MÉTODOS DE PONTOS INTERIORES COM MUDANÇA DE ESCALA PARA PROGRAMAÇÃO LINEAR

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(1)MÉTODOS DE PONTOS INTERIORES COM MUDANÇA DE ESCALA PARA PROGRAMAÇÃO LINEAR. Antonio Roberto Balbo.. Orientador: Prof. Dr. Marcos Nereu Arenales.. Dissertação apresentada ao Instituto de Ciências Matemáticas de São Carlos, da Universidade de São Paulo, para obtenção do Titulo de Mestre em Ciências de Computação e Matemática Computacional. São Carlos 1991.

(2) aos meus pais (Ladi e Avelino) e a todos os espíritos de luz que regem e iluminam o universo....

(3) " A alma é divina e a obra é imperfeita. Este padrão signala ao vento e aos céus Que, da obra ousada, é minha a parte feita: O por-fazer é só com Deus. " (F. Pessoa).

(4) AGRADECI MENTOF. Em primeiro lugar, quero deixar a minha gratidão para o professor Dr. Marcos Nereu Arenales ("Marcão"), pela colaboração, presteza, incentivo e principalmente pelo crédito ao meu esforço na realização deste trabalho. Às instituições CNPq e CAPES, e à Reitoria da UNESP, pelo auxilio financeiro na realização deste trabalho. Ao amigo Kazuo Aoyanagi, pelo auxilio computacional. Ao amigos, Valdemir Garcia Ferreira e Sandra de Oliveira Vendramini pelos momentos difíceis ultrapassados. Aos professores Antonio Cesar da Costa Barros e Magda Kimico Kaibara, pelo auxílio teórico. Ao departamento de matemática da UNESP de Bauru e aos professores deste, pela colaboração. Aos professores Cristiano Lyra Filho e Ana Friedlander Martinez, por terem gentilmente concordado em participar como membros da banca examinadora e pelas sugestões dadas. A todos aqueles, amigos e colegas que convivi neste percurso..

(5) ÍNDICE. INTRODUÇÃO CAPÍTULO I - ELEMENTOS BÁSICOS. 1- Preliminares . 1. 2- Problemas de Programação Linear . 2. 3- Direções factíveis e de descida . 4. 4- Limite do passo . 5. 5- Região de confiança . 6. CAPÍTULO II - PROBLEMAS COM RESTRIÇÕES DO TIPO DESIGUALDADE: Ax 5 b. 1- 0 Algoritmo Dual Afim. 8. 2- Interpretação geométrica do Algoritmo Dual Afim 15 CAPITULO III - PROBLEMAS COM RESTRIÇÕES CANALIZADAS: b- 5 Ax 5 b+. 1- Algoritmo Dual Afim para restrições canalizadas 27 2- Um resultado numérico . 34. CAPITULO IV - PROBLEMAS COM RESTRIÇÕES DE IGUALDADE. 1- Algoritmo Primai Afim . 36. 2- Uma interpretação geométrica . 40. 3- Algoritmo dos Quadrados Mínimos Ponderados . 42. 4- Convergência dos algoritmos com restrições de igualdade 44 5- A complexidade dos algoritmos com restrições de .igual48 dade 6- O Algoritmo de Karmarkar . 54. CAPITULO V - PROBLEMAS COM VARIÁVEIS CANALIZADAS. 1- Algoritmo de Chandru/Kochar para variáveis canalizadas 60 2- Algoritmos para outros problemas com variáveis canalizadas APÊNDICE A - O MÉTODO SIMPLEX BIBLIOGRAFIA . 66 .71 75.

(6) RESUMO. Neste trabalho,revemos alguns métodos de pontos interiores para programação linear, com ênfase no método "dual-afim" de Adler, Karmarkar, Resende e Veiga, (1986), o qual tem se mostrado o mais promissor. Além disso, estendemos o método dual afim para explorar a estrutura de restrições canalizadas: b- 5 Ax s b+, como conseqUência imediata , com uma ligeira modificação do mesmo.. ABSTRACT. In this work we review some interior points methods for linear programming, with emphasis on the affine scaling method of Adler , Karmarkar, Resende and Veiga, (1986), which has seemed to be the most promissor. Furthermore, we extend the affine scaling method to explore interval linear programming: b- 5 Ax I)+, as immediate consequence, upper bounds variables are obviously trated, with a slight modification of the affine scaling method..

(7) INTRODUÇÃO. Quando Karmarkar, em 1984, publicou o seu trabalho de pesquisa - " A new polynomial-time algorithm for linear programming denominado algoritmo " das transformações projetivas " , promoveu grande impacto na pesquisa operacional, pois abria-se novas perspectivas de campos de pesquisa. Com relação ao algoritmo, Karmarkar provou que este tinha complexidade polinomial, afirmou que este era mais eficiente que o método Simplex de Dantzig mesmo nos piores casos de aplicação computacional e utilizou a estratégia de determinar uma solução ótima caminhando por pontos interiores à região factível. Entretanto, implementações feitas por outros pesquisadores deste algoritmo não condiziam com a afirmação de Karmarkar em termos computacionais. Mas um algoritmo variante deste, (Adler et al, (1986)1, trouxe resultados promissores, possibilitando comparações em desempenho com uma implementação avançada do método Simplex, o código MINO'S de Murtagh.e Saunders, (1977). Este algoritmo explora a estrutura de restrições no formato Ax rs b, " formato dual ", se caracterizando por trabalhar com mudança de escala a cada iteração , definida pelos autores como "transformação afim". Dai a denominação de algoritmo " dual afim" importante observar que, até o momento, não se conseguiu demonstrar a complexidade polinomial do mesmo e provavelmente nem tenha complexidade polinomial. Neste trabalho procuramos compilar alguns dos principais trabalhos de pesquisa de métodos de pontos interiores para programação linear. O capitulo 1 fornece elementos básicos que serão utilizados no decorrer do trabalho. O capitulo 2 é dedicado ao desenvolvimento algébrico do algoritmo " dual afim ", e a uma interessante interpretação geométrica do mesmo. O capítulo 3 é reservado a uma extensão do algoritmo " dual afim " para a estrutura de restrições canalizadas: b- Ax b+. A análise de algoritmos que exploram a estrutura do conjunto de restrições no formato, Ax = b, x k O , " formato primal " , é feita no capitulo 4 e neste, destacamos:.

(8) -. o algoritmo " primal afim ", publicado por Dikin em 1967 e. mais recentemente por Cavalier e Soyster, entre outros, onde fazemos sua análise e interpretação geométrica; - o algoritmo " dos quadrados mínimos ponderados ", publicado por Chandru e Kochar, em 1985, que nada mais é que o algoritmo anterior, visto com um outro enfoque. - o algoritmo " afim polinomial ", publicado por Gonzaga, em 1989; - o algoritmo de Karmarkar, publicado em 1984. Finalmente, o capitulo 5 é dedicado a estrutura do conjunto de restrições no formato: Ax = b,. 1 5 X 5 14 ou seja, o problema de. variáveis canalizadas, analisado entre outros por Chandru e Kochar, em 1986. Após a publicação do método de Karmarkar, novos algoritmos de pontos interiores surgiram, como os algoritmos de " trajetória Central" e os mais novos algoritmos tipo "primal-dual". Nosso próximo passo, para dar continuidade a este trabalho de pesquisa, será analisar os algoritmos de "trajetória central", baseados em autores como Gonzaga, Vaidya e Renegar, entre outros, para futuramente analisarmos os algoritmos tipo "primal-dual", conforme [Ye, (1991)]..

(9) I. CAPÍTULO. ELEMENTOS BÁSICOS.. Neste capítulo introduziremos alguns resultados básicos de gebra linear. análise matemática e programação matemática que. rão utilizados. decorrer. no. -. Sejam o vetor x. PRELIMINARES.. e a matriz T, x : vetor transposto de x; x. H. x. ". A. T. ". =. co. R nxm. e. |X. max. (. 1/2. 2. Z xl. ). 1:1'. A. Rmx",. denotamos:. :norma euclideana de x;. ,. 1. “. l=1..n . : matriz transposta de A. &. e Rmx". A.. ,será confundida. a transformação linear. com. R", T(x)= Ax, e denotamos:. +. (x. N(A) =. Im(AT) =. &. (y. Rn &. tal que Ax = O): o Rm Rn tal que 3 w &. sub—espaço núcleo de A; e ATw = y ): o sub—espaço. í—. AT.. de. magem. =. |xi|. 1=1. matriz. A. Tan. n ):. x||1=. ||. n. / xTx. =. ". Rn. &. se;. texto.. do. 1. ál—. Note que. e Im(AT). N(A). são sub-espaços do. abaixo os principais resultados entre. R".. Descrevemos. N(A) e Im(AT).. São ortogonais os sub—espaços N(A) e Im(AT), ou N(A) e Vy & Im(AT) “então xTy = 0. 2- A dimensão (dim) dos sub—espaços N(A) e Im(AT) é: dím(Im(AT) = m. dím(N(A)) = n—m e 1—. seja,. Vx. &. .. 3-. R. n. é a. R" = N(A). x = x. p. +. © x—. p. ou seja, soma direta dos sub—espaços N(A) e Im(AT), Im(AT), logo Vx e B", então x pode ser decomposto em onde x e N(A) e x— & Im(AT). p. p. proposições dadas a seguir, serão úteis no capítulo 4 definirmos a direção de busca para os algoritmos primais. As. do. Proposição 1: Seja A. matriz. A. e Rmxn e. (AAT) e Rmxm é. não. posto. (A) ='m,. singular.. então: ». quan—.

(10) ..., 2: Prop031çao. V. x e Rn , x # 0. x; onde xP & N(A) algébrica de xp e x; é dada por: x = xp. +. xp= (1. elemento. de. x;. &. Im(AT),. AT)'1A)x. AT(A. &. .... decomp051cao. então a expressão. e. AT)'1A)x. projeção ortogonal de x. é chamado. xp. e. (AT(A. =. x; O. —. . e con51derando. no. núcleo. A.. - Problemas. 2. Consideremos. de Programação Linear.. problema de programacão linear:. o. T. . minimizar. c x b. Ax =. sugeito a onde. A. mxn e R. ;. posto(A). x a. =. (1). O. problema dual é dado por:. e seu. m. maximizar bTy. sujeito a Consideremos. onde. A. e R. an. o. (2). O. T. . minimizar. e x. sujeito. Ax. a. 5. e posto(A) = n,. sujeito teoria. s. problema de programação linear:. minimizar. A. ATy. C. T. (3). b m. a n, que é equivalente ao problema:. x AX + Z =. a. 2. de programação. a 0. ;. b z e R. linear adota. (4). m .. problema (1) como for— problema em "formato prímal“. o. mato padrão, referido aqui como Por se caracterizar pelas restrições de desigualdade e ter uma certa "semelhança" com (2), o problema (3) será referido como pro— blema em "formato dual"..

(11) algoritmos, a serem vistos, serão desenvolvidos de acordo com a especificação do formato do problema. Uma solução é dita “factível“ se satisfizer as restrições do problema de programação linear e será ótima se minimizar (maximi— mizar) a função objetivo do problema. Os. programação linear um teorema importante que relaciona as soluções ótimas de (1) e de (2) respectivamente: Encontramos na. (folgas complementares). (x.,y*) são soluções ótimas em (1) e (2) respectivamente, se e somente se as três condições abaixo são satisfeitas: Teorema 1:. i). x“ é. ii) y'. iii). é. (X'). factível. em. (1), isto é, Ax'=. factível. em. (2), isto é,. (. c - ATy*) =. b e. ATy' 5. ><". =. 0.. c.. (condição das folgas complementares).. O. Este teorema nos será útil nos capítulos 2, 4 e 5. É preciso que especifiquemos também o conjunto viável para ca— da problema, já que direções de busca e soluções factíveís estão relacionados com este conjunto. 0 conjunto viável do problema (1) denotaremos por S: S = O. conjunto viavel P =. (x. &. Rn. tal. que Ax=b e x z 0)[. do problema (3) por P:. (x. &. Rn. tal. que. Ax. 5 b. ).. 0 conjunto viável do problema (4) denotaremos por. P'= (x. &. Rn;z. &. RT. tal. que. Ax + 2 =. P': b).. os algoritmos a serem vistos trabalham com pontos ínte— riores à região viavel, definamos o conjunto de pontos interiores de S e P, respectivamente. O conjunto dos pontos interiores de S é definido por: Como. int(S) O. =. (x. &. Rn. tal. que Ax=b. conjunto dos pontos interiores de. int(P). =. (x e. R. tal. que. e'x. O).. definido por:. P é Ax <. >. b. )..

(12) 3. Definição vel para x e Vs. factíveis. e de descida.. Dizemos que um vetor d e R" é uma direção factí— S (x e P), se existe p > O tal que x + 2d e S, [O,p]. (x + cd e P, Ve & [0,p1). &. 1:. seguir caracterizaremos direções factíveis para (1). A. ª. Direções. —. Proposição 4: Se uma direcão d e É", é e S do problema (1), então d & N(A). Prova: d:. direção factível. Desde que Aí = b e e. 0. >. #. 3 e. =. Ad =. > O. tal. factível para. que. 0. (com e. > O,. A(ã. e. ponto. um. ed). +. (4)... b.. =. suficientemente. pequenº).D. Corolário 4.1:. Se o. vetor d' d. d'. =. &. Rm+n;. (problema (4)). x 2. onde dx &. &. R“ e. (12 & Rm,. é uma. direção factível para. um. ponto. iz. &. Rm+n., ><!. !!. ><?. N!. então dºe N(A,I). (I. &. Rmxm. matriz identidade).. é a. apêndice A, caracterizaremos as direções factíveis adotadas pelo método Simplex. A seguir definiremos a condição para que uma direção factível No. seja. Para isto. de descida.. é. preciso que façamos a seguinte. defi—. ção:. Definição 2: '(derivada direcional). Seja s : R" ; s aberto; f:S » R. Dado um ponto fine—se a derivada direcional na direção h por: vhf(ã). lim. = A. +. O. f(ã. + Ah). —. f(ã). —————————————————————. A. %. + Ah. e s,. de—.

(13) disso é valido a seguinte proposição:. Além. Vhf(ã) = (Vf(ã))Th. onde Vf(ã) é o vetor gra— em É, formado pelas derivadas parciais : Qiíãl. Proposição 5:. diente. de. f. aí. Definição 3: Dizemos que descida para uma função szn. uma. tal. f(í. que. +. + R. &. f(í). ,. Vs. Se. f(x). =. ch,. eh). Proposição 6:. direção factível h e R" em & se, e somente se, 3. é. de. 6. > O. [0,6].. &. uma. direção. descida se. b é de. e. somente se: cTh. =. Vhf(x). 0,. <. Vx. R".. &. 4 “ Limite do passo. Quando perturbamos x em uma. direção factível. cd, e > O, dizemos que c é d definido na seguinte proposição: ponto x. +. Proposição 8: %. +. que. cd é. i. +. viável, cd e S. ;. Sejam. e S, e d. = O,. então:. > O,. i=1..n. i-ãi/d1 tal. Considerando o problema (4), se Vc >. tamanho do passo na direção. caso contrário, o maior valor de é dado por: e. V. e = min. vel. o. d gerando um novo. 0, caso. contrário. o maior. que. (12. z. O,. tal. 0).. dx <. então. valor de. e. E +. e. tal. <. 0),. sdz é factí—. que. E +. sdz. &. P. é dado por: e =. Note que. min. l=1..m. Fã!/d 21 tal. estes valores para. pontos estejam sobre a. o. que. d_. zl. passo fazem. com. que os novos. fronteira da região viavel.. algoritmos de pontos interiores utilizarão a estratégia heurística de caminhar de, com a e (0,1), para garantir que o novo ponto seja interior a região viavel. Os.

(14) 5. ª. Dado um ponto uma. Região de confiança.. —. e R", definimos como. vizinhança V(ã) c. região de confiança em e estaremos interessados em resolver:. Rn. minimizar ch sujeito a x &. tal. Se V(ã) é. (bola centrada em a partir de º, já o &. é. =. (5). N. V(x). ques. V(ã) = B€(ã). x. &. (x. =. É com. &. Rn. raio e),. N. +. ed. =. i. +. e. que. x. ". então. > O,. ã. —. s e),. ". uma. solução para (5). sera:. bem conhecida,. x. tal. (e). c (—c/n c n),. ser interpretado como sendo o oposto do vetor gradiente melhor direção para se perturbar ; quando a região de confiança definida por uma bola.. que pode. Se considerarmos um novo problema: T. minimizar C x sujeito a x & V(ã). =. B€(í) n (Ax. =. (7). b),. a solução (6) pode ser reconsiderada, desde que tomemos d assim: x =. ª. +. &. N(A) e. (8). e (—cp/H cp"),. onde, cp = é o. (I -. AT(AAT)—1A)c. ,. vetor gradiente projetado em N(A). Agora, se tivermos uma vizinhança V(ã). definida por. um. elipsóide muito particular: V(ã). =. g(ã). =. (x e. R“. tal. que. diag( ni),'nx > 0, i = l,...,n mudança de escala na variável x,. onde. H =. H'ª(x. " ;. basta. —. &). n. =. e),. que efetuemos. uma.

(15) e o problema (5). será equivalente. a:. minimizar cTHy. sujeito a. y. ". —. &. =. H. e,. cuja solução única é: y =. e. +. &. (—. (HC)/(II HcII).. Assim, a direção oposta ao gradiente precedida pela mudança de escala, fornece a melhor direção para se perturbar º quando a vi— zinhança é definida por E(ã). Se. recons i derarmos : T. . minimizar c x sujeito a x & W)?). este problema. o Hy. SUJeltO a. HCP. é o. 37. AHy =. b. y _. &. ". cuja solução direta de (8) =. em:. T. . . . minimizar. onde. pela mudança de escala. é transformado. y. Eb?) n (Ax-= b),. =. +. “. =. 8,. é dada por:. e (-(Hc. p. )/(||. vetor gradiente escalado. Hc. e. p. II)),. projetado. em N(AH).w. Observe que os resultados anteriores podem ser estendidos para V(ã) n (Ax 5 b), desde que Ax 5 b é equivalente a Ax + 2 = b , z a 0. Isto será visto com maiores detalhes no capítulo 2 ,. seção 2. de se fazer mudança de escala a cada iteração se— rá usual nos métodos a serem vistos, observando que: N .., » -1» _, e se tomarmos ni = (xl) ; xi > O, entao y = H x = e, onde denotará o vetor de coordenadas unitárias, importante para a aná— lise destes métodos e (y - e)T(y — e) sera a bola de centro e , resultados muito utilizados a partir do capítulo 2. A. estratégia.

(16) CAPíTULO PROBLEMAS COM RESTRIÇÓES DO 1. -. II TIPO DESIGUALDADE:. Ax 5. b.. 0 Algoritmo dual afim.. Neste capítulo revemos o.método apresentado por Adler , Kar— markar, Resende e Veiga, inicialmente seguindo um procedimento ba— sicamente algébrico, para depois deduzi—lo com uma abordagem mais. geométrica. 1.1. —. Preliminares.. Consideremos o programa linear na formatação. onde A. A. dual:'. T. minimizar. c x. sujeito a. Ax. "IX" e R , posto(A) = D,. &. b;. m. =. (1) n, ou. seja, as colunas da matriz. são linearmente independentes. Introduzindo—se as variáveis de folga, temos: minimizar. -. T. c x. sujeito a [ Seja logo. ;. E =. um. b. —. Ax + 2 =. b. (2). z a 0.. interior factível para (1), ou seja, Aí < b, > 0 é um ponto factível para (2). Além disso, pe— capítulo 1, o conjunto das direções factíveís de. ponto A;. ila proposição 5,. (2) é determinado pela resolução do seguinte sistema: Adx +'dz = 0.. 1.2 -. A. mudança de. escala.. Considere a matriz diagonal formada pelo vetor de. folgas. E: NI. N!. Il. O. (3). das. variáveis.

(17) A. la. matriz. É é. (mudança de w. usada para definirmos a seguinte mudança de esca—. variável): &. Rm. tal. que. W. Í'lz.. =. Esta mudança de variável é particularmente interessante pois, 51 próximo a zero é transformado em 1, ou seja, a solução factí— vel (x,z) é transformado em (x,e). Basta observarmos que: &. =. ã'ã. =. e.. Assim teremos o seguinte problema equivalente a (2):. minimizar. ch Ax + Íw = b. sujeito a. w & O. (4). _ .. 1.3 - Determinação da direção de busca. Para melhorarmos uma solução corrente &, o problema (4) terá papel central na determinação da direção adotada. Para isto, introduziremos agora as direções factíveis a serem adotadas, as quais denotamos por:. Note que uma direção factível para pertencer ao núcleo de (A,ã), ou seja, Ad + X. 2 d W. = 0. =>. d. w. =. —. ã. Ad. o. x. .. problema. (4). deve. (5). disso, estamos presos ao problema (1) e uma possível direção factível dx para & sera interessante se for uma direção de (6) descida, ou seja, pela proposição 6, capítulo 1, chx < 0. Note de (5) que d" a ser escolhida adiante deve pertencer ao espaço imagem de [É-IA], caso contrário uma direção infactível seria gerada (a estratégia normal dos métodos de pontos interiores e a de projetar o gradiente da função objetivo com respeito as variáveis que sofreram mudança de escala no espaço das direções factíveis). Admitindo que d", & Im[Í—1Al, podemos expressar dx em função de d . Antes porém enunciamos a seguinte proposição: Além. W.

(18) Proposição 1:. A. matriz. [ATÉ—ºA]. Rnxn é. &. simétrica. e. positiva.. definida. Prova:. matriz Seja v & A. [ATÉ-ZA] Rn. thATã'ªAlv. é. simétrica pois. [ATÍ'2A1T= [ATÉ—ZA].. não nulo, então. (vT[AT2'1]).([ã'ªA]v). =. = ". ª_lAv é não nulo, uma vez que é combinação 1. 1, desde que posto (A) = n. Logo, podemos expressar. guinte estratégia:. d. +. )(. ATã'ª(ã'ªAd dx =. X. +. d. 0,. de. d. = 0. #. W. usando—se a. ) W. (7). [ATã"ºA1'1ATã'ªdw.. —. se—. à. = 0. W. pois não nula de vetores >. a. dx em função. ã'ªAd. [ã—lAlv nª. (7), obtemos:. De. chx. =. - (c. [ATÉ-2A1_1ATÉ_1)d =. - (ã'ªA [ATÉ-ZAI-lcdew. valor mais negativo, quando. e tem o. dW =. i'lA [ATã'ºAl'ªc. (8). Note que (8) é uma escolha possivel para d poís pertence H espaço imagem de [Í-IA]. Substituindo (8) em (7) obtemos: d. Desta forma, (5) está Mostremos que. d)(. )(. =. [ATã'ºAl'1 c.. —. ao. (9). satisfeito.. definida. em. (9) é. uma. direção de descida, ou. seja, satisfaz (6): chx [ATÉ-ZA]. é. Já que. mos. ;,. o. :. <. 0,. definida positiva. a cada iteração dependemos. novo ponto. tal. —cT[ATã'2A]-1C. E +. edz, e. > O,. pois, pela proposição. 1,. do ponto E para determinar— é obtido desde que tomemos. que (12 = — Adx, diretamente de (3). O tamanho do passo, e > 0, está definido na seção seguinte e é consequência direta das condições de fronteira do problema (2) ,. dze. Rm. analisadas na seção 4, capítulo. 1.. 10. ).

(19) 1.4 A. partir. Determinação do passo.. —. ;. dos pontos. e. factíveis para (2),. %,. pré—determina—. dos, a nova solução a ser adotada e dada por:. Xl. Q.. NI. e dz =. (direção factível para. —Adx. o problema. Para preservarmos a factibilidade minado, devemos E. +. Já que. ª. + cd)(. e<-[E /(d)21. (d)zi. Portanto calculamos. o. valor limite:. ' l=1..m. [. Ei. min (. proposição 7, capítulo Uma. a ser deter—. irrestrito, então,. é. se. 1. 1. =. do novo ponto. ter:. e dz > 0,. E. (Z)).. /. (dz)i. se (dz)l <40 ), seguindo a. ]. 1.. heurística adotada para. caminharmos «E, com 0. <0.. <. a. <. 1,. o. tamanho. do. para garantir que. passo. é. o novo ponto. a de. seja. interior à região viável. 1.5 - Algoritmo. Após. as considerações anteriores,. algoritmo: _11. podemos. enunciar o seguinte.

(20) (FASE 1). Encontre xº Escolha a e (FASE. tal R. que Axº. tal. que 0. b e 2. <. «. <. O. b. =. Ax. —. 0. k = 0.. ,. < 1.. 2). critério. Enquanto (. de parada não. Calcule a direção: d d. Calcule. - [ATz'ªAl'ªc, k. X. = -Ad. 2. satisfeito. faça:. ). diaglzk,,..,zk]. onde 2 = k. 1. m. .. )(. passo:. o. E =. min (. —. i=1..m. z“/ i. (d. zl. tal. ou. 2. ). que (d. zl ). <. 0. );. €=(X,8.. Atualize a solução: k+1. =. x. z ktl =. 2. x. k k. +. sd x ;. +. cd2. k+1. =. b. —. Ax. )(. ;. k 9 k + 1.. 1.6 - Obtenção de. um. ponto. inicial. (FASE. I).. processo para determinar uma solução inícial xº discutido em Adler e outros é dado a seguir e caracteriza a fase 1 do algo— ritmo acima. Escolha xº = (M b " / " Ac H)c. Um. '. Se zº= b. trário. -. uma. Axº. >. 0,. variável artificial x:, x:. é. interior inícial.. x0 é um ponto. adicionada e (xº.xº) a. -2. =. *. onde. min ( z?. problema abaixo:. ch. sujeito a. Ax. M. —. —. Mxª. exª. ;. i= 1... m. ). interior da seguinte fase. é um ponto. minimizar. Caso con—. 5 b. suficientemente grande 12. ;. 1. do.

(21) fase. A. termina se para. I. iteração. uma. e xº é um ponto Se o. ª. inicial interior. algoritmo satisfizer o critério. <. 0, assim. A. xº< b. de término regular (seção então o problema inicial é ínfactível.. 1.7, abaixo) e xk > 0 k. ,. xª + 0 entao retamente na fase I.. Se. k, xk. x. k. x. +. ". e. ,. &. . .. ótima soluçao. é. encontrada. dí—. 1.7 - Critério de parada.. critério. de parada utilizado em [Adler ao algoritmo e apenas mencionado acima, foi: Um. et al, (1986)], útil. "Se |. chk / processo iterativo chk+l. —. |. max( 1,. |. chkI. ). <. tol. interrompido, onde tol tolerância positiva e pequena, escolhida a priori.". então. o. 1.8. —. é. é. uma. Aplicação ao formato primal.. algoritmo desenvolvido no formato dual na seção 1.5 , pode ser aplicado a problemas no formato primal, (problemas com restrições de igualdade e variáveis não negativas) semelhante à forma O. padrão, usualmente preferida. Uma aplicação a problemas no formato primal, conforme [Adler et al,(19860], pode ser obtida da seguinte maneira: O problema dual de (1) é: . . max1m12ar. sujeito a. T. b y A. [y. T. y = o 2. (10). O. determinar uma solução & para (10) explorando direta— mente a condição das folgas complementares do teorema 1, capí— Podemos. tulo. 1: Ax. 5 b. ATy = o. y z 0; yT(b. m —. Ax) = yTz = 0. 13. ea 2 y z. =. 0..

(22) Se. tão. . . definirmos. :. — Zy Fyz _. satisfeitas se. ". Fyz. ". (zly1,...,zmym). T ,. 0. 0 vetor F. =. 2. » entao as folgas es _ é chamado de desvio ,. das folgas complementares. as soluções ª e 2 Já determi—. das, uma tentativa de solução & de (9) pode ser obtida explorando— se o seguinte problema, analisado em [Chandru e Kochar, (1985)]:. Para. uma. iteração corrente,. minimizar. com. m. n'r ||ª=. ". sujeito a. );. il. ATy =. (z. 2 1. c;. cuja solução é & = 2-2A(ATã-2A)'lc, ou seja 'mínimiza o= des— vio das folgas com respeito a ; relaxando—se a restrição de não negatividade y z 0.. e. *Esta. solução pode ser determinada. ;=. ª_zd. Z. em. função da direção dz:. ;. ou seja, é a direção de busca de primeira ordem do algoritmo ante— “Pior , escalada por ã—z .[Todd e Burrel, (1986)]. Se. para. &,. as condições das folgas estão ,. [. satisfeitas, isto.é,. 5191 = o AT? =. e;. tentativa de solução para (10), resta— nos sa— ber se, a violação da restrição y z O afeta a otimalidade do temos uma possível. '. problema.'. >. afirmação dada a seguir, extraída em [Adler et al, (1989)], trata da convergência do processo iterativo e foi demonstrada em [Chandru e Kochar, (1985)]. a ser vista no capítulo 4 : A. se o problema (1) possui solução ótima, então existe uma subsequêncía de soluções tentativas &k que converge para a solução ótima Teorema 1:. de (10).. ". Assumindo a não degeneração do. ". 14. problema,.

(23) Sabemos que,. “ entao. k. se. numa. iteração corrente. k, ocorrer:. k. ” ótimos respectivamente para (1) e (10), pelo sao teorema das folgas complementares.. x. Já que. e. y. em. métodos de pontos. interiores. somente soluções. ximadas são avaliadas, Adler e outros sugeriram o seguinte rio de parada: "Se numa. iteração corrente. k. apro—. crité—. ocorrer;. onde é é uma pequena tolerância positiva, então o processo itera— rativo é interrompido e a solução corrente é assumida ótima". 2_—. Interpretração geométrica do algoritmo dual afim.. Nesta seção deduzimos o método da seção anterior com uma mo— tivação basicamente geométrica. Esta visão do método permitirá fa— cilmente estende-lo para problemas cujas restrições são canali— zadas, objeto do capítulo 3. 2.1. —. Preliminares.. Considere o problema (1) e. o. conjunto. P=(xeR"ta1. que. P:. Axsb). m. . . .. T: F + R+ , que assoc1a a afim, Considere a transformaçao cada x e P aàs variáveis de folgas das restrições de (1):. z = T(x) = b A. seguir apresentamos. —. Ax.. algumas propriedades da. transformação ª. T.. 15.

(24) PI:. ínjetíva.. é. T. Prova: Se T(x1). posto. Como. (A). T(x2) # b. =. z e R$. restringírmos. o. P2: T: F. tal. b. x1 =. xº.. Ax2. —. # A(x1 - xº). 0.. =. D. sobrejetora (supondo. não é. T. que 2 # T(x) ,V x e R".. contra—domínio de. m. n),. >. Entretanto,. se. temos:. T. bíjetora.. Im(T) é. +. Ax1 =. n, segue que. =. Note que a transformação. isto é, exite. —. Assim, para qualquer que seja x factível, existe um único 2 Im(T) tal que T(x) = z e vice—versa, para qualquer que seja 2 Im(T), existe um único x factível talque z = T(x). P3: Se estendermos o domínio e contra—domínio de T:. então Im(T) = Im(A) + (b), onde pelas colunas da matriz A.. T: Rn. ». & &. Rm,. Im(A) é o sub—espaço gerado. seja,. Im(T), chamado sub—espaço afim, é a translação do sub—espaço Im(A) pelo vetor b. A prova desta propriedade segue Ou. diretamente da definição de. T.. P4: Sejam z1 = T(x1) e 22 = T(x2). = Az1 +. Prova:. T(x). = b. Ab + (1. A)b. —. Az1 + (1. T(x). Az. 1. +. AT(xª). a(b. —. (1. +. devido. a. T. Definição que. r. é um. 1:. (1. —. A)(b. Se'x. +. raio da região. :. Ab. MAX2. —. Axº). —. = Az1 +. (1. mz2. —. (1. (1 - A)T(x2) Axº) + (1 - A)(b. então. A)22,. -. +. —. -. Axº). que. A)x2.. 5. '. Ar e P, v. de. —. A)x2),. ser injetiva segue. x = Axl + (1. =. então. A)x2). -. T(x). "f(Ax1 + (1. e. —. ). A)zz.. —. Suponha agora que 2. AAx1. —. Mx2. A)22.. MAx1 + (1. —. Axl). à(b -. -. (1. = Ax1 + (1—A)x2,. Suponha que x Z. T( Axl + (1 *. Então. A. =. o, com x. factíbílídade 16. factível,. do problema. (1).. dizemos.

(25) r. P5: Se. é um. Prova: V A. 2. que. r. raio. de P então T(x. 2 =. e portanto é um raio de —. Ax,. um. raio. de T(P) e Ar 5 0.. - A(x + Ar) = T(x) AAr e T(P), raio de T(P). Além disso, desde —. segue que A(x. P. a. V A. é. —Ar. O. AAr 5 b. Ar) = b. +. e um. —Ar. 0. Logo Ar 5. +. Ar) 5 b,. V A. a 0. Assim. O.. D. Corolário das propriedades:. í) Pontos extremos a pontos extremos e. arestas de P, correspondem respectivamente arestas de T(P). e. 2.2 - Interpretação geométrica da transformação Considere. T:. P. C R?. +. T.. (conforme figura 1). R$. Im(A) + (b). = o. figura Retornemos ao problema (1).. ª. int(P), e seja V(;) uma vizi— seja fácil resolver o seguinte. +. u). Suponha conhecido um ponto nhança de com V(ã) C F, tal que. ª. 1.. &. problema: _m1n1m12ar. sujeito a Obs:. Se. ª. estivesse. na. (x c T'" x + u. fronteira. (11). V(x).. &. de P, x não. de vb?) c P 17. estaria. no. interior.

(26) Seja. &. interior a. uma. T. (11), então, desde que. x é. —. +. u). <. T0 x. #. —. cTu < 0,. u e uma direção factível e de descida. factibilidade da direção segue do fato de que P é convexo e. seja, A. x. do problema. P, segue que:. c (x ou. solução. +86. EP,OS€51.. Obs: Se V(x). fosse uma bola então a solução do problema (11), &, seria um múltiplo de -c, ou seja, o problema (11) indicaria a direção oposta do gradiente,independentemente da proximidade de ; com. a. fronteira. de P, conforme. ilustra a figura. 2.. º(—. figura. 2.. SeV()—<)=í>—<+utalquellullScientão. &. =. —ec/llc|l. ;. e uk Assim, para a sequência: xk+1 = xk + Akuk, com x0 = solução do problema (11), usando V(xk) como bola e Ak > 0, sendo o passo na direção de uk, podemos ter (uk) + 0 sem que a sequência. (xk) convirja para a solução ótima. vimos, escolher V(x) como uma bola,pode não ser uma boa escolha, pois, a proximidade da fronteira numa direção, obriga que Como. todas as outras direções sejam também prejudicadas. Uma escolha aparentemente mais razoável para V(x) seria uma elipse,a qual, permite "diminuir" V(x) numa determinada direção sem. prejuízo. de. outras. e mantendo o problema (11). solvido, conforme ilustra a figura 3. 18. fácil,de ser. re—.

(27) A. proximidade de. fronteira. numa. ª. direção. obrigando pequenos mentos não. inibe em. outras. Rm +. é. 3. =. :. Ez = com Z =. ( z e. R. m. tal. ——2. Z. —. (2—2) =. 1. ). diag( 21,...,zm).. Assim,. V. 2. e E' temos que 2 2. 2. Definimos. uma. vizinhança de Vtã). RT.. &. pertencente a Eª seja acontecer que não exista x e R" que. —. T que (2—2). uma. Isto. implica contudo. folga factível, isto é, pode. /. z = T(x).. E. por:. = Ez. não. n Im(T).. vizinhança V(ã) inteiramente contida em P pode ser obtida tomando—se & imagem inversa de V(E) pela transformação T: Uma. vo?). =. T'ª( l9. WE) ).. ,. dire—. T(ã). Pela hipótese de º & int (P), temos E > 0. Um elipsóide muito simples, centrado em E, que "pune" apenas as direções dos eixos coordenados os para quais as componentes de E sejam próximas a zero (note que 51 a zero, indica que ª se aproxima da restrição aix 5 bi) próximo e inteiramente contido em E. ,. movimentos. das variáveis de folga.. Seja. a. movi—. nesta direção. maiores ções.. figura. com.

(28) Para isto basta definir z. T(x) - T(x) " (b V(>'<). = (. V(x) define. x e R". um. em. To?)? ã'ª (T(x). (T(x) Como. T(x). =. -. Ax). /. (x -. elípsóide,. (b. —. —. E:2. m?». = 1.. Ax) = —A(x. if [ATã'ªAJ. porém não. (x -. —. ã), segue:. ;)=1>.. trivial, isto. (12). é, não tem. seus eixos paralelos aos eixos coordenados como em E . Veremos que os autovetores de [ATÉ-ZA] definem as direções dos 2eixos e que 2/15i é a amplitude do i—ésimo eixo do elipsóide, onde A1 é o i—ésimo autovalor. Para isto, consideramos o seguinte teorema da álgebra linear, ([Wilkínson ,(1965)]): Seja. Teorema 1:. A. matriz simétrica. uma. e. positiva definida,. então; todos seus autovaiores são positivos, ii) Existe uma base ortonormai de autovetores de 1). Seja. Q. =. ,[q1,...,. qn] uma matriz de autovetores de [ATÉ-ZA]. satisfazendo a condição ii) Q. do teorema 1, então: -1. = Q. Pela definição de autovalores. [A. onde De. A!. T——2. 2. — AlQ _. [Alq. 1. ,. ...,. A =. .. e. autovetores, temos:. n Anq ] _— Q. '. .. 0. —. .. A. 1,...,n.. forma, ATâ'ºA. com. T. é o autovalor associado ao autovetor ql, i. outra. Ã.. diag [AI.... :. Q A. QT,. An].. Considere agora a seguinte mudança de variável: y = QTx (x = Qy), ou seja, dado um vetor x, podemos representa—lo na base [q1,...qn ] e suas coordenadas serão y1 ... y". 20.

(29) Reescrevemos agora V(. .c. ) no novo sistema de coordenadas y: (x -x) A 2 A (x -x) = (x-x) QAQ T T = (Q TX (X-X) T- T T T- Q x) A (Q xQ x) = (y-5-1) T A ( y .~ - 7) = 1 ;. T. 2 l' ( Yi ____ i-71 ). l" +. L. /-A-"Ii.' 1. _. onde y = Q T-X ( * = QY") X coordenadas.. + __----- --------- -- 12 1 ir---:r „n. 1. é a representação de ;"C no novo sistema de. A equação acima descreve um elipsóide ( análogo a E ), centrado em y, com eixos paralelos aos eixos coordenados de z y {q1,...qn), e de amplitude 2/1rA----, conforme ilustra a figura 4:. 1. e 2. Y-2 cl2. { q1,q2}. : base de auto-. vetores. : base canónica.. figura 4.. Retornemos ao problema (11) com V((12), com x = x + u: () definido pelo elipsóide. T c (x + u) sujeito a uT [A T--2 2 Al u = 1. minimizar. (13). Com a mudança de variável v = Q equivalente a: T u, o problema acima é minimizar c T Qv + { cT-x } sujeito a v T Av = 1. (14). 21.

(30) Com uma. variável,. nova mudança de. teremos um novo (13), onde o elipsóide é transformado numa. problema equivalente a bola:. cuja solução. é. A_1/25. minimizar. cTQ. sujeito a. GTV = 1. CT; ). + (. (15). múltipla de: » v =. Logo,. Auºv,. =. &. a solução de (14). -. —1/2. Q. T. c.. múltipla de:. é. ;. A. =. QTC.. A—1. —. Assim a solução de (13) é múltipla de: &. =. —. Q. [€1. QT. 0.. Desde que, [AT. e. ã'º. A]“1 = [Q. portanto a solução de (13) G. a qual é a direção usada. obtida ao se resolver. o. =. —. é. A. (flª. = Q. A'ª QT,. múltipla de:. [AT. ã'º. A]"1. c,. [Adler et al, (1986ll, podendo ser problema (11) com V(ã) definido por (12). em. 0 próximo exemplo ilustra o fato de que, nem sempre o elípsói— de V(ã) é o maior possível na região de factibílidade P. Exemplo 1:. Consideremos. seguinte problema:. o. minimizar. —. sujeito a Logo :. 21 =. 2. —. x. '. x1. x2. —. x2. 5. x1 + 2x2. 5. x1. 5. z. 2. =. 2. —. 22. x1. - 2x. ,. z3 = 2. —. x1.

(31) Se tomarmos. ;. =. (0,0)T. então 1/2. .. 2. ,. +. 2. 5/43. +. 1. >íx2. :. 1). [q1,q2]: Ibase de autovetores de ATÉ—ZA; Ai: o í—ésimo autovalor associado a ql, 1 = 1,2,. Sejam. então,. centro (0;O):. [ATÉ-ZA] x =. XT. '(1/2x1. 5/4. Com. .. Ç2,2,2)T.. 1/2. '. “1/2. Elipse nas variáveis x. E =. Q. =. A1. .. =. 1/4. se xl =.1/4 # qª= (z se. A2 =. 3/2 » qº=. Elipse nas variáveis y (y yT. A. y 2. (y1. 3/2.. A2 =. ,. (1 =. /. v 5. ;. /J5. ;. -1 2. /. /. v 5. v 5. ). ). PTx), com centro (O;O):. = 1,. (A'= diag(Ãi)). A1 +. 2 y2 A2 _— 1). Representação geométrica da elipse nas variáveis y, contida em P'= (y-e R2 tal que AQy 5 b):. /. totalmen—. fs—q '(. X. X. ”º'—XX. ,——« .. _2V/g_—NNNN*55____. figura. 5. 23. ª-y.

(32) Representação geométrica da elipse nas variáveis x:. NI. figura. ><. 6.. Obserãação: Embora o “. elipsóide (z. —. E)T. ã—z. (z. E) = 1,. —. seja. o maior pos—. sível, centrado em e inteiramente contido em 2 a 0 (veja a figu— ra abaixo), quando restringimos z & T(P) (o que equivale às elip— ses das figuras 5 e 6) não temos a maior elipse contida na região de factíbilídade P, nas variáveis x. Note que, a reta xl = 2. e x1+ 2x2 = 2 não interceptam a elipse, na figura 6. E. A». 2. 2. V figura. 7. estender nossa interpretação geométrica agora à seguinte transformação composta: WoTzP -> RT onde WoT(x) = ã'1(b Ax).. Vamos. —. e. Para isto conSideremos a função Wsz + T:P » RT tal que T(x) = b - Ax, assim, Im(WoT) = (w 6 RT. tal. que. W. = WoT(x) =. 24. Rm. ,. ã'1(b. onde W(z) —. =. ãflz,. Ax), x e P)..

(33) Desde que, T:P + Im(T) e HzRf +. RT. bíjetivas, então. são. ,. le a seguinte proposição: Proposição. 1:. WeTzP. bijetiva.. Im(W) é. &. va—. próxima proposição, decorrente da anterior, nos dá resulta— dos importantes sobre a relação entre P e Im(WoT). A. Proposição 2: Eu. n. Im(WOT);. elipsóide. 0. (w. Ew=. &. RT. :. Ex. tal. que (w. -1 E C P. am.-;. )(. Das. transformado pela WoT em e)T(w e) = 1); ou seja,. P é —. —. -1 Ezn Im(T). proposições anterioríores. =J»:. Eun Im(WOT).. concluir. podemos. que são equiva—. lentes os problemas: minimizar. [WoTÍ1. CT w. sujeito a. &. (w _. (w). Im(WoT). R$. G. e)T(w _ e). =. 1. minimizar c [T] -1 (2) T. z. sujeito a. 2—2. (2 _ E). =. T. 5 _b (x — x)T. AX. E)(. P, o problema (16) pode. _.. ATZÚZA. (x. —. _. x) |I. está totalmente contido ser escrito por:. na. (16) ..). região viável. T. . minimizar. c x. sujeito a. (x. —. x). T. A. T——2. 2. A. —. (x - x). já estudado problema (11),. que corresponde ao. 1. c x. suje lt º a. elipsóide. Im(T). (2 _ E)T. minimizar. Como o. &. = 1;. com. V(ã). definida. por (12), analiticamente resolvido por mudar o sistema de coorde— nadas nas direções dos autovetores ortogonais de [ATÉ—ZA], levan— do a uma única solução múltipla de: '. &. d. X. =. —. [ATã'ºAl'ªc. 25.

(34) Conclusão:. Os. zemos a mudança. variáveis:. resultados anteriores foram obtidos quando fí— de escala nas variáveis de folga, definindo novas. w =. ª_lz.. Tal mudança de escala é —transforma E em "e";. interessante pois:. elipsóide Ez na bola (w Esta mudança de escala corresponde. —transforma o. —. e)T(w a. —. e) = 1.. transformação » Im(WoT) define. uma. » RT ; W(z) = 2-12, e a composta WoTzP problema original nas variáveis escaladas. Além do mais, se tituirmos w 2 0 por (w e)T(w e) = 1, temos: WzRT. —. minimizar. W. ;. o. subs—. —. cT [WGTF1 (w). sujeito a. w. &. (w _. Im(WoT). e)T(w _ e). = 1;. correspondendo ao problema (11), com V(ã) definida em (12), anali— sado neste capítulo, bastando substituir w = WGT(x) = â-l(b - Ax) e cuja solução nos leva à direção múltipla de; u = que é a direção. —[ATÉ"2A]'IC.. definida. em. [Adler et. al, (1986)].. Outro fato importante que vimos é que, V(;) maior elipsóide contido em P. O. pode. não. ser. algoritmo dual afim, analisado neste capítulo, quando. mentado e comparado com uma implementação avançada do método. o. imple— sim—. código MINO's ([Murtagh e Saunders, (1977)]), obteve bons resultados computacionais. Isto se deve ao seguinte fato, encon— trado em [Adler et al,(1986)] "Mesmo que, dx calculado aproximadamente em (9) seja ínfactí—. plex,. o. vel, um par de direções factíveis pode ainda ser obtido pelo culo de d 2 = —AdX “, pois o sistema (3) está satisfeito.. 26. cál—.

(35) CAPÍTULO. III. PROBLEMAS COM RESTRIÇÓES CANALÍZADAS: 1 No. —. Ax 5 b+.. Algoritmo dual afim para. capítulo. 2,. um. método de. restrições canalizadas. pontos interiores foi deduzido. estrutura de restrições. plorando—se a. Neste capítulo. a estrutura. b's. no formato. extensão daquele método restrições canalizadas.. de. uma. é. ex—. "dual", Ax 5 b. desenvolvida para. 1.1 - Preliminares. Considere. onde. A &. o. Rmx" e. problema. com. restrições canalizadas:. T. . minimizar. c x. sujeito. a. b" 5. po(A). =. 5 b*. Ax. n.. Naturalmente este problema pode ser visto como um caso parti— cular do anterior, bastando reescrevê—lo na seguinte forma equiva-. lente: . minimizar. T. c x Ax. sujeito a. —Ax. 5. b. +. 5 —b-,. então trata—lo como anteriormente. Entretanto a aplicação direta do algoritmo dual afim neste problema equivalente, deve levar a um procedimento ineficiente. Podemos, ainda, explorar as particularidades das restrições (note que a matriz A é repetida) e trabalhar implicitamente com a duplicação das restrições, aproveitando—se de cálculos repetidos que apareceriam na determinação de 6. Entretanto a exploração direta das particularidades podem ser bem mais facilmente percebidas seguindo—se a linha geométrica adotada na dedução do algoritmo du— al afim, no capítulo 2.. e. 27.

(36) 1.2 - Variáveis de folga. e mudança de. escala.. Definindo—se as variáveis de folga como a imagem da Zan » Em tal que 'mação linear; 2 = Z(x) = Ax, a região de factibilidade; P =. corresponde. no R?. Z(P) =. transfor—. (x e R“ tal que b's Ax = b*) c R“, ao conjunto Z(P) definido por; (z e R“ tal que b's z : b*, 2 & Im(2)>. onde; Im(Z) =. é o ». com. (z e. R?. tal. para algum x e R") subespaço do RP gerado pelas colunas de A. Note que Z(P) é & intersecção do hiperparalelepípedo; (z e RW tal que bªs 2 s b*> é uma bijeção uma vez que o subespaço Im(2) e Z:? + Z(P) que 2. = Ax,. 2 é. bijetiva. Veja a figura abaixo: 2. b". ///////. 1. ]. Ts. figura. 7. 1. 1. inteiramente contido no hí— perparalelepípedo cujos eixos são paralelos aos eixos coordenados O. maior elipsóide centrado. em E. e. é dado por: E. 2. =. (z. e R?. tal. que (2 - 5)T 2-2(z. —. E) =. 1),. onde 2 = díag( E;) com: 2. —. b" [. +. i. se. 2. i. IA. (b. + &. —. U) (D. N. IV. (bi. +. b+)/2 i. +. bi)/2.

(37) Se. definirmos. f. & Rm. tal. que. x. Í. então. =. diag(21—. Note que de 5.. f. é o. :. b!. se. 2. b;. se. _ 2. 5 (b i+ b 3/2 2 (b i+ b 2/2;. f1)' vértice. do. hiperparalelepípedo. Wsz + R'“ tal que w = W(z) = Í—1(z Esta transformação define um novo sistema de. mais. próximo. f).. —. variáveis wi que além de promover uma mudança de escala em 2, tem como origem a imagem do vértice de f, (ver figura 2).. 2. ...-.._.. .. ['. gºku-L | I. HT"—. _-. b'1. figura Esta transformação pode. coordenado (na figura 6,. ter. 2;. <. 0.. Proposição 1:. tro. e. e. 1. 2. também. inverter a orientação. E; = El-bí. 0),. <. uma. elipsóide E; é transformado raio unitário pela transformação W. O. do. eixo. vez que podemos. na. esfera. de cen—. Prova:. Inicialmente temos que; w = w (2) = ã'ª(z - f), então E = W—1(e) =. Substituindo as expressões acima 1. =. (z - 2)T ã_2(z. —. w _1(w) = Éw +. 2 =. ãe. +. E) = (w. 29. f.. em E. 2. f,. temos:. - e)T(w. —. e).. u.

(38) :. Observe que o hiperparalelepípedo; b's 2 variáveis wl ao seguinte hiperparalelepípedo: o 5. esfera. corresponde nas. b").. 5 diag(|5;l)_1(b+—. w. b+. - e)T(w e) = 1 está inteiramente contida no hiperparalelepípedo transformado: O 5 w & diag(|E;I)-1(b+— b”), pois esta corresponde ao elipsóide (z 5)T ã'2(2 E) = 1, o qual está inteiramente contido no hiper—paralelepípedo ; b - 2 5 b + . Isto pode ser observado na seguinte proposição: A. (w. —. —. —. '. —. Proposição 2:. O. híperparalelepípedo transformado;. O. 5. w. 5 diag(|É;|)_1(b+— b_),. contém o hipercubo; 5. O. 5 Ze.. w. prova:. b;)/|E;|]. Basta mostrar que [(bí-. 5 2.. Para mostrar isto consideremos os dois casos abaixo: 1). se Ela (b:+ b;)/2,. (E; =. 221 Z b1+. +. —-. —. b;),. 21—. =. >. bi. +. —. temos que: '. +. _ 2(zl— ba) 2 bi— b1—>. ii). se. Eis (b;+ b:)/2, 25. Logo, dos. i. itens. —. E; = Ei—. (. zb'i 1) e. i. ii). b;),. —. +” (b1. +. bl - bi —. -—. +_. bi)/(bl. :>. -. zl).. temos que; i. concluir. -, bl)/|zll)]. +_. [(bi. s. 2 5 (b*—. l. podemos. +. 2. b'— b* =>. 5. 221 -- 2b1 >_. ?-. b"). b")/(ã [ i i —. que:. 2.. Desde que WOZ:P à Im(WOZ) é uma transformação bíjetíva, & re— gião de factíbílidade P (nas variáveis xi) corresponde ao seguinte. conjunto (nas variáveis wl) Im (WeZ). n. (w. &. Rm. tal 30. que o 5. w. 5. diag(|ã;|fªtb*— b")).

(39) 1.3 " Determinação da direção de busca.. restringirmos as soluções a esfera. Se mos o. e)T(w - e). =. w. vez que a. esfera;. (w. —. e)T(w. e). —. Im (WeZ). &. (w. —. =. 1. e)T(w. e). —. =. te—. (1) 1. está inteiramente. hiperparalelepípedo 0 w : diag (|E;|)-1(b+— b_), problema (1) fornecerá soluções factíveis. Desde que w & lm (WeZ) implica que:. tida. 1. cT [WeZ]—1(w)'. sujeito a. o. —. seguinte problema: minimizar. uma. (w. no. podemos. &. - f),. con—. então. w. = WoZ(x) = â—1(Ax. o. problema (1) nas variáveis x, equívalentemente:. escrever. x e P,. ch. minimizar sujeito a. (x - ã)T. ATÉ—ZA. (x. —. ª). =. (2). 1. ao problema do capítulo anterior, obtida com a mudança do sistema de coordenadas nas direções dos autovetores ortogonais de [ATÉ—ZA], é múltipla de:. cuja solução, análoga. &. 1.4. = x —. —. ª. -. =. [ATãn2A1_1c.. Determinação do passo.. Para explicitar os procedimentos do algoritmo para restrições canalizadas numa iteração corrente com ª e E já determinados, determinemos o tamanho do passo a ser dado por x e 2 numa direção. A resolução do problema (2) nos define as direções de busca n d e R e (112 & Rm da seguinte forma: X dx=. -[ATã"ªA]'1c;. d = Ad 2. X. ;. (. pois. E +. ed. 2. =. 31. A(ã. +. cd X ) e. E =. A;. ).

(40) Para continuar o processo devemos determinar o tamanho do passo a. ser. passo e. dado numa determinada direção,. ª. tal. que. b's. Aã + cAd. a ser dado. & H+. ed X. +. um. seja factível, isto é, +. 5 b. X. seja, determinar. ou. ,. que é equivalente a;. b's. cd. E +. 2. 5 b+. Sejam. sª:. mini. —(E. 82: mini (e A. seguir,. tíbllidade definição coincide. tomamos. ii d. —. )/(d. zl tal. que (d. ) < 21 0);. tal. que (d. zl. ). 11 )/(d 21 —. e. E. ). =. mínf 81,82). ). >. problema e observando de e , pelo uma componente menos um. dos. fac-. garantindo a que , para. ,. do. com. O).. limites.. de. 2. esta +. ed. 2. Para evitarmos a fronteira , _ou seja , manter novos pontos a serem determinados interiores à região de factí— bilídade do problema, basta que tomemos E e H+ tal que: e = as. ,. 0. <. «. <. 1.. da definição da matriz É e do tamanho do passo a ser dado em uma determinada direção, definido pelas de fronteira do problema (já que agora limitantes condições inferiores e superiores devem ser considerados ) , todas as são idênticas. Como anteriormente , expressões deduzidas consequência , um algoritmo para o caso de restrições Assim, a. canalizadas. menos. pode. facilmente ser obtido. ..

(41) 1.5 - Algoritmo para restrições canalizadas. Encontre xo. tal. Escolha a e. R. que b_< Axº< b+, z0 = Axº, k. tal. que 0. critério. Enquanto (. <. =. diag. k 21 R. =. k. z1. satisfeito. [zif...,zºk]. ). faça:. onde:. m. bi. se. k 21. +. se. zk a (b .. + b*)/2 1. —. —. 0.. 1.. <. de parada não. Calcule a matriz Ík. z'. «. =. b. -. 1. s (bl. —. x. +. +. bi)/2. 1. (2K = AxK). Calcule a direção: d. _ [ATÉ;2A]-1 c. )(. d. A. 2. Calcule. d. x. passo:. o. e. =. min. e. =. min(. (zf—. (—. (. bí—. tap/(dz)i tal que (dz)l. <. 0 >.. tal. >. o >.. Zªn/(012)l. que (ctz)1. min ( e1 ,82 ). e =. Atualize a solução: x z k. k+1 k+1. =. x. =. 2. 6 k. +. k. k. +. -e. +. e d. d. —. X. —. 2. ;. ou. e = 2. as. ;. k+1 = Ax k+1. ,. 1.. 1.6 - Critério de parada.. critério. de parada que pode [Gonzaga, (1989)] é: Um. variáveis. ser utilizado encontrado. em. zero então pare o processo pois estamos muito próximos do vértice ótimo." Ou aíndan o mesmo critério utilizado em [Adler et al, (1988)1, visto no capítulo 2. "Se (n. —. m). E; tenderem. 33. &.

(42) Na. “2. -. Um. presente seção. é. fornecido. ilustrar. o. resultado numérico, a fim. um. de. comportamento do método computacionalmente.. Para isto utilizamos com o. resultado numérico.. padrão. IBM PC/AT. —. micro—computador 286, (16 bits). um. rotinas foram elaboradas. Itautec, compatível. Pascal, versão 3.0, em precisão simples e são uma modificação da implementação do algoritmo dual afim encontrada em [Orlandi, (1990)]. As. em. Exemplo 1:. Seja. o. seguinte P.P.L de restriçõs canalizadas; minimizar. . queito .. a:. 2 =. —x1. 2x2. —. 0. 5. x1. —. 5. 2. —4. 5. 2x 1. x2. +. x2. 5. 4. —1. 5. x1. 5. 2. —1. s. 5. 2. x. -. Geometricamente, (figura 3), a solução encontrada foi e x2 =. x1 =. 4/3.. (4/3,4/3) -2. -1. 'N?. figura. 3.. 34. 4/3.

(43) Tabela de resultados a xk. iteração 1. 2. 1.3370918922E+0 1.1533162155E+0 1.3310380839E+0 1.3218493000E+0. 7. A. (0.25,0.05). z'k. 1. 1. 1.8377567871E—1. 3.8227500000E+0 1.3370918922E+0 1.1533182155E+0. 2.0000000000E—1. 3.4500000000E+0 1.2500000000E+0 1.0500000000E+0. 9.1887838355E—3. 1.8377587671E—1 3.9839254877E+0 1.7250000000E—1 1.3310380839E+0 8.6290810777E—1 1.3218493000E+O 8.4688378447E—1. 1.3333271520E+O 7.3132884384E—6 1.3333198387E+0 3.9999741426E+0 1.3333271520E+0 1.3333198387E+0. 1 4626576876E—4 3.2878539059E—5 6.6682887092E—1 6.6877513669E—1. 1.3333346851E+0 1.3333293369E+0. 7.3132884384E—6. 7.3132884384E—6. 3.9999987071E+0 2.5857429137E—5 1.3333346851E+O 6.6667284804E-1 1.3333293369E+0 6.6688018134E—1. solução ótima encontrada computacionalmente foi: x1 =. e o. do ponto xº=. zk. 1. ». 6. partir. 1.3333348851E+0. valor da função objetivo. e. Z =. ;. x2 = 1.3333293369E+0. —3.9999933589E+0.. Conclusão: Neste capítulo, a interpretação geométrica do algoritmo de Adler e outros, feita no capítulo 2, nos possibilitou estende-lo para um caso mais geral de problemas de programação linear,o caso de restritríções canalizadas. Resta—nos a curiosidade de saber se este algoritmo, com uma boa implementação computacional trará resultados satisfatórios, já que foi obtido diretamente do algoritmo encontrado em [Adler et al, (1988)], que por sua vez obteve bons resultados computacionais.. 35.

(44) CAPÍTULO IV. PROBLEMAS com RESTRIÇÓES. no TIPO. IGUALDADE.. algoritmos que analisaremos neste capítulo são desenvolvi— dos para problemas com restrições do tipo igualdade e serão deno— minados por algoritmos "primais". Faremos inicialmente um desenvolvimento algébrico dos mesmos para depois preocuparmo—nos com uma interpretação geométrica. Pa— ra tanto, motivamo—nos em [Gonzaga ,(1988),(1989)], em [Chandru e Kochar, (1985)] e em [Karmarkart (1984)], entre outros. Os. 1. —. Algoritmo primal afim.. primeiro algoritmo a ser analisado, do tipo "prímal", sera denominado aqui por algoritmo "primal afim", já que outras denomi— minações caracterizam o mesmo. Sabe—se que este já tinha sido ana— lisado em [Dikin, (1967)] e mais recentemente foi reavaliado em O. [Barnes, (1986)] e [Vanderbei, Meketon e Freedman, (1986)]. 1.1. —. Consideremos o problema. Preliminares.. em. formato prímal:. T. , minimizar c x. Ax =. sujeito a x,c. &. R",. b. (1). x 2 O; A. e Rmx" ; posto(A) = m.. tal. que Ax = b, x 2 O), o conjunto dos pon— tos factíveis e ª tal que A; = b e > O, ou seja, & int(S). Considere a matriz mudança de escala Í = diag(ã1,...,ãn) e a partir dela reescalemos a variável x de acordo com seguinte mudan— Sejam. S =. (x. e R". ª. ça de variável;. 36. ª.

(45) e assim teremos um novo problema. minimizar. equivalente a (1):. ETy Ãy =. sujeito a onde. Ã =. AÍ, de. = c. e. X. &. b. (2). y a 0;. =. Í—lã = e. é uma. solução factível. para (2). problema (2) será de grande importância para a analise do algoritmo primal afim, principalmente quando fizermos a interpre— O. tação geométrica. escala. transformando. factí-. ª. do mesmo e observarmos que a mudança de do problema original (1) para o ponto "e",. vel ao problema (2) nos algoritmo. >1.2. facilitará —. A. o. entendimento. dos. do. passos. direção de busca.. estratégia diferente daquela vista para encontrado em [Adler et al, (1986)], na determinação Uma. algoritmo da direção de algoritmo em o. busca, será dada aqui, Já que a cada iteração, o questão determinará a direção de busca utilizando a estratégia de projetar no espaço das direções factíveis o gradiente da função. objetivo escalado pela mudança de variável. a seção 5, capitulo 1, a direção oposta ao diente precedida pela mudança de escala, é uma boa direção De. acordo. com. gra—. para. possíveis decréscimos da função objetivo se considerarmos. um. problema de minimização irrestrito. Podemos levar em consideração tal direção, desde que, projetemos tal direção no espaço das direções factíveis de (2), a cada iteração. Consideremos o gradiente da função objetivo do problema (2), e sua decomposição em: 5 = E. p. +. E—. p. onde PÃ = 1. E. p —. &. N(Ã). E— &. ,. p. ÃT(AÃT)'1Ã.. 37. I(ÃT). ,. c. p. =. P— A. E.

(46) consequência direta da expressão anterior, definiremos a direção de busca utilizada pelo algoritmo a cada iteração. A partir de uma solução factível & em (1), consideremos & = e; se "perturbarmos" & na seguinte direção, h & Rn tal que: Como. h. -. =. (3). cP. direção factível para & pois h & N(Ã). Resta—nos mostrar que b é uma direção de descida.. então h. é uma. Proposição 1: de descida. ou. ,. maneira. Da. cTh. seja,. foi definida acima,. E = Ep +. E;. EPE N(Ã). ;. e. temos: 0. < ET. _. p. p. =. ET. p. (&. —. h é direção. 0.. <. Prova: Basta notar que, de. como. 6—) = ET P. _ —. 9. _T. ——. p. p. = ET E. p. ,. 6—. 9. poís. I(ÃT). &. E. p. e. E; são ortogonais. Logo, ETh. <. 0. Portanto, h. = —Ep. é uma. 1.3 - Determinação Se. fizermos. uma. perturbação. no. direção de descida.D. do passo. vetor. & &. tal forma. R",factíve1 à (2) de a O, então a seguinte. que geramos o novo ponto & + eh, e condição deve ser respeitada (condição de fronteira):. 9+chzo. Para isto, determinemos. &»«shzo. o. valor de e.. =>1+eh120;. # e 5 —1/h1 se h1< 0. Assim, temos que e =. (l=1...n) (1. =. 1H.n). :. min. l=1. .n. (. -1/hi tal que. h1< 0. ),. então temos um raio de descida, acusando assim que problema não tem solução ótima. Uma heurística é adotada para a escolha do tamanho do passo Se h a O,. de. tal forma. que os novos pontos sejam interiores a (2): E = as, onde 0 < a < 1.. 38. o. ,.

(47) 1.4 —"Algoritmo. Após as. considerações anteriores. podemos. enunciar. o. algoritmo: '. Encontre x o 0. <. «. tal. x. que. o. 0 e Ax = b. 0. >. ,k. seguinte. = 0 e. 1.. <. Parada := falso. Enquanto (parada :=. falso) faça:. ínício; *SeJam k. k . dlag( X1""'xn ),. _. Xk. —. A. = AX. k. c. ;. k. =. c. X. .. Determine a direção:. le—AT(AkkAT)'1A.k k. A. Calcule e = E =. o passo: min. i=1..n. Atualize k+1. k = k Se n. -. m. que. hS <. 0).. a e,. então parada := verdadeiro.. Se h a 0,. y. í-l/h1 tal. &. solução:. =. e. +. +. —. eh.. 1.. componentes. )(J. S. tol,. onde. tol. na tolerância positiva, então parada := verdadeiro próximos do vértice ótimo. 39. ,. é uma peque—. pois estamos.

(48) 1.5 - Obtenção de. inicial.. ponto. um. procedimento comum para obtenção de um ponto um problema de dimensão n + 1 , dado a seguir:. Um. ta. em. ch. minimizar. onde. M. w. resul—. + Mw. Ax +. sujeito a. inicial. w(b. x a 0,. w. Ae) = b. —. (4). 2 O;. é escolhido grande de forma que em qualquer solução ótima = 0, assim "e" é uma solução inicial de (4). 2. —. Uma. interpretação geométrica.. Nesta seção pretendemos deduzir o algoritmo afim escala pri— mal com uma motivação geométrica do problema. Para isto, consideremos & & int(S) e seja V(Ã) c S tal que se—. ja fácil resolver. seguinte problema:. o. minimizar. cT(ã. sujeito a. A(ã. + +. d) d). =. b. (5). ã+deV(>—<) É. válida a. utilizar. mesma observação do. V(ã) como uma. capítulo. 2, seção. 2. ,. de que. esfera. conduz a tomar d como a direção o— posta ao gradiente projetado no núcleo de A, o que não é uma boa escolha, pois esta é super influenciada pela fronteira e uma vez atingida a fronteira não será mais possível caminhar na busca de novos pontos, mesmo que o ponto encontrado não seja ótimo ( ver figura 2, capitulo 2),pois para alguma componente 1, ªi = 0 en—. tão. d = O,. mesmo. que outras componentes. alterações. Já vimos que é uma. elipse,. sofrer maiores. escolha aparentemente mais razoável para V(;). uma. que se. problema, permite. possam. ajusta. melhor às condições de. "diminuir". prejudicar outras direções. determinada direção problema (5) facil de. V(Ã) numa. e mantém o. resolvido. 40. fronteira. do sem. ser.

(49) elipsóide. mais simples, centrado em É, que "pune" apenas as direções dos eixos coordenados para os quais as componentes de se aproximam de zero e que está contido em R: é: O. Ex=. V(x). ª. (x e R:. =. Definindo-se se torna:. tal. d = x. que (x. ;,. —. 2-2d. d'r. teremos. —. =. ª). (8). = 1). (5). e o problema. 1. T. minimizar. o d. sujeito a A. Í_2(x. ÉJT. —. A3_Í20 d X d =. (7) 1. estratégia utilizada para solucionar (7) consiste. em. definir. a seguinte transformação mudança de escala:. st a R: Proprosição 2: Ey. c Im(Y). Y. y. que. transforma. =. Y(x) 5. c. Ex. ã'ªx.. =. R:. C. (y. By =. e R“. tal. que (y. —. efw. —. e). Prova:. uma. esfera. =. 1);. (& =. 6).. _. s. v x e. em. dada por:. R?. C. tal. ,. 3! y. tal. E?. &. que y =Y(x) = ã“ªx _poís. Y. e. bijeti—. va. Assim; x. &. Ex. cá (x - í)T. Í—2(x. (Íy - Íe)TÍ—2(Íy ãe) e)T(y - e) = 1. (y —. ,. =. —. 1. ª). =. (pois. 1. ee. x = Ry). es. —. Logo, pontos do c Im(Y). de centro. elipsóide e. EXC. 5 são mapeados. pela transformação. para a esfera. Y.. Pelo proposição 2 temos que x ª = Í(y e). Se considerarmos h e R“ tal que h = y e; teremos que d assim (7) é equivalente ao seguinte problema transformado: —. —. —. minimizar. sujeito a. cTh A?. = 0. h h. cuja solução é; 41. Ey. =. Íh,.

(50) direção h e a direção (3), já definida neste capítulo, usada pelo algoritmo primal afim. Note que, poderíamos voltar em (7) com d determinado por: A. d = —(í<'ª. definir. ÍZATlAãºATI'IAÍZM;. —. (8). algoritmo equivalente ao afim escala primal, traba— lhando diretamente com o espaço das direções factíveis do problema (1), com a direção de busca (3) sendo obtida por resolver (5) com V(ã) definida por (6). Como já foi visto, isto é feito implicitamente pois, a estra— tégia do algoritmo primal afim não é esta, já que ele trabalha di— retamente no espaço transformado, para depois devolver um ponto e. factível. um. ao espaço. inicial.. algoritmo equivalente ao algoritmo "primal afim" (algoríte me de Dikin), que trabalha diretamente no espaço das direções factíveis do problema (1), utilizando a direção de busca (8) na Um. determinação de novos pontos será visto a seguir. 3. Algoritmo dos quadrados mínimos ponderados (Chandru/Kochar).. —. Baseado em [Chandru and Kochar,. (1985)], daremos o próximo algoritmo primal, que possibilitou a demonstração de convergência aos algoritmos primais, para passos curtos, como já havia demons— trado Dikin em 1967.. disso, uma extensão deste algoritmo para variáveis lizadas será objeto do próximo capítulo. Além. 3.1. —. cana—. Preliminares.. Consideremos o problema (1) e seu problema dual: T. . maximizar. b. sujeito. ATw. a. w. (9). s o;. dados x prímal factível e w dual factível, respectivamente para FXJI (1) e (9), a medida do desvio de complementação é dada por N. onde; F. XW. = X. (c. —. ATw). ;. 42. X =. diag(x1,...,xn)...

(51) Pela condição iii) do teorema das folgas complementares, (ca— = 0, x e w são comple— pítulo 1, seção 2), se tivermos Fx“ mentares e soluções ótimas para (1) e (9), respectivamente. H. Vejamos como a. ponto. &,. partir. objetivando. ". de =. rxwu. H. ponto. um. ª. calcular. dado, podemos. um. o.. 3.2 - Determinação de. G.. Chandru e Kochar propuseram a seguinte estratégia: dado & primal factível e interior, determine & que;. minimize. r-X“. ". W. na. tentativa. não ocorra,. de. satisfazer a. nº,. será utilizada para definir. &. para ;.. das folgas. Caso isto. complementação. uma. direção de descida. resolvermos:. Ao. minimizar. F— XW. H. W. M. obtemos a seguinte solução C:. 2. . . minlmizar. =. ". W. Xc. —. —. d. &. ,. (10). = (AãºAT)”1A)'(ºc;. 3.3 algoritmo. 2. :. que é a solução quadrados mínimos para o problema. O. T. XA w ". (10).. direção de busca.. A. utiliza. a seguinte direção de busca a cada. itera—. ção: Rn. tal. que d. =. —. 225, onde. E =. c. —. ATG.. Observamos que: d = =. ou. —. ãºê. _[Íz -. =. —. “º(c. —. ÍºAT(AÍZAT)-1AÍZIC = 2h,. seja, a direção definida por. Portanto. T minimizar o d. quelto. Ad =. a. de :. por (8),. Chandru e Kochar é. direção (8) definida na seção 2. do problema:. AT[A$<ºAT]"ªAãº]c) =. O 1. 43. d é. equivalente. à. múltipla da solução.

(52) 3.4 1—. Dado xº. 2—. Calcule. tal. faça. 0;. k =O. '. c;. 1. E. =. ". Pk X. Calcule. 4—. >. diag(xk,...,xk); n. k. Calcule. 3—. que Axº= b e x0. wk= (AÍÍAT)—1AÍÍ. É =. com. Algoritmo.. —. c W. ". k. ck = Xi. Aka e pare se 5 2 0 e E 0 , caso contrário va para 4.. —. E. e faça. d = —ck.. Faça. 5—. xk+1= xk + Ed E. com c =. 4. —. ;. mín(—xj. volte. e. as. =. em. onde. 0. <. /. dJ. «. 1;. <. tal. 2 com k = k. +. que. dJ. j=1...n). 0;. <. L. restrição. Convergência dos algoritmos com. de igualdade.. Partindo da hipótese da não degeneração do P.P.L. prímal , ou seja, o conjunto solução de (x e R" / Ax = b; x a O), é não degenerado, Chandru e Kochar demonstraram o seguinte teorema para pasT . z = c x) sos curtos (con51derando 2. *. T k. , . , ( c x ) converge para o valor ot1mo sequencia problema (1), se o problema admite solução ótima finita.. Teorema 1: do. A. Para a demonstração deste teorema, algumas. utilizadas. e demonstradas por Chandru e Kochar,. Proposição 3:. então,. Se tomarmos e = (rk ). e é um passo. Prova: e. max. jJ'JJ. = —xk/d. =. xk/ck. e. k « 1/(xJ cj) z l/H. —. ;. com. ,. » XkcH. vistas. onde. rk. k do. = F. (rk) 44. —1/2 .. a. seguir.. T. k k. XW. F. algoritmo.. 3, índice bloqueio de. (x?)2 63' temos;. c:. =. —1/2. factível a cada iteração. Como. max. proposições foram. k k. xw. fronteira..