Superfícies de volatilidade

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INSTITUTO SUPERIOR DAS CI ˆENCIAS DO TRABALHO E DA EMPRESA

Departamento de Matem´atica da FCUL Departamento de Finan¸cas do ISCTE

Superf´ıcies de Volatilidade

Andr´e Filipe Figueira de Sousa

MESTRADO EM MATEM ´ATICA FINANCEIRA 2013

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FACULDADE DE CI ˆENCIAS DA UNIVERSIDADE DE LISBOA

INSTITUTO SUPERIOR DAS CI ˆENCIAS DO TRABALHO E DA EMPRESA

Departamento de Matem´atica da FCUL Departamento de Finan¸cas do ISCTE

Superf´ıcies de Volatilidade

Andr´e Filipe Figueira de Sousa

MESTRADO EM MATEM ´ATICA FINANCEIRA

Disserta¸c˜ao orientada pelo

Professor Doutor Jo˜ao Pedro Vidal Nunes 2013

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Resumo

O presente trabalho tem como objectivo debru¸car-se sobre a constru¸cão de superf´ıcies de volatilidade impl´ıcita. Toma-se, como ponto de partida, a literatura existente que nos diz que o modelo de Black-Merton-Scholes (BMS) apresenta várias limita¸cões, sendo que a prin-cipal, para muitos, é considerar a volatilidade determin´ıstica. Neste trabalho, como forma de eliminar este problema, iremos apresentar a metodologia desenvolvida por Peter Carr e Liuren Wu (2011), de forma a construir uma superf´ıcie de volatilidade não determin´ıstica, que não seja tão dif´ıcil de obter como nos modelos de volatilidade estocástica e que seja mais rápida de estimar. Esta metodologia especifica o pre¸co do activo subjacente e a dinâmica da volatilidade impl´ıcita, enquanto deixa a dinâmica da taxa da volatilidade instantânea variar livremente. Por sua vez, o dom´ınio dos valores admiss´ıveis para a superf´ıcie de volatilidade impl´ıcita inicial deriva de uma base com argumentos de não arbitragem.

Com o objectivo de modelar a volatilidade impl´ıcita para os dois modelos apresentados no trabalho de Peter Carr e Liuren Wu (2011), o square-root variance model e o lognormal

variance model, usamos uma variante do square-root process. Nessa constru¸c˜ao, ´e usado o

unscented Kalman filter e um algoritmo de minimiza¸c˜ao de erros, como forma de determinar os parˆametros que necessitamos para resolver a equa¸c˜ao do modelo.

Este trabalho é composto por duas vertentes, uma vertente teórica e uma vertente prática. A vertente teórica, incide sobre a metodologia apresentada por Peter Carr e Liuren Wu (2011), enquanto que a vertente prática, inclina-se sobre a constru¸c˜ao do unscented Kalman

filter e do algoritmo de minimiza¸c˜ao, como forma de determinar os parˆametros que necessi-tamos para a dinˆamica da volatilidade do pre¸co do activo subjacente.

Palavras-Chave: Superf´ıcie de volatilidade impl´ıcita, vega-gamma-vanna-volga,

square-root variance model, lognormal variance model, calibra¸c˜ao dinˆamica, unscented Kalman

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Abstract

The objective of this thesis is to construct an implied volatility surface to price options. We start from the existing literature that says Black-Merton-Scholes (BMS) has many draw-backs, being the most important one assuming deterministic volatility.

In this thesis, we will present Peter Carr and Liuren Wu (2011) methodology for construc-ting a volatility surface that is not assumed to be deterministic, is not so complicated to determine like in stochastic volatility models and is faster to estimate.

This thesis proposes a new approach, which speciﬁes the security price and the implied vo-latility dynamics while leaving the instantaneous variance rate dynamics unspeciﬁed. The allowable shape for the initial implied volatility surface is then derived based on dynamic no-arbitrage arguments.

This thesis presents two models for constructing volatility surfaces using a variant of the square-root process for the volatility process.

This paper has two parts, one theoretical and another practical. In the theoretical part we demonstrate the paper of Peter Carr and Liuren Wu (2011) to construct volatility surfaces, while in the practical part we construct an unscented Kalman ﬁlter with a minimization algorithm to determine the parameters that we need to construct the real dynamics of the implied volatility surface of the underlying.

Key-words:Implied volatility surface, vega-gamma-vanna-volga, square-root variance

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Agradecimentos

Em primeiro lugar, quero agradecer ao Professor Doutor Jo˜ao Pedro Nunes pela disponi-bilidade em orientar esta tese. Em seguida quero agradecer aos meus familiares, `a minha namorada, aos meus amigos e aos meus colegas de trabalho e mestrado que nunca me dei-xaram de incentivar e apoiar.

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Conte´

udo

Introdu¸c˜ao 1

1 Revis˜ao da literatura 3

2 Superf´ıcie de volatilidade 5

2.1 Pressupostos . . . 5

2.2 Equa¸c˜ao parcial diferencial fundamental . . . 6

2.3 Square-root variance (SRV) . . . 9

2.4 Lognormal variance (LNV) . . . 12

3 Calibra¸cão dinâmica 15 3.1 Introdu¸cão . . . 15

3.2 Linear Kalman ﬁlter . . . 15

3.3 Extended Kalman ﬁlter . . . 16

3.4 Unscented Kalman ﬁlter . . . 18

3.4.1 Unscented transformation . . . 18

3.4.2 Unscented Kalman ﬁlter . . . 19

3.5 Algoritmo de minimiza¸c˜ao . . . 20

4 Resultados 22 4.1 Descri¸c˜ao dos dados utilizados . . . 22

4.2 Modelo SRV . . . 24

4.3 Modelo LNV . . . 26

5 Conclus˜ao 30

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A Revis˜ao 35

A.1 Lema de Itˆo . . . 35

A.2 Op¸c˜oes standard . . . 35

B C´odigo em Matlab 36 B.1 Modelo SRV . . . 36

B.1.1 Fun¸c˜ao H . . . 36

B.1.2 Fun¸c˜ao T . . . 36

B.1.3 Pontos Sigma . . . 37

B.1.4 Unscented Kalman Filter1 . . . 37

B.1.6 Unscented Filter . . . 39 B.1.7 Matrizes e erros1 . . . 39 B.1.8 Matrizes e erros2 . . . 40 B.1.9 Superf´ıcie de Volatilidade . . . 42 B.2 Modelo LNV . . . 44 B.2.1 Fun¸c˜ao H . . . 44 B.2.2 Fun¸c˜ao T . . . 44 B.2.3 Pontos Sigma . . . 44

B.2.6 Unscented Filter . . . 46

B.2.7 Matrizes e erros1 . . . 47

B.2.8 Matrizes e erros2 . . . 48

(8)

Introdu¸c˜

ao

O presente trabalho tem como objectivo apresentar uma metodologia que permita a cons-tru¸c˜ao de superf´ıcies de volatilidade impl´ıcitas para fazer o pricing de op¸c˜oes listadas e não listadas. Este método recorre à utiliza¸cão de um algoritmo de minimiza¸cão e, em seguida, à constru¸c˜ao do unscented Kalman filter, de forma a eliminar o ru´ıdo na amostra e melhorar a calibragem dinâmica da superf´ıcie. Este modelo tem como base o trabalho de Peter Carr e Liuren Wu (2011).

O trabalho encontra-se dividido em cinco cap´ıtulos. No primeiro cap´ıtulo, é feita uma re-visão da literatura existente acerca dos diversos trabalhos desenvolvidos na área de produtos estruturados, nomeadamente, na vertente da estima¸cão/constru¸cão de superf´ıcies de volatili-dade impl´ıcita, dando aten¸cão ao porquê do seu desenvolvimento e interesse na comunidade cient´ıfica e empresarial.

No segundo cap´ıtulo, é apresentada a base teórica para a constru¸cão dos dois modelos que estão a ser desenvolvidos. Neste cap´ıtulo é realizada uma introdu¸cão teórica às questões do modelo BMS, a partir do qual assumimos os modelos de square-root variance (SRV) e

lognormal variance (LNV), onde se d´a a conhecer as equa¸c˜oes fundamentais e os seus pres-supostos.

No terceiro cap´ıtulo, dá-se a conhecer um pouco dos três filtros de Kalman mais relevantes, como o linear Kalman filter, o extended Kalman filter e o unscented Kalman filter, nomeada-mente, a maneira como são usados na estima¸cão dos parâmetros e os seus aspectos positivos e negativos. Neste trabalho, iremos apenas usar o unscented Kalman filter, mas n˜ao é poss´ıvel falar deste filtro sem fazer referência aos outros dois.

No quarto cap´ıtulo, são descritos os dados que iremos considerar e é feita uma compara¸cão entre os dois métodos desenvolvidos.

No último cap´ıtulo, são apresentadas as conclusões do estudo, algumas dificuldades técnicas inerentes ao modelo e poss´ıveis correçcões do modelo.

Em anexo, ´e poss´ıvel consultar o c´odigo desenvolvido, utilizando o software Matlab, para os modelos square-root variance (SRV) e lognormal variance (LNV) bem como, algumas notas

(9)

(10)

Cap´ıtulo

1

Revis˜

ao da literatura

Sendo o modelo de BMS o mais utilizado na pr´atica, em virtude da sua simplicidade, este n˜ao ´

e o mais correcto. Assumindo uma volatilidade determin´ıstica, o modelo é bastante instável no que diz respeito ao cálculo do pre¸co das op¸c˜oes, facto que para os traders de derivados não é muito bem visto, pois leva a que, diariamente, quando é realizada a reavalia¸cão dos seus produtos hajam grandes diferen¸cas, ou seja, existam grandes saltos em termos de valo-riza¸cão/desvaloriza¸c˜ao dos produtos. Assim, torna bastante dif´ıcil fazer o delta hedging dos produtos. No entanto, existe tamb´em o problema de, no modelo BMS, o pricing de op¸c˜oes exóticas não ser o mais correcto, pois o modelo n˜ao leva em conta o smile da volatilidade. Consequentemente, é necessário desenvolver métodos alternativos, de forma a resolver estes problemas. Actualmente, a investiga¸cão de métodos alternativos é um assunto bastante re-ferenciado na comunidade empresarial e académica, e facilmente se encontra literatura sobre o tema.

Um método alternativo para combater os problemas do BMS é considerar, tanto a volati-lidade, como o pre¸co do activo subjacente, como estocásticos. Os modelos de volatilidade estocástica são compostos por duas equa¸cões diferenciais, uma para o pre¸co do activo sub-jacente e outra para a volatilidade, tendo estas equa¸cões um factor de correla¸cão igual a

ρ. O processo seguido pela variância pode ser reconhecido como um square-root process proposto por Cox, Ingersoll e Ross (1985). Tendo várias variáveis, desconhecidas à partida, ´

e necessário estimar estas variáveis recorrendo ao pre¸co das op¸cões europeias que existem no mercado. Este processo é bastante moroso e requer um algoritmo de minimiza¸cão su-ficientemente robusto para obter os parâmetros. Havendo vários modelos de volatilidade estocástica, o mais utilizado e conhecido é sem dúvida o modelo de Heston (1993), o qual recorre à aplica¸cão de fórmulas quase fechadas para o cálculo do pre¸co das op¸cões. O facto de ter fórmulas quase fechadas, é a razão pela qual o modelo de Heston (1993) é preferido em rela¸cão a outros modelos de volatilidade estocástica, visto que se poupa bastante tempo computacional.

(11)

Tendo o modelo de BMS os problemas descritos anteriormente e os modelos de volatilidade estocástica serem bastante exigentes computacionalmente, e dado ser necessário um método bastante robusto para fazer o fitting dos parâmetros, os traders e outros investigadores pen-saram num método alternativo para obter o pre¸co de op¸cões exóticas de uma forma mais consistente com o skew da volatilidade e tamb´em menos exigente computacionalmente. An-tes de D. Breeden e R. Litzenberger (1978), alguns traders perceberam que a densidade neutra face ao risco poderia ser obtida através dos pre¸cos de mercado das op¸cões europeias. Assim, a grande revela¸cão deste método veio de Bruno Dupire (1994) para a teoria em tempo cont´ınuo e Emanuel Derman e Iraj Kani (1994) para a teoria em tempo discreto, recorrendo a uma versão de árvores binomiais.

Dupire, Derman e Kani (1994) notaram que, segundo a medida neutra face ao risco, ape-nas existe um único valor do parâmetro de difusão (no modelo de Dupire representado por

σL(K, t) ), consistente com os pre¸cos das op¸c˜oes europeias existentes no mercado. Assim, ´e

poss´ıvel determinar o valor da volatilidade impl´ıcita, através de uma fórmula fechada, em que apenas é necessário ter um conjunto de pre¸cos das op¸cões europeias estratificadas, por pre¸cos de exerc´ıcio e maturidades. O modelo de volatilidade local, tal como o modelo BMS, tem a vantagem de ser dado através de fórmulas fechadas, o que aumenta a sua simplicidade. Contudo, Dumas, Fleming e Whaley (1998) demonstraram, através de uma análise emp´ırica, que a dinâmica da superf´ıcie de volatilidade impl´ıcita não era consistente com a premissa da volatilidade local constante. Assim, de forma a suprimir alguns dos aspectos negativos apontados anteriormente para estas duas metodologias, construiu-se uma nova metodologia de constru¸cão de superf´ıcies de volatilidade, inspirada no trabalho de Peter Carr e Liuren Wu (2011), a qual irá ser explorada neste trabalho.

(12)

Cap´ıtulo

2

Superf´ıcie de volatilidade

2.1 Pressupostos

Inicialmente consideramos um mercado composto por 3 activos, um activo com risco, um activo sem risco e uma op¸c˜ao sobre esse activo com risco. De forma a simpliﬁcar o modelo, consideramos a taxa de juro sem risco (r) e os dividendos (q) iguais a zero.

Assumindo que não existe arbitragem no mercado, existe uma medida Q, equivalente à me-dida f´ısica P, onde S é uma martingala.

Podemos tamb´em assumir que o pre¸co S do activo subjacente evolui de forma cont´ınua e como uma semi-martingala estritamente positiva e cont´ınua. Pelo teorema da representa¸cão de martingalas, assumimos que o drift do processo ´e igual a zero e existe um movimento Browniano W em rela¸c˜ao aQ, de forma a que o pre¸co S resolva a seguinte equa¸cão diferencial estocástica:

dSt = St√vtdWt, t≥ 0, (2.1)

onde o pre¸co inicial da açcão ´e conhecido e vt designa a variância da taxa de retorno

ins-tantˆanea. Permitimos que vt siga um processo estoc´astico pertencente a ℜ+, de forma a

existir apenas uma solu¸c˜ao ´unica para (2.1).

Assumimos tamb´em que a volatilidade impl´ıcita It(K, T ) ´e uma semi-martingala cont´ınua e

que é solu¸cão da seguinte equa¸cão diferencial estocástica, segundo a medida de probabilidade neutra face ao risco Q:

dIt(K, T ) = µtdt + φtdZt, t≥ 0, (2.2)

para todo o K ≥ 0 e T ≥ t. Referimo-nos a µt como a m´edia do processo e φt como a

vo-latilidade da vovo-latilidade do processo. Ambos os processos podem ser estoc´asticos e podem depender de quantidades determin´ısticas, tais como, maturidade (T ), pre¸co de exerc´ıcio (K)

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e maturidade em todos os instantes do tempo (t). Em suma, a equa¸c˜ao (2.2) assume que instantaneamente, toda a superf´ıcie de volatilidade impl´ıcita deriva de um choque Browniano

dZt.

Permitimos também a correla¸cão entre o pre¸co da açcão e a sua volatilidade impl´ıcita,

d⟨W, Z⟩t = ρtdt, t∈ [0, T ], (2.3)

onde ρt ´e um processo estoc´astico, no qual toma valores no intervalo [−1, 1].

2.2 Equa¸

c˜

ao parcial diferencial fundamental

Seja Pt(K, T ) o pre¸co de mercado de uma op¸c˜ao de venda europeia com pre¸co de exerc´ıcio

K e maturidade T , e B(St, σ, t; K, T ) a f´ormula do modelo de Black-Merton-Scholes (BMS)

para a op¸c˜ao de venda europeia:

B(St, σ, t; K, T )≡ KN(z(St, σ, t))− StN (z(St, σ, t)− σ

√

T − t), (2.4) onde a fun¸c˜ao de valor real

z(St, σ, t; K, T )≡

ln(K/St)

σ√T − t +

σ√T − t

2 (2.5)

depende da volatilidade e do moneyness da op¸c˜ao de venda. Pela deﬁni¸c˜ao de volatilidade impl´ıcita, temos:

Pt(K, T ) = B(St, It(K, T ), t; K, T ), (2.6)

para todo o t≥ 0, K > 0 e T > t.

Sendo a fun¸c˜ao B(St, σ, t; K, T ) ∈ C(2,2,1) em rela¸cão a ℜ+ × ℜ+ ×[0,T], a fórmula de Itô

pode ser aplicada, de forma a relacionar os incrementos de P com os incrementos de S, I e

t.

De modo a tornar mais clara a nota¸cão, reduzimos o comprimento das equa¸cões seguin-tes, omitindo os argumentos de B e as suas derivadas parciais (Gregos) que s˜ao sempre fun¸c˜ao de St, It(K, T ) e t. O seguinte teorema faz a liga¸cão entre B(St, σ, t; K, T ) e It(K, T )

através de uma equa¸cão parcial diferencial fundamental, que é baseada no principio de não arbitragem.

(14)

2.2. Equa¸c˜ao parcial diferencial fundamental

Teorema 2.1. Segundo a dinˆamica de difusão do pre¸co da açcão em (2.1), a dinâmica de difusão da volatilidade impl´ıcita em (2.2) e a correla¸cão em (2.3), a ausência de arbitragem numa op¸cão de venda Pt(K, T ) implica que a fun¸cão do pre¸co da op¸cão B(St, σ, t; K, T )

resolva a seguinte equa¸c˜ao parcial diferencial: −Bt= µtBσ+ vt 2S 2 tBSS+ ρtφt √ vtStBSσ+ φ2_t 2 Bσσ. (2.7)

Demonstra¸cão: Aplicando o Lema de Itˆo à equa¸cão (2.6)

dPt(K, t) =BSdSt+ BσdIt(K, T ) + Btdt + 1 2BSSd⟨S⟩t +BSσd⟨S, I(K, T )⟩_t+ 1 2Bσσd⟨I(K, T )⟩t, (2.8) onde, d⟨S⟩_t= S_t2vtdt, d⟨S, I(K, T )⟩_t= φtρtSt√vtdt, d⟨I(K, T )⟩_t= φ2tdt, t≥ 0. (2.9)

Substituindo os elementos da equa¸c˜ao (2.9) na equa¸c˜ao (2.8),

dPt(K, t) =BSdSt+ BσdIt(K, T ) + Btdt + 1 2BSSS 2 tvtdt +BSσφtρtSt √ vtdt + 1 2Bσσφ 2 tdt. (2.10)

Utilizando as equa¸c˜oes (2.1) e (2.2), a equa¸c˜ao (2.10) transforma-se em:

dPt(K, t)− BS √ vtStdWt− BσφtdZt= [ µtBσ+ Bt+ S2 tvt 2 BSS+ ρtφt √ vtStBSσ+ φ2 t 2 Bσσ ] dt. (2.11)

A ausˆencia de arbitragem, implica que existe uma medida Q na qual os processos Pt(K, T ),

Wt e Zt s˜ao martingalas, o que faz com que:

EQ(dPt(K, T )) = 0, EQ(dWt) = 0, EQ(dZt) = 0 com t ≥ 0. Logo, EQ(dPt(K, t)− BS √ vtStdWt− BσφtdZt) = EQ ([ µtBσ+ Bt+ S2 tvt 2 BSS + ρtφt √ vtStBSσ+ φ2 t 2 Bσσ ] dt ) . (2.12)

(15)

Aplicando expectativas condicionais aos dois membros e tomando as propriedades do movi-mento Browniano, esta equa¸cão irá ser equivalente à equa¸cão (2.7).

As derivadas parciais de B (Gregos) na equa¸c˜ao parcial diferencial fundamental (2.7) s˜ao o theta (Bt), vega (Bσ), euro gamma (St2BSS), euro vanna (StBSσ) e volga (Bσσ).

Conse-quentemente, esta classe de superf´ıcies de volatilidades impl´ıcitas foi baptizada como modelo Vega-Gamma-Vanna-Volga (VGVV).

Proposi¸c˜ao 2.1. A actual superf´ıcie de volatilidade impl´ıcita It(K, T ) ´e totalmente

determi-nada pelo valor da variância da taxa de retorno instantânea vt, pela dinâmica da volatilidade

impl´ıcita (µt, φt) e pela correla¸c˜ao instantˆanea entre o retorno e a volatilidade impl´ıcita (ρt),

através da seguinte equa¸cão algébrica:

I2 t(K, T ) 2 − µtIt(K, T )(T − t) − vt 2 − ρtφt √ vtz(St, It(K, T ), t) √ T − t − φ2t 2 [z 2_(S t, It(K, T ), t)− It(K, T ) √ T − tz(St, It(K, T ), t)](T − t) = 0. (2.13)

Demonstra¸cão: Os gregos da f´ormula da op¸cão de venda do modelo BMS são dados por:

Bt =− σ2 2 S 2 tBSS, (2.14) Bσ = σ(T − t)St2BSS, (2.15) SBσS = z(S, σ, t) √ T − tS_t2BSS, (2.16) Bσσ = [z2(St, σ, t)− σ √ T − tz(St, σ, t)](T − t)St2BSS.(2.17)

Substituindo (2.14), (2.15), (2.16) e (2.17) na equa¸c˜ao (2.7), ent˜ao

σ2 2 S 2 tBSS =µtσ(T − t)S2BSS + vt 2S 2 tBSS + ρtwt √ vtSt2z(S, σ, t) √ T − tBSS +wt 2 (z 2_(S t, σ, t)− σ √ T − tz(St, σ, t))(T − t)St2BSS. (2.18)

(16)

2.3. Square-root variance (SRV)

Dividindo a equa¸c˜ao (2.18) por S2

tBSS, σ2 2 =µtσ(T − t) + vt 2 + ρtwt √ vtz(St, σ, t) √ T − t +wt 2 (z 2_(S t, σ, t)− σ √ T − tz(St, σ, t))(T − t), (2.19)

obtemos a equa¸c˜ao (2.13) substituindo σ pela superf´ıcie de volatilidade impl´ıcita It(K, T ).

2.3 Square-root variance (SRV)

A literatura muitas vezes constrói as superf´ıcies de volatilidades impl´ıcitas recorrendo ao tempo até `a maturidade τ ≡ T − t em vez da data de maturidade T , e em termos da medida de moneyness z definida em (2.5) em vez do pre¸co de exerc´ıcio1_{. Neste trabalho iremos}

substituir σ pela volatilidade impl´ıcita It(K, T ) na equa¸c˜ao (2.5):

zt ≡ z(St, It(K, T ), t). (2.20)

Esta medida de moneyness pode ser rescrita como

zt= ln(K)− [ln(St)− I 2 t(K,T )(T−t) 2 ] It(K, T ) √ τ . (2.21)

Se usarmos B(K,T) para representar a medida de probabilidade que adv´em do modelo de Black-Merton-Scholes quando It(K, T ) ´e a volatilidade constante no per´ıodo (t, T ), obtemos

a média e o desvio padrão do pre¸co logar´ıtmico da açcão como EB(K,T )t lnST ≡ lnSt− I2 t(K, T )τ 2 e Std B tlnST ≡ It(K, T ) √ τ . (2.22) Substituindo (2.22) em (2.21), então zt= ln(K)− EB(K,T )_t lnST StdB_tlnST , (2.23)

zt pode ser interpretado como o n´umero de desvios padr˜ao, StdBtlnST, no qual o

loga-ritmo do pre¸co de exerc´ıcio, ln(K), excede o valor da m´edia do pre¸co logar´ıtmico terminal,

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EB(K,T )t lnST, no modelo BMS, no qual It(K, T ) ´e a volatilidade constante durante o per´ıodo

(t, T ).

Seja It(z, τ ) a superf´ıcie de volatilidade impl´ıcita como uma fun¸c˜ao da medida z e do tempo

at´e `a maturidade τ , ent˜ao

It(z, τ )≡ It(K, T ). (2.24)

A pr´oxima proposi¸c˜ao representa a superf´ıcie de volatilidade It(z, τ ) numa nova equa¸c˜ao.

Proposi¸c˜ao 2.2. Quando a superf´ıcie de volatilidade impl´ıcita ´e representada em termos de moneyness z e do tempo até à maturidade τ como em (2.24), a equa¸cão algébrica para It(z, τ ) torna-se igual a I2 t(z, τ ) 2 − [µtτ− φ2 t 2 zτ 3 2]I_t(z, τ )− [vt 2 + ρtφt √ vtz √ τ + φ 2 t 2 τ z 2_{] = 0.} _(2.25)

Demonstra¸cão: A equa¸c˜ao (2.25) pode ser directamente obtida pela equa¸cão (2.13) através de uma mudan¸ca de vari´aveis em que τ = (T−t) e It(z, τ ) = It(K, T ). A rela¸c˜ao impõe uma

forte restri¸c˜ao no comportamento da superf´ıcie de volatilidade impl´ıcita para maturidades mais curtas.

Assumindo que os processos µt e φt são ambos finitos para cada op¸cão perto da data de

maturidade, colocar τ = 0 na equa¸cão (2.25) implica que o smile em z fica sem declive `a medida que o tempo até à maturidade se vai aproximando de 0:

lim

τ↓0It(z, τ ) =

√

vt, (2.26)

para todo o z. Este resultado deve-se ao facto de no modelo n˜ao se assumirem saltos na dinâmica do pre¸co da açcão em (2.1).

Em geral, os processos µ e φ podem depender do n´ıvel de volatilidade impl´ıcita I. As-sim, especificando uma fun¸cão param´etrica para µ e φ, ´e poss´ıvel determinar a fun¸cão da volatilidade impl´ıcita It(z, τ ), em que a especifica¸cão mais simples para µ e φ ´e assumir que

ambos são constantes em rela¸c˜ao a I. Dado que v e ρ j´a s˜ao independentes de I, a equa¸c˜ao (2.25) torna-se quadrática em rela¸c˜ao a It(z,τ ) e a f´ormula quadrática implica que a

(18)

2.3. Square-root variance (SRV)

Infelizmente, Rogers e Tehranchi (2010) mostraram-nos que se os processos µ e φ forem constantes em rela¸c˜ao a K, T e I, ent˜ao existem oportunidades de arbitragem na dinâmica original das volatilidades impl´ıcitas (2.2). As oportunidades de arbitragem identificadas por Rogers e Tehranchi (2010) podem ser exclu´ıdas se o drift e/ou o processo φ dependerem de I. Desta forma propõe-se uma dinâmica de reversão para a média da volatilidade impl´ıcita

I_t2(K, T ):

dI_t2(K, T ) = κt[θt− It2(K, T )]dt + 2ωte−ηt(T−t)It(K, T )dZt, (2.27)

onde κ, θ, ω e η s˜ao processos estoc´asticos n˜ao negativos que n˜ao dependem de K, T ou

It(K, T ).

A seguinte proposi¸cão mostra-nos que a dinâmica da raiz quadrada (2.27) aplicada à equa¸cão (2.25) é quadrática em rela¸c˜ao a It(z, τ ).

Proposi¸c˜ao 2.3. Segundo as dinˆamicas estabelecidas nas equa¸cões (2.1), (2.2) e (2.3), quando a volatilidade impl´ıcita segue a dinâmica estabelecida em (2.27), a superf´ıcie de volatilidade impl´ıcita satisfaz a seguinte rela¸cão quadrática,

(1 + κtτ )It2(z, τ ) + (ω 2 te−2ηt τ_τ3₂_z)I t(z, τ ) − [(κtθt− ω2te−2ηt τ_{)τ + v} t+ 2ρtωt √ vte−ηtτ √ τ z + ω2_te−2ηtτ_{τ z}2_{] = 0.} (2.28)

Demonstra¸cão: Aplicando o Lema de Itˆo à equa¸c˜ao (2.27) e sendo Yt = It2(K, T ), então

d√Yt = ∂√Yt ∂t dt + ∂√Yt ∂I2 t(K, T ) dI_t2(K, T ) + 1 2 ∂2√_Y2 t ∂2_I2 t(K, T ) d⟨It(K, T ) , It(K, T )⟩t, d√Yt = 0 + 1 2Y −1 2 t dIt2(K, T ) + 1 2 ( −1 4Y −3 2 t d⟨It(K, T ) , It(K, T )⟩t ) , d√Yt = 1 2Y −1 2 t ( κt[θt− Yt] dt + 2ωte−ηt(T−t)Y 1 2 t dZt ) − 1 8 ( Y− 3 2 t ( 2ωte−ηt(T−t)Y 1 2 t dZt )2) , d√Yt = 1 2 ([ κtθt √ Yt − κtY 1 2 t ]) dt + ωte−ηt(T−t)dZt− 1 2 ( Y− 3 2 t ( ω2_te−2ηt(T−t)_Y tdt )) , d√Yt = 1 2 ([ κtθt− ω_√t2e−2ηt(T−t) Yt − κtY 1 2 t ]) dt + ωte−ηt(T−t)dZt, dIt(K, T ) = 1 2 ([ κtθt− ωt2e−2ηt(T−t) It(K, T ) − κtIt(K, T ) ]) dt + ωte−ηt(T−t)dZt.

(19)

Assim, µt= 1 2 ([ κtθt− ωt2e−2ηt(T−t) It(K, T ) − κ tIt(K, T ) ]) , φt= ωte−ηt(T−t). (2.29) Substituindo (2.29) em (2.25) obtemos, I2 t(z, τ ) 2 − [ 1 2 ([ κtθt− ωt2e−2ηt(T−t) It(K, T ) − κ tIt(K, T ) ]) τ − (ωte −ηt(T−t)₎2 2 zτ 3 2 ] It(z, τ ) − [vt 2 + ρtωte −ηt(T−t) t √ vtz √ τ + ω 2 te−2ηt(T−t) 2 τ z 2_{] = 0.} (2.30)

Multiplicando ambos os membros por 2 e agrupando os termos com factores comuns, é fácil ver que a equa¸cão (2.30) transforma-se na equa¸cão (2.28).

Dados os coeﬁcientes (κt, ωt, ηt, θt, vt, ρt), ´e poss´ıvel resolver a superf´ıcie de volatilidade

impl´ıcita analiticamente como solu¸cão da equa¸cão quadrática (2.28). A equa¸cão quadrática tem duas ra´ızes, e uma delas é negativa, sendo que a única que nos interessa é a positiva, pois é a que tomamos como solu¸cão da equa¸cão quadrática. Apelidou-se este modelo de

square-root variance (SRV).

2.4 Lognormal variance (LNV)

Em mercado n˜ao listado, o moneyness das op¸c˜oes sobre ´ındices de açcões é muitas vezes representado pelo logaritmo do pre¸co de exerc´ıcio sobre o pre¸co spot, ou seja, kt≡ ln(K/St),

em vez da medida de moneyness em (2.5). Seja It(k, τ ) a superf´ıcie de volatilidade impl´ıcita

como uma fun¸c˜ao da medida k e do tempo at´e `a maturidade τ , ent˜ao

It(k, τ )≡ It(K, T ). (2.31)

A seguinte proposi¸cão descreve a restri¸cão algébrica na fun¸c˜ao It(k, τ ).

Proposi¸c˜ao 2.4. Quando a superf´ıcie de volatilidade impl´ıcita ´e representada pela medida kt e pelo tempo até à maturidade τ , é poss´ıvel verificar que a fun¸cão de volatilidade impl´ıcita

satisfaz a equa¸c˜ao vt 2 − I2 t(k, τ ) 2 + [µtIt(k, τ ) + ρtφt√vt 2 It(k, τ )]τ + ρtφt√vt It(k, τ ) k − φ2t 8 I 2 t(k, τ )τ 2₊ φ2t 2I2 t(k, τ ) k2 = 0. (2.32)

(20)

2.4. Lognormal variance (LNV)

Demonstra¸c˜ao: Sendo

z = k It(k, τ ) √ τ + It(k, τ ) √ τ 2 , (2.33)

substituindo na equa¸c˜ao (2.13) e considerando τ = (T − t), ent˜ao

I_t2(k, τ ) 2 − µtIt(k, τ )τ− vt 2 − ρtφt √ vt ( k It(k, τ ) √ τ + It(k, τ ) √ τ 2 ) √ τ − φ2t 2 [( k It(k, τ ) √ τ + It(k, τ ) √ τ 2 )2 − It(k, τ ) √ τ ( k It(k, τ ) √ τ − It(k, τ ) √ τ 2 )] τ = 0. (2.34)

Juntando os termos comuns e fazendo alguns cálculos, é poss´ıvel verificar que a equa¸cão (2.34) se transforma na equa¸cão (2.32).

Correspondendo a esta nova representa¸cão da superf´ıcie de volatilidade impl´ıcita, propõe-se uma nova dinâmica para a volatilidade impl´ıcita:

dI_t2(K, T ) = κt[θt− It2(K, T )]dt + 2ωte−ηt(T−t)It2(K, T )dZt, (2.35)

que reverte para a m´edia com volatilidade log-normal, com κ, θ, ω e η a serem processos estoc´asticos n˜ao negativos que n˜ao dependem de K, T ou It(K, T ). Como em (2.27),

assu-mimos que η ´e estritamente positivo de forma a manter a estacionaridade do processo.

Proposi¸c˜ao 2.5. Segundo as dinˆamicas apresentadas em (2.1), (2.2) e (2.3), quando a vo-latilidade impl´ıcita segue a dinâmica logar´ıtmica de reversão para a média apresentada em (2.35), a superf´ıcie de volatilidade impl´ıcita satisfaz a seguinte equa¸cão quadrática:

ω2 t 4 e −2ηtτ_τ2_I4 t(k, τ ) + [1 + ktτ + ωt2e−2ηt τ_τ _{− ρ} t √ vtωte−ηtττ ]It2(k, τ ) − [vt+ κtθtτ + 2ρt √ vtωte−ηtτk + ωt2e−2ηt τ k2] = 0. (2.36)

(21)

I2 t(K, T ), ent˜ao d√Yt = ∂√Yt ∂t dt + ∂√Yt ∂I2 t(K, T ) dI_t2(K, T ) + 1 2 ∂2√_Y2 t ∂2_I2 t(K, T ) d⟨It(K, T ) , It(K, T )⟩t, d√Yt = 0 + 1 2Y −1 2 t dI 2 t(K, T ) + 1 2 ( −1 4Y −3 2 t d⟨It(K, T ) , It(K, T )⟩t ) , d√Yt = 1 2Y −1 2 t ( κt[θt− Yt] dt + 2ωte−ηt(T−t)YtdZt ) − 1 8 ( Y− 3 2 t ( 2ωte−ηt(T−t)YtdZt )2) , d√Yt = 1 2 ([ κtθt √ Yt − κtY 1 2 t ]) dt + ωte−ηt(T−t)Y 1 2 t dZt− 1 2 ( Y− 3 2 t ( ω_t2e−2ηt(T−t)_Y2 t dt )) , d√Yt = 1 2 ([ κtθt √ Yt −(κt+ ω2te−2ηt (T−t))_Y 12 t ]) dt + ωte−ηt(T−t)Y 1 2 t dZt, dIt(K, T ) = 1 2 ([ κtθt It(K, T ) −(κt+ ωt2e−2ηt(T−t) ) It(K, T ) ]) dt + ωte−ηt(T−t)It(K, T )dZt. Assim, µt= 1 2 ([ κtθt It(K, T ) −(κt+ ωt2e−2ηt (T−t)) It(K, T ) ]) , φt= ωte−ηt(T−t)It(K, T ). (2.37) Substituindo (2.37) em (2.32) obtemos, vt 2 − I2 t(k, τ ) 2 + [ 1 2 ([ κtθt It(K, T )− ( κt+ ωt2e−2η t(T−t))_I t(K, T ) ]) It(k, τ ) +ρtωte −ηt(T−t)_I t(K, T )√vt 2 It(k, τ )]τ + ρtωte−ηt(T−t)It(K, T )√vt It(k, τ ) k −(ωte−ηt(T−t)It(K, T ))2 8 I 2 t(k, τ )τ 2 + (ωte −ηt(T−t)_I t(K, T ))2 2I2 t(k, τ ) k2 = 0. (2.38)

Multiplicando ambos os membros por 2 e agrupando os termos com factores comuns, é fácil ver que a equa¸cão (2.38) transforma-se na equa¸cão (2.36).

Dados os coeﬁcientes (κt, ωt, ηt, θt, vt, ρt), ´e poss´ıvel resolver a superf´ıcie de volatilidade

impl´ıcita analiticamente como solu¸cão da equa¸cão quadrática (2.36).

A equa¸cão quadrática tem duas ra´ızes, e uma delas é negativa, sendo que a única que nos in-teressa é a positiva, pois é a que tomamos como solu¸cão da equa¸cão quadrática. Apelidou-se este modelo de lognormal variance (LNV).

(22)

Cap´ıtulo

3

Calibra¸c˜

ao dinˆ

amica

3.1 Introdu¸

c˜

ao

´

E necess´ario estimar para o modelo SRV e LNV seis coeﬁcientes Xk\k−1≡ (κt, ωt, ηt, θt, vt, ρt)⊤

para descrever a superf´ıcie de volatilidade impl´ıcita em rela¸cão aos pre¸cos de exerc´ıcio e ma-turidade das op¸cões. ´E poss´ıvel calibrar os valores Xk\k−1usando um número finito de pre¸cos

de volatilidades impl´ıcitas, através do qual é poss´ıvel construir a superf´ıcie de volatilidade e determinar a sua futura dinâmica neutra face ao risco. Nesta seçcão iremos apresentar uma metodologia para calibrar a superf´ıcie de volatilidade impl´ıcita para diferentes dias. Tendo como valores desconhecidos Xk\k−1, foi necessário construir uma superf´ıcie utilizando vários

quotes de uma institui¸c˜ao financeira. Como método utilizado, para fazer a calibra¸cão do modelo, usamos um algoritmo de minimiza¸c˜ao e o unscented Kalman filter. Apesar de uti-lizar apenas o unscented Kalman filter pensamos que seja relevante dar a conhecer o linear

Kalman filter e o extended Kalman filter.

3.2 Linear Kalman filter

O linear Kalman filter ´e um estimador recursivo para sistemas lineares. Foi publicado em 1960 por Rudolph E. Kalman. Este método é usado nos dias de hoje para vários campos da engenharia, economia e ciência, e em conjunto com o regulador linear quadrático resolve os problemas de controlo lineares quadráticos gaussianos. Este filtro é composto por duas equa¸cões, a equa¸cão do estado e a equa¸cão de medida:

Xk = Fk· Xk−1+ Bk· uk+ wk, (3.1)

Zk = Hk· Xk+ vk, (3.2)

(23)

fun¸c˜ao das entradas de controlo aplicado no vector de entradas de controle uk e wk´e o ru´ıdo

do processo, assumindo uma distribui¸cão normal multivariada de média zero e covariância

Qk. Em rela¸cão à equa¸cão da medida, esta ´e definida por Zk, onde Hké a fun¸cão da medida

e vké o ru´ıdo da observa¸cão, assumindo-se como sendo um ru´ıdo branco gaussiano de média

zero e covariˆancia Rk.

A natureza recursiva do filtro significa que apenas o estado anterior e as covariâncias são necessárias para se extrapolar o novo estado, com a ajuda da equa¸cão da medida que se utiliza para corrigir os erros devido à extrapola¸cão do novo estado. O filtro tem dois passos distintos, a previsão do estado e a previsão da medida. A previsão ou actualiza¸cão do passo temporal utiliza a estimativa do estado anterior para prever o novo estado das variáveis. No segundo passo, conhecido por actualiza¸cão da medida, a informa¸cão da mesma no actual estado é usada para corrigir a estimativa, de forma a que os resultados produzidos sejam mais precisos.

Actualiza¸c˜ao do estado

Previs˜ao do estado Xbk\k−1 =Fk· bXk−1\k−1+ Bk· uk,

Estimativa da Covariˆancia Pk\k−1 =Fk· Pk−1\k−1· FkT + Qk.

(3.3)

Actualiza¸c˜ao da Medida

Covariˆancia residual Sk=Hk· Pk\k−1· HkT + Rk,

Ganho de Kalman Kk=Pk\k−1· HkT · Sk−1,

Actualiza¸c˜ao da estimativa do estado Xbk\k = bXk\k−1+ Kk· (Zk− Hk· bXk\k−1),

Actualiza¸c˜ao da estimativa da Covariˆancia Pk\k =(I − Kk· Hk)· Pk\k−1,

(3.4)

onde bX_k\k ´e a estimativa do estado no momento de tempo igual a k, dadas as observa¸c˜oes at´e ao momento k incluindo o mesmo.

3.3 Extended Kalman filter

Sendo o linear Kalman filter apenas aplic´avel a sistemas lineares, foi necessário desenvolver o extended Kalman filter para resolver os problemas em que, ou a equa¸c˜ao da medida não é

(24)

3.3. Extended Kalman filter

linear, ou a equa¸cão do estado não é linear, ou ambas não s˜ao lineares. O extended Kalman

filter ´e aplicável a esses problemas desde que a equa¸cão do processo e a equa¸cão da medida sejam diferenciáveis em rela¸cão às vari´aveis do estado. No extended Kalman filter, as equa¸c˜ao não lineares do estado e da medida são representadas por:

X(t) = f (X(t), U (t)) + w(t), (3.5)

Zm(t) = h(X(t), U (t)) + v(t), (3.6)

onde f e h s˜ao uma fun¸cões n˜ao lineares, U é o vector de inputs e w e v representam o ru´ıdo da equa¸cão do estado e da medida. As equa¸cões não lineares do estado e da me-dida são linearizadas usando a estimativa anterior do estado em cada instante de tempo e calculando o Jacobiano em rela¸cão às suas variáveis como

Fk=

∂f

∂X( bXk, U (k)) e Hk = ∂h

∂X( bXk, U (k)). (3.7)

Para uma implementa¸c˜ao em tempo discreto do extended Kalman filter, o sistema linear ´e discretizado no tempo atrav´es de Fk para se obter a matriz de transi¸c˜ao do estado, onde ∆t

´

e um intervalo de tempo,

Φk\k−1 = eFk∆t∼= [I + Fk∆t]. (3.8)

As actualiza¸c˜oes do estado e da medida s˜ao as seguintes:

Previs˜ao do estado Xbk\k−1= bXk−1\k−1+

∫ k k−1

f (X(t), U (t))dt,

Estimativa da Covariˆancia Pk\k−1=Φk\k−1· Pk−1· Φk\k−1.

(3.9)

A integra¸cão pode ser feita usando uma aproxima¸cão simples ou usando o método de Runge-Kutta.

Actualiza¸c˜ao da Medida

Covariˆancia residual Sk =Hk· Pk\k−1· HkT + Rk,

Ganho de Kalman Kk =Pk\k−1· HkT · Sk−1,

Actualiza¸c˜ao da estimativa do estado Xbk\k = bXk\k−1+ Kk· (Zk− h( bXk\k−1)),

Actualiza¸c˜ao da estimativa da Covariˆancia Pk\k =(I − Kk· Hk)· Pk\k−1.

(25)

3.4 Unscented Kalman filter

O uncented kalman filter (UKF) foi inicialmente desenvolvido por S. J. Julier e J. K. Uhlmann (1997) e posteriormente melhorado por E. A. Wan e R. van der Merwe (2001) como método alternativo ao uso do extended Kalman filter. Quando os sistemas se tornam altamente n˜ao lineares o extended Kalman filter torna-se menos eficiente na sua estima¸c˜ao. Este tem como propósito estimar os parâmetros do modelo recorrendo a duas equa¸cões, a equa¸cão do es-tado e a equa¸c˜ao da medida. Neste trabalho apenas iremos considerar o unscented Kalman

filter para a estima¸c˜ao de parˆametros com erros aditivos, de forma a simpliﬁcar o modelo e diminuir a sua complexidade computacional.

3.4.1 Unscented transformation

A unscented transformation ´e um método para calcular as estat´ısticas das variáveis aleatórias que sofreram uma transforma¸cão não linear. A grande vantagem deste método em rela¸cão a outros, por exemplo o extended Kalman filter, ´e que através da escolha cuidadosa de pontos de variância consegue-se capturar correctamente a média e a covariância do processo das variáveis aleatórias normais do modelo e tratar os casos em que a fun¸c˜ao h n˜ao é linear. Por exemplo, consideremos uma variável aleat´oria x com dimensão L atrav´es de uma fun¸cão n˜ao linear y = h(x), com x a ter como matriz de covariância Pxx e m´edia x . Um conjunto

de pontos de variância é escolhido, de forma a que a sua média e covariˆancia seja x e Pxx

respectivamente. Estes pontos são então aplicados na fun¸cão n˜ao linear y = h(x) para obter a m´edia y e Pyy a matriz de erros do modelo. A variável aleat´oria x é aproximada por 2L + 1

pontos de variˆancia ponderados pelos respectivos pesos,

X0 = x Xi = x + ( √ (L + λ)Pxx)i , i = 1, ...L Xi+L = x− ( √ (k + λ)Pxx)i−L, i = L + 1, ..., 2L, (3.11)

com os pesos de W a serem dados por

W₀m= λ/(L + λ),

W₀c= λ/(L + λ) + (1− α2+ β),

W_im= W_ic= 1/2(L + λ) , i = 1, ..., 2L,

(3.12)

onde Wm

(26)

3.4. Unscented Kalman filter α2_(L+k)_{−L ´e um parˆametro de escala e a constante α determina a diferen¸ca entre os pontos}

de variˆancia em torno de x que se encontra normalmente entre 1 e 0.00001. A constante

k tamb´em é um parâmetro de escala que é 0 ou 3 − L e o β é usado para incorporar a informa¸cão sobre a distribui¸c˜ao de X (para distribui¸cões gaussianas, β = 2 ´e o valor óptimo). (√(L + λ)Pxx)i é a i-ésima coluna da raiz quadrada da matriz (podendo ser, por exemplo,

a matriz triangular inferior da decomposi¸cão de Cholesky). O método inicia cada ponto de variância através da fun¸c˜ao h, resultando num determinado conjunto de pontos, usando

Yi = h(Xi). (3.13)

A sua média é dada pela média ponderada dos pontos transformados,

y =

2L

∑

i=0

WimYi. (3.14)

A sua covariˆancia ´e dada pelo produto interno ponderado dos pontos transformados,

Pyy =

2L

∑

i=0

Wic[Yi− y][Yi− y]⊤. (3.15)

3.4.2 Unscented Kalman filter

Sendo a equa¸c˜ao do estado representativa dos nossos factores a estimar, esta ´e igual a b

Xk\k−1 = Xbk−1\k−1+

√

Σx· ϵt, (3.16)

em que √Σx ∈ ℜL×L e a matriz de covariˆ´ ancia dos parˆametros do modelo, e ϵt ∈ ℜL×L ´e

uma variável aleatória normal, com média zero e covariância igual à matriz identidade. Assumindo que os erros são aditivos, a matriz de covariância condicional é

Pk\k−1 = Pk−1\k−1+

√

Σx. (3.17)

Tendo calculado a matriz Pk\k−1, esta ir´a ser utilizada para calcular os pontos de variˆancia

do modelo χk\k−1= [ bXk\k−1 Xbk\k−1+ ν √ Pk\k−1 Xbk\k−1− ν √ Pk\k−1], (3.18) onde ν =√(L + λ) e χk\k−1 ∈ ℜ6×13.

(27)

Actualiza¸c˜ao da medida

A equa¸c˜ao da medida corresponde a

yk = h(Xk\k−1) +

√

Σy · et, (3.19)

em que h ´e a fun¸cão que se encontra na equa¸cão (2.28) para o modelo SRV e na equa¸cão (2.36) para o modelo LNV, yk ´e a volatilidade impl´ıcita registada no per´ıodo k e

√ Σy ´e a

matriz de covariˆancia entre os estados e os erros da medida. Usando os pontos de variˆancia determinados em (3.18), temos que

ξk,i = h(χik\k−1). (3.20)

A média e a covariância dos erros da medida é calculada através dos pontos de variância ponderados, como está descrito em seguida:

b yk = 2L ∑ i=0 Wi(m)ξk,i, (3.21) b Pyy,k = 2L ∑ i=0 Wi(c)[ξk,i− byk][ξk,i− byk]⊤+ Σy. (3.22)

Usando ybk e ξk,i, a matriz de covariˆancia cruzada ´e

b Pxz,k = 2L ∑ i=0 Wi(c)[χik\k−1− bXk\k−1][ξk,i− byk]⊤, (3.23)

sendo que o ganho de Kalman, a actualiza¸cão do estado e a covariância são respectivamente:

Kk = Pxz,kPzz,k−1 , (3.24)

b

Xk\k = Xbk\k−1+ Kk(y− byk), (3.25)

Pk\k = Pk\k−1− KkPyy,kKk⊤. (3.26)

3.5 Algoritmo de minimiza¸

c˜

ao

N˜ao tendo qualquer informa¸c˜ao sobre √Σy e

√

Σx, retir´amos de E. A. Wan e R. van der

Merwe (2001) um m´etodo que nos diz que estas matrizes podem ser adaptadas iterativamente, sob a forma: √ Σyk = (1− α) √ Σyk−1+ αKk(yk− byk)(yk− byk)⊤(Kk)⊤, (3.27) √ Σxk = (1− α) √ Σxk−1+ αKk( bXk\k− bXk\k−1)( bXk\k− bXk\k−1)⊤(Kk)⊤, (3.28)

(28)

3.5. Algoritmo de minimiza¸c˜ao

em que yk é a volatilidade impl´ıcita fornecida por uma institui¸cão financeira, byk é a

volatili-dade estimada para o momento do tempo em questão e bXk\k são os valores das previsões do

modelo para os seis parˆametros em quest˜ao.

Em seguida utilizamos o algoritmo de minimiza¸c˜ao sugerido em Peter Carr e Liuren Wu (2011), em que o erro pode ser obtido pela decomposi¸c˜ao:

lk = (yk− byk)⊤(yk− byk). (3.29)

Em suma, escolhemos os valores auxiliares dos parˆametros Θ, de forma a minimizar a soma do quadrado dos erros:

Θ ≡ argminΘ

N

∑

k=1

lk(Θ). (3.30)

O m´etodo usado para fazer esta estima¸c˜ao do erro foi o lsqnonlin do Matlab, aliado ao

unscented Kalman filter, com um n´umero máximo de itera¸cões de 500. Posteriormente, us´amos o unscented Kalman filter para proceder `a calibra¸cão dinâmica da superf´ıcie.

(29)

Cap´ıtulo

4

Resultados

4.1 Descri¸

c˜

ao dos dados utilizados

O cap´ıtulo em quest˜ao tem como objectivo analisar os resultados dos modelos LNV e SRV, sendo estes suportados pelo c´odigo feito em Matlab, referido em anexo.

Como input, usaram-se as volatilidades observadas diariamente entre 1 de Janeiro de 2008 e 31 de Dezembro de 2011, retiradas de um Banco Português. Estas foram constru´ıdas através de pre¸cos de op¸cões listadas de compra e de venda para o principal Índice Alemão (Dax). Sendo o pre¸co das op¸cões dado através da volatilidade do activo subjacente, é poss´ıvel com os dados passar-se directamente à estima¸cão do modelo.

O Dax, apresenta como uma das suas boas propriedades o facto de não pagar dividendos, e dado a economia Alemã, ser nesta data, a economia mais forte da zona Euro, podemos assumir que a sua taxa de juro sem risco é equivalente a zero ou muito próxima de zero, o que torna poss´ıvel aplicar o nosso modelo.

Para a estima¸cão do modelo, assumimos que a matriz dos pre¸cos das op¸cões era apenas composta por trˆes moneyness (95%, 100% e 105%) e 6 maturidades (7 dias, 30 dias, 90 dias, 180 dias, 360 dias e 730 dias). Na Tabela 4.1 estão descritas as estat´ısticas descritivas das volatilidades impl´ıcitas usadas como input para o modelo. Como ´e observado, no per´ıodo entre 2008 e 2011 existiu grande volatilidade no mercado, sendo que o máximo de volatili-dade impl´ıcita chegou a 63.83% e o m´ınimo chegou a 10.92%. Damos como exemplo dessa instabilidade, o rebentar da bolha imobiliária nos EUA e a falência da Lehman Brothers que trouxeram graves problemas financeiros ao Mundo.

(30)

4.1. Descri¸c˜ao dos dados utilizados

K/S 95% 100% 105%

Mat A. M´edia Amostral

1 26.07 21.60 19.44 30 25.11 22.14 19.88 90 24.87 22.76 20.96 180 24.76 23.21 21.77 360 24.93 23.71 22.57 730 26.22 24.90 23.74 B. Desvio Padr˜ao 1 9.38 7.96 6.66 30 7.26 6.92 6.40 90 6.03 5.48 5.22 180 4.62 4.38 4.18 360 3.59 3.42 3.26 730 2.49 2.35 2.33 C. M´ınimo 1 12.42 11.41 10.92 30 15.17 11.55 10.67 90 15.62 13.93 12.39 180 17.29 16.17 15.15 360 18.43 17.84 17.07 730 18.91 18.91 18.17 D. M´aximo 1 63.83 56.59 50.10 30 51.04 48.41 45.79 90 57.94 42.68 40.30 180 41.65 39.47 37.44 360 37.92 36.30 34.77 730 37.07 34.37 33.50 E. Mediana 1 24.56 20.17 17.49 30 23.17 20.30 18.11 90 23.18 21.43 19.86 180 23.55 22.17 20.91 360 24.15 23.03 21.99 730 26.21 24.84 23.29

(31)

4.2 Modelo SRV

No modelo SRV foi necessário escrever a equa¸c˜ao h descrita em (3.13) como solu¸c˜ao da equa¸cão quadrática (2.28), composta por seis variáveis desconhecidas inicialmente e ainda da medida z que ´e fun¸c˜ao do moneyness e da volatilidade impl´ıcita retirada do mercado. Em termos de erros, como comprovado pela Tabela 4.2, o prazo entre os 30 dias e os 60 dias apresenta o erro médio maior, contudo, apesar de ser maior é bastante aceitável rondando apenas 1% e ainda a varia¸cão explicada (um menos o rácio da variância dos pre¸cos dos erros sobre a variância da volatilidade impl´ıcita observada no mercado) é bastante elevada para estes cenários.

K/S 95% 100% 105%

Mat A. Erro quadrado m´edio

1 0.44 0.52 0.35 30 1.16 0.59 0.39 90 1.75 0.34 0.27 180 0.30 0.21 0.30 360 0.28 0.22 0.38 730 0.65 0.38 0.47 Média: 0.50 B. Varia¸cão explicada 1 1.00 1.00 1.00 30 0.97 0.99 1.00 90 0.92 1.00 1.00 180 1.00 1.00 1.00 360 0.99 1.00 1.00 730 0.95 0.99 1.00 Média: 0.99

Tabela 4.2: Estat´ısticas dos erros das volatilidades.

As Figuras 4.1, 4.2 e 4.3 representam a calibra¸cão dos seis factores do modelo em rela¸cão às op¸cões sobre o Dax. A Figura 4.1 mostra-nos que a tendˆencia de longo prazo (θ) situa-se geralmente acima da variância da taxa de retorno instantˆanea (v), de forma a capturar a estrutura da volatilidade impl´ıcita em rela¸cão às op¸c˜oes at-the-money. A Figura 4.2 mostra-nos uma caracter´ıstica comum das op¸cões sobre ´ındices: os três parâmetros presentes neste gráfico são bastante pequenos, apesar do parâmetro de reversão para a m´edia (κ) ser bas-tante maior que os coeficientes da volatilidade da volatilidade do modelo (η e ω). Os valores

(32)

4.2. Modelo SRV

serem pequenos ´e algo necess´ario para capturar o skew negativo para as maturidades mais longas. A Figura 4.3 mostra-nos o coeﬁciente ρ sempre negativo e em grande parte dos casos ´

e inferior a−0.5, o que revela uma das propriedades dos ´ındices de açcões que é ter um skew persistentemente negativo. 0 100 200 300 400 500 600 700 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 Níveis de volatilidade, % √ v √ θ

Figura 4.1: Gráfico de dois coeficientes que variam com o tempo (√θ e √v).

0 100 200 300 400 500 600 700 0 1 2 3 4 5 6

Drift and diffusion

κ ω η

(33)

0 100 200 300 400 500 600 700 −1 −0.9 −0.8 −0.7 −0.6 −0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 Correlação ρ Figura 4.3: Gr´aﬁco de ρ.

4.3 Modelo LNV

No modelo LNV foi necessário escrever a equa¸c˜ao h descrita em (3.13) como solu¸c˜ao da equa¸cão quadrática (2.36), composta por seis variáveis desconhecidas inicialmente e ainda da medida k que ´e fun¸c˜ao do moneyness e da volatilidade impl´ıcita retirada do mercado. Em termos de erros, como comprovado pela Tabela 4.3, o prazo entre os 30 dias e os 90 dias tem o erro médio maior, contudo, apesar de ser maior é bastante aceitável dado rondar apenas 0.5% e a varia¸cão explicada é bastante elevada para estes cenários.

(34)

4.3. Modelo LNV

K/S 95% 100% 105%

Mat A. Erro quadrado m´edio

1 0.26 0.37 0.29 30 0.67 0.38 0.28 90 0.51 0.42 0.38 180 0.22 0.06 0.12 360 0.12 0.06 0.11 730 0.15 0.16 0.12 Média: 0.26 B. Varia¸cão explicada 1 1.00 1.00 1.00 30 0.99 1.00 1.00 90 0.99 0.99 0.99 180 1.00 1.00 1.00 360 1.00 1.00 1.00 730 1.00 1.00 1.00 Média: 1.00

Tabela 4.3: Estat´ısticas dos erros das volatilidades.

As Figuras 4.4, 4.5 e 4.6 representam a calibra¸c˜ao dos seis factores do modelo em rela¸c˜ao `

as op¸cões sobre o Dax. A Figura 4.4 mostra-nos que a tendˆencia de longo prazo (θ) situa-se situa-sempre acima da variância da taxa de retorno instantˆanea (v), de forma a capturar a estrutura da volatilidade impl´ıcita em rela¸cão às op¸c˜oes at-the-money. A Figura 4.5 mostra-nos uma caracter´ıstica comum das op¸cões sobre ´ındices: os três parâmetros presentes neste gráfico são bastante pequenos, no entanto, o parˆametro da volatilidade da volatilidade (ω) ´

e bastante maior que o coeficiente da reversão para a m´edia (κ) e do segundo parˆametro da volatilidade da volatilidade (η). Os valores serem pequenos ´e algo necessário para capturar o skew negativo para as maturidades mais longas. A Figura 4.6 mostra-nos o coeficiente

ρ sempre negativo e em grande parte dos casos ´e inferior a −0.5, o que revela uma das propriedades dos ´ındices de ac¸c˜oes que ´e ter um skew persistentemente negativo.

(35)

0 100 200 300 400 500 600 700 0 50 100 150 200 250 Níveis de volatilidade, % √θ √ v

Figura 4.4: Gráfico de dois coeficientes que variam com o tempo (√θ e √ν).

0 100 200 300 400 500 600 700 0 1 2 3 4 5 6

Drift and diffusion

κ ω η

(36)

4.3. Modelo LNV 0 100 200 300 400 500 600 700 −1 −0.9 −0.8 −0.7 −0.6 −0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 Correlação ρ Figura 4.6: Gr´aﬁco de ρ.

(37)

Cap´ıtulo

5

Conclus˜

ao

Com este trabalho conseguimos implementar dois modelos para o cálculo de superf´ıcies de volatilidade impl´ıcita, alternativos à utiliza¸cão do modelo de Heston ou do modelo de vola-tilidade local de Dupire, para determinar a volavola-tilidade impl´ıcita.

Como referimos na introdu¸cão, estes métodos foram inspirados no trabalho de Peter Carr e Liuren Wu (2011), onde se pretende construir uma superf´ıcie de volatilidade impl´ıcita que seja menos pesada computacionalmente e que capture o smile da volatilidade. Este m´etodo possibilita erros inferiores aos que normalmente seriam obtidos pelos modelos de volatili-dade estocástica e de volatilidade local. Com a análise dos resultados dos dois modelos, verificámos que existe um erro médio inferior a 1% e uma varia¸cão explicada na ordem dos 99%, utilizando um algoritmo de minimiza¸c˜ao do software Matlab e o unscented Kalman

filter que constru´ımos para os dois modelos. Em rela¸c˜ao aos dois modelos, também é de notar que o modelo LNV é mais robusto e que o erro médio é, em média, inferior ao do modelo SRV. Contudo, a sua decomposi¸cão de Cholesky tende a dar mais problemas. Importa ainda salientar que assumimos uma taxa de juro e uma dividend yield iguais a zero, de forma a simplificar o modelo.

Na parte da implementa¸c˜ao, as matrizes √Σyt e √

Σxt são consideradas dinâmicas o que faz com que possam ser moldadas aos dados que temos. Este método foi inspirado no artigo de E. A. Wan e R. van der Merwe (2001) que descreve o comportamento e a dinâmica das matrizes.

Um dos problemas detectados, ´e o facto da matriz Pk\k−1 n˜ao ser em alguns casos

semi-definida positiva , o que faz com que não seja poss´ıvel utilizar a decomposi¸c˜ao de Cholesky e o método seja abortado e as estimativas não sejam fidedignas. Aspectos a melhorar ou a remodelar são: investigar o que aconteceria se não tivesse assumido uma taxa de juro e

dividend yield iguais a zero; encontrar uma forma alternativa de fazer a decomposi¸c˜ao de matrizes, para eliminar os casos em que a matriz não é semi-definida positiva; e ainda me-lhorar o algoritmo de minimiza¸cão de forma a tornar mais rápida a sua rotina, pois a rotina

(38)

que usamos (lsqnonlin do Matlab) tem várias limita¸cões e demora em média 20 minutos a correr.

Em suma, o modelo tem como principais vantagens a sua velocidade de execu¸cão, pois a partir do momento em que adquirimos os parâmetros auxiliares que foram estimados pela minimiza¸c˜ao, corremos o unscented Kalman filter que demora cerca de 35 segundos a fazer a optimiza¸cão dos dados e dá-nos a superf´ıcie de volatilidade impl´ıcita para o subjacente em questão. Neste caso, o Índice Alemão Dax e os erros em questão são bastante pequenos, ou seja, inferiores a 1%.

(39)

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(40)

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(42)

Ap ˆendice

A

Revis˜

ao

A.1 Lema de Itˆ

o

Seja f (t, x) uma fun¸c˜ao de classe C1,2_{([0, +}_{∞) × ℜ), isto ´e, f: [0, +∞) × ℜ → ℜ, (t, x) →}

f (t, x), tem derivada cont´ınua de ordem 1 em rela¸cão a t e tem derivadas continuas de ordem 2 em rela¸c˜ao a x. Seja (Xt)t∈[0,T ] um processo de Itô com uma representa¸cão:

Xt= X0+ ∫ t 0 µsds + ∫ t 0 σsdWs, t∈ [0, T ],

ent˜ao, (Yt)t∈[0,T ], sendo que Yt = f (t, Xt) é também um processo de Itô e para todo o

t∈ [0, T ], veriﬁca-se que f (t, Xt) = f (0, X0) + ∫ t 0 ∂f ∂t(s, Xs)ds + ∫ t 0 ∂f ∂x(s, Xs)dXs+ 1 2 ∫ t 0 ∂2_f ∂2_x(s, Xs)σ 2 sds. (A.1)

A.2 Op¸

c˜

oes standard

Assumindo os pressupostos do modelo BMS, os pre¸cos das op¸c˜oes de compra e venda s˜ao dados por, respectivamente:

ct(S, K, T ) = Ste−qτΦ(d1(S, K))− Ke−rτΦ(d2(S, K)) pt(S, K, T ) = Ke−rτΦ(−d2(S, K)) − Ste−qτΦ(−d1(S, K)), com d1(S, K) = ln(St/K) + (r− q + σ 2_/2)τ στ d2(S, K) = ln(St/K) + (r− q − σ 2_/2)τ στ .

(43)

Ap ˆendice

B

C´

odigo em Matlab

B.1 Modelo SRV

B.1.1 Fun¸

c˜

ao H

function X = funtionh(x,tau,money,num) zau=(log(money)+(num^2)*tau/2)/(num*sqrt(tau)); h=@(x)((-(x(3)^2*exp(-2*x(4)*tau)*tau^(3/2)*zau)+ sqrt((((x(3)^2)*exp(-2*x(4)*tau)*tau^(3/2)*zau)^2)-4*(1+x(1)*tau)*-1*((x(1)*x(2)-x(3)^2*exp(-2*x(4)*tau))*tau+x(5)+ 2*x(6)*x(3)*sqrt(x(5))*exp(-x(4)*tau)*sqrt(tau)*zau + (x(3)^2)*exp(-2*x(4)*tau)*tau*zau^2))))/(2*(1+x(1)*tau)); X= h(x)^2; end

B.1.2 Fun¸

c˜

ao T

function X = funtiont(x,tau,money,num) zau=(log(money)+(num^2)*tau/2)/(num*sqrt(tau)); t=@(x)((-(x(3)^2*exp(-2*x(4)*tau)*tau^(3/2)*zau)- sqrt((((x(3)^2)*exp(-2*x(4)*tau)*tau^(3/2)*zau)^2)-4*(1+x(1)*tau)*-1*((x(1)*x(2)-x(3)^2*exp(-2*x(4)*tau))*tau+x(5)+ 2*x(6)*x(3)*sqrt(x(5))*exp(-x(4)*tau)*sqrt(tau)*zau + (x(3)^2)*exp(-2*x(4)*tau)*tau*zau^2))))/(2*(1+x(1)*tau)); X= t(x)^2; end

(44)

B.1. Modelo SRV

B.1.3 Pontos Sigma

function X=sigmas(x,P,c) A=c*chol(P)’; Y = x(:,ones(1,numel(x))); X = [x Y+A Y-A]; end

B.1.4 Unscented Kalman Filter1

function [x,P,Q,R]=ukf(x,tau,money,num,P,Q,R)

L=numel(x); %numer of states

alpha=1e-3; %default, tunable

ki=0; %default, tunable

beta=1; %default, tunable

x1=x;

lambda=alpha^2*(L+ki)-L; %scaling factor

c=L+lambda; %scaling factor

Wm=[lambda/c 0.5/(c)+zeros(1,2*L)]; %weights for means Wc=[lambda/c+(1-alpha^2+beta) 0.5/(c)+zeros(1,2*L)];

P=P+Q;

%Q=covariancia de x

X=sigmas(x,P,sqrt(c)); %sigma points around x

[z1,R1,RQ]=UnscentedFilter(X,tau,money,num,Wm,Wc,L,R,x); %z1=media de y %R1=matrix de covariancias de y Z2=h(x)-z1; K=RQ/R1;

x=x1+K*(num-z1); %state update

x(1,1)=abs(x(1,1)); x(2,1)=abs(x(2,1)); x(3,1)=abs(x(3,1)); x(4,1)=abs(x(4,1)); x(5,1)=abs(x(5,1)); if x(6,1)<-1 x(6,1)=-1; elseif x(6,1)>1 x(6,1)=1; else

(45)

x(6,1)=x(6,1); end P=P-K*R1*K’; %covariance update Q=diag(diag((1-alpha)*Q+alpha*K*(num-real(max(funtionh(x,tau,money,num),funtiont(x,tau,money,num))))* (num-real(max(funtionh(x,tau,money,num),funtiont(x,tau,money,num))))’*K’)); R=diag(diag((1-alpha)*R+alpha*K*(x-x1)*(x-x1)’*K’)); end

B.1.5 Unscented Kalman Filter2

function [x,P,Q,R]=ukf2(x,tau,money,num,P,Q,R)

L=numel(x); %numer of states

alpha=1e-3; %default, tunable

ki=0; %default, tunable

beta=1; %default, tunable

x1=x;

lambda=alpha^2*(L+ki)-L; %scaling factor

c=L+lambda; %scaling factor

Wm=[lambda/c 0.5/(c)+zeros(1,2*L)]; %weights for means Wc=[lambda/c+(1-alpha^2+beta) 0.5/(c)+zeros(1,2*L)];

P=P+Q;

%Q=covariancia de x

X=sigmas(x,P,sqrt(c)); %sigma points around x

[z1,R1,RQ]=UnscentedFilter(X,tau,money,num,Wm,Wc,L,R,x); %z1=media de y %R1=matrix de covariancias de y Z2=h(x)-z1; K=RQ/R1;

x=x1+K*(num-z1); %state update

x(1,1)=abs(x(1,1)); x(2,1)=abs(x(2,1)); x(3,1)=abs(x(3,1)); x(4,1)=abs(x(4,1)); x(5,1)=abs(x(5,1)); if x(6,1)<-1

(46)

B.1. Modelo SRV x(6,1)=-1; elseif x(6,1)>1 x(6,1)=1; else x(6,1)=x(6,1); end P=P-K*R1*K’; end

B.1.6 Unscented Filter

function [y,P1,RQ]=UnscentedFilter(X,tau,money,num,Wm,Wc,n,R,x) L=size(X,2); y=zeros(n,1); Y=zeros(n,L); for k=1:L Y(:,k)=max(real(funtiont(X(:,k),tau,money,num)), real(funtionh(X(:,k),tau,money,num))); y=y+Wm(k)*Y(:,k); %media de y end X1=X-x(:,ones(1,L)); Y1=Y-y(:,ones(1,L));

P1=Y1*diag(Wc)*Y1’+R; %matrix de covariancias de y RQ=X1*diag(Wc)*Y1’; end

B.1.7 Matrizes e erros1

function [y,P,Q,R]=teste(y,num,N,M,P,Q,R) for k=1:N money=[0.95 1 1.05]; for JJ=1:M if JJ>=1 && JJ<=3 tau=7/360; [y,P,Q,R]=ukf(y,tau,money(JJ),num(k,JJ),P,Q,R); elseif JJ>=4 && JJ<=6 J=JJ-3; tau=30/360;

(47)

[y,P,Q,R]=ukf(y,tau,money(J),num(k,JJ),P,Q,R); elseif JJ>=7 && JJ<=9 J=JJ-6; tau=90/360; [y,P,Q,R]=ukf(y,tau,money(J),num(k,JJ),P,Q,R); elseif JJ>=10 && JJ<=12 J=JJ-9; tau=180/360; [y,P,Q,R]=ukf(y,tau,money(J),num(k,JJ),P,Q,R); elseif JJ>=13 && JJ<=15 J=JJ-12; tau=1; [y,P,Q,R]=ukf(y,tau,money(J),num(k,JJ),P,Q,R); else J=JJ-15; tau=730/360; [y,P,Q,R]=ukf(y,tau,money(J),num(k,JJ),P,Q,R); end end end end

B.1.8 Matrizes e erros2

function [h,y,m,P,Q,R,wt,nt,pt,vt,ot,kt]=teste2(y,num,N,M,P,Q,R) m=zeros(N,M); wt=zeros(N,1); nt=zeros(N,1); pt=zeros(N,1); vt=zeros(N,1); ot=zeros(N,1); kt=zeros(N,1); m=zeros(N,M);