K/S 95% 100% 105%
Mat A. Erro quadrado m´edio
1 0.26 0.37 0.29 30 0.67 0.38 0.28 90 0.51 0.42 0.38 180 0.22 0.06 0.12 360 0.12 0.06 0.11 730 0.15 0.16 0.12 M´edia: 0.26 B. Varia¸c˜ao explicada 1 1.00 1.00 1.00 30 0.99 1.00 1.00 90 0.99 0.99 0.99 180 1.00 1.00 1.00 360 1.00 1.00 1.00 730 1.00 1.00 1.00 M´edia: 1.00
Tabela 4.3: Estat´ısticas dos erros das volatilidades.
As Figuras 4.4, 4.5 e 4.6 representam a calibra¸c˜ao dos seis factores do modelo em rela¸c˜ao `
as op¸c˜oes sobre o Dax. A Figura 4.4 mostra-nos que a tendˆencia de longo prazo (θ) situa- se sempre acima da variˆancia da taxa de retorno instantˆanea (v), de forma a capturar a estrutura da volatilidade impl´ıcita em rela¸c˜ao `as op¸c˜oes at-the-money. A Figura 4.5 mostra- nos uma caracter´ıstica comum das op¸c˜oes sobre ´ındices: os trˆes parˆametros presentes neste gr´afico s˜ao bastante pequenos, no entanto, o parˆametro da volatilidade da volatilidade (ω) ´
e bastante maior que o coeficiente da revers˜ao para a m´edia (κ) e do segundo parˆametro da volatilidade da volatilidade (η). Os valores serem pequenos ´e algo necess´ario para capturar o skew negativo para as maturidades mais longas. A Figura 4.6 mostra-nos o coeficiente
ρ sempre negativo e em grande parte dos casos ´e inferior a −0.5, o que revela uma das propriedades dos ´ındices de ac¸c˜oes que ´e ter um skew persistentemente negativo.
0 100 200 300 400 500 600 700 0 50 100 150 200 250 Níveis de volatilidade, % √θ √ v
Figura 4.4: Gr´afico de dois coeficientes que variam com o tempo (√θ e √ν).
0 100 200 300 400 500 600 700 0 1 2 3 4 5 6
Drift and diffusion
κ ω η
4.3. Modelo LNV 0 100 200 300 400 500 600 700 −1 −0.9 −0.8 −0.7 −0.6 −0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 Correlação ρ Figura 4.6: Gr´afico de ρ.
Cap´ıtulo
5
Conclus˜ao
Com este trabalho conseguimos implementar dois modelos para o c´alculo de superf´ıcies de volatilidade impl´ıcita, alternativos `a utiliza¸c˜ao do modelo de Heston ou do modelo de vola- tilidade local de Dupire, para determinar a volatilidade impl´ıcita.
Como referimos na introdu¸c˜ao, estes m´etodos foram inspirados no trabalho de Peter Carr e Liuren Wu (2011), onde se pretende construir uma superf´ıcie de volatilidade impl´ıcita que seja menos pesada computacionalmente e que capture o smile da volatilidade. Este m´etodo possibilita erros inferiores aos que normalmente seriam obtidos pelos modelos de volatili- dade estoc´astica e de volatilidade local. Com a an´alise dos resultados dos dois modelos, verific´amos que existe um erro m´edio inferior a 1% e uma varia¸c˜ao explicada na ordem dos 99%, utilizando um algoritmo de minimiza¸c˜ao do software Matlab e o unscented Kalman
filter que constru´ımos para os dois modelos. Em rela¸c˜ao aos dois modelos, tamb´em ´e de notar que o modelo LNV ´e mais robusto e que o erro m´edio ´e, em m´edia, inferior ao do modelo SRV. Contudo, a sua decomposi¸c˜ao de Cholesky tende a dar mais problemas. Importa ainda salientar que assumimos uma taxa de juro e uma dividend yield iguais a zero, de forma a simplificar o modelo.
Na parte da implementa¸c˜ao, as matrizes √Σyt e √
Σxt s˜ao consideradas dinˆamicas o que faz com que possam ser moldadas aos dados que temos. Este m´etodo foi inspirado no artigo de E. A. Wan e R. van der Merwe (2001) que descreve o comportamento e a dinˆamica das matrizes.
Um dos problemas detectados, ´e o facto da matriz Pk\k−1 n˜ao ser em alguns casos semi-
definida positiva , o que faz com que n˜ao seja poss´ıvel utilizar a decomposi¸c˜ao de Cholesky e o m´etodo seja abortado e as estimativas n˜ao sejam fidedignas. Aspectos a melhorar ou a remodelar s˜ao: investigar o que aconteceria se n˜ao tivesse assumido uma taxa de juro e
dividend yield iguais a zero; encontrar uma forma alternativa de fazer a decomposi¸c˜ao de matrizes, para eliminar os casos em que a matriz n˜ao ´e semi-definida positiva; e ainda me- lhorar o algoritmo de minimiza¸c˜ao de forma a tornar mais r´apida a sua rotina, pois a rotina
que usamos (lsqnonlin do Matlab) tem v´arias limita¸c˜oes e demora em m´edia 20 minutos a correr.
Em suma, o modelo tem como principais vantagens a sua velocidade de execu¸c˜ao, pois a partir do momento em que adquirimos os parˆametros auxiliares que foram estimados pela minimiza¸c˜ao, corremos o unscented Kalman filter que demora cerca de 35 segundos a fazer a optimiza¸c˜ao dos dados e d´a-nos a superf´ıcie de volatilidade impl´ıcita para o subjacente em quest˜ao. Neste caso, o ´Indice Alem˜ao Dax e os erros em quest˜ao s˜ao bastante pequenos, ou seja, inferiores a 1%.
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