Pré-Prova. Professor Dudan

(1)

(2)

Pré-Prova

Professor Dudan

(3)

FRAÇÕES

.

(4)

M étodo da Borboleta

Muito eficaz e não exige calculo de m.m.c , porém só pode ser aplicado em duas frações por vez e em alguns casos

exige uma simplificação ao final.

(5)

Basta executar os seguintes movimentos :

✓ Multiplicar os dois denominadores gerando o denominador da fração resposta.

✓ Multiplicar o numerador da primeira fração (com o sinal dessa fração) pelo denominador da segunda fração (sem sinal algum).

✓ Multiplicar numerador da segunda fração (com o sinal dessa fração) pelo denominador da primeira fração (sem sinal algum).

✓ Somar esses dois últimos resultados obtidos para definir o numerador da fração resposta.

(6)

Divisão de Frações

Para dividir frações, basta multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda fração.

Exemplo:

𝟐

𝟓

÷

^𝟑

𝟒

=

^𝟐

𝟓

.

^𝟒

𝟑

=

^{𝟐 .𝟒}

𝟓.𝟑

=

^𝟖

𝟏𝟓

(7)

TEORIA DOS

CONJUNTOS

(8)

A B

Quem pertence SÓa “A”

Quem pertence SÓ a “B”

Quem pertence a “A” e “B” AO MESMO TEMPO

Quem não pertence NEM a “A” e NEM a “B”

___

(9)

RAZÃO E

PROPORÇÃO

(10)

A proporção é a igualdade entre duas frações e pode , na maioria das vezes, sendo resolvido pelo cruzamento clássico (“cruz-credo”) , porem em questões que envolvem as únicas duas partes de um todo (homens e mulheres, aprovados e reprovados, etc ) podemos usar uma lógica simples.

Exemplo : Razão entre homens e mulheres é 3/4 , logo a cada 7 pessoas serão 3 homens e 4 mulheres formando vários grupos com mesma configuração.

(11)

Ano: 2016 | Banca: CESGRANRIO | Órgão: ANP | Prova: Técnico Administrativo 1. Um grupo de jovens participou de uma pesquisa sobre tabagismo. Cinco em cada 7 jovens entrevistados declararam- se não fumantes. Dentre os jovens restantes, 3 em cada 4 afirmaram que fumam diariamente. Se 84 jovens

entrevistados afirmaram fumar todos os dias, quantos jovens participaram da pesquisa?

A)112 B)280 C)294 D)392 E)420

(12)

PORCENTAGEM

(13)

𝒙% = 𝒙

% = 𝟏 𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟎𝟎

Na Matemática: “de”, “da”, “do”, etc. = multiplicação

x % de A = x % .A = ^𝒙.𝑨

𝟏𝟎𝟎 18% de 56 = 18%.56 = ^{𝟏𝟖.𝟓𝟔}

𝟏𝟎𝟎 =10,08

(14)

Quero saber quanto uma parte representa de um todo: 𝒑𝒂𝒓𝒕𝒆 𝒕𝒐𝒅𝒐 Ex.: quanto 39 representa de 156?

RESPOSTA:

^𝟑𝟗

𝟏𝟓𝟔

= 𝟎, 𝟐𝟓 =

^𝟐𝟓

𝟏𝟎𝟎

= 𝟐𝟓%

(15)

• É muito importante sabermos calcular os valores básicos de 1% e 10% .

✓1% : basta movimentar a vírgula duas casas para a esquerda.

Ex: 1% de 170 = 1,7 1% de 354 = 3,54

1% de 456,7 = 4,567

MÉTODO PRÁTICO

(16)

• É muito importante sabermos calcular os valores básicos de 1% e 10% .

✓10% : basta movimentar a vírgula uma casa para a esquerda.

Ex: 10% de 170 = 17,0 10% de 354 = 35,4

10% de 456,7 = 45,67

MÉTODO PRÁTICO

(17)

• E como calcular 5%?

Daí basta definir 10% e dividir por 2, ou seja, basta lembrar quer 5% é a metade de 10%.

Ex: 5% de 170 = (17) /2 = 8,5

5% de 354 = (35,4) / 2 = 17,7

5% de 456,7 = (45,67) / 2 = 22,835

MÉTODO PRÁTICO

(18)

• E para calcular 25%?

✓Basta dividir por 4 o valor dado pois 25% = 1/4.

Ex: 25% de 170 = 170/ 4 = 42,5 25% de 354 = 354 / 4 = 88,5

25% de 456,7 = 4567 / 4 = 114,175

MÉTODO PRÁTICO

(19)

FUNÇÕES

(20)

Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma :

onde a e b são números reais dados e a ≠ 0.

Seu gráfico é sempre uma reta.

a → Coeficiente angular, Parâmetro angular, Inclinação ou Declividade.

b → Coeficiente linear, Parâmetro linear ou Termo Independente.

b ax

f(x) = +

FUNÇÃO DE 1° GRAU

(21)

COEFICIENTE ANGULAR

a > 0 a < 0

Reta CRESCENTE Reta DECRESCENTE

(22)

COEFICIENTE LINEAR

b > 0 b < 0 b = 0

(23)

Função de 1° Grau

(24)

Além disso , de forma teórica, apenas na função de 1° grau teremos que as variações de x e y acontecem de forma proporcional.

Exemplo:

Valores de X Valores de Y

0 12

+1 16

+2 20

+5 32

+8 44

+4 +12 +1

+3

(25)

Ano: 2012 | Banca: CESGRANRIO | Órgão: TermoBahia | Prova : Técnico

2. O número de telefones fixos no Brasil continua em crescimento. De acordo com dados que a Anatel divulgará nos próximos dias, de 2010 para 2011, esse total passou de 42,1 milhões para 43 milhões de linhas.

Supondo que o aumento observado de 2010 para 2011 seja linear e que assim se mantenha nos próximos anos, quantos milhões de telefones fixos haverá, no

Brasil, em 2013?

A)43,9 B)44,1 C)44,8 D)45,2 E)46,0

(26)

Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma

f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são números reais e a ≠ 0.

O gráfico de uma função polinomial do 2º grau é uma curva chamada parábola.

c bx

ax²

f(x) = + +

FUNÇÃO DE 2° GRAU

(27)

x f(x)

a>0

(“a” positivo)

a<0

(“a” negativo)

f(x) = ax²+ bx + c

f(0)

x₁ x₂

RAÍZES: x

₁

e x

₂

porque f(x

₁

) = 0 e f(x

₂

) = 0

COMO ENCONTRAR AS RAÍZES?

BHASKARA!

𝒙 = −𝒃 ± 𝒃 ^𝟐 − 𝟒𝒂𝒄

𝟐𝒂

(28)

Ano: 2014 | Banca: CESGRANRIO | Órgão: Petrobrás | Prova : Técnico Junior 3. Considere a função quadrática f: R→R, cujo gráfico é mostrado a seguir.

Para se obterem os zeros da função acima, basta resolver-se a equação do segundo grau

A) x² - 2x + 6 = 0 B)− ^𝒙²

𝟒+ x + 3 = 0 C) – x² + ^𝟑

𝟐x + 3 = 0 D)-x² + 2x - 6 = 0 E)-2x² + 3x + 6 = 0

(29)

a>0

(“a” positivo)

a<0

(“a” negativo)

x_v f(x_v)

Mínimo Máximo

𝒙 _𝒗 = −𝒃 𝟐𝒂

x f(x)

O valor de “x” que da o

máximo/mínimo da função é o x_v e o valor máximo/mínimo da

função é dado por f(x_v).

(30)

x_v

A B x

f(A) = f(B)

d d

f(x) Como a f(A) é igual a f(B), então

os pontos “A” e “B” estão a uma mesma distância “d” do x_v

d = x

_v

– A = B - x

_v

(31)

Ano: 2018 | Banca: CESGRANRIO | Órgão: Transpetro | Prova : Adm. Junior

4. O gráfico de uma função quadrática, mostrado na Figura a seguir, intersecta o eixo y no

ponto (0,9), e o eixo x, nos pontos (-2, 0) e (13, 0). Se o ponto P(11,k) é um ponto da parábola, o valor de k será

A)5,5 B)6,5 C)7 D)7,5 E)9

(32)

LOGARITMOS

(33)

Na Matemática, o logaritmo de um número é o expoente a que outro valor fixo, a base, deve ser elevado para produzir este

número.

Por exemplo, o logaritmo de 1000 na base 10 é 3 porque 10 ao cubo é 1000 (1000 = 10 × 10 × 10 = 10

³

).

De maneira geral, para quaisquer dois números reais a e b, onde b

>0 e b ≠ 1, temos:

a é o logaritmando b é a base

c é o logaritmo

a b

c

a ^c

b =  =

log

(34)

Condição de Existência do Logaritmo

Lembre-se que 𝒍𝒐𝒈 _𝒃 ^𝒂

existe se e somente se a > 0 e

b >0 e b ≠ 1

(35)

Exemplos :

a) log

₃

9 = 2

(36)

Exemplos :

c) log

₂

8 = 3

(37)

E se o logaritmo não for “exato”?

O 𝐪𝐮𝐞 𝐟𝐚𝐳𝐞𝐫 𝐜𝐨𝒎 𝒖𝒎 𝒍𝒐𝒈

_𝟐^𝟑𝟎

?

(38)

CASOS ESPECIAIS

Exemplos

a) log

₃

1 = 0 b) log

₂

2 = 1 c) log

₂

1 = 0

(39)

PROPRIEDADES

➢Propriedade do Produto

log _a b + log _a c = log _a b.c

Exemplos

a) log

₃

12 + log

₃

5 = log

₃

12.5 = log

₃

60 b) log

₂

12 = log

₂

2².3 = log

₂

2² + log

₂

3

(40)

➢Propriedade do Quociente

log _a b - log _a c = 𝒍𝒐𝒈 _𝒂

𝒃 𝒄

Exemplos

a) log

₃

72 - log

₃

8 = 𝒍𝒐𝒈

_𝟑

𝟕𝟐

𝟖

= log

₃

9 = 2 b) 𝒍𝒐𝒈

_𝟐

𝒙

𝟐

= log

₂

x – log

₂

2 = log

₂

x - 1

PROPRIEDADES

(41)

➢Propriedade do Quociente – Desdobramento 1

log ₁₀ 5 = 𝒍𝒐𝒈 _𝟏𝟎

𝟏𝟎 𝟐

log ₁₀ 5 = log ₁₀ 10 – log ₁₀ 2 log ₁₀ 5 = 1 - log ₁₀ 2

PROPRIEDADES

(42)

➢Propriedade da Potência

𝒍𝒐𝒈 _𝒂 ^𝒃

^𝒏

=n . 𝒍𝒐𝒈 _𝒂 ^𝒃

Exemplos

a) log

₃

7

²

= 2. log

₃

7 b) log

₂

32 = 𝒍𝒐𝒈

_𝟐^𝟐^𝟓

=5. log

₂

2 = 5.1 = 5

PROPRIEDADES

(43)

➢Propriedade da Potência – desdobramento

𝒍𝒐𝒈 _𝒂 ^𝒃

^𝒏^𝒑

= ^𝑛

𝑝 . 𝒍𝒐𝒈 _𝒂 ^𝒃

Exemplos

a) log

₉

16 = 𝒍𝒐𝒈

_𝟑𝟐𝟐^𝟒

=

^𝟒

𝟐

. log

₃

2 = 2 log

₃

2 b) log

₈

32 = 𝒍𝒐𝒈

_𝟐𝟐𝟑^𝟓

=

^𝟓

𝟑

. log

₂

2 =

^𝟓

𝟑

. 1 =

^𝟓

𝟑

c) log

₉

7 = 𝒍𝒐𝒈

_𝟑𝟕𝟐

=

^𝟏

𝟐

. log

₃

7 PROPRIEDADES

(44)

➢Propriedade da mudança de base 𝒍𝒐𝒈

_𝒂^𝒃

=

^𝒍𝒐𝒈^𝒄^𝒃

𝒍𝒐𝒈_𝒄^𝒂

Exemplo:

a) log

₃

7 =

^𝒍𝒐𝒈^𝟓^𝟕

𝒍𝒐𝒈_𝟓^𝟑

b) log

₃

7 =

^𝒍𝒐𝒈^𝟕

𝒍𝒐𝒈^𝟑

PROPRIEDADES

(45)

Toda função definida pela lei de formação

f(x) = log _b x

, com b ≠ 1 e b > 0 e também x > 0

é denominada função logarítmica de base b.

FUNÇÃO LOGARÍTMICA

(46)

REPRESENTAÇÃO GRÁFICA

Ao construir o gráfico de uma função Logarítmica, temos:

FUNÇÃO CRESCENTE FUNÇÃO DECRESCENTE

(47)

Ano: 2012| Banca: CESGRANRIO | Órgão: Petrobras | Provas: Técnico

5. Considere as funções g (x) = 𝒍𝒐𝒈_𝟐^𝒙 e h (x) = 𝒍𝒐𝒈_𝒃^𝒙 , ambas de domínio R*+. Se h (5) = 1/2, então g (b + 9) é um número real compreendido entre

A)5 e 6 B)4 e 5 C)3 e 4 D)2 e 3 E)1 e 2

(48)

PROGRESSÕES

(49)

RAZÃO

TERMO GERAL PROPRIEDADE SOMA DOS TERMOS r = a2 – a1 ou

r = a10 – a9 ou r = a24 - a23 ou ...

an = ap + (n-p)r 2 4 6 8 ...

Então 4 + 8 = 6 + 6 Sn = (a1 + an) . ^𝒏

𝟐

q = a2 / a1 ou q = a10 / a9 ou q = a24 / a23 ou...

an = ap. 𝒒

^𝒏−𝒑

2 4 8 16 ...

Então 4 . 16 = 8.8

Sn = ^{𝒂𝟏 (𝒒}^𝒏^−𝟏)

𝒒 −𝟏 (Soma FINITA) Sn = ^𝒂𝟏

𝟏 −𝒒 (Soma INFINITA)

P.A

P.G

(50)

Ano: 2018| Banca: CESGRANRIO | Órgão: Transpetro | Provas: Administ. Jr

6. Em uma progressão aritmética, o décimo termo é o quádruplo do terceiro.

Se o sétimo termo é igual a 19, então o segundo termo é igual a A)3

B)4 C)5 D)6 E)7

(51)

Ano: 2018| Banca: CESGRANRIO | Órgão: Transpetro | Provas: Analista Com.

7. O número de passageiros que uma empresa de transporte aéreo tem transportado para uma petroleira vem diminuindo, segundo o padrão apresentado na Tabela a seguir:

Supondo-se que esse padrão se mantenha, a previsão para a

quantidade total de passageiros transportados por essa empresa, no período de 2014 a 2025, contando-se com os anos 2014 e 2025, será igual a

A)86.400 B)93.600 C)103.800 D)172.800 E)187.200

(52)

Ano: 2018| Banca: CESGRANRIO | Órgão: Banco Amazônia | Prova: Téc. Banc

8. Considere a sequência numérica cujo termo geral é dado por an = 𝟐1−3n, para n ≥ 1.

Essa sequência numérica é uma progressão A)geométrica, cuja razão é 1/8.

B)geométrica, cuja razão é -6.

C)geométrica, cuja razão é -3.

D)aritmética, cuja razão é -3.

E)aritmética, cuja razão é 1/8.

(53)

ANÁLISE

COMBINATÓRIA

(54)

A ordem importa?

Sim

Não

Combinação

Vamos usar todos os elementos?

Sim

Não PFC (Arranjo) Permutação

𝐶_𝑛^𝑝 = 𝐶_𝑛,𝑝 = 𝑛!

𝑝! 𝑛 − 𝑝 !

𝐴_𝑛,𝑝 = 𝑛!

𝑛 − 𝑝 !

Manual da Análise Combinatória:

(55)

Ano: 2018| Banca: CESGRANRIO | Órgão: Transpetro | Provas: Téc. Adm. Jr.

9. Num conjunto há 5 elementos positivos e 5 elementos negativos. Escolhem-se 5 números desse conjunto e se efetua a multiplicação desses 5 números escolhidos.

Em quantos casos tal multiplicação terá resultado negativo?

A)25 B)120 C)125 D)126 E)128

(56)

Ano: 2018| Banca: CESGRANRIO | Órgão: Petrobras | Provas: Engenheiro Jr.

10. Uma arena esportiva possui exatamente 8 portões, numerados de 1 a 8. Essa arena é considerada aberta se, e somente se, pelo menos um dos seus portões estiver aberto.

Por exemplo, seguem três maneiras diferentes de se ter essa arena aberta:

• quando apenas o portão 3 está aberto; • quando apenas o portão 6 está aberto; • quando apenas os portões 3, 7 e 8 estão abertos.

O número total de maneiras diferentes de se ter essa arena aberta é:

A)40.320 B)40.319 C)256

D)255 E)36

(57)

Pré-Prova. Professor Dudan

Pré-Prova

FRAÇÕES

M étodo da Borboleta

Muito eficaz e não exige calculo de m.m.c , porém só pode ser aplicado em duas frações por vez e em alguns casos

exige uma simplificação ao final.

Divisão de Frações

Para dividir frações, basta multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda fração.

Exemplo:

÷

=

.

=

=

TEORIA DOS

CONJUNTOS

A B

___

RAZÃO E

PROPORÇÃO

PORCENTAGEM

𝒙% = 𝒙

% = 𝟏 𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟎𝟎

Na Matemática: “de”, “da”, “do”, etc. = multiplicação

x % de A = x % .A = 𝒙.𝑨

𝟏𝟎𝟎

18% de 56 = 18%.56 = 𝟏𝟖.𝟓𝟔

𝟏𝟎𝟎 =10,08

Quero saber quanto uma parte representa de um todo: 𝒑𝒂𝒓𝒕𝒆 𝒕𝒐𝒅𝒐 Ex.: quanto 39 representa de 156?

RESPOSTA:

= 𝟎, 𝟐𝟓 =

= 𝟐𝟓%

• É muito importante sabermos calcular os valores básicos de 1% e 10% .

✓1% : basta movimentar a vírgula duas casas para a esquerda.

Ex: 1% de 170 = 1,7 1% de 354 = 3,54

1% de 456,7 = 4,567

MÉTODO PRÁTICO

• É muito importante sabermos calcular os valores básicos de 1% e 10% .

✓10% : basta movimentar a vírgula uma casa para a esquerda.

Ex: 10% de 170 = 17,0 10% de 354 = 35,4

10% de 456,7 = 45,67

MÉTODO PRÁTICO

• E como calcular 5%?

Daí basta definir 10% e dividir por 2, ou seja, basta lembrar quer 5% é a metade de 10%.

Ex: 5% de 170 = (17) /2 = 8,5

5% de 354 = (35,4) / 2 = 17,7

5% de 456,7 = (45,67) / 2 = 22,835

MÉTODO PRÁTICO

• E para calcular 25%?

✓Basta dividir por 4 o valor dado pois 25% = 1/4.

Ex: 25% de 170 = 170/ 4 = 42,5 25% de 354 = 354 / 4 = 88,5

25% de 456,7 = 4567 / 4 = 114,175

MÉTODO PRÁTICO

FUNÇÕES

Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma :

onde a e b são números reais dados e a ≠ 0.

Seu gráfico é sempre uma reta.

a → Coeficiente angular, Parâmetro angular, Inclinação ou Declividade.

b → Coeficiente linear, Parâmetro linear ou Termo Independente.

b ax

f(x) = +

FUNÇÃO DE 1° GRAU

COEFICIENTE ANGULAR

a > 0 a < 0

Reta CRESCENTE Reta DECRESCENTE

COEFICIENTE LINEAR

b > 0 b < 0 b = 0

Função de 1° Grau

Além disso , de forma teórica, apenas na função de 1° grau teremos que as variações de x e y acontecem de forma proporcional.

Exemplo:

0 12

+1 16

+2 20

+5 32

+8 44

+4 +12 +1

+3

Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma

f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são números reais e a ≠ 0.

O gráfico de uma função polinomial do 2º grau é uma curva chamada parábola.

x % de A = x % .A = ^𝒙.𝑨

18% de 56 = 18%.56 = ^{𝟏𝟖.𝟓𝟔}

𝒙 = −𝒃 ± 𝒃 ^𝟐 − 𝟒𝒂𝒄

𝒙 _𝒗 = −𝒃 𝟐𝒂

a ^c

Lembre-se que 𝒍𝒐𝒈 _𝒃 ^𝒂

log _a b + log _a c = log _a b.c

log _a b - log _a c = 𝒍𝒐𝒈 _𝒂