4* SIMPÓSIO OOASILEIOO SOBRE TUBULAÇÕES E VASOS OE PRESSÃO

ANAIS

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4 * SIMPÓSIO OOASILEIOO

SOBRE TUBULAÇÕES E VASOS OE PRESSÃO

PROCEEDINGS

TRABALHO N? 4 6 PP. 6 9 7 - 7 1 6

ANALISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS DE CENTRAIS NUCLEARES PELO MÉTODO DE SUPERPOSIÇÃO DE MODOS DE LANCZOS

Álvaro L.C.A. Coutinho, José L.D. Alves, Luiz Landau, Edison C P . Lima e Nelson F.F. Ebecken

COPPE/UFRJ - Programa de Engenharia Civil Caixa Postal 68506

21945 Rio de Janeiro, RJ

SUMARIO

Neste trabalho cxamina-se a utilização do Método de Superpôsi çâo de Modos de Lanczos na análise sísmica de centrais nucleares. A matriz de transformação de coordenadas é gerada através do algorit-mo de Lanczos. Mostra-se que através de uma escolha conveniente do vetor de partida do algoritmo, seleciona-se automaticamente modos com elevado fator de participação. Analisa-se um exemplo típico de um edifício de um reator nuclear através do Método do Espectro da Resposta. Os resultados obtidos são comparados com aqueles determi nados pelo enfoque clássico, evidenciando a oficiêncin computacio -nal da metodologia proposta.

SUMMARY

In this work the Lanczos Mode Superposition Method is applied in the seismic analysis of nuclear power plants. The coordinate transformation matrix is generated by the Lanczos algorithm. It is shown that, through a convenient choice of the starting vector of the algorithm,modes with high participation factors arc automatical ly sloeted. It is performed the Responso Spectra analysis of a typical reactor building. The obtained results are compared with those determined by tho classical approach, stressing the remarka-ble computer effectiveness of the proponed methodology.

1. Introdução

Neste trabalho, procura-se examinar a utilização do Método de Superposição de Modos de Lanzos na ar. * U s e sísmica de estrutu-ras de centrais nucleares. Este método baseia-se na utilização do algoritmo de Lanczos [5] para solução aproximada do problema de autovalor generalizado associado às equações de movimento de es-truturas discretizadas pelo Método dos Elementos Finitos. Tal en foque vem sendo utilizado com sucesso para a solução de diversos problemas de análise dinâmica, tais como, a determinação da res posta dinâmica de plataformas de produção e exploração de petró -leo no mar, tanto no domínio do tempo [6,7], quanto no domínio da freqüência [8], análise de problemas de propagação de ondas [9],e até mesmo em alguns problemas não-lineares [10,11].

Dentre as vantagens já comprovadas que este enfoque oferece, deve-se se salientar que através de uma escolha adequada do vetor de partida do algoritmo de Lanczos, os efeitos da correção pseudo estática dos modos superiores [12], critico na determinação corre ta da «iistribuição dos esforços na estrutura, podem ser incorpora dos diretamente na própria matriz de transformação de coordenadas. Além disso, esta matriz possui características de seletividade frente ao carregamento dinâmico, possuindo vetores com um alto fator de participação modal, assegurando uma representação preci-sa da distribuição espacial da carga. Por outro lado, o algorit-mo de Lanczos apresenta uma notável eficiência computacional fren te a outros algoritmos, como por exemplo, o algoritmo de itera -ção por subespaços, uma vez que as informações de todos os veto-res gerados seqüencialmente são utilizadas na matriz de transfor-mação.

Sendo assim, neste trabalho procura-se avaliar o desempenho desta metodologia na aná"ise sísmica de estruturas polo Método de Espectro da Resposta, Assume-se válida a técnica de combinação mo dal pelo Método da Raiz Quadrada da Soma dos Quadrados (RQSQ). A~ presenta-sc a análise da interação inerclal de üm modelo dinâmico condensado de uma estrutura de um edifício de um reator nuclear , onde comparam-s o» resultados obtidos através do Método de Super posição de Modos de Lanczos com a metodologia clássica.

699

2. Aspectos Teóricos

A equação de movimento de um sistema estrutural linear sujejL to a una excitação sísmica em todos seus pontos de apoio pode ser escrita como [1,2],

onde, M,C,K são respectivamente as matrizes de massa, amortecimen to e rigidez da estrutura, Ü . . é o vetor de acelerações absolu-tas e 0 e 0 os deslocamentos e velocidades relativas.

, Expressando-se as acelerações absolutas como:

?abs " S • S . (2)

onde Ü e Ü são respectivamente as acelerações relativas e as acelera rações de corpo rígido devido ao sismo, a equação de movimento pode ser re-e s c r i t a ,

M Ü + C Ú + K U = - M Ü (3)

A equação (3) pode ser resolvida diretamente através de mé-todos de integração direta das equações de movimento acopladas Entretanto, ao se analisar a resposta linear de estruturas a exci-tações sísmicas é geralmente mais eficiente se valer de uma trans formação de coordenadas (por exemplo, a transformação modal), já que os movimentos de apoio têm a tendência de excitar somente os modos mais baixos de vibração, devido ã distribuição de massa na estrutura. Assim, empregando-se a transformação modal,

ü : é . xn (4)

~P -P

onde x , * são respectivamente os deslocamentos modais e a ma-•P -P

triz modal correspondente aos p primeiros modos, determinados a través da solução do problema de autovalor, f

(5) K

sendo /

ÍP

uma matriz diagonal contendo os autovalores, ou seja, os quadra-dos das freqüências naturais quadra-dos p primeiros moquadra-dos. Pode - se1

então reescrever a equação (3) da seguinte forma,

*p • ?*p + *p xp =-$T M . üe (7)

onde,

9 = 2 DiagKj u^, i = 1,...,P (8)

cosCj, são as frações do amortecimento critico associadas a cada modo, x , x o x são respectivamente as acelerações, veloci-dades o deslocamentos em coordenadas modais. Assumem-se,na deri vação da equação (7) as seguintes condições de ortonormalidade,

*p • ?? . J • I (9)

ti • * • í

= *

<

>

Í P

•

- ' í

2

Duuta maneira, quando os efoitos de amortecimento podem ser representados por um amortecimento modal equivalente (O in-dependente da amplitude das velocidades* a análise sísmica de sistemas estruturais lineares pode ser efetuada através do Mé-todo do Espectro da Resposta. Este méMé-todo se vale de espectros de resposta, que são diagramas que fornecem as amplitudes máxi -mas de acelerações» velocidades e deslocamentos relacionadas ãs freqüências ou períodos de um oscilador harmônico. Tais diagra-mas são preparados através dos registros da atividade sísmica do local de interesse 13]. Entretanto, na prática, utilizam- se cm projetos, espectros de resposta definidos em norma.

Sondo assim, o vetor de acelerações do terreno na equação (7) é descrito como,

9. • '9. - ?

v

9./ ««.'

a y &

onde, Ü , ú , U são respectivamente as componentes nas dirc

"^"X "*-'y ""Gjj ""

onde

701

A equação (7) para o r-êsimo modo torna-se então,

X

r *

r

r *r *

r

r " * í

í? ' í 9e

>

, x é o r-êsimo elemento em x, I é um vetor cujos termqjB não nulos são aqueles que correspondem a graus de liberdade translacionais, isto é, as direções x,y,z globais e f M e o f a tor de participação do r-êsimo modo. r

Usando-se o conceito de deslocamento espectral, as ampli-tudes máximas dos deslocamentos da estrutura para cada modo nas direções globais são,

• , M . I | S l« ) (14)

"x ~ ~x x r

*l - M . Í..I S ( u j (15)

í

i ! ; . M . i.i s

(

)

onde S ((D ) , S lia ), S (u ) são os deslocamentos espectrais correspondentes à freqüência u e 1 , 1 , 1 rão sub-matrizes de I.

Como para um dado modo os máximos correspondentes a cada direção ocorrem em tempos distintos e, em cada uma das três com-ponentes do sismo os modos atingem sua amplitude máxima oro tem-pos diferentes, torna-se necessário um critério de combinação pa ra as respostas de cada modo, de forma a se obter um' vetor de deslocamentos modals representativo da atuação do sismo.

Usualmente assume-se que a resposta máxima total do r-ési-mo r-ési-modo é dada por,

jj M r u ± . x y 2

-r -rA

e a resposta total considerando-se os p modos é dada empregan-do- se, entre outras alternativas existentes [4], o método da Raiz Quadrada da Soma dos Çlyaásaâoa. Desta forma os dorlooamen tos • esforços da estrutura calculados através do método RQSQ são dados por,

O . [ 5 (o!»«•,.,'/>

F . t ! ÍF< (19)

3. Geração da Base para a Transformação de Coordenadas

3.1 Algoritmo de Geração da Base

O método desenvolvido baseia-se no algoritmo de Lanczos [5] que é uma ferramenta eficiente para a determinação de pares de autovetores e autovalores situados em ambos os extremos do espec-tro do problema de autovaIor,

K $ » M $ A (20)

O procedimento proposto por Lanczos consiste em construir sucessivamente, a partir de um vetor de partida v uma base ortogo nal que converge para os autovetores correspondentes aos autovaIo res mais baixos do problema (20), através da seqüência de Krylov,

Düvesc observar que os vetores da base cão obtidos direta -mente dos vetores da seqüência de Krylov, ortogonalizando cada um deles em relação aos precedentes através da técnica de Gram-Schmidt, em vez de ser aproveitado somente o último vetor da se-quóncia, após atingida a convergência, como no método do Itera-ções por subespaços [13]. Resultam deste modo,um conjunto de ve-tores M-ortogonais que podem ser usados diretamente como base de transformação de coordenadas ou ucrem prcviíinionte

K-orto<jomill-zadoa a fim do fornecerem um conjunto de equações desncopladns ruin

novas coordenadas.

O aspecto mais delicado do procedimento proposto consiste no estabelecimento de uma estratégia de ortogonalizaçâo âoe sucessi-vo» vetores na seqüência <\c Krylov. Isto ae deve ao fato úc que cm aritmética finita, os votores da seqüência de Xrylov perdem sua ortogonalidado rapidamente. Existem vários esquemas propostos; a ortogonallzação total úoa vetores om relação a todos o» vetorett

703

anteriormente obtidos da seqüência [14], ortogonalização somente

em relação aos dois vetores imediatamente precedentes [15,16],or

togonslização seletiva [16], etc. Ê interessante observar que o

objetivo comum dos diversos esquemas de ortogonalização é a eco»

nomia de operações quando se torna necessário a obtenção de ^ um

número relativamente grande de vetores de base. Porém, para os

problemas de sistemas estruturais submetidos a cargas de baixa

freqüência, observa-se que, é suficiente na maioria dos casos a

geração de um número bastante reduzido de vetores de base. Deste

modo o algoritmo de Lanczos para a determinação do vetor y

po

de ser expresso pela seqüência de operações,

Yi * Ç "

?? Yi

?i ' "5i "

iYi *

i Yi-1 '

? i

Yi ?? Fi

i i * * i i H l / f í 2 2 d )

resultando em um conjunto de vetores ortonormais ã matriz de mas;

sã M, ou seja,

As aproximações dos autovalores "\

correspondentes aos

vetores y^ poderão ecr determinadas projetondo-so a matrix de ri

fjidcz K no subospaço formado pela base V,

t

K m V

K V (24)

e resolvendo o problema de autovalor neste subespaço,

It * ti (25)

ma de autovalor (20) correspondentes â base y.

Finalmente, a base que desacopla as equações de equilíbrio é determinada como sendo,

• « V Y (26)

onde $ contêm as aproximações de Rayleigh-Ritz dos autovetores do problema de autovalor (20).

}.,• • ~ :or de Partida para o Algoritmo

De maneira geral, o vetor de partida para o algoritmo de Lanczos pode ser escolhido arbitrariamente, e comumente escolhe-se v como escolhe-sendo um vetor cujos termos são a unidade. Entretan-to, tendo em vista o problema especifico em questão, torna - se mais conveniente a escolha de um vetor de partida relacionado com as amplitudes do carregamento, presente nas equações do movjL mento. Desta forma , o vetor de partida v. é obtido'diretamente da solução de,

31v1 * - K"1 M Üc (27)

lista escolha possui a vantagem do incorporar a resposta de vida ãa trequC>ncias do ordem superior contidas no carregamento cH nâmlco na solução, evitando a necessidade de uma correção pseudo estática devido ao truncamento da base. Além disso, de acordo com a equação (22) observa-se que se • M \JO for ortogonal a

ai-gum modo de vibração, os vetores gerados pelo algoritmo de Lane zos também o serão. Por outro lado, dada a construção do algo-ritmo e as propriedades da seqüência de Krylov, os primeiros veto reo gerados serão aproximações dos modos cie vibração vxcitodoo polas amplitudes do carregamento,.

4. Aplicação

4.' Características Gerais

Do forma a evidenciar as características do Método de Su-perposição de Modos de Lanczos na análise sísmica de estruturas apresentam-se resultados da interação inercial de um modelo de um edifício de um reator nuclear, O edifício do fator, para

7G5

efeito da anâ.l Uv . pode ser considerado uma estrutura cera sime -tria de revolução. A estrutura consiste de uma casca cilíndrica externa de concreto armado e de uma casca esférica de aço (estru-tura de contenção), além de estru(estru-turas de concreto armado posicio nadas sobre a fundação, as quais suportam o sistema de gerarão de vapor. A abordagem usualmente empregada na prática da engenharia '•n.vluz ao estabelecimento de um modelo dinâmico condensado [2] .Pa ra o t«rcs«nte caso, este enfoque conduziu a um modelo compreenden

do t.ôs barras equivalentes com massas nodais de translaçâo I ro^ tação, apoios elásticos, que simulara as fundações,além de molas acoplando as três estruturas, o estabelecimento das matrizes de rigidez e de massa dos elementos segue os procedimentos padrão do Método dos Elementos Pinitos. Considera-se matriz de massa dis-creta. As principais características do modelo de análise estão indicadas na Figura 1. •o.oo m svopm i t PWúfftlEUAOfS E

e

r

Figura 1 - Modo# Atteroático do Edifício do Reator

A» primeira freqüências naturais e correspondente» período» do modelo discreto de análi3G encontram-se na Tabela 1 .

MODO 1 2 3 4

5

7

de Análise

O problema de autovalor foi solucionado através do método de iteração por subespaços. Para a análise sísmica pelo método do espectro da resposta utilizou-se o espectro de pseudo-veloci-dades [3] dado na Figura 2. Por questões de simplicidade, assumese sua validade tanto na direção horizontal quanto na verti -cal.

4,2 - Sismo na Direção Vertical

Inicialmente, procedeu-se a análise do sismo na direção ver ticoJ, Foram processadas diversas análises, para vários números de modos, tanto para a base modal quanto para a base de Lanczos. Os fatores de participação de cada modo para o carregamento

a-tuante nesta direção encontram-se na Tabela 2,

Como pode ser observado, para um mesmo número de vetores da base, os vetores de Lanczos atingem fatores de participação maiores que os autovetores. Entretanto, devido âs característi-cas de seletividade da base de Lanczos, notadamente aquelas rela cionadas com a seouência de Krylov, os vetores de Lanczos são

707 !i;»;*;ii ...{ i , . . i i . , . . . i ; ti 1 I (•

hi

Figura 2 - Espectro do Pscudo-Velocidades

MOCOS 1 2 3 4 . 5 C 7 8 9 10

11

aproximações de modos mais altos não ortogonais ao carregamento

sísmico e aproximações dos modos de vibração mais baixos da estru

tura. A Figura 3 apresenta a distribuição do espectro das

fre-qüências naturais correspondentes aos modos de vibração e as cor

respondentes aproximações de Lanczos,

150 "

100-

50-Frequtnckn I HZ)

- • _ iteração por sutaetpoços

_ » _ Lonczos I _ o - Lonczos 3 - a - Lonczos 5 - A _ Lanczos 7 • _f_ Lonczos 10 _V— Lonczos 15

1'igum 3 - Freqüências Naturais x Aproximações de

Lanczos

Deve-se notar na Figura 3 que as freqüências associadas aos

vetores de Lanczos atingem rapidamente valores mais altos do quo

as freqüências naturais associadas aos modos de vibração, Além dis

so, os espectros de freqüências correspondentes ao algoritmo de

Lanczos tendem para o espectro real a medida que o número de

veto-res cveto-resce, mostrando dessa forma, a convergência do algoritmo de

Lanczos.

Os resultados obtidos para a combinação moclal dos desloca

-monto» máximos pelo método RQSQ, no topo de cada barra equivalente

e na placa de fundação, encontram-se na Tabela 3.

Conforme pode ser observado na Tabola 3, os resultados obti

dos com a combinação modal clássica o© começam a apresentar

valo-res satisfatórios para um número de autovetovalo-res > 5, sendo a con

709 TIPO DE ANALISE IANCZOS 1 3 5 7 10 15 SUBSPAC.E 1 3 5 7 10 15 20

KO 1

Tabela 3 - Deslocamentos Verticais Máximos

vergência alcançada para um número de autovetores 2 10. Porém os resultados obtidos através dos vetores de Lanczos não apresentam as variações bruscas verificadas com 1 e 3 modos de vibração. Es

te comportamento «pode sur basicamente atribuído às propriedades dos vetores de Lanczos que conduzem rapidamente a fatores de par-ticipação mais altos (Tabela 2 ) , além de aproximar os modos axiais correspondentes às freqüências altas (Figura 3 ) .

Quanto aos esforços máximos, estes apresentam comportaraèn to semelhante, conforme pode ser verificado na Tabela 4, onde se encontram o esforço axial, momento torsor e momento fletor na placa de fundação.

Deve-se observar nesta Tabela que os esforços apresentam una

convergência mais lenta, e que ambos os métodos conduzem a

resul-tados equivalentes para um número de vetores 2 13.

Por outro lado, devido às características do algoritmo de

Lanczos, apresentadas anteriormente, ests possui, como pode ser

verificado na Tabela 5, uma extraordinária eficiência computado

nal sobre o algoritmo de iteração por subespaços utilizado para a

TIPO DE ANÁLISE LAKCZOS 1 3 5 7 10 15 SÜBSPACB 1 3 5 7 10 15 20 ESFORÇOS AXIAL (kN/g) 0. 49.11 48.89 48.94 49.02 49.03 47.36 47.36 48.30 48.34 48.99 48.99 49.01 MOMENTO TORSOR (kNm/g) 22.01 66.20 38.97 682.80 378.50 401.90 6.51 203.0 373.0 377.6 401.9 401.9 401.9 MOMENTO FLETOR (kNm/g) 7716. 16280. 11940. 11730. 11790. 11790. 669.2 669.1 11510. 11560. 11790. 11790. 11790.

Tabela 4 - Esforços Máximos na Placa de Fundação

TIPO DB ANALISE LANCZOS 1 3 0 7 10 15 SUBSPACU 1 3 5

7

711

4.3 - Sismo Horizontal

De maneira semelhante à anterior procedeu-se a análise da es

trutura frente a um sismo horizontal atuando na direção x global.

MODOS 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 SUBSPflCE 149.2 -1.481 0.2130 -7.974 -0.545 -0.0036 -1.257 0.179 3.896 -0.0004 0.243 -0.032 -0.0004 0.0089 0.0032 0.1969 0.0059 -0.2476 -1.962 -0.079 LANCZOS 149.3 1LANCZOS 3 149.3 -6.308 -7.673 LANCZOS 149.2 -6.889 -8.450 -21.41 -6.006 5 LANCZOS 149.2 -6.888 -9.480 82.66 -14.59 -18.69 -2.810 7 LANCZOS 149.2 -6.888 86.45 -5.739 -0.582 -2.046 -4.079 -10.34 -3.063 4.778 10 LftNCZOS .5 149.2 -6.888 86.50 -5.737 -0.698 11.39 -1.295 34.38 -2.532 -2.133 27.52 -8.974 -25.45 -6.061 -7.321

Tabela 6 - Fatores de Participação Modais-Sismo

Horizontal Direção X.

Pode-se notar na Tabela 6 que os fatores de participação dos

vetores de Lanczos são maiores do que os autovetores, conforme era

esperado. Analogamente as freqüências associadas aos vetores de

Lanczos atingem rapidamente valores mais altos do que as frequên

-cias naturais associadas aos modos de vibração da estrutura,

con-forme mostrado na Figura 4.

Os resultados determinados para a combinação modal dos Ceslo

comentos máximos pelo método RQSQ, no topo de cada barra equlvalen

te encontram-se na Tabela 7.

Como se pode observar nesta Tabela/ os resultados obtidos tan

to para a combinação clássica quanto para a combineção com os veto

res do Lanczos apresentam convergência para um numero reduzido de

modos (3). Isto se deve ao fato que, para o sismo atuante nesta

150 100- 5O-Frequencies ( H X _ . _ iteração p • t — Lanezo» _ . _ Lonczoi _ o - Lonczos -.&- Lanczo» —».- Lonczo* _ ^ _ Lanczos 1 or sufotspaços / 1 / 3 / 5 / 7 / •o • /

1S

/ J

Figura 4 - Freqüências Naturais x Aproximações de Lanczos

T I P O DE ANALISE LANCZOS 1 3 5 7 10 15 SUBSPACB 1 3 5 7 10 15 20 NÓ 2 9 0.2784 0.2802 0.2801 0.2801 0.2801 0.2801 0.2802 0.2802 0.2802 0.2802 0.2802 0.2802 0.2802 DESLOCAMENTOS X NO 3 0 0.2946 0.2993 0.2992 0.2992 0.2992 0.2992 0.2993 0.2993 0.2993 0.2993 0.2993 0.2993 0.2993 (x10"3m/g) • NO 31 0.2927 0.2970 0.2969 0.2969 0.2969 0.2969 0.2970 0.2970 0.2970 0.2970 0.2970 0.2970 0.2970

Tabela 7 - Deslocamentos Horizontais Máximos

na Direção X.

direção o primeiro modo predomina acentuadamentè sobre os demais

como pode ser verificado na Tabela í, que apresenta os fatores de

participação modais. o mesmo comportamento ê observado para os

713

esforços máximos, conforme indicado na Tabela 8, que apresenta o esforço cortante e o momento fletor para o elemento da casca de concreto externa situado entre os níveis 17m e 21m.

TIPO DE ANALISE

7

7

Tabela 8 - Esforços na Casca Externa

(Elemento 8)

Deve-se observar nesta Tabela que os esforços apresentam uma

convergência mais lenta, e que ambos os métodos conduzem a resulta

dos semelhantes para um número de vetores £ 5.

Finalmente a Tabela 9 apresenta a comparação entre a eficiên

cia computacional do método proposto e o método clássico.

Pode-se notar na Tabela 9, que para solução considerada

cor-reta (5 modos), o algoritmo de Lanczos apresenta uma redução de

custo na solução do problema de autovalor da ordem de 60% em

rela-ção ao algoritmo de iterarela-ção por subespaços

5. Conclusões

Este trabalho pretende dar continuidade ás investigações

so-bre a aplicação de algoritmos tipo Lanczos na análise estrutural di^

nâmica. Tais algoritmos fornecem uma matriz alternativa para a

transformação de coordenadas que reduz e desacopla A S equações de

movimento, dando origem ao chamado Método de Superposição de Modos

ANALISE

CUSTO COMPUTACIONAL

ANALISE TOTAL

Tabelo 9 - Comparação de Custou Computacionais

do l»»nc/.o». Devido í\u caracter!ulicaa eripuelaia da matrLz runn.xla pelos vetoroo tie Lanczos, c»slc método vem r.endo aplicado com r.uci.-:; ao na solução de diverÜUS problemas do de term inação da rcupusUi dl nãmica de sistemas Q&truturais,notadamcntc aquelos sujoítos a car-gas de baixa freqüência.

Sendo assim, procurou-se analisar uma estrutura típica de

um edifício de um reator nuclear, sujeito à excitação sísmica em

sua br.se, tanto na direção vertical quanto horizontal, através do

Método do Espectro da Resposta.

0 algoritmo de Lanczos forneceu, rapidamente, aproximações

dos modos excitados pelo carregamento com altos fatores de partial

pacão, notadamente na direção vertical. Porém, devido às

caracte-rísticas do Método do Espectro da Resposta, os resultados dependem

também do valor das freqüência» naturais associadas a cada modo,

sendo assim necessário a obtenção de boas aproximações destas

fre-qüências pelo algoritmo de Lanczos.

Desta forma, para a solução de problemas de análise sísmica

pelo Método do Espectro da Resposta, torna-se necessário a determi

nação do um número de vetores de Lanczos significativamente maior

715

que os normalmente utilizados no cálculo da resposta dinâmica no domínio do tempo pelo Método de Superposição de Modos de Lane-zos. Entretanto, devido ã grande eficiência computacional deste algoritmo em relação aos métodos iterativos para a solução de problemas de autovalor generalizado, ele constitui uma opção^ a-trativa e computacionalmente vantajosa para a solução dest.2 tipo de problemas.

6. Agradecimentos

Os autores gostariam de agradecer à IBM do Brasil S.A. pelo apoio prestado ã pesquisa cientifica no Programa de Engenha -ria Civil da Universidade Federal do Rio de Janeiro (COPPE/UFRJ). Gostaríamos também de agradecer o Sr. G.L. Souza pela valiosa colaboração na preparação dos originais deste trabalho.

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