Controle e identificação do sistema de bombeamento de uma planta didática

UNIVERSIDADEFEDERALDO RIO GRANDE DO NORTE

UNIVERSIDADEFEDERAL DORIOGRANDE DO NORTE

CENTRO DECIÊNCIASEXATAS E DATERRA

PROGRAMA DEPÓS-GRADUAÇÃO EMENGENHARIACIÊNCIA E

EGENHARIA DEPETRÓLEO

Identificação e Controle do Sistema de

Bombeamento de uma Planta Didática

Bernardo Fonseca Andrade de Lima

Orientador: Prof. Dr. André Laurindo Maitelli

Proposta de Tema para Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Ciência e Ege-nharia de Petróleo da UFRN (área de con-centração: Automação e Controle) como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Ciências.

Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN Sistema de Bibliotecas - SISBI

Catalogação de Publicação na Fonte. UFRN - Biblioteca Central Zila Mamede

Lima, Bernardo Fonseca Andrade de.

Controle e identificação do sistema de bombeamento de uma planta didática / Bernardo Fonseca Andrade de Lima. - 2020.

74 f.: il.

Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Cen-tro de Ciências Exatas e da Terra, Programa de Pós-Graduação em Ciência e Engenharia de Petróleo, Natal, RN, 2020.

Orientador: Prof. Dr. André Laurindo Maitelli.

1. Sistema de bombeamento - Dissertação. 2. Planta didática - Dissertação. 3. Controle de vazão - Dissertação. 4. Sistemas Piecewise - Dissertação. 5. Lógica fuzzy - Dissertação. I. Maitelli, André Laurindo. II. Título.

Agradecimentos

Ao meu orientador, professor André Laurindo Maitelli, sou grato pela orientação. Aos colegas da pesquisa A, por todo apoio e o bom ambiente de trabalho.

Aos demais colegas do LAUT, pelo ambiante amigável do laboratório. À minha família e amigos pelo apoio durante esta jornada.

Resumo

Sistemas de bombeamento são largamente aplicados na indústria, em que cada pro-cesso apresenta características específicas, necessitando de sistemas de bombeamento que supram estas especificidades. Diante dessa larga aplicação e diversidade, o desenvolvi-mento de modelos e controladores para estes sistemas apresentam metodologias variadas. Com o intuito de estudar um caso específico de um sistema de bombeamento, foi desen-volvido neste trabalho a modelagem e controle do sistema bomba-vazão da malha B da planta AUTHOMATHIKA PDH1002. Esta planta, corresponde a uma planta didática, utilizada para fins acadêmicos e está presente no Laboratório de Automação em Petróleo (LAUT) da UFRN. Para o desenvolvimento do modelo, é necessário observar o comporta-mento deste sistema, observando suas limitações e não-linearidades. Assim, foi observado que o sistema a ser identificado apresenta não-linearidades, inviabilizando a representação deste por meio de uma única função de transferência. Assim, o sistema foi subdivido em pontos de operação, de forma que os modelos operem dentro de uma faixa aproximada-mente linear, próximo a um ponto de operação especifico. A partir destes modelos, foram desenvolvidos os controladores que operam dentro destas regiões de operação. Por fim, utilizou-se do método de takagi-sugeno para garantir a integração entre os controladores, de forma que estes possam operar em conjunto sem que haja uma transição brusca entre eles. A obtenção deste controle é essencial para o desenvolvimento de outros projetos que podem ser realizados na planta, incluindo projetos envolvendo a identificação e controle da planta.

Abstract

Pumping systems are widely applied in industry, where each process has specific cha-racteristics, requiring pumping systems that meet these specifications. Given this wide application and diversity, the development of models and controllers for these systems have varied methodologies. In order to study a specific case of a pumping system, we developed in this work the modeling and control of the B-mesh pump-flow system of the AUTHOMATHIKA PDH1002 plant. This plant corresponds to a didactic plant, used for academic purposes and is present in the Laboratory of Petroleum Automation (LAUT) of UFRN. For the development of the model, it is necessary to observe the behavior of this system, observing its limitations and nonlinearities. Thus, it was observed that the system to be identified has nonlinearities, making its representation impossible through a single transfer function. Thus, the system was subdivided into operating points, so that the models operate within an approximately linear range, close to an specific operating point. From these models, controllers that operate within these operating regions were developed. Finally, the takagi-sugeno method was used to ensure the integration between the controllers, so that they can operate together without a sudden transition between them. Obtaining this control is essential for the development of other projects that may be undertaken at the plant, including projects involving plant identification and control.

Sumário

Sumário i

Lista de Figuras iii

Lista de Tabelas v

Lista de Símbolos e Abreviaturas vii

1 Introdução 1

1.1 Motivação . . . 3

1.2 Objetivos . . . 3

1.3 Estrutura do Trabalho . . . 3

2 Fundamentação Teórica 5 2.1 Modelagem no domínio da frequência . . . 5

2.1.1 Função de transferência . . . 5

2.1.2 Resposta no domínio da frequência - Sistemas de primeira ordem 6 2.1.3 Resposta no domínio da frequência - Sistemas de segunda ordem 7 2.1.4 Erro de estado estacionário . . . 8

2.2 Discretização . . . 9

2.3 Lugar das Raízes Discreto . . . 10

2.4 Identificação . . . 11

2.4.1 Mínimos Quadrados . . . 13

2.4.2 Erro Absoluto Médio e Matriz de Correlação . . . 14

2.5 Controle . . . 16 2.5.1 Controlador P . . . 16 2.5.2 Controlador PI . . . 17 2.6 Lógica Fuzzy . . . 17 2.7 Sistemas Piecewise . . . 19 2.7.1 Controle Piecewise . . . 19

2.7.2 Controlador Fuzzy - Sistemas Fuzzy Takagi-Sugeno . . . 20

3 Formulação do Problema 23 3.1 Planta Didática Industrial . . . 23

3.2 Problema . . . 23

3.3 Bomba . . . 24 i

3.3.1 Motor de indução . . . 29

4 Metodologia 31 4.1 Identificação do Sistema bomba-vazão . . . 31

4.1.1 Sinal de Entrada . . . 31

4.1.2 Geração do Modelo . . . 32

4.1.3 Validação . . . 35

4.2 Controle do sistema Bomba-Vazão . . . 37

4.2.1 Controle PI . . . 37 4.2.2 Controlador Takagi-Sugeno . . . 40 5 Experimentos e Resultados 43 5.1 Identificação . . . 43 5.1.1 Controle . . . 47 6 Conclusão e Perspectivas 53 Referências bibliográficas 55

Lista de Figuras

2.1 Diagrama de Blocos exemplificando um sistema em malha fechada . . . . 8

2.2 Sistema de conversão de discreto para contínuo e contínuo para discreto . 9 2.3 Lugar das Raízes no Plano-z . . . 12

2.4 Fluxograma das etapas de identificação . . . 13

2.5 Função de Pertinência Triangular . . . 19

3.1 Planta didática . . . 24

3.2 Fluxograma do Sistema de Bombeamento . . . 25

3.3 Curva do Sistema . . . 28

3.4 Curva da Bomba . . . 28

3.5 Ponto de Operação . . . 29

4.1 Sinal de entrada para identificação no ponto de operação 6% . . . 33

4.2 Sinais de entrada para Validação no ponto de operação 6% . . . 36

4.3 Comportamento das raízes no sistema com ponto de operação em 6% . . 39

5.1 Comparação entre a resposta do modelo e do sistema ao sinal de entrada com ponto de operação em 6% . . . 44

5.2 Comparação entre a resposta do modelo e do sistema ao sinal de entrada com ponto de operação em 10% . . . 44

5.3 Comparação entre a resposta do modelo e do sistema ao sinal de entrada com ponto de operação em 6% para o sinal de validação . . . 45

5.4 Comparação entre a resposta do modelo e do sistema ao sinal de entrada com ponto de operação em 10% para o sinal de validação . . . 45

5.5 Controle no ponto de operação na região de operação com média em 6% . 48 5.6 Controle no ponto de operação na região de operação com média em 12% 49 5.7 Sistema de controle . . . 49

5.8 Controle do sistema na região entre 2% e 13% da capacidade da bomba . 50 5.9 Comportamento do ganho proporcional do controlador . . . 51

5.10 Comportamento do ganho integrativo do controlador . . . 51

Lista de Tabelas

4.1 Regiões de Operação dos Modelos com base no sinal de entrada . . . 32 5.1 Desempenho dos Modelos com base nos critérios de Erro e fator de

cor-relação . . . 46 5.2 Modelos de cada Ponto de Operação . . . 46 5.3 Controladores de cada Ponto de Operação . . . 47 5.4 Performance dos Modelos com base nos critérios de Erro e fator de

cor-relação . . . 48

Lista de Símbolos e Abreviaturas

A/D Analógico para Digital

ARX Auto-Regressivo com Entradas Exógenas D/A Digital para Analógico

MAE Erro Médio Absoluto

MAPE Erro Médio Absoluto Percentual MMQ Método dos Mínimos Quadrados P Proporcional

PI Proporcional e Integral

PID Proporcional, Integral e Derivativo PRS Pseudorandom Sequence

RPM Rotações por Minuto

Capítulo 1

Introdução

A busca pela melhoria da eficiência dos processos produtivos e a procura por uma produção de alta qualidade, induziu o desenvolvimento industrial moderno à, cada vez mais, tornar inevitável a automação dos processos produtivos em larga escala. Os sistemas de controle e automação tornam possíveis que as operações industriais sejam mais seguras e rentáveis (Ramazan Bayindir 2011). Para isso, utiliza-se do monitoramento contínuo de variáveis como pressão, vazão, nível, dentre outras que serão utilizadas como referência para a tomada de decisões. Neste caso, os atuadores presentes nas plantas dos processos, como bombas e válvulas, serão utilizados para garantir que as especificações desejadas dos parâmetros sejam atingidas, tornando possível um maior controle de qualidade dos produtos.

Com o intuito de atingir as decisões corretas sobre a melhor forma de operar os atu-adores, e que estas decisões sejam tomadas de forma automática, um controlador deve ser acoplado ao processo. Para que o controlador possa funcionar de forma correta, é ne-cessária a realimentação das informações referentes ao estado atual das variáveis do pro-cesso que deseja-se controlar, para o controlador, como também informá-lo sobre quais condições são desejadas para aqueles parâmetros. Dessa forma, um sistema de controle realimentado é aplicado ao processo. Nessa configuração, o controlador receberá o erro resultante da diferença entre o valor do parâmetro desejado e o valor que está sendo re-alimentado para a malha de controle em tempo real (Rahul Malhotra 2011). Com base nessas informações, o algoritmo de controle poderá calcular o sinal adequado que será enviado ao atuador.

Apesar dos avanços contínuos na teoria de controle, o PID (Proporcional, Integral e Derivativo) ainda é o algoritmo de controle mais popular para processos industriais (G.P.Liu 2001). Este tipo de controle tem alta popularidade devido a sua estrutura sim-ples e de fácil compreensão, o que facilita a sintonia manual de seus parâmetros, além de apresentar desempenho satisfatório para a maioria das aplicações. Para a melhor compreensão da dimensão da abrangência da aplicação desse tipo de controlador, uma pesquisa realizada pela Japan Electric Measuring Instrument Manufacturers Association em 1989, concluiu que 90% dos sistemas de controle nas indústrias, eram do tipo PID (Rahul Malhotra 2011).

Um procedimento de grande importância na indústria é a medição de vazão, visto que os sistemas de bombeamento formam um dos equipamentos primários para a atividade

2 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO

de produção industrial (Ramazan Bayindir 2011). Portanto, o controle dos sistemas de bombeamento também são de grande importância na manufatura, garantindo que a vazão permaneça em valores desejáveis, o que estimula o desenvolvimento de pesquisas voltadas para esta etapa do processo.

A planta AUTHOMATHIKA PDH1002, tem como intuito promover o ensino prático, de forma simplificada, dos projetos de sistemas de controle de processos em situações re-ais, assim como, também serve como objeto de estudo para pesquisas científicas voltadas para a área de controle e automação. Esta planta é composta por um sistema de tanques em série e em paralelo, como também, apresenta um sistema de bombeamento. O sistema de bombeamento da planta é dividido em duas malhas, A e B, que possuem duas bombas independentes, que bombeiam água de tanques paralelos, TQ-1002 A e TQ-1002 B, para um outro tanque em série, TQ-1001.

Para proporcionar um projeto eficiente dos parâmetros dos controladores do sistema, é interessante o desenvolvimento do modelo de alguns sistemas do processo. Para o con-texto deste trabalho, apenas o sistema de bombeamento da malha B foi utilizada para o processo de controle e identificação. A identificação do sistema escolhido, foi obtida a partir de um algoritmo de identificação, baseado no método dos mínimos quadrados, para a obtenção dos regressores de um modelo ARX (Ljung 2012). Neste algoritmo, foram calculados os parâmetros para os modelos de primeira ordem em diferentes pontos de operação do sistema. Os modelos foram simultaneamente convertidos para funções de transferência discretas e então simulados para comparação de desempenho. O critério de escolha do modelo foi baseado nos critérios de desempenho de erro e correlação.

Funções de transferência são adequadas para representar sistemas sistemas físicos li-neares e invariantes no tempo (Nise 2017). Contudo, o sistema de bombeamento utilizado apresenta não-linearidades que impossibilitam a representação do processo como um todo por meio de uma única função de transferência. Com o intuito de contornar este problema, o processo foi dividido em pontos de operação, de forma que os modelos representem, de forma satisfatória, o sistema dentro de limites próximos aos pontos de operação. Este procedimento de representar um sistema não-linear a partir de um conjunto de sistemas lineares em pontos de operação do sistema global, é um procedimento já conhecido na academia e esses sistemas são chamados sistemas lineares piecewise (Johansson 1999). Muitos dos componentes encontrados em sistemas de controle são piecewise, como por exemplo, o modelo de diodos e transistores, além de controladores avançados voltados para sistemas de controle de vôo programado (Johansson 1999).

O sistema que é composto pela bomba da malha B, até o medidor de vazão desta malha, FIT-1001B, apresenta muitas faixas de não-linearidade. O projeto de um único controlador PID para o controle da vazão pode trazer dificuldades para o desempenho do controle. Assim, foi realizado o projeto de controle para cada um dos pontos de operação estabelecidos previamente, obtendo controladores que operam próximos a estes pontos de operação, que em conjunto compõem um controlador piecewise. Para que o controle funcione continuamente, foi inicialmente proposto que os parâmetros de controle sejam alterados em cada ponto de operação, ou seja, estes parâmetros devem mudar de acordo com os controles projetados para cada faixa estabelecida. Para que o chaveamento dos parâmetros de controle ocorra de forma suave, é proposto que o controlador piecewise se

1.1. MOTIVAÇÃO 3

comporte de acordo com o modelo fuzzy de Takagi-Sugeno. Este tipo de controlador é composto por uma série de regras Se-Então, em que cada condição representa uma fração do sistema global (Han & Hamasaki 2018). Neste caso, ao invés de trocar abruptamente os parâmetros do controlador de acordo com uma condição lógica, os parâmetros do con-trolador serão ponderados de acordo com uma compensação distribuída paralela (Han & Hamasaki 2018), em que os ganhos, proporcional e integrativo do controlador de cada ponto de operação apresentam um peso de contribuição para os ganhos do controle que atuará sobre o sistema. Estes pesos estão de acordo com as funções de pertinência do elemento com relação à cada regra, como será visto mais adiante.

1.1

Motivação

A planta AUTHOMATHIKA PDH1002, foi escolhida como objeto de estudo para o trabalho presente, devido o fato de ser uma representação física de um sistema de tanques industriais em menor escala, tornando esse processo simples e fidedigno para o estudo de controle de vazão e nível. O fato da AUTHOMATHIKA PDH1002 ser um sistema real, proporciona um estudo enriquecedor, apresentando desafios que permitem adquirir experiências que não podem ser obtidas em um contexto de simulação, devido a presença de não linearidades, limitações físicas e a não instantaneidade na obtenção de respostas do processo.

1.2

Objetivos

O desenvolvimento do controle da vazão dessa planta pode favorecer o desenvolvi-mento de pesquisas voltadas para a mesma e, dessa forma, permitir o desenvolvidesenvolvi-mento de projetos de controle mais sofisticados que o apresentado no escopo deste trabalho. A obtenção dos controladores, torna-se possível devido a etapa de identificação, que for-nece modelos que servem como representação fidedigna do sistema de bombeamento da malha B, permitindo que os futuros projetos de controle possam ser desenvolvidos com base nestes modelos antes de serem aplicados no sistema real. Um exemplo disso, é o desenvolvimento de um controle em cascata que pode ser desenvolvido, tomando como base os resultados deste trabalho, para o controle de nível da planta. Contudo, qualquer pesquisa que necessite de um controle eficiente da vazão desta planta pode utilizar esses resultados como base.

1.3

Estrutura do Trabalho

Esta dissertação está dividida em capítulos, de forma que seja obtida a melhor com-preensão do trabalho desenvolvido. No capítulo 2 serão abordados os fundamentos teóri-cos que dão base ao desenvolvimento do trabalho, como os fundamentos de modelagem, identificação e controle. No capítulo 3, será abordada a planta didática utilizada, com um

4 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO

maior aprofundamento no sistema bomba-vazão, contextualizando as dificuldades apre-sentadas para o desenvolvimento da identificação e do controle deste sistema. No capítulo 4, serão abordadas as metodologias utilizadas para o desenvolvimento da identificação e do controle do sistema, baseadas nos conceitos teóricos apresentados no capítulo 2. O capítulo 5, expõem como a metodologia foi aplicada, detalhando as etapas de experimen-tação, como também, apresenta os resultados obtidos em toda as etapas de experimenta-ção. Por fim, o capítulo 6, oferece uma síntese dos resultados obtidos, complementando interpretações dos resultados obtidos no capitulo 5.

Capítulo 2

Fundamentação Teórica

Neste capítulo, serão abordados os fundamentos teóricos que dão base ao desenvol-vimento da metodologia deste trabalho. A princípio serão abordados os conceitos que envolvem modelagem no domínio da frequência, como funções de transferência, critérios de desempenho e erro de estado estacionário. Na sequência, serão abordados os conceitos de modelagem e identificação, assim como, o desenvolvimento de um estimador por mí-nimos quadrados, para a obtenção dos parâmetros de um modelo do tipo ARX. Também serão apresentados os algoritmos mais básicos de controle, demonstrando, dessa forma, os fundamentos de controladores do tipo P e PI . Por fim, serão abordados os conceitos de sistemas piecewise e o método de integração destes sistemas.

2.1

Modelagem no domínio da frequência

2.1.1

Função de transferência

Muitos sistemas podem ser descritos por funções de transferência. Funções de trans-ferência são frequentemente utilizadas para análise e síntese de sistemas de controle (Payne 1970). Este tipo de representação de modelos é amplamente utilizado devido a sua simplicidade e fácil interpretação de parâmetros, sendo mais intuitivos que equações diferenciais (Nise 2017). Uma função de transferência pode ser definida como a relação entre a transformada de Laplace da função de resposta, ou saída do sistema, e a transfor-mada de Laplace da função de excitação, ou a entrada do sistema (Ogata 2010), como mostrado na equação 2.1. Sendo a transformada de Laplace de uma função, f (t), definida pela equação 2.2. C(s) U(s) = G(s) = (bmsm+ bm−1sm−1+ ... + b0) (ansn+ an−1sn−1+ ... + a0) (2.1)

L

O denominador de 2.1 corresponde a equação característica da função. As raízes da equação característica, são os pólos da função de transferência e o número de pólos

de-6 CAPÍTULO 2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

fine a ordem do sistema. Assim, um sistema de ordem n, irá apresentar n pólos. Os pólos são de extrema importância no estudo de controle, visto que definem a velocidade da resposta e a estabilidade de um sistema, assim como estarão presentes nos cálculos de outros parâmetros de desempenho. As raízes da equação presente no numerador são chamados de zeros do sistema. Os zeros também definem o comportamento do sistema, caracterizando-o como de fase mínima ou não-mínima. Ambos, os pólos e os zeros, pre-cisam ser levados em consideração durante projetos de controle e, portanto, apresentam relevância no presente trabalho.

2.1.2

Resposta no domínio da frequência - Sistemas de primeira

or-dem

Para que sistemas possam gerar alguma resposta, é necessário que o sistema seja ex-citado de alguma forma. Essa excitação pode acontecer de maneiras diferentes e, assim, gerando respostas diferentes. Um dos tipos de entrada mais comum, é a entrada do tipo degrau, u(t). Este tipo de entrada é definido da seguinte forma

u(t) = 1, para t > 0

= 0, para t < 0 (2.3) Isso significa que em algum instante de tempo, t, maior que zero, o sinal de entrada será constante e, nesse caso, igual a 1. Reduzindo a equação 2.1 a um sistema de ordem um e sem zeros, considerando que o sinal de entrada corresponde a um degrau unitário e isolando o sinal de saída, C(s), obtém-se a resposta do sistema, G(s), ao sinal de entrada, U(s), representado pela expressão

C(s) = K

s(s + a) (2.4)

Encontrando as frações parciais em 2.4, a equação 2.5 é encontrada

C(s) =1 s+

K

(s + a) (2.5)

A partir da equação 2.5, é possível obter algumas definições. O parâmetro K corres-ponde ao ganho da função, e pode alterar o valor final da resposta ao degrau. O pólo da função de entrada gera a forma da resposta forçada, yf, que significa o formato

de-grau adquirido pela resposta do sistema. O pólo da função de transferência, gera a forma da resposta natural, yh, neste caso, um atraso igual a a. Esse atraso é obtido a partir da

transformada inversa de Laplace, como visto na equação 2.6.

y(t) = yf+ yh= 1 − e−at, para K = 1 (2.6)

A equação 2.6 representa uma função de transferência de primeira ordem no domínio do tempo e permite a obtenção da resposta do sistema a uma entrada do tipo degrau unitário.

2.1. MODELAGEM NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA 7

2.1.3

Resposta no domínio da frequência - Sistemas de segunda

or-dem

Sistemas de primeira ordem apresentam apenas um pólo e são de fácil compreensão, porém sistemas de segunda ordem, apesar de serem mais complexos, ainda são de fácil análise e de fácil uso para projetos de sistemas de controle. Sistemas de segunda ordem e sem zeros podem ser generalizados da seguinte forma pela equação 2.7.

G(s) = ω

2

s2_{+ 2ζω}

ns+ ω2n

(2.7) Os parâmetros dos sistemas de segunda ordem definem o comportamento desses sis-temas e mudanças nesses parâmetros levam à características diferentes nas respostas de cada sistema. A partir da observação do comportamento da resposta ao sinal de excitação, pode-se compreender o tipo de sistema de segunda ordem que está sendo utilizado e assim compreender quais os critérios serão necessários para que, num futuro projeto de controle, possa se obter os critérios de desempenho desejados. Os dois parâmetros que representam o comportamento dos sistemas de segunda ordem são a frequência natural do sistema, ωn,

e o fator de amortecimento, ζ. A frequência natural corresponde a oscilação do sistema sem o fator de amortecimento, enquanto o fator de amortecimento é definido como uma relação entre a frequência de decaimento exponencial, σ, e a frequência natural, como mostrado na equação 2.8.

ζ = |σ| ωn

(2.8) Em que σ representa a parte real dos pólos do sistema. Fatorando a equação caracte-rística em duas equações de primeira ordem, obtém-se o seguinte formato

G(s) = ω 2 (s − ζωn+ ωn p ζ2− 1)(s − ζωn− ωn p ζ2− 1) (2.9)

Assim, obtém-se os pólos complexos do sistema como sendo ζωn− ωn

p

ζ2− 1 e ζωn+ ωn

p

ζ2− 1. A parte real do pólo, representa a frequência de decaimento exponen-cial, provocando um atraso no sistema e, se positivo, garantindo a estabilidade do mesmo, da mesma forma como atua em um sistema de primeira ordem. A parte imaginária cor-responde a frequência amortecida do sistema, ω_d, que irá caracterizar as diferenças mais marcantes entre os tipos de sistema de segunda ordem, visto que, a partir da parte ima-ginária do pólo, é possível dizer se a resposta de um sistema de segunda ordem, quando excitada por um sinal de entrada do tipo degrau, oscilaria indefinidamente, oscilaria no início e depois passaria a estabilizar ou não chegaria a oscilar. O caso em que o sistema começa oscilando e estabiliza após um período de tempo é o tipo de comportamento dese-jado em sistemas de controle, sendo os sistemas com esse tipo comportamento conhecidos como sistemas subamortecidos.

Para a análise do comportamento da resposta de um sistema de segunda ordem suba-mortecido a uma entrada degrau, os critérios de overshoot, Mp, e tempo de acomodação,

pri-8 CAPÍTULO 2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

Figura 2.1: Diagrama de Blocos exemplificando um sistema em malha fechada

meira oscilação de um sistema subamortecido. Este critério é matematicamente definido pela equação 2.10. M_p= e  −ζπ √ 1−ζ2  X100% (2.10)

O tempo de acomodação é definido como o tempo necessário para que as oscilações sejam amortecidas e oscilem dentro da faixa de ±2% do valor final. O Ts pode ser

mate-maticamente obtido a partir da equação 2.11.

T_s= 4 ζωn

(2.11)

2.1.4

Erro de estado estacionário

O erro de sistemas em malha fechada com realimentação negativa, como mostrado na figura 2.1, podem ser obtidos pela diferença entre o sinal de referência e o sinal de saída. Assim, a função de transferência do erro pode ser representada como na equação 2.12 (Nise 2017).

E(s) = R(s)

1 + G(s) (2.12) Considerando que o erro do estado estacionário ocorre num período grande de tempo, em que este tempo tende ao infinito, e aplicando o teorema do valor final, como mostrado pela equação 2.13

e(∞) = lim

t→∞e(t) = limt→0sE(s) (2.13)

Pode-se encontrar uma equação geral para o cálculo do erro em sistemas em malha fechada, assim como na equação 2.14.

e(∞) = lim

s→0

sR(s)

1 + G(s) (2.14) A equação final do erro vai depender do tipo de sistema e do tipo de entrada de ex-citação. O tipo de sistema é referente a presença de integradores, s, no denominador da função de transferência. Um sistema é dito de tipo 0, quando não há integrador, do tipo 1, quando há apenas um integrador e assim por diante.

2.2. DISCRETIZAÇÃO 9

Figura 2.2: Sistema de conversão de discreto para contínuo e contínuo para discreto

2.2

Discretização

A maioria dos sistemas dinâmicos a serem controlados são contínuos (Gene F. Franklin 1997), contudo, ao se utilizar computadores como fonte de sinais de entrada u(kT ) para o sistema, estes sinais serão discretos, apresentando um período de amostragem discreto T. Portanto, como interface entre o domínio discreto dos sinais provenientes dos com-putadores e o domínio contínuo do sistema, utiliza-se um conversor D/A (Digital para Analógico), assim como os sinais contínuos do sistema precisam ser discretizados para o domínio discreto dos computadores ao se coletar os dados, através de conversores A/D (Analógico para Digital). A figura 2.2 representa esse sistema que apresenta sinais de entrada e saída discretos, a partir de um sistema contínuo.

Dessa forma, um sistema contínuo passa a ser representado por um sistema discreto, sendo necessária, a conversão de modelos contínuos em modelos discretos e vice-versa. Assim, considerando um sistema com uma série de sinais de saída y0, y1, y2, ..., yk−1, a

transformada Z da grandeza yk, indicada por Y (z), é definida pela equação 2.15 (Gene

F. Franklin 1997). Y(z) = ∞

∑

Para determinar a função de transferência contínua do sistema, G(s), conhecendo-se a função de transferência discreta, deve-se considerar que a transformada de Laplace do sinal de saída, Y (s), é dada pela equação 2.16:

Y(s) =1 − e

−T s

s G(s)U

∗_{(s) (2.16)}

Em que U*(s) é um sinal de entrada do tipo pulso unitário. A igualdade da equação 2.16 é verdadeira, se o pulso unitário aplicado a um sistema, U (s), é equivalente a um pulso unitário aplicado a uma planta precedida por um segurador de primeira ordem. Assim, a relação entre uma função de transferência discreta e uma função de transferência contínua, pode ser dada pela relação representada pela equação 2.17, que representa a função de transferência discreta como sendo a transformada Z da resposta de uma função de transferência contínua a um sinal de entrada do tipo pulso unitário na presença de um segurador.

10 CAPÍTULO 2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA G(z) = Z[Y (s)] = Z[1 − e −T s s G(s)] = Z[G(s) s ] − Z[ e−T sG(s) s ] (2.17)

Assim, considerando que e−T scorresponde a um atraso de um perído, pode-se consi-derar que Z[e −T s_G(s) s ] = z −1_Z[G(s) s ] (2.18) Logo, G(z) = z− 1 z Z[ G(s) s ] (2.19)

Assim, como metodologia de conversão dos sistemas discretos para contínuos, foi utilizado o método do segurador de ordem zero, ZOH, que assume que as entradas de controle são constantes por partes, para um período de tempo, T.

2.3

Lugar das Raízes Discreto

O lugar das raízes é um método gráfico para estudar o comportamento das raízes dos polinômios que compõem uma função de transferência de um sistema em malha fechada, ajudando a compreender, a partir de uma perspectiva gráfica, o comportamento dos pólos nestes sistemas (Nise 2017). A forma mais comum de representar o lugar das raízes é por meio da observação do comportamento dos polos do sistema em malha fechada no plano-s, a partir da posição dos polos de malha aberta, diante da alteração do ganho do sistema entre zero e infinito. Em sistemas lineares discretos, o lugar das raízes funciona de forma semelhante ao caso no plano-s, contudo as interpretações obtidas a partir do comportamento dos pólos no plano-z são diferentes daquelas do plano-s. O princípio do método também está baseado em um sistema com realimentação, sendo um sistema discreto com essa configuração representado pela equação 2.20.

Y(z) R(z) =

kG(z)

1 + kG(z) (2.20) Em que G(z) é a função de transferência discreta do sistema a ser controlado e k é o ganho do sistema. Para se observar o comportamento dos pólos, pode-se considerar apenas a equação característica 2.21.

0 = 1 + kG(z) (2.21) Em uma situação em que k varia entre 0 < k < +∞. A equação característica que determina o comportamento dos pólos em um sistema discreto, é semelhante ao caso

2.4. IDENTIFICAÇÃO 11

contínuo. Assim, as regras que são utilizadas para construir o lugar das raízes para sis-temas contínuos, podem ser utilizadas para a construção do lugar das raízes de sissis-temas discretos.

Para a determinação da localização dos pólos da malha fechada que correspondem aos critérios de desempenho de um sistema de segunda ordem discreto, os critérios de tempo de estabilização e overshoot precisam ser estabelecidos. As equações 2.10 e 2.11 são utilizadas para a obtenção desses critérios para sistemas discretos, contudo, nesses siste-mas, estas equações levam a um comportamento exponencial do overshoot e do tempo de estabilização. De forma geral, o método do lugar das raízes pode ser utilizado para sistemas discretos, da mesma forma como para sistemas contínuos, a diferença está na interpretação da localização dos pólos no plano z. Neste caso, o critério de estabilidade passa a ser a presença de pólos dentro do círculo unitário. Isso acontece devido o fato de que em sistemas contínuos, para haver estabilidade, a parte real dos pólos do sistema deve estar do lado direito do plano-s. Assim −ζωn, que corresponde a parte real dos pólos de

um sistema contínuo, deve ser negativo. Portanto, ao fazer a conversão de um pólo para o domínio z, utilizando a equação 2.22, chega-se ao a equação 2.23

z= esT (2.22)

z= e(−ζωn+ωn

√

ζ2−1)T _(2.23)

Com isso, pode-se observar a partir da equação 2.23, que quando os pólos do sistema contínuo atigem o limiar da estabilidade, ou seja, quando a parte real dos pólos do sistema é igual a zero, no plano-z isso indica que estes pólos estão presentes em todo o perímetro do círculo unitário, variando apenas a parte imginária. O comportamento dos pólos de acordo com os requisitos de desempenho, de overshoot e tempo de estabilização pode ser observado na figura 2.3.

As curvas com origem no ponto 1 no eixo real e que apresentam um formato aproxi-madamente elipsoidal, são as curvas que representam ζ constante. Dessa forma, é possível utiliza-las para a definição do critério de overshoot. As curvas que iniciam no círculo uni-tário, são curvas obtidas a partir da variação de ζ para valores constantes de ωn, podendo

ser utilizado para definição de critérios de tempo do sistema.

2.4

Identificação

A modelagem matemática é a área que estuda as formas de implementar e desenvolver modelos matemáticos de sistemas reais. Devido a complexidade de alguns sistemas, a obtenção do modelo fenomenológico se torna complexo e de difícil obtenção e aplicação. Buscando contornar esta dificuldade, em meados dos anos 90 houve uma crescente busca para o desenvolvimento de modelos matemáticos a partir da identificação de sistemas (Aguirre 2007). Uma definição para identificação de sistemas é dada por (Aguirre 2007), em que essa metodologia de modelagem é definida como “uma área do conhecimento que estuda maneiras de modelar e analisar sistemas a partir de observações”, ou seja, os modelos passam a ser estimados a partir dos dados resultantes do sistema.

12 CAPÍTULO 2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

Figura 2.3: Lugar das Raízes no Plano-z

A identificação do sistema pode ocorrer de forma completa, quando se tem pouco ou nenhum conhecimento sobre o sistema, também conhecido como identificação do tipo caixa preta, ou pode ser feito quando se tem um conhecimento parcial do sistema, corres-pondendo a uma identificação do tipo caixa cinza. Outra forma de classificar os métodos de identificação, é a partir da recursividade da metodologia, por exemplo:

• Off-line: Quando os dados de entrada e saída do processo são armazenados antes de serem utilizados na identificação do modelo.

• On-line: Quando os parâmetros do modelo são ajustados de forma recursiva com a adição de um novo dado, ou seja, os parâmetros do modelo são alterados a cada novo dado inserido na identificação.

Para que o processo de identificação de sistemas possa estimar modelos satisfatórios, alguns procedimentos devem ser realizados. Assim, uma identificação adequada deve seguir algumas etapas, como mostrado na figura 2.4

A figura 2.4, pode ser resumidamente compreendida pelas seguintes etapas

• Planejamento Experimental - definir um sinal que excite todos os modos do sistema; • Seleção da Estrutura do Modelo - definir se a modelagem será do tipo caixa preta

ou caixa cinza;

• Estimação dos parâmetros - obter a partir dos dados de entrada e saída do sistema a ser identificado, os parâmetros do modelo;

2.4. IDENTIFICAÇÃO 13

Figura 2.4: Fluxograma das etapas de identificação

2.4.1

Mínimos Quadrados

Dentre os métodos de identificação de sistemas, está o método de estimação de parâ-metros de modelos do tipo ARX (Auto-Regressivo com Entradas Exógenas) por mínimos quadrados. Esta metodologia está voltada para a estimação de parâmetros de modelos de sistemas lineares e invariantes no tempo.

Modelos do tipo ARX, são modelos discretos para representação de sistemas lineares. Este tipo de modelo representa equações diferenciais a partir de somatórias das entradas e saídas do sistema para um determinado período de tempo, como mostrado na equação 2.24.

y(t) + a1y(t − 1) + ... + any(t − n) = b1u(t − 1) + ... + bmu(t − m) (2.24)

Este formato de representação de sistemas é adequado para o processo de identifica-ção, visto que os dados observados e que serão utilizados para identificar o sistema, são sempre coletados a partir de amostras temporais (Ljung 2012). Uma forma útil de visuali-zar a equação 2.24 é a partir da determinação do próximo dado de saída observado, como mostrado na equação 2.25.

y(t) = −a1y(t − 1) − ... − any(t − n) + b1u(t − 1) + ... + bmu(t − m) (2.25)

Objetivando obter uma notação mais compacta, modelos ARX também pode ser re-presentados como vetores

14 CAPÍTULO 2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

θ = [a1...anb1...bm]T

X(t) = [−y(t − 1)... − y(t − n)u(t − 1)...u(t − m)] (2.26) Em que X (t) corresponde ao vetor das entradas em amostragens defasadas, u(t − j), e saídas em amostragens defasadas, y(t − i), do sistema, sendo j = 1...m e i = 1...n. O vetor θ corresponde ao vetor dos parâmetros. Com isso, é possível obter a representação vetorial de um modelo ARX, representado na equação 2.27.

Y(t) = X (t)θ (2.27) A estimação dos parâmetros do modelo ARX pelo método dos mínimos quadrados será feita a partir da consideração de que o vetor das saídas do sistema em um instante t, Y (t), pode ser obtido a partir de uma relação paramétrica do vetor X (t), mais um erro, e(t), como na equação 2.28.

Y(t) = X (t)θ + e (2.28) O objetivo do método dos mínimos quadrados, MMQ , é obter o vetor dos parâmetros, θ, que leve o valor do erro quadrático ao menor valor possível. Portanto, busca-se zerar a função erro, J.

J= eTe= (Y (t) − X (t)θ)T(Y (t) − X (t)θ) (2.29) Considerando que a derivada de J com relação à θ deve ser zero, visto que J tende a zero

δJ

δθ = 0 (2.30)

Obtém-se o estimador por mínimos quadrados, representado pela equação 2.31.

θ = (XTX)−1XTY (2.31)

2.4.2

Erro Absoluto Médio e Matriz de Correlação

Na etapa de validação, etapa na qual será decidido se o modelo obtido na identificação corresponde ao desempenho desejado, são necessários índices de desempenho que possi-bilitem a avaliação do modelo. Esses parâmetros são baseados em estimadores estatísticos que entregam uma boa interpretação da relação do modelo com o sistema identificado.

O erro absoluto médio é um bom estimador para o erro médio de desempenho de modelos, devido o fato de seu cálculo ser relativamente simples, além de ser de fácil interpretação (Cort J. Willmott 2005), gerando um resultado conciso do erro médio. O erro médio absoluto é definido matematicamente pela equação 2.32.

2.4. IDENTIFICAÇÃO 15 MAE= N−1 N

∑

Sendo MAE o erro médio absoluto, N o número de medições e eio erro para a medição

i. O erro ei é calculado como sendo a diferença entre o dado do valor real, xi, e o dado

do valor obtido do modelo, xi. O módulo deste erro é obtido elevando essa diferença ao

quadrado e posteriormente tirando a raiz quadrada, como mostrado pela equação 2.33.

|ei| =

q

(xi− xi)2 (2.33)

Para uma familiarização maior do resultado do erro médio absoluto, este passa a ser representado por porcentagem, como na equação 2.34.

MAPE= N−1 N

∑

em que MAPE corresponde ao erro médio absoluto percentual.

Um outro parâmetro utilizado no para analisar a relação entre os dados do processo aos dados provenientes da simulação do modelo, é o coeficiente de correlação de Pearson. Esta estatística é utilizada para medir a intensidade ou grau de relação linear entre duas variáveis aleatórias (Alberto Cargnelutti Filho 2010). Se cada variável tiver N observações escalares, o coeficiente de correlação de Pearson é definido pela equação 2.35 (Kendall & Stuart 1961). ρ(A, B) = 1 N− 1 N

∑

Em que µA e µB correspondem às médias de A e B respectivamente, σA e σB

corres-pondem às variâncias de A e B respectivamente, N é o número de pontos e, Ai e Bi são

amostras.

A matriz com os coeficientes de correlação de duas variáveis, R, é obtida pela combi-nação dos coeficientes de correlação entre os pares de variáveis, assim como na equação 2.36. R=  ρ(A, A) ρ(A, B) ρ(B, A) ρ(B, B)  (2.36)

Como A e B estão diretamente correlacionados a eles mesmos, os termos ρ(A, A) e ρ(B, B) são iguais a 1. Obtendo assim a equação 2.37.

R=  1 ρ(A, B) ρ(B, A) 1  (2.37)

16 CAPÍTULO 2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

2.5

Controle

Devido a crescente competitividade do mercado, as empresas estão sendo obrigadas a melhorar continuamente sua produtividade e uma das área fundamentais para se aumentar a rentabilidade dos processos industriais é a área de Controle (de Campos e Herbert C. G. Teixeira 2006). Os sistemas de controle podem ser do tipo malha aberta ou malha fechada. No caso dos sistemas em malha aberta, o operador precisa definir as condições de operação das variáveis manipuladas, como válvulas, para se obter as condições desejadas para as variáveis que se deseja manipular, como vazão. Portanto, existe no sistemas de controle em malha aberta, uma sobrecarga em cima dos operadores, que precisam estar atentos a qualquer mudança no processo e a todo momento, o que leva a ineficiência do controle. Objetivando contornar as deficiências dos sistemas em malha aberta, foram desenvolvidos os sistemas em malha fechada, como exemplificado na figura 2.1. Estes sistemas não exigem a atenção e atuação contínua do operador. Para tornar isso possível, é necessário a realimentação das informações dos dados de saída do sistema, feedback. Esses dados são comparados com o sinal de referência e a diferença entre o sinal desejado e o sinal real, que corresponde ao erro, é enviado para um equipamento que tomará as decisões de controle. Este equipamento é o controlador. O controlador enviará um sinal aos atuadores, de forma que estes induzam a variável a ser controlada, a saída, para um valor o mais próximo possível do valor desejado. Em controle de processos, mais de 95% das malhas de controle são do tipo PID e dentre estes, a maioria são do tipo PI (Åström & Hägglund 1995). Isso ocorre devido a simplicidade desse tipo de controlador e suas diversas funções, como eliminar os erros de estado estacionário por meio de sua ação integral.

2.5.1

Controlador P

O tipo mais simples de controladores são os controladores proporcionais, P, que intro-duzem um ganho simples, Kp, ao sistema. Este ganho tende a melhorar o erro de regime

presente em sistemas em malha fechada. Esta melhoria pode ser observada a partir da introdução de um Kp6= 1 na função de transferência do sistema, G(s), na equação 2.14,

para uma entrada do tipo degrau. Assim, nestas condições o erro de regime pode ser representado pela equação 2.38.

e(∞) = lim s→0 s1 s 1 + KpG(s) (2.38) Resolvendo o limite da equação 2.38, obtém-se a equação 2.39.

e(∞) = 1 1 + KpK

(2.39) A partir da equação 2.39, pode-se observar que quanto maior o valor de Kp, menor

será o erro. Para demonstrar a atuação do controlador P, observa-se que este gera na sua saída um sinal proporcional ao erro, ou seja, considerando C(s) na figura 2.1 como um sendo um controlador proporcional, de ganho Kp, e E(s) como sendo a diferença entre

2.6. LÓGICA FUZZY 17

Y(s) e R(s), pode-se descrever o sinal de saída de P como sendo

c_P(s) = KpE(s) (2.40)

Realizando a transformada inversa de Laplace, obtém-se a expressão da saída do con-trolador proporcional no domínio do tempo 2.41.

c_P(t) = kte(t) (2.41)

Nesta equação, considera-se que o sinal de partida é igual a zero, u0= 0, e(t) é o erro

da realimentação do sistema em malha fechada e kt é o ganho proporcional. A equação

2.41 é de fácil interpretação e exemplifica a simplicidade deste tipo de controlador.

2.5.2

Controlador PI

O desempenho de um sistema em malha fechada com ganho proporcional pode ser melhorado a partir do acréscimo de um integrador no sistema. Esta melhoria pode ser observada com acréscimo do integrador no denominador de G(s) na equação 2.38, como observado na equação 2.42.

e(∞) = 1

1 + ∞ = 0 (2.42) Como é possível observar, o integrador torna o erro do sistema igual a zero. Para que isso seja possível, é necessário introduzir um compensador no sistema que tenha essa propriedade proporcional-integrativa. Este compensador corresponde ao controlador do tipo PI, como representado pela equação 2.43.

C(s) = Kp  1 +I s  (2.43) Em que Kpé o ganho proporcional e I corresponde ao ganho integrativo. Assim como

foi feito para o controlador do tipo P, é possível obter o sinal de controle do controlador PI, cPI(t), para um sistema em malha fechada, multiplicando a equação 2.43 pelo erro

da realimentação do sistema e convertendo para o domínio do tempo. Assim, o sinal de controle é resultado da equação 2.44.

c_PI(t) = K_p(t)e(t) + k_p1 τI

Z

e(t)dt (2.44) Em que τié a constante de tempo integrativo ou τi=1_I. Essa representação exemplifica

bem a atuação do controlador PI em um sistema em malha fechada.

2.6

Lógica Fuzzy

A forma mais simples de caracterizar a lógica fuzzy, é definindo-a como sendo uma lógica de raciocínio aproximado (ZADEH 1975), em que uma de suas caracteristicas são

18 CAPÍTULO 2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

os valores de verdades expressos por meio de termos linguísticos, como muito verda-deiro, verdaverda-deiro, mais ou menos verdaverda-deiro, falso ou muito falso. Assim, a lógica fuzzy difere consideravelmente da lógica padrão, se aproximando do pensamento de um ser hu-mano. Um conjunto nebuloso A do universo de discuro X é definido por uma função de pertinencia µA, a qual mapeia os elementos de X para o intervalo [0,1].

µ_A:X → [0, 1] (2.45) Em que a função de pertinencia associa a cada elemento x, que pertence a X , um numero real no intervalo entre 0 e 1. Isso significa que x apresenta um grau de pertinencia com relação ao conjunto A, o que em outras palavras mede o quanto é possível que o elemento x pertença ao conjunto A. Então, um conjunto fuzzy, A, em X , pode ter a seguinte definição, como mostrado na equação 2.46.

A= (x, µA(x)| x) (2.46)

A definição fornecida pela equação 2.46, torna possível a seguinte interpretação de dos sistemas fuzzy (Sandri 1999):

• Se µ_A(x) = 1, significa que x é completamente compatível com A; • Se µA(x) = 0, significa que x é completamente incompatível com A;

• Se 0 < µA(x) < 1, significa que x é parcialmente compatível ou parcialmente

in-compatível com A, com uma pertinencia de grau µA(x).

A terceira situação diferencia a lógica fuzzy da lógica clássica ou booleana, quando se trata de computadores. Isso se dá pelo fato da lógica clássica não tratar da gradualidade da função de pertinencia, já que a mesma reduz as afirmações para verdadeiro ou falso, ou 0 ou 1 quando se trata de sistemas computacionais (Leite 2011).

O conjunto fuzzy A, definido na equação 2.46, é chamado de número fuzzy, quando µ_A(x) :→ R[0, 1] e satisfaz as seguintes condições (CATANEO 2010).

1. x ∈ X : µA(x) ≥ α 6= /0, ∀ α ∈ [0, 1];

2. x ∈ X : µA(x) ≥ α é um intervalo fechado, ∀ α ∈ [0, 1];

3. O suporte de A, x ∈ X : µA(x) > 0, é limitado,

Em que x ∈ X : µA(x) ≥ α é um subconjunto fuzzy, representado através de conjuntos

“crisp” em X , denominados como cortes de nível ou cortes-α, denotados por Aα.

Con-juntos “crisps”, por sua vez, representam os conCon-juntos da teoria de conCon-juntos clássica (Sandri 1999).

Um dos tipos de números fuzzy mais comuns são os triangulares. Assim, um número fuzzy é dito triangular se sua função de pertinencia é, para a < b < c, da seguinte forma 2.6:          0, x≤ a x−a b−a, a< x ≤ b x−c b−c, b< x ≤ c 0, c≤ x

2.7. SISTEMAS PIECEWISE 19

Figura 2.5: Função de Pertinência Triangular

Assim, o gráfico deste número fuzzy apresentará um formato de um triangulo, em que a base será o inervalo fechado entre a e c, [a,c], e com um vértice em (b,1). A figura 2.5 representa números fuzzy triangulares como descrito pela equação 2.6.

2.7

Sistemas Piecewise

Sistemas Piecewise, são sistemas que são divididos em subsistemas, com o intuito de tornar possível o uso da representação de um sistema não-linear como um conjunto de subsistemas lineares (Johansson 1999). Um sistema piecewise pode ser representado como na equação 2.47.

˙

x= Aix+ Biu para x˙∈ Xi

y= Cx; (2.47) Em que Xicorresponde a uma partição no espaço de estados em um ponto de operação.

Assim, os sistemas de equações são representados como equações lineares particionadas no espaço de estados. Um outro componente importante de um sistema piecewise, são as equações que descrevem cada região, ou seja, as equações que representam as regiões de linearidade do sistema. Cada ith sistema apresenta uma matriz Ai e Bi diferente das

demais, caracterizando as propriedades específicas de cada região.

2.7.1

Controle Piecewise

Para um modelo não-linear representado por um conjunto de regiões de linearidade, o algoritmo de controle piecewise, funcionará de acordo com estruturas de processamento

20 CAPÍTULO 2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

de dados do tipo se (Antunes 2015). Dessa forma, de acordo com a informação fornecida ao controlador piecewise, o algoritmo de controle irá fazer o chaveamento das leis de controle associando cada região de linearidade aos respectivos conjuntos de ganhos Kpi e

K_Ii. As regras que definem o comportamento do chaveamento podem ser exemplificadas de acordo com a generalização do chaveamento, como visto no algoritmo 1, proposto por (Antunes 2015).

Algoritmo 1: Regras de chaveamento para sistemas piecewise

1 se(Y < Região₁) 2 → K_p= K_p1 3 → K_I = K_I1 4 se(Região₁< Y < Região₂) 5 → K_p= K_p2 6 → K_I = K_I2 7 . 8 . 9 .

10 se(Região_i−1< Y < Região_i) 11 → K_p= K_pi

12 → K_I = K_Ii

Em que Y corresponde à variável a ser controlada e Regiãoicorresponde aos pontos de

operação nos quais o sistema deverá operar. Dessa forma, as condições lógicas selecionam os ganhos, Kpe KI, adequados para a Regiãoi.

2.7.2

Controlador Fuzzy - Sistemas Fuzzy Takagi-Sugeno

Sistemas fuzzy podem ser considerados como uma instância particular de modelos baseados em regimes de operação (Johansson 1999), este, que por sua vez são modelos globais de sistemas dinâmicos, obtidos a partir da combinação de modelos locais, em que cada modelo local é válido dentro de um regime de operação. No caso de sistemas fuzzy, os regimes de operação e a dinâmica local são codificados utilizando regras fuzzy. Nesse contexto, cada regra define um regime de operação e a regra consequente define o modelo local dentro da região especificada pela regra. O funcionamento dessas regras,Ri, pode

ser exemplificado como mostrado em 2.48.

Ri : Se x1é Fi,1e...e xné Fi,n

Então ˙x= Aix, i= 1, ..., L e k = 1, ..., n

(2.48)

Em que, F é um termo que representará o valor de x com relação ao sistema, sendo este um termo linguístico como grande, médio ou pequeno, por exemplo. i representa i-ésima regra e k representa a k-ésima entrada do sistema. Assim, se o sinal x_k, obedecer a condição Fi,k, o modelo local, com dinâmica definida pela matriz Ai, será ativado.

2.7. SISTEMAS PIECEWISE 21

Usando as regras da lógica clássica, a lógica fuzzy pode obter os valores de ˙xpara um dado valor de x, com base nas regras definidas por 2.48. Os sistemas fuzzy permitem que modelos dinâmicos sejam especificados por um conjunto de regras linguísticas, funções de pertinência e parâmetros de inferência fuzzy. Assim, a dinâmica do modelo geral, a partir de 2.48 pode ser obtida pela equação 2.49.

˙ x= L

∑

Em que 0 < µi(x) < 1 e ∑ µi(x) = 1. O valor de µi(x) pode ser calculado por 2.6.

Com-parando 2.49 com 2.48, pode-se observar que quando µi(x) = 1 para um valor de i, todas

as outras funções de pertinência se resumem a zero, já que ∑ µi(x) = 1, e a equação 2.49

passa a ser igual a conclusão de 2.48, assim se aproximando de um resultado de um cha-veamento regido pela lógica booleana, em que os valores da função de pertinência podem apenas ser 1 ou 0. As regiões onde o µi(x) apresentam o comportamento anteriormente

descrito, são chamadas de modelo do regime de operação. No caso em que 0 < µi(x) < 1,

essas regiões são chamadas de regimes de interpolação. Assim, a dinâmica do sistema será definida pelo produto ponderado de todas regras com relação a um dado valor de x.

Os conceitos apresentados acima foram desenvolvidos com base no espaço de es-tado. Contudo, estes modelos podem ser reescritos como funções de transferência e, desta forma, reescritos para os algoritmos de controle no domínio da frequência, como mostrado na equação 2.43. Assim, a equação 2.49 passaria a ter o seguinte formato para se obter os ganhos proporcional e integrativo respectivamente, como mostrado pelas equa-ções 2.50 e 2.51. K_p= L

∑

∑

Normalizando a função de pertinência, de forma que esta permaneça entre 1 e 0, chega-se as equações 2.52 e 2.53. K_p= ∑ L i=1µi(x) · Kpi ∑L_i=1µi(x) (2.52) K_I =∑ L i=1µi(x) · KIi ∑Li=1µi(x) (2.53)

Capítulo 3

Formulação do Problema

Neste capítulo, será abordado o funcionamento do sistema utilizado como objeto de estudo, comentando cada etapa do processo. Na sequência, serão mencionadas as dificul-dades que impõem desafios para o projeto de controle e de identificação do sistema. Para isso, o funcionamento da bomba será visto de forma mais aprofundada.

3.1

Planta Didática Industrial

A planta didática industrial utilizada é uma planta didática com fins acadêmicos, que tem como objetivo o ensino, assim como, pesquisas na área de controle e automação. Esta planta é composta por duas malhas e cada malha corresponde a um sistema de tanques. A planta apresenta dois tanques de armazenamento de água, cada um associado a uma malha. Cada malha apresenta uma bomba que enviará a água dos tanques de armazena-mento, para o tanque central. Este tanque apresenta duas entradas de água e duas saídas, em que cada entrada recebe a vazão de água proveniente de uma das malhas e cada saída retorna a água para uma das malhas. Em cada saída do tanque central há um atuador, que será responsável por controlar a vazão de saída do tanque, assim como garantirá o controle do nível. Cada saída apresenta além das válvulas controladas, um by-pass que irá permitir uma vazão maior de água. Após passar pelo sistema de válvulas, os fluxos de água seguem de volta para os tanques de armazenamento. Para o desenvolvimento deste trabalho, apenas uma das malhas foi utilizada, de forma que o sistema fosse simplificado.

3.2

Problema

Este trabalho tem como um dos objetivos centrais criar um modelo do sistema de bombeamento de uma das malhas da planta didática industrial, de forma que possa fa-cilitar futuros trabalhos realizados na planta, além de permitir o desenvolvimento de um controle que reduza o erro de regime da vazão a zero, atingindo o set-point desejado de forma rápida e sem instabilizar o sistema.

O sistema de bombeamento é composto pelo tanque TQ-1002B, que serve como o reservatório de água, pela bomba B-1002B, que corresponde a uma bomba centrífuga periférica, responsável pelo bombeamento de água do tanque de armazenamento para o

24 CAPÍTULO 3. FORMULAÇÃO DO PROBLEMA

Figura 3.1: Planta didática

B-1002B

FIT-1001B

TQ-1002B

tanque central. O sistema também apresenta uma placa de orifício, que permite a variação de pressão, que será utilizada pelo transmissor de vazão FIT-1001B para a medição da vazão. O sistema descrito pode ser observado a partir da figura 3.1.

Este sistema de bombeamento apresenta não-linearidades que dificultam a identifica-ção e o desenvolvimento de controladores eficientes, para isso deve-se compreender como essas não-linearidades atuam no sistema. Durante o desenvolvimento deste trabalho fo-ram observadas as seguintes não-linearidades.

1. Zona Morta: O transmissor FIT-1001B, não registra nenhum valor da vazão pro-veniente da bomba B-1002B, quando esta bomba opera abaixo de 1,8% da sua capacidade;

2. Vazão medida no transmissor FIT-1001B não varia linearmente com o uso percen-tual da capacidade nominal da bomba B-1002B.

A seguir será apresentado um desenvolvimento teórico que fundamenta a explicação para a causa da segunda não-linearidade, já que esta impõem maiores dificuldades para o desenvolvimento do projeto.

3.3

Bomba

Como mencionado anteriormente, o sistema de bombeamento a ser identificado é composto por um tanque, onde fica armazenada a água, uma bomba centrífuga perifé-rica, uma placa de orifício e um transmissor. Esse sistema é representado na figura 3.2.

Bombas centrífugas são turbomáquinas usadas para transportar líquidos, deslocando um volume específico do líquido até um nível específico (Gülich 2008). Este tipo de bomba é composto por uma carcaça, rolamento, eixo de bomba e um impelidor. A água

3.3. BOMBA 25

Figura 3.2: Fluxograma do Sistema de Bombeamento

Simbologia B-1002A Montado no Campo Controlador CLP acessível ao Operador Placa de Orifício Conexão com o Processo Conexão com o controlador PID Estrutura do Processo com direção de Fluxo

Processo

26 CAPÍTULO 3. FORMULAÇÃO DO PROBLEMA

que vem do tanque de armazenamento entra na bomba pelo bocal de sucção e segue para o impelidor. Este impelidor está conectado a um motor por meio de um eixo e, dessa forma, o motor rotaciona o impelidor de forma que este transfere a energia da rotação do impelidor para o líquido. A água sai do impelidor para o bocal de descarga, de onde segue para a tubulação. Este processo de transferência de energia do impelidor para o fluido, está associado também com perdas de energia, que podem ser de origem mecânica, devido a conexões, volumétrica, na presença vazamentos, e de origem hidráulica, como perdas devido a fricção, a viscosidade do fluido, válvulas e orifícios (Nelik 1999).

Desconsiderando as perdas de energia, que ocorrem na presença de imperfeições do sistema, as leis de afinidade de uma bomba centrífuga, indicam uma relação diretamente proporcional entre a velocidade de rotação do impelidor em rotações por minuto (RPM) e a vazão do fluido como mostrado na equação 3.1.

RPM_A RPM_B =

Q_A

Q_B (3.1)

A equação 3.1 mostra que se a rotação do impelidor A for maior que a do impelidor B, RPMA > RPMB, então a vazão em A será maior que a vazão em B, QA > QB,

apre-sentando um comportamento diretamente proporcional entre a rotação do impelidor e a vazão produzida. Contudo, sistemas reais estão sujeitos a perdas energéticas, podendo-se destacar as de origem hidráulica. Estas perdas estão associadas a propriedades do fluido e do sistema. As perdas hidráulicas podem ser matematicamente relacionadas a uma perda de pressão e a relação desta perda de pressão com a vazão pode ser obtida, tendo como princípio experimentações com o tubo de Venturi. Neste experimento, pode-se obser-var que no tubo há uma restrição a passagem de líquido, devido a um estrangulamento, que indica que a pressão observada antes do estrangulamento é maior do que a pressão observada no estrangulamento. Considerando que a densidade e viscosidade do fluido permanecem aproximadamente constantes e que as leis de conservação de energia e de massa são obedecidas, pode-se concluir, a partir da lei da continuidade (equação 3.2), que a velocidade do fluido deve aumentar na tubulação, de forma inversamente proporcional a área da seção transversal da mesma.

A1v1= A2v2 (3.2)

Em que A1e A2representam as áreas nos pontos 1 e 2, assim como v1e v2,

represen-tam as velocidades nestes mesmos pontos respectivamente. Considerando que a energia cinética do fluido deve aumentar com o aumento da velocidade do mesmo no ponto 2, pela lei da conservação de energia, conclui-se que a energia potencial neste ponto deve cair. O que explica o motivo do nível menor no ponto 2 e consequentemente uma me-nor pressão. A conservação de energia para pontos diferentes é expressa pela equação de Bernoulli, equação 3.3 (Yunus A. Cengel 2006), como sendo uma soma constante da elevação, pressão e velocidade do head.

z₁ρg +ρv 2 1 2 + P1= z2ρg + ρv2₁ 2 + P2 (3.3)

3.3. BOMBA 27

Em que z representa a elevação do ponto, ρ representa densidade do fluido, g a ace-leração da gravidade e p a pressão do fluido. Em uma situação simplificada do tubo de Venturi, em que os pontos estão no mesmo nível, não há perda de massa e energia, e o fluido é incompressível, pode-se aplicar a lei da continuidade. Realizando alguns rearran-jos, encontra-se a equação que relaciona a variação da pressão com a vazão, como visto na equação 3.4. v₂=√2_r 1 1 1−(A2 A1)2 s P₁− P2 ρ (3.4)

Como a maioria dos parâmetros da equação são constantes, a relação entre a variação de pressão e a vazão pode ser dada pela equação 3.5.

h_perda= Kv

2 2

2g (3.5)

Em que K é uma constante que representa as restrições do sistema e deve ser encon-trada na literatura (Nelik 1999) e v é a velocidade do head. Em tubulações, a velocidade do head é correspondente a uma relação entre a vazão e a área da seção transversal da tubulação, como mostrado na equação 3.6.

v2=

Q

area (3.6)

Em que area é a área da seção transversal da tubulação e Q a vazão do fluido. Assim, pode-se concluir a partir das equações 3.5 e 3.6, a relação entre a perda de pressão e vazão do fluido que escoa em uma tubulação, como mostrado na equação 3.7.

h_perda∼ Q2 (3.7)

A equação 3.7, permite perceber que quanto maior a perda de pressão, maior será a vazão no head, obedecendo uma relação quadrática. Esse comportamento pode ser ob-servado pelo gráfico da figura 3.3, que representa a curva do sistema. Assim, um sistema que apresente restrições, deverá ter um comportamento não linear.

A curva representada pelo gráfico da figura 3.3, é conhecida como a curva caracterís-tica do sistema e está relacionada às restrições do sistema a passagem de fluxo de fluido. Em contrapartida ao comportamento anterior, existe a curva característica da bomba. Esta curva é voltada para observar o comportamento da vazão produzida por uma bomba, cor-respondentemente ao nível do head. Esse comportamento geralmente é fornecido pelo fabricante da bomba e pode ser observado na figura 3.4.

No caso da figura 3.4, mostra que a vazão fornecida pela bomba decai de acordo com uma relação não linear com o aumento do nível da coluna de água, devido ao aumento da coluna de água. O cruzamento da curva em 3.3 e em 3.4 determina o ponto de operação da bomba, como mostrado na figura 3.5.

28 CAPÍTULO 3. FORMULAÇÃO DO PROBLEMA

Figura 3.3: Curva do Sistema

3.3. BOMBA 29

Figura 3.5: Ponto de Operação

3.3.1

Motor de indução

Na bomba utilizada pelo sistema, está presente um motor de indução do tipo gaiola. Neste caso, o rotor do motor de indução que está dentro do estator é denominado de rotor gaiola de esquilo, consistindo de uma série de barras condutoras que estão encaixadas dentro de ranhuras na superfície do rotor e postas em curto-circuito em ambas as extremi-dades por grandes anéis de curto-circuito (Chapman 2013). Ao se aplicar um conjunto tri-fásico de tensões, será obtido um conjunto tritri-fásico de correntes circulando no estator, em que o campo magnético gerado por estas correntes, estará girando em sentido anti-horário. Assim, ao passar pelas barras do rotor, o campo magnético irá induzir uma tensão nelas. O movimento relativo do rotor em relação ao campo magnético do estator produzirá uma tensão induzida em uma barra do rotor. Dessa forma, o conjugado resultante induzido na máquina será anti-horário e, consequentemente, o rotor irá acelerar nesse sentido. Caso o rotor do motor de indução estivesse girando na velocidade síncrona, as barras do rotor estariam estacionárias em relação ao campo magnético e sem a presença tensão induzida, por conseguinte, não haveria corrente nem campo magnético no rotor. Na ausência de campo magnético no rotor, o conjugado induzido seria zero e, devido a perdas por atrito, o rotor perderia velocidade. Portanto, um motor de indução pode ganhar velocidade até próximo da velocidade síncrona, sem alcançá-la. A velocidade do rotor em relação aos campos magnéticos, irá definir a tensão nas barras do rotor de um motor de indução. A velocidade de escorregamento é utilizada para a definição do movimento relativo do rotor e dos campos magnéticos, sendo definida como a diferença entre a velocidade síncrona e a velocidade do rotor, como mostrado na equação 3.8.

30 CAPÍTULO 3. FORMULAÇÃO DO PROBLEMA

Em que nesc é a velocidade de escorregamento da máquina, nsincé a velocidade dos

cam-pos magnéticos e nmé a velocidade mecânica do eixo do motor. O conceito de

escorrega-mento, s, também ajuda a definir o movimento relativo, sendo essa a velocidade relativa expressa em uma base por unidade ou porcentagem, como visto na equação 3.9.

s= nesc nsinc

Capítulo 4

Metodologia

Neste capítulo será abordada a metodologia de identificação utilizada para encontrar o modelo do sistema bomba-vazão, para isso, será utilizada como base teórica o con-teúdo apresentado no capítulo 2. Por fim, será abordada a metodologia aplicada para o desenvolvimento do controle de vazão.

4.1

Identificação do Sistema bomba-vazão

4.1.1

Sinal de Entrada

A primeira etapa de identificação corresponde à definição do tipo de sinal de excitação que será utilizado como sinal de entrada. Para a identificação do sistema bomba-vazão, foi utilizado um sinal do tipo PRS , acrônimo para pseudorandom sequence, com mesmo ciclo de trabalho, mas diferentes módulos. O sinal de excitação deve ser rico em amplitude e em frequência, de modo a excitar todos os modos do sistema. Este sinal de entrada, a partir de um inversor, incide sobre a frequência de rotação da bomba em rotações por minuto (rpm), porém a representação do sinal de entrada é uma variação na capacidade da bomba numa faixa de percentual (%) da frequência de rotação.

Como dito anteriormente, o sistema bomba-vazão apresenta não-linearidades que au-mentam o nível de complexidade da identificação do sistema. Estas não-linearidades estão associadas à variação não-linear da vazão com relação a variação da capacidade nominal da bomba utilizada e a presença de uma zona morta na medição da vazão quando a bomba opera abaixo de 1, 8% da sua capacidade. Como funções de transferência são representa-ções matemáticas lineares e diante do comportamento não-linear da planta, para contornar a segunda não-linearidade durante o processo de identificação, a bomba operou com um sinal de entrada com uma saturação mínima de 2%, evitando assim que a zona morta in-fluencie no resultado do modelo. A saturação máxima do sinal de entrada está presente na região do ponto de operação em 12%. Este valor foi definido a partir do conhecimento do sistema, visto que com o uso frequente da planta foi possível observar que a vazão de saída do tanque central era baixa quando comparada com a vazão fornecida pela bomba, quando esta opera acima de 10% de sua capacidade. Assim, para valores de operação da bomba acima de 10%, o tanque passaria a encher até transbordar. Para superar a rela-ção não-linear entre a bomba e a medirela-ção de vazão, a identificarela-ção foi realizada para um