MicroFinanceira Slide5 FrontMV

(1)

Microeconomia Financeira

Jos ´e Guilherme de Lara Resende Departamento de Economia – UnB

(2)

1 _{Fronteira de M ´edia Vari ˆancia}

Introduc¸ ˜ao

Fronteira de M ´edia Vari ˆancia

2 Carteira Tangente Introduc¸ ˜ao

C ´alculo da Carteira Tangente 3 _{Escolha de Carteira}

Linha de Alocac¸ ˜ao de Capital Problema do Investidor

(3)

Introduc¸ ˜ao

2 Carteira Tangente

Introduc¸ ˜ao

C ´alculo da Carteira Tangente

3 _{Escolha de Carteira}

(4)

Introduc¸ ˜ao

2 Carteira Tangente

Introduc¸ ˜ao

(5)

Introduc¸ ˜ao

Fronteira de M ´edia Vari ˆancia 2 Carteira Tangente

Introduc¸ ˜ao

(6)

Vamos supor por enquanto que existam apenas dois ativos com risco, A e B. Considere a seguinte notac¸ ˜ao:

xA: fraç ão da renda investida no ativo A xB: fraç ão da renda investida no ativo B

Por definic¸ ˜ao, xA+ xB = 1, logo xB = 1 − xA

Vamos assumir que xA, xB ≥ 0 (ou seja,vendas a descoberto de qualquer um dos ativos n ão s ão permitidas). O valor esperado da carteira é:

(7)

Vamos supor por enquanto que existam apenas dois ativos com risco, A e B. Considere a seguinte notac¸ ˜ao:

xA: fraç ão da renda investida no ativo A xB: fraç ão da renda investida no ativo B

Por definic¸ ˜ao, xA+ xB = 1, logo xB = 1 − xA

Vamos assumir que xA, xB ≥ 0 (ou seja,vendas a descoberto

de qualquer um dos ativos n ão s ão permitidas). O valor esperado da carteira é:

(8)

A vari ˆancia da carteira ´e:

σ2_p= x2_Aσ_A2+ x2_Bσ_B2+ 2xAxBσAB

= x2AσA2+ (1 − xA)2σ2B+ 2xA(1 − xA)σAB = x2AσA2+ (1 − xA)2σ2B+ 2xA(1 − xA)σAσBρAB

Vamos analisar tr ˆes casos em particular (dois casos extremos e um intermedi ´ario).

(9)

= x2AσA2+ (1 − xA)2σ2B+ 2xA(1 − xA)σAB

= x2AσA2+ (1 − xA)2σ2B+ 2xA(1 − xA)σAσBρAB

(10)

(11)

(12)

Nesse caso, a vari ˆancia da carteira ´e:

σp2= x2AσA2+ (1 − xA)2σB2+ 2xA(1 − xA) σAσB O desvio-padr ˜ao ´e:

σp =

q x2_Aσ2

A+ (1 − xA)

2_σ2

B+ 2xA(1 − xA) σAσB

= σB+ xA(σA− σB) ,

j ´a que xAσA+ (1 − xA)σB > 0, para todo 0 ≤ xA≤ 1.

Escrevendo a última express ão acima em funç ão de xA, obtemos:

xA= σP− σB

(13)

Substituindo essa express ˜ao para xA no retorno esperado da carteira, encontramos: ErP = ErB+ σP− σB σA− σB (ErA− ErB) =

ErB+ ErB− ErA

σA− σB σB | {z } intercepto + ErA− ErB σA− σB | {z } inclinac¸ ˜ao σP

(14)

O gr ´afico abaixo, cujos eixos s ˜ao retorno esperado e

desvio-padr ão, ilustra a relaç ão acima entre ERpe σp(estamos

supondo que o ativo A possui menor retorno esperado e vari ˆancia do que o ativo B).

(15)

6 -Er σ A B r r

(16)

Nesse caso, a vari ˆancia da carteira ´e:

σp2= x2AσA2+ (1 − xA)2σB2− 2xA(1 − xA) σAσB

O desvio-padr ˜ao ´e:

σp =

q

(17)

Temos que considerar duas possibilidades:

1 _x2

AσA2+(1 − xA) 2_σ2

B−2xA(1 − xA) σAσB = (xAσA−(1−xA)σB)2.

Nesse caso,

σp= |xAσA− (1 − xA)σB| = |− σB+ xA(σA+ σB)|

2 _x2

AσA2+ (1 − xA) 2_σ2

B− 2xA(1 − xA) σAσB =

(−xAσA+ (1 − xA)σB)2_{. Nesse caso,}

(18)

Vamos analisar o primeiro caso, que se subdivide em dois.

Observe que se xA = σB/(σA+ σB), ent ˜ao σp= 0. Portanto:

1 _{Se xA} ≥ σ_B/(σA_{+ σB), ent ˜ao −σB}_{+ xA(σA}_{+ σB) ≥ 0 e}

σp= −σB+ xA(σA+ σB). Nesse caso,

xA = σp+ σB

σA+ σB (1)

2 _{Se xA} _{< σB/(σA}_{+ σB), ent ˜ao −σB}_{+ xA(σA}_{+ σB) < 0 e}

σp= −(−σB+ xA(σA+ σB)). Nesse caso,

xA =

σB− σp

(19)

Substituir xAdado pela equaç ão (1) na express ão para o retorno esperado da carteira resulta em:

Erp= σP+ σB σA+ σB ErA+ 1 −σP+ σB σA+ σB ErB = σBErA+ σAErB σA+ σB + ErA− ErB σA+ σB σP (3)

(20)

J á substituir xAdado pela equaç ão (2) na express ão para o retorno esperado da carteira resulta em:

ErP= σB− σP σA+ σB ErA+ 1 −σB− σP σA+ σB ErB = σBErA+ σAErB σA+ σB − ErA− ErB σA+ σB σp (4)

(21)

Para 0 ≤ xA < σB/(σA+ σB), vale a equac¸ ˜ao (4), para

σB/(σA+ σB) ≤ xA≤ 1, vale a equac¸ ˜ao (3).

Essas duas equaç ões possuem o mesmo intercepto no eixo das ordenadas e possuem inclinaç ões opostas em sinal, mas iguais em valor absoluto.

(22)

6 -Er σ H H H H H HH r B r A r

(23)

O segundo caso, em que σp= |− xAσA+ (1 − xA)σB|, pode ser analisado de forma semelhante, e leva ao mesmo tipo de

soluç ão. Observe que se xA= σB/(σA+ σB), ent ão σp= 0.

Portanto:

1 _{Se xA} ≤ σ_B/(σA_{+ σB), ent ˜ao σB}− x_A(σA_{+ σB}_{) ≥ 0 e}

σp= σB− xA(σA+ σB). Nesse caso,

xA = σp+ σB

σA+ σB (5)

2 _{Se xA} _{> σB/(σA}_{+ σB), ent ˜ao σB}− x_A(σA_{+ σB}_{) < 0 e}

σp= −(σB− xA(σA+ σB)). Nesse caso,

xA = σB− σp

(24)

´

E f ´acil notar que substituir os valores de xA obtidos acima

levam a express ˜oes an ´alogas a (3) e (4) (mas com os

intervalos para xAassociados a essas equac¸ ˜oes trocados).

Ou seja, obtemos uma figura com o mesmo formato da anterior.

Portanto, se ρAB= −1, sempre ser ´a poss´ıvel determinar pesos

(25)

Nesse caso, a vari ância da carteira é: σp2= x2AσA2+ (1 − xA)2σB2 O desvio-padr ão é:

σp = q x2_Aσ2 A+ (1 − xA) 2_σ2 B Portanto, temos que:

σp=

q

x2_Aσ2_A+ (1 − xA)2σ2_B

(26)

Combinamos as duas últimas equaç ões acima para escrever: ErP = f (σP) ,

(27)

6 -Er σ r A r B

(28)

Introduc¸ ˜ao

2 Carteira Tangente Introduc¸ ˜ao

(29)

Em geral, temos uma quantidade grande de ativos financeiros à disposiç ão do investidor.

Queremos caracterizar afronteira de m ´edia-vari ˆancia(apesar

desse nome, na verdade iremos determinar uma fronteira de m ´edia e desvio-padr ˜ao).

Ou seja, queremos identificar para cada n´ıvel de retorno esperado, a carteira com menor vari ˆancia.

(30)

Logo, o problema que queremos resolver ´e: min x1,...,xn σ 2 p s.a. Erp= µ , isto ´e, min x1,...,xn n X i=1 x2_iσ_i2+X i6=j

xixjσij s.a. x1Er1+· · ·+xnErn= µ ,

n X

i=1 xi = 1

(31)

O problema escrito em forma matricial ´e: min

x1,...,xn x

T_{Ω x} _s.a. _xT

Er = µ , xT1 = 1 ,

onde x ´e o vetor de dimens ˜ao n × 1 de pesos (o superescritoT

indica a transposta de vetores ou matrizes), Ω é a matriz de vari ância e covari ância e Er é o vetor de retornos esperados, e

(32)

x =      x1 x₂ .. . xn      , Ω =      σ₁2 σ12 . . . σ1n σ21 σ22 . . . σ2n .. . ... . .. ... σn1 σn2 . . . σ_n2      , Er =      Er1 Er2 .. . Ern      , 1 =      1 1 .. . 1     

(33)

O Lagrangeano do problema ´e:

L = xTΩx + 2λ[µ − xTEr] + 2δ[1 − xT1] ,

onde 2λ e 2δ s ão multiplicadores de Lagrange (escrevemos os multiplicadores de Lagrange multiplicados por 2, j á que isso n ão altera a soluç ão do problema e simplifica a CPO para x, como veremos abaixo).

As CPO em x levam a:

(34)

Incorporando o valor de x acima nas restric¸ ˜oes do problema, obtemos:

ErTx = Er Ω−1(λEr + δ1) = µ

1Tx = 1TΩ−1(λEr + δ1) = 1 Em termos matriciais, temos:

A B B C ·λ δ =Er T_Ω−1_Er _ErT_Ω−1₁ 1TΩ−1Er 1TΩ−11 ·λ δ =µ 1 , onde A = ErTΩ−1Er, B = ErTΩ−11 = 1TΩ−1Er e C = 1TΩ−11.

(35)

Lembrando que para uma matriz dois por dois, a inversa ´e: M=A B B C ⇒ M−1 = 1 det(M) C −B −B A

(36)

Obtemos:

λ = Cµ − B

AC− B2 e δ =

A− Bµ

AC− B2

Substituindo esses valores na express ˜ao acima para x, encontramos:

x = Ω−1 Er(Cµ − B) + 1(A − Bµ)

AC− B2

(37)

Substituindo o valor ótimo de x na f órmula da vari ância da

carteira xT_{Ω x, obtemos:}

σp2=

Cµ2− 2Bµ + A

AC− B2 , (7)

ou seja, a vari ância m´ınima é uma funç ão quadr ática do retorno esperado.

Logo, no espaço retorno esperado/desvio-padr ão, o gr áfico abaixo deve ilustrar uma hip érbole.

(38)

Se minimizarmos (7) na escolha de µ, encontramos

µmin = B/C. Para esta carteira, chamadacarteira de vari ˆancia

m´ınima, os pesos s ˜ao:

x = Ω−11/1TΩ−11

Finalmente, é poss´ıvel gerar toda fronteira de m édia vari ância usando apenas duas carteiras distintas sobre a fronteira.

(39)

6

-Er

σ Fig. 4: Fronteira de M ´edia-Vari ˆancia

(40)

Observe que para calcular a fronteira de m édia e vari ância dos ativos com risco precisamos calcular o retorno esperado de cada ativo e a matriz de vari ância e covari ância desse ativos, ou seja, todas as vari âncias individuais e todas as covari âncias entre cada par de ativos.

Um investidor ir ´a escolher carteiras nafronteira eficiente, ou

seja, na parte crescente da fronteira de m édia e vari ância. Mas ser á poss´ıvel restringir mais o conjunto de ativos com risco que um investidor deve escolher, ainda sem supor nada sobre a forma funcional espec´ıfica da sua funç ão de utilidade? A pr óxima seç ão mostra que sim.

(41)

1 _{Fronteira de M édia Vari ância} Introduç ão

2 Carteira Tangente

Introduc¸ ˜ao

(42)

Vamos supor que a utilidade do indiv´ıduo é do tipo de m édia e vari ância, em que maior a m édia (o retorno esperado), maior a utilidade, e menor a vari ância, maior a utilidade (indiv´ıduo avesso ao risco).

O exemplo abaixo mostra que alavancar cria a possibilidade de carteiras com retornos esperados maiores, mas ao custo de volatilidades mais elevadas.

(43)

Suponha dois ativos, A e B, tais que ErA = 8%, σA = 3%, ErB = 14%,

σB= 6% e ρAB= 0,5. Vamos supor que vendas a descoberto s ˜ao

permitidas e que o indiv´ıduo tem uma renda de R$ 100 para investir. Se ele investir apenas em B (carteira xA = 0 e xB= 1), ele obt ´em um

retorno esperado de 14%.

Suponha que xA= −10 e xB= 11 (note que xA+ xB = 1). Ou seja, ele

vende R$ 1000 do ativo A a descoberto, que a um retorno esperado de 8% implica −80 de retorno esperado, ou seja, 80% da renda dele. Se ele usa os R$ 1000 adquiridos com a venda a descoberto, somados a sua renda de R$ 100, para investir em B, ele obt ´em um retorno esperado de R$ 154, ou seja, 154% da renda inicial. O payoff esperado final ´e de R$ 74, ou seja, um retorno esperado de 74%.

(44)

Suponha que xA= −10 e xB= 11 (note que xA+ xB = 1).Ou seja, ele vende R$ 1000 do ativo A a descoberto, que a um retorno esperado de 8% implica −80 de retorno esperado, ou seja, 80% da renda dele. Se ele usa os R$ 1000 adquiridos com a venda a descoberto, somados a sua renda de R$ 100, para investir em B, ele obt ´em um retorno esperado de R$ 154, ou seja, 154% da renda inicial. O payoff esperado final ´e de R$ 74, ou seja, um retorno esperado de 74%.

(45)

Suponha que xA= −10 e xB= 11 (note que xA+ xB = 1). Ou seja, ele

vende R$ 1000 do ativo A a descoberto, que a um retorno esperado de 8% implica −80 de retorno esperado, ou seja, 80% da renda dele. Se ele usa os R$ 1000 adquiridos com a venda a descoberto, somados a sua renda de R$ 100, para investir em B, ele obt ´em um retorno esperado de R$ 154, ou seja, 154% da renda inicial. O payoff esperado final ´e de R$ 74, ou seja, um retorno esperado de 74%.

(46)

Portanto,a alavancagem serviu para aumentar o retorno esperado. É f ácil perceber que se aumentarmos mais a alavancagem, aumentaremos o retorno esperado obtido. Por ém essa estrat égia tamb ém aumenta o risco:

σ_p2= x2_Aσ_A2+ x2_Bσ2_B+ xAxBσAσBρAB

= (−10)2(3%)2+ (11)2(6%)2+ 2(−10)(11)(3%)(6%)0,5

= 32,76%

Ou seja, o desvio-padr ão da carteira é 57,24%. Portanto, a alavancagem de fato permite obter um retorno esperado mais alto, mas à custa de mais risco.

(47)

Logo, queremos uma medida que leve em conta esse trade-off entre retorno esperado e risco.

Suponha que existe um ativo sem risco, cujo retorno ´e rf.

A medida que iremos usar ´e chamadataxa Sharpe(Sharpe

ratio), definida como:

TSp= Erp− rf σp

(48)

Essa medida leva em conta o trade-off entre retorno esperado

e risco. Suponha rf = 2%. A taxa Sharpe para os dois

portf ´olios do exemplo acima s ˜ao:

TS(xA= 0, xB = 1) = 14% − 2%

6% = 2

TS(xA= −10, xB = 11) = 74% − 2%

57,24% ≈ 1,26

Portanto o portf ólio alavancado tem uma taxa Sharpe menor do que o portf ólio n ão-alavancado, indicando que o aumento de retorno esperado foi à custa de um aumento mais do proporcional no risco.

(49)

2 Carteira Tangente

Introduc¸ ˜ao

(50)

Logo, nosso objetivo ´e determinar acarteira tangente(ou portf ´olio tangente), ou seja, a carteira de ativos com risco com a maior taxa Sharpe poss´ıvel.

O gr áfico abaixo ilustra essa carteira para a fronteira de m édia vari ância considerada.

(51)

6 -Er σ rf r

(52)

O problema ent ˜ao que queremos resolver ´e: max x1,...,xn E(rp) − rf σp s.a. n X i=1 xi= 1 (8)

(53)

Vamos considerar quatro casos:

1 _{Vendas a descoberto s ˜ao permitidas e ´e poss´ıvel aplicar e}

tomar dinheiro emprestado `a taxa de juros sem risco;

2 _{Vendas a descoberto s ão permitidas, mas n ão é poss´ıvel}

aplicar e tomar dinheiro emprestado;

3 _{Vendas a descoberto n ão s ão permitidas, mas é poss´ıvel}

aplicar e tomar dinheiro emprestado;

4 _{Nem as vendas a descoberto s ˜ao permitidas, nem}

aplicaç ões ou empr éstimos à taxa de juros sem risco s ão permitidos.

(54)

Esse ´e o caso mais geral, em que o problema ´e: max x1,...,xn E(rp) − rf σp s.a. n X i=1 xi= 1

Substituindo as express ˜oes para Erpe σp, obtemos:

max x1,...,xn (x1Er1+ x2Er2+ · · · + xnErn) − rf Pn i=1x2iσ2i + Pn i=1 Pn

j=1,j6=ixixjσij 1₂ s.a. n X i=1 xi= 1

Como podemos resolver o problema acima? Dois modos:

1 _{Computacionalmente,}

(55)

Vamos resolver o problema usando o m ´etodo de Lagrange.

Observe que comoPn_i=1xi= 1, temos que:

rf = 1 · r_f = n X i=1 xi ! rf = n X i=1 xi· rf

Logo, se reescrevermos o problema como: max x1,...,xn Pn i=1xi Eri− rf Pn i=1x2iσi2+ Pn i=1 Pn j=1,j6=ixixjσij 1₂ ,

(56)

Para facilitar a notac¸ ˜ao, vamos denotar: A12 =   n X i=1 x2_iσ_i2+ n X i=1 n X j=1,j6=i xixjσij   1 2

As CPO do problema acima para cada peso xk, k = 1, . . . , n, s ˜ao: (Erk− rf) A− 1 2+ −1 2 n X i=1 xi(Eri− rf) ! A−32  2xkσ2k+ 2 n X j=1,j6=i xjσkj  = 0

(57)

Multiplicando a CPO acima para xk por A 1 2 resulta em: Erk− rf − n X i=1 xi Eri− rf ! A−1  xkσk2+ n X j=1,,j6=i xjσkj  = 0 (9) Vamos denotar por λ a seguinte express ˜ao:

λ = n X i=1 xi Eri− rf ! A−1= Erp− rf σ2 p

(58)

Substituindo essa express ão para λ na equaç ão (9) e rearranjando essa equaç ão, obtemos:

Erk− rf = λ  xkσ_k2+ n X j=1,,j6=i xjσkj   = λxkσ2k + λx1σk1+ λx2σk2+ · · · + λxnσkn = zkσk2+ z1σk1+ z2σk2+ · · · + znσkn onde zi= λxi, para todo k = 1, . . . , n.

(59)

Listando todas as CPOS obtemos: Er1− rf = z1σ21+ z2σ12+ · · · + znσ1n Er2− rf = z1σ21+ z2σ22+ · · · + znσ2n .. . Ern− rf = z1σn1+ z2σn2+ · · · + znσn2

(60)

     Er1− rf Er2− rf .. . Ern− rf      =      σ2₁ σ12 . . . σ1n σ21 σ22 . . . σ2n .. . ... . .. ... σn1 σn2 . . . σ2n      | {z } =Ω ·      z1 z₂ .. . zn     

(61)

Como a matriz de vari ância e covari ância Ω é invert´ıvel, temos que:      z1 z₂ .. . zn      = Ω−1      Er1− rf Er2− rf .. . Ern− rf      (10)

(62)

Ou seja, encontramos z1, . . . , zncomo funç ão dos par âmetros do problema (os retornos esperados, as vari âncias e as covari âncias dos ativos).

Por ém, queremos encontrar as fraç ões x1, . . . , xn da renda investidas nos ativos. Mas determinados z1, . . . , zn,

recuperamos os pesos ´otimos x1, . . . , xnfazendo:

zk Pn

i=1zi

= λxk

λPn_i=1xi = xk, (11)

(63)

Portanto, a determinaç ão dos pesos ótimos exige o c álculo da matriz de vari ância e covari ância Ω e do retorno esperado de cada ativo, assim como no caso da determinaç ão da fronteira de m édia e vari ância.

Uma vez que estimamos esses par ˆametros, podemos calcular

z1, . . . , zn facilmente por meio de (10). Uma vez calculados

(64)

Neste caso, podemos determinar a fronteira eficiente

resolvendo o problema (8),supondo diversos valorespara rf.

Ou seja, repetimos o procedimento na subsec¸ ˜ao anterior, para

diversos valores diferentes de rf.

Desse modo, delineamos a fronteira eficiente dos ativos com risco.

(65)

Neste caso, precisamos impor restriç ões sobre as fraç ões xi. Como vendas a descoberto n ão s ão poss´ıveis, ent ão o problema agora se torna:

max x1,...,xn E(rp) − rf σp s.a. n X i=1 xi = 1, xi ≥ 0, ∀i = 1, . . . , n

Podemos resolver esse problema computacionalmente ou usando o m ´etodo de Kuhn-Tucker.

(66)

Neste caso, repetimos o caso anterior, em que foram impostas nrestric¸ ˜oes xi ≥ 0,supondo diversos valorespara rf.

Ou seja, repetimos o procedimento na subsec¸ ˜ao anterior, para

diversos valores diferentes de rf (similar à an álise na subseç ão

3.2).

Desse modo, delineamos a fronteira eficiente dos ativos com risco, sem que seja poss´ıvel vender qualquer desses ativos a descoberto.

(67)

Introduc¸ ˜ao

Linha de Alocac¸ ˜ao de Capital

(68)

Suponha que determinamos a carteira tangente, que maximiza a taxa Sharpe, e denote essa carteira com o subscrito p. Suponha que exista um ativo sem risco, cujo retorno ´e

denotado por rf.

O problema do investidor é decidir quanto investir no ativo sem risco e na carteira tangente, ou seja, determinar a fraç ão da riqueza x que deve ser investida na carteira tangente o que, por sua vez, determina a fraç ão da riqueza investida no ativo sem

risco, 1 − x. Vamos denotar por rc e por σc2o retorno e a

vari ˆancia dessa carteira formada pelo ativo livre de risco e pela carteira tangente.

(69)

Por definic¸ ˜ao, como rc= xrp+ (1 − x)rf, temos que:

Erc = xErp+ (1 − x)rf (12)

σ2c = x2σp2 (13)

Observe que a express ˜ao para σ2

c resulta em:

x= σc

σp

Se substituirmos esse valor para x na express ˜ao do retorno esperado da carteira c, obtemos:

Erc = rf + Erp− rf x Erc = rf + Erp− rf | {z } σc σp pr ˆemio ao risco

(70)

Rearranjando essa express ˜ao, obtemos: Erc = rf + Erp− rf

σp

σc

Essa equaç ão define uma reta no espaço retorno-esperado×desvio-padr ão.

Ela é chamadalinha de alocaç ão de capital(LAC), em ingl ês,

(71)

A CAL decomp ˜oe o retorno esperado da carteira completa em:

1 _{taxa sem risco; mais}

2 (taxa de retorno m ´edio/volatilidade) × quantidade de risco.

Observe que:

rf ´e o intercepto,

(72)

A CAL mostra as combinaç ões (os pares) de {Erc, σc} fact´ıveis, isto é, que podem ser alcançadas usando uma carteira

composta da carteira tangente p e do ativo sem risco.

Vale ent ão oTeorema de Separaç ão em Dois Fundos: Todo

investidor, independentemente de suas prefer ências, deve investir apenas em uma carteira formada por dois ativos: o ativo sem risco e a carteira tangente (alguns autores chamam esse resultado de separaç ão em um fundo, j á que n ão

(73)

Introduc¸ ˜ao

Linha de Alocac¸ ˜ao de Capital

(74)

Queremos determinar o ponto na CAL escolhido pelo investidor, ou seja, quais fraç ões da renda ele ir á alocar no ativo sem risco e na carteira tangente.

Claramente, a composic¸ ˜ao dessa carteira completa depende da utilidade do investidor. A figura abaixo ilustra esse processo.

(75)

6 -Er σ rf

Linha de Alocaç ão de Capital Inclinaç ão (preço do risco): Erp−rf

σp

r E

(76)

Suponha que o investidor tenha uma utilidade do tipo m ´edia-vari ˆancia:

U= E (rc) − 0,005 A σ_c2 (14)

onde A > 0 ´e um coeficiente de avers ˜ao ao risco.

Observac¸ ˜oes:

A= 0: investidor neutro ao risco: se importa apenas com o

retorno esperado, n ˜ao se importa com volatilidade;

(77)

Se substituirmos as express ões (12) e (13) na utilidade de m édia-vari ância (equaç ão 14), obtemos:

U= xErp+ (1 − x)rf − 0, 005Ax2σ2p = rf + Erp− rf x − 0, 005Ax2σ2p

O problema do investidor ´e: max

x rf + Erp− rf x − 0, 005Ax

2_σ2 p

(78)

A CPO resulta em:

Erp− rf − 0,01 A σp2x= 0

Resolvendo a CPO para x, encontramos: x∗ = Erp− rf

0,01 A σ2 p

(79)

Observe que a fraç ão ótima investida na carteira tangente x∗ é maior quanto:

Maior for o excesso de retorno de p (i.e., Erp− rf),

Menor for a vari ˆancia σ2

p da carteira tangente,

Menor a avers ão ao risco do indiv´ıduo (A) (ou seja, maior a fraç ão da renda investida no ativo sem risco).