Transmissão de Informação em Redes Complexas

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Transmiss˜

ao de Informa¸c˜

ao em Redes

Complexas

Alberione Braz da Silva

Fabio Willian Zamoner

Roberto Alves Gueleri

9 de junho de 2011

Resumo

A transmissão de informa¸cão procura modelar a propaga¸cão de doen¸cas em popula¸cões, v´ırus em redes de computadores, dentre outras coisas. Assu-mindo uma popula¸cão formada por uma rede de indiv´ıduos, este trabalho descreve os modelos epidemiológicos SIS e SIR. Parte-se da descri¸cão de como um indiv´ıduo pode contaminar seus vizinhos e chega-se a uma discussão sobre o comportamento macroscópico da doen¸ca sobre a popula¸cão. É mostrada a influência de algumas topologias de rede sobre a dinâmica de propaga¸cão da informa¸cão. Traz-se também uma discussão sobre percola¸cão em redes, utilizando-a para caracterizar epidemias e estudando-se como a imuniza¸cão de indiv´ıduos numa popula¸cão ou o ataque à computadores numa rede podem afetar a percola¸cão.

1 Introdu¸

c˜

ao

(2)

Apesar do nosso foco ser em matemática computacional, a transmissão da informa¸cão, dinâmica de propaga¸cão e redes complexas são abordagens essen-cialmente interdisciplinares podendo tratar desde um processo epidemiológico até um processo viral em computadores.

No processo de transmissão de informa¸cão, o modelo da rede complexa utilizada pode influenciar no estudo do comportamento coletivo, devido a forma como estão estruturadas as liga¸cões, como acontecem a expansão da rede e se existem preferências nas liga¸cões entre os elementos (nós) etc. [20]. Uma topologia do tipo mundo pequeno, por exemplo, descreve uma rede que tem uma distância pequena entre os elementos, porém com um alto grau de aglomera¸cão mostrando um padrão de intera¸cão entre os elementos sem considerar as limita¸cões geográficas. As redes livres de escala têm uma es-trutura¸cão dinâmica muito especifica que é a tendência de um novo vértice fazer a conexão com vértices de grau elevado, ou seja, as redes livres de es-cala tem uma estrutura com vértices altamente conectados (HUBs) e muitos outros vértices com poucas conexões [15, 14]. Com esta abordagem e num processo infeccioso, por exemplo, as redes do tipo pequeno mundo tem a propaga¸cão da doen¸ca local e rápida, podendo atingir grandes distâncias na rede. Enquanto que, neste mesmo processo, as redes do tipo livre de escala estão mais direcionadas a preven¸cão das epidemias, pois possuem nós mais ativos – mais conectados –, que podem ser os alvos de a¸cões erradicadoras das doen¸cas (epidemias).

No contexto de epidemiologia, o maior desafio dos pesquisadores desta ´

area, hoje, é representar através de modelos de redes complexas as intera¸cões entre grupos de pessoas, para caracterizar as propriedades naturais da doen¸ca a ser estudada. Neste processo de propaga¸cão de epidemia, a rede complexa pode modelar uma estrutura social para descrever o seu comportamento cole-tivo. A modelagem epidêmica da transmissão de informa¸cão, para um melhor entendimento, pode ser dividida em três etapas:

1. Inicia-se a infeçcão da rede, que é caracterizada por um per´ıodo de ru´ıdos;

2. Acontece o surto e a propaga¸cão da infeçcão para o resto da rede; e 3. a doen¸ca come¸ca a ser combatida.

(a) O sistema é conduzido a uma fase ativa e estacionária, fase esta, em que a propor¸cão de indiv´ıduos doentes mantem-se constante; ou

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No processo infeccioso, ainda, a escolha do modelo para caracterizar a dinâmica da transmissão da informa¸cão depende das propriedades da doen¸ca ou do compartimento atribu´ıdo ao indiv´ıduo com o objetivo de simular o comportamento desta mesma doen¸ca. Os compartimentos básicos que podem ser atribu´ıdos aos indiv´ıduos são:

• Suscet´ıveis, quando os indiv´ıduos estão propensos a adquirir a infeçcão; • Infectados, quando os indiv´ıduos adquiriram a doen¸ca efetivamente; e • Recuperados, quando os indiv´ıduos saem do processo infeccioso e estão

imunes a poss´ıveis reca´ıdas, seja a imunidade tempor´aria ou perma-nente [11].

Existem outros compartimentos em que os indiv´ıduos podem ser envol-vidos, tais como, escondido quando existe um per´ıodo de latência no com-portamento de propaga¸cão da infeçcão, passivamente imune quando existe uma resistência natural ao processo infeccioso, e outras varia¸cões dos com-partimentos básicos. Em resumo, o modelo de propaga¸cão de epidemias por transmissão de informa¸cão que for escolhido, definirá o modelo matemático epidemiológico mais preciso para servir como um instrumento conceitual ele-mentar para suportar a compreensão dos impactos das doen¸cas ou da forma que ocorre a ativa¸cão e a elabora¸cão de estratégias efetivas para o seu con-trole e conten¸cão [2, 10, 4]. Assim, os modelos epidemiológicos são muitas vezes concebidos seguindo os padrões de fluxos de transmissão de informa¸cão com uma abordagem baseada em rede que pode ser representada matema-ticamente através de grafos, de tal forma que os elementos do sistema são representados por vértices, e suas poss´ıveis inter-rela¸cões representadas por arestas, e explicitando-se os compartimentos atribu´ıdos aos indiv´ıduos em cada uma das fases da doen¸ca, tais como suscet´ıvel-infectado-suscet´ıvel, sus-cet´ıvel-infectado-recuperado, suscet´ıvel-escondido-infectado-suscet´ıvel, entre outras combina¸cões [2]. Além dos padrões de fluxos dos modelos epide-miológicos, existem outros fatores que podem afetar o comportamento co-letivo do processo modelado, onde podemos citar: a idade e a estrutura social da popula¸cão; a rede de contato entre indiv´ıduos; e as caracter´ısticas da meta-popula¸cão tais como o peda¸co de uma estrutura geográfica. Estes fatores são de particular relevância para um modelo epidemiológico real [2].

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em redes de computadores. Este trabalho objetiva mostrar alguns modelos de transmissão de informa¸cão e sua dinâmica, discutindo-se como essa dinâmica ´

e influenciada pela topologia e pela modifica¸c˜ao de alguns elementos da rede.

2 O modelo SIS

SIS (Susceptible-Infected-Susceptible) é um modelo utilizado na Epidemiolo-gia para descrever a propaga¸cão de alguma doen¸ca em uma popula¸cão [10, 15]. Considera dois tipos (compartimentos) de indiv´ıduos: suscet´ıveis (saudáveis) e infectados (doentes). Os indiv´ıduos suscet´ıveis podem tornar-se infectados e vice-versa. Apesar de sua origem na Epidemiologia, o modelo SIS (e outros mais) pode representar a propaga¸cão de outros tipos de informa¸cão, não ape-nas doen¸ca, desde que haja correspondência entre a informa¸cão e os estados suscet´ıvel e infectado.

A abordagem clássica do modelo SIS considera a popula¸cão como sendo uma mistura homogênea de indiv´ıduos [10]. Nela, as transi¸cões suscet´ıveis-infectados e suscet´ıveis-infectados-suscet´ıveis são caracterizadas por taxas, as quais de-pendem apenas das propor¸cões de indiv´ıduos em cada compartimento. Nesse caso, a evolu¸cão do sistema pode ser analisada por meio de equa¸cões diferen-ciais [10].

Uma outra abordagem considera o modelo SIS como um processo de con-tato [20]. Aqui, a popula¸cão não é tratada como uma mistura homogênea de indiv´ıduos, mas sim uma rede de indiv´ıduos. A doen¸ca só pode ser pro-pagada através das liga¸cões que os indiv´ıduos mantêm entre si. O presente trabalho ocupa-se desta última abordagem para o modelo SIS.

2.1 Funcionamento do modelo SIS

Assume-se que, inicialmente, alguns dos indiv´ıduos est˜ao infectados. Assim, a cada instante, cada indiv´ıduo pode encontrar-se em um dos dois compar-timentos: suscet´ıvel ou infectado. Durante um certo intervalo de tempo ∆t, um indiv´ıduo infectado vi pode permanecer infectado com uma

probabili-dade λ. Consequentemente, ele pode curar-se com uma probabiliprobabili-dade 1 − λ. Caso permane¸ca infectado, o indiv´ıduo transmite a doen¸ca a um de seus vi-zinhos vj. A probabilidade da escolha do vizinho vj a ser infectado pode ser

(1) equivalente entre todos os vizinhos, ou (2) dependente do grau de cada vizinho. Yang et al. [20] dizem que, tradicionalmente, a probabilidade da escolha de cada vizinho vj ´e equivalente entre todos os vizinhos. Contudo,

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a ser modelado.

Visto que a rede de contato define unicamente cada indiv´ıduo, é enorme a quantidade de configura¸cões distintas que o sistema pode assumir. Desse modo, torna-se impraticável a análise exata da evolu¸cão desse sistema. Por-tanto, adotam-se dois modos distintos para essa análise:

1. Aplicando-se a Teoria do Campo Médio [20]. Trata-se de uma apro-xima¸cão, onde os indiv´ıduos de mesmo grau são todos tratados como tendo o mesmo comportamento, um comportamento “médio”. Assim, não analisa-se cada indiv´ıduo, mas cada grupo de indiv´ıduos de mesmo grau. Desprezam-se, portanto, as diferen¸cas existentes entre os in-div´ıduos de um mesmo grupo.

2. Empregando-se simula¸cões computacionais [20]. Nesse caso, constrói-se um procedimento capaz de representar o modelo em questão (aqui, o modelo SIS). Espera-se que a ocorrência de várias simula¸cões represen-tem, na média, o comportamento esperado para o sistema em questão. O Procedimento 1 exemplifica um procedimento a ser empregado em si-mula¸cões computacionais para o modelo SIS. Cada itera¸cão pelo la¸co princi-pal equivale a um passo (um time-step), durando o intervalo de tempo ∆t, do ponto de vista de um dos indiv´ıduos infectados.

Procedimento 1 Procedimento para o modelo SIS.

Infecta-se, inicialmente, uma certa quantidade de indiv´ıduos. enquanto houver algum indiv´ıduo infectado fa¸ca

Toma-se, aleatoriamente, um indiv´ıduo infectado vi.

r ← um número real aleatório entre 0 e 1. se r < λ então

Toma-se, aleatoriamente, um vizinho vj do v´ertice vi. A probabilidade

da escolha de cada vj pode ser (1) equivalente entre todos os vizinhos,

ou (2) dependente do grau de cada vizinho.

vj torna-se infectado, independentemente do estado em que estava.

sen˜ao

vi torna-se suscet´ıvel.

fim se fim enquanto

2.2 Comportamento macrosc´

opico do modelo SIS

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pela existência de indiv´ıduos infectados, significando que a doen¸ca mantˆ em-se preem-sente e continua em-sendo transmitida entre os indiv´ıduos. A faem-se inativa, também conhecida como fase de absor¸cão, é caracterizada pelo desapareci-mento completo da doen¸ca.

Com o passar do tempo, uma rede que inicialmente continha parte de seus indiv´ıduos infectados tende a entrar (1) em uma fase ativa e estacionária, ou (2) em uma fase inativa [15, 20]. Uma fase estacionária é caracterizada por uma propor¸cão constante de indiv´ıduos infectados, ou seja, a taxa com que os indiv´ıduos se curam iguala-se à taxa com que a doen¸ca é transmitida.

Além da sua própria topologia, a fase em que a rede entra é determinada pelo parâmetro λ. Assim, há um limiar para λ, separando as duas fases. Esse limiar é chamado de valor cr´ıtico e denotado por λc. Então, λ > λc conduz

a rede à fase ativa e estacionária, enquanto λ < λc a conduz à fase inativa.

3 O modelo SIR

Semelhantemente ao SIS, o SIR (Susceptible-Infected-Recovered ) é um modelo utilizado na Epidemiologia para descrever a propaga¸cão de alguma doen¸ca em uma popula¸cão [10, 11]. Considera, porém, três tipos de indiv´ıduos: sus-cet´ıveis, infectados e recuperados. Os indiv´ıduos suscet´ıveis podem tornar-se infectados, que por sua vez podem tornar-se recuperados. Uma vez recupe-rado, o indiv´ıduo torna-se imune e não mais pode ser infectado.

Aqui, há também a abordagem clássica que considera a popula¸cão como uma mistura homogênea de indiv´ıduos [10]. O presente trabalho ocupa-se, entretanto, de uma abordagem baseada numa variante daquela descrita anteriormente para o modelo SIS, considerando-se também o terceiro com-partimento: recuperados.

3.1 Funcionamento do modelo SIR

Assume-se que, inicialmente, alguns dos indiv´ıduos estão infectados e os de-mais são suscet´ıveis. Assim, a cada instante, cada indiv´ıduo pode encontrar-se em um dos três compartimentos: suscet´ıvel, infectado ou recuperado. Du-rante um certo intervalo de tempo ∆t, um indiv´ıduo infectado vi pode

per-manecer infectado com uma probabilidade λ. Consequentemente, ele pode curar-se com uma probabilidade 1−λ, tornando-se recuperado e imune. Caso permane¸ca infectado, o indiv´ıduo transmite a doen¸ca a um de seus vizinhos vj, caso vj seja suscet´ıvel. Nada acontece se o vizinho escolhido for imune.

A probabilidade da escolha do vizinho vj a ser infectado pode ser (1)

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Isso depende da natureza do problema a ser modelado.

A evolu¸cão do sistema assim definido pode ser analisada por meio da Teoria do Campo Médio ou por meio de simula¸cões computacionais. O Pro-cedimento 2 exemplifica um proPro-cedimento a ser empregado em simula¸cões computacionais para o modelo SIR. Trata-se de uma variante do procedi-mento mostrado para o modelo SIS.

Procedimento 2 Procedimento para o modelo SIR.

Inicialmente, numa popula¸c˜ao contendo somente indiv´ıduos suscet´ıveis, infecta-se uma certa quantidade desses indiv´ıduos.

enquanto houver algum indiv´ıduo infectado fa¸ca Toma-se, aleatoriamente, um indiv´ıduo infectado vi.

r ← um número real aleatório entre 0 e 1. se r < λ então

Toma-se, aleatoriamente, um vizinho vj do v´ertice vi. A probabilidade

da escolha de cada vj pode ser (1) equivalente entre todos os vizinhos,

ou (2) dependente do grau de cada vizinho. se vj for suscet´ıvel ent˜ao

vj torna-se infectado. fim se sen˜ao vi torna-se recuperado. fim se fim enquanto

3.2 Comportamento macrosc´

opico do modelo SIR

Observando-se a rede de indiv´ıduos como um todo, e após um tempo suficien-temente longo, a rede entra em uma fase inativa caracterizada pela existência de indiv´ıduos suscet´ıveis e recuperados somente [11]. Nessa fase, a doen¸ca desapareceu da popula¸cão. Aqui, o parâmetro λ, junto com a topologia da rede, determina a propor¸cão final de indiv´ıduos recuperados, ou seja, a pro-por¸cão de indiv´ıduos que uma vez foram infectados.

4 Influˆ

encia da topologia da rede

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receber a informa¸cão (ser infectado) for inversamente proporcional a seu grau. Os autores concluem, assim, que os indiv´ıduos de grau baixo desempenham um papel fundamental na propaga¸cão da informa¸cão.

Tipicamente, as diversas topologias de redes apresentam o limiar λc> 0

para o modelo SIS [15]. Contudo, segundo Pastor-Satorras e Vespignani [15], algumas classes de redes livres de escala apresentam λc = 0. Isso significa

que, por menor que seja o parâmetro λ, o sistema sempre tende a se manter na fase ativa. Ou seja, se a informa¸cão que trafega na rede for alguma doen¸ca, essa doen¸ca persistirá. Os autores utilizam esse resultado para explicar a persistência dos v´ırus pela Internet. Também dizem que, por um lado, a infeçcão persiste na rede, mas por outro, a propor¸cão final dessa infeçcão é tipicamente pequena, caracterizando um estado endêmico.

Huang et al. [11] desenvolveram um trabalho utilizando um tipo par-ticular de modelo SIR e redes modulares. Observaram que a dura¸cão da informa¸cão na rede é dependente da quantidade de módulos (comunidades) da rede. Aumentando-se a quantidade de módulos, a dura¸cão da informa¸cão também aumenta, até atingir um valor máximo, a partir do qual o aumento da quantidade de módulos faz reduzir a dura¸cão da informa¸cão. Os autores chamaram isso de fenômeno ressonante.

5 Percola¸

c˜

ao em redes

Do ponto de vista f´ısico, percola¸cão pode ser definida como um fluido que passa por um meio poroso [18]. O meio será impermeável se a quantidade de poros foi muito pequena impedindo a passagem do fluido. Por outro lado, se a quantidade de poros foi muito grande, o fluido conseguirá propagar pelo meio. Então, é dito que o meio percola se houver uma quantidade grande de poros formando um caminho pelo qual o fluido passa. Quando o meio tem tamanho suficientemente grande, é definido um limiar de percola¸cão que corresponde `

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gigante1, ou seja, um subgrafo de vértices ativos de tamanho proporcional ao tamanho da rede. Logo, a fase de transi¸cão é caracterizada por um limiar de percola¸cão que separa a ausência ou a existência de um componente gigante. Na ausência, a rede contém somente pequenos grupos de vértices ativos.

Em redes, o processo de percola¸cão é geralmente dividido em dois tipos: percola¸cão de vértices2 _{e percola¸c˜}_{ao de arestas}3 _{[3]. Descrito anteriormente,}

o primeiro caso considera cada vértice na situa¸cão ativa ou inativa com certa probabilidade e as arestas apenas definem as rela¸cões entre vértices. No segundo caso, a situa¸cão ativa ou inativa está relacionada com cada aresta e os vértices estão sempre ativos. As situa¸cões ativas e inativas, tanto de vértices quanto de arestas, variam conforme a abordagem e podem ser simuladas, por exemplo, pela remo¸cão de vértices ou arestas quando inativos. Em ambos os tipos de percola¸cão, o processo está relacionado com o aparecimento de um componente gigante [7]. Na literatura existem vários trabalhos relacionados a essa teoria para análises de rede tais como controle de tráfego [19], controle de propaga¸cão de doen¸cas [8], estabilidade de redes [5], entre outros.

Na percola¸cão de vértices, uma das formas de determinar a ausência de um componente gigante é verificar se, após cada remo¸cão de vértice, o tama-nho do maior subgrafo da rede diminui bruscamente, ou seja, se a quantidade de vértices do maior subgrafo é inferior a um valor pré-determinado. Nem sempre existe um valor exato para o tamanho do componente gigante, por isso é feita uma aproxima¸cão levando em conta o tipo de rede e que o tama-nho seja proporcional ao da rede completa. Simula¸cões são repetidas várias vezes a fim de obter a média do tamanho do componente gigante.

A propaga¸cão de doen¸cas é bem caracterizada pela teoria da percola¸cão. O tamanho médio da epidemia equivale aproximadamente ao tamanho do componente gigante da rede. Mas é dif´ıcil determinar quando uma epidemia ocorre e por esse motivo epidemiologistas são obrigados a definir um número m´ınimo de indiv´ıduos infectados para afirmar que uma epidemia ocorreu [12].

´

E poss´ıvel mapear o modelo SIR como um processo de percola¸cão de arestas de forma que a probabilidade de uma aresta estar ativa corresponde a pro-babilidade de um vértice (indiv´ıduo) infectado transmitir a doen¸ca para um vértice vizinho [13]. Se a probabilidade de transmissão é alta, a fra¸cão de vértices que foram infectados pelo menos uma vez é, no máximo, o tamanho do componente gigante. Considerando que a transmissão da doen¸ca inicia a partir de um único vértice, uma epidemia poderia ocorrer se esse vértice infectado pertencesse ao componente gigante.

(10)

Existem diversos métodos baseados no modelo SIR para controle de pro-paga¸cão de doen¸cas através da imuniza¸cão de indiv´ıduos. Um indiv´ıduo imunizado está no compartimento recuperado(R) e não será mais infectado. Na propaga¸cão de doen¸cas em redes livres de escala a tendência é que os vértices com muitas conexões, chamados de hubs, sejam infectados por al-gum de seus vértices vizinhos e, em seguida, transmitam para outros hubs, infectando uma parcela significativa dos indiv´ıduos da rede. Neste caso, a imuniza¸cão aleatória de poucos vértices da rede é ineficiente, uma vez que a chance de imunizar os vértices hubs é pequena [1]. Para ter efeito satis-fatório, a imuniza¸cão aleatória precisa ser feita em grande quantidade da popula¸cão. Por outro lado, a imuniza¸cão de vértices hubs tem mostrado ser uma estratégica de controle efetiva [8]. Assim, a estratégia de imuniza¸cão pode ser entendida como um processo de percola¸cão de vértices, tal que os vértices imunizados correspondem aos vértices removidos.

A teoria da percola¸cão também é aplicada no estudo sobre estabilidade de redes para verificar a tolerância a falhas e ataques [17]. A falha é simu-lada com a remo¸cão aleatória de vértices ou arestas enquanto o ataque é simulado pela remo¸cão de vértices ou arestas escolhidos previamente. Con-forme vértices são removidos, o tamanho do caminho médio entre vértices aumenta e o tamanho do maior componente diminui. Em rela¸cão às falhas aleatórias, as redes livres de escala não correlacionadas são robustas [6], pois a probabilidade de um vértice com grau alto ser removido é menor que a a probabilidade de remover um vértice de menor grau. Isso significa que a chance de um componente gigante se manter é alta e consequentemente o limiar de percola¸cão é baixo. Porém, é evidente que ataques direcionados aos vértices de maior grau quebram a integridade da rede.

6 Considera¸

c˜

oes finais

A principal motiva¸cão para o estudo de transmissão de informa¸cão em redes complexas é compreender como a topologia da rede influencia na propaga¸cão da informa¸cão. Algumas redes são mais propensas para propagar informa¸cão que outras.

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imunizado, n˜ao podendo propagar a doen¸ca para outros indiv´ıduos. Este ´

ultimo modelo apresenta uma fase inativa após um tempo suficientemente longo, caracterizada pela existência somente de indiv´ıduos imunizados e de indiv´ıduos nunca infectados. Quando a popula¸cão subjacente é tratada como uma rede de indiv´ıduos, os modelos SIS e SIR são baseados em processos de contato.

Foi visto que a percola¸cão permite determinar fatores prop´ıcios para transmissão de informa¸cão. Estratégias de imuniza¸cão de indiv´ıduos de uma rede e estabilidade de redes podem ser simuladas como um processo de percola¸cão de vértices. Neste processo é poss´ıvel determinar em quais cir-cunstâncias um componente gigante está presente indicando que a rede possui um subgrafo de tamanho proporcional à rede completa. Então, vértices que pertencem ao componente gigante podem se comunicar à maioria dos outros vértices da rede. Esse resultado ajuda a entender o porquê de determinadas redes serem mais tolerantes a falhas e também, no contexto de epidemiologia, como a propaga¸cão de doen¸ca gera uma epidemia.

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