Geometria básica (axiomática vs analítica)

(1)

GEOMETRIA B ´

ASICA

(2)

(3)

Conte´

udo

I. A axiom´atica da Geometria 5

1 Os axiomas de incidˆencia . . . 6

2 Os axiomas de ordem . . . 10

3 Axiomas de congruˆencia . . . 21

4 Medida e Axiomas de continuidade . . . 45

5 O axioma das paralelas . . . 47

II. O plano euclidiano 49 1 Um modelo anal´ıtico do plano euclidiano . . . 49

2 Triˆangulos e quadril´ateros . . . 61

3 Circunferˆencias . . . 70

4 Constru¸cões geométricas com régua e compasso . . . 92

III. Isometrias 97 1 Isometrias na geometria absoluta . . . 97

2 Isometrias do plano euclideano . . . 104

IV. Introdu¸cão ao plano hiperbólico 121 1 Inversões . . . 121

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Notas:

• Estes apontamentos foram preparados para uma disciplina semestral denominada “Geo-metria II” dedicada à geometria euclideana, na antiga Licenciatura em Ensino da Mate-mática da Universidade do Minho (plano anterior a Bolonha). Dois docentes da UM tiveram o azar de leccionar esta disciplina sendo eu a responsável: o António Veloso da Costa e a Ana Cristina Castro Ferreira. É gra¸cas a eles que estes apontamentos contêm muit´ıssimos menos erros do que teriam sem a sua colabora¸cão. Obrigada!

• O primeiro cap´ıtulo é um resumo das excelentes notas da Ana Maria do Vale [1] embora seja pouco respeituoso com a fonte e com a axiomática original de Hilbert [7]. Alterei os axiomas do grupo III, relativos à congruência de segmentos e ângulos, com o objetivo de dedicar menos tempo às verifica¸cões preliminares e chegar rapidamente aos resultados ”geométricos” (critérios de congruência de triângulos, caracteriza¸cões da bissectriz e da mediatriz ...). As altera¸cões podem parecer à primeira vista pouco significativas (estão indicadas no texto) mas são um sacrilegio do ponto de vista axiomático pois incluem propriedades redundantes. A minha desculpa para estas altera¸cões é o desejo de con-seguir tempo para ensinar aos alunos geometria básica pois percebi que conceitos como medianas, ortocentro, reflexões, rota¸cões ... lhes eram completamente alheios. Essa é a matéria apresentada nos cap´ıtulos 2 e 3: triângulos, circunferências, isometrias ... O cap´ıtulo 4 é uma brev´ıssima introdu¸cão ao plano hiperbólico.

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I. A axiom´

atica da Geometria

Os Elementos de Euclides são a primeira obra matemática grega de importância de que temos conhecimento, escrita por volta do século III a.c. Compõe-se de 13 livros, sendo os quatro primeiros e o sexto dedicados à Geometria Elementar. A obra come¸ca com uma lista de defini¸cões, seguida de cinco axiomas e cinco postulados a partir dos quais se deduzem logica-mente os restantes resultados. Do ponto de vista da matemática moderna, Os Elementos de Euclides apresentam certos problemas de rigor: defini¸cões sem sentido, axiomas usados im-plicitamente mas não formulados exim-plicitamente ... No entanto, possuiam já uma estrutura dedutiva muito aperfei¸cõada e não podemos esquecer que foi escrito há mais de 2000 anos!

Actualmente existem várias axiomatiza¸cões rigorosas da chamada Geometria Euclidiana, isto é, sistemas axiomáticos que permitem provar os resultados dos Elementos de Euclides. A axiomática mais conhecida deve-se a Hilbert e é formada por 20 axiomas dividos em quatro grupos (incidência, ordem, congruência e continuidade) e por mais um último axioma que é equivalente ao famoso V Postulado de Euclides.

Neste cap´ıtulo apresentam-se os conceitos básicos da teoria axiomática da Geometria, numa versão simplificada da axiomática de Hilbert. Nas primeiras três seçcões estudaremos os axio-mas de incidência, ordem, congruência e continuidade e as consequências lógicas destes axiomas. Os resultados assim obtidos, sem usar o V Postulado, são chamados resultados da geometria absoluta. Na última seçcão encontram-se os princ´ıpios gerais das geometrias euclidiana e hiperbólica, isto é, as geometrias obtidas se adicionarmos, respectivamente, o V Postulado de Euclides ou a sua nega¸cão, o denominado Axioma das Paralelas de Lobachevsky.

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1 Os axiomas de incidˆ

encia

Defini¸. c˜ao 1.1 Plano de incidˆencia

Um plano de incidˆencia ´e uma estrutura da forma _{G = (PP, LL, I) onde:}

1. PP ´e um conjunto n˜ao vazio chamado suporte de_{G, a cujos elementos chamamos pontos} (de G);

2. LL ´e um conjunto, a cujos elementos chamamos rectas (de G); 3. PP _{∩ LL = ∅ (pontos e rectas s˜ao coisas distintas);}

4. _{I é uma rela¸cão de PP para LL, isto é, I ⊆ PP × LL, chamada rela¸cão de incidência de} pontos com rectas. Isto é, se P ∈ PP e r ∈ LL tais que (P, r) ∈ I dizemos que o ponto P e a recta r incidem.

Exemplos 1.2.

1. O plano de incidˆencia _{G = (PP, LL, I) onde:}

PP =_{{A, B, C, D} LL = {a, b, c, d} I = {(A, a), (A, b), (A, c), (A, d), (B, a), (B, b)}}

a c d b q C q D A q B q

2. O plano de incidˆencia G = (PP, LL, I) onde:

PP = R2 LL =_{{Rectas vectoriais de R}2_}

e como rela¸cão de incidência a rela¸cão de perten¸ca usual. Este plano de incidência chama-se o plano vectorial real.

PP = R2 LL =_{{Rectas afins de R}2_}

e como rela¸cão de incidência a rela¸cão de perten¸ca usual. Este plano de incidência chama-se o plano afim real.

PP =_{{Rectas vectoriais de R}3_{} LL = {Planos vectoriais de R}3_}

e como rela¸cão de incidência a rela¸cão de inclus˜ao. Este plano de incidência chama-se o

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I. Axiomas de incidˆ

encia.

I-1 Para quaisquer dois pontos A e B, existe uma e uma s´o recta que incide com A e B. I-2 Toda recta incide, pelo menos, com dois pontos.

I-3 Existem, pelo menos, trˆes pontos n˜ao incidentes com a mesma recta.

Defini¸. c˜ao 1.3 Pontos colineares, rectas paralelas

• Num plano de incidˆencia, chamamos pontos colineares aos pontos que incidem na mesma recta.

• Num plano de incidência, dizemos que duas rectas são paralelas quando são iguais ou quando não existir nenhum ponto que incida com ambas duas.

Note-se que o axioma I-1 significa que dois pontos são sempre colineares e o axioma I-3 que existem três pontos não colineares. O axioma I-1 também implica que dois pontos A e B determinam uma única recta, assim, dados A e B designar-se-á frequentemente por < A, B > a única recta que incide em A e em B.

Proposi¸cão 1.4 Consequências dos axiomas de incidência Num plano de incidência que verifica o grupo I de axiomas:

1. Duas rectas distintas incidem num ´unico ponto ou s˜ao paralelas; 2. Existem pelo menos duas rectas;

3. Para toda recta existe, pelo menos, um ponto n˜ao incidente com ela. Em particular, dados dois pontos existe um terceiro n˜ao colinear com eles;

4. Para todo ponto existe, pelo menos, uma recta n˜ao incidente com ele;

5. Dadas duas rectas, existe uma outra recta n˜ao paralela a nenhuma das anteriores.

Exemplos 1.5.

1. A figura seguinte representa um plano de incidˆencia com 7 pontos e 7 rectas que verifica o grupo I de axiomas.

r r r

r r

r

2. O planos afim real e o plano projectivo real verificam o grupo I de axiomas. O plano vectorial não verifica I-1, mas verifica I-2 e I-3. Finalmente, o primeiro plano de incidência desses exemplos verifica I-3, mas não I-1 nem I-2.

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3. O plano de incidência cujos pontos são os pontos da esfera de R3 de raio 1 e cujas rectas são os c´ırculos máximos não verifica o axioma I-1.

4. O semi-plano de Poincar´e

Considere um plano de incidência cujos pontos são os pontos do semi-plano_{H de R}2 com segunda coordenada estritamente positiva, cujas rectas são a interseçcão com_{H das rectas} afins de equa¸cão x = a (rectas afins verticais) e a interseçcão com H das circunferências cujo centro se situa no eixo dos xx. A rela¸cão de incidência é a rela¸cão usual de perten¸ca.

Este plano de incidência, chamado semi-plano de Poincaré, verifica o grupo I de axiomas. 5. O Disco de Poincaré

Outro plano de incidência que verifica o grupo I de axiomas é o c´ırculo de Poincaré. Neste plano, o conjunto PP de pontos é o interior ω do disco unitário U de R2 (disco de centro (0, 0) e raio 1); o conjunto de rectas LL é formado pelos diâmetros da circunferência unidade (sem os extremos) e a interseçcão com ω das circunferências de R2 _{ortogonais a} U. A rela¸cão de incidência é a rela¸cão usual de perten¸ca.

Salienta-se que, neste plano de incidência e no anterior, fixado um ponto P e uma recta r não incidentes, existem infinitas rectas incidentes em P paralelas à recta r.

6. A figura seguinte que representa um plano de incidência com 6 pontos, 15 rectas cada uma delas incidente em dois pontos. Este plano de incidência também verifica o grupo I de axiomas. s s s s s s

7. O plano de incidência _{G = (PP, LL, I) em que PP é o interior do c´ırculo de R}2 _{de centro} (0, 0) e raio 1, e as rectas são as cordas abertas (sem extremos) do c´ırculo também verifica o grupo I de axiomas.

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Exerc´ıcios 1.6.

1. Enuncie os axiomas de incidência usando a linguagem lógica. 2. Considere-se o plano de incidência afimG = (PP, LL,I) onde:

PP = R2 _L_{L =}

{ Rectas afins de R2

}

e como rela¸cão de incidência a rela¸cão de perten¸ca usual. (Recorde-se que uma recta afim de R2

é um subconjunto definido por uma equa¸cão cartesiana ax + by + c = 0, com (a, b)=/ (0, 0)) (a) Mostre que este plano verifica os axiomas de incidência.

(b) Qual a condi¸cão nas equa¸cões cartesianas para duas rectas serem paralelas? Determine a equa¸cão cartesiana da recta incidente num ponto M = (m1, m2) e paralela à recta definida

por ax + by + c = 0.

3. Considere o plano de incidˆencia_{G = (PP L}L,_{I) onde:} • PP = R2_;

• LL é o conjunto das circunferências em R2 _{de raio 1, isto é, uma “recta” deste plano é uma}

circunferˆencia _C(a,b) de raio 1 centrada num ponto (a, b)∈ R2;

• a rela¸cão de incidência é definida como: um “ponto” M incide numa “recta” C(a,b)quando

o ponto for o centro da circunferˆencia, isto ´e, M = (a, b).

Analise se este plano verifica cada um dos axiomas de incidˆencia. Comente a afirma¸c˜ao: “neste

plano de incidˆencia duas rectas distintas s˜ao sempre paralelas”.

4. Prove a proposi¸c˜ao 1.4

A partir de agora chamaremos plano apenas aos planos de incidˆ

encia

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2 Os axiomas de ordem

Defini¸. c˜ao 2.1 Rela¸c˜ao “estar entre”

Seja _{G = (PP, LL, I) um plano. Chamaremos rela¸cão “estar entre” a uma rela¸cão ternária no} conjunto de pontos PP , isto é, a um subconjuntoO ⊂ PP × PP × PP . Dizemos que um ponto C está entre o ponto A e o ponto B e escrevemos A_{− C − B se se verificar (A, C, B) ∈ O.}

II. Axiomas de ordem.

II-1 Se C está entre A e B, então A, B e C são três pontos distintos incidentes numa mesma recta e C está entre B e A.

II-2 (II Postulado de Euclides) Dados A e C existe sempre um ponto B sobre a recta < A, C > tal que C est´a entre A e B.

q

A Cq Bq

II-3 Dados três pontos quaisquer de uma recta, não há mais do que um deles entre os outros dois.

II-4 (Axioma de Pasch) Sejam A, B e C três pontos não incidentes com uma recta e r uma recta do plano que não incide com nenhum desses pontos. Se a recta r incide num ponto entre A e B, então incide também num ponto entre A e C ou num ponto entre B e C.

q

A Cq

q

B

Defini¸. c˜ao 2.2 Segmento, recta suporte

Seja_{G = (PP, LL, I) um plano munido de uma rela¸c˜ao “estar entre” O que verifica o grupo II de} axiomas. Sejam A e B dois pontos do plano de incidˆencia.

• Chamamos segmento de extremos A e B e designamos por AB ao conjunto formado por A, B e os pontos do plano que est˜ao entre A e B. Isto ´e:

AB =_{{A, B} ∪ {C ∈ PP : (A, C, B) ∈ O} = {A, B} ∪ {C ∈ PP : A − C − B}} • Se A=/ B recta < A, B > diz-se recta suporte do segmento AB.

• Dizemos que uma recta e um segmento se intersectam se existir um e um s´o ponto do segmento que incide na recta.

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Proposi¸c˜ao 2.3 Rectas e segmentos

Seja G = (PP, LL, I) um plano munido de uma rela¸c˜ao “estar entre” O que verifica o grupo II

de axiomas. Ent˜ao:

1. AB = BA, para todos os pontos A e B do plano;

2. Se A=/ B, todos os pontos do segmento AB incidem na recta suporte < A, B >;

3. Se A, B e C são pontos não colineares então AB∩ BC = {B}. Defini¸. cão 2.4 Figuras

Seja_{G = (PP, LL, I) um plano munido de uma rela¸c˜ao “estar entre” O que verifica o grupo II de} axiomas.

• Sejam A, B e C três pontos do plano não colineares. Chamamos triângulo e designamos por _{△ABC o subconjunto de PP :}

△ABC = AB ∪ BC ∪ CA

Os pontos A B e C s˜ao chamados v´ertices do triˆangulo e os segmentos AB, BC e CA

lados do triˆangulo

r

A rB

rC

• Sejam A, B, C e D pontos do plano tais que no conjunto {A, B, C, D} não há três pontos colineares. Chamamos quadrângulo ou quadrilátero não degenerado e designamos por

ABCD o subconjunto de PP :

ABCD = AB∪ BC ∪ CD ∪ DA

Os pontos A B, C e D s˜ao chamados vértices do quadrilátero e os segmentos AB, BC, CD e DA lados do quadrilátero. s D s A sB sC t D t A tC tB

Dizemos ainda que os lados AB e CD e os lados BC e DA s˜ao lados opostos no quadril´atero e que os segmentos AC e BD s˜ao as diagonais do quadril´atero.

• Um quadrilátero não degenerado ABCD diz-se quadrilátero convexo se as diagonais AC e BD se intersectam (figura à esquerda).

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Teorema 2.5 Consequˆencias dos axiomas de incidˆencia e ordem

Seja _{G = (PP, LL, I) um plano munido de uma rela¸c˜ao “estar entre” O que verifica o grupo II} de axiomas.

1. Dados dois pontos A e B distintos h´a um ponto C entre A e B.

2. De três pontos incidentes com uma recta tem-se obrigatoriamente que um e um só está entre os outros dois.

3. Se uma recta incide num lado de um triângulo e não incide com nenhum vértice intersecta um e um só dos outros lados.

4. (Lema fundamental sobre segmentos.) Se C est´a entre A e B ent˜ao

AC∩ CB = {C} e AB = AC∪ CB.

5. Qualquer segmento cont´em uma infinidade de pontos.

(Demonstra¸c˜ao)

1. Considere um ponto P n˜ao incidente em < A, B > e defina depois R e E usando o axioma II-2 e C usando o axioma de Pasch.

s A s B R P E s C

2. Suponha que A não está entre B e C, e que C não está entre A e B. Considerem-se D não incidente na recta < A, B > e G ponto tal que D está entre B e G. Aplique o axioma de Pasch aos triângulos adequados para definir un ponto E entre G e C e um ponto F entre A e G. De novo, pelo axioma de Pasch, D está entre A e E e entre C e F e então B está entre A e C. s A B C G s s F E D s s s s

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3. Designemos por ∆ABC o triˆangulo e por r a recta. Suponha-se que existem P ∈ AB, Q_{∈ BC e R ∈ CA incidentes em r.} s A s C s B s Q s P s R

Aplicando o axioma de Pasch ao triângulo _{△QRC e à recta < A, B > obtemos que P} não está entre R e Q. De maneira análoga, aplicando esse axioma ao triângulo △P BQ e à recta < A, C > obtemos que R não está entre P e Q, e aplicando-o a _{△AP R e a} < B, C > obtemos que Q não está entre R e Q.

4. Este “lema” aparentemente inofensivo esconde de facto uma série de resultados intermédios. Primeiro resultado: Se C está entre A e B e M está entre A e C, então C está entre M e B. s A s M s C s B s L sK s T sR

(a) Considera-se um ponto K n˜ao incidente na recta < A, B > e um ponto L tal que K fica entre L e B.

(b) Como A não está entre C e B, mas K está entre L e B, aplicando o axioma de Pasch ao triângulo△LBC, a recta < A, K > intersecta o segmento LC num ponto T . (c) Note-se que, como C está entre A e B, e L não está entre K e B, aplicando o

axioma de Pasch ao triângulo△AKB e a recta < C, L >, deduzimos que esse ponto T também está entre A e K.

(d) Como C não está entre A e M , mas T está entre A e K, aplicando o axioma de Pasch ao triângulo_{△AKM, a recta < C, L > intersecta o segmento MK num ponto} R.

(e) Como R está entre K e M , mas L não está entre K e B, aplicando o axioma de Pasch ao triângulo _{△MKB, obtemos que a recta < R, L > intersecta o segmento} M B.

(f) Tem-se que < R, L >=< C, L >, e assim, o ponto de interse¸c˜ao de < R, L > com M B ´e o ponto C.

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Segundo resultado: Se C está entre A e B e M está entre A e C, então M está entre A e B. t L t B t A t Q t M t K t C

(a) Consideramos um ponto K n˜ao incidente na recta < A, C > e um ponto L tal que K est´a entre L e C.

(b) Como M não está entre C e B (pelo resultado anterior sabe-se que C _{∈ BM),} mas K está entre L e C, aplicando o axioma de Pasch ao triângulo△CLB, a recta < M, K > intersecta o segmento LB num ponto Q.

(c) Por outro lado, como M está entre A e C, e K está entre L e C, aplicando a al´ınea 3 ao triângulo _{△ALC, tem-se que a recta < M, K > não intersecta o segmento AL.} (d) Se a recta < M, K > não intersecta o segmento AL, mas intersecta o segmento LB, pelo axioma de Pasch aplicado ao triângulo_{△ALB, tem-se que < M, K > intersecta} o segmento AB. O ponto de interseçcão é M e assim M _{∈ AB.}

Note-se que, por simetria, tem-se também que, se C está entre A e B, e M está entre C e B, então M não está entre A e C, e assim

AC_{∩ CB = {C}}

E também, por simetria, se C está entre A e B e M está entre C e B tem-se que M está entre A e B e assim

AC∪ CB ⊂ AB

Terceiro resultado: Sejam M e C entre A e B. Se M est´a entre C e B tem-se que M _{∈ CB ⊂ AC ∪ CB}

Podemos então supor que M não está entre entre C e B e usar uma constru¸cão análoga `

a anterior para verificar que M encontra-se ent˜ao, obrigatoriamente, entre A e C, pelo que

M _{∈ AC ⊂ AC ∪ CB} donde

AB⊂ AC ∪ CB.

5. Prova-se por redu¸c˜ao ao absurdo supondo que existe um n´umero finito de pontos inci-dentes no segmento.

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Exemplo 2.6. Rela¸c˜ao “estar entre” no plano afim real

No plano afim real (cf 1.2), a seguinte rela¸c˜ao “estar entre” verifica o grupo II de axiomas:

“dados A, B e C, dizemos que C está entre A e B se −→AC = λ−−→AB com λ_{∈]0, 1[”} Se A e B são dois pontos de R2, o segmento AB é o conjunto:

AB ={A + λ−−→AB : λ∈ [0, 1]} = {(1 − λ)A + λB : λ ∈ [0, 1]}

A partir de agora, chamaremos plano apenas aos planos de incidˆ

encia

que verificam os grupos de axiomas I e II.

Defini¸. c˜ao 2.7 Incidir na mesma semi-recta, incidir no mesmo semi-plano

1. Seja r uma recta incidente num ponto O. Dizemos que dois pontos P e R incidentes em r e distintos de O incidem na mesma semi-recta de r com origem O se P = R ou se O∈/ P R. s P′ s O s P s R O_{∈/ P R} O ∈ P P′ 2. Seja r uma recta do plano de incidˆencia. Dados R e P pontos do plano n˜ao incidentes

em r, dizemos que R e P incidem no mesmo semi-plano definido por r se P = R ou se r n˜ao intersectar o segmento P R.

s P s P′ sR r Proposi¸c˜ao 2.8

1. Fixadas uma recta r e um ponto O incidente em r, a rela¸cão “incidir na mesma semi-recta de r com origem O” é uma rela¸cão de equivalência no conjunto dos pontos incidentes em

r, distintos de O, que define apenas duas classes de equivalˆencia.

2. Fixada uma recta r do plano, a rela¸cão “incidir no mesmo semi-plano definido por r” é uma rela¸cão de equivalência no conjunto dos pontos do plano não incidentes em r que define apenas duas classes de equivalência.

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(Demonstra¸c˜ao)

1. A rela¸cão é reflexiva por defini¸cão e simétrica por 2.3. Para verificar a transitividade, use o lema fundamental.

Finalmente, note-se que existem B e B′ tais que O∈ BB′_{. Usando o lema fundamental,} se X ´e um ponto da recta, tem-se uma e uma s´o das possibilidades seguintes: incide na mesma semi-recta de origem O que B ou X incide na um ponto mesma semi-recta de origem O que B′)

2. De novo, a reflexividade e simetria s˜ao directas.

A transitividade deduz-se do axioma de Pasch, se os pontos formam triˆangulo, ou do lema fundamental, se os pontos s˜ao colineares.

Finalmente, note-se que existem P e P′ _{não incidentes em r tais que a recta r intersecta} o segmento P P′_{. Se R for um ponto do plano não incidente em r, usando o lema} funda-mental ou a al´ınea 3 do teorema 2.5, tem-se uma e uma só das possibilidades seguintes: r intersecta P R ou r intersecta P′_R.

Defini¸. c˜ao 2.9 Semi-rectas, semi-planos

1. Sejam r uma recta e O um ponto incidente em r. Chamamos semi-recta definida em r de origem O a cada uma das duas classes de equivalência para a rela¸cão definida em 2.7, al´ınea 1. Dado um ponto P distinto de O, designar-se-á por [O, P > a classe de equivalência de P e diremos que [O, P > é a semi-recta de origem O incidente em P .

s

O

s

P

r+

Para simplificar as nota¸cões e se não houver ambiguidade, as duas classes de equivalência definidas numa recta r por um ponto O designar-se-ão as vezes por r+ e r−. Diremos que r+ e r− s˜ao semi-rectas opostas e que a recta r é a recta suporte das semi-rectas.

r+ _s

O

r₋

2. Seja r uma recta do plano. Chamamos semi-plano definido por r a cada uma das duas classes de equivalência para a rela¸cão definida em 2.7, al´ınea 2. Dado um ponto P não incidente em r, designar-se-á por _HP a classe de equivalência de P e diremos queHP é o semiplano definido por r que incide em P .

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Proposi¸c˜ao 2.10 Incidˆencia de semi-rectas e semi-planos

Sejam h e r duas rectas distintas do plano incidentes num ponto O. Dois pontos A e A′ _{de r,} distintos de O, incidem na mesma semi-recta definida em r de origem O se e s´o se incidem no mesmo semi-plano definido por h.

s O r₋ s A s A′ r+ h Os r₋ s A s A′ r+ h

Por outras palavras, nas condi¸c˜oes da proposi¸c˜ao, os pontos incidentes numa semi-recta incidem no mesmo semi-plano e os pontos incidentes em semi-rectas opostas incidem em semi-planos opostos.

(Demonstra¸c˜ao)

r e h distintas portanto o ´unico ponto que poderia incidir em AA′_{e h ´e precisamente O. Aplicar} II-3 e < A, A′_{> =}_{/ h.}

Defini¸.c˜ao 2.11 Anguloˆ

Sejam r e r′ duas rectas distintas incidentes num ponto O, P e P′ dois pontos distintos de O e incidentes, respectivamente, em r e r′_{. Chamamos ˆ}_{angulo definido por P , O e P}′ _{e designamos} por ∠P OP′ _`_{a intersec¸c˜ao do semiplano definido por r que incide em P}′ _{e o semiplano definido} por r′ que incide em P .

r O r r′ r P r P′

Note-se que esta defini¸cão é simétrica em rela¸cão ao P e P′_{, isto é,} ∠P OP′ = ∠P′OP.

Proposi¸c˜ao 2.12 Sejam r e r′ _{duas rectas distintas incidentes num ponto O. Sejam P e R} dois pontos incidentes em r, P′ _{e R}′ _{dois pontos incidentes em r}′ _{tais que P e R est˜}_{ao na} mesma semi-recta definida por O e P′ _{e R}′ _est˜_{ao na mesma semi-recta definida por O, ent˜}_ao:

∠P OP′ = ∠ROR′ r O r r′ r P r R r R′ r P′ (Demonstra¸c˜ao)

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Defini¸.c˜ao 2.13 Angulo de duas semi-rectasˆ

Dadas duas semi-rectas h+ e r+ de origem um ponto O, com suportes distintos, definimos o ˆ

angulo formado por h+ e r+ e designamos por ∠{h+, k+} como ∠{h+, k+} = ∠P OP′

sendo P , P′, pontos quaisquer das semi-rectas h+ e k+, respectivamente.

s O s P s h+ P′ _k +

Os pontos de ∠{h+, k+} s˜ao chamados pontos interiores ao ˆangulo. Nota 2.14.

Os ˆangulos que foram definidos aqui (ângulos geométricos) s˜ao subconjuntos do conjunto PP de pontos do plano. Note-se que não são considerados como ângulos geométricos os “ângulos rasos”, só ângulos entre semi-rectas com suportes distintos.

Defini¸.c˜ao 2.15 Angulos suplementares, ˆˆ angulos verticalmente opostos

• Dado um ângulo ∠{h+, k+}, chama-se ângulo suplementar de ∠{h+, k+} ao ângulo for-mado por uma das semi-rectas do ângulo ∠{h+, k+} e a semi-recta oposta à outra recta. Por defini¸cão, qualquer ˆ_{angulo ∠{h}+, k+} tem dois ângulos suplementares: ∠{h+, k−} e ∠{h−, k+}.

s k+

k₋

h+

h₋

• Dado um ângulo ∠{h+, k+}, chama-se ângulo verticalmente oposto ao ângulo formado pelas semi-rectas opostas a h+ e k+, ∠{h−, k−}.

s k+

k₋

h+

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Proposi¸c˜ao 2.16 ˆAngulos e semi-rectas

Sejam h+ e k+ duas semi-rectas de origem O, com suportes distintos, h e k, respectivamente. 1. Um ponto P do plano, não incidente em h ou k, é interior a um e um só dos seguintes

ˆ angulos: ∠{h+, k+} ∠{h−, k+} ∠{h+, k−} ∠{h−, k−} s k+ k₋ h+ h₋ O

2. Se um ponto P é interior ao ângulo ∠{h+, k+}, todos os pontos da semi-recta r+ de origem O e incidente em P são interiores ao dito ângulo.

s O h+ s P k+

3. Se uma semi-recta com origem O é interior ao ângulo ∠{h+, k+}, a semi-recta oposta é interior ao ângulo verticalmente oposto ∠{h−, k−}.

s r+ r₋ h+ k+ h₋ O k₋

4. Se uma semi-recta r+, com suporte r e origem O, ´e interior ao ˆangulo ∠{h+, k+}, as semi-rectas h+ e k− incidem no mesmo semi-plano definido por r.

5. Se uma semi-recta r+, com suporte r e origem O, ´e interior ao ˆangulo ∠{h+, k+}, as semi-rectas h+ e k+ incidem em semi-planos opostos definidos por r.

(20)

(Demonstra¸c˜ao) 1. Directa da defini¸c˜ao.

2. Directa a partir da proposi¸c˜ao 2.10. 3. Directa a partir da proposi¸c˜ao 2.10.

4. Como r+´e interior ao ˆangulo ∠{h+, k+}, as semi-rectas r+e k+incidem no mesmo semi-plano definido por h e assim r+ e k− incidem em semi-planos opostos definidos por h. Portanto, dados dois pontos S ∈ k− e R ∈ r+, distintos de O, a recta h intersecta o segmento SR num ponto T .

s T s sR s S r+ h+ k+ O k₋

Note-se que o segmento T R n˜ao intersecta a recta k (se intersectar seria no ponto S e S_{∈/ T R) e portanto T e R incidem no mesmo semi-plano definido por k. Como R ∈ r}+, e r+ e h+ incidem no mesmo semi-plano definido por k, obt´em-se que T incide, de facto, na semi-recta h+. Recorde-se que R∈/ ST , por tanto S e T incidem no mesmo semi-plano definido por r, e assim, k₋ e h+ incidem no mesmo semi-plano definido por k.

5. Directa a partir da al´ınea anterior e da proposi¸c˜ao 2.10. Exerc´ıcios 2.17.

1. Complete as demonstra¸cões das proposi¸cões e teoremas enunciados. 2. As semi-rectas são conjuntos infinitos?

3. Prove que as diagonais de um quadril´atero convexo se intersectam num ´unico ponto.

4. Prove que a rela¸c˜ao “estar entre” no plano afim real definida em 2.6 verifica efectivamente o grupo II de axiomas.

5. Prove a seguinte caracteriza¸c˜ao de paralelismo

Duas rectas distintas s˜ao paralelas se e s´o se todos os pontos incidentes numa delas incidem no mesmo semi-plano definido pela outra.

6. Seja r uma recta de um plano de incidˆencia que verifica os grupos de axiomas I e II. Sejam O e I dois pontos distintos e incidentes com r e r+ a semi-recta de origem O e incidente em I. Sejam

X e Y pontos incidentes com a recta r

• se X ∈ r+ ou X = O e Y ∈ r− ou Y = 0, dizemos que Y ´e menor o igual que X;

• se X, Y ∈ r+ e Y ∈ OX dizemos que Y ´e menor o igual que X;

• se X, Y ∈ r− e X ∈ OY dizemos que Y ´e menor o igual que X.

Prove que esta rela¸cão “menor ou igual” é uma rela¸cão de ordem total no conjunto dos pontos incidentes com r.

(21)

3 Axiomas de congruˆ

encia

Considere-se um plano de incidência que verifique os axiomas dos grupos I e II e tal que estão definidas duas rela¸cões de equivalência1, chamadas rela¸cões de congruência e designadas por

≡, no conjunto dos segmentos do plano e no conjunto dos ˆangulos do plano.

III. Axiomas de congruˆ

encia.

III-1 (Transporte de segmentos) Sejam A e B dois pontos incidentes numa recta r; e seja A′ um ponto incidente numa recta r′ _{não necessariamente distinta de r. Então, em qualquer das} semi-rectas definidas em r′ _{pelo ponto A}′ _{existe um e um s´}_{o ponto B}′ _{tal que o segmento AB é} congruente com o segmento A′_B′_.

s A sB ′′ r r′ B′ 2 A′ B′1 s s s ′′ ′′

III-2 (Soma de segmentos) Sejam A, B, C, A′_{, B}′ _{e C}′ _{tais que B está entre A e C e B}′ _está entre A′ _{e C}′_{. Se AB}_{≡ A}′_B′ _{e BC}_{≡ B}′_C′ _{então AC}_{≡ A}′_C′ s A sB ′′ s C ′ A′ _B′ _C′ s _′′ s _′ s

III-3 (Transporte de ˆangulos) Consideremos um ˆangulo ∠{h+, k+}, uma recta r, um dos semi-planos_{H definido por r, um ponto O}′ _{de r e finalmente uma das semi-rectas r}

+ definidas em r por O′_{, Ent˜ao, existe no semi-plano fixado uma e uma s´}_{o semi-recta m}

+ de origem O′ tal que ∠{h+, k+} ≡ ∠{r+, m+} e tal que os pontos de ∠{r+, m+} incidem no semi-plano fixado.

r O h+ k+ r O′ m+ r+ m′ + 1

(22)

III. Axiomas de congruˆ

encia.

III-4 Sejam A, B e C três pontos não colineares e A′_{, B}′ _{e C}′_{três pontos também não colineares.} Se AB≡ A′_B′_{, AC}_{≡ A}′_C′ _{e ∠CAB}_{≡ ∠C}′_A′_B′_{, tem-se}

∠ABC≡ ∠A′_B′_C′ _e _∠BCA_{≡ ∠B}′_C′_A′

s B r s A sC s B′ r sA′ −₋₋ s C′ Nota 3.1.

Note-se que, num plano de incidˆencia que verifique os axiomas I, II e III se tem:

1. Dados trˆes pontos A, B1 e B2 do plano, se AB1 ≡ AB2 e B1 e B2 incidem na mesma semi-recta de origem A, ent˜ao B1 = B2 (axioma III-1)

2. Dados quatro pontos A, B, C1 e C2, se ∠C1AB≡ ∠C2AB e C1 e C2 incidem no mesmo semi-plano definido pela recta < A, B >, ent˜ao A, C1 e C2 s˜ao colineares e incidem na mesma semi-recta de origem A(axioma III-3)

A partir de agora, chamaremos plano aos planos de incidˆ

encia que

verificam os grupos de axiomas I, II e III.

Proposi¸. c˜ao 3.2 Diferen¸ca de segmentos

Sejam A, B e C três pontos tais que B está entre A e C e outros três pontos A′_{, B}′ _{e C}′ _tais que B′ _{e C}′ _est˜_{ao numa semi-recta de origem A}′_{. Se AB} _{≡ A}′_B′ _{e AC} _{≡ A}′_C′_{, ent˜}_{ao B}′ _est´_a entre A′ _{e C}′ _{e BC} _{≡ B}′_C′

(Demonstra¸c˜ao)

Considerar o ponto C′′ _{na semi-recta oposta `}_{a semi-recta de origem B}′ _{e incidente em A}′ que verifica BC ≡ B′_C′′_{. Por III-2 tem-se que AC} _{≡ A}′_C′′_{, e como AC} _{≡ A}′_C′ _obtemos A′_C′ _{≡ A}′_C′′_{. Como C}′ _{e C}′′ _{incidem na mesma semi-recta de origem A}′ _{tem-se que C}′_=C′′_.

(23)

Defini¸. c˜ao 3.3 Angulos internos de um triˆˆ angulo

Seja ∆ABC um triângulo. Os ângulos ∠ABC, ∠BCA e ∠CAB são chamados ângulos internos do triângulo. s B s A sC

Defini¸. cão 3.4 Congruência de triângulos

Dizemos que dois triângulos ∆ABC e ∆A′_B′_C′ _s˜_{ao congruentes quando s˜}_{ao congruentes os} lados e os ângulos internos, isto é,

AB≡ A′_B′ _BC _{≡ B}′_C′ _CA_{≡ C}′_A′

∠ABC ≡ ∠A′B′C′ ∠BCA≡ ∠B′C′A′ ∠CAB ≡ ∠C′A′B′ Se ∆ABC e ∆A′_B′_C′ _{forem congruentes, escrevemos ∆ABC}_{≡ ∆A}′_B′_C′_.

s B r s A sC rr s B′ r sA′ −₋₋ s C′

Teorema 3.5. Critérios de congruência de triângulos Sejam ∆ABC, ∆A′_B′_C′ _{dois triˆ}_angulos.

1. Caso LAL (lado, ˆangulo, lado)

Se AB _{≡ A}′_B′_{, AC} _{≡ A}′_C′ _{e ∠CAB} _{≡ ∠C}′_A′_B′_{, os triˆ}_{angulos ∆ABC e ∆A}′_B′_C′ _s˜_ao congruentes. s B r s A sC s B′ r sA′ −₋₋ s C′

(24)

2. Caso ALA (ˆangulo, lado, ˆangulo)

Se ∠CAB ≡ ∠C′_A′_B′_{, ∠ABC} _{≡ ∠A}′_B′_C′ _{e AB} _{≡ A}′_B′ _{, os triˆ}_{angulos ∆ABC e} ∆A′_B′_C′ _s˜_{ao congruentes.} s B r s A sC s B′ r sA′ s C′ (Demonstra¸c˜ao) 1. (Crit´erio LAL)

Sejam △ABC e △A′_B′_C′ _{nas condic¸c˜oes indicadas. Pelo axioma III-4 tem-se que} ∠ABC ≡ ∠A′B′C′ e ∠BCA≡ ∠B′C′A′

S´o falta provar que BC _{≡ B}′_C′_.

s B r s A sC t B1 s B′ r sA′ −₋₋ s C′

Considere-se, aplicando III-1, um ponto B1 na semi-recta de origem C e incidente em B tal que B1C≡ B′C′.

Aplicando o axioma III-4 aos triˆangulos△AB1C e△A′B′C′ obtemos ∠AB1C ≡ ∠A′B′C′ ∠B1AC ≡ ∠B′A′C′

donde ∠BAC ≡ ∠B1AC. Como B e B1 incidem na mesma semi-recta de origem C, B e B1 incidem no mesmo semi-plano definido por < A, C > (proposi¸c˜ao 2.10). Aplicando III-3, deduz-se que B e B1 incidem na mesma-semi recta de origem A. B1 incide ent˜ao em < A, B > e em < B, C > logo B1 = B.

(25)

2. (Crit´erio ALA)

Sejam△ABC e △A′_B′_C′ _{nas condi¸c˜oes indicadas. Considere-se, usando III-1, um ponto} C1 na semi-recta de origem A e incidente em C tal que

AC1 ≡ A′C′ s B r s A t C1 sC s B′ r sA′ −₋₋ s C′

Aplicando o critério LAL, tem-se que os triângulos△ABC1 e△A′B′C′ são congruentes, em particular

∠ABC1 ≡ ∠A′B′C′

donde ∠ABC1≡ ∠ABC. Por argumentos an´alogos `a al´ınea anterior, tem-se que C1 e C incidem na mesma semi-recta de origem B. Assim C1incide em < B, C > e em < A, C > logo C1= C.

Teorema 3.6 A congruˆencia respeita a diferen¸ca de ˆangulos

Sejam h+, r+e k+(respectivamente h′+, r+′ , k+′ ) trˆes semi-rectas de origem O (respectivamente O′_{) com suportes distintos e tais que os pontos incidentes na semirecta r}

+ s˜ao interiores ao ˆ

angulo ∠{k+, h+}. Suponha-se ainda que h′+ e r′+ incidem no mesmo semi-plano definido por k′. Se

∠{k+, r+} ≡ ∠{k+′ , r′+} e ∠{k+, h+} ≡ ∠{k′+, h′+} ent˜ao r′

+ ´e interior ao ˆangulo ∠{k+′ , h′+} e

∠{r+, h+} ≡ ∠{r′+, h′+} r r+ k+ h+ O r r′ + k′₊ h′ + O′

(26)

(Demonstra¸c˜ao)

Considere-se um ponto A na semi-recta h+, um ponto B na semi-recta k+, um ponto A′ na semi-recta h′

+ e um ponto B′ na semi-recta k+′ tais que OA≡ O′A′′ e OB ≡ O′B′.

r O h+ r+ k+ r A r B r O′ h′₊ r′ + k′ + r A′ r B′ Note-se que, por LAL,

△OAB ≡ △O′A′B′

O teorema deduz-se directamente dos lemas indicados de seguida, cuja demonstra¸c˜ao ser´a indicada ao final:

Lema I Existe um ponto R incidente no segmento AB e na semi-recta r+ Lema II Existe um ponto R′ _{incidente no segmento A}′_B′ _{e tal que}

△ORB ≡ △O′R′B′ e _{△ORA ≡ △O}′R′A′ Lema III O ponto R′ _{incide na semi-recta r}′

+ r O h+ r+ k+ r A r B r R r O′ h′ + r′ + k′₊ r A′ r B′ R′ r

Observe-se que, pelo lema III

∠{r′+, h′+} = ∠R′O′B′, e, pelo lema II, como

∠R′O′A′ _{≡ ∠ROA} obtemos

∠{r′+h′+} ≡ ∠{r+h+} Note-se que r′

+ é interior ao ângulo ∠{k+′ , h′+} porque R′ é interior a esse ângulo (lema II) e podemos aplicar a proposi¸cão 2.16.

(27)

Provemos agora os resultados anunciados: • Lema I: r O h+ r+ k+ r A r B r R

As semi-rectas h+ e k+ incidem em semi-planos opostos definidos por r (proposi¸cão 2.16) e portanto existe R incidente em r tal que R∈ AB. Tem-se então que R e A incidem no mesmo semiplano definido por k e que R e B incidem no mesmo semi-plano definido por h. O ponto P é interior ao triângulo logo P _{∈ r}+ (pela proposi¸cão 2.16 não pode incidir em r₋). • Lema II: r O h+ r+ k+ r A r B r R r O′ h′ + r′ + k′ + r A′ r B′ R′ r

Seja R′ _{o ponto na semi-recta de origem B}′ _{e incidente em A}′ _{que verifica RB} _{≡ R}′_B′_. Usando a proposi¸c˜ao 3.2, sabemos que R′ _{est´a entre A}′ _{e B}′ _{e que A}′_R′ _{≡ AR. R}′ _{e A}′ incidem assim na mesma semi-recta de origem B′ _{e tem-se}

∠O′B′R′ ≡ ∠O′_B′_A′_{≡ ∠OBA ≡ ∠OBR} Como R′ _{e B}′ _{incidem na mesma semi-recta de origem A}′_{, tem-se}

∠O′A′R′ _{≡ ∠O}′A′B′_{≡ ∠OAB ≡ ∠OAR}

Aplicando o critério LAL aos triângulos △O′_B′_R′ _e _{△OBR e aos triângulos △O}′_A′_R′ _e △OAR obtemos

△ORB ≡ △O′R′B′ e _{△ORA ≡ △O}′R′A′ • Lema III:

A semi-recta r′₊ e o ponto R′ incidem no mesmo semi-plano definido por k e ent˜ao, por III-3, a semi-recta de origem O′ _{e incidente em R}′ _{´e igual `}_{a semi-recta r}′

(28)

Corolário 3.7 A congruência respeita a soma de ângulos

Sejam h+, r+e k+(respectivamente h′+, r+′ , k+′ ) trˆes semi-rectas de origem O (respectivamente O′_{) com suportes distintos e tais que os pontos incidentes na semirecta r}

+ (respectivamente na semirecta r′

+) são interiores ao ângulo ∠{h+, k+} (respectivamente ao ângulo ∠{h′+, k′+}).

r O h+ r+ k+ r O′ h′ + r′ + k′ + Ent˜ao: ∠{h+, r+} ≡ ∠{h′+, r′+} ∠{r+, k+} ≡ ∠{r+′ , k′+} =_{⇒ ∠{h}+, k+} ≡ ∠{h′+, k+′ } (Demonstra¸c˜ao)

Considere-se, usando III-3, uma semi-recta h′′₊ incidente no mesmo semi-plano definido por k′ que r′

+ e tal que

∠{h+, k+} ≡ ∠{h′′+, k+′ } Aplica-se o teorema 3.6 e o axioma III-3 para deduzir que h′

+= h′′+.

Proposi¸cão 3.8 Se dois ângulos são congruentes qualquer dos suplementares de um deles é congruente com qualquer dos suplementares do outro. Em particular, dois ângulos verticalmente opostos são congruentes.

(Demonstra¸c˜ao)

Sejam h+, r+ semi-rectas de origem O e h′+ e r′+ semi-rectas de origem O′ tais que ∠{h+, r+} ≡ ∠{h′+, r+′ }

Considerem-se pontos A ∈ r+, A′ ∈ r′+, B ∈ h+, B′ ∈ h′+, C ∈ r− e C′ ∈ r− tais que OA_{≡ O}′_A′ _OB _{≡ O}′_B′ _OC_{≡ O}′_C′ r C Or h+ r+ r B r A rC′ _Or′ h′ + r′ + r B′ r A′

Usando o critério LAL, obtemos que _{△ABO ≡ △A}′_B′_O′_{, em particular ∠OAB} _{≡ ∠O}′_A′_B′ _e AB _{≡ A}′_B′_{. Aplicando o axioma III-2 e o critério LAL obtemos então que}_{△CAB ≡ △C}′_A′_B′_, e, de novo por LAL, que △COB ≡ △C′_O′_B′_{, donde}

(29)

Defini¸. c˜ao 3.9 Angulos rectos, rectas perpendicularesˆ

• Dizemos que um ângulo é recto se fôr congruente com qualquer um dos seus suplementares. • Dizemos que duas rectas sâo perpendiculares se incidem num ponto O e se o ângulo de

vértice O e cujos lados têm como suporte essas rectas é recto.

Aten¸cão! Note-se que no¸cão de ângulo recto está bem definida por causa da proposi¸cão 3.8. Ainda, da proposi¸cão 3.8, podemos concluir que se um ângulo for congruente com um ˆ

angulo recto então é recto. Mas ainda não foi provado que dois ângulos rectos quaisquer são congruentes.

Proposi¸cão 3.10 Consequências dos axiomas de incidência, ordem e congruência 1. (O teorema do triângulo isósceles )

Num triˆangulo ∆ABC tem se AC _{≡ BC se e s´o se ∠ABC ≡ ∠CAB.}

′′ ′′ C B A C B A ⇐⇒

2. (Existˆencia de ˆangulos rectos e perpendicular)

Seja r uma recta e P um ponto do plano. Existe uma recta perpendicular a r e incidente em P . Em particular, existem ˆangulos rectos.

3. (O IV Postulado de Euclides) Todos os ˆangulos rectos s˜ao congruentes.

4. (Unicidade da perpendicular) Seja r uma recta e P um ponto do plano. Existe uma ´unica recta perpendicular a r e incidente em P .

5. (Caso LLL de congruˆencia de triˆangulos)

Se AB _{≡ A}′_B′_{, BC} _{≡ B}′_C′ _{e CA}_{≡ C}′_A′_{, os triˆ}_{angulos ∆ABC e ∆A}′_B′_C′ _s˜_ao congru-entes. s B r s A sC rr s B′ r sA′ −₋₋ s C′

(30)

(Demonstra¸c˜ao)

1. (O teorema do triˆangulo is´osceles )

Num triˆangulo ∆ABC tem se AC _{≡ BC se e s´o se ∠ABC ≡ ∠CAB.}

′′ ′′ C B A C B A ⇐⇒

Aplicar o critério LAL aos triângulos _{△BCA e △ACB. Para o rec´ıproco, aplicar o} critério ALA aos triângulos△BCA e △ACB.

2. (Existˆencia de ˆangulos rectos e perpendicular)

Suponha-se, em primeiro lugar, que o ponto P n˜ao incide na recta r e considerem-se O e A pontos incidentes em r. Usando o axioma III-3 e o axioma III-1, podemos definir um ponto Q, no semi-plano oposto definido por r e incidente em P , tal que

∠P OA≡ ∠AOQ e OP _{≡ OQ} s O r s P s Q s A′ s A

Seja A′ _{o ponto de incidência do segmento P Q com a recta r. H´}_{a duas possibilidades:} A′ _{= O ou A}′₌_{/ O. No primeiro caso, os pontos P , O e Q s˜}_{ao colineares e então a recta} < P, Q > é perpendicular a r. No segundo caso podemos aplicar LAL para deduzir que △P OA′ _{≡ △QOA}′ _{(se A}′ _{incidir na semi-recta oposta ao ponto A aplica-se a proposi¸cão} 3.8) donde ∠P A′_O _{≡ ∠QA}′_{O e por tanto ∠P A}′_{O é recto.}

Finalmente, se P incidir na recta r, podemos considerar um ponto P′ _{não incidente em r} e usar o racioc´ınio anterior para construir uma perpendicular a r incidente em P′_{. Pelo} axioma III-3 e pela proposi¸cão 3.8, existirá uma perpendicular a r em P .

(31)

3. (O IV Postulado de Euclides)

Suponha-se que existem semi-rectas h+, r+, h′+, r′+ tais que ∠{h+, r+} e ∠{h′+, r+′ } s˜ao rectos. Pelo axioma III-1, existe uma semi-recta h′′

+ no semi-plano definido por r e incidente em h+ tal que

∠{h′′

+, r+} ≡ ∠{h′+, r′+} ´

E preciso provar que h′′

+= h+ e assim

∠{h+, r+} = ∠{h′′+, r+} ≡ ∠{h′+, r+′ }

Podemos supor as semi-rectas h+ e r+ no mesmo semi-plano definido por h′′.

r+ h′′ + h+ s C s A ′′ s B ′′ s C′ s O

Seja O a origem destas semi-rectas, por III-1, existe um ponto A na semi-recta r₋ e um ponto B na semi-recta r+ tais que OB ≡ OA. Fixado C ∈ h+, existe um ponto C′ incidente na semi-recta h′′₊ e no segmento AC (proposi¸c˜ao 2.16 e consequˆencias). Note-se que C e C′ _{incidem no mesmo semi-plano definido por r.}

Como ∠C′_{OB ´e recto, aplicando LAL obtemos}_△AOC′ _{≡ △C}′_{OB. Analogamente, como} ∠COB ´e recto, obtemos que △AOC ≡ △COB. Em particular

∠C′AO_{≡ ∠C}′BO ∠CAO≡ CBO

Mas C′ _{e C incidem na mesma-semirecta de origem A donde ∠CAO = ∠C}′_{AO e assim} ∠C′BO≡ ∠CBO

Pelo axioma III-3, C e C′ _{incidem tamb´em na mesma semi-recta de origem B. Em} particular, C′ _{incide na recta < A, C > e na recta < B, C > donde C = C}′ _{e assim} h+= h′′+

(32)

4. (Unicidade da perpendicular por um ponto dado)

Sejam r uma recta e P um ponto do plano. Se P incidir em r, pelo axioma III-3 e a al´ınea anterior, existe uma ´unica perpendicular a r incidente em P .

Suponhamos que P n˜ao incide na recta r e que existem duas perpendiculares a r, s e s′_, incidentes em P . Sejam K e K′ _{os pontos de incidˆencia de s e s}′_{, respectivamente, com} r. Seja A um ponto da recta r tal que K ∈ AK′_.

r s′ _s s A s P s K s K′ s P′′ sP ′ = = − −

Definimos dois pontos P′_{, P}′′_{, incidentes, respectivamente, nas semi-rectas de origem K}′ e K opostas a P e verificando P K′_{≡ K}′_P′′_{e P K}_{≡ KP}′_{. ´}_{E preciso provar que P}′ _{= P}′′_. Note-se que, pelo crit´erio LAL, tem-se

△AP K′ ≡ △AP′K′ e _{△AP K ≡ △AP}′′K Em particular

AP′ _{≡ AP ≡ AP}′′

Por outro lado, P′ _{e P}′′ _{incidem no mesmo semi-plano definido por r e verificam} ∠P′′AK′ _{≡ ∠P AK}′ _{≡ P AK ≡ P}′AK

portanto, por III-3, P′ _{e P}′′ _{incidem na mesma semi-recta de origem A e por III-1 tem-se} P′ _{= P}′′_.

(33)

5. (Caso LLL de congruˆencia de triˆangulos)

Se AB ≡ A′_B′_{, BC} _{≡ B}′_C′ _{e CA} _{≡ C}′_A′_{, os triˆ}_{angulos ∆ABC e ∆A}′_B′_C′ _s˜_ao congru-entes. r B r r A r A′′ rC rr r B′ r rA′ −−− r C′

Define-se um ponto A′′ _{no semi-plano definido por < B, C >, oposto ao ponto A e tal} que △A′′_BC _{≡ △A}′_B′_C′ _{(usar axiomas III-3 e III-1 e o critério LAL). Seja K o ponto} de incidência do segmento AA′′ _{a recta < B, C >. Os triˆ}_angulos_△ABA′′ _e _△ACA′′ _s˜_ao isósceles, donde

∠BAK ≡ ∠BA′′_K _∠KAC_{≡ ∠KA}′′_C

Note-se que h´a duas possibilidades: o ponto K incide no segmento BC ou K n˜ao incide no segmento BC. r B r r A r A′′ r K rC rr rB r A r A′′ rC r K _r_r

No primeiro caso, usando a proposi¸cão 3.7 obtemos que ∠BAC ≡ BA′′_{C e então, pelo} critério ALA, obtemos

△ABC ≡ △A′′_BC _{≡ △A}′_B′_C′

(34)

Defini¸.cão 3.11 Compara¸cão de segmentos e de ângulos

• Sejam AB e CD dois segmentos de um plano. Seja B1 o ponto incidente na semi-recta de origem C e incidente em C que verifica AB ≡ CB1. Dizemos que o segmento AB ´e menor que o segmento CD e escrevemos AB < CD se B1 est´a entre C e D.

r r r r

A B C _rB1 D

• Sejam ∠{h+, k+} e ∠{m+, n+} dois ˆangulos do plano. Seja ˜k+ a semi-recta incidente no mesmo semi- plano definido por m que n+ que verifica

∠{h+, k+} ≡ ∠{m+, ˜k+}

Dizemos que o ˆ_{angulo ∠{h}+, k+} ´e menor que o ˆangulo ∠{m+, n+} e escrevemos ∠{h+, k+} < ∠{m+, n+}

se ˜k+ ´e interior ao ˆangulo ∠{m+, n+}

r k+ h+ r ˜ k+ m+ n+

Teorema 3.12 Propriedades da compara¸c˜ao de segmentos e de ˆangulos.

1. Sejam AB, A′_B′_{, CD e C}′_D′ _{segmentos do plano tais que AB}_{≡ A}′_B′ _{e CD}_{≡ C}′_D′_{. Se} AB < CD ent˜ao A′_B′ _{< C}′_D′_.

2. Sejam ∠{h+, k+}, ∠{h′+, k+′ }, ∠{m+, n+} e ∠{m′+, n′+} ˆangulos do plano tais que ∠{h+, k+} ≡ ∠{h′+, k′+} ∠{m+, n+} ≡ ∠{m′+, n′+}.

Se ∠{h+, k+} < ∠{m+, n+} ent˜ao ∠{h+′ , k′+} < ∠{m′+, n′+}.

3. Sejam AB e CD dois segmentos do plano. Tem-se uma e uma s´o das seguintes possibi-lidades:

AB < CD AB_{≡ CD} CD < AB

4. Sejam ∠{h+, k+} e ∠{m+, n+} dois ˆangulos do plano. Tem-se uma e uma s´o das seguintes possibilidades:

∠{h+, k+} < ∠{m+, n+} ∠{h+, k+} ≡ ∠{m+, n+} ∠{m+, n+} < ∠{h+, k+} 5. As rela¸c˜oes definidas s˜ao transitivas.

(35)

(Demonstra¸c˜ao)

1. Sejam B1 e B1′ os pontos nas semi-rectas de origem C e C′ incidentes nos pontos D e D′, respectivamente, que verificam

AB≡ CB1 e A′B′ ≡ C′B₁′ Note-se que, como AB _{≡ A}′_B′ _tem-se

CB1 ≡ C′B1′

Por hipótese CD _{≡ C}′_D′ _{e B}₁ _{entre C e D. Pela proposi¸cão 3.2, tem-se que B}′ 1 está entre C′ _{e D}′_{, logo A}′_B′ _{< C}′_D′_. r r r r A B C _rB1 D r r r r A′ _B′ _C _D′ r B′ 1

2. Sejam ˜k+ e ˜k′+ as semi-rectas nos semi-planos definidos por m e m′ incidentes em n+ e n′

+, respectivamente, que verificam

∠{m+, ˜k+} ≡ ∠{h+, k+} e ∠{m′+, ˜k+′ } ≡ ∠{h′+, k′+} r k+ h+ r ˜ k+ m+ n+ r k′ + h′ + r ˜ k′ + m′ + n′ +

Note-se que ∠{m+, ˜k+} ≡ ∠{m′+, ˜k+′ } e, por hipótese, que ˜k+ é interior ao ângulo ∠{m+, n+}.

(36)

3. Seja B1 o ponto na semi-recta de origem C tal que AB ≡ CB1. Suponhamos que não se tem AB _{≡ CD nem AB < CD. Por hipótese, o ponto B}1 não pertence ao segmento CD. Tem-se que D está entre C e B1.

r r r r r

A B C D B1

r r r r

A _rD1 B C D

Considere-se o ponto D1incidente na semi-recta de origem A e incidente em B que verifica AD1 ≡ CD. Pela proposi¸c˜ao 3.2, D1 est´a entre A e B e portanto

CD < AB

4. Suponha-se que ∠{h+, k+} não é menor nem congruente com o ângulo ∠{m+, n+}. Seja ˜

k+a semi-recta no semi-plano definido por m e incidente em n+que verifica ∠{m+, ˜k+} ≡ ∠{h+, k+}. Nas hipóteses indicadas, pela proposi¸cão 2.16, a semi-recta n+ deve ser interior ao ângulo ∠{m+, ˜k+}. r ˜ n+ h+ k+ r n+ m+ ˜ k+

Considere-se ent˜ao, no semi-plano definido por h e incidente em k+, a semi-recta ˜n+ que verifica

∠{h+, ˜n+} ≡ ∠{m+, n+}

Usando o lema 3.6, obtem-se que ñ+ é interior ao ângulo ∠{h+, k+} donde ∠{m+, n+} < ∠{h+, k+}

5. Aplicar a proposi¸cão 3.2 e lema fundamental para a compara¸cão de segmentos. Usar o lema 3.6 para a compara¸cão de ângulos.

Nota 3.13.

A partir do teorema anterior, se AB < CD, tem-se também AB < DC, BA < CD ... já que AB _{≡ BA, CD ≡ DC ... Note-se que estes resultados não eram, a priori, evidentes, pois na} defini¸cão da compara¸cão é feita uma constru¸cão que passa por uma determinada ”escolha” dos pontos. E analogamente para os ângulos ...

(37)

Defini¸.c˜ao 3.14 Angulos agudos, obtusosˆ

Um ˆangulo diz-se obtuso se for maior que o seu suplementar. Um ˆangulo diz-se agudo se for menor que o seu suplementar.

Proposi¸.c˜ao 3.15

Um ângulo obtuso é maior que um ângulo recto. Um ângulo agudo é menor que um ângulo recto.

(Demonstra¸c˜ao)

Seja ∠{h+, k+} um ˆangulo obtuso, isto ´e

∠{h−, k+} < ∠{h+, k+}

Seja m+ a semi-recta no semi-plano definido por h e incidente em k+ tal que ∠{h+, m+} ´e recto.

h₋ h+

m+ _k₊

Se ∠{h+, k+} < ∠{h+, m+} tem-se que k+ é interior ao ângulo ∠{h+, m+} e portanto m+ é interior ao ˆ_{angulo ∠{h}₋, k+} donde

∠{h−, m+} < ∠{h−, k+} Mas, como ∠{h+, m+} ≡ ∠{h−, m+} tem-se tamb´em

∠{h+, k+} < ∠{h+, m+} ≡ ∠{h−, m+} donde ∠{h+, k+} < ∠{h−, k+} (absurdo).

A demonstra¸cão da segunda afirma¸cão é análoga (note-se que são rec´ıprocas uma da outra) Defini¸.cão 3.16 Angulo exterior de um triˆˆ angulo

Seja_{△ABC um triângulo do plano. Os ângulos suplementares aos ângulos internos do triângulo} s˜ao chamados ângulos exteriores do triângulo.

s A s C s B Teorema 3.17 O Teorema do ˆangulo exterior

Seja △ABC um triângulo do plano. Cada ângulo exterior é maior que os ângulos interiores

(38)

s A s C s B (Demonstra¸c˜ao)

Seja _{△ABC um triângulo. Suponha-se que o ângulo exterior em A é menor ou congruente} ao ângulo interior em C. Usando o axioma III-3 e a proposi¸cão 2.16 existe um ponto B1 no segmento AB tal que o ângulo ∠B1CA é congruente com o ângulo exterior em A.

r A r C r B r B1 r D

Considere-se o ponto D, incidente na semi-recta de origem A oposta `a semi-recta incidente em B e B1, um ponto D tal que DA≡ B1C Pelo crit´erio LAL, tem-se

△DAC ≡ △B1CA

em particular ∠CAB1≡ ∠ACD. Como ∠CAB1e ∠CAD são suplementares, obtem-se (axioma III-3) que ∠ACD e ∠ACB1 são suplementares, donde D incide na recta < C, B1> (absurdo). Teorema 3.18 Seja △ABC um triângulo. Se AB < AC então o ângulo interior em C é

menor que o ângulo interior em B. Em particular, em todo triângulo, ao maior lado opõe-se o maior ângulo.

(Demonstra¸c˜ao)

Seja _{△ABC um triângulo. Vamos provar que, se AB < AC, então o ângulo interior em C é} menor que o ângulo interior em B.

s A s B s C s B′

Considere-se o ponto B′_{, na semi-recta de origem A e incidente em C que verifica AB}_{≡ AB}′_. Como AB é menor que AC, tem-se que B′ _{está entre A e C e então}

(39)

O triângulo △BAB′ _{é, por constru¸cão, isósceles, por tanto ∠B}′_BA_{≡ ∠BB}′_{A. Pelo teorema} do ângulo exterior obtem-se que

∠BCB′ < ∠BB′A < ∠CBA Defini¸.c˜ao 3.19 Ponto m´edio, Bissectriz interior

• Sejam A e B pontos distintos do plano. Um ponto C diz-se ponto m´edio do segmento AB se C est´a entre A e B e verifica

AC_{≡ CB}

• Sejam h+ e k+ duas semi-rectas de origem O. Uma semi-recta r+ de origem O diz-se bissectriz interior do ˆ_{angulo ∠{h}+, k+} se r+ for interior ao ˆangulo e verificar

∠{h+, r+} ≡ ∠{r+, k+}

Proposi¸cão 3.20 Existe e é único o ponto médio de um segmento. Existe e é única a bissectriz interior de um ângulo.

(Demonstra¸c˜ao)

1. Existˆencia e unicidade do ponto m´edio.

Sejam A e B pontos distintos do plano. Considere-se um ponto P n˜ao incidente na recta < A, B >. Defina-se, usando os axiomas III-3 e III-1, um ponto P′_{, no semi-plano definido} por < A, B > oposto ao incidente em P que verifique

∠P AB ≡ ∠ABP′ _AP _{≡ P}′_B

Seja C o ponto de incidˆencia do segmento P P′ _{com a recta < A, B >.}

s C s A s B s P s P′

Verifiquemos que, se C está entre A e B, então C é o ponto médio. Aplicando o critério LAL deduz-se que

△P AB ≡ △P′_BA

em particular, ∠BAP′ _{≡ ∠P BA e AP}′ _{≡ BP . Aplicando o criério LLL obtem-se que} △AP P′ _{≡ △BP}′_{P ∠P AP}′ _{≡ ∠P BP}′ _{e então, pelo critério ALA , tem-se que}

(40)

donde AC ≡ CB.

Só falta verificar que C está efectivamente entre A e B. Vamos provar que as condi¸cões C = B ou B entre C e A levam ao absurdo (os casos C = A ou A entre C e B são análogos). sP ′ s A sB = C s P sP ′ s A sC s P s B

Se C = B, aplicando o teorema do ˆangulo exterior, vem que ∠P′BA > ∠P AB (absurdo ∠P′BA_{≡ ∠P AB)}

Se B estiver entre C e A aplicando o teorema do ˆangulo exterior, obter-se-ia que ∠ABP′ > ∠BCP′> ∠CAP = ∠BAP

(absurdo, ∠ABP′ _{e ∠BAP são congruentes). Se M e M}′ _s˜_{ao pontos médios de AB} podemos usar o lema fundamental sobre segmentos e a compara¸cão de segmentos para verificar que a única possibilidade é AM _{≡ AM}′ _{donde (III-1) M = M}′_.

2. Existˆencia e unicidade da bissectriz interior

Sejam h+ e k+ duas semi-rectas de origem O. Considerem-se pontos A ∈ h+ e B ∈ k+ verificando OA≡ OB k+ h+ r A r_C rB r

Seja C o ponto médio do segmento AB. Pelo critério LLL,_{△OAC ≡ △OBC e portanto} a semi-recta de origem O e incidente em C é a bissectriz interior do ângulo ∠{h+, k+}. A unicidade deduz-se da unicidade do ponto médio.

(41)

Teorema 3.21. Paralelas na geometria absoluta

1. Se r e r′ _s˜_{ao perpendiculares a uma terceira recta s, ent˜ao r e r}′ _s˜_{ao paralelas.}

2. Dado um ponto P n˜ao incidente numa recta r, existe pelo menos uma recta r′ _incidente em P e paralela a r.

3. Sejam r e r′ _{duas rectas distintas incidentes numa terceira recta s em pontos O e O}′ respectivamente. Considerem-se r+ e r′₋ as semirectas de origem O e O′, com suporte r e r′_{, respectivamente, situadas em semiplanos opostos definidos por s. Sejam s}

Oe sO′ as semirectas de origem O e O′ _{que n˜ao incidem O}′ _{e O, respectivamente.}

s s r+ r r′ sO′ sO O O′ r′ +

Se os ˆ_{angulos ∠{s}O, r+} e ∠{sO′, r′₊} s˜ao congruentes, as rectas r e r′ s˜ao paralelas.

Aten¸c˜ao ...

• o teorema anterior justifica a existˆencia de paralela, N ˜AO a unicidade;

• o teorema afirma que, se duas rectas formam com uma terceira ângulos correspondentes congruentes, as duas rectas são paralelas mas N ÃOassegura o rec´ıproco!!!!!

• por exemplo, se r e r′ _s˜_{ao paralelas, e s e r s˜}_{ao perpendiculares, N ˜}_AO _{foi provado que s} e r′ tamb´em s˜ao perpendiculares!!!!

(42)

Exerc´ıcios 3.22.

1. Prove os resultados desta seçcão. 2. (Primeira caracteriza¸cão da bissectriz)

Sejam h+, k+ semi-rectas de origem O com suportes distintos e r+ uma semi-recta de origem O

interior ao ˆangulo ∠{h+, k+}. Considerem-se um ponto C de r+ e a recta s perpendicular a r

incidente em C. Suponhamos que existem A e B, incidentes na perpendicular s e nas semi-rectas h+ e k+. Então C é o ponto médio entre A e B se e só se r+ é a bissectriz interior do ângulo.

k+ h+ r A r_C rB r O

NotaA condi¸cão exigida de que s incida num ponto A de h+e num ponto B de k+é necessária.

Existem modelos de plano que verifica os axiomas de incidência, ordem e congruência, onde a perpendicular a bissectriz nem sempre intersecta as semi-rectas que definem o ângulo.

3. Sejam h+, k+ semi-rectas de origem O de suportes distintos, r+ a bissectriz interior do ˆangulo

∠{h+, k+}. Prove que ∠{h+, r+} ´e sempre menor que um ˆangulo recto. Por outras palavras, se

um ângulo é bissector de outro, então é um ângulo agudo.

k+ k−

m+ r+

h+

s O

(Sugest˜ao: considere a semi-recta m+, incidente no mesmo semi-plano definido por k que r+ e

h+, tal que ∠{k+, m+} é recto. Assuma que m+ é interior ao ângulo ∠{k+, r+} e, usando a

transitividade e o facto que r+e h+são então interiores ao ângulo recto ∠{m+, k−}, chegue a um

(43)

4. (Congruência de triângulos rectângulos)

Um triângulo_{△ABC diz-se triângulo rectângulo quando algum dos seus ângulos internos é recto.} Sejam △ABC e △A′_B′_C′ _{triângulos rectângulos com ∠BAC e ∠B}′_A′_C′ _rectos.

Prove que, se AB _{≡ A}′_B′ _{e BC} _{≡ B}′_C′_{, ent˜}_ao_{△ABC ≡ △A}′_B′_C′_.

Note-se que este resultado N ÃO Éo critério LAL!!! q C qB q A q C′′ q C′ qB′ q A′

(Sugest˜ao: supor que A′_C′ _{< AC e considerar, na semi-recta de origem A e incidente em C, o}

ponto C′′ _{tal que AC}′′_{≡ A}′_C′_{. O triˆangulo}_△CC′′_{B resulta ser is´osceles. Aplicar o teorema do}

triângulo exterior para chegar a um absurdo) 5. (Outro critério de congruência de triângulos)

Sejam_{△ABC e △A}′_B′_C′_{dois triˆangulos do plano. Prove que, se AB}_{≡ A}′_B′_{, ∠BAC} _{≡ ∠B}′_A′_C′

e ∠BCA≡ ∠B′_C′_A′_{, ent˜}_ao_{△ABC ≡ △A}′_B′_C′_.

Note-se que este resultado N ÃO Éo critério ALA!!! q C qB q A q C′′ q C′ qB′ q A′

(Sugest˜ao: Supor que A′_C′ _{< AC e considerar o ponto C}′′ _{entre A e C tal que AC}′′ _{≡ A}′_C′_.

Aplicar LAL para obter _△C′′_AB _{≡ △C}′_A′_B′ _{e depois, usando o teorema do ˆangulo exterior,}

chegar a um absurdo)

6. (Segunda caracteriza¸c˜ao da bissectriz)

Sejam h+e k+duas semi-rectas de origem O, R um ponto interior ao ˆangulo ∠{h+, k+}.

Definem-se os pontos A e B que s˜ao, respectivamente, os p´es das perpendiculares2 _{a h e k incidentes em}

R. Prove que R incide na bissectriz interior do ˆangulo ∠{h+, k+} se e s´o se A ∈ h+, B ∈ k+ e

AR≡ BR h+ k+ q O qR q A q B

(Sugest˜ao: se R incidir na bissectriz interior, usar o teorema do ˆangulo exterior e o exerc´ıcio 3 para

2

Sejam r é uma recta, P um ponto do plano e s a perpendicular a r incidente em P . O ponto de incidência de r e s chama-se o pé da perpendicular do ponto P na recta r

(44)

obter que A∈ h+ e B ∈ k+. Aplicar de seguida o segundo critério de congruência de triângulos

rectˆangulos. Para o rec´ıproco, aplicar o primeiro crit´erio.) 7. Mediatriz de um segmento

Sejam A e B dois pontos distintos do plano. Chamamos mediatriz do segmento AB `a perpendicular `

a recta < A, B > incidente no ponto m´edio entre A e B. Prove que um ponto do plano M incide na mediatriz de um segmento se e s´o se AM_{≡ BM.}

8. O plano racional

Estude se o plano Q_{× Q satisfaz os axiomas de incidência, ordem e congruência relativamente às} rela¸cões de incidência, ordem e congruência análogas às de R_{× R.}

(45)

4 Medida e Axiomas de continuidade

Defini¸. c˜ao 4.1 Medida de segmentos

SejaS o conjunto de segmentos do plano. Uma medida de segmentos ´e uma aplica¸c˜ao µ : S −→ R+ tal que

1. Se AB e CD são segmentos do plano, tem-se AB_{≡ CD se só se µ(AB) = µ(CD).} 2. Se B está entre A e C então µ(AC) = µ(AB) + µ(BC).

3. h´a um segmento previamente fixado o que se atribui medida igual `a unidade.

Defini¸. c˜ao 4.2 Medida de ˆangulos

Seja_{A o conjunto de ângulos do plano. Uma medida de ângulos é uma aplica¸cão m∠ : A −→ R}+ tal que

1. Se ∠{h+, k+} e ∠{m+, k+} s˜ao ˆangulos do plano,

∠{h+, k+} ≡ ∠{m+, n+} ⇐⇒ m∠{h+, k+} = m∠{m+, n+}

2. Se h+, r+ e k+ são semi-rectas de origem O tais que r+ é interior ao ângulo ∠{h+, k+}, então

m∠{h+, k+} = m∠{h+, r+} + m∠{r+, k+}

3. um ˆangulo recto tem por medida um n´umero real positivo, previamente fixado.

Exerc´ıcio 4.3. Congruˆencia de segmentos no plano afim real

Recorde-se que, no plano afim real, foi definida uma rela¸c˜ao “estar entre” que verifica os axiomas de ordem (exemplo 2.6). Dados A e B pontos do plano, define-se o comprimento do segmento AB e designa-se como AB por

AB :=p(b1− a1)2+ (b2− a2)2

onde A = (a1, a2) e B = (b1, b2). Dois segmentos AB e CD dizem-se congruentes quando tiverem o

mesmo comprimento, isto ´e, quando AB = CD.

1. Sejam A e B pontos do plano afim real. Verifique que um ponto C incide na semi-recta de origem A incidente em B se e s´o se C = A + λ−−→AB com λ > 0.

O vector −→AB diz-se um vector director da semi-recta de origem A e incidente em B. Note-se que um ponto C incide ent˜ao na semi-recta oposta `a semi-recta incidente em B quando C = A + λ−→AB com λ < 0 ou, equivalentemente, quando C = A + λ′_(−−→_{AB) com λ}′ _{> 0, assim −−→}_{AB ´}_{e um vector director da semi-recta de origem B oposta `}_a

incidente em B.

2. Prove que existe um ponto I, na semi-recta de origem A e incidente em B, tal que AI = 1 3. Prove que a rela¸c˜ao de congruˆencia definida nos segmentos do plano afim real verifica os axiomas

III-1 e III-2 de congruˆencia.