de São Paulo.
Pág.110, 1991.
STEDINGER, J. R. & TAYLOR, M.R. Synthetic Streamflow Generation. 1. Model Verification and Validation, Water Resources Research, p. 909-918, 1982.
VIANA, F. L. Comportamento Hidrológico das Pequenas Bacias do Nordeste. Dissertação de Mestrado em Recursos Hídricos. Universidade Federal do Ceará. Fortaleza, p.136, 1986.
