Análise e controle de sistemas de estrutura variável

(1)

An´

alise e Controle de Sistemas

de Estrutura Vari´

avel

(2)

em Engenharia El´etrica

An´

alise e Controle de Sistemas

de Estrutura Vari´

avel

Disserta¸c˜ao submetida `a

Universidade Federal de Santa Catarina como parte dos requisitos para a

obten¸c˜ao do grau de Mestre em Engenharia El´etrica.

Felipe Borges Cunha

(3)

Felipe Borges Cunha

‘Esta Disserta¸cão foi julgada adequada para a obten¸cão do T´ıtulo de Mestre em Engenharia Elétrica, Área de Concentra¸cão em Controle, e

aprovada em sua forma final pelo Programa de Pós-Gradua¸cão em Engenharia Elétrica da Universidade Federal de Santa Catarina.’

Florian´opolis, 28 de Junho de 2002.

Prof. Daniel Juan Pagano, Dr. Orientador

Prof. Edson Roberto de Pieri, Dr.

Coordenador do curso de Pós-Gradua¸cão em Engenharia Elétrica

Banca Examinadora:

Prof. Daniel Juan Pagano, Dr.

Prof. Edson Roberto de Pieri, Dr.

Prof. Ivo Barbi, Dr.

(4)

Agrade¸co, em primeiro lugar, aos meus pais, Maria Ang´elica

da Silveira Borges e Arlindo Camilo da Cunha Filho, pelo apoio

constante e pela compreens˜ao.

Desejo também expressar um agradecimento especial ao meu orientador, Prof. Daniel Juan Pagano, pela dedica¸cão, compa-nheirismo e paciência.

Manifesto também meus sinceros agradecimentos aos mem-bros da banca, Prof. Ivo Barbi, pelo inestimável apoio prestado pelo Instituto de Eletrônica de Potência, Prof. Edson Roberto de

Pieri pelas valorosas discuss˜oes dentro e fora da sala de aula, e Prof. Ubirajara Franco Moreno, por seus coment´arios que

con-tribu´ıram para a consistência e rigor matemático deste trabalho. Quero expressar também imensa gratidão aos colegas do INEP, sem os quais este trabalho não teria sido poss´ıvel, especialmente,

Wail Metzker Pastorello Filho, Denise Gerardi, Rogers Demonti

e C´ıcero Postiglione, os quais contribu´ıram ativamente trabalhan-do em colabora¸c˜ao comigo e com o Departamento de Automa¸c˜ao e Sistemas.

Não posso deixar de fora os colegas e professores do DAS com quem convivi durante dois anos, e que me deram o ambiente de amizade e companheirismo indispensável à realiza¸cão deste tra-balho. Obrigado a todos vocês!

Agrade¸co à Universidade Federal de Santa Catarina, bem co-mo a todos os seus funcionários, especialmente aos daPós-Gradua¸cão

em Engenharia El´etrica, por todo o suporte log´ıstico.

Agrade¸co `a COPENE - Petroqu´ımica do Nordeste S.A. pela oportunidade e apoio financeiro.

(5)

AN ´

ALISE E CONTROLE DE SISTEMAS

DE ESTRUTURA VARI ´

AVEL

Felipe Borges Cunha

Junho de 2002 Orientador : Daniel Juan Pagano,Dr.

Area : Controle

Palavras-chave : Sistemas não-lineares, sistemas de estrutura variável, controle por modos deslizantes, bifurca¸cões,

biomatemática, modelo Lotka-Volterra, eletrônica de potência, conversor boost Número de Páginas :171

Este trabalho explora uma nova abordagem para análise e controle dos sistemas de estrutura variável. Tais sistemas, mesmo quando formados por estruturas lineares, ao sofrerem comuta¸cão entre essas estruturas, se tor-nam não-lineares. Além disso, a comuta¸cão introduz descontinuidades nas equa¸cões dinâmicas do sistema. Essas duas propriedades — não-linearidade e descontinuidade — conferem caracter´ısticas únicas aos sistemas de estrutura variável, podendo ainda, fazer surgir certos tipos de bifurca¸cões próprias des-ses sistemas. Alguns dos fenômenos resultantes dessas bifurca¸cões já foram relatados na literatura e observados na prática, principalmente, em certos artefatos tecnológicos, a exemplo dos conversores de potência, que proces-sam a energia elétrica por meio de circuitos eletrônicos que alternam entre diferentes estruturas dinâmicas. Os fenômenos não-lineares nesses sistemas

descont´ınuos ainda constituem tema pouco explorado se comparados aos

sis-temas cont´ınuos. É preciso, pois, empreender novos esfor¸cos de pesquisa, no sentido de combinar o conhecimento já adquirido no dom´ınio dos sistemas de estrutura variável com os resultados advindos da teoria qualitativa dos sistemas dinâmicos. Por isso, este trabalho faz uma incursão nesse campo, buscando um novo foco de análise e propondo a constru¸cão de um fundamento teórico para o estudo de bifurca¸cões em sistemas de estrutura variável. Neste sentido, aplica¸cões em Eletrônica de Potência e Biomatemática são trazidas como exemplo, para evidenciar a ocorrência das novas bifurca¸cões previstas pelo método de análise proposto. E, respaldado nos resultados obtidos com a análise de bifurca¸cões, métodos de s´ıntese de controladores são também apresentados.

(6)

VARIABLE STRUCTURE SYSTEMS

ANALYSIS AND CONTROL

Felipe Borges Cunha

Advisor : Daniel Juan Pagano

Area : Control

Keywords : Nonlinear systems, variable structure systems, sliding mode control, bifurcation, biomathematics, Lotka-Volterra model, power electronics, boost converter Number of Pages :171

This work explores a new approach to the analysis and control of vari-able structure systems. Even when composed by several linear structures, such systems become nonlinear because of the switching between its structu-res. In addition, the switching brings discontinuities into the system’s state equation. Some particular features arise in variable structure systems just because of these two properties — nonlinearity and discontinuity. These fe-atures include some bifurcation phenomena that are exclusive to these kind of system. Some of these bifurcations have been reported already, either in nonlinear-related publications or in the specialized literature of Power Elec-tronics, witch is a great field of interest for variable structure systems, since most of the power converter devices are based on switching, implemented by semiconductor devices that form a switching circuit. Nonlinear phenomena appear quite frequently in these kind of discontinuous system. However, there is still little knowledge in this area, if one compares it with the wide kno-wledge about continuous systems. Therefore, it seems necessary to develop a solid ground where to build further levels of understanding about nonlinear phenomena in variable structure systems. In particular, the combination of the qualitative theory of dynamic systems with the already familiar theory of variable structure systems appears to be very promising. That is why the approach proposed in this work seeks the construction of a theoretical basis for investigation concerning bifurcations in variable structure systems. This theoretical effort comes along with practical applications covering the fields of Power Electronics and Biomathematics. Examples are presented in order to clarify some concepts in order to bring about new bifurcations predicted by the analysis method proposed in this work. Finally, controller design techniques are derived based upon these new tools.

(7)

1 Introdu¸c˜ao 13

1.1 Sistemas N˜ao-Lineares . . . 13

1.2 Sistemas de Estrutura Vari´avel . . . 15

1.3 Eletrˆonica de Potˆencia . . . 17

1.4 Objetivos e Organiza¸c˜ao do Trabalho . . . 18

2 Sistemas de Estrutura Variável 20 2.1 Equa¸cões Diferenciais e Modelagem de Sistemas Dinâmicos . . 20

2.1.1 Representa¸cão Matemática de Sistemas Dinâmicos . . . 21

2.1.2 Existˆencia e Unicidade de Solu¸c˜oes . . . 25

2.2 Sistemas Descont´ınuos . . . 27

2.2.1 Exemplos . . . 28

2.2.2 Modelagem de Sistemas Descont´ınuos . . . 31

2.2.3 A Descontinuidade como N˜ao Linearidade . . . 34

2.3 Solu¸c˜ao de Sistemas de Estrutura Vari´avel . . . 36

2.3.1 Solu¸c˜oes Generalizadas . . . 36

2.3.2 Modos Deslizantes . . . 39

2.3.3 Condi¸c˜ao de Existˆencia de Modos Deslizantes . . . 44

2.3.4 Pontos de Equil´ıbrio em Sistemas de Estrutura Vari´avel 47 2.4 Controle por Modos Deslizantes . . . 48

3 Bifurca¸cões em Sistemas de Estrutura Variável 50 3.1 Sistemas Não-lineares e suas Bifurca¸cões . . . 50

3.2 Bifurca¸c˜oes Associadas a Modos Deslizantes . . . 54

4 Aplica¸cões em Biomatemática 58 4.1 Introdu¸cão a Biomatemática . . . 58

4.2 Modelagem Ecol´ogica . . . 60

4.3 O Modelo Lotka-Volterra . . . 61

(8)

4.4.1 An´alise dos Equil´ıbrios . . . 64

4.4.2 An´alise de Bifurca¸c˜oes . . . 75

4.5 Observa¸c˜oes Finais . . . 81

5 Aplica¸cões em Eletrônica de Potência 84 5.1 Introdu¸cão . . . 84 5.2 Eletrônica de Potência . . . 85 5.2.1 Modelagem de Conversores . . . 87 5.2.2 Controle de Conversores . . . 90 5.3 O Conversor Boost CC-CC . . . 91 5.3.1 Modelagem do Boost . . . 92

5.3.2 Valida¸c˜ao dos Modelos . . . 102

5.3.3 Crit´erios e Objetivos de Controle . . . 107

5.4 An´alise de Bifurca¸c˜oes no Conversor Boost . . . 111

5.4.1 Determina¸c˜ao de Ψ . . . 114

5.4.2 Condi¸c˜ao de Existˆencia de Ω . . . 117

5.4.3 Equil´ıbrios em Modo Deslizante . . . 120

5.4.4 Discuss˜ao . . . 130

5.5 Controle do Boost e Suas Limita¸c˜oes . . . 132

5.5.1 Rejei¸c˜ao de Perturba¸c˜oes de Carga . . . 132

5.5.2 Controlador Linear . . . 136

5.5.3 Controlador de Estrutura Vari´avel com Adapta¸c˜ao Fe-edforward . . . 140

5.6 Controle do Boost Usando Filtro Washout . . . 147

5.6.1 Filtros Washout . . . 147

5.6.2 M´etodo de S´ıntese . . . 151

5.6.3 Simula¸c˜ao do Modelo . . . 156

5.6.4 Discuss˜ao . . . 158

(9)

2.1 Representa¸c˜ao esquem´atica do modelo de um sistema f´ısico. . 22

2.2 Representa¸c˜ao esquem´atica do sistema em malha fechada. . . 24

2.3 Campo vetorial e solu¸c˜oes do sistema do Exemplo 2.2. . . 29

2.4 Sistema massa-mola com atrito seco. . . 30

2.5 Trajet´orias no espa¸co de estados do sistema (2.20) . . . 31

2.6 Campo vetorial e solu¸cões do sistema de estrutura variável (2.34) 37 2.7 Combina¸cão convexa das velocidades de fase nos pontos de descontinuidade. . . 43

2.8 Modo deslizante no duplo integrador . . . 46

3.1 Diagrama da bifurca¸c˜ao de forquilha. . . 51

3.2 Diagramas de fase do sistema (3.1). . . 52

4.1 Diagramas do fluxo das solu¸c˜oes no espa¸co de estados do sis-tema Lotka-Volterra . . . 66

4.2 Representa¸c˜ao geom´etrica dos conjuntos S, Γ e Ψ (parte 1). . 68

4.3 Representa¸c˜ao geom´etrica dos conjuntos S, Γ e Ψ (parte 2). . 69

4.4 Possibilidades de posicionamento relativo entre a superf´ıcie de comuta¸c˜ao e os equil´ıbrios naturais. . . 74

4.5 Conjunto de bifurca¸c˜oes para o modelo Lotka-Volterra sujeito a controle de estrutura vari´avel. . . 78

4.6 Diagramas de fase para as regi˜oes do espa¸co de parˆametros (pontos a-d) . . . 79

4.7 Diagramas de fase para as regi˜oes do espa¸co de parˆametros (pontos e-h) . . . 80

4.8 Regi˜oes de atra¸c˜ao dos ciclos limites para o caso g. . . 81

5.1 Processo de análise e s´ıntese para projeto de controladores em eletrônica de potência. . . 90

5.2 Diagrama esquemático do circuito de potência de um conver-sor elevador de tensão cont´ınua. . . 92

(10)

5.4 Poss´ıveis topologias do circuito de potˆencia do conversor boost. 95

5.5 Modelo idealizado do conversor boost. . . 98

5.6 Diagrama esquem´atico da montagem para ensaio de pertur-ba¸c˜ao de carga. . . 103

5.7 Compara¸c˜ao de corrente entre modelo e prot´otipo . . . 104

5.8 Compara¸cão de tensão entre modelo e protótipo . . . 105

5.9 Compara¸c˜ao entre diferentes modelos m´edios. . . 106

5.10 Trajet´orias de E0 no espa¸co de estados. . . 108

5.11 Trajet´orias de E1 no espa¸co de estados. . . 109

5.12 Combina¸cão de segmentos de trajetórias naturais de E0 e E1. 110 5.13 Poss´ıveis trajetórias formadas pela comuta¸cão entre as estru-turas E0 e E1. . . 111

5.14 Variedade de equil´ıbrios, parametrizada por D. . . 113

5.15 Algumas possibilidades de configura¸c˜ao da regi˜ao Ψ. . . 116

5.16 Superf´ıcie formada pela fun¸cão H determinada pelas condi¸cões de existência do dom´ınio de modos deslizantes. . . 119

5.17 Superf´ıcie cˆonica determinada pela desigualdade (5.62). . . 121

5.18 Efeito da invers˜ao dos sinais dos parˆametros s. . . 122

5.19 Conjunto de bifurca¸c˜oes no espa¸co de parˆametros. . . 123

5.20 Processos de surgimento das interse¸c˜oes entre Γ e S. . . 125

5.21 Conjunto de bifurca¸c˜oes no espa¸co de parˆametros. . . 126

5.22 Diagramas de bifurca¸c˜ao com κ como parˆametro. . . 127

5.23 Poss´ıveis topologias do fluxo no espa¸co de estados. . . 129

5.24 Efeito de varia¸c˜oes de R sobre o conjunto Γ e trajet´orias sa-turadas. . . 133

5.25 Trajet´oria do boost no espa¸co de fase, representando os efeitos de perturba¸c˜oes de carga. . . 134

5.26 Formas de onda de tens˜ao e corrente em malha aberta diante de perturba¸c˜ao de carga. . . 135

5.27 Diagrama do lugar das ra´ızes do sistema em malha fechada. . 137

5.28 Detalhe da Fig. 5.27 . . . 137

5.29 Rejei¸c˜ao de pertuba¸c˜oes de carga com controlador linear. . . . 139

5.30 Detalhe do sinal de controle gerado por C(s) e amostrado pelo modulador PWM. . . 140

5.31 Diagrama do sistema de controle por modos deslizantes com adapta¸c˜ao de superf´ıcie . . . 142

5.32 Trajet´orias no espa¸co de fase em resposta a perturba¸c˜oes de carga. . . 143

(11)

5.34 Detalhes do regime transit´orio da vari´avel de controle. . . 145

5.35 Trajet´orias do boost quando α = 0. . . 148

5.36 ξ e ωn em fun¸c˜ao de α para m´axima carga R = 40Ω. . . 153

5.37 ξ e ωn em fun¸c˜ao de α para m´ınima carga R = 200Ω. . . 154

5.38 Região que satisfaz as condi¸cões sobre a freqüência. . . 155

5.39 Espa¸cos de fase tridimensionais. . . 156

5.40 Diagramas de fase. . . 157

(12)

4.1 Condi¸c˜oes para Xc∈ R2++. . . 71

4.2 Valores considerados neste trabalho. . . 76

5.1 Combina¸c˜oes dos estados discretos dos dispositivos semicon-dutores. . . 94

5.2 Valores considerados neste trabalho . . . 103

5.3 Valores dos parˆametros da fun¸c˜ao σ para a Fig. 5.15. . . 117

5.4 Compara¸c˜ao de desempenho do sistema em malha fechada pa-ra os dois controladores. . . 146

5.5 Faixas permitidas de carga e freq¨uˆencia. . . 152

5.6 Valores dos parˆametros para os pontos A e B. . . 155

5.7 Desempenho do sistema em malha fechada. . . 158

(13)

Introdu¸c˜

ao

1.1 Sistemas N˜

ao-Lineares

A segunda metade do século XX foi marcada por uma revolu¸cão representa-da pela (re)descoberta dos fenômenos complexos associados a sistemas não-lineares. Revolu¸cão no sentido atribu´ıdo por Tomas S. Kuhn [1], de substi-tui¸cão de velhos paradigmas por novos. Fenômenos que há muito se pensava serem aleatórios se revelaram como manifesta¸cões determin´ısticas devidas às não-linearidades dos sistemas. Sob essa nova perspectiva a Engenharia se viu diante de um desafio: compreender os fenômenos não-lineares e, mais ainda, controlá-los.

Essas duas tarefas se traduzem em modelagem e s´ıntese de sistemas dinâmicos. Ao trabalhar com sistemas de controle, o engenheiro se depa-ra, inevitavelmente, com as não-linearidades presentes nos sistemas reais. O exemplo mais corriqueiro é, talvez, a satura¸cão nos elementos finais de con-trole, os atuadores. Outro exemplo clássico é a presen¸ca de elementos de comuta¸cão, como relés. Menos evidente, porém sempre presente, é a própria natureza não-linear dos fenômenos f´ısicos envolvidos com os sistemas que se deseja estudar, e inerente às suas descri¸cões matemáticas. Enfrentar o pro-blema de modelagem significa, então, conhecer o sistema e avaliar, às vezes, contando com um certo grau de intui¸cão, o n´ıvel de complexidade que deve ter o modelo matemático, a fim de adequá-lo à segunda fase do trabalho: o controle. O grande paradigma para esse processo dialético entre análise e s´ıntese é a teoria de sistemas lineares. Ela fornece modelos com o n´ıvel de aproxima¸cão adequado a que seja viável a formula¸cão de métodos gerais de s´ıntese de controladores. Porém, falha em prever fenômenos complexos que surgem na prática e que estão intimamente ligados à natureza não-linear dos sistemas f´ısicos.

(14)

A dificuldade em tratar sistemas dinâmicos não-lineares, tendo como ob-jetivo o controle, entretanto, levou a abordagem da teoria de sistemas lineares à exaustão. Esta se desenvolveu em diversas dire¸cões motivada pela necessi-dade de garantir a robustez e confiabilinecessi-dade do funcionamento dos sistemas de controle. Apesar das suas limita¸cões, é justo reconhecer que, a abordagem linear atende satisfatoriamente aos critérios de desempenho de um grande número de aplica¸cões. Com efeito, mesmo na presen¸ca de não-linearidades, muitas vezes é poss´ıvel, mediante algumas considera¸cões e aproxima¸cões, aplicar o ferramental teórico de sistemas lineares. Isto permite a utiliza¸cão dos fortes resultados matemáticos dispon´ıveis nessa teoria no projeto de con-troladores que satisfa¸cam os requisitos de funcionamento e desempenho do sistema que se quer controlar.

Todavia, não se deve perder de vista que, as aproxima¸cões que permitem o uso de técnicas lineares demandam sempre o atendimento de certas con-di¸cões que, em geral, exigem que o estado do sistema permane¸ca próximo ao ponto de opera¸cão para o qual foi projetado. Se essas condi¸cões não fo-rem satisfeitas, as não-linearidades desprezadas na modelagem come¸cam a se manifestar. Seus efeitos tornam-se evidentes e podem, às vezes, levar a resul-tados catastróficos, revelando, nesses casos, a necessidade de uma abordagem própria ao tratamento de sistemas não-lineares.

Sobretudo, por estas razões, este trabalho tem como fundamento a abor-dagem não-linear. Do ponto de vista de modelagem, descrever sistemas dinâmicos por equa¸cões diferenciais não-lineares permite analisar qualita-tivamente os aspectos peculiares a cada sistema em particular e avaliar suas propriedades dinâmicas. Muitas das quais só são poss´ıveis em sistemas não-lineares, e são mas mascaradas pelo processo de lineariza¸cão.

Nesse cenário, muitas ferramentas matemáticas para análise de sistemas não-lineares têm sido desenvolvidas desde o final do século XIX, com os traba-lhos de Henri Poincaré [2], até o presente, com ênfase na análise qualitativa de

sistemas dinˆamicos, tendo experimentado consider´avel impulso na primeira

metade do século XX com as contribui¸cões da escola russa, sob a lideran¸ca de Andronov [3]. A partir da década de 1960, novo est´ımulo foi dado ao estudo de sistemas dinâmicos não-lineares, com os trabalhos de Lorenz [4], Smale [5], e muitos outros.

Naqueles primórdios, uma das descobertas mais marcantes foi a cons-tata¸cão de que, nos sistemas não lineares, pequenas mudan¸cas nos valores de certos parâmetros cr´ıticos podem resultar em mudan¸cas significativas no comportamento qualitativo do sistema, como por exemplo, no número e na estabilidade dos pontos de equil´ıbrio; no nascimento e extin¸cão de oscila¸cões periódicas; e no surgimento de fenômenos dinâmicos mais complexos, como oscila¸cões subarmônicas e atratores estranhos. A essas mudan¸cas qualitativas

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deu-se o nome de bifurca¸c˜oes [6].

Nesse contexto, a teoria matemática dos sistemas dinâmicos e, em es-pecial, a teoria de bifurca¸cões, permite que se obtenha, para cada sistema estudado, uma visão global da estrutura do espa¸co de estados, e de como es-ta estrutura muda, ao variarem os valores dos parâmetros do próprio sistema ou os valores de parâmetros externos de controle. A teoria de bifurca¸cões é, assim, uma das ferramentas mais abrangentes para o tratamento de sistemas não-lineares, já que todo comportamento dinâmico caracter´ıstico do sistema em questão pode ser detectado a partir da análise de bifurca¸cões [7].

Todavia, quando se trata de controle, não há uma abordagem única ou teoria geral que sirva como guia para o projeto de controladores para sistemas não-lineares [8]. Há, é claro, diversos resultados úteis que podem ser combina-dos de diferentes mocombina-dos para se chegar aos objetivos almejacombina-dos. Entretanto, não existe uma metodologia fechada que forne¸ca as diretrizes de como fazer isto. Dentre as técnicas dispon´ıveis, destacam-se a lineariza¸cão por realimen-ta¸cão, projetos baseados na análise por fun¸cões descritivas, escalonamento de ganho (gain scheduling), backstepping, controle de estrutura variável, e di-versas abordagens de controle adaptativo. Algumas dessas técnicas e muitas outras são baseadas na teoria de estabilidade de Lyapunov [9], que se tornou um dos principais alicerces da teoria de sistemas dinâmicos, tanto para a análise de sistemas não-lineares como para a s´ıntese de controladores.

Essas técnicas compõem a abordagem clássica para o controle de siste-mas não-lineares. Todas elas são bem conhecidas da literatura e podem ser encontradas nas principais obras sobre o assunto, como, por exemplo, as re-ferências [10, 11, 8, 12, 13], só para citar algumas. Apesar disso, em geral, tais técnicas não levam em conta os resultados da teoria de bifurca¸cões, que tem se revelado poderosa e abrangente no estudo de sistemas não-lineares. A combina¸cão do conhecimento sobre bifurca¸cões com as técnicas clássicas de controle não-linear pode provocar um novo impulso no desenvolvimento da teoria de controle e revelar novas questões de interesse prático e teórico.

1.2 Sistemas de Estrutura Vari´

avel

O tratamento matemático de sistemas não-lineares já é complexo por si só. Dificuldades adicionais surgem quando as não-linearidades se manifestam sob a forma de descontinuidades nas fun¸cões que modelam o sistema [3, 14]. A maioria dos resultados matemáticos a respeito de equa¸cões diferenciais e siste-mas dinâmicos assume como hipótese a continuidade das fun¸cões envolvidas. Isso impede que certos sistemas f´ısicos sejam modelados e tratados pelo uso dessas ferramentas. Tais sistemas são de grande interesse em engenharia,

(16)

já que muitos deles descrevem artefatos tecnológicos de larga aplica¸cão. Os exemplos mais t´ıpicos são os sistemas de controle por relé [15], que se baseiam em dispositivos do tipo liga-desliga. Cada comuta¸cão de um relé corresponde a uma descontinuidade nas equa¸cões diferencias do sistema ao qual pertence. Sistemas de controle por relé foram amplamente utilizados nos primórdios da moderna engenharia de controle, principalmente, pela escola russa, duran-te a guerra fria [16, 17, 18]. A op¸cão por esduran-te tipo de sisduran-tema se fundamentava, sobretudo, na simplicidade de implementa¸cão e nas caracter´ısticas de robus-tez que apresentavam. O uso desta técnica incentivou investiga¸cões teóricas em equa¸cões diferenciais descont´ınuas. Os desenvolvimentos alcan¸cados no estudo dessas equa¸cões formaram então a base do que se conhece hoje por

Controle de Estrutura Vari´avel. Com o advento da eletrˆonica de

semicondu-tores, os sistemas de controle por estrutura variável não mais se restringem a sistemas com relés. As descontinuidades podem ser implementadas eletro-nicamente, tanto por meios analógicos quanto digitais.

O tratamento matemático dado a sistemas descont´ınuos proporcionou a consolida¸cão do controle de estrutura variável como uma das principais técnicas de controle não-linear, com forte embasamento teórico [19, 16, 17]. Quando o uso desta técnica é uma op¸cão do projetista, o próprio controle é responsável pela introdu¸cão de descontinuidades nas equa¸cões do sistema, que, no seu modelo original em malha aberta podem não possuir qualquer descontinuidade. Deste modo, toda descontinuidade é oriunda da lei de con-trole implementada.

Porém, há ainda uma classe de sistemas intrinsecamente descont´ınuos. Nestes casos, as descontinuidades aparecem nas equa¸cões do próprio sistema, independentemente do tipo de controlador utilizado. Exemplos disso são os sistemas mecânicos com atrito seco e os conversores estáticos de potência. Estes últimos são objeto de estudo da Eletrônica de Potência, disciplina que é rica em exemplos de sistemas descont´ınuos, devido à presen¸ca freqüente de chaves eletrônicas em seus circuitos.

Não obstante a origem da descontinuidade, ela confere aos sistemas des-cont´ınuos comportamentos t´ıpicos muito diferentes daqueles encontrados em sistemas cont´ınuos [20]. Fenômenos exclusivos relacionados com as descon-tinuidades podem ser citados, como, por exemplo, modos deslizantes [19]; zonas de estagna¸cão [3]; bifurca¸cões de órbitas deslizantes [21]; e outros [22]. Muitos desses fenômenos foram identificados na prática em sistemas de Ele-trônica de Potência [23, 24] e esfor¸cos têm sido empreendidos com o objetivo de caracterizar esses fenômenos e entender os mecanismos que lhes dão ori-gem.

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1.3 Eletrˆ

onica de Potˆ

encia

Neste trabalho, propõe-se o uso de algumas das ferramentas matemáticas dispon´ıveis na Teoria de Sistemas Dinâmicos para a análise e s´ıntese de con-troladores para sistemas dinâmicos descont´ınuos, com ênfase em uma apli-ca¸cão espec´ıfica em Eletrônica de Potência. Particularmente, são emprega-dos conceitos de controle por estrutura variável e de teoria de bifurca¸cões. Compara¸cões são feitas entre diferentes tipos de controladores e novos aspec-tos concernentes a bifurca¸cões em sistemas descont´ınuos são revelados. Em particular, são analisadas bifurca¸cões diretamente relacionadas com modos deslizantes e com a natureza descont´ınua do sistema, e são introduzidos novos conceitos de pontos de equil´ıbrio.

Para o “estudo de caso” em Eletrônica de Potência, este trabalho faz uso de modelagem instantânea no espa¸co de estados e, a partir de uma meto-dologia estruturada de sucessivas aproxima¸cões, chega-se a modelos lineares simplificados no dom´ınio da freqüência. A cada etapa de simplifica¸cão, um diferente n´ıvel de complexidade é associado ao projeto de controladores. Este tipo de procedimento engloba os tradicionais métodos para a modelagem de sistemas em Eletrônica de Potência, tais como modelos médios no espa¸co de estados (state-space averaging) [25, 26] e modelo linearizado da chave PWM [27].

Os modelos instantâneos de conversores chaveados são descont´ınuos, em conseqüência do chaveamento. Isso sugere o uso de uma abordagem volta-da para sistemas de estrutura variável se se deseja projetar controladores diretamente sobre estes modelos. Por sua vez, as descri¸cões de conversores chaveados por equa¸cões médias no espa¸co de estados são, em geral, não-lineares, do que resulta a necessidade de se projetar controladores a partir de alguma técnica não-linear.

Para que seja poss´ıvel aproveitar as bem conhecidas técnicas lineares pa-ra o projeto de controladores, há que se linearizar os modelos médios, o que conduz a modelos lineares invariantes no tempo. Esta abordagem apre-senta sérias limita¸cões por razões já mencionadas, porquanto, aplicando es-tes métodos, é praticamente imposs´ıvel detectar, caracterizar ou predizer os fenômenos não-lineares que esta classe de sistemas pode apresentar.

Estas limita¸cões se apresentam de maneira marcante quando se leva em conta que, desde a década passada, numerosos trabalhos têm sido publicados relatando a observa¸cão de fenômenos não-lineares complexos em converso-res chaveados [28, 29, 23, 30, 31, 32]. Motivado por esses relatos, muitos pesquisadores têm dedicado especial aten¸cão a esses sistemas na tentativa de caracterizar matematicamente as dinâmicas complexas que neles se ma-nifestam, incluindo órbitas deslizantes, oscila¸cões subarmônicas e transi¸cão

(18)

ao caos [22, 24, 33]. De fato, tais fenômenos não-lineares são freqüentemente encontrados, na prática, pelos engenheiros, apesar de muitas vezes, não co-nhecerem as suas causas. Geralmente, a rea¸cão diante dessas manifesta¸cões se restringe à tentativa de limitar a opera¸cão dos sistemas e seus parâmetros a faixas de trabalho restritas, para evitar os comportamentos indesejados das “zonas não-lineares”.

Essa conduta por parte dos engenheiros revela a necessidade de se estudar de maneira formal a natureza não-linear de sistemas de eletrônica de potência, uma vez que evitar as não-linearidades não significa eliminá-las. Seus efeitos ficam latentes, à espera de uma condi¸cão de opera¸cão que os traga à tona, prejudicando a confiabilidade e robustez dos sistemas.

Por tudo isto, a teoria dos sistemas dinâmicos e, notadamente, a análise e controle de bifurca¸cões são de vital importância nas aplica¸cões neste campo da engenharia.

1.4 Objetivos e Organiza¸c˜

ao do Trabalho

As se¸cões anteriores apresentaram de maneira resumida os três principais pilares deste trabalho, que se insere num contexto multidisciplinar, como é natural para a Engenharia de Controle. Os objetivos, portanto, são também distribu´ıdos entre os temas de Sistemas de Estrutura Variável, Teoria de Bifurca¸cões e Eletrônica de Potência.

Quanto aos sistemas de estrutura variável, o Cap´ıtulo 2 faz uma revisão sobre os fundamentos matemáticos para tratamento de modelos com descon-tinuidades nas equa¸cões de estado. Como resultado, se propõe uma forma-liza¸cão para alguns conceitos novos de classifica¸cão dos pontos de equil´ıbrio de tais sistemas.

Esta elabora¸cão inicial constitui um fundamento para o segundo objetivo, que é estabelecer uma metodologia para a análise de bifurca¸cões em sistemas de estrutura variável. Com este intuito, são apresentados no Cap´ıtulo 3 alguns conceitos relacionados à teoria de bifurca¸cões, que serão utilizados ao longo do trabalho. Também naquele Cap´ıtulo, serão introduzidas as idéias básicas que fundamentam a metodologia proposta para analise de bifurca¸cões em sistemas de estrutura variável.

O desenvolvimento do método proposto se encerra com a sua aplica¸cão a um conversor estático de potência elevador de tensão cont´ınua, conhecido como conversor boost. Por ser um sistema descont´ınuo por natureza, o conver-sor boost é usado como exemplo para a aplica¸cão de técnicas de controle por estrutura variável, à luz dos resultados obtidos com a análise de bifurca¸cões. O objetivo principal é aplicar técnicas não-lineares que garantam o

(19)

desempe-nho do sistema em situa¸cões cr´ıticas de perturba¸cão de carga. Como objetivo secundário, são evidenciadas as limita¸cões intr´ınsecas do desempenho desse sistema, para as quais o controle não pode oferecer nenhuma solu¸cão. O resultado desta análise serve como critério de projeto para o sistema em si e para a s´ıntese de controladores. O Cap´ıtulo 5 traz estes resultados depois de apresentar uma sistematiza¸cão do processo de modelagem matemática de dispositivos de eletrônica de potência.

Além de avan¸car por essas três áreas: sistemas de estrutura variável, teoria de bifurca¸cões e eletrônica de potência, este trabalho também inclui um cap´ıtulo sobre um tema que, à primeira vista, não está correlacionado com os demais. Trata-se do Cap´ıtulo 4, dedicado a Biomatemática. Mas essa falta de correla¸cão é apenas aparente. Ao longo do texto, ficará claro que os novos conceitos introduzidos não se restringem a uma área espec´ıfica do conhecimento. Por terem uma forte componente matemática, os resultados apresentados nos Cap´ıtulos 2 e 3 são de vasta aplica¸cão. Isto fica evidenciado com o seu emprego na análise de sistemas de naturezas tão d´ıspares, como eletrônica de potência e biomatemática.

Mas, o Cap´ıtulo 4 não se limita a um mero exerc´ıcio da técnica de análise proposta. A aplica¸cão dessa técnica conduz a importantes resultados, com implica¸cões para sistemas ecológicos de maneira geral.

Ao final do trabalho, no Cap´ıtulo 6, são apresentadas as conclusões, se-guidas de algumas indica¸cões dos caminhos para aprofundamento futuro dos temas aqui desenvolvidos.

(20)

Sistemas de Estrutura Vari´

avel

“A descri¸cão matemática de modos deslizantes é um desafio e tanto. ” V. I. Utkin

2.1 Equa¸c˜

oes Diferenciais e Modelagem de

Sistemas Dinˆ

amicos

O largo espectro das diferentes abordagens que compõem a teoria de controle se deve, pelo menos em parte, às diferentes formas de modelar os sistemas de interesse. Os modelos, por sua vez, devem se adequar à natureza dos sistemas a que se referem bem como à finalidade a que se prestam. É fato amplamente conhecido que, quanto mais acurado for um modelo, maior a dificuldade de tratá-lo matematicamente. Por isso, é altamente recomendável que a descri¸cão matemática de um sistema f´ısico seja a mais simples poss´ıvel, sem que isto comprometa suas principais caracter´ısticas. Porém, para fins de controle, há uma propriedade de todo sistema f´ısico que dificilmente pode ser negligenciada. Trata-se do caráter dinâmico.

Os modelos matemáticos usados em controle sempre incorporam efeitos dinâmicos na forma de equa¸cões diferenciais ou equa¸cões a diferen¸cas, segun-do a sua natureza cont´ınua ou discreta em rela¸cão ao tempo. Sistemas com parâmetros concentrados são modelados por equa¸cões diferenciais ordinárias (EDO) e costumam ter o tempo como única variável independente, enquan-to que sistemas com parâmetros distribu´ıdos são modelados com equa¸cões

diferenciais parciais (EDP) dependentes do tempo e de dimens˜oes

espaci-ais. Porém, qualquer modelo matemático é sempre uma aproxima¸cão da realidade, e não é absurdo pensar que a variedade de sistemas f´ısicos supera enormemente a capacidade representativa dos modelos matemáticos. Essa

(21)

limita¸cão deve ser levada em conta ao se tentar descrever matematicamente sistemas de estrutura variável, pois estes estão sempre a desafiar os esfor¸cos de modelagem

Para os propósitos deste trabalho, será suficiente representar os modelos matemáticos por equa¸cões diferenciais ordinárias. Porém, a fim de definir o que seja a solu¸cão de uma EDO descont´ınua, será feita uma breve men¸cão a

inclus˜oes diferenciais na Se¸c˜ao 2.3.2.

2.1.1 Representa¸c˜

ao Matem´

atica

de Sistemas Dinˆ

amicos

Considere-se uma fam´ılia de sistemas que podem ser satisfatoriamente mo-delados por equa¸c˜oes ordin´arias com a seguinte forma geral

F£t, y(t), ˙y(t), ¨y(t), . . . , y(n)_{(t), u(t), ˙u(t), ¨}_{u(t), . . . , u}(p)_(t)¤ _{= 0,} _(2.1)

em que t é a variável independente, o tempo, y é a fun¸cão incógnita repre-sentando a variável de sa´ıda do sistema e u é uma fun¸cão conhecida qualquer que representa a entrada do sistema. Os ´ındices n e p representam as ordens da derivadas. Para evitar ambigüidades, serão considerados aqui apenas os casos em que a Eq. (2.1) aceite solu¸cão única para a derivada de mais alta ordem. Isso significa reduzir (2.1) a

y(n)_{= G}¡_{t, y, ˙y, ¨}_{y, . . . , y}(n−1)_{, u, ˙u, ¨}_{u, . . . , u}(p)¢_, _(2.2)

na qual foi omitida a dependência temporal das variáveis por questão de simplicidade. Para que uma equa¸cão diferencial na forma (2.2) possua uma representa¸cão em espa¸co de estados é necessário1 _{que p 6 n. Tal}

represen-ta¸c˜ao pode ent˜ao ser expressa como

˙x(t) = f (t, x(t), u(t)) y(t) = h(t, x(t), u(t)), (2.3) sendo x ∈ X ⊂ Rn _{t ∈ I ⊂ R} y ∈ Y ⊂ R f : R × Rn_{× R → R}n u ∈ U ⊂ R h : R × Rn_{× R → R.} (2.4) Neste caso, diz-se que (2.3) é uma realiza¸cão da Eq. (2.2) com x como vetor de estado. Uma realiza¸cão deste tipo se traduz fisicamente por um sistema

1_{Essa condi¸cão é necessária mas não suficiente. O problema da realiza¸cão de sistemas}

não-lineares na forma geral (2.2) foge ao escopo deste trabalho. Um caso particular pode ser encontrado em [10] no qual a realiza¸cão é afim no vetor de controle.

(22)

x

_s

, t

u

w

y

Figura 2.1: Representa¸cão esquemática do modelo de um sistema f´ısico. dinâmico causal, já que p 6 n. Além disso, (2.3) representa um sistema monovariável de acordo com as defini¸cões (2.4).

Analogamente às equa¸cões algébricas, se há r fun¸cões desconhecidas yi,

são necessárias pelo menos r equa¸cões na forma (2.2) para que o sistema te-nha solu¸cão determinada. Fisicamente isso corresponde ao caso de sistemas com múltiplas sa´ıdas. Se, além disso, as equa¸cões dependerem de mais de uma fun¸cão externa diferente, tem-se o caso geral de um sistema multiva-riável. Neste caso, a representa¸cão do sistema multivariável é análoga à do monovariável, bastando definir y ∈ Y ⊂ Rl _{e u ∈ U ⊂ R}m_.

O caso multivariável é suficientemente geral para incluir no vetor u as entradas de perturba¸cões. Porém, para efeito de controle é conveniente re-presentá-las em separado, já que entradas de controle são manipuláveis, en-quanto que entradas de perturba¸cões não o são. Uma representa¸cão gráfica de um modelo deste tipo é dada na Fig. 2.1, em que o bloco representa o sistema e sua dinâmica entre entradas e sa´ıdas.

A descri¸c˜ao matem´atica deste tipo de modelo pode ser expressa por ˙xs = gs(t, xs, w, u)

y = hs(t, xs, w, u);

(2.5) sendo que

t ∈ I ⊂ R ´e o tempo como vari´avel independente;

xs∈ Xs ⊂ Rns ´e o vetor de estados do sistema;

y ∈ Y ⊂ Rl _{´e o vetor das sa´ıdas do sistema;}

u ∈ U ⊂ Rm _{´e o vetor das entradas de controle;}

w ∈ W ⊂ Rk _{´e o vetor das entradas de perturba¸c˜oes;}

gs : R × Rns × Rm× Rk → Rns é a fun¸cão dinâmica do sistema e

hs: R × Rns× Rm× Rk → Rl ´e a fun¸c˜ao de sa´ıda do sistema.

(23)

padrões de sistemas dinâmicos na moderna teoria de controle. Considerando que o sistema que se deseja descrever por meio de (2.5) é controlado por uma realimenta¸cão dinâmica de sa´ıda. A expressão matemática deste controlador deve ser dada por

˙xc= gc(t, xc, r, y)

u = hc(t, xc, r, y),

(2.6) sendo que

xc∈ Xc⊂ Rnc ´e o vetor de estados do controlador;

u ∈ U ⊂ Rm _{´e o vetor das sa´ıdas do controlador;}

r ∈ Y ⊂ Rl _{´e o vetor das referˆencias externas;}

gc: R × Rnc× Rl× Rl→ Rnc é a fun¸cão dinâmica do controlador e

hc: R × Rnc × Rl× Rl → Rm ´e a fun¸c˜ao de sa´ıda do controlador.

A dinâmica do sistema pode ser combinada com a dinâmica do contro-lador para formar uma descri¸cão única do sistema em malha fechada. Para tanto, suponha que combinando as equa¸cões de sa´ıda de (2.5) e (2.6) seja poss´ıvel isolar y na equa¸cão2

y = hs

³

t, xs, w, hc(t, xc, y, r)

´

, (2.7)

formando ent˜ao uma nova fun¸c˜ao h0 _{dada por}

y = h0_{(t, x}

s, xc, w, r). (2.8)

Considerando o novo vetor de estados estendido

x = · xs xc ¸ , (2.9)

a fun¸cão gs composta com hc e com h0 é dependente apenas das variáveis t,

x, w e r. Deste modo pode-se definir uma fun¸c˜ao fs para designar o vetor

das derivadas como ˙xs = gs µ t, xs, w, hc ³ t, xc, r, h0(t, xs, xc, w, r) ´¶ , fs(t, x, w, r). (2.10)

2_{Conv´em notar que, para o caso geral, nem sempre ´e poss´ıvel resolver analiticamente}

para y a equa¸c˜ao (2.7). Para que isso seja poss´ıvel (2.7) deve satisfazer o teorema da

fun¸cão impl´ıcita. Mesmo quando isso é poss´ıvel, a solu¸cão pode não ser ´unica como, por exemplo, no caso em que y seja dado pelas ra´ızes de uma equa¸cão quadrática, o que pode levar a dois sistemas diferentes, gerando ambigüidades.

(24)

Controlador

Sistema

r

u

w

y

Figura 2.2: Representa¸cão esquemática do sistema em malha fechada. Da mesma forma, gcpode ser colocada em fun¸cão de t, x, w e r

conside-rando (2.8) e formando

˙xc = gc(t, xc, r, h0) , fc(t, x, w, r). (2.11)

O sistema combinado fica

˙x = f (t, x, w, r) = · fs fc ¸ y = h(t, x, w, r) , h0_{(t, x} s, xc, w, r), (2.12)

com x ∈ X ⊂ Rn _{sendo que n = n}

s + nc. Deste modo, o sistema em

malha fechada fica representado matematicamente por uma ´unica equa¸c˜ao de estado, formando um novo sistema unificado como mostra a Fig. 2.2.

O mesmo resultado é válido se o sistema estiver sujeito a uma realimen-ta¸cão de estado, pois esta pode ser considerada como o caso particular da realimenta¸cão de sa´ıda em que a fun¸cão hs é a identidade.

Quando a referência é um vetor constante ou uma fun¸cão conhecida de t,

r deixa de ser uma vari´avel de entrada e pode ser considerada como sendo um

parâmetro interno ao sistema. Se além disso, desprezam-se as perturba¸cões, o modelo (2.12) torna-se simplesmente

˙x = f (t, x)

y = h(t, x), (2.13)

que é a forma mais comum na literatura de sistemas não-lineares para siste-mas variantes no tempo (não-autônomos).

Para que (2.13) represente um processo f´ısico real, é necessário que exista solu¸cão. Além disso, em se tratando de modelos determin´ısticos, cada con-di¸cão inicial deve conduzir a uma solu¸cão única. Da´ı a importância de se garantir a existência e unicidade da solu¸cão em problemas de valores iniciais.

(25)

2.1.2 Existˆ

encia e Unicidade de Solu¸c˜

oes

O teorema que garante essa propriedade pode ser enunciado assim:

Teorema 2.1 [11] Seja o sistema de equa¸c˜oes diferenciais ordin´arias sujeito

a condi¸c˜oes iniciais

˙x = f (t, x), x(t0) = x0, (2.14)

no qual x ∈ Rn _{e a fun¸c˜ao f : D}

f ⊂ R × Rn → Rn´e seccionalmente cont´ınua

em t e satisfaz a condi¸c˜ao de Lipshitz com algum L0 > 0

kf (t, x1) − f (t, x2)k 6 L0kx1− x2k (2.15)

para todo x1 e x2 pertencentes `a bola B = {x ∈ Rn/kx − x0k 6 r} e para

todo t ∈ [t0, tk]. Ent˜ao, existe um δ > 0 tal que o problema de valor inicial

(2.14) possui solu¸c˜ao ´unica no intervalo [t0, t0+ δ].

Quando uma fun¸cão f satisfaz a condi¸cão (2.15) diz-se que ela é localmente

Lipshitz em x sobre [t0, tk] × B com constante de Lipshitz L0.

O Teorema 2.1 garante existência e unicidade de solu¸cões num intervalo que pode ser arbitrariamente pequeno. Para estender a solu¸cão a um inter-valo de interesse [t0, tk] pode-se aplicar o teorema repetidas vezes tomando

o instante final t0 + δ como instante inicial do pr´oximo intervalo e fazendo

o estado final x(t0 + δ) ser a nova condi¸c˜ao inicial. Este processo

iterati-vo pode não durar para sempre, pois em uma dada itera¸cão pode acontecer que as hipóteses do teorema não se verifiquem mais. Uma forma de saber se é poss´ıvel estender a solu¸cão indefinidamente é acrescentar hipóteses ex-tras ao teorema de forma a garantir a existência e unicidade da solu¸cão para

t ∈ [t0, ∞). Isto posto, tem-se o seguinte teorema:

Teorema 2.2 [11] Seja f (t, x) uma fun¸c˜ao seccionalmente cont´ınua em t e

localmente Lipshitz em x sobre o conjunto [t0, ∞) × D. Seja toda solu¸c˜ao de

˙x = f (t, x), x(t0) = x0

pertencente a um subconjunto compacto W de D. Então, existe solu¸cão única partindo de x0 definida para todo t > t0.

Um modelo matemático que pretenda representar um fenômeno f´ısico de-ve ter solu¸cão. Do contrário, nada representaria. De fato, a maioria dos modelos dinâmicos de sistemas f´ısicos é localmente Lipshitz. Porém, os mo-delos que contém fun¸cões descont´ınuas constituem exce¸cões. Estas fun¸cões claramente violam a condi¸cão de Lipshitz e, mesmo assim, aparecem com

(26)

freqüência em algumas circunstâncias. É o caso de sistemas de controle com relés, zona morta, atrito seco (ou de Coulomb) ou qualquer outro sistema que experimente transi¸cões bruscas entre diferentes estruturas dinâmicas ou diferentes topologias f´ısicas. Essas transi¸cões bruscas são geralmente mode-ladas por fun¸cões descont´ınuas, mas não são necessariamente descont´ınuas por natureza.

Para ilustrar este fato considere-se o seguinte exemplo. Exemplo 2.1 Seja o seguinte sistema linear

· ˙x1 ˙x2 ¸ = · 0 1 0 0 ¸ · x1 x2 ¸ + · 0 1 ¸ u (2.16)

com a realimenta¸c˜ao de estados

u = −sgn(σ) sendo que

σ(x) = cx1+ x2

com c > 0 e a fun¸c˜ao sgn dada por

sgn(a) =

n ₁ _{se a > 0}

−1 se a < 0. Reescrevendo o sistema, tem-se que

˙x = f (x) = · f1(x1, x2) f2(x1, x2) ¸ = · x2 −sgn(cx1+ x2) ¸

Sejam os pontos xa, xb e xc tais que σ(xa) > 0, σ(xb) < 0 e σ(xc) = 0.

Tem-se ent˜ao que, fazendo xa e xb tenderem a xc, a distˆancia d = kxb− xak

tender´a a zero. Mas

lim d→0kf (xb) − f (xa)k = limd→0 ° ° ° ° · xb2 1 ¸ − · xa2 −1 ¸°_° ° ° = = ° ° ° ° · lim d→0(xb2 − xa2) 2 ¸°_° ° ° = ° ° ° ° · 0 2 ¸°_° ° ° = 2

de modo que n˜ao existe constante finita L tal que kf (xb) − f (xa)k 6 L kxb− xak

Isso mostra que f não é Lipshitz na vizinhan¸ca dos pontos que satisfazem σ(x) = 0, como é o caso do ponto xc. No entanto, deve existir solu¸cão para

este sistema já que ele corresponde ao modelo de um t´ıpico caso de controle por relé. Se não existisse solu¸cão, não haveria correspondência com o sistema prático.

(27)

O Exemplo 2.1 expõe o caráter conservador dos teoremas apresentados. Tanto o Teorema 2.1 como o Teorema 2.2 fornecem condi¸cões que são apenas suficientes em rela¸cão à existência e unicidade das solu¸cões de equa¸cões di-ferenciais ordinárias. Há uma vasta fam´ılia de sistemas na forma (2.13) nos quais a fun¸cão f não satisfaz a condi¸cão de Lipshitz e que, mesmo assim, possuem solu¸cão para uma dada condi¸cão inicial, ainda que esta possa não ser única. Tais sistemas são de interesse prático, posto que muitos fenômenos f´ısicos e artefatos tecnológicos podem ser modelados por equa¸cões deste tipo, por conterem transi¸cões bruscas na sua dinâmica.

A maneira exata como ocorrem essas transi¸cões é, muitas vezes, demasia-damente complexa ou até mesmo desconhecida. Mas, mesmo quando estas se dão de modo simples e conhecido, sua dinâmica é muitas ordens de grandeza mais rápida que as outras dinâmicas do sistema. Isso justifica a aproxima¸cão dessas transi¸cões por fun¸cões matemáticas descont´ınuas. Na prática, há uma vizinhan¸ca em torno dos pontos de descontinuidade chamada camada limite3

em que ocorrem fenômenos cr´ıticos de natureza f´ısica, como arcos elétricos em interruptores; colisões em artefatos mecânicos; e mudan¸cas de polariza¸cão em semicondutores, por exemplo. A descri¸cão detalhada desses fenômenos cr´ıticos não é essencial para o controle, apesar de haver casos em que algum conhecimento sobre esses fenômenos pode ser benéfico, auxiliando na s´ıntese e na realiza¸cão de controladores. Esta questão será abordada no Cap´ıtulo 5, no qual um tipo de efeito espec´ıfico será analisado. Contudo, para o tratamento teórico, se considera o caso ideal. Os fenômenos cr´ıticos são modelados por descontinuidades, no sentido matemático do termo, ficando todos agrupados e “encapsulados” em uma fun¸cão descont´ınua.

2.2 Sistemas Descont´ınuos

Deixando de lado a descri¸cão f´ısica de fenômenos cr´ıticos e voltando a aten¸cão para os modelos matemáticos descont´ınuos a que dão origem, novas dificulda-des se manifestam. Foi visto na se¸cão anterior, como um modelo dificulda-descont´ınuo, representativo de um sistema de controle por relé, pode violar a condi¸cão de Lipshitz, perdendo, assim, a garantia de existência e unicidade da solu¸cão.

Esta Se¸cão introduz a formaliza¸cão do conceito de sistema descont´ınuo, delimitando o universo de interesse prático desse tipo de sistema, com a ajuda de alguns exemplos. Além disso, é feita uma discussão a respeito do caráter não-linear da descontinuidade. O problema da existência de solu¸cões para sistemas descont´ınuos é adiada para a Se¸cão 2.3.

(28)

2.2.1 Exemplos

Quando se fala em sistemas dinâmicos descont´ınuos, o objeto de discussão é, na maioria das vezes, um sistema de equa¸cões diferenciais na forma

˙x = f (t, x), (2.17)

no qual a fun¸c˜ao f : Df ⊂ R×Rn→ Rn´e descont´ınua em algum subconjunto

S do seu dom´ınio Df. Em princ´ıpio, a estrutura de S pode ser arbitr´aria,

dando origem a sistemas de dif´ıcil tratamento anal´ıtico, mas em geral, quando se trata de um caso prático, S é uma variedade, ou conjunto de variedades contidas em Df com uma expressão anal´ıtica definida.

A seguir ser˜ao considerados alguns exemplos de sistemas descont´ınuos simples.

Exemplo 2.2 Considere o sistema unidimensional ˙x = f (x) =

½

c1, se x ∈ Q;

c2, se x /∈ Q , (2.18)

sendo Q o conjunto dos números racionais e f : R → R uma fun¸cão real com parâmetros c1 6= c2. Neste exemplo, a fun¸cão f é descont´ınua em todos os

pontos do seu dom´ınio, que é o conjunto dos números reais. Em virtude das descontinuidades da fun¸cão f , não há intervalo cont´ınuo no seu dom´ınio no qual f satisfa¸ca a condi¸cão de Lipshitz. Isso significa que nada se pode dizer a respeito da solu¸cão do sistema (2.18).

A fun¸cão f definida em (2.18) é conhecida com fun¸cão de Dirichlet, e foi proposta por Peter Gustav Lejeune Dirichlet em 1837 para exemplificar a generalidade do conceito de fun¸cão, que no século XIX come¸cava a tomar a forma que conhecemos hoje [34]. Portanto, o sistema do Exemplo 2.2 é totalmente artificial e não representa nenhum sistema f´ısico. Dado o tipo de descontinuidade da fun¸cão f , é muito provável que não exista solu¸cão para o sistema (2.18).

Exemplo 2.3 Outro exemplo interessante ´e o sistema dinˆamico ˙x1 = f1(x) = −_x₁2x_+x1 ₂2

˙x2 = f2(x) = −_x₁2x_+x2 ₂2,

(2.19)

no qual o campo vetorial f = [ f1 f2]T ´e descont´ınuo na origem, ¯x =

[ 0 0 ]T _{mas ´e cont´ınuo em qualquer outro ponto do dom´ınio. Apesar da}

(29)

−1 −0.5 0 0.5 1 −1 −0.5 0 0.5 1 x 1 x 2 Campo vetorial −0.5 0 0.5 1 x 1 Evolução de x 1 partindo de x10=1,0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 −0.5 0 0.5 1 t x 2 Evolução de x 2 partindo de x20=0,5 t₁ t 1

Figura 2.3: Campo vetorial e solu¸c˜oes do sistema descont´ınuo (2.19) para a condi¸c˜ao inicial x0 = [1, 0 0, 5]T.

Lyapunov para a origem. Isso significa que ¯x é um atrator das trajetórias. Analisando a Eq. (2.19), pode-se notar que o vetor velocidade de fase apon-ta para a descontinuidade e cresce em magnitude à medida que se aproxima desta. Porém, quando o estado do sistema alcan¸ca a descontinuidade em um tempo finito t1, o sistema torna-se indefinido para t > t1, como mostra a Fig

2.3.

Exemplo 2.4 Seja o sistema mecˆanico composto por um bloco de massa m

sobre uma superf´ıcie plana e preso a uma mola com constante k como mostra a Fig. 2.4. H´a atrito seco entre a superf´ıcie e o bloco, que se move em apenas uma dire¸c˜ao.

Um poss´ıvel modelo dinˆamico para este sistema ´e

˙x1 = x2

˙x2 = −_mkx1− _m1p(x2), (2.20)

com x1 como posi¸c˜ao e x2 como velocidade, sendo que p ´e um modelo do

atrito seco, ou de Coulomb, dado por

p(x2) =

½

+p0, se x2 > 0;

−p0, se x2 < 0 (2.21)

com p0 > 0. Neste caso, conjunto dos pontos de descontinuidade de p ´e

S = {x ∈ R2_/x

(30)

Figura 2.4: Sistema massa-mola com atrito seco.

ou seja, a descontinuidade ocorre quando a velocidade do bloco se anula. Este estará, então, em apenas uma das situa¸cões seguintes: ou (i) em equil´ıbrio, ou (ii) no ponto de inversão do sentido do movimento. Para este segundo caso, se x1 for negativo, ˙x2 será positivo e vice versa. Esta considera¸cão

permite concluir a partir da equa¸c˜ao de ˙x2 que,

|x1| > p0

k. (2.22)

`

A outra possibilidade restante corresponde o caso para o qual

|x1| 6

p0

k .

Isso significa que h´a um conjunto cont´ınuo e limitado de equil´ıbrios chamado zona de estagna¸c˜ao [3] dado por

Γ = n x ∈ S . − p0 k 6 x1 6 p0 k o

como ilustra a Fig. 2.5 para m = 1, k = 1 e p0 = 1.

O modelo do Exemplo 2.4 oferece algumas dificuldades na caracteriza¸c˜ao do movimento quando x ∈ S, pois ao considerar x2 = 0 a equa¸c˜ao diferencial

que o determina torna-se indefinida. O modelo considera que não há atrito se não há movimento relativo entre as superf´ıcies de contato. Mas, ao mesmo tempo, considera que a intensidade da for¸ca de atrito é constante e indepen-dente da magnitude da velocidade, quando esta não é nula. A passagem de (2.20) para (2.22) transpõe essa barreira, ignorando, de um certo modo, os problemas da descontinuidade, por utilizar-se de um argumento mecânico. Na verdade, a descontinuidade do modelo do atrito (2.21) constitui uma ide-aliza¸cão do fenômeno f´ısico em questão. Um modelo mais acurado do atrito poderia eliminar as dificuldades da descontinuidade. Porém, tal modelo pode

(31)

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 x₁ x 2

Γ

↓

S

↓

Figura 2.5: Trajet´orias no espa¸co de estados do sistema (2.20)

ser de tal modo complexo a ponto de introduzir dificuldades maiores. Ou, ainda, pode não ser fact´ıvel a realiza¸cão de estudos práticos confiáveis para a valida¸cão desses modelos ou para a determina¸cão de seus parâmetros. Razões como estas motivaram o estudo deste tipo de modelo descont´ınuo para siste-mas com atrito seco e, de um modo geral, o estudo de sistesiste-mas descont´ınuos idealizados como aproxima¸cão de fenômenos de transi¸cão cr´ıtica.

A diferen¸ca básica entre os tipos de descontinuidade dos sistemas apresen-tados nos exemplos é que, no caso do Exemplo 2.2, a dimensão do conjunto S, no qual a fun¸cão do lado direito da equa¸cão diferencial é descont´ınua, é igual à dimensão do espa¸co de estados; no sistema do Exemplo 2.3, a dimensão de

S é zero, e no caso do Exemplo 2.4 a dimensão de S é não nula e menor que

a dimens˜ao do espa¸co de estados.

2.2.2 Modelagem de Sistemas Descont´ınuos

A Se¸cão anterior mostrou como descontinuidades nas equa¸cões diferenciais podem fazer emergir comportamentos diversos levando em conta a dimensão do conjunto de pontos de descontinuidade do lado direito da equa¸cão diferen-cial. Nesta se¸cão, serão aprofundados os estudos de sistemas descont´ınuos para os quais o conjunto S tem dimensão não nula, porém, menor que a dimensão do espa¸co de estados. Estes correspondem aos casos de interesse prático.

(32)

Tais sistemas podem receber diversas denomina¸c˜oes. As express˜oes

siste-mas chaveados, sistesiste-mas comutados, sistesiste-mas cont´ınuos por partes, (ou sec-cionalmente cont´ınuos), sistemas de estrutura vari´avel, sistemas suaves por partes (ou seccionalmente suaves), e outros aparecem na literatura em

con-textos semelhantes para designar os casos em que os teoremas de existência e unicidade falham pela presen¸ca de descontinuidades na fun¸cão f ou em suas derivadas. De todas essas expressões, a mais abrangente é sistemas suaves

por partes. Alguns autores denominam de suaves (smooth) fun¸c˜oes de

clas-se C1 _{[14]. Outros autores definem fun¸c˜ao suave segundo a necessidade, ou}

seja, uma fun¸cão de classe Ck _{tal que k é a m´ınima ordem de diferencia¸cão}

necessária para satisfazer as condi¸cões de um dado teorema [7]. Entretanto, parece ser mais aceito o uso do termo suave para designar fun¸cões de classe

C∞ _{[10, 8].}

Quando um sistema ´e suave por partes, isso significa que ´e poss´ıvel se

particionar o espa¸co de estados de forma a que, em cada parti¸c˜ao, o sistema

seja suave. A fronteira S entre essas parti¸cões constitui o conjunto no qual a fun¸cão perde a suavidade. Como neste trabalho só serão tratados casos em que as descontinuidades aparecem na primeira derivada das fun¸cões, é suficiente considerar que fun¸cões suaves são aquelas de classe C1_{. Sendo}

assim, tais fun¸cões podem ser classificadas como cont´ınuas por partes. Deixando de lado as sutilezas, todos os termos destacados acima podem designar sistemas que, do ponto de vista f´ısico, têm uma estrutura variável. Tais Sistemas de Estrutura Variável têm um comportamento h´ıbrido no que diz respeito à natureza das suas variáveis: cont´ınuas ou discretas4_{. Cada}

estrutura individual possui sua própria dinâmica cont´ınua, mas, a transi¸cão entre uma estrutura e outra se dá por um processo discreto. Tal processo pode ser dinâmico ou estático. Se for dinâmico, a modelagem das transi¸cões deve ser feita usando ferramentas espec´ıficas para processos dinâmicos dis-cretos, tais como autômatos finitos ou redes de Petri, casos que fogem ao escopo deste trabalho. Para o caso estático, os processos discretos podem ser completamente descritos por condi¸cões algébricas envolvendo fun¸cões das variáveis cont´ınuas. A literatura costuma designar por Sistemas de Estrutura Variável apenas esses últimos, porém não exclui a defini¸cão mais geral dada aqui.

Para se modelar sistemas de estrutura variável, devem ser identificados todos os poss´ıveis estados discretos do sistema. Cada um deles representando uma diferente estrutura da dinâmica cont´ınua. Cada uma dessas dinâmicas é, então, modelada por uma equa¸cão de estados associada à respectiva estru-tura. O modelo resultante pode ser expresso na forma

(33)

(

˙x = f (t, x(t), u(t, x))

y = h (t, x(t), u(t, x)) , (2.23)

em que f : Df ⊂ R × Rn× Rm → Rn´e uma fun¸c˜ao vetorial cont´ınua em seus

argumentos t, x e u, sendo que t ∈ R é a variável independente (em geral o tempo), x ∈ Rn _{é o vetor de estados, e u ∈ R}m _{é uma fun¸cão vetorial tal}

que as descontinuidades do sistema ficam todas agrupadas em u segundo a express˜ao u : Du ⊂ R × Rn → Rm ui(t, x) = ½ u+_i (t, x), se σi(x) > 0 u− i (t, x), se σi(x) < 0 i = 1, . . . , m (2.24) com σ(x) = [ σ1(x) σ2(x) . . . σm(x) ]T. (2.25) sendo σi : Rn→ R

Neste caso, u apenas funciona como “recipiente” das descontinuidades do sistema para que f esteja livre de tais descontinuidades. Porém, u também pode ser entendida como uma variável de controle implementando uma re-alimenta¸cão estática5_{descont´ınua em rela¸cão ao estado x ou ao tempo t. A}

diferen¸ca básica entre estes dois casos é que, sendo u uma realimenta¸cão, as descontinuidades são introduzidas pelo controle deliberadamente para se atingir algum objetivo espec´ıfico, o que torna o caráter descont´ınuo uma op¸cão do projetista. No outro caso, quando u for apenas um repositório das descontinuidades inerentes ao sistema, não há como evitá-las, e o projeto de controladores para tais sistemas tem obrigatoriamente que lidar com essas descontinuidades. Os Cap´ıtulos 4 e 5 trazem exemplos de ambas as situa¸cões. As Eqs. (2.23), (2.24) e (2.25) formam o sistema descont´ınuo genérico que servirá como referência daqui por diante. Uma variante mais simples de (2.23) pode ser definida se o campo vetorial f for uma fun¸cão afim em rela¸cão ao argumento u de modo que

˙x = f0(t, x) + B(t, x)u(t, x) (2.26) sendo f0 _{: D}

f ⊂ R × Rn → Rn e B : DB ⊂ R × Rn → Rn×m. Esta forma,

apesar de menos geral, engloba um grande n´umero de sistemas de interesse pr´atico.

5_{O caso da realimenta¸cão dinâmica pode ser reduzido a uma realimenta¸cão estática}

desde que algumas condi¸cões sejam satisfeitas. A demonstra¸cão deste resultado não faz parte do escopo deste trabalho.

(34)

2.2.3 A Descontinuidade como N˜

ao Linearidade

O objetivo desta se¸cão é mostrar que sistemas de estrutura variável (ou des-cont´ınuos) são não-lineares, mesmo se a dinâmica fora da descontinuidade for linear.

Seja, portanto, um sistema linear por partes representado pelo operador

M : W × R → Y

y(t) = M(ζ(t), t) (2.27)

para o qual

W = X × U

sendo X ⊂ Rn _{o espa¸co de estados, U o espa¸co das fun¸c˜oes de entrada e Y o}

espa¸co das fun¸cões de sa´ıda. Cada ponto ζ ∈ W é formado por uma condi¸cão inicial x(t0) ∈ X e um vetor de fun¸cões de entrada u(t) ∈ U de modo que

ζ(t) = (x(t0), u(t)) .

Considere também que o espa¸co X é dividido em k parti¸cões por uma fron-teira S que define qual a estrutura de M que está ativa, ou seja

y(t) = Mi(ζ(t), t) se x ∈ Xi

onde i = 1, 2, ..., k (2.28)

sendo que Mi corresponde a uma dinˆamica linear dada por

(

˙x(t) = Ai(t)x(t) + Bi(t)u(t)

y(t) = Ci(t)x(t) + Di(t)u(t).

(2.29) Se o estado do sistema não cruza a fronteira S em nenhum ponto da sua trajetória, não ocorrem transi¸cões na estrutura de M. Logo, y(t) corresponde à sa´ıda de um sistema linear dada por

y(t) = Ci(t)Φi(t, t0)x(t0) +

Z _t

t0

Ci(t)Φi(t, τ )Bi(τ )u(τ )dτ + Di(t)u(t), (2.30)

onde Φ(tb, ta) ´e a matriz de transi¸c˜ao de estados do instante ta ao instante

tb. Seja Zc conjunto de todos os pontos ζ(t) que levam o sistema a este tipo

de comportamento.

Caso a trajet´oria do sistema cruze a fronteira S pelo menos uma vez, o sistema muda da estrutura i para a estrutura j em um instante td = td(ζ).

Neste caso, a sa´ıda no instante t > td torna-se

(35)

onde x(t) = Φj(t, td)x(td) + Z _t td Φj(t, τ )Bj(τ )u(τ )dτ x(td) = Φi(td, t0)x(t0) + Z _t_d t0 Φi(td, τ )Bi(τ )u(τ )dτ.

Seja Zd o conjunto de todos os ζ que levam o sistema a este comportamento.

Zc e Zd s˜ao claramente disjuntos.

Mostra-se que M é não-linear pela viola¸cão do princ´ıpio da superposi¸cão. Sejam dois pontos do dom´ınio de M,

ζ1(t) = (x1(t0), u1(t)) e ζ2(t) = (x2(t0), u2(t))

pertencentes a Zc. Isso significa que as sa´ıdas

y1(t) = M(ζ1(t), t) e y2(t) = M(ζ2(t), t)

s˜ao ambas dadas pela solu¸c˜ao (2.30) calculadas para os respectivos pontos

ζ1(t) e ζ2(t). Considere uma combina¸c˜ao linear desses pontos na forma,

ζ3(t) = α1ζ1(t) + α2ζ2(t)

de tal modo que ζ3 ∈ Zd. A sa´ıda resultante da combina¸c˜ao de entradas

calculada de acordo com a defini¸c˜ao ´e

y3(t) = M(ζ3(t), t)

dada pela solu¸c˜ao (2.31) para t > td.

Fazendo a superposi¸c˜ao das respostas individuais a cada uma das entradas

ζ1(t) e ζ2(t), a sa´ıda seria

ys(t) = α1y1(t) + α2y2(t) (2.32)

sendo y1(t) e y2(t) dados por (2.30) considerando em cada caso a respectiva

entrada.

Como por defini¸c˜ao Mi 6= Mj, ∀i 6= j, as respostas (2.31) e (2.32)

também são diferentes. Logo, M não satisfaz o princ´ıpio da superposi¸cão. Como M é formado pelos subsistemas lineares (2.29) conclui-se que a não-linearidade foi introduzida pela descontinuidade.

(36)

2.3 Solu¸c˜

ao de Sistemas de Estrutura Vari´

avel

O objetivo desta se¸cão é destacar os aspectos peculiares das solu¸cões de sistemas de equa¸cões diferenciais descont´ınuas. O próprio conceito de solu¸cão é revisto e generalizado para englobar as dinâmicas próprias de sistemas de estrutura variável.

A seguir, apresenta-se uma generaliza¸cão do conceito de solu¸cão de acordo com a teoria de Filippov [14]. Em seguida, Analisam-se as principais solu¸cões exclusivas de sistemas de estrutura variável.

2.3.1 Solu¸c˜

oes Generalizadas

De um modo geral, entende-se por solu¸c˜ao de uma equa¸c˜ao diferencial na forma

˙x = f (t, x) (2.33)

uma fun¸cão x(t) diferenciável em rela¸cão a t e para a qual a derivada é igual à fun¸cão f num dado intervalo de interesse. Porém, se f é descont´ınua essa defini¸cão não é adequada, como mostra o exemplo a seguir.

Exemplo 2.5 [14] Seja a seguinte equa¸c˜ao

˙x = 1 − 2sgn(x), sgn(x) =

( 1, se x > 0 0, se x = 0 −1, se x < 0.

(2.34)

Para x < 0 tem-se ˙x = 3 de modo que x(t) = 3t + c+. J´a para x > 0

tem-se ˙x = −1 sendo que a solu¸c˜ao fica x(t) = −t + c−. Em ambos os casos,

a medida que t cresce, x se aproxima da reta x = 0. Tanto para x < 0 como para x > 0, o sinal da derivada ˙x faz com que a solu¸cão, uma vez tendo atingido o ponto x = 0, permane¸ca fixa na origem de modo que sua expressão seria x(t) = 0, como mostra a Fig. 2.6. Mas essa fun¸cão não satisfaz a equa¸cão diferencial, pois sua derivada é ˙x(t) = 0 que difere da fun¸cão f para x = 0, que vale 1 − sgn(0) = 1.

Este exemplo mostra claramente a necessidade de uma generaliza¸cão do conceito de solu¸cão para equa¸cões diferenciais descont´ınuas, pois, deixa evi-dente que a defini¸cão usual não permite a existência de solu¸cão sobre os pon-tos de descontinuidade. Uma exposi¸cão detalhada sobre tal generaliza¸cão pode ser encontrada em [14]. Será apresentada aqui uma breve discussão.

Considere-se a classe de sistemas de estrutura variável definida pelas equa¸cões gerais (2.23), (2.24) e (2.25). Cada fun¸cão escalar σi(x) determina

(37)

−0.5 0 0.5 1 1.5 2 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 t x

Figura 2.6: Campo vetorial e solu¸cões do sistema de estrutura variável (2.34) que este não é o caso geral de um sistema descont´ınuo, já que as desconti-nuidades estão restritas aos pontos pertencentes às variedades de dimensão

n − 1 definidas pelos m conjuntos

Si = {x ∈ Rn/σi(x) = 0} i = 1, . . . , m. (2.35)

O conjunto de todos os pontos de descontinuidade de u ´e

M =

m

[

i=1

Si. (2.36)

Cada variedade Si ´e uma superf´ıcie de chaveamento, pois cada uma delas

divide o espa¸co de estados em duas regi˜oes: uma para a qual vale a fun¸c˜ao

u+_i (t, x) e outra em que vale a fun¸cão u−_i (t, x). A equa¸cão (2.24) rege esta comuta¸cão de u, porém ela nada diz sobre o comportamento de u quando

x ∈ Si ou seja, quando σi(x) = 0.

A fim de definir uma solu¸cão para a equa¸cão diferencial (2.23) considera-se que para cada ponto (t, x) do dom´ınio Du há um conjunto associado

U(t, x) ⊂ Rm_{. Sempre que x n˜ao for elemento de M, tal conjunto se}

re-duz a um ponto que coincide com o valor de u(t, x). Quando x for ponto de descontinuidade de qualquer componente ui, o conjunto U(t, x) ´e dado na

forma do produto cartesiano