16 - Carga Elétrica e Lei de Coulomb

(1)

Prof. Anderson Coser Gaudio

Departamento de Física – Centro de Ciências Exatas – Universidade Federal do Espírito Santo http://www.cce.ufes.br/anderson

anderson@npd.ufes.br Última atualização: 28/11/2006 14:18 H

16 - Carga Elétrica e Lei de Coulomb

Fundamentos de Física 2 Halliday, Resnick, Walker

4ª Edição, LTC, 1996

Física 2

Resnick, Halliday, Krane 4ª Edição, LTC, 1996

Física 2

Resnick, Halliday, Krane 5ª Edição, LTC, 2003 Cap. 23 - Carga Elétrica Cap. 27 - Carga Elétrica

e Lei de Coulomb Cap. 25 - A Carga Elétrica e a Lei de

Coulomb

Prof. Anderson (Itacaré, BA - Fev/2006)

(2)

HALLIDAY, RESNICK, WALKER, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996.

FUNDAMENTOS DE FÍSICA 3

CAPÍTULO 23 - CARGA ELÉTRICA

EXERCÍCIOS E PROBLEMAS

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

[Início documento]

[Início seção] [Início documento]

(3)

RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996.

FÍSICA 3

CAPÍTULO 27 - CARGA ELÉTRICA E LEI DE COULOMB

PROBLEMAS

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36

[Início documento]

02. Qual deve ser a distância entre a carga pontual q1 = 26,3 μC e a q2 = -47,1 μC para que a força elétrica atrativa entre elas tenha uma intensidade de 5,66 N?

(Pág. 9) Solução.

Considere o seguinte esquema da situação, em que F12 é a força sobre a carga q1 devido à carga q2 e r12 é o vetor posição da carga q1 em relação à carga q2:

q1 + −

r¹²

q² F¹² F²¹

1 2

12 2

0 12

1 4 F q q

πε r

=

1 2 12

0 12

1, 4028 4

r q q m

πε F

= = "

12 1, 40

r ≈ m

04. Duas partículas igualmente carregadas, mantidas a 3,20 mm de distância uma da outra, são liberadas a partir do repouso. Observa-se que a aceleração inicial da primeira partícula é de 7,22 m/s² e que a da segunda é de 9,16 m/s². A massa da primeira partícula é de 6,31 × 10^-7 kg.

Encontre (a) a massa da segunda partícula e (b) o módulo da carga comum às duas.

Considere o seguinte esquema da situação:

(4)

q

+ r¹² +q

F¹² F21

x y

Neste problema vamos ignorar o efeito da força peso, que é desprezível em comparação com a força elétrica.

(a) Cálculo de m2:

12 =m1 1= −m1 1

F a a i

21 =m2 2 =m a2 2i

F a

Mas:

12 = − 21

F F

( )

1 1 2 2

m a m a

− i= − i

1 7

2 1

2

4, 9736 10 kg m a m

a

= = "× −

7 2 4, 97 10 kg

m ≈ × ⁻

(a) Cálculo de q:

12 =m1 1

F a

2 2 1 1 0 12

1 4

q m a

πε r

− i= − i

11

12 0 1 1

2 7, 2596 10 C

q= r πε m a = "× ⁻

7, 26 10 11 C q≈ × ⁻

07. Três partículas carregadas estão sobre uma linha reta, separadas pela distância d, como mostra a Fig. 12. As cargas q1 e q2 são mantidas fixas. Descobre-se que a carga q3, que é livre para se deslocar, está em equilíbrio sob a ação das forças elétricas. Encontre q1 em termos de q2.

Para que a carga q₃ permaneça em equilíbrio, as forças elétricas que agem sobre a mesma, devido às cargas q₁ e q₂, devem anular-se.

q³

F31 F32

ou

q³

F32 F31

Em quaisquer dos casos esquematizados acima, vale a seguinte relação:

31 = − 32

F F

(5)

3 2 3 1

2 2

0 32 0 31

1 1

4 4

q q q q

r r

πε ⁱ^{= −} πε ⁱ

2

( )

1

2

2 2

q q

d = − d

1 4 2

q = − q

12. Duas cargas fixas, +1,07 μC e -3,28 μC, estão a 61,8 cm de distância entre si. Onde se pode localizar uma terceira carga de modo que nenhuma força resultante aja sobre ela?

Para ficar em equilíbrio, uma terceira carga, positiva ou negativa, somente poderá estar localizada em algum ponto da reta que passa por q1 e q2. Podemos dividir essa reta em três regiões: A, B e C.

A + B − C

Uma análise rápida mostra que as regiões B e C estão descartadas, pois as forças elétricas sobre a terceira carga não seria nula. O esquema abaixo ilustra a situação das forças sobre q₃ (primeiro sendo positiva e depois negativa) na região B.

+ + F31 −

q¹ q³ q²

F32

+ F³¹ − −

q¹ q³ q²

F³²

O esquema abaixo ilustra a situação das forças sobre q3 na região C.

+ q¹

− +

F³¹

q² q³

F³² +

q1

− −

F³¹

q2 q3

F³²

Veja que somente na região A as forças F₃₁ e F₃₂ podem anular-se.

+ q¹ + −

F³²

q² q³

F³¹

+ q¹

−

− F³²

q² q³

F³¹

Considere o seguinte esquema:

(6)

+ q1

− +

F32

q2

q3

F³¹

r³¹

r³²

r12

3= 31+ 32 =0

∑

^F ^F ^F

31 32

F =F

3 1 3 2

2 2

0 31 0 32

1 1

4 4

q q q q

r r

πε ⁼ πε

( )

1 2

2 2

31 31 12

q q

r = r r +

( )

¹

31 31 12

2

r r r q

= + q

12 31

2 1

0,82308 m 1

r r

q q

= =

−

"

31 0,823 m r ≈

Logo:

32 31 12 1, 44108 m

r =r +r = "

32 1, 44 m r ≈

14. Fixa-se uma carga Q em cada um de dois vértices opostos de um quadrado. Coloca-se uma carga q em cada um dos outros dois vértices. (a) Se a força elétrica resultante sobre Q é nula, qual é a relação entre Q e q? (b) Poderia escolher-se q de forma a anular a força elétrica resultante sobre todas as cargas? Explique sua resposta.

(a) Considere o seguinte esquema da situação:

q

Q q

l Q

2

l l

x y

(7)

Diagrama de corpo livre da carga Q localizada no vértice inferior esquerdo do quadrado:

Q

x y

θ θ=π/4 θ

F^Qq¹ F^qq²

F^QQ

A condição de equilíbrio da carga Q é que o somatório das forças que atuam sobre a mesma deve ser zero.

1 2 0

Q= Qq + Qq + QQ =

∑

^F ^F ^F ^F

O somatório das forças em x deve ser zero.

2 cos 0

Qx = Qq + QQ θ =

∑

^F ^F ^F

( )

²

2

0 0

1 1

4 4 2

Qq QQ

l l

πε ^{= −} πε

2 2

2 2 2

Q Q

l = − l 2 2 Q= − q

(b) Não. Para que a carga q fique em equilíbrio, seu valor deve ser −2 2Q. Mas para que a carga Q fique em equilíbrio, seu valor também deve ser −2 2Q. Como não é possível satisfazer a essas condições simultaneamente, as quatro cargas não poderão constituir um sistema em equilíbrio.

16. Penduram-se duas bolinhas semelhantes, de massa m, a fios de seda de comprimento L; as bolinhas têm cargas iguais q conforme a Fig. 14. Suponha que q seja tão pequeno que se possa substituir tan q por seu equivalente aproximado, sen q. (a) A essa aproximação, mostre que, para o equilíbrio,

2 1/ 3

2 0

x q L πε mg

⎛ ⎞

= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ,

onde x é a separação entre as bolinhas. (b) Se L = 122 cm, m = 11,2 g, e x = 4,70 cm, qual é o valor de q?

(8)

Considere o seguinte diagrama de corpo livre da carga localizada à esquerda:

q

x θ T y

P F

A condição de equilíbrio das cargas é dada por:

= + + =0

∑

^F ^{F T P}

No eixo y, temos:

cos 0

Fy =T θ −P

∑

⁼

cos T mg

= θ (1)

No eixo x:

(2)

x 0

F =Tsenθ − =F

∑

Substituindo-se (1) em (2):

2 2 0

1

cos 4

mg q

senθ x

θ ⁼ πε

2 2

0

1

4 ta

x q

mg n

πε θ

=

Segundo o enunciado do problema, temos θ pequeno o suficiente para fazer tan θ ≈ sen θ.

2 2

0

1

4 se

x q

mg n

πε θ

≈ (3)

De acordo com o esquema, temos:

sen 2 x

θ = L (4)

Substituindo-se (4) em (3):

(9)

2 2

0

1 4

2 x q

mg x L

≈ πε

2 1/ 3

0

1 2 x q L

πε mg

⎛ ⎞

≈ ⎜ ⎟

⎝ ⎠

(b)

3 0 8

2 mgx 2, 28019 10 C

q L

πε ₋

≈ = "×

2, 28 10 C8

q≈ × ⁻

19. Duas cargas pontuais positivas, iguais a q, são mantidas à distância fixa 2a. Uma carga pontual de prova localiza-se em um plano normal à linha que liga aquelas cargas e na metade do caminho entre elas. Encontre o raio R do círculo nesse plano para o qual a força sobre a partícula de prova tenha valor máximo. Veja a Fig. 15.

Considere o seguinte esquema da situação, em que q0 é uma carga de prova positiva:

q + a +q

F¹ F²

θ

θ q0

x y R

a θ

O módulo da força resultante sobre a carga de prova está no eixo y, uma vez que as componentes x das forças F₁ e F₂ anulam-se.

1_y 2_y 2 1_y 2 sen1

F =F +F = F = F θ

( ) ( )

0 0

1/ 2 3 / 2

2 2 2 2 2 2

0 0

1 1

24 2

qq R qq R

F⁼ πε a +R a +R ⁼ πε a +R

O valor de R que maximiza F é encontrado igualando-se a zero a derivada de F em relação à R:

(10)

( )

2 2

0

5 / 2

2 2

0

1 2 2 0

qq a R dF

dR πε a R

= −

+ = (1)

Para que (1) seja verdadeira, é preciso que:

2 2

2 0

a − R =

2 R= a

21. Um cubo de aresta a porta uma carga pontual q em cada vértice. Mostre que a força elétrica resultante sobre qualquer uma das cargas é dada por

2 2 0

0, 262q F ⁼ ε a ^,

e está dirigida ao longo da diagonal do cubo e para fora dele.

Considere o seguinte esquema da situação:

x

z

a y 1

2 3

4

5 a

a

7 6

8

2 a

3 2 a

a θ

φ

F¹

Os vetores-posição e as distâncias entre as cargas são:

12 12

a r a

= −

=

r i

O vetor r12 é a posição da carga q1 em relação à carga q2 e, portanto, aponta no sentido negativo do eixo x.

13 13

a r a

= −

=

r j

14 14

a r a

= −

=

r k

(11)

15

15 2

a a r a

= − −

=

r i j

16

16 2

a a r a

= − −

=

r i k

17

17 2

a a r a

= − −

=

r j k

18

18 3

a a a r a

= − − −

=

r i j k

As forças que agem sobre q1 são:

2 2

12 2 12 2

0 12 0

1 1

4 4

q q

r a

πε πε

= = −

F r i

2

13 2

0

1 4

q πε a

= −

F j

2

14 2

0

1 4

q πε a

= −

F k

( ) ( )

2 2

15 2 2

0 0

2 2

0 0

1 1

cos sen

4 2 4 2

1 2 1 2

4 2 2 4 2 2

q q

a a

q q

a a

θ θ

πε πε

= − −

F i j

i j

( ) ( )

2 2

16 2 2

0 0

1 2 1 2

4 2 2 4 2 2

q q

a a

πε πε

= − −

F i k

( ) ( )

2 2

17 2 2

0 0

1 2 1 2

4 2 2 4 2 2

q q

a a

πε πε

= − −

F j k

( ) ( ) ( )

2 2 2

18 2 2

0 0 0

1 1 1 1 1 1

4 3 3 4 3 3 4 3

q q q

a a a

πε πε πε

= − − −

F i ₂

3

j k

A força resultante sobre a carga q1 vale:

8 2

1 1 2

1 0

2 2 0

2 1 1

1 2 3 3 4

2 1 1

1

2 3 3 4

2 1 1

1

2 3 3 4

i i

q a q a q a πε

πε πε

≠

⎛ ⎞

= = − +⎜⎜ + ⎟⎟

⎝ ⎠

⎛ ⎞

− +⎜⎜⎝ + ⎟⎟⎠ −

⎛ ⎞

− +⎜⎜⎝ + ⎟⎟⎠

∑

F F i−

j

k

(12)

Os valores idênticos das componentes do vetor F₁ indicam que o mesmo possui direção que

coincide com a diagonal do cubo. Os sinais negativos das componentes mostram que o vetor aponta para fora do cubo. O módulo de F1 vale:

2 2

1 2

0

3 0,15123 1 4 F q

πε a

⎛ ⎞

= ⎜− ⎟

⎝ " ⎠

2

1 2

0

0, 262 q F ^≈ ε a

2 a

3 a

22. Duas cargas positivas +Q são mantidas fixas à distância d entre si. Uma partícula de carga negativa −q e massa m é colocada na metade do caminho entre elas e, então, recebe um pequeno deslocamento perpendicular à linha que as liga, sendo liberada em seguida. Mostre que a

partícula descreve movimento harmônico simples de período (εomπ³d³/qQ)^1/2.

(a) Considere o esquema abaixo:

Q

r

+ +

d

Q F1 F2 r

θ

θ −q

x y y

A partícula de carga −q está sujeita às forças F1 e F2 devido às interações elétricas com as cargas +Q da direita e da esquerda, respectivamente. F₁ e F₂ têm o mesmo módulo F. Segunda lei de Newton na direção y:

2 y 2

F md y

= dt

∑

2

2 sen d y2

F m

θ dt

− =

2

2 2

0

2 4

qQ y d y r r m dt πε

⎛ ⎞

− ⎜ ⎟ =

⎝ ⎠

2

2 3

0

2 0 d y qQ

dt ⁺ πε mr y⁼ O esquema mostra que:

2 1/ 2

4 r ⎛d y⎞

=⎜ + ⎟

⎝ ⎠

Logo:

(13)

2

3/ 2

2 2

0

2 4

d y qQ

dt d y

m y

πε

+ =

⎛ ⎞

⎜ + ⎟

⎝ ⎠

Fazer um deslocamento pequeno na carga −q significa fazer d >> y. Isto significa que:

2 3/ 2 3

4 8

d d

⎛ y⎞

+ ≈

⎜ ⎟

⎝ ⎠

Portanto:

2

2 3

0

4 0

d y qQ dt ⁺πε md y^≈

Esta equação é característica de movimento harmônico simples, onde a freqüência angular vale:

1/ 2 3 0

4qQ ω md

πε

⎛ ⎞

= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

Portanto:

T 2π

= ω

3 3 1/ 2 0md

T qQ

π ε

⎛ ⎞

= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

31. Calcule o número em coulombs da carga positiva existente em um copo d'água. Suponha que o volume d'água seja de 250 cm³.

A carga positiva total Q+ num volume V de água é dada por:

(1) Q₊ =Nq₊

Na Eq. (1), N é o número de moléculas de água no volume V e q₊ é a carga positiva presente em uma molécula de água. N é dado por (2), onde m á a massa total da amostra de água, NA é o número de Avogadro e M é a massa molar da água.

mNA

N = M (2)

Como a m é o produto da densidade da água ρ pelo seu volume V, temos:

VNA

N M

= ρ (3)

A carga q+ é o número de prótons presentes numa molécula de água (10) multiplicada pela carga fundamental e:

(4) 10

q₊ = e

(14)

1,34 10 C 13, 4 MC7

Q₊ ≈ × =

(15)

RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 5.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 2003.

FÍSICA 3

CAPÍTULO 25 - A CARGA ELÉTRICA E A LEI DE COULOMB

EXERCÍCIOS

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

PROBLEMAS

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

[Início documento]