Aula 02 Medidas tendecia entral

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Medidas de tendência central

Ou: “afinal de contas, que valor você

recomenda???”

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O problema da estimativa

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O problema da estimativa

• Dados: 4.80, 2.65, 3.76, 1.54, 1.29, 0.32, ...

AFINAL DE CONTAS: QUAL O RESULTADO FINAL?

Como sintetizar a informação???

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O problema da estimativa

RESPOSTA MAIS COMUM:

“Põe a média”...

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NOTA DO ENEM

• VIDE arquivo ENEM SP.xls

• 1865 escolas

–

602 particulares

–

1264 públicas

• Urbanas/Rurais; EMR/EJA

»

EMR = Ensino Médio Regular

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Qual o melhor?

10 bins 30 bins

50 bins 70 bins

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Melhor relação informação:ruído

10 bins 30 bins

50 bins 70 bins

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Como analisar isso?

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Como analisar isso?

• Qual é a nota média? Média = 49.45

• Perguntas:

–

Isso é representativo?

–

Há mais informação

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O problema da tendência central e a

dispersão dos dados

Qualquer conjunto de medidas e/ou dados tem duas

importantes características principais: o VALOR CENTRAL, ou TÍPICO, e a DISPERSÃO em torno deste valor central. Isto é mostrado a direita nos histogramas hipotéticos

Dispersão ampla

Dispersão estreita

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Um pouco de notação

Podemos percorrer um longo caminho com um pouco de notação. Suponha que estejamos fazendo uma série de observações... n delas para ser mais exato... Nesse caso, escrevemos:

Como o valor que observamos. Assim, n é o número total de dados, e x₄

(digamos) é o quarto dado desta série. Um ARRAY (ou VETOR) de dados é uma tabela de dados assim:

Leia como um”, “x-dois”...

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Um pequeno conjunto com n = 5 dados nos mostrará como as coisas funcionam. Suponha, por exemplo, que nós perguntemos à cinco pessoas quantas horas de TV elas assistem por semana... E conseguimos o seguinte ARRAY:

Então...

Qual é o “centro” desses dados? Na verdade, há

diferentes formas de medir o “centro”. Vejamos agora um deles:

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Média

O valor MÈDIO (no inglês, MEAN ou AVERAGE) é

representado por _{que é obtido da seguinte forma:}

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Um pouco de notação

Temos uma forma resumida para isso: Usando a letra Grega maiúscula SIGMA para a SOMA:

Leia isso como “a soma de xi, com i

indo de 1 até n” Para a soma

Diga isso dez vezes e você não vai mais se esquecer...

Agora sim isso está parecendo uma aula de estatística.

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No caso do peso dos estudantes da

aula passada...

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Achando a média em um histograma

Σ = 100 nascidos vivos no total

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Achando a média em um histograma

Σ = 100 nascidos vivos no total

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Mediana

É um outro tipo de centro da distribuição: o ponto médio dos dados, como a faixa do meio de uma estrada

(25)

Para encontrar a mediana, arranja-se os dados em ordem, do maior para o menor. A mediana é o do meio. Se o número de pontos é par...

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Para o peso dos 92 estudantes...

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Quando usar uma e outra???

Mediana: insensível a “outliers”, ou valores extremos não típicos comparados ao resto dos dados.

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MODA

• É o valor que mais ocorre

• Exemplo:

–

Dados os números 3, 4, 5, 7, 7, 7, 9, 9

• A moda é...

–

Dados os números 1, 2, 3, 4, 5

• A moda é...

–

Dados os números 1, 2, 2, 3, 4, 4, 5

• A moda é...

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MODA

• Válida mesmo para dados não qualitativos!

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ENEM – só prova objetiva

Distribuição bi-modal. O que

significa?

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Medidas de dispersão

Se todos estudantes pesassem 145 libras, nosso histograma seria assim;

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Medidas de dispersão

Mas se alguns fossem muito leves, e outros muito pesados...

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Medidas de dispersão

Mas se alguns fossem muito leves, e outros muito pesados...

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• AMPLITUDE: Máximo - Mínimo

Assim como a posição do centro, há

várias formas de medir a dispersão...

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Assim como a posição do centro, há

várias formas de medir a dispersão...

• DISTÂNCIA

INTER-QUARTIL:

Idéia: dividir os dados em 4 grupos iguais, e ver quão

longe os grupos extremos estão

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RECEITA

1. Colocar os dados em

ordem numéricao

2. Dividir os dados em 2

grupos de dados “altos” e

“baixos”, separados pela

mediana (se a mediana for

um dos dados, inclua ela

em ambos os grupos);

3. Encontre a mediana do

grupo de dados menores;

este é chamado de “1º

quartil”

4. A mediana do grupo maior

é o “3º quartil”.

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Exemplo: o peso dos estudantes (ainda!)

John Tukey inventou um outro tipo de modo de mostrar a IQR, o chamado gráfico de “Box and Whyskers”. Os boxes acabam nos quartis Q1 e Q3, com a mediana dentro do box

Gráficos Boxes

and Whyskers

Diferença entre a mediana dos estudantes pesados, e a mediana dos estudantes dos estudantes leves

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Se um ponto está a mais que 1.5 IQR do final do box, ele é um OUTLIER. Outliers são

desenhados individualmente

Gráficos Boxes and Whyskers

Finalmente, estendedemos os “Whyskers” para fora, até o último ponto que não é outlier

(dentro de 1.5 IQR dos quartis)

Muito bons para mostrar

diferenças entre Grupos!!

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Desvio padrão

• É a medida de dispersão para a MÉDIA.

• De maneira grosseira, é como uma distância

típica dos dados em relação à MÉDIA.

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Um estudo de caso

• Todos com mesma

média

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Um estudo de caso

• Todos com mesma

média

• Amplitudes:

–

Antônio: ZERO

–

João: 2

–

José: 10

–

Pedro: 10

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Como calcular o desvio padrão

• Dados:

–

3, 5, 7, 7, 38

• Média: = 12

• N = 5

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Como calcular o desvio padrão

• Dados:

–

3, 5, 7, 7, 38

• Média: = 12

• N = 5

• Desvio de cada número:

• x

_i

– x

_médio:

• -9

• -7

• -5

•

24

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(46)

Primeiro, calculamos a variância:

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IMPORTANTE: UNIDADES

• Dispersão tem que ter a mesma unidade do

dado original!!!!

• No exemplo, s

2 tem dimensão do quadrado de

x!!!

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Usos da média e do desvio padrão

• São ótimos para resumir as propriedades de

dados que seguem um histograma simétricos,

sem outliers.

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Usos da média e do desvio padrão

• Uma informação importante: saber quantos

desvios-padrão um certo dado está longe da

média!

• Para os dados de peso: xmédio = 145.2, e s =

23.7;

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Usos da média e do desvio padrão

• Para os dados de peso: xmédio = 145.2, e s =

23.7;

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Uma regra empírica:

• Em histogramas simétricos:

–

~ 68% dos dados estão em torno de 1 desvio

padrão ao redor da média

–

~ 95% dos dados estão em torno de 2

desvios-padrão ao redor da média

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E para fechar...

• Coeficiente de variação:

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