• Nenhum resultado encontrado

Les enfants et la mathématique 1, 1970.

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Les enfants et la mathématique 1, 1970."

Copied!
70
0
0

Texto

(1)

.::

FREDERIQUE

,,

.

:

.

-

'

LES

EN

NTS

: ..

ET

.

.

' .

- .

LA

M

A

T

H

E

M

A

T

I

Q

U

E

-- • - .~ _J

(2)

, , / 'J ,

(3)

LES ENFANTS

ET

,

(4)

OUVRAGES

DES

PAPY

Chez

le même Editeur

:

L'ENFANT ET LES GRAPHES (Traduction : Algonquin)

MATHÉMATIQUE MODERNE

(Reconstruction de la mathématique au niveau élémentaire) 1ENSEMBLES, RELATIONS

2. NOMBRES RÉELS ET VECTORIEL PLAN l. VOICI EUCLIDE

S. ARITHMÉTIQUE

6. VECTORIEL EUCLIDIEN PLAN

(T.raductions: Eudeba, Collier-Macmil 1 .

Nippon Hyoron Sha) an, Klett, Tineretului, Meulenhoff-Did'

Ier, Ao livra Tecnico,

Aux

Presses Universitaires

de

Bruxelles

GROUPES (Trad .

uct1ons: Macmillan, Feltrinelli, Plantijn) Collection FRÉDÉRIQUE (T d .

1 É ra uct1ons: Vandenhoe k R

. G 0MÉTRIE PLANE ET NOMBRES É c et uprecht, Plantijn,

2. INITIATION R ELS

AUX ESPACES VECTORIELS l. LE PREMIER ENSEIGNEMENT DE

L'ANALYSE

Chez

d'autres Ed

i

't

eu

rs

GROUPOÏDES

(labor) (Traduction · V

ERSTE ELEMENTE DER MOD s. andenhoeck et Ruprecht)

MINICOMp ERNEN MATHEMAT

UTER (IVAC, Bruxelles) IK (Otto Salle)

Feltrinell' 1 Al • gonquin)

FRÉDÉRIQUE

LES ENFANTS

ET

LA

MATHÉMATIQUE

1

MARCEL DIDIER

BRUXELLES - MONTRÉAL - PARIS 1970

(5)

©

FRÉDÉRIQUE AND DIDIER 1970

A

1na mère

Sous le titre ,,Sur le premier enseignement de la mathématique et une méthodologie de la formation continue des enseignants" le présent ouvrage a constitué une thèse de doctorat soutenue à la Faculté des Sciences de l'Université de Bruxelles, le 8 décembre 1968.

La thèse annexe était formulée :

,,Il est possible de démontrer de manière élémentaire qu'il existe un épimorphisme continu e du groupe R,+ sur le groupe des angles et que eR0 est l'ensemble de tels épimorphismes".

(6)

,

PREFACE

Buts de cet ouvrage :

Contribuer à la création d'une méthodologie de l'apprentissage des premiers éléments de la mathématique d'aujourd'hui par des enfants de six ans.

Produire un /ivre d'un genre nouveau qui transmette directement cette méthodologie et les éléments de mathématique sous-jacents.

Contribuer ainsi à jeter les bases d'une méthodologie continue de la formation des enseignants.

É.tab/ir un document pour l'étude psychologique du premier apprentissage de la mathématique.

*

*

*

L'expérience pédagogique qui fait l'objet de ce livre s'est déroulée pendant l'année scolaire 1967-1968 dans une classe non sélectionnée d'enfants de six ans de /'École Normale Primaire Berkendae/ dirigée par Madame BRACOPS. Une anomalie administrative a permis à Mademoiselle Danielle INCOLLE, Assistante au Centre Belge de Pédagogie de la Mathé-matique, de répéter cet enseignement dans une classe parallèle et d'en confirmer les résul-tats à quelques semaines de distance.

Les notes détaillées recueillies par Danielle INCOLLE qui a assisté à toutes mes leçons ont été extrêmement précieuses lors de la rédaction de cet ouvrage.

Les institutrices titulaires, Mesdames GITS et STOREZ, présentes lors des cours de mathématique, ont suivi l'expérience avec intérêt et sympathie et ont largement contribué à la parfaite intégration de nos leçons dans le reste de /'enseignement.

L'expérience a été suivie par une équipe d' Inspecteurs de /'Enseignement primaire et tout particulièrement par Monsieur BRISMER, Inspecteur des Écoles de l'État.

Nous avons bénéficié également de la collaboration agissante de Mademoiselle LEVIS, professeur de pédagogie à /'École Normale Berkendael, dont nous avons retenu maintes suggestions judicieuses.

Ce travail a été réalisé grâce au mandat de Chef de Travaux qui m'a été attribué par le Centre Belge de Pédagogie de la Mathématique. La présence à de nombreuses leçons de Norma ARAUJO, Eliano COSTA NOGUEIRA, Elena COTTET, Françoise DARGE, Arago de CARVALHO BACKX, Abdullah DEMIRALP, Maria-Amalia FERRER, Jose Alzir Correa LE/TE, Fons VOS, Assistants de ce Centre, a permis de recueillir des renseignements détaillés sur les réactions individuel/es de tous les élèves de la classe.

PRÉFACE

VII

. . , constituée le Centre Belge de Pédagogie h s de la source d'insp1rat1on qua ·e tiens à dire tout ce que je dois aux En

d~

.or otique ses publications et ses stars·;ur /'Étude et l'Amélioration de /'En-de la M.at

·

e~s

de

I~

Commission /nternat1ona

~a ~té

donné d'assister et grâce auxquelles vingt reun;ode la Mathématique auxquelles

~s:

édagogique et mathématique de

person-se1gn~m:~

. , d'un contact direct avec la pe

~a

CASTELNUOVO, Gustave CHOQUET, j'ai_ b."nef1oe 'minentes que variées,

tel~es qu~ E~ETCHER,

Celestino GALL/, Caleb

GAT-na/1tes

aus~/~NES,

jean DIEUDONN ' T. I . PESCARINI, jean PIAGET,

t

Pedro PUIG Zoltan P.

r

·

KRYGOWSKA, Ange 0

TEGNO, Anna So ia . .

ADAM [CIEAEM] i. . . r les élèves de nos deux classes qui furent mcon-/'a réable devoir de cite ' érience et les auteurs de la plupart des Il I

me

reste t /es acteu g rs /es plus importants de / 'ebxp d /'année Au de ut e 1" ai conduit une classe de testab emen . qui agrem . , entent l'ouvrage. des raisons a mi . d ·nistratives indépendantes de notre i//ustrat1ons . d 15 octobre, pour .. t "ai poursuivi /'expérience dans une

A partir u 't' remaniee e J //'/

29 élèves, / compos1t1on . . . des classes a e e . t une partie de la classe para e e 10 tres const1tuan

volante, a , 19 élèves, les au . /' au cours de ce partage, à créer autant que classe réduite a . par Danie . /le JNCOLLE. . On a ve1/ :en se ,on an · d t sur les résultats des tests exécutés par conduite de même niveau . ur TOMAS.

'b/e des classes . I dirigé par Mons1e

poss1 édico-soc1a

le Centre psycho-m FRÉDÉRIQUE.

"t 1968. Duinbergen. aou '

. h'e placée en fin d'introduction . . la biL>hograp 1

_ - - - : - : : : renvoient a Chets

(7)

AVERTISSEMENT

tout part,icu/ièrement destiné à l'Am. 1

de mathematique moderne r ecteur, non encore initié aux prem1·ers 'I'

· e ements

• L'introduct· ·

ion situe, donne une ide'e d'

1 ensemble resr· I'

ana yse, commente, éclaire. ' itue ordre chronologique, • La lecture de l'ouvra e r

duction. g p oprement dit est plus facile que celle de son

intro-• La lecture de l'introduction n'

hension du reste de I' est heureusement pas nécessaire ,

ouvrage. a la corn

pré-• Conseil à l'Ami lecteur: Aborder le liv

, . re par une lecture rapide de l'intro . '

mathemat1ques qui paraîtraient difficile ductron, sans s arrêter aux termes

S.

• Réponse a p · .

. , osterrorr aux questions mathé .

aisement trouvée dans mat1ques que poserait I'

ouvrage sera [EG] Intermezzo [Mi] ch. 13 et [MM1] ch. 1 à 5 et ch. 7 à 13

INTRODUCTION

1. SOURCES

Nous avons abordé de manière systématique le problème de l'enseignement de la mathé-matique à l'école primaire après neuf années d'expériences pédagogiques au niveau secondaire dans le cadre de la réforme inspirée par PAPY [A 10].

Pendant cette période déjà, d'assez nombreuses leçons occasionnelles et sporadiques à des élèves de 6 à 12 ans nous avaient convaincu de la possibilité et de la nécessité d'une réforme au niveau primaire et nous en faisaient entrevoir quelques-unes des grandes lignes.

La nouvelle expérience utilise de manière essentielle certains des résultats les plus importants obtenus antérieurement. La reconstruction de l'édifice mathématique, au niveau secondaire, sous-jacente à la réforme offre un cadre solide au nouvel enseignement de 6 à 12 ans et l'oriente en lui présentant une perspective et un but.

[MM1] [MM2] [MM3] [MM5] [MM6] [AS] [A9] [F2] [F3] [K6] (cHOQUET] [DIEUDONNÉ] [ARTIN]. Nous utilisons de manière occasionnelle les réglettes CUISENAIRE qui motivent heureuse-ment l'introduction de MINICOMPUTER de PAPY et les blocs logiques de VYGOTSKY-HULL-DlENES qui facilitent l'accès au diagramme ensembliste en feuille de trèfle [Cu] [BL] [GOUTARD] (RAVERSCHOT] (DIENES].

Trois moyens pédagogiques dus à PAPY, la technique des cordes de couleur, les graphes multicolores et MINICOMPUTER ont été constamment utilisés [B] [EE] [G] [g] [Mi].

2. FORMATION CONTINUE DES ENSEIGNANTS

La forme du présent ouvrage est largement influencée par les conclusions que l'on a pu tirer des cours de formation continue des enseignants organisés par le Centre Belge de Pédagogie de la Mathématique et dirigés par Dr. Roger HOLVOET.

• Les situations qui conviennent à l'enseignement aux élèves sont les meilleures pour la fo r-mation de leurs maîtres.

• Ne proposer aux professeurs en exercice que des matières directement utilisables dans leur propre enseignement.

• Inculquer en même temps la mathématique nouvelle et la pédagogie de son enseignement.

l. STRUCTURE DE L'OUVRAGE

Un livre antérieur [EG] décrit et commente les dix premières leçons consacrées aux graphes dans mon enseignement à l'école primaire. Un intermezzo placé au centre de [EG] fixe

quelques-1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

(8)

X

INTRODUCTION unes

~es

notions de mathématique moderne sous-jacentes. Il n'était ni possible ni utile ni même souhaitable de présenter avec le même souci du détail mes 200 1 d 1 ' . '

eçons ans a petite classe.

Le présent document relate les grands moments de cet enseignement de maniè · ·

que possible. Il décrit les situations pédagogiques originales utilisées dans 130 1 re auss1I

~1vante

lecteur le so· d'" · eçons et a1sse au

tn imaginer en toute liberté un déroulement possible des le d · ·

médiaires. çons e routine

inter-~es enfants de six ans ne s'intéressent pas volontiers au même · . .

consecutifs. Dans la classe, il est nécessaire d'alterner les s . objet pend_a,nt plusieurs Jours présent ouvrage s'écarte de l'ordre h

1 . UJets. Afin de faciliter la lecture, le

c rono og1que et procède à des r ,

Les leçons évoquées sont datées de m . , , g oupements par themes.

an1ere a permettre au lecteur de • de l'expérience une vue aussi fidèle que 'bl L'

1 . s Y retrouver et d'emporter

poss1 e. ana yse c1-desso us a reta 1t 1 , bl. d ans sa chronologie.

4. ANALYSE DE L'EXPÉRIENCE

Les graphes multicolores et MINICOMPUTER de PAPY . . ,

donnent le ton à cet enseignement et réve'le t A 'petite machine a apprendre à calculer

n en meme temps d b' .

1. Introduction de l'enfant dans le m d . eux o Ject1fs majeurs :

on e consc1emme t 1 .

moderne. n re ationnel de la mathématique

2. Initiation

en plus riches. progressive aux techniques de calcul dans d es ensembles de nombres de plus

, , Au cours du premier mois, les enfants sont mis en

creees respectivement par présence des trois types de situations

1. les graphes

2. le matériel CUISENAIRE 3. les blocs logiques de DIENES

Les leçons concernant ces trois sortes d'act· . , 1

. 1v1te a ternent de m ., , , .

Les graphes permettent de décrire et , , . aniere a ev1ter toute lassitude.

des fonctions ré · d etudier des relation d .

t. d' c1proques comme montre son soulier h s e parente comme frère et sœur,

ca ions un ensemble d gauc e montr

jolis dessins 1 . ans un_ autre telles que les distrib '. e son soulier droit et des

appli-mu t1colores contribuent à dégager la . utrons de courrier et de bonbons. Ces

sance commune d'enfa t notion mathém .

qui

1 . d n s non encore scolarisés en lu· atique de relation de la

connais-u1 ont onné naissance [EG]. , ' conservant la saveur des situations familières

, Grâce au matériel CUISENAIRE les , ,

etablissent des bijections t ' eleves classent ordon

rouges (Ch 1) e consacrent une attention ' , . nent, construisent trains et murs,

· · spec1ale à 1

a gamme binaire des réglettes Les blocs logi

ques conduisent à ré 1.

de VENN pour un couple d' bl a iser concrètement et

ensem es (Ch. 14,

§

1). à dessiner le diagramme général

INTRODUCTION XI

Les enfants de six ans qui entrent en première année primaire ont une certaine notion des premiers nombres naturels. L'étendue de ces connaissances varie fort d'un enfant à l'autre.

Les enfants amorcent la fameuse litanie 1, 2, 3, ... en la prolongeant chacun aussi loin que possible. C'est l'occasion, au début du deuxième mois, de dessiner des ribambelles sous forme de spirales [EG].

La numération écrite était en général mieux connue que la numération parlée rendue plus difficile par des anomalies phonétiques. Le lien entre la numération écrite et la numération parlée doit être renforcé. Quand la ribambelle se prolonge, les nombres naturels apparaissent essen-tiellement sous l'aspect ordinal.

On dégage peu à peu la structure d'ordre total strict en dessinant des graphes des relations

<

et

>

définies dans certains petits ensembles de naturels [EG] (Ch. 12, § 1).

Au début du deuxième mois, apparaît explicitement le lien entre nombres naturels et bijec-tions, fait banal aux yeux des enfants tant qu'il s'agit de petits nombres [EG].

Les signes

+

.

<,

= s'introduisent dès le premier mois pour décrire certaines observations que suggère la juxtaposition de réglettes CUISENAIRE (Ch. 1, § 5).

Au cours du second mois, l'addition des nombres naturels est introduite à partir de la réunion d'ensembles disjoints (Ch. 3,

§

1 et 2). De nouveaux graphes présentent les fonctions +1, +2, +3 (Ch. 3, § 3).

Jusqu'ici les enfants n'ont pas encore effectué de calcul mécanique ou mental. La méthode que nous avons suivie pour initier l'enfant à cette nouvelle démarche de l'esprit utilise les avan-tages décisifs du binaire sur tout autre système de position, tout en tenant compte du contexte décimal dans lequel nous sommes plongés. Il nous a été possible d'atteindre ce résultat grâce à MINICOMPUTER de PAPY.

Inspiré par certains travaux de Monseigneur LEMAITRE, ce genre d'abaque bidimensionnel utilise harmonieusement le binaire à l'intérieur de plaques organisées décimalement [Mi] (LEMAITRE).

Les couleurs rappellent la gamme des rouges de CUISENAIRE qui facilite l'accès aux quatre règles de la machine.

Ainsi armés, nos élèves sont capables de représenter sur MINICOMPUTER le nombre d'élé-ments d'un ensemble de pions placés sur la case 1. L'application régressive des quatre règles fonda-mentales permet de conserver le contact concret avec un nombre écrit ou représenté sur la machine.

Après 15 jours, la pression de la classe m'oblige à introduire une troisième plaque et à accepter des nombres plus grands que 100 (Ch. 2).

L'addition d'entiers naturels s'effectue de manière automatique en ,,jouant" sur la machine. Il en est de même de l'opération doubler, une des notions primitives chez l'enfant et fondamentale dans MINICOMPUTER (Ch. 3, § 1 à 4). 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

(9)

XII

INTRODUCTION

La part de mémoire arbitraire si souvent rebutante da I' .

au minimum. L'addition des petits b ~ ns apprentissage du calcul est réduite nom res eux-memes est effectuée 1 d , 1

le système binaire pur lorsque la som . f' . , se on es reg es intelligibles:

me est 1n erreure a 9 et un , . ,

dans les autres cas. Les enfants sont . . . . . , d,

1

systeme m 1xte de ci mal-binaire position. a1ns1 1n1t1es es e début à un système de numération de

Le troisième mois ouvre la porte à la soustraction des .

dans la connaissance commune des enfants p Il' 1 naturels, qui se trouve en germe

1 2 . ara e ement, on dessine le h d ,

- • - • -3

aux fonctions

+1, +2, +J.

s grap es es reciproques

Les élèves comprennent sans . I'

de la fonction 2 perne que on passe d'un graphe de la fonction

+2

à un graphe

- en retournant les flèches (Ch. 4).

La multiplication des naturels - présente'e

' 1 comme addition , · ·

a nouveau es tableaux à double entrée d. repetee - permet d'utiliser

· I' . ou iagrammes cartésiens · d · ,

a occasion de problèmes relatifs a bl 1 . intro u1ts des le premier mois

', . ux ocs og1ques de DIENES (Ch. 5) (Ch. 14 § 1

J

ev1te de restreindre l'utilisation des graphes aux sit . , . , ).

de la classe est l'occasion d'une investigat· , , . . uatrons numerrques. Le dessin du plan

f: ·1 ion geometrrque importante L , 1,

ac1 ement sur le plan dessiné au tablea .

1 C . · es e eves se sont retrouvés

d' , u vert1ca. ette s1tuatio ' . ,

un trace de la relation a même préno . n s est an1mee quand on l'a enrichie

m que, premier exemple d'é . 1

Les enfants savent écrire leur , qu1va ence (Ch. 7,

§

1).

I' . prenom et commence t , •· ,

attention sur les initiales en demandant de d . n a s interesser aux lettres J'attire

lett re d e son prenom. , essrner un graphe d 1 f ·

e a onction montre la première

Ainsi réapparaissent les partitions introduites

de lettres et de bonbons (Ch. 3,

§

8). au cours du premier mois par les distributions

*

Pendant les quatrième et . . ,

on étudie plu 5 , . c1nqu1eme mois qui comport d

systemat1quement certaines de . ent eux semaines de vacances,

des situations plus élaborées. s notions déjà rencontrées, en les présentant dans

Ainsi s'introd u1t · progressivement le f

qui représ d ameux shamro k

ente es triples d'ensembl . c ou diagramme en feuille de trèfle

éventuellement hachurées ce d" es en situation générique. Si l'on d

. • 1agramme est 1 bl a met les plages vides,

une petite machine à raisonner 1 . va a e pour tout triple d'ensembles et constitue

. . ogrquement (Ch. 14

§

3)

Les distributions de bonb . , ' ·

d, . ons, aussi equitables

ecr1vent intuitivement et rigoureusement un

d

.

q~~

possible, conduisent à des partitions qui L a commutativité de l'add· . e 1v1s1on avec reste Ch. ( 10).

des additions pa 1t1on est d'emblée évidente 1

r groupement constitue la pour es enfants. Le droit d'effectuer

On imagine qu'un d c commutassociativité.

d eux, un troisième t . es en1ants de la casse 1 d, epose une bill d . ,

rois, · · ., le dernier dix- f C . e ans un grand sac, un deux1erne

neu . omb1en de b1 ·11 1

es dans le grand sac ? Ml

N

-INTRODUCTION

XIII COMPUTER calcule ce nombre. Je présente alors aux élèves la célèbre remarque du jeune GAUSS : on aurait aussi mis toutes les billes dans le sac si l'on avait demandé successivement au premier et au dix-neuvième enfant d'y déposer les billes, ensuite au deuxième et au dix-huitième, etc. On accède ainsi plus rapidement au résultat en s'appuyant en fait sur la commutassociativité.

Nous utilisons les parenthèses qui introduisent ici tant de clarté (Ch. 3. § 11).

Les diagrammes cartésiens permettent aux élèves de découvrir la commutativité de la multi -plication, propriété qui ne leur paraît pas toujours spontanément évidente (Ch. 5,

§

2).

La composition des fonctions

+1

et +2 introduit des graphes multicolores amusants, source

d'exercices variés qui dégagent progressivement la notion de composition (Ch. 6, § 1).

Chaque matin, les enfants notent la température en degrés centigrades (Celsius). A Bruxelles

au début de l'année scolaire, uniquement des nombres naturels; les mois d'hiver imposent les

négatifs. Au sixième mois, les entiers négatifs se trouvent dans la connaissance commune des

élèves avec le statut de nombres authentiques servant à ,,mesurer" une ,,grandeur" bien sensible.

La notation des résultats d'une suite de parties de dés, jouées par deux enfants, utilise des

nombres rouges et bleus, aux effets antagonistes, puisque tout point gagné par l'un des joueurs

tue un point gagné par l'autre. Il s'en suit une addition de nombres rouges et bleus. A la notation

près, les élèves accèdent au groupe additif des entiers rationnels.

Ultérieurement, on simplifie l'écriture : tous les nombres sont écrits en noir, les anciens

bleus étant surmontés d'une petite barre. Cette fois, nous avons effectivement le groupe Z,

+

,

à une toute petite variante près, 3 étant mis pour -3. On a reconnu depuis longtemps les avantages que présente pour les débutants la notation

3,

couramment utilisée dans les calculs logarithmiques

de jadis.

Tout au début, nous notons le résultat de chaque partie en plaçant des pions, rouges et bleus, sur un plateau. Une bataille d'extermination fournit le score final. Spontanément les élèves tran

s-fèrent le procédé à MINICOMPUTER.

Le lien entre la soustraction de nombres naturels et l'addition dans le groupe des entiers

rationnels est alors mis en évidence (Ch. 8).

La fonction double et sa réciproque demi sont présentées sous des éclairages différents : avec les réglettes CUISENAIRE, au moyen des diagrammes de VENN. sur MINICOMPUTER et à l'aide des graphes (Ch. 10, § 2 et 4).

*

Au cours des septième et huitième mois (deux semaines de vacances), on aborde des problèmes donnant lieu à une équation de type x

+

a = b ou x - a = b. li est hors de

question de présenter l'énoncé sous forme écrite à des enfants qui ne savent pas suffisamment lire. Communiquée verbalement, l'histoire est répétée, puis résumée par une équation où une petite

boîte représente l'inconnue selon le vénérable procédé des patterns, et enfin, traduite par un 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

(10)

XIV

INTRODUCTION

gr~phe.

Retourner la flèche fournit le nombre caché d 1 b A ,

methode générale valable pour tout groupe (Ch. 9). ans a o1te et resoud l'équation ... par la MINICOMPUTER met en évidence de ma . , f

c'est l'occasion de problèmes où int . 1 niere rappante nombres pairs et nombres impairs.

L . erv1ent a numérotation des maisons d'une rue (Ch. 7,

§

2 et 3), . , a fonction quadruple apparaît comme carré de corn o . . . lreu a des calculs sur MlNlCOMPUTER (Ch p s1t1on de la fonction double et donne

. 6, § 2).

La fonction quart ,est étudiée au moyen des ré lettes C , , .

de VENN et comme reciproque de la fonct· dg UlSENAIRE, a 1 arde des diagrammes que quart est le carré de compos1·t· rodn qua rup!e. Graphes et MINICOMPUTER soulignent

b ion e demi T

nom reux calculs à la machine (Ch 10

§

3 . outes ces fonctions sont l'occasion de · , et 5).

Triple et tiers sont étudiées à 1

d h eur tour au moyen d , 1

es grap es et de MINICOMPUTER (Ch. 10,

§

6). es reg ettes, des diagrammes de VENN, On montre encore que 1 fi .

(Ch. 6, § 2) a onction octuple est le cube de corn ..

· position de la fonction double

Jusqu'ici, la fonction demi a a A

:::~·~~~:ti;;u~~ ~: c'est-à-dir:~::

1

~0~~~:• ~= ~é~~~;~• ~·.

la

1

fonction

double

qui est une

e un entrer rationnel. Ils n'ont pas d'e : ais.' existe des nombres qui ne Un bâton de chocolat peut é u· ntrer rationnel comme demi.

contre deux billets de 50 F Il q l.tablement se casser en deux. U b'

tablement contre de .,· est vrai que 100 est un nombre p. Mn· Illet de 100 F s'échange ux p1eces de 50 . air. ais 1 F , , h

6 ans. Il leur semble d, 1 cmes qui heureusement int, sec ange aussi équi-es ors très nat 1 d eressent tou · 1

C' ure e rechercher d . Jours es enfants de

, est en voulant écrire 100 corn un em1 de 1 sur la mach· a leur donner la troisième la u'e

m~

double de 50, que les élèves m' . , me.

la technique qui permet

d~

q . A present, nous mettons 100 1 ont litteralement obligée en trouver la · · sur a machin

Comment appli uer la "' moitie. De même, avec le no b e et nous observons

no~ve~le

plaque, à

d~oite

et :eme r.ègle pour calculer le demi de > m re 10.

~u;~ts

agit .d'une .. plaque de

m~~~:~s:1::.~~s~itôt

,,plaque des

minu1s~u~:s~'enfants

demandent une

ure virgule. Ainsi calculons-n 1 . n mettant une barrière . Comment se rappeler

Pr 'd ous e demi de 1 sous forme d 1

oce ant toujours ar .. , que nous écrive e igne verte : notamment 1 h . . p mo1t1e, on atteint 1 . . ns 0,5 (Ch 11 § 1)

' e 1,11t1ème de 9 , , a tro1s1ème 1 · • . Le , que 1 on ecrit 1 125 ( p aque après la v·

d' . probleme du partage , . , Ch. 11, § 2 et 4) irgule et on trouve, !&1eusement int, equ1table de 100 F .

d' eressante La entre tro·

enfant : .. On . première idée de is enfants intr d .

sera encore ici demain mati n~mbre décimal illimité o u1t une situation

pro-n... perce dan

s cette remarque

Neuvième et d. . ,

1x1eme ._ •11015 .

Des problè

en ter rnes verbaux de

mes mathématiques :

calcul:o:p~exit~

croissante invitent 1 .

quat1ons corn es elèves ,

portant dd· a tradui a 1tion rn 1 . . re une histoire ' u t1plicat· ion, soustraction, - - - - -INTRODUCTION XV

division, fraction. Les enfants doivent choisir l'objet adéquat dans \a gamme dé\à riche des concepts mathématiques à leur disposition et décider à quel moment se servir des graphes.

Dans certains problèmes, l'équation finale de type 2x

+

a = b se résoud en retournant deux flèches (Ch. 13,

§

1 et 2).

La force d'expression de ce moyen pédagogique apparaît de manière plus pure encore dans certains graphes muets composant des fonctions telles que

+2

et

+3,

en des dessins dont aucun

point n'est marqué numériquement.

Ainsi, ces fonctions n'apparaissent plus seulement comme des liens mais acquièrent peu à peu le statut d'authentiques objets mathématiques. Les versions de l'associativité et de la transi -tivité fournies par certains de ces graphes sont un matériel de départ pour leur mise en évidence explicite ultérieure (Ch. 6,

§

3 et Ch. 12,

§

4).

Des problèmes ouverts comportant une démarche très courante dans la vie pratique deman-dent aux enfants munis d'une certaine somme d'argent de décider d'un ensemble d'achats en

présence d'une liste déterminée de tentations (Ch. 13,

§

3).

Comme la mise en équation essouffle parfois les élèves au point de les laisser démunis, face à l'équation finale, il convient de leur apprendre à programmer une stratégie, tout en restant disponibles pour en exécuter les diverses étapes.

Le prodigieux intérêt que manifestent les enfants de 6 ans pour les nombres assez grands impose irrésistiblement qu'on leur soumette également des calculs non motivés présentés comme des sortes de défi. Grâce à MINICOMPUTER, nos élèves additionnent et soustraient des nombres de trois chiffres et les multiplient par des fractions simples. Ce travail est très formatif parce qu'il exige une grande concentration pour découvrir chaque fois les bonnes stratégies. Ces exercices contribuent à créer une harmonieuse symbiose entre l'être humain intelligent et l'authentique

machine que MINICOMPUTER constitue aux yeux des élèves.

*

Plus qu'ailleurs, il est difficile à l'école primaire de circonscrire nettement l'enseignement de la mathématique. Cet ouvrage décrit des situations qui conduisent les élèves vers des concepts importants. La plupart d'entre eux et en particulier les nombres sont utilisés en classe dans des activités variées qui initient notamment les enfants aux premiers éléments du système métrique.

Les élèves effectuent concrètement de nombreuses mesures de longueur, de masse, de capacité,

de température. Une échoppe est l'occasion d'achats et de paiements. De multiples interactions entre les divers aspects de l'enseignement assurent le contact permanent entre le concret et la

mathématique et facilitent son utilisation pratique.

S. P~DAGOGIE DES SITUATIONS

Notre enseignement est tout imprégné de la pédagogie des situations de Caleb GATIEGNO

dont l'exemple et la pensée vivifiante n'ont cessé de nous inspirer.

(11)

-XVI

INTRODUCTION

Comme nul ne sait en dernière analyse quelle sera de m . , , .

nos élèves devront utiliser dans leur r . ·1 ,. an1ere prec1se la mathématique que

pro1ess1on, 1 s impose de 1 · . . ,

mathématisation et de la découvert d es initier aux demarches de la e es concepts, ce que favorise la pédagogie des situations.

C~mme objectif, on sélectionne des concepts im ortant , . , . ,

On cree des situations qui intéressent les enfants

e~

s de la

mathe

,ma~1que

d auiourd hui. naturellement à ces notions De cette ., 1 . , provoquent des react1ons les conduisant

· maniere es 1dees h, ·

caractère familier des situations de départ qui ie

i

.

mat

emat1~ues

acquises conservent le

les enfants . A ur ourn1ssent parfois un support durable. Mais

de sa

découov:tr::

.

P~

.

:~tn~ cs:~~e:u:~t-etre

plus

im~o~tante

que ce concept lui-même : la démarche d' 'h d A dont nous pu1ss1ons les armer pour leur permettre plus tard

appre en er eux-memes les concepts nouveaux de la mathématique de demain.

6. DIVERSITÉ DES SITUATIONS

Le.s _28 leçon,s évoquées au chapitre 3, pris à titre d'exemple, s'échelonnent du 15 octobre a~ 18. JUln et presentent de multiples aspects du phénomène addition des naturels dans des

s1tuat1ons et sous des optiques fort variées.

Situations Diagrammes

CONCRETES MULTICOLORES MINICOMPUTER

ÉCRITURE ANATOMIE GRAPHES

additive des nombres MULTICOLORES

PERSONNIFICATION

des nombres RYTHMES TABLES

CARRÉS MAGIQUES Nombres FONCTION

TRIANGULAIRES à deux variables

TRANSFORMATIONS

de l'ensemble des PRÉNOMS PARTITIONS

naturels

INVOLUTIONS PROGRESSIONS

amicales arithmétiques LONGS CALCULS

concourent à faciliter l'apprentissage de l'add't· d , A

permet d'éviter l'ornière de la r . • ion es naturels. L extreme diversité de ces facteurs cutine ennuyeuse.

Le continuel dépaysement est . ,

Contextes toujours nouveaux , pre,ferable à l'illusoire confort d .

et stimulent une fécond . •

de~s

lances sans relâche éveil! . es automatismes stériles.

e emulat1on ent un intérêt e 1

Cette pédagogie d . . xp orateur et agressif

s'ada e s1tuatio

pte tout particulièrement , l~s perpétuellement re

a enseigne nouvelées ,

ment collectif. Au début edt adequatement agencées e chaqu 1

e eçon, elle

con-XVII INTRODUCTION

centre l'attention de tout le petit monde et ramène au troupeau maint enfant que \'on aura\t

pu croire perdu.

7. RESPECT DE L'INDIVIDU DANS LA COLLECTIVITÉ DE LA CLASSE

La pédagogie de GA TIEGNO a d'autres mérites dans le contexte social du monde moderne. Elle permet de combiner harmonieusement un enseignement collectif et l'activité individuelle des élèves.

Le travail collectif de la classe est extrêmement fécond et tout particulièrement bénéfique pour des élèves de 6 ans. Dans notre application de la pédagogie des situations, la classe tout entière réagit mais les premières observations et suggestions résultent d'efforts de pensée indi-viduels. Les élèves tiennent compte et s'enrichissent de réponses faites par les autres. Une suggestion d'un élève recueille soudain l'accord unanime. Face à la situation, la classe est plus riche que le plus intelligent de ses éléments. L'émulation excite l'activité intellectuelle des indi-vidus. Les progrès de la collectivité entraînent les enfants les plus lents ou moins imaginatifs. Une découverte qui émane d'un élève de la classe a la grande vertu d'être beaucoup plus proche de la pensée des autres qu'une réponse fournie par le maître.

Cette pédagogie apprend aux enfants à réagir spontanément devant une situation et permet bien des variantes dans les modalités de l'enseignement.

Des exercices individuels permettent de s'assurer que chacun puisse s'en tirer par ses propres moyens, sans l'aide du chœur de la classe. Parfois le même problème est posé à tous les élèves. En d'autres circonstances, la difficulté des questions est adaptée à chaque enfant. 11 s'agit le plus souvent de problèmes ouverts qui permettent à chacun de réagir positivement, en toute liberté,

selon son tempérament, son caractère, ses connaissances, ses aptitudes et son talent.

8. PROBLEMES OUVERTS

Caleb GATTEGNO a lumineusement mis en évidence les vertus pédagogiques de ces pro-blèmes ouverts.

Les chercheurs disent : un problème résolu cesse d'être intéressant. La psychologie de l'enfant qui apprend et découvre est voisine de celle du chercheur. Les pédagogies amoureuses de conclusions simples et définitives donnent à l'enfant l'impression que le problème traité étant réglé, il est désormais inutile de s'en préoccuper ... et suppriment ainsi la permanence de l' ac-quisition.

Les problèmes ouverts - dépourvus de solution unique et définitive - ont le mérite de continuer à préoccuper l'élève et assurent le prolongement de l'enseignement en dehors des heures de classe.

Dans ce même ordre d'idée, je me félicite d'avoir tenu compte d'une remarque de Madame KR YGOWSKA qui conseille de terminer par un problème en suspens qui a bien des chances de rester présent à l'esprit de l'enfant après la fin du cours.

(12)

XVIII

INTRODUCTION 9. CLIMAT

' Les leçons se déroulent dans un climat affectif et .

1 enseignement collectif, on évite d psychologique positif. Dans le cadre de

. d" .d , e comparer les enfants Ch d'

in 1v1 u a part entière, ne se comparant ,, 1 . ~ • acun eux est regardé comme

rapides ou lents. qua u1-meme, heureux de ses progrès, qu'ils soient

. Les travaux des élèves ne sont ni corri és ni co , .

~1,te~r

_que provoque la confrontation

expli~it~

de I' te;, pour eviter le choc psychologique

inhi-e~a1lle

des documents produits par les élèves en

~nt

avec_ ses fautes. A partir de l'examen qui leur font éviter les erreurs passées dans ' on,. cree des situations pédagogiques nouvelles

' un c imat optimiste.

10. EXPRESSION PICTURALE

' L'expression picturale très lib

1 enfant d'affi re qui joue un rôle pr1·mord·1al d

irmer sa personnal"1te' au cœur de I' ans la met o e, permet , h d à activité mathémat1"que.

La création de I'

où I' 'I' œuvre en couleur est . .

e eve assimile fort peu 1 h . un evenement positif même d 1

a tee nique mathémati ue ' ans es cas extrêmes

Cette interpénétrat· q proprement dite.

1 . ion constante de co

e vrai caractère de la mathém t" mposantes artistiques et scient"fi

L' . . a ique sans sacrifier son aspect h, . 1 iques met en évidence

execut1on de dessins m . , . . est et1que. dehors du cham ot1ves rn1tie l'enfant à des .

p de toute préoccupation math, . techniques graphiques

Laissé seul en pr, emat1que. Utiles même au

. esence de sa feuil! d

primordial de la mise e et e ses outils l'él,

l'homme". en page. Les dessins d'enfants

incl~nen:~e

est aux prises avec le problème a penser · L .

. Les élèves disposent de fe . . " a mise en page, c'est latitude qui conduit à , . u1lles de papier non li .

mar u . ev1ter tout gaspilla L gne en quantité .

q eurs Japonais aux jolies coule _ge. es travaux graphiq pratiquement illimitée

urs qui permet ues sont e . , '

.. Une formule math, . tent des traits fins xecutes au moyen de

formul emat1que ne s'. . ou gros im . d

es monumentales occupant t 1 ecrit pas, elle se bu . " me iatement secs.

avec un phéno , out e cham . rine. Les

mene aussi dense de pensée ~visuel, ainsi qu'il con . marqueurs gravent des qu une form 1 vient pour 1

11 u e mathémat· e premier contact

· MYTHOLOGIE 1que.

Par le contexte .

son~ages

mythiques.

s~:~~

et familial, les enfants .

~at~se;

dans un but

déterm~o:re

_enseignement

d:

e

six ans sont habitu,

D

ge~eration

spontanée de ine. S1 certaines de 'ces s contes introduisent :s aux légendes et per-es iens d'amitié personn plersonnages mythiqu anecdotes sont épi d· es situations à

mathé-e s assur es cornrn

N

so iques d'

ent le contact e abuchodo ' autres amènent

entre no .

1, nosor et

s e eves et

1 es perso ses petites sœu rs. . , nnages imagines.

INTRODUCTION

XIX

12. RAISONNER SUR LE CONCRET IMAGINÉ

La tendance enfantine spontanée à vivre avec des êtres imaginés se mue tout naturellement

en aptitude à raisonner sur du concret imaginé, démarche fondamentale dans toute science.

Dans notre enseignement, nous montrons quand voir révèle ou élève; nous faisons

mani-puler, quand palper suggère, apprend ou fixe. Lorsqu'ils raisonnent sur des objets concrets bien familiers mais imaginés, les enfant se situent à un niveau supérieur de compréhension. En de telles circonstances, la manipulation de bibelots concrets les ferait dégringoler d'un étage et consti-tuerait une régression grave.

13. PERSONNIFICATION

La tendance à l'abstraction est une composante fondamentale de l'esprit ludique. Certains adultes ont peur de l'abstraction. Les enfants s'y meuvent à l'aise. Comme pour le mathématicien, l'abstrait familier a sur eux un impact comparable à celui du concret. Par exemple, les enfants considèrent les nombres naturels comme d'authentiques objets concrets. A la première occasion, ils les douent de vie, les font parler, les personnifient. Ainsi se crée ou se renforce un lien affectif bénéfique avec des objets mathématiques.

Peut-on mieux se mettre dans un problème qu'en prenant la place d'un nombre et en parlant pour lui, comme nos petits élèves le font si volontiers ?

14. GESTUELLE

Des leçons sporadiques de PAPY pour expérimenter sa méthode des graphes avec des élèves

d'école primaire, ont mis en évidence un obstacle qui parut difficile à surmonter: l'inhabileté des élèves à dessiner des flèches. Il est vrai que PAPY demandait aux enfants de dessiner des flèches à

la craie de couleur et au tableau ... à l'occasion du premier graphe présenté ...

La difficulté est tournée en s'aidant des apports de différents canaux sensori-moteurs. Pour commencer, nos enfants voient et admirent des projections lumineuses aussi grandes que possible de certains graphes de couleur. Ils raisonnent avant de dessiner, et lors du tracé des premières flèches, miment avant d'exécuter. Cette méthode rejoint la gestuelle préconisée pour

l'enseigne-ment de la lecture et de l'écriture [BOREL-MAISONNY] [de FACI].

Ce procédé respecte notre constant souci d'éviter le découragement de l'enfant par de trop fréquentes catastrophes. Si on le laisse se précipiter pour dessiner les flèches, il risque d'anéantir tout un dessin. Mieux vaut agir après avoir pensé, conçu, évalué et mimé.

15. MINICOMPUTER

Ce même principe guide l'emploi de MINICOMPUTER.

Les leçons initiales utilisent sa version murale et s'adressent tout d'abord au sens visuel.

Les couleurs nomment les cases et introduisent la langue simple et précise qui énoncera les règles

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

(13)

INTRODUCTION

XX

d ' 1 ·' anipulations On du jeu. Les autres canaux sensori-moteurs interviennent es es prem1eres m ·

habitue les enfants à manier les pions aimantés en utilisant simultanément les deux mains, en des gestes nets et rythmés, ébauche d'une gestuelle.

Ses secrets percés, MINICOMPUTER chargé de pions est une situation pédagogique et parle aux enfants. L'heure a sonné de l'entrée en scène des MINICOMPUTERS individuels.

A peine distribués, pions et plaques provoquent des jeux spontanés qui créent l'indispensable et puissant lien affectif entre l'enfant et la petite machine.

Tous les élèves réagissent positivement à MINICOMPUTER.

• Certains ont déjà l'aptitude à la concentration d'esprit nécessaire pour effectuer les calculs proposés et arrivent d'emblée au bon résultat.

• D'autres obtiennent un résultat erroné, preuve d'une manipulation incorrecte. Sous les yeux de l'enseignante immobile et muette, ils conduisent cependant le même calcul jusqu'au résultat final exact. Livrés à eux-mêmes au milieu de leurs condisciples, ces enfants ne par-viennent pas au degré de concentration requis, mais y accèdent sous la protection que leur assure la silencieuse et immobile présence de l'institutrice.

• MIN\COMPUTER personne\ permet de faire bénéficier les élèves qui n'ont pas retenu les règles du jeu d'un apprentissage individuel particulier, dans le cadre de l'organisation collec-tive de l'enseignement.

Les règles de MINICOMPUTER sont finalement assimilées par tous les enfants.

De M\N\COMPUTER mural à MINICOMPUTER personnel 1 Cette strate' · .

1 . •

, · g1e est ut1 1see avec

succes en tous les grands moments de \'enseignement. Le matériel d I' '\' .

A

1• . , e e eve est fort efficace

pour accroitre aptitude a la concentration. Après 9 mois d'en ·

T , A seignement, les trois quarts des e eves sont a meme de se concentrer individuellement pendant rès d' . ·

suite de calculs. P une demi heure sur une

Dans l'expérience, de nombreuses séances d'exer ·

\' .d 1 c1ces comportant d 1

a1 e, tota e ou partielle, systématique ou occasion Il d es ca culs effectués avec

. • Al ne e es MINICOMPUT

1oue un ro e que ce livre ne peut rendre Le tém . ERS personnels ont

do · · · . · oignage de ces le ·

cuments ecnts significatifs, devrait être recueil\" . çons qui ne laissent guère de Dans un avenir rapproché, le magnétoscope

pou:r:\:~:n~:1s

par d'autres moyens que le livre. ute rendre des services à cette ftn.

-____ '.L...-:-::-- -BIBLIOGRAPHIE 16. BIBLIOGRAPHIE [AS] [A9] [A10) [Artin) [B] [BL) [Borel) [Choquet) [CIEAEM) [Cu) [D] Papy Papy Frédérique E. Artin Papy Dienes Borel-Maisonny G. Choquet J. Piaget, E. W. Beth, J. Dieudonné, A. Lichnero-. G Choquet, C. Gat-w1cz, · tegno .

C. Gattegno, W . Serv.a1s,

E. Castelnuovo, JI. N1co-let, Tj. Fletcher, L.

Mo-d L Campedelti, A. tar , · Biguenet, J. W. Pesketh, P. Puig Adam G. Cuisenaire

z.

P. Oienes et E.

w

.

Golding [Dieudonné)

J.

Dieudonné

J.

Dieudonné [EE] Papy

[EG] Frédérique et Papy

[de Faci)

s.

de Faci

- - - -

---d'A 1 mathématique par FRÉDÉRIQUE.

Arlon 8. Premières lecolns d ~~ Jsegogie de la Mathématique, 1966.

Bruxelles, Centre Be ge e e a

d'Anal se mathématique par FRÉDÉRIQUE.

XXI

Arlon 9. Nouvelles lecolns d p. Jagogie de la Mathématique, 1967.

Bruxelles, Centre Be ge e e . . . d i ue de 1 O ans en Belgique. PP· 25-89 Arlon 10. Une experren 1ce ~e ~~~~g~gie de la Mathématique, 1968. Bruxelles, Centre Be ge e e Geometric Algebra. 57 N ew-Y or k . ln terscience Publ., 19 .

P . Eléments de Mathématique moderne.

Brruxe em1elrlses • E N B· · erkendael, 1960.

Blocs logiques (matériel).

Lierre Ed. j. Van ln.

• , . r vol . Pédagogie des notions de base.

Langage oral et ecrrt, 1 e : . 1, 1966

Neuchâtel. Delachaux & N1est e, .

L'Enseignement de la Géométrie.

Paris, Hermann. 1964.

L'enseignement des mathématiques. . , 1955

Neuchâtel-Paris, Delachaux & N1estle, .

d thématiques.

Le matériel pour l'enseignement es ~a . 8

Neuchâtel-Paris, Delachaux & N1estle, 195 .

Les Nombres en couleur. matériel CUISENAIRE. Bruxelles, Maison Calozet.

Logique et Jeux logiques.

Paris, OCDL. 1966·

t de J'Analyse moderne.

Fondemen s

63 P a ris. . Gauthier-Villars. 19 ·

Algèbre linéaire et Géométrie élémentaire.

P aris. . Hermann. 1965. d Mathemat1 ·k 2 f as c ·

Die ersten Elemen~e dHer ~o ern~tto Salle Verlag. 1966.

Frankfurt am Main- am urg.

L'Enfant et les Graphes. o·d· 1968

Bruxelles-Montréal-Paris, 1 ier. .

fquement lire. Bien lire et automa 1 · 1967. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 l

. L Éditions sociales françaises,

Paris. es _____ _

(14)

XXII [F2] [F3] [g] [G] [Glay] [Goutard] [K6] [Lemaître] [Mi] [MM] [Notes] [R) Papy Papy Papy Papy M. Glayman et P. Jandot M. Goutard M. Goutard Papy G. Lemaître G. Lemaître G. Lemaître G. Lemaître Papy Papy Papy Papy Papy Papy BIBLIOGRAPHIE

Initiation aux Espace .

Bruxelles, Presses Us_ vec~or'.els (Collection Frédérique).

p . G n1vers1ta1res

ans, authier-Villars, 1967.

Le premier Enseignement de /'Anal .

Bruxelles, Presses U . . . yse mathematique.

Groupoïdes. Bruxelles, Labor Paris, PUF, 1965.

Groupes.

n1vers1ta1res, 1968.

Bruxelles, Presses Univ . .

Paris, Dunod, 1961. ers1ta1res de Bruxelles.

Apprentissage du calcul nu ..

Paris, OCDL, 1967. menque (classe de sixième).

La pratique des nomb

Neuchâtel, Delach res en couleurs.

aux & Niestlé 196 ·

Les mathémati ' 4·

Neuchâtel o2t~esh et /es enfants.

, c aux & Niestlé, 1963

La conique enfin / . ·

B Il aconique

ruxe es, Centre B 1 •

e ge de Pédagogie de 1

Comment ca/cu/er1 a Mathématique, 1968.

(Bulletin de l'Ac~d. .

Bruxelles, 1954. emre royale de Belgique - Cl

Pou rquoi de nouve asse des Scr'ences)

(Revue des Qu ~ux chiffres?

estions se· .

Le Calcul éle' . ientrflques du 20 (B 1

mentaire juillet 1955)

u letin de l'Acadé ..

Bruxelles, 1956. mie royale de B 1

e gique - Cl

Calculons sans fat·

Louvain E N igue. . • . auwelaerts, 1954. Mtnicomputer. Bruxelles, 1 V AC, 1968 Mathématique M Bruxelles-Paris-~dern: 1 [MM1] M ontreal D'd· athématique M ' 1 ier' 1963. Bruxelles-Paris-~dern: 2 [MM2] M ontreal D'd athématique M ' i Ier• 1965. Bruxelles-Paris-~dern: 3 [MM3] M h ontreal D·d· at ématiqu M ' i ier' 1967 Bruxelles-Pa;is-~dernc; 5 [MMS] . ontreal D·d· Mathémati ' i ier' 1965

asses des Sciences)

Bruxelles, q~=b Moderne 6 [MM6] .

N Otes on M h Mont real-Pari . or. o· .

Cambridge atuen:'atics in Primary Sch I s, id1er, 1966.

' n1versity p oo s, by m b

M. A ress, 1967. em ers of the A .

. Raverschot ssociation of T

M h' eachers of M

at ematique . athematics,

tes en Co 1 qualitative en P

B u eurs) remière p .

ruxelles, Ed r1maire. (C

. Calozet, 1967 ollection : les Réglet·

1

Du

jeu au nombre

1-AVANT-PROPOS

Les leçons du premier mois assurent une transition entre les activités préscolaires de l'enfant et les thèmes essentiels de la première année.

Graphes et jeux de VYGOTSKY-HULL-DIENES ont alterné avec les leçons affermis-sant la connaissance des premiers nombres naturels.

[EG] décrit en détail un enseignement de caractère essentiellement graphique n'utili-sant que des notions familières non mathématisées à priori, sans négliger cependant la litanie des nombres naturels qui est déjà dans la connaissance commune de beaucoup d'enfant de 6 ans.

L'utilisation des boîtes DIENES est décrite au

§

1 du chapitre 14.

Les leçons décrites dans le présent chapitre sont essentiellement destinées à affiner la notion de nombre naturel diversement intégrée, par l'intervention de plusieurs canaux sen-sori-moteu rs.

La conception du nombre de l'enfant de 6 ans doit être enrichie par tous les moyens possibles, en mêlant les aspects et en les isolant.

[EG] et le chapitre 14 résultent directement d'une expérience dans deux classes. Le chapitre 1 tient compte de l'expérience dans quatre classes et notamment des améliorations récentes expérimentées au cours du mois de septembre 1968. Pour la facilité du lecteur qui feuilleterait l'ouvrage, nous nous sommes permis de dater ces leçons en substituant le millésime 1967 à 1968.

Nous pensons que les leçons du premier mois décrites dans [EG], dans le

§

1 du cha-pitre 14 de cet ouvrage et dans le présent chacha-pitre pourraient inspirer fructueusement ceux qui ont la charge de l'enseignement aux enfants de 5 ans et moins.

(15)

2

DU JEU AU NOMBRE [Ch. 1

2- PREMIER CONTACT AVEC LES RÉGLETTES CUISE

NAIRE

Une boîte CUISENAIRE par équipe de deux enfants.

DATE: 3 septernbre1967 - Avec ces blocs, construisez ce que vous voulez.

Par suite de la nature des réglettes, la plupart des enfants renoncent assez vite à bâtir des édifices élevés. Ils se limitent à des constructions presque planes. Quand ils arrivent à ce stade, FRÉDÉ-RIQUE demande que les dessins soient jolis.

Voici un échantillon de réponses.

-

C'est un

château

et l'escalier pour y monter.

_ C'est: la maison avec le poulailler.

S RE.GLETTES CUISENAIRE

§ 2) PREMIER CONTACT AVEC LE

- C'est un escalier.

- C'est un restaurant avec l'antenne de télévision.

t' 0 ~ fi · - " . L 0 : " · 0 ... .. j.)' . . " .

d

·

etits cubes blancs.

Un enfant dispose sur son banc des tas

e trois ou quatre P

_

Ce sont des

maisons de souris.

(16)

4

_ Cette réglette est jaune comme - Le chandail de Catherine. - Celle-ci est bleue ...

- Comme le tablier de Daniel. - Cette autre ...

- Brune comme un marron.

- Nous l'appellerons réglette marron. Et voici une réglette ...

- Orange comme la peau d'une orange. FRÉDÉRIQUE montre les deux réglettes vertes.

La petite est claire et la grande plus foncée. Nous les appellerons «vert clair» et «vert foncé».

DU JEU AU NOMBRE [Ch. 1

On compare ensuite les réglettes rouges et mauves et l'on oppose finalement le petit cube blanc à la réglette noire.

*

*

*

- Posez sur votre banc 3 réglettes noires et montrez-moi 3 doigts.

- Montrez 5 doigts ... 4 doigts ... 6 doigts ... 7 doigts.

- Sur votre banc, faites un joli dessin avec 7 réglettes blanches.

C LES RÉGLETTES CUISENAIRE

§ 2] PREMIER CONTACT AVE

. avec 5 réglettes rouges. - Une belle construction

- Montrez 10 doigts.

1

•••

-,

1

ré cJlettes et réalisez un beau dessin. - Choisissez exactement 10 t3

Yo1c1 un . . ec , h ant1 on ·11 de 8 réponses (correctes ou non).

5

(17)

6

DU JEU AU NOMBRE [Ch. 1

-.7 ; · : · · !

r ·

f: · •· - , 1 Jl. L <- 1.J L . . ~ ' l o • 4 •

§ 2) PREMIER CONTACT AVEC LES RÉGLETTES CUISENAIRE

.. ' '.. ' .• ·j,, ,,,. ' ~

-''IJ'llf ~: · •.' "'"11>•'1'"! 1 • •· •• , " J.alt . .&.{r' ' ... ,. ... ,(,}" ... ·- ... ' ... ' '~ .. '... ;• 1

7

(18)

8 DU JEU AU NOMBRE [Ch. 1

Prenez la plus grande de toutes les réglettes. Be~uc9up d'enfants montrent une ré lette

FREDERIQUE place l'une à côté de l'g orang,e, quelques-uns une réglette bleue.

autre une reglette orange et une bl

L' eue.

orange est la plus grande!

- Pourquoi?

Il y a un bout orange qui d , epasse.

Même démarche 0

FRÉDÉRIQUE m!t ur trouv~r la plus petite. re une reg lette noire.

- Montrez une réglette un t .

out petit peu lus .

Des enfants montrent . p petite que la noire

En co mparant ces réglett une Jaun e, d' autres une n . ·

es, on conclut . o1re, Toutes les réglettes . .

Celles de cout noires ont m.

eur vert foncé s eme longueur ont un p . etit peu pl ·

d'autres encore

une vert foncé.

us petites et le .

s }aunes en

core plus petites.

§ 3) PREMIÈRES CONSTRUCTIONS MATHÉMATIQUES AVEC LES RÉGLETIES 9

3 - PREMIÈRES CONSTRUCTIONS MATHÉMATIQUES AVEC

LES RÉGLETTES

Une boîte CUISENAIRE par équipe de deux enfants.

Toutes les boîtes sont fermées.

- Quelle est la plus petite de toute les réglettes?

- Blanche!

Une réglette un petit peu plus grande?

Rouge!

- Encore un petit peu plus grande?

Vert clair!

etc.

DATE: 4 septembre 1967

Au fur et à mesure que les enfants nomment les couleurs, FRÉDÉRIQUE construit l'escalier aux marches successivement blanche - rouge - vert clair - mauve - jaune - vert foncé

-noir - marron - orange.

Quant il est terminé, Catherine s'écrie. - C'est beau! On dirait une montagne!

- Une souris monte l'escalier. En gravissant les marches, elle dit: un ... deux ... trois ... La classe poursuit :

- Quatre ... cinq six . . . sept . . . huit ... neuf ... dix.

- La souris descend l'escalier : neuf ... huit ...

La classe poursuit :

- Sept ... six ... cinq ... quatre ... trois ... deux ... un.

*

*

*

FRÉDÉRIQUE demande à chaque enfant de construire un double escalier (ascendant et descen -dant) puis les élèves miment la démarche de la souris en égrénant, à voix basse, la litanie des nombres de un à dix et de dix à un.

Ensuite, dos à la classe, Jean-Philippe reconstitue mentalement l'escalier coloré ascendant:

- blanc, rouge, vert clair, etc ...

et Sylvie l'escalier coloré descendant:

- orange, bleu, marron, etc ••.

*

* *

(19)

10 DU JEU AU NOMBRE [Ch. 1

- Prenez 6 réglettes vert clair et exactement le même nombre de réglettes jaunes, pas une de plus, pas une de moins. En les disposant joliment sur votre banc, montrez qu'il y a bien autant de jaunes que de vertes.

Voici quelques échantillons de réponses.

~---

--\ I

-1\

--

----

-

-§ 3] PREMIÈRES CONSTRUCTIONS MATHÉMATIQUES AVEC LES RÉGLETTES 11

1 1

*

(20)

12 DU JEU AU NOMBRE [Ch. 1

Construisons des trains de

Voci un train 1'aune J' meme longueur.

• · accroche u

meme long ueur que le jaune. Faitn wagon roucs es de m. oe a un · wagon vert et je forme

V . . eme avec d'autres 1 01c1 quelques , vagons. repenses. 1111 train de

rn

IJ

** *

- Sur la réglette . Jaune, elevons . un h

aut mur en nous servant d

es petits bloc s comme de briques.

-,~,~':" .

. . ' ( . ,,,. .

~ . . : ' ..

-§ J] PREMIÈRES CONSTRUCTIONS MATHÉMATIQUES AVEC LES RÉGLETIES

13

DATE : 6 septembre 1967

La leçon débute par le jeu du double escalier et de la souris qui en monte et en descend les marches.

Ensuite, en fermant les yeux. les enfants doivent essayer de reconstituer mentalement la suite croissante et la suite décroissante des couleurs.

*

*

*

J'accroche l'un à l'autre deux wagons rouges. Montrez une réglette de la longueur de ce

train.

La plupart des enfants montrent une réglette mauve.

- Même jeu avec un train mauve-mauve.

Des élèves proposent d'abord une réglette vert foncé, certains une jaune et, finalement, Carine

montre une réglette marron.

Même exercice avec un train jaune - jaune.

- Elevez un haut mur sur la réglette mauve. Quelques réponses.

;;

-•

-*

* *

(21)

14

DU JEU AU NOMBRE (Ch. 1

- Montrez 5 doigts ... 3 doigts ... 7 doigts ... 10 doigts ... 9 doigts. - 9 doigts, c'est toute une main et 4 doigts!

- Par équipe de deux, montrez 11 doigts ... 12 doigts ... 15 doigts ... 20 doigts.

*

*

*

_ Sur la réglette noire, élevez un mur. Mais attention! Cette fois, à chaque étaae vous ne

pou-vez utiliser que deux briques. 0

Quelques réponses.

Certains enfants se trompent : après avoir construit deux ou trois étages correctement, ils per-dent de vue la consigne et posent plus de deux blocs.

- Sur la réglette marron, élevez un mur en n'utilisant à chaque étage que des réglettes de même couleur.

Voici une réponse correcte.

Les élèves sont f:tigués; beaucoup d'entre eux se trompent Aucun

f

comprenant B reglettes blanches. . ne orme

spontanément

l'étage

§ 4] PERCEPTION DU NOMBRE

4 - PERCEPTION

DU

NOMBR

E

Chaque enfant dispose d'une feuille de papier non ligné

et d'une boite de marqueurs.

15

DA TE : 9 septembre 1967.

_ Dessinez 7 beaux gros points et posez une réglette blanche sur chacun d'eux.

f:chelle : 1

,.

~

,

t

e

•t

,

Age : 6 ans 7 mois

(22)

16

DU JEU AU NOMBRE [Ch. 1 ~;;;;;;;;;;;;;=.;;;;;;;,,;;;;;;;;,;;;;;;~;;;;;;;;:;;;==;;;;;;.;;;;;;;;;;;;;;;;~;;;;;;;;::::;:::;;:::;;;;;;;==~~============~;-=;::;;~- -~ (/) (3 E 0 .... l i ) ô (/) c:: <Il <li l i ) ~ ...i:: <.; <li 'k.l <( bl) (J tll <( V) ô VI Q) Q) ::J VI > VI Q) -0 c ro 1.... b.O Q) -0 ro Q) 1.... 1.... Q) i:ï:. Q) b.O ro o.. c V) Q) µ c Q) VI 0 · -0.. E CO GJ •Q)

=

c Q) ·~ ...0 V) Q) Q) -0

=

ro ~ ~ 0-ï: VI ~ -~ a.. ~ 17 § 4) PERCEPTION DU NOMBRE DATE : 10 septembre 1968

Connaissez-vous le jeu de cerceau?

Au cirque, les lions sautent dans un cerceau.

Et les clowns font rouler un cerceau avec un bâton.

Voici des cerceaux et des bâtons.

FRÉDÉRIQUE dessine au tableau.

Ai-je dessiné un bâton par cerceau?

Non ! Il

y

en a un en trop!

- Comment le montrer sur le dessin?

- Relions chaque bâton à son cerceau.

(23)

18

- A-t-on donné un bâton à chaque cerceau?

- Non!

Un enfant complète le dessin.

e bâton?

- A-t-on on donné un cerceau à cf1pqtJ - Non! Il Y a un bâton en plus!

- Combien de cerceaux?

- Cinq.

FRÉDÉRIQUE écrit 5 au tableau.

- Combien de bâtons?

- Six.

Un élève écrit 6 au tabl

eau.

DU JEU AU NOMBRE [Ch. f § 4) PERCEPTION DU NOMBRE 19

f d coquetiers. FRÉDÉRIQUE dessine des ceu s et es

l ls sont grands, ces œufs !

On dirait des œufs de Pâques!

?

Y-a-t-il un œuj pour chaque coquetier.

Non! Il en manque un!

• ?

Peut-on mettre les œufs dans les coquetiers ·

- Oui! C'est une bonne idée.

Chaque enfant reçoit une feuille de papier et une boîte de marqueurs.

Échelle : r

(24)

20

~

. . . lml . . . _._._.._ . . .

D

~

U

~

JE

~

U

~

A

~

U

~

NOMBRE

(Ch. 1

Échelle : 1

Age : 6 ans 8 mois

- Au tableau, montrons aussi qu'i·z manque un œuj.

Catherine dessine.

- Combien d' œuj s?

- Six!

- Et de coquetiers:.>

- Sept!

On écrit les nombres 6 et

7.

§ 4] PERCEPTION DU NOMBRE

Au tableau, FRÉDÉRIQUE dessine des chaises et des

Mettez chaque poupée sur une chaise.

- Mais il y a trop de poupées!

Échelle : 1

I

21

poupées.

e

Age : 6 ans 8 mois

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

(25)

22

DU JEU AU NOMBRE (Ch. 1

Échelle : 1 Age : 6 ans 6 mois

Chez Juliana, les poupées sont debout sur les chaises. Chez Babette, elles sont assises.

§ 4) PERCEPTION DU NOMBRE

23

Une boite CUISENAIRE par équipe de deux enfants.

Prenez une poignée de réglettes rouges et faites un beau dessin; puis choisissez autant de réglettes vertes que de rouges. En les disposant joliment sur votre banc, montrez que vous

ne vous êtes pas trompés: autant de vertes que de rouges, pas une de plus, pas une de moins.

Le même enfant produit successivement ces deux dessins.

Francine assemble ses réglettes puis les sépare.

Referências

Documentos relacionados

Thus, this study aimed to estimate the prevalence of sexual and physical intimate partner violence against women and its associated factors, in a sample of women

Réputés pour les propriétés antioxydantes de certains d’entre eux – en particulier les tanins – ils sont également antifongiques en particulier à l’égard

Using data from the International Adult Literacy Survey (IALS), she presents different types of results that not only situate Portuguese society in relation to other national

Stevia rebaudiana (Bert.) Bertoni incorporação em uma receita de bolo: benefícios para a saúde e aplicações futuras.. Adriana Oliveira 1 ;

The studies on teachers’ perceptions that were analysed show that language and culture are deeply connected (Mitchell and Miles, 2014) and that an EFL classroom can

Inapa’s sales depend on several key variables: the volume of the paper market and Inapa´s share of it in the countries where the company operates, paper price and the growth of

Independentemente do tipo de projeto, este estudo sugere que a formação e o desenvolvimento dos gestores de projetos não se foquem apenas nas competências

Entretanto, ao estarem nesse espaço, as lembranças não os deixavam esquecer os meses de desemprego que enfrentaram na terra natal. Essa memória alimentava uma revolta que