Factorizações reflectivas, admissibilidade e descida em categorias de espaços topológicos ordenados

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Agradecimentos

Agradeço profundamente à Professora Doutora Manuela Sobral, minha orientadora, pela disponibilidade, dedicação, conselhos e palavras de incentivo que sempre teve para comigo durante o desenvolvimento deste trabalho.

Ao Professor Doutor George Janelidze, pelo tempo disponibilizado e pelas valiosas sugestões.

À minha família, pelo apoio e afecto que sempre me transmitem.

Aos meus colegas e amigos, por me terem ajudado a ultrapassar alguns obstáculos.

Ao Departamento de Matemática da Universidade dos Açores, agradeço as condições disponibilizadas para a realização deste trabalho.

Ao Centro de Matemática da Universidade de Coimbra, agradeço o apoio concedido.

Ao júri, presidido pelo Senhor Vice-Reitor, Doutor Jorge Manuel Rosa de Medeiros (por delegação do Reitor), e aos vogais, Doutora Maria Manuela Oli-veira de Sousa Antunes Sobral, professora catedrática da Faculdade de Ciên-cias e Tecnologia da Universidade de Coimbra; Doutor Jorge Manuel Senos da Fonseca Picado, professor associado da Faculdade de Ciências e Tecnolo-gia da Universidade de Coimbra; Doutora Júlia Maria Antunes Loureiro Vaz

de Carvalho, professora associada da Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade Nova de Lisboa; Doutora Helena de Fátima Sousa Melo, profes-sora auxiliar da Universidade dos Açores; e Doutora Maria Isabel de Oliveira Marques Ribeiro, professora auxiliar da Universidade dos Açores, agradeço as críticas e sugestões feitas a esta dissertação.

Resumo

A inclusão E : CHausOrd → CHausP reord é plena, e a categoria P sp dos espaços de Priestley é também uma subcategoria plena de CHausOrd, o que nos permite obter a reflexão CHausOrd → P sp por composição de E com a composição das reflexões CHausP reord → StoneP reord, StoneP reord →

P P reord e P P reord → P sp, que são aqui estudadas com pormenor.

Estabele-cemos semelhanças e diferenças entre a reflexão CHausOrd → P sp e a refle-xão correspondente para as ordens triviais, CHaus → Stone, nomeadamente o facto de a primeira não ser nem regular epireflectiva nem admissível.

Caracterizamos os morfismos de descida na categoria P P reord dos espa-ços de Stone ordenados que são totalmente desconexos em relação à pré-ordem, e em P sp. Provamos que um morfismo de P sp é morfismo de des-cida efectiva nessa categoria se e só se for morfismo de desdes-cida efectiva em

P P reord.

A categoria dos espaços de Priestley surge na equivalência induzida por

uma adjunção dual entre T opOrd e Ret0,1. Ela é também uma subcategoria de

T opP reord cujos objectos são limite de determinados espaços pré-ordenados

finitos e discretos.

A reflexão E−completamente regular ordenado → E−compacto ordenado, quando E é o espaço ordenado discreto 2 = {0 < 1}, dá-nos uma terceira forma de obter espaços de Priestley: a categoria dos espaços 2-compactos ordenados é exactamente P sp.

Abstract

The full inclusion functor E : CHausOrd → ChausP reord and the fact that the category P sp is also a full subcategory of CHausOrd gives us the reflec-tion CHausOrd → P sp through the composireflec-tion of E with the composireflec-tion of the reflections CHausP reord → StoneP reord, StoneP reord → P P reord, and

P P reord → P sp, which are described here in detail. We state similarities

and differences between the reflection CHausOrd → P sp and the correspon-ding reflection for the trivial orders, CHaus → Stone, namely that the former reflection is not regular epireflective and not admissible.

We characterize the descent morphisms in the categories P P reord of ordered Stone spaces which are totally disconnected with respect to the pre-order, and in P sp. We prove that a morphism in P sp is an effective descent morphism in this category if and only if it is an effective descent morphism in

P P reord.

The induced equivalence by the dual adjunction between T opOrd and Ret_0,1

lead us to the category of Priestley spaces. This category is also a subcate-gory of T opP reord whose objects are limits of suitable finite discrete preorde-red spaces, the category of limits of all such preordepreorde-red spaces being exactly

P P reord.

The reflection E−ordered completely regular → E−ordered compact, when

E is the ordered discrete space 2 = {0 < 1}, gives us another way to obtain

Priestley spaces: the category of 2-ordered compact spaces is exactly P sp.

Conteúdo

Introdução 1

1 Preliminares 5

1.1 Adjunções . . . 5

1.2 Admissibilidade e unidades estáveis . . . 8

1.3 Monacidade . . . 10

1.4 Sistemas de factorização . . . 12

1.5 Relações binárias internas . . . 15

1.6 Espaços de Stone . . . 17

1.7 Espaços topológicos ordenados . . . 17

1.8 Espaços de Priestley . . . 21

2 Adjunção dual entre T opOrd e Ret0,1 27 2.1 Adjunção entre T opOrd e Retop_0,1 . . . 27

2.2 Dualidade de Priestley . . . 32

2.3 Reflexão de CHausOrd em P sp . . . . 39

3 Reflexão de CHausOrd em P sp 41 3.1 A Reflexão CHaus → Stone . . . . 41

3.2 A Reflexão de CHausP reord em StoneP reord . . . . 49

3.3 A Reflexão de StoneP reord em P P reord . . . . 55

3.4 A Reflexão de P P reord em P sp . . . . 58

3.5 A Reflexão de CHausOrd em P sp . . . . 64 ix

4 Morfismos de descida efectiva em P sp 67

4.1 Descida e descida efectiva numa categoria . . . 67

4.2 Morfismos de descida efectiva em P P reord . . . . 72

4.3 Morfismos de descida efectiva em P sp . . . . 77

5 Um sistema de factorização reflectivo 81

5.1 Factorizações reflectivas . . . 81

5.2 Factorização reflectiva definida por

I a H : P sp → P P reord . . . . 82

6 Uma terceira forma de obter espaços de Priestley 87

6.1 Compactificações de espaços topológicos . . . 87

6.2 Compactificação de espaços topológicos ordenados . . . 91

Considerações finais 95

Bibliografia 97

Introdução

A Dualidade de Priestley pode ser descrita como a equivalência induzida, num sentido que tornaremos preciso mais adiante, por uma adjunção entre a categoria dos espaços topológicos ordenados T opOrd e a categoria dual da

dos reticulados limitados Ret_0,1. De forma análoga, a Dualidade de Stone é

a equivalência induzida pela adjunção correspondente para as ordens

trivi-ais, isto é, a adjunção entre a categoria T op dos espaços topológicos e Ret0,1.

No segundo caso, a adjunção e a equivalência dual determinam a reflexão da categoria CHaus dos espaços compactos de Hausdorff na categoria Stone dos espaços de Stone, também chamados espaços profinitos. No primeiro caso, pelo mesmo processo, obtém-se a reflexão de CHausOrd na categoria P sp dos espaços de Priestley.

A reflexão de CHaus em Stone bem como as propriedades das categorias envolvidas, nomeadamente a existência de um sistema de factorização reflec-tivo por ela induzido em CHaus bem como do sistema que dele advém por localização/estabilização, é um exemplo importante de reflexão onde o pro-cesso referido conduz à factorização monótona-leve, que é apresentado com pormenor em [CJKP97] por Carboni, Janelidze, Kelly e Paré.

O estudo da reflexão correspondente da categoria CHausOrd em P sp foi o tema proposto por M. Sobral e G. Janelidze e ponto de partida deste trabalho. Uma generalização crucial consistiu na substituição de ordem por pré-ordem. As novas categorias CHausP reord e P P reord permitiram-nos analisar seme-lhanças e diferenças entre as reflexões referidas e os contextos em que elas são definidas.

Nas primeiras secções do Capítulo 1 apresentamos conceitos e resultados gerais utilizados em todo o trabalho. A secção 7 contém um estudo

rizado de aspectos dos espaços topológicos ordenados (pré-ordenados), impor-tantes no desenvolvimento deste trabalho. O teorema final, que generaliza os resultados anteriores, é relativo a espaços de uma subcategoria plena C de

T op equipados com uma ordem (pré-ordem), COrd (CP reord). Razões para a

passagem de Ord a P reord são evidentes em 1.7.2, 1.7.3 e 1.7.4.

Na secção 8 estudam-se as categorias P sp dos espaços de Priestley e a categoria P P reord dos espaços de Stone pré-ordenados que são totalmente desconexos em relação à pré-ordem. Tal como Stone é a subcategoria plena de

T op dos espaços limites de espaços finitos e discretos([BJ90]) provamos que P P reord é constituída pelos espaços que são limite de espaços finitos discretos

e pré-ordenados. Daí se deduz, em 1.8.8, que os espaços de Priestley são limite de determinados espaços finitos discretos e pré-ordenados.

No Capítulo 2 a adjunção dual entre T opOrd e Ret0,1 é estudada em 2.1.

Em 2.2 mostramos que a equivalência induzida é a Dualidade de Priestley. Através da adjunção e da dualidade obtém-se a reflexão CHausOrd → P sp.

O Capítulo 3 é dedicado ao estudo da reflexão CHausOrd → P sp. Nele começamos por analisar o caso das ordens triviais CHaus → Stone. Mos-tramos que ela também pode ser obtida através da adjunção correspondente

entre T op e Ret_0,1 e da dualidade de Stone. Diferenças e semelhanças são

referidas, nomeadamente o facto de não ser nem regular epireflectiva nem admissível. As reflexões CHausP reord → StoneP reord e StoneP reord →

P P reord são estudas nas secções 3.2 e 3.3, respectivamente. Mostramos que

elas não são admissíveis e apresentamos, para a primeira, uma classe de morfismos para a qual ela é admissível. Na secção 3.4 provamos que a re-flexão P P reord → P sp tem unidades estáveis. Finalmente, como a inclusão

E : CHausOrd → CHausP reord é plena e a categoria P sp é também uma

subcategoria plena de CHausOrd, obtém-se a reflexão CHausOrd → P sp por composição de E com a composição das reflexões atrás mencionadas.

No Capítulo 4 caracterizamos morfismos de descida em P P reord e P sp e provamos que um morfismo de P sp é morfismo de descida efectiva nessa categoria se e só se for morfismo de descida efectiva em P P reord.

3

em P P reord pela reflexão P P reord → P sp, tendo como base o estudo do sis-tema de factorização reflectivo induzido em P reord pela reflexão P reord →

Ord, realizado por Xarez em [Xar03].

No último capítulo começamos por estudar "E-compactificações" para um espaço E de Hausdorff. Na terminologia introduzida por Engelking e Mrówka ([EM58]) definem-se as subcategorias plenas de T op:

E-completamente regular dos subespaços de produtos de cópias de E e

E − compacto dos subespaços fechados de tais produtos.

Temos então a reflexão E-completamente regular→ E-compacto, a "E-compactificação". Se E é o espaço discreto 2 = {0, 1}, elas são as categorias dos espaços zero-dimensionais e dos espaços de Stone, respectivamente. Também aqui P sp substitui Stone quando consideramos o espaço ordenado discreto 2 = {0 < 1}: a categoria dos espaços 2-compactos ordenados é exactamente

1

Preliminares

Neste capítulo apresentamos conceitos e resultados gerais que são utiliza-dos ao longo de todo o trabalho. Nomeadamente são referiutiliza-dos a noção e as propriedades da adjunção, admissibilidade em estruturas de Galois, sistemas de pré-factorização e de factorização, monacidade, relações binárias internas, e resultados sobre espaços de Stone. Espaços topológicos ordenados e espaços de Priestley são estudados com pormenor nas duas últimas secções. Termina-mos este capítulo apresentando uma forma de construir espaços de Priestley através de determinados espaços pré-ordenados finitos.

1.1 Adjunções

Dadas duas categorias e functores F : X → A, G : A → X, temos uma

adjunção se existe uma função ϕ que a cada par de objectos X ∈ X, A ∈ A faz

corresponder uma função bijectiva

ϕ = ϕX,A: A(F X, A) ∼= X(X, GA)

natural em X e em A.

Esta noção, usada ao longo de todo este trabalho, é muito importante e pode ser definida de várias formas ([Mac97], IV.1). Na proposição que se segue referimos as formas que são utilizadas neste trabalho.

Proposição 1.1.1 Uma adjunção < F, G, ϕ >: X * A fica completamente determinada por qualquer um dos items da seguinte lista:

(i) O functor G : A → X e para cada X ∈ X um objecto F0X ∈ A e o morfismo

universal ηX : X → GF0X de X para G. Então o functor F tem função

objecto F0 e é definido nos morfismos h : X → X0por GF h ◦ ηX = ηX0◦ h. (ii) Functores F , G e transformações naturais η : I_X→ GF e ² : F G → I_Atais

que G² ◦ ηG = I_Ge ²F ◦ F η = I_F. A adjunção < F, G, ϕ >: X * A é, nesse caso, denotada por < F, G, η, ² >: X * A.

Numa adjunção < F, G, η, ² >: X * A, o functor F diz-se adjunto à

es-querda de G e G adjunto à direita de F . Frequentemente são usadas outras

notações tais como F a G : A → X, F a G(η, ²) e X ...⊥F ... ... A .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... ... G

sendo η a unidade e ² a counidade da adjunção.

Proposição 1.1.2 Se os functores G : A → B e G0 : B → C têm adjuntos à

esquerda F e F0_{, respectivamente, então F F}0_{é adjunto à esquerda de G}0_G.

Dada uma subcategoria A de uma categoria B, as funções imersão, que a cada objecto e a cada morfismo de A fazem corresponder os próprios em B, definem um functor E : A → B, o functor inclusão.

Ao longo da tese as subcategorias consideradas são subcategorias plenas e

repletas, isto é o respectivo functor inclusão é pleno e são subcategorias

fecha-das para isomorfismos.

Uma subcategoria A de B diz-se reflectiva em B quando o functor inclusão

E : A → B tem adjunto esquerdo R : B → A. O functor R é chamado functor reflector e a adjunção < R, E, η, ² >: B * A diz-se a reflexão de B em A. Em

particular, a reflexão diz-se epireflectiva (regular epireflectiva) quando as com-ponentes da unidade da adjunção são epimorfismos (epimorfismos regulares, isto é, morfismos que são co-igualizadores de algum par de morfismos).

Toda a subcategoria plena e repleta X de uma categoria C é fechada para limites ([Mac97]). Relativamente a colimites, todo o diagrama em X que tem

1.1 Adjunções 7

colimite em C tem também, por reflexão, colimite em X tal como indicamos seguidamente para co-igualizadores.

Proposição 1.1.3 Seja C uma categoria com co-igualizadores. Dada uma subcategoria plena, repleta e reflectiva X de C e (f, g) : X → X0 _{um par de}

morfismos em X, o morfismo r_Q◦ q, com q : X0 _{→ Q co-igualizador do par (f, g)}

em C e rQa componente da unidade da reflexão associada a Q, é co-igualizador

do par de morfismos (f, g) em X.

Demonstração: Seja q : X0 _{→ Q o co-igualizador em C do par de morfismos}

(f, g), consideremos o seguinte diagrama

X ...f ... ...X0...q ... ... _{Q R(Q),} ... ...

g

...rQ .. ...

como q ◦ f = q ◦ g, também (rQ◦ q) ◦ f = (rQ◦ q) ◦ g e rQ◦ q ∈ X. Seja h : X0 → X00

um morfismo em X tal que h ◦ f = h ◦ g. Como q é co-igualizador do par

(f, g) em C, então existe um único morfismo h0 _{: Q → X}00 _{tal que h}0 _{◦ q = h.}

Mas r_Q é componente da unidade da reflexão, logo existe um único morfismo

h00_{: R(Q) → X}00_{em X tal que h}00_{◦ r}

Q= h0. Portanto h00◦ (rQ◦ q) = h e é o único

morfismo que satisfaz esta igualdade. Supondo que existe l : R(Q) → X00_tal

que l ◦ (rQ◦ q) = h, então l ◦ rQ= h00◦ rQ= h0, porque q é epimorfismo e l = h00

pela unicidade de h00_{. Portanto r}

Q◦ q é co-igualizador do par (f, g) em X. ¤

Uma adjunção < F, G, η, ² >: X * A é uma equivalência se a unidade

η : I_X → GF e a co-unidade ² : F G → I_A são isomorfismos naturais. Duas

categorias dizem-se equivalentes se existe uma tal adjunção ([Mac97], IV.4).

Proposição 1.1.4 Toda a adjunção < F, G, η, ² >: A * B induz uma equiva-lência < F₁, G₁, η0_{, ²}0 _{>: A}

1 * B1entre A1e B1 que são as subcategorias plenas

de A e B definidas por:

(i) X ∈ A1 se e só se ηX é um isomorfismo em A.

(ii) Y ∈ B1se e só se ²Y é um isomorfismo em B.

Demonstração: Seja < F, G, η, ² >: A * B uma adjunção e A1, B1 as subca-tegorias plenas de A e B satisfazendo (i) e (ii), respectivamente.

Seja X ∈ A1, então ηX : X → GF X é um isomorfismo em A, logo

F ηX : F X → F GF X é um isomorfismo. Assim existe o isomorfismo

(F ηX)−1 : F GF X → F X tal que (F ηX)−1◦ F ηX = IdF X e F ηX ◦ (F ηX)−1 =

IdF GF X.

Sabendo que ²F ◦ F η = Id_F temos que

²F X ◦ F ηX = IdF X ⇒ ²F X ◦ F ηX ◦ (F ηX)−1 = IdF X ◦ (F ηX)−1

⇒ ²F X ◦ IdF GF X = (F ηX)−1

⇒ ²F X = (F ηX)−1.

Como (F ηX)−1é isomorfismo, ²F X é isomorfismo, logo F X ∈ B1.

De forma análoga, tem-se que se Y ∈ B1então GY ∈ A1.

Assim obtemos uma adjunção < F₁, G₁, η0_{, ²}0 _{>: A}

1 * B1, onde

F1(X) = F (X), F1(f ) = F (f ) e η_X0 = ηX, para todo o objecto e morfismo de

A₁, e G₁(Y ) = G(Y ), G₁(g) = G(g) e ²0

Y = ²Y, para todo o objecto e morfismo

de B1. ¤

1.2 Admissibilidade e unidades estáveis

Nesta secção referimos alguns conceitos e resultados relativos às estru-turas categoriais de Galois introduzidos por G. Janelidze em [Jan90]. Para informação detalhada ver [BJ01]. Em particular, averiguamos a admissibili-dade e a existência de uniadmissibili-dades estáveis de diversas adjunções.

Uma adjunção < F, G, η, ² >: C * X juntamente com duas classes de mor-fismos (chamadas fibrações) K e S em C e X, respectivamente, tais que

• K e S são classes estáveis para produtos fibrados e existem produtos

fibrados ao longo de morfismos de K e de S;

• K e S são classes fechadas para a composição e contêm todos os

isomor-fismos;

1.2 Admissibilidade e unidades estáveis 9

constitui umaestrutura de Galois na categoria C.

Uma estrutura de Galois numa categoria C é admissível se para todo o ob-jecto C em C e toda a fibração φ : X → F (C) em X a composição dos morfismos canónicos

F (C ×_{GF (C)}G(X)) → F G(X) → X

é um isomorfismo.

Sejam K e S as classes de todos os morfismos de codomínio B e F (B), respectivamente. Se C/B e X/F (B) são as correspondentes categorias na ad-junção associada a uma reflexão admissível < F, G, η, ² >: C * X,

< FB, GB, ηB, ²B>: C/B * X/F (B)

o functor GB _{induz uma equivalência X/F (B) ∼ M/B onde M é constituída}

pelos morfismos α : A → B para os quais ηB_(A,α)é um isomorfismo. Este facto,

bem como os que lhe correspondem para fibrações particulares, é um resultado central da teoria referida ([BJ01] 5.1 e [CJKP97] 5.).

Consideremos K = M or(C) e S = M or(X).

Proposição 1.2.1 Uma reflexão plena, isto é uma adjunção

< F, G, η, ² >: C * X (1.1)

cuja co-unidade ² é isomorfismo, é admissível se e só se F preserva produtos fibrados da forma B B ×_{GF (B)}G(X) GF (B) G(X) ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... π1 ...π2 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... G(ϕ) ... ... ηB com X ∈ X.

Definição 1.2.2 Diz-se que a reflexão (1.1) tem unidades estáveis quando o functor F : C → X preserva qualquer produto fibrado da forma

A A ×_G(X)B G(X) B ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... π1 ...π2 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... β ... ... α

Proposição 1.2.3 Se a reflexão (1.1) tem unidades estáveis e a co-unidade ² : F G → IX é um isomorfismo, então a adjunção é admissível.

1.3 Monacidade

Uma mónada T numa categoria X é um terno (T, η, µ) constituído por um

functor T : X → X e duas transformações naturais η : I_X→ T, µ : T2 _{→ T tais}

que, para todo o objecto X ∈ X, os diagramas

T2_X...µX ... ..._{T X} T3_X...T µX ... ..._T2_X ... ... ... ... ... ... ... ... ... . ... µT X ... ... ... ... ... ... ... ... ... . ... µX T X...ηT X ... ...T2_X......T...η...X..._{T X} T X ..._... ..._... ..._... ..._... ..._{. ..........}... IT X ... ... ... ... ... ... ... ... ... . ... µX .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ... ... IT X são comutativos.

Dada uma mónada em X, uma T-álgebra é um par (X, ξ) constituído por um objecto X e um morfismo ξ : T X → X em X, chamado o morfismo de estrutura, para o qual os diagramas

T X...ξ .. ... X T2_X...T ξ ... ..._{T X} ... ... ... ... ... ... ... ... ... . ... µX ... ... ... ... ... ... ... ... ... . ... ξ X T X X ...ηX ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . ... ξ ..._... ..._... ..._... ..._... ..._{. ..........}... IX são comutativos.

1.3 Monacidade 11

Um T-morfismo entre duas T-álgebras, (X, ξ) e (Y, θ), é um morfismo

f : X → Y em X para o qual o diagrama

X ...f ... ... Y T X...T f .. ...T Y ... ... ... ... ... ... ... ... ... . ... ξ ... ... ... ... ... ... ... ... ... . ... θ é comutativo.

Para qualquer mónada T numa categoria X as T-álgebras e os T-morfismos

constituem uma categoria, denotada por XT_{, e o functor de esquecimento}

UT _{: X}T_{→ X tem adjunto à esquerda}

FT _{: X −→ X}T

X 7−→ (T X, µ_X)

f 7−→ T f

com unidade ηT

X = ηX, para cada X ∈ X, e co-unidade ²T(Y,θ) = θ, para cada

(Y, θ) ∈ XT_.

Proposição 1.3.1 Se < F, U, η, ² >: X * A é uma adjunção então existe uma mónada T em X definida da seguinte forma:

• T = U F ; • η : I_X → U F ;

• µ = U ²F : U F U F → U F .

Nota: Toda a adjunção induz uma mónada e, reciprocamente, toda a

mó-nada é induzida por (em geral por mais do que) uma adjunção. Em particular

a adjunção definida por (UT_{, F}T_{) induz a mónada T em X.}

Teorema 1.3.2 Dada uma adjunção < F, U, η, ² >: X * A seja T a mónada

Φ(A) = (U A, U ²A) e Φ(f ) = U f . Ele é o único functor para o qual UT◦ Φ = U e

Φ ◦ F = FT_{, ou seja para o qual o seguinte diagrama comuta}

A X XT ...Φ ... ... ..._... ..._... ..._... ..._... ..._... ... .. . ... U ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... F .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ... ... UT ... ... ... ... ... ... ... FT

O functor Φ chama-se functor de comparação de Eilenberg-Moore. Este func-tor permite "avaliar" a algebricidade da categoria A relativamente à mónada induzida pela adjunção em causa.

Um functor com adjunto à esquerda diz-se pré-monádico se o functor de comparação Φ é fiel e pleno e diz-se monádico se Φ é uma equivalência.

Da teoria das mónadas referimos seguidamente alguns factos que serão frequentemente utilizados neste trabalho.

Proposição 1.3.3 (i) O functor Φ é pré-monádico se e só se as componentes da co-unidade da adjunção são epimorfismos regulares.

(ii) Todo o functor monádico reflecte isomorfismos.

1.4 Sistemas de factorização

Enunciamos, aqui, definições e resultados sobre sistemas de pré-factoriza-ção e de factorizapré-factoriza-ção usando as notações e resultados referidos por Carboni, Janelidze, Kelly e Paré em [CJKP97].

Um sistema de factorização numa categoria C é um par (E, M), onde E e M são classes de morfismos de C, tal que todo o morfismo de C se factoriza de forma única segundo um morfismo de E seguido de um morfismo de M. Mais

precisamente, se f ∈ C então f = m ◦ e com m ∈ M e e ∈ E e, se f = m0_{◦ e}0 _é

1.4 Sistemas de factorização 13 e m0_{◦ g = m.} A...f .. ... B C0 ..._... ..._... ..._... .... .. .. .. .. . ... e0 ... ... ... ... m0 C ... ... ... ... e ..._... ..._... ..._... .... .. .. .. .. . ... m ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... g

Dados morfismos p e i, numa categoria C, dizemos que p é ortogonal ao morfismo i, e escrevemos p ↓ i, se para todo o par de morfismos u, v tais que

v ◦ p = i ◦ u existe um único morfismo w que torna o seguinte diagrama

• • • • ...i ... ... ...p ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... u ... ... ... ... ... ... .. ... v .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ... ... w comutativo.

Para cada classe H de morfismos na categoria C considera-se as seguintes classes de morfismos

H↑_{= {p|p ↓ h para todo h ∈ H} e H}↓ _{= {i|h ↓ i para todo h ∈ H}.}

Um sistema de pré-factorização (E, M) em C é o par de classes de morfismos

para as quais E = M↑ _{e M = E}↓_{. Um sistema de factorização é um sistema}

de pré- factorização (E, M) tal que qualquer morfismo f ∈ C se factoriza na forma f = m ◦ e com m ∈ M e e ∈ E. Em resumo, classes de morfismos em C constituem sistemas de factorização se verificam as condições da seguinte proposição.

Proposição 1.4.1 Classes de morfismos (E, M) constituem sistemas de facto-rização se e só se

(i) E e M contêm todos os isomorfismos; (ii) E e M são fechadas para a composição;

(iv) e ↓ m, com e ∈ E, m ∈ M.

Em particular, se todo o morfismo f : A → B numa categoria C se factoriza na forma f = m ◦ e sendo m monomorfismo e e epimorfismo regular então a categoria C tem um sistema de factorização (EpiReg, M ono). De facto, a classe E dos epimorfismos regulares e a classe M dos monomorfismos numa categoria C contêm os isomorfismos de C, portanto satisfazem a condição (i). Essas classes também satisfazem (iv): se e = co-ig(u, v) e m ◦ s = t ◦ e com

m ∈ M então, C0 _D A C ... ... m ... ... ... ... ... ... ... ... s ...e .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... t A0 ... ... v ...u .. ...

como m é um monomorfismo e m ◦ s ◦ u = m ◦ s ◦ v, vem que s ◦ u = s ◦ v.

Portanto, por definição de co-igualizador, existe um único morfismo d : C → C0

tal que d ◦ e = s. Além disso m ◦ d ◦ e = m ◦ s = t ◦ e implica que m ◦ d = t, sendo d o único morfismo nessas condições, como é fácil verificar.

Admitindo que todo o morfismo de C tem uma factorização (E, M), isto é a

condição (iii), resta provar (ii). Dados e1 : A → B e e2 : B → C com e1, e2 ∈ E

suponhamos que e₂◦ e₁ = m ◦ e é a factorização (E, M) de e₂◦ e₁.

D A ... ... ... ... ... ... ... ... e C ...m ... ... B ...e1 ... ... _{........... C} .. ... . e2 .... .... .... . .... .... .... . .... .... .... . .... .... .... . .... .... .... . .... .... .... . .... .... ... ... d1 .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . ... ... d2 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

Por (iv) existe d1 tal que d1◦ e1 = e e m ◦ d1 = e2. De m ◦ d1= e2 e (iv) deduz-se

a existência de um único d2 tal que d2 ◦ e2 = d1 e m ◦ d2 = 1C. Como m é

monomorfismo e epimorfismo cindido é um isomorfismo, portanto e₂◦ e₁∈ E.

Em qualquer categoria a classe M é fechada para a composição, pois a composição de monomorfismos é sempre um monomorfismo.

Proposição 1.4.2 Seja C uma categoria com um sistema de factorização

(EpiReg, M ono). Se X é uma subcategoria plena, repleta e regular epireflectiva

1.5 Relações binárias internas 15

(i) X tem factorizações (EpiReg, M ono);

(ii) o functor inclusão preserva e reflecte epimorfismos regulares; (iii) se m : C → X é monomorfismo em C e X ∈ X então C ∈ X.

Proposição 1.4.3 Para um sistema de factorização (E, M) numa categoria C tem-se as seguintes propriedades:

(i) f ∈ E ∩ M ⇒ f é um isomorfismo;

(ii) a factorização f = m ◦ e, m ∈ M, e ∈ E, de um morfismo f de C é única a menos de um isomorfismo; (iii) f ∈ M se e só se e ↓ f , com e ∈ E; (iv) f ◦ g ∈ M e f ∈ M ⇒ g ∈ M, (v) no produto fibrado • • • • ...m .. ... ...n ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... a ... ... ... ... ... ... .. ... b se m ∈ M, então n ∈ M.

As propriedades duais de (iii), (iv), (v) são válidas para morfismos em E. A propriedade (v) não é em geral válida para morfismos da classe E. Os siste-mas que verificam essa propriedade, isto é, tais que a classe E é estável para

produtos fibrados designam-se porsistemas de factorização estáveis.

1.5 Relações binárias internas

Definição 1.5.1 Seja C uma categoria. Uma relação binária interna em X ∈ C é um objecto R ∈ C juntamente com um par de morfismos conjuntamente mo-nomórfico

R ...r1 ... ... X ... ...

Definição 1.5.2 Seja C uma categoria com produtos binários. Um par R ...f ... ... X

..._g .. ... de morfismos numa categoria C (ou o morfismo indu-zido pelo produto < f, g >: R → X × X), diz-se uma relação de pré-ordem em X se

(i) (f, g) é um par de morfismos monomórfico, isto é < f, g > é um monomor-fismo;

(ii) existe um morfismo δ : X → R tal que f ◦ δ = 1X, g ◦ δ = 1X;

(iii) existe um morfismo σ : R ×X R → R tal que f ◦ σ = f ◦ ρ1, g ◦ σ = g ◦ ρ2,

onde o produto fibrado é o apresentado no seguinte diagrama

R R ×X R X R ... ... ... ... ... ... ... ... . ... ρ1 ...ρ2... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . ... f ... ... g

Definição 1.5.3 Seja C uma categoria com produtos binários. Um par R ...f ... ... X

... ...

g de morfismos de C (ou o morfismo induzido pelo produto

< f, g >: R → X × X), diz-se uma relação de equivalência em X se

(i) (f, g) é um par de morfismos monomórfico, isto é < f, g > é um monomor-fismo;

(ii) a diagonal ∆ : X → X × X factoriza-se através de < f, g >; (iii) existe um morfismo t : R → R tal que f ◦ t = g e g ◦ t = f ;

(iv) para o diagrama produto fibrado

R A X R ... ... ... ... ... ... ... ... . ... f0 ...g0 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . ... f ... ... g < f ◦ f0_{, g ◦ g}0 _{>: A → X × X factoriza-se através de < f, g >.}

Definição 1.5.4 Uma relação de equivalência diz-se efectiva se é o par núcleo de algum morfismo.

1.6 Espaços de Stone 17

1.6 Espaços de Stone

Um espaço topológico X diz-se

• totalmente desconexo se os únicos subconjuntos conexos de X são os

sub-conjuntos singulares;

• totalmente separado se para quaisquer dois pontos distintos de X existe

um subconjunto aberto-fechado de X que contém um e não contém o outro;

• zero dimensional se os subconjuntos abertos-fechados de X formam uma

base para a topologia.

Proposição 1.6.1 Para um espaço topológico X são equivalentes as seguintes condições:

(i) X é compacto, Hausdorff e totalmente desconexo; (ii) X é compacto e totalmente separado;

(iii) X é compacto, T0 e zero dimensional.

Um espaço de Stone, também chamado espaço profinito, é um espaço topo-lógico satisfazendo uma e, portanto, todas as condições da proposição anterior. Denotamos por Stone a subcategoria plena da categoria dos espaços topológi-cos constituída por estes espaços. Sendo uma subcategoria reflectiva ([BJ01] 3.4.4) ela é fechada para produtos e subespaços. Efectivamente, Stone é uma subcategoria regular epireflectiva de CHaus, tendo, portanto, as propriedades referidas em 1.4.2.

1.7 Espaços topológicos ordenados

Tal como em [DP90] um terno (X, τ, ≤) diz-se um espaço topológico

orde-nado (pré-ordeorde-nado) se (X, τ ) é um espaço topológico e (X, ≤) é um conjunto

Neste trabalho não utilizamos a definição de espaço topológico ordenado (pré-ordenado) de L. Nachbin ([Nac65]) visto não incluirmos a condição de a relação de ordem (pré-ordem) ser fechada em X ×X. No entanto essa condição surge naturalmente em determinados tipos de espaços como veremos.

A categoria T opOrd é a categoria cujos objectos são os espaços topológicos ordenados e os morfismos são as aplicações contínuas que preservam a ordem e o mesmo para T opP reord.

Proposição 1.7.1 As categorias T opOrd e T opP reord são completas.

Demonstração: Dado um conjunto {(Xi, τi, ≤i)|i ∈ I} de espaços topológicos

ordenados o seu produto é o terno (X, τ, ≤), onde X =Q_i∈IXi é o produto dos

conjuntos subjacentes, τ é a topologia produto e (xi)i∈I ≤ (yi)i∈I se e só se

xi ≤i yi para todo o i ∈ I, munido das projecções pi : (X, τ, ≤) → (Xi, τi, ≤i).

Como o espaço singular é objecto terminal em T opOrd, concluímos que esta categoria tem produtos.

O igualizador em T opOrd de f, g : (X, τ, ≤) → (Y, τ, ≤) é o par (E, i) onde

E = {x|f (x) = g(x)} é o subconjunto de X equipado com a topologia e a ordem

de subespaço de X e i : E → X é a inclusão.

Sendo uma categoria com produtos e igualizadores T opOrd tem limites ([Mac97], capV 2, teorema 2), isto é, é uma categoria completa. E o mesmo se

verifica para T opP reord. ¤

O functor de esquecimento U : T opP reord → T op preserva limites. O resul-tado seguinte dá-nos uma boa razão para esse facto e diz-nos que U também preserva colimites.

Proposição 1.7.2 O functor U : T opP reord → T op tem adjunto à esquerda e adjunto à direita.

Demonstração: Os functores F, G : T op → T opP reord definidos em objectos

por F (X, τ ) = (X, τ, ∆_X), onde ∆_X = {(x, x)|x ∈ X}, e G(X, τ ) = (X, τ, X × X)

1.7 Espaços topológicos ordenados 19

Seja P reord a categoria dos conjuntos pré-ordenados e das funções que

preservam as pré-ordens. Denotemos por R_X o subconjunto {(x, x0_{)|x ¹ x}0_{} de}

X × X para (X, ¹) ∈ P reord.

Lema 1.7.3 ([JS02] 2.2) Um morfismo f : (X, ¹) → (Y, ¹) é um epimorfismo regular em P reord se e só se f (X) = Y e RY é o fecho transitivo de f × f (RX).

Usamos também ¹X para denotar RX.

Seja V : T opP reord → P reord o functor de esquecimento.

Proposição 1.7.4 O morfismo f : (X, τ, ¹) → (Y, τ, ¹) é um epimorfismo re-gular em T opP reord se e só se U f é epimorfismo rere-gular em T op e V f é epimor-fismo regular em P reord.

Demonstração: Se f é um epimorfismo regular em T opP reord então f é o

co-igualizador do seu par núcleo (π1, π2) e, por 1.7.2, (U π1, U π2) é o par núcleo

de U f e U f é o co-igualizador de (U π1, U π2). Além disso, supondo que RY

contém estritamente o fecho transitivo de f × f (RX), seja Y0 o espaço com o

mesmo espaço topológico subjacente de Y e R_Y0o fecho transitivo de f ×f (R_X).

O morfismo f0 _{: X → Y}0 _{definido por f}0_{(x) = f (x), para todo o x ∈ X, é tal que}

f0_{◦ π}

1 = f0◦ π2 mas não se factoriza através de f . Consequentemente, f não

é co-igualizador de (π1, π2).

Reciprocamente, se U f e V f são epimorfismos regulares em T op e P reord,

respectivamente, e g ◦ π1 = g ◦ π2 em T opP reord, então existe um morfismo

h ∈ T op tal que h ◦ f = g.

Além disso, se y ¹ y0_{em Y , pela lema anterior, existe uma sequência finita}

x₀ ¹ x0₀, x₁ ¹ x0₁, . . . , x_n¹ x0_n

em X tal que y = f (x0), f (x0i) = f (xi+1), para i = 0, 1, . . . , n − 1, e y0 = f (x0n).

Então h(y) = g(x0) ¹ g(x00) = g(x1) ¹ . . . ¹ g(x0n) = h(y0) e, pela transitividade,

h(y) ¹ h(y0_{). Portanto, h ∈ T opP reord e é o único morfismo que satisfaz a}

Proposição 1.7.5 T opOrd é uma subcategoria plena e regular epireflectiva de T opP reord

Demonstração: Para X = (X, τ, ¹) em T opP reord define-se uma relação de

equivalência em X da seguinte forma

x ∼ x0 ⇔ x ¹ x0 e x0¹ x

e toma-se I(X) = (X/ ∼, τ, ≤) onde X/ ∼ é o conjunto quociente, τ é a topologia

quociente relativamente à projecção canónica pX : X → X/ ∼ e ≤ é o fecho

transitivo de p_X × p_X(R_X), que é uma ordem em X/ ∼. Então p_X : X → I(X)

é a reflexão de X em T opOrd. Além disso, por 1.7.4, pX é um epimorfismo

regular sendo portanto T opOrd uma subcategoria plena e regular epireflectiva

de T opP reord. ¤

Seja CP reord a subcategoria plena de T opP reord cujos objectos são ternos (X, τ, ¹) tais que (X, τ ) é objecto da subcategoria plena C de T op. Denotamos por U e V os correspondentes functores de esquecimento de CP reord em C e em P reord.

As proposições desta secção são casos particulares das que reunimos no teorema que se segue.

Teorema 1.7.6 Em CP reord

(i) O functor U : CP reord → C tem adjunto à esquerda e à direita;

(ii) um functor D : I → CP reord tem limite se e só se U D : I → C tem limite em C;

(iii) se C é fechada para produtos fibrados um morfismo f ∈ CP reord é epi-morfismo regular se e só se U f e V f são epiepi-morfismos regulares em C e em P reord, respectivamente;

(iv) se, para (X, τ, ¹) ∈ CP reord, X/ ∼ com a topologia quociente pertence ainda a C então COrd é uma subcategoria regular epireflectiva de CP reord.

1.8 Espaços de Priestley 21

1.8 Espaços de Priestley

Seja X um espaço topológico ordenado (pré-ordenado). Um subconjunto I de X diz-se decrescente em X se

x, y ∈ X, y ∈ I e x ≤ y ⇒ x ∈ I.

Denotamos por AF D(X) o conjunto dos subconjuntos abertos-fechados de-crescentes de X.

Definição 1.8.1 O espaço topológico ordenado (pré-ordenado) (X, τ, ≤) diz-se totalmente desconexo em relação à ordem (pré-ordem) se dados x, y ∈ X tais que y 6≤ x existe um subconjunto U aberto-fechado decrescente de X tal que x ∈ U e y 6∈ U .

Proposição 1.8.2 Todo o espaço totalmente desconexo em relação à ordem é espaço de Hausdorff.

Demonstração: Seja (X, τ, ≤) um espaço totalmente desconexo em relação

à ordem. Vejamos que é de Hausdorff. Sejam x, y ∈ X tais que x 6= y.

Suponhamos que y 6≤ x. Então, como (X, τ, ≤) é totalmente desconexo em relação à ordem, existe U , subconjunto aberto-fechado decrescente de X, tal

que x ∈ U e y /∈ U .

Sendo U aberto-fechado, X − U é aberto-fechado. Como y /∈ U , então

y ∈ X − U . Assim existem os abertos U , X − U tais que x ∈ U , y ∈ X − U e

U ∩ (X − U ) = ∅, ou seja (X, τ ) é espaço de Hausdorff. ¤

Proposição 1.8.3 Todo o subespaço de um espaço totalmente desconexo em relação à ordem é ainda totalmente desconexo em relação à ordem.

Demonstração: Seja (X, τ, ≤) um espaço topológico totalmente desconexo

em relação à ordem. Seja A um subespaço de X.

Sejam a, a0 _{∈ A tais que a 6≤ a}0_{. Então existe U ∈ AF D(X) tal que a}0 _{∈ U e}

a /∈ U . Se U é aberto-fechado decrescente de X então U ∩ A é aberto-fechado

decrescente de A, e assim A é totalmente desconexo em relação à ordem. ¤

Proposição 1.8.4 O espaço produto de espaços topológicos totalmente desco-nexos em relação à ordem é ainda um espaço totalmente desconexo em relação à ordem.

Demonstração: Sejam (Xi)i∈I uma família de espaços topológicos

ordena-dos totalmente desconexos em relação à ordem.

Vejamos que o espaço topológico produto,Q_i∈IXi, é totalmente desconexo

em relação à ordem.

Sejam (xi)i∈I, (yi)i∈I ∈

Q

i∈IXi tais que (xi)i∈I 6≤ (yi)i∈I. Então existe um

índice i₀ ∈ I para o qual x_i0 6≤ y_i0. Em X_i0 existe U_i0 ∈ AF D(X_i0) tal que

yi0 ∈ Ui0 e xi0 ∈ U/ i0.

Fazendo Ui = Xi, para todo o i 6= i0, em U =

Q

i∈IUi, U é um subconjunto

aberto-fechado decrescente do espaço produto,Q_i∈IXi, tal que (yi)i∈I ∈ U e

(xi)i∈I ∈ U . Logo o espaço produto considerado é totalmente desconexo em/

relação à ordem. ¤

Um espaço de Priestley é um espaço topológico ordenado, compacto e to-talmente desconexo em relação à ordem, portanto os espaços de Priestley são espaços de Stone visto serem espaços compactos, Hausdorff e totalmente des-conexos.

Denotamos por P sp a subcategoria plena de T opOrd constituída pelos es-paços de Priestley.

Proposição 1.8.5 Se X é um espaço totalmente desconexo em relação à ordem então a relação é fechada.

Demonstração: Seja (X, τ, ≤) um espaço totalmente desconexo em relação

à ordem e seja R_X = {(x, y) ∈ X × X|x ≤ y}. Mostremos que R_X é um

1.8 Espaços de Priestley 23

Consideremos A = (X × X) − RX e vejamos que A é um aberto de X × X.

Seja (x, y) ∈ A, isto é x 6≤ y. Como X é um espaço totalmente desconexo em relação à ordem, existe U aberto-fechado decrescente de X tal que y ∈ U e

x /∈ U . Logo existe um subconjunto aberto de X × X, (X − U ) × U , que contém

(x, y). Vejamos que (X − U ) × U ⊆ A.

Seja (a, b) ∈ (X − U ) × U . Suponhamos que (a, b) /∈ A. Então a ≤ b, como

b ∈ U e U é decrescente, tem-se a ∈ U , o que é um absurdo. ¤

Em particular, num espaço de Priestley a relação de ordem é interna. De

facto, RX sendo um subespaço fechado de X × X é compacto e totalmente

desconexo em relação à ordem. Além disso P sp é uma subcategoria plena de

T opOrd.

Um espaço finito e discreto é um espaço de Priestley relativamente a qual-quer ordem.

F. Borceux e G. Janelidze, em [BJ01] 3.4.7, caracterizam os espaços de Stone como sendo limites de espaços topológicos finitos e discretos. Para obter uma "versão ordenada" deste resultado, seguindo um raciocínio semelhante, temos que passar a um patamar mais elevado de generalidade e considerar os espaços de Stone pré-ordenados que são totalmente desconexos em rela-ção à pré-ordem. A correspondente subcategoria plena de T opP reord vai ser denotada por P P reord.

Proposição 1.8.6 As categorias P sp e P P reord são completas.

Demonstração: Como o produto de espaços compactos é compacto, de 1.8.4

e atendendo a que o objecto terminal de T opOrd e T opP reord (o espaço orde-nado singular) é o terminal em P sp e em P P reord, vem que estas categorias têm produtos.

De 1.8.2 e 1.8.3 conclui-se que o igualizador de qualquer par de morfismos em P sp ou P P reord ainda pertence a essas categorias: basta ver que no igua-lizador (E, i) do par f, g : X → Y , E é um subconjunto fechado de X (porque

estamos a trabalhar com espaços Hausdorff) portanto compacto.

Concluímos portanto que P sp e P P reord tendo produtos e igualizadores

têm todos os limites. ¤

Teorema 1.8.7 Um espaço topológico pré-ordenado é objecto de P P reord se e só se é limite de espaços pré-ordenados finitos e discretos.

Demonstração: Um espaço finito e discreto é compacto. Ele é também

to-talmente desconexo em relação a qualquer pré-ordem (tal como a qualquer ordem). Pela proposição anterior concluímos que o limite de espaços pré--ordenados finitos e discretos é ainda um objecto de P P reord.

Reciprocamente, seja X ∈ P P reord e R o conjunto das relações de equi-valência R em X tais que o espaço topológico quociente X/R relativamente à

projecção canónica p_R: X → X/R é finito e discreto. Considerando o conjunto

R ordenado por inclusão como uma categoria seja

D : R → P P reord

o functor definido por D(R) = X/R, o espaço quociente com a relação de

pré--ordem que é o fecho transitivo de pR× pR(¹X).

Se R ⊆ R0 _{temos um morfismo X/R → X/R}0 _{definido por [x]}

R 7→ [x]R0,

denotando por [x]R e por [x]R0 as correspondentes classes de equivalência de

x ∈ X.

Seja (λR : L → X/R)R∈R o limite de D. Como (pR : X → X/R)R∈R é um

cone de X para D, pela definição de limite, existe um único morfismo g em

P P reord tal que λ_R◦ g = p_Rpara todo o R ∈ R.

Pelo teorema 3.4.7 em [BJ01], g é um homeomorfismo. Suponhamos agora que g(x) ¹ g(y) e que x 6¹ y. Então, porque X é totalmente desconexo em relação à pré-ordem, existe U subconjunto aberto-fechado decrescente de X

tal que y ∈ U e x /∈ U .

Tomemos a relação de equivalência RU em X correspondente à partição

{U, X − U }. Então RU ∈ R. Vejamos que [x]RU 6¹ [y]RU.

Suponhamos que [x]_RU ¹ [y]_RU, então existem

x0

1.8 Espaços de Priestley 25

[x0

1]RU = [x]RU, [x1]RU = [x02]RU, . . . , [xn]RU = [y]RU.

Assim, como y ∈ U então xn ∈ U e, também, x0n ∈ U , pois U é um

sub-conjunto decrescente. Aplicando o mesmo raciocínio sucessivamente temos

também x0

1 ∈ U .

Por outro lado, x /∈ U logo x ∈ X − U , e, como [x0₁]RU = [x]RU, também

x0

1 ∈ X − U . O que é um absurdo.

Assim existe uma relação de equivalência R_U ∈ R tal que [x]_RU 6¹ [y]_RU,

portanto g(x) 6¹ g(y).

Portanto X é limite de espaços topológicos pré-ordenados finitos e

discre-tos, a menos de um isomorfismo. ¤

Partindo de um espaço de Priestley X, as relações induzidas em X/R pelo fecho transitivo podem não ser, e não são em geral, relações de ordem. Con-tudo o limite L sendo isomórfico em P P reord a X é ordenado: considerando os espaços pré-ordenados X/R, mais precisamente o correspondente diagrama em P P reord definido pela categoria R e o seu limite em P P reord obtemos o espaço de Priestley X de que partimos.

Assim, o teorema anterior dá-nos uma forma de construir espaços de Pries-tley.

Corolário 1.8.8 Todo o espaço de Priestley é limite de espaços finitos, discre-tos e pré-ordenados.

2

Adjunção dual entre T opOrd

e Ret

_0,1

Seja T opOrd a categoria dos espaços topológicos ordenados e das aplicações

contínuas que preservam a ordem, definida na secção 1.7. Ret0,1 denota a

categoria cujos objectos são os reticulados limitados e que tem por morfismos os homomorfismos de reticulados que preservam o zero e o um.

Vamos estabelecer uma adjunção entre T opOrd e a categoria dual da

ca-tegoria Ret0,1 cuja equivalência induzida, no sentido de 1.1.4, é exactamente

a dualidade de Priestley. Daí se deduz a reflexão da categoria CHausOrd dos espaços compactos Hausdorff ordenados em P sp.

2.1 Adjunção entre T opOrd e Ret

O conjunto 2 = {0, 1} com a ordem 0 < 1 é um reticulado limitado, que

denotamos por 2r. O mesmo conjunto ordenado equipado com a topologia

dis-creta é um espaço topológico ordenado, denotado por 2t.

Para um objecto L de Ret_0,1, consideremos o conjunto Hom(L, 2_r) com a

ordem ponto a ponto, isto é f ≤ g se e só se f (a) ≤ g(a) para todo o a ∈ L, 27

sendo a topologia a menor topologia na qual todos os subconjuntos

Ua= {f ∈ Hom(L, 2r)|f (a) = 1}, a ∈ L (2.1)

e os seus complementos são subconjuntos abertos.

Proposição 2.1.1 Existe um functor U : Retop_0,1 → T opOrd que a cada L ∈ Ret0,1 faz corresponder o espaço topológico Hom(L, 2r) e a todo o

mor-fismo f : L → K em Ret_0,1 faz corresponder o morfismo U (f ) : Hom(K, 2_r) →

Hom(L, 2r) definido por U (f )(g) = g ◦ f .

Demonstração: De facto, para todo o morfismo f : L → K em Ret0,1 a aplicação

U f : Hom(K, 2r) −→ Hom(L, 2r)

g −→ g ◦ f

é contínua e preserva a ordem, pois sejam g, h ∈ Hom(K, 2r) tais que g ≤ h,

isto é g(b) ≤ h(b) para todo o b ∈ K. Seja a ∈ L.

U f (g)(a) = (g ◦ f )(a) = g(f (a)) ≤ h(f (a)) = (h ◦ f )(a) = U f (h)(a). Então U f (g) ≤ U f (h), isto é U f preserva a ordem.

Mostremos que U f é uma aplicação contínua. Seja b ∈ L. (U f )−1(Ub) = {g ∈ Hom(K, 2r)|(U f )(g) ∈ Ub} = {g ∈ Hom(K, 2r)|(g ◦ f ) ∈ Ub} = {g ∈ Hom(K, 2_r)|(g ◦ f )(b) = 1} = {g ∈ Hom(K, 2r)|g(f (b)) = 1} = Uf (b), subconjunto aberto de Hom(K, 2_r).

(U f )−1(Hom(L, 2r) − Ub) = {g ∈ Hom(K, 2r)|U f (g) /∈ Ub}

= {g ∈ Hom(K, 2r)|(g ◦ f )(b) 6= 1}

= {g ∈ Hom(K, 2_r)|g(f (b)) 6= 1}

= Hom(K, 2r) − Uf (b), subconjunto aberto

de Hom(K, 2r).

É óbvio que U (idL) = idU L e que U (g ◦ f ) = U f ◦ U g já que U é uma

"elevação" do functor Hom(−, 2_r) : Retop_0,1 → Conj para T opOrd, onde Conj

2.1 Adjunção entre T opOrd e Retop_0,1 29

Vamos agora provar que também o functor Hom(−, 2t) : T opOrd → Conj

admite uma "elevação" para F : T opOrd → Retop_0,1.

Para um objecto X ∈ T opOrd, o conjunto Hom(X, 2t) com a ordem ponto

a ponto é um reticulado limitado, onde o zero (limite inferior) e o um (limite superior) são definidos por

θ_X : X → 2_t, θ(x) = 0, ∀x ∈ X

ιX : X → 2t, ι(x) = 1, ∀x ∈ X,

respectivamente, e

(f ∧ g)(x) = f (x) ∧ g(x), ∀x ∈ X (f ∨ g)(x) = f (x) ∨ g(x), ∀x ∈ X

Proposição 2.1.2 Define-se um functor F : T opOrd → Retop_0,1 fazendo

corres-ponder a cada X ∈ T opOrd o reticulado limitado Hom(X, 2t) e a cada

mor-fismo f : X → Y em T opOrd a função F (f ) : Hom(Y, 2t) → Hom(X, 2t) tal que

F (f )(g) = g ◦ f .

Demonstração: Para qualquer morfismo f : X → Y em T opOrd a aplicação

F f : Hom(Y, 2t) −→ Hom(X, 2t)

g −→ g ◦ f

é um morfismo de reticulados limitados. De facto tem-se, para qualquer x ∈ X,

F f (θY)(x) = (θY ◦ f )(x) = θY(f (x)) = 0;

F f (ιY)(x) = (ιY ◦ f )(x) = ιY(f (x)) = 1;

F f (g ∧ h)(x) = (F f (g) ∧ F f (h))(x), ∀g, h ∈ Hom(Y, 2_t);

F f (g ∨ h)(x) = (F f (g) ∨ F f (h))(x), ∀g, h ∈ Hom(Y, 2t).

E para quaisquer g, h ∈ Hom(Y, 2t) tais que g ≤ h, isto é tal que g(y) ≤ h(y)

para todo o y ∈ Y , g ◦ f ≤ h ◦ f . Logo F define um functor de T opOrd em Retop_0,1.

¤ Para todo o espaço topológico ordenado X e x ∈ X a aplicação de avaliação,

av_X,x : Hom(X, 2_t) → 2_r tal que av_X,x(i) = i(x), para todo o i ∈ Hom(X, 2_t), é

Proposição 2.1.3 A função que a cada X ∈ T opOrd faz corresponder

ηX : X −→ U F X = Hom(Hom(X, 2t), 2r)

x −→ av_X,x

é uma transformação natural η : IdT opOrd→ U F .

Demonstração: A aplicação ηX preserva a ordem. Vejamos que é contínua.

Seja f ∈ F X. η−1_X (Uf) = {x ∈ X|ηX(x) ∈ Uf} = {x ∈ X|av_X,x(f ) = 1} = {x ∈ X|f (x) = 1} = f−1_{(1), subconjunto aberto de X.} η−1_X (U F X − U_f) = {x ∈ X|ηX(x) /∈ Uf} = {x ∈ X|avX,x(f ) 6= 1} = f−1_{(0), subconjunto aberto de X.}

Sejam X, Y espaços topológicos ordenados. Seja f : X −→ Y uma aplicação contínua que preserva a ordem. Mostremos que o seguinte diagrama comuta

Y X U F Y U F X ... ... ... ... ... ... ... ... . ... f ...ηX ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . ... U F f ... ... ηY Seja x ∈ X. (ηY ◦ f )(x) = ηY(f (x)) = avY,f (x). (U F f ◦ η_X)(x) = U F f (η_X(x)) = U F f (av_X,x) = av_X,x◦ F f .

Vejamos que av_{Y,f (x}= avX,x◦ F f .

Seja i ∈ Hom(Y, 2t).

av_{Y,f (x}(i) = i(f (x)).

(avX,x◦ F f )(i) = avX,x(F f (i)) = avX,x(i ◦ f ) = (i ◦ f )(x) = i(f (x)). ¤

Para todo o reticulado limitado L e a ∈ L a aplicação avaliação,

av_L,a : Hom(L, 2_r) → 2_t tal que av_L,a(i) = i(a) para todo o i ∈ Hom(L, 2_r), é

2.1 Adjunção entre T opOrd e Retop_0,1 31

Proposição 2.1.4 A função que a cada L ∈ Ret0,1 faz corresponder

²_L: L −→ Hom(Hom(L, 2_r), 2_t)

a −→ avL,a

é uma transformação natural ² : IdRet0,1 → F U .

Demonstração: A aplicação ²Lé um morfismo de reticulados limitados.

Seja f : L −→ K um morfismo de reticulados limitados. Vejamos que o diagrama seguinte comuta

K L F U K F U L ... ... ... ... ... ... ... ... . ... f ...²L ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . ... F U f ... ... ²K Seja a ∈ L.

(F U f ◦ ²L)(a) = F U f (²L(a)) = F U f (avL,a) = avL,a◦ U f .

(²_K◦ f )(a) = ²_K(f (a)) = av_{K,f (a)}.

Vejamos que avL,a◦ U f = avK,f (a).

Seja i ∈ Hom(L, 2r).

(av_L,a◦ U f )(i) = av_L,a(U f (i))

= avL,a(i ◦ f )

= (i ◦ f (a)) = i(f (a)) = av_{K,f (a)}.

¤

Teorema 2.1.5 O functor F é adjunto à esquerda do functor U : Retop_0,1 → T opOrd.

Demonstração: Vamos provar que os functores F , U e as transformações

naturais η e ² satisfazem as identidades triangulares, isto é que

U ²_L◦ η_{U L}= Id_{U L}e F η_X ◦ ²_{F X} = Id_{F X}, para todo L ∈ Ret_0,1 e X ∈ T opOrd.

(F ηX ◦ ²F X)(f ) = F ηX(²F X(f )) = F ηX(avF X,f) = avF X,f◦ ηX.

Vejamos que av_{F X,f} ◦ η_X = f .

Seja x ∈ X.

(av_{F X,f} ◦ ηX)(x) = (avF X,f)(ηX(x)) = (avF X,f)(avX,x) = avX,x(f ) = f (x).

Similarmente, U ²L◦ ηU L= IdU L. ¤

2.2 Dualidade de Priestley

Vamos agora determinar a equivalência induzida, no sentido de 1.1.4, pela adjunção definida na secção anterior.

Dado um espaço topológico ordenado X , o conjunto dos abertos-fechados decrescentes de X, AF D(X), é um reticulado distributivo limitado para a re-lação de inclusão.

Proposição 2.2.1 Seja X um espaço topológico ordenado. O reticulado limi-tado F (X) = Hom(X, 2t) é isomorfo a AF D(X)op.

Demonstração: Consideremos a aplicação

ϕ : Hom(X, 2t) −→ (AF D(X))op

f −→ f−1_({0})

e provemos que ϕ é isomorfismo de reticulados limitados.

Dado f ∈ Hom(X, 2t), isto é f : X → 2t é uma aplicação contínua que

preserva a ordem, f−1_{({0}) ∈ AF D(X).}

Sejam f, g ∈ Hom(X, 2t) tais que f 6= g, isto é existe x ∈ X tal que

f (x) 6= g(x), logo tem-se (x ∈ f−1_{({0}) e x /∈ g}−1_{({0})) ou (x /∈ f}−1_{({0}) e}

x ∈ g−1_{({0})), e portanto ϕ é uma aplicação injectiva.}

De seguida mostremos que ϕ é uma aplicação sobrejectiva.

Dado A ∈ AF D(X), seja f : X → 2ttal que

f (x) =

(

0 se x ∈ A,

2.2 Dualidade de Priestley 33

Ora f ∈ Hom(X, 2t) e ϕ(f ) = A. Logo ϕ é sobrejectiva.

ϕ(θ_X) = θ−1_X ({0}) = {x ∈ X|θ_X(x) = 0} = X ϕ(ιX) = ι−1_X ({0}) = {x ∈ X|ιX(x) = 0} = ∅ ϕ(f ∧ g) = (f ∧ g)−1_{({0}) = f}−1_{({0}) ∪ g}−1_{({0}) = ϕ(f ) ∪ ϕ(g), ∀f, g ∈} Hom(X, 2t). ϕ(f ∨ g) = (f ∨ g)−1_{({0}) = f}−1_{({0}) ∩ g}−1_{({0}) = ϕ(f ) ∩ ϕ(g), ∀f, g ∈} Hom(X, 2_t).

Sejam g, h ∈ Hom(X, 2t) tais que g ≤ h, isto é g(x) ≤ h(x), para todo o

x ∈ X. Então h−1_{(0) ⊆ g}−1_{(0). ¤}

Dado um reticulado limitado L, o conjunto dos ideais primos de L,

de-notado por I_p(L), é um espaço topológico ordenado. A topologia tem como

subbase de abertos o conjunto

S = {Vb|b ∈ L} ∪ {IP(L) − Vc|c ∈ L},

sendo

Vb= {I ∈ Ip(L)|b /∈ I}. (2.2)

Proposição 2.2.2 Para todo o reticulado distributivo limitado L o espaço to-pológico dos ideais primos de L, X = (I_p(L), τ ), é compacto.

Demonstração: Pelo Lema da subbase de Alexander, basta provarmos que

toda a cobertura aberta de X por elementos de S tem uma subcobertura finita.

Sejam A0, A1 ⊆ L tais que

X ⊆ ( [ b∈A0 Vb) ∪ ( [ c∈A1 (X − Vc))

Seja J o ideal gerado por A₀ e G o filtro gerado por A₁. Suponhamos que

J ∩ G = ∅, pelo Teorema do Ideal Primo, existe I ideal primo de L tal que J ⊆ I e I ∩ G = ∅

Como I ∈ X, então

Se I ∈ Vb então b /∈ I. Mas b ∈ A0⊆ J ⊆ I. O que é um absurdo.

Se I ∈ (X − Vc) então c ∈ I. Mas c ∈ A1 ⊆ G e I ∩ G = ∅. O que é um

absurdo. Então J ∩ G 6= ∅ Seja a ∈ J ∩ G.

Temos os seguintes casos:

1. Suponhamos que A0 6= ∅, A1 6= ∅

Então, como

J = (A0] =↓ {b1∨ b2∨ ... ∨ bn|n ∈ IN, a1, a2, ..., an∈ A0} (1)

G = [A1) =↓ {c1∧ c2∧ ... ∧ ck|k ∈ IN, c1, c2, ..., ck∈ A1}

existe n, k ∈ IN, b1, ..., bn∈ A0, c1, ..., ck∈ A1 tal que

c1∧ ... ∧ ck≤ a ≤ b1∨ ... ∨ bn.

Seja I ∈ X.

Se a ∈ I então c1∧ ... ∧ ck ∈ I, logo I /∈ Vc1∧...∧ck = Vc1 ∩ ... ∩ Vck. Então

I ∈ (X − V_c1) ∪ ... ∪ (X − V_ck).

Se a /∈ I então b1∨ ... ∨ bn ∈ I e, consequentemente I ∈ V/ b1∨...∨bn = Vb1 ∪

...∪V_bn. Concluímos então que X = V_b1∪...∪V_bn∪(X −Vc1)∪...∪(X −Vck),

isto é, existe uma subcobertura finita.

2. Suponhamos que A₀ 6= ∅ e A₁ = ∅. Neste caso G = {1}, então a = 1

e 1 ∈ J. Existe n ∈ IN e b1, ..., bn ∈ A0 tal que 1 ≤ b1 ∨ ... ∨ bn. Então

1 = b1 ∨ ... ∨ bn e V1 = Xb1∨...∨bn = Vb1 ∪ ... ∪ Vbn. Logo existe uma

subcobertura finita.

3. Se A0 = ∅ e A1 6= ∅, de uma forma similar prova-se que existe uma

subcobertura finita.

4. Se A0= ∅ e A1 = ∅, é trivial que existe uma subcobertura finita.

¤

Proposição 2.2.3 Dado um reticulado distributivo limitado L e o espaço to-pológico ordenado dos ideais primos de L, X = (Ip(L), τ, ⊆), tem-se:

2.2 Dualidade de Priestley 35

(i) I, J ∈ Ip(L), J 6⊆ I ⇒ ∃a ∈ L : I ∈ Vae J /∈ Va;

(ii) Os subconjuntos abertos-fechados decrescentes de X são exactamente os conjuntos Va= {I ∈ Ip(L)|a /∈ I} com a ∈ L.

Demonstração:

(i) Sejam I, J ideais primos de L tais que J 6⊆ I. Então existe a ∈ L tal que

a ∈ J e a /∈ I logo J /∈ V_ae I ∈ V_a.

Mais, para todo o a ∈ L, Va é um subconjunto aberto-fechado de X,

por-que V_a∈ S, e X − V_a∈ S.

(ii) Sejam I ∈ Vae J ∈ Ip(L) tais que J ⊆ I. Se a ∈ J temos a ∈ I, o que é um

absurdo, porque I ∈ Va, logo J ∈ Va. Então Vaé decrescente.

Seja V um subconjunto aberto-fechado decrescente de X.

Se V = ∅, então V = V0.

Se V = X então V = V1.

Suponhamos que V 6= ∅ e V 6= X. Seja J ∈ X − V . Para todo o I ∈ V

,tem-se J 6⊆ I, porque V é decrescente e J /∈ V . Por 1, para todo o I ∈ V , existe

aI ∈ L tal que I ∈ VaI e J /∈ VaI. Logo

V ⊆ [ I∈V VaI e J /∈ [ I∈V VaI.

Como X é compacto e V é fechado, V é compacto. Como VaI é aberto para

todo o I ∈ V , existe U ⊆ V não vazio e finito tal que

V ⊆ [ I∈V VaI Seja bJ = _ I∈V aI. Então V ⊆ VbJ e J /∈ VbJ. Seja J ∈ X − V . Tem-se X − V ⊆ [ J∈X−V (X − V_bJ) e V ⊆ \ J∈X−V V_bJ.