Um estudo sobre exponenciais e logaritmos e aplicações

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MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEM ´ATICA EM REDE NACIONAL -PROFMAT

Disserta¸c˜

ao de Mestrado

Um estudo sobre Exponenciais e Logaritmos e aplica¸c˜

oes.

Girlene Firmina Diniz

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Um estudo sobre Exponenciais e Logaritmos e aplica¸c˜

oes

Girlene Firmina Diniz

Disserta¸cão de Mestrado apresentada à Comissão Acadêmica Institucional do PROFMAT-UFTM como requisito parcial para obten¸cão do t´ıtulo de Mestre em Matemática.

Orientador: Dr. Nelson Fernando Inforzato

Uberaba - Minas Gerais

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C a t a l o g a ç ã o n a f o n t e : B i b l i o t e c a d a U n i v e r s i d a d e F e d e r a l d o T r i â n g u l o M i n e i r o

Diniz, Girlene Firmina

D611e Um estudo sobre exponenciais e logaritmos e aplicações / Girlene Firmi- na Diniz. -- 2018.

79 f. : il., fig., graf., tab.

Dissertação (Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional) -- Universidade Federal do Triângulo Mineiro, Uberaba, MG, 2018

Orientador: Prof. Dr. Nelson Fernando Inforzato

1. Matemática - Estudo e ensino. 2. Cálculo. 3. Funções exponenciais. 4. Equações. 5. GeoGebra (Programa de computador). I. Inforzato, Nelson Fernando. II. Universidade Federal do Triângulo Mineiro. III. Título.

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Yngrid Martins Diniz, para que o exemplo lhes sirvam sempre de est´ımulo, os quais agrade¸co pelo companheirismo, incentivo e paciˆencia, pois muitas vezes n˜ao pude ouvi-los, dedicando-me aos estudos.

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Agradecimentos

Para a realiza¸c˜ao deste trabalho, tive apoio de muitas pessoas, por isso, agrade¸co a Deus por tˆe-las colocado em meu caminho tornando poss´ıvel este trabalho.

Agrade¸co a meus filhos que tiveram paciˆencia e me auxiliaram nos estudos, aos familiares e amigos que rezaram, oraram e desejaram tanto quanto eu esta conquista.

Aos colegas de trabalho, em especial a Sinthia pelo aux´ılio nas corre¸c˜oes ortogr´aficas.

Ao meu orientador, Professor Doutor Nelson Fernando Inforzato, pelos atendimentos e observa¸c˜oes realizadas em todo este trabalho.

Ao corpo docente do PROFMAT pelos valorosos ensinamentos.

A CAPES, pelo apoio financeiro.

Aos colegas do curso de mestrado da UFTM pelo apoio e incentivo recebido.

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Resumo

O ensino da matemática tem desafiado educadores na busca de estratégias para apresentar a matemática de forma que instigue a curiosidade e o esp´ırito exploratório de nossos alunos, mostrando que existe uma rela¸cão entre os conteúdos estudados e a vida prática.

Neste trabalho, procuramos condensar assuntos relacionados a exponencial e logaritmos, bem como suas respectivas fun¸cões, equa¸cões e inequa¸cões e suas respectivas aplica¸cões abordando a história do surgimento das exponenciais e logaritmos e apresentando uma constru¸cão didática utilizando o GeoGebra para mostrar os gráficos. Desenvolvemos um trabalho voltado a professores do ensino médio e cursos iniciais das áreas de exatas, constituindo material básico para a disciplina de Cálculo Diferencial e Integral. Mostramos a constru¸cão passo a passo, demonstrando assim algumas propriedades e exemplos. Ao final, propomos aplica¸cões voltadas a outras áreas do conhecimento, confirmando a importância das fun¸cões exponenciais e logar´ıtmicas como ferramentas nas resolu¸cões de problemas.

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Abstract

The teaching of mathematics has challenged educators in the search for strategies to present mathematics in a way that instigates our students’ curiosity and the exploratory spirit, showing that there is a link between the studied contents and the practical life.

In this work, we attempt to compile exponential and logarithmic subjects, as well as their respective functions, equations and inequalities - and their respective applications-discoursing the history of exponential and logarithmic emergence and presenting a didactic construction using GeoGebra to show the graphs. We developed a work for both high school teacher and initial courses in the areas of exact, constituting basic material for Differential and Integral Calculus subject. We show the construction step by step, demonstrating some properties and examples. In the end, we propose applications focused on other areas of knowledge, confirming the importance of exponential and logarithmic functions as tools in problem solving.

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Sum´

ario

INTRODUC¸ ˜AO . . . 1

1 UM POUCO DE HIST ´ORIA . . . 4

1.1 A origem das exponenciais . . . 4

1.2 A origem dos logaritmos . . . 5

2 EXPONENCIAIS . . . 7

2.1 Propriedades das potˆencias . . . 11

2.2 Equa¸c˜oes exponenciais . . . 14

2.3 Inequa¸c˜oes exponenciais . . . 15

3 LOGARITMOS . . . 17

3.1 Sistema de logaritmos . . . 17

3.1.1 Sistema de Logaritmos Decimais . . . 18

3.1.2 Sistema de Logaritmos Neperianos . . . 18

3.2 Propriedades de logaritmos . . . 19

3.3 Como calcular logaritmos? . . . 21

3.3.1 Caracter´ıstica e Mantissa . . . 27

3.3.2 Exemplos de aplica¸c˜ao das t´abua de logaritmos utilizando a caracter´ıstica e mantissa . . . 29

3.4 Equa¸c˜oes logar´ıtmicas . . . 31

3.5 Inequa¸c˜oes logar´ıtmicas . . . 34

4 FUNÇ ÃO EXPONENCIAL E FUNÇ ÃO LOGARÍTMICA . . . 39

4.1 Fun¸c˜ao Exponencial . . . 39

4.2 Fun¸c˜ao Logar´ıtmicas . . . 44

5 APLICAC¸ ˜OES . . . 50

6 CONSIDERAC¸ ˜OES FINAIS . . . 62

REFERˆENCIAS . . . 63

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Lista de ilustra¸c˜

oes

Figura 3.1 – Figura esquema para indicar o logaritmo natural a partir do c´alculo da ´

area . . . 19

Figura 3.2 – Tabela de logaritmo decimais dos n´umeros naturais de 1 a 300 . . . 22

Figura 3.3 – Tabela 1 - Apresenta os resultados de logaritmos dos números decimais, irracionais, medidas na circunferência (π, medida de ângulos (◦) e raio) 24 Figura 3.4 – Tabela 2 de logaritmo de números usuais . . . 25

Figura 3.5 – Tabela de logaritmo decimais dos n´umeros naturais de 300 a 600 . . . . 26

Figura 3.6 – Tabela de mantissas de n´umeros naturais de 100 a 549 . . . 28

Figura 3.7 – Tabela de mantissas de n´umeros naturais de 550 a 999 . . . 29

Figura 3.8 – Figura esquema para interpola¸c˜ao . . . 30

Figura 4.1 – Fun¸c˜oes: f (x) = 2x, g(x) = 3x, h(x) = 5x e i(x) = 50x . . . 40

Figura 4.2 – Fun¸cões f (x) = 1₂x , g(x) = 1₃x , h(x) = 1₅x e i(x) = ₅₀1x . . . . 41 Figura 4.3 – Gráficos de 2x _{e 10}x _{. . . .} ₄₁ Figura 4.4 – Gráficos de 2x+2 _{e 10}2x _{. . . .} ₄₁ Figura 4.5 – Gráficos de 2x2 e 10 x 3 . . . 42 Figura 4.6 – Gráficos de 2x_{− 3 e 10}x_{+ 1 . . . .} ₄₂ Figura 4.7 – Gráficos de 1₂x e ₁₀1x . . . 42 Figura 4.8 – Gráficos de 1₂x+2 e ₁₀12x . . . 42 Figura 4.9 – Gráficos de 1₂ x 2 _e 1 10 x₃ . . . 43 Figura 4.10–Gráficos de 1₂x− 3 e 1 10 x + 1 . . . 43

Figura 4.11–Fun¸c˜oes f (x) = ex _{e g(x) = e}−x _{. . . .} ₄₃

Figura 4.12–Fun¸c˜oes f (x) = log₂x, g(x) = log₃x, h(x) = log₅x e i(x) = log₅₀x . . . 45

Figura 4.13–Fun¸c˜oes f (x) = log1 2 x, g(x) = log 1 3 x, h(x) = log 1 5 x e i(x) = log 1 50x . . 46

Figura 4.14–Gr´aficos de log₂(x + 2) e log₁₀(2x) . . . 46

Figura 4.15–Gr´aficos de log1 2(x + 2) e log 1 10 2x . . . 46

Figura 4.16–Gr´aficos de log1 2 x 2 e log101 x 3 . . . 47

Figura 4.17–Gr´aficos de log1 2(x − 3) e log 1 10(x + 1) . . . 47

Figura 4.18–Fun¸c˜ao f (x) = lnx . . . 47

Figura 4.19–Fun¸c˜oes f (x) = 3x e g(x) = log₃x . . . 48

Figura 4.20–Fun¸c˜oes f (x) = 1 2 x e g(x) = log1 2 x . . . 49

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Lista de tabelas

Tabela 1 – Tabela indicando as aproxima¸c˜oes para√2 e para 3

√

2 _{. . . .} ₁₀ Tabela 2 – Tabela indicando as propor¸c˜oes aproximadas da magnitude do est´ımulo

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1

INTRODUC

¸ ˜

AO

A matemática dever ser entendida como parte do nosso cotidiano e o ensino de exponencial e logaritmos, bem como suas respectivas fun¸cões, deve se relacionar à vida dos alunos. Nesse trabalho, será abordado a história do surgimento desses conteúdos, apresentando uma constru¸cão didática para exponencial e logaritmos, bem como suas respectivas fun¸cões, equa¸cões e inequa¸cões, com aplica¸cões em problemas voltados ao cotidiano dos alunos do ensino médio e em diversos cursos das áreas de exatas, constituindo material básico para a disciplina Cálculo Diferencial e Integral.

Conversando com colegas de profissão, percebe-se as dificuldades apresentadas pelos alunos quanto ao estudo ora mencionado, porque a abordagem metodológica de ensino desses conteúdos é feita de forma abstrata, utilizando-se muito a álgebra para manipula¸cão das propriedades decorrentes da defini¸cão e a solu¸cão de equa¸cões através de tábuas logar´ıtmicas, muitas vezes pouco entendida pelos alunos.

As mudan¸cas na educa¸cão ocorrem a todo momento e a rela¸cão ensino/aprendizagem deve-se adequar à essas altera¸cões, bem como o processo de conhecimento e aprendizagem ora decorrente como tema deste trabalho em tela.

Assim buscamos em documentos normativos a n´ıvel estadual e federal informa¸cões que norteariam o ensino desses conteúdos, os quais definem diretrizes e objetivos que visam universalizar o ensino da matemática.

A Proposta Curricular do Conteúdo Básico Comum - CBC (CARNEIRO; SPIRA; SABATUCCI, 2011) para o ensino de Matemática no Ensino Médio em todo Estado de Minas Gerais está subdividido em eixos temáticos e com rela¸cão aos conteúdos, exponenciais e logaritmos está no eixo fun¸cões elementares e modelagem, no qual objetiva que os alunos sejam capazes de ler e interpretar tabelas, gráficos, diagramas, fórmulas, equa¸cões ou representa¸cões geométricas; seja capaz também de traduzir matematicamente alguns fenômenos, estabelecendo uma rela¸cão de dependência, por exemplo, a velocidade de espalhamento de uma epidemia, depende, entre outras coisas, do número de pessoas infectadas; ou ainda, a absor¸cão de um remédio depende da sua concentra¸cão, do peso do individuo e do tempo. Para o conteúdo de exponencial, espera-se que os alunos sejam capazes de:

identificar exponencial crescente e exponencial decrescente; resolver pro-blemas que envolvam uma fun¸c˜ao do tipo y = kax_{; reconhecer uma}

progressão geométrica como fun¸cão da forma y = kax _{definida no}

con-junto dos n´umeros inteiros positivos.

Os Parâmetros Curriculares Nacionais - PCN’s, ensino médio, (BRASIL, 2000), trazem orienta¸cões educacionais, organizados sob a forma de tópicos para cada área do conheci-mento, elaborados de acordo com o Plano Nacional de Educa¸cão - PNE e definem os direitos de aprendizagem em cada etapa do ensino. Em matemática, organizados sob a seguinte

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forma: competências em matemática, temas estruturadores do ensino de matemática, organiza¸cão do trabalho escolar e estratégias para a¸cão, com sugestões metodológicas para orientar o trabalho do professor em sala de aula. De acordo com os PCN’s, as fun¸cões exponenciais e logar´ıtmicas são usadas para descrever a varia¸cão de grandezas em que o crescimento da variável independente é muito rápido, como por exemplo o crescimento de popula¸cões, sendo também aplicadas em áreas do conhecimento como matemática financeira.

O livro didático Matemática, Contexto e Aplica¸cões, (DANTE, 2012) inicia os conteúdos através de situa¸cões-problemas motivadoras, usando exemplos de fácil entendimento, traz também, men¸cão a parte histórica. Com rela¸cão ao estudo de fun¸cões exponenciais, f (x) = αx, faz uma revisão de potencia¸cão, porém, sem fazer uma análise das varia¸cões de α através de representa¸cões gráficas. Quanto ao estudo dos logaritmos, existe um rigor desde as defini¸cões que são abordadas numa linguagem matemática até o entendimento das propriedades. Em sua aplica¸cão na resolu¸cão de equa¸cões exponenciais e de problemas, utiliza-se calculadora substituindo as tábuas logar´ıtmicas. Observa-se também, problemas aplicados a outras áreas de conhecimento, porém a explora¸cão da representa¸cão gráfica das fun¸cões logar´ıtmicas, em bases diversas não é contemplado e também não é mencionado a fun¸cão logar´ıtmica como inversa da fun¸cão exponencial.

A partir dessa análise, algumas perguntas são importantes: Como ensinar de forma significativa desses conteúdos? Quais pontos básicos? Por onde iniciar? A partir dessas indaga¸cões propomos a constru¸cão dessa pesquisa sob uma perspectiva conceitual e gráfica, relevando de forma significativa com a preocupa¸cão o estudo sobre exponenciais e logaritmos e suas respectivas fun¸cões, equa¸cões, inequa¸cões e aplica¸cões, utilizando uma sequência didática que possa mostrar o entendimento da conceitua¸cão desses conteúdos, com propriedades, demonstra¸cões, exemplos, gráficos e aplica¸cões.

A proposta desta pesquisa é a constru¸cão didática, buscando uma metodologia envol-vendo a parte conceitual e gráfica das fun¸cões exponenciais e logar´ıtmicas como ferramenta para a resolu¸cão de problemas.

Para isso, foram elaborados cap´ıtulos, os quais serão apresentados da seguinte forma: na Introdu¸cão, um breve relato da motiva¸cão para a pesquisa, no Cap´ıtulo 1, um pouco de história da origem das exponenciais e logaritmos, os primeiros relatos sobre cálculos, como eram abordados, nomenclaturas, nota¸cões e suas aplica¸cões da época. No Cap´ıtulo 2, abordamos como surgiu o cálculo da exponencial, partindo do conceito de potências com números naturais e construindo os conceitos através dos conjuntos Naturais, Inteiros, Racionais, Irracionais e Reais, esse último será melhor abordado no cap´ıtulo 4, onde falaremos das fun¸cões exponenciais. Será pontuado também nesse cap´ıtulo, as propriedades de potências, com demonstra¸cão de algumas delas, equa¸cões e inequa¸cões exponenciais com exemplos resolvidos aplicando as propriedades necessárias. No Cap´ıtulo 3, sobre os logaritmos, surgidos da necessidade de resolver problemas simples do tipo 2x_{= 3, conceitos}

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INTRODUC¸ ˜AO 3

de antilogaritmo, cologaritmo, logaritmo decimal e logaritmo natural. Abordando também, as propriedades de logaritmos, com demonstra¸cões; a forma de calcular a caracter´ıstica e mantissa de um número; apresenta¸cão de tábuas de logaritmos e exemplos de aplica¸cão das tábua de logaritmos utilizado a caracter´ıstica e mantissa; equa¸cões e inequa¸cões logar´ıtmicas com exemplos resolvidos. No Cap´ıtulo 4, defini¸cões e gráficos de fun¸cões exponenciais e logar´ıtmicas, observando para quais valores as fun¸cões são crescentes e decrescentes, com exemplos de gráficos das fun¸cões, 2x_{, 10}x_, 1

2 x

e ₁₀1x

, apresentando varia¸cões dos expoentes e transla¸cões. No Cap´ıtulo 5, alguns problemas de modelagem matemática utilizando fun¸cões exponenciais e logar´ıtmica.

Para construir didaticamente o presente trabalho, faremos um compêndio de vários materiais dispon´ıveis, de vários autores que trabalham com o tema, buscando desenvolver uma linguagem simples, com aplica¸cões em várias áreas do conhecimento, para subsidiar aos professores do Ensino Básico e alunos da disciplina de Cálculo Diferencial e Integral com o objetivo de trabalharem e entenderem os conteúdos de exponenciais e logaritmos, bem como suas respectivas fun¸cões, equa¸cões, inequa¸cões e aplica¸cões.

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1 Um pouco de Hist´

oria

Neste item vamos apresentar um pouco da história de como surgiram as exponenciais e os logaritmos, buscando nos livros de história da matemáticas os primeiros relatos sobre os conteúdos.

Segundo o livro (BOYER, 1974) a exponencial e logaritmos eram usados em problemas juntamente a outros conteúdos, para resolver questões bem espec´ıficas da época e não possu´ıam a nota¸cão existente hoje.

1.1 A origem das exponenciais

Livros de história da matemática trazem relatos dos primeiros conceitos sobre a exponencial, ideias com rela¸cão ao significado e que foram transmitidos de época em época. Sabe-se que muitos ficaram perdidos, uma vez que muitas obras desaparecem no decorrer dos tempos. Serão citadas passagens com men¸cão da época em que os relatos aconteceram.

Fala-se que o problema 79 do papiro Ahmes, copiado por volta de 1650 a.C., “sete casas, 49 gatos, 343 ratos, 2401 espigas de trigo, 16807 hectares”, encontrado no livro (BOYER, 1974), o qual transcrevo:

... foi presum´ıvel que o escriba estava tratando de um problema, talvez bem conhecido, em que em cada uma das sete casas havia sete gatos, cada um deles come sete ratos, cada um dos quais havia comido sete espigas, cada uma delas teria produzido sete medidas de gr˜ao, ...

nos remetendo uma primeira ideia de exponencial.

Na Grécia, encontramos relatos que existia dois sistemas principais de numera¸cão, o sistema ático e o jônio (alfabético), um mais antigo, o ático, conhecido como nota¸cão ´

atica, com representa¸cão de potências da base (dez), representados pelas letras iniciais, em maiúsculas, das palavras correspondentes, ∆ para deka (dez), H para hekaton (cem) e X para khilioni (mil) e M para myrioi (dez mil).

No livro Introductio de Nicômaco, traduzido em 1926, livro caracterizado por ser um manual dos elementos de matemática, foi descrito uma classifica¸cão dos números, parmente ´ımpares e parmente pares (potências de dois), atribuindo a constru¸cão dos números a

potˆencias de dois.

Nas obras de Diofante, considerado o pai da álgebra, por volta do fim do século quinze e come¸co do século dezessete, na Europa, aparece nota¸cões para opera¸cões e rela¸cões, bem

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CAPÍTULO 1. UM POUCO DE HIST ÓRIA 5 carregava sete sacos; cada saco continha sete pães; e com cada pão havia sete facas; cada faca estava dentro de sete bainhas”.

Percebe-se que ao longo do livro (BOYER, 1974), são apresentados vários problemas resolvidos por vários estudiosos da época, dando mais ou menos ênfase a algumas proprie-dades. Percebe-se também uma grande disputa entre os povos com rela¸cão a cria¸cão da matemática, sendo que muitos dos problemas se perderam ao longo do tempo.

1.2 A origem dos logaritmos

Na Mesopotâmia, a meados do quarto milênio antes de nossa era, entre as tabletas babilônias encontram-se tabelas contendo potências sucessivas de um dado número, seme-lhantes às nossas tabelas de logaritmos, ou mais propriamente, de antilogaritmos. Tabelas exponenciais (ou logar´ıtmicas) foram encontradas em que são dadas as dez primeiras potências para as bases 9 e 16 (todos quadrados perfeitos).

A questão posta num problema “a que potência deve ser elevado um certo número para fornecer um número dado”, livro (BOYER, 1974, p.22) , equivale à nossa, qual o logaritmo de um número dado num sistema com um certo número como base.

As diferen¸cas principais entre as tabelas antigas e as nossas, além de linguagem e nota¸cão, é o não uso de um número único, sistematicamente, como base em variadas situa¸cões e que as lacunas entre os número que constam das tabelas antigas são muito maiores que nas nossas, até então não eram usadas para fins gerais de cálculo, mas para resolver certas questões bem espec´ıficas, como por exemplo tabelas exponenciais num problema que pergunta quanto tempo levaria uma quantia em dinheiro para dobrar, a 20 por cento ao ano, problema esse que hoje aplicamos a utiliza¸cão de tabelas de logaritmos para resolver.

Na Europa do século dezesseis eram usadas fórmulas de transforma¸cão de “produto por soma”, uma delas, 2cos(x).cos(y) = cos(x + y) − cos(x − y), introduzida por Ibn-Yunus (morreu em 1008), contemporâneo de Alhazen, que, mais tarde, com a inven¸cão dos

logaritmos, foi substitu´ıda.

No livro Logaritmos de (LIMA, 2016, p.1), vemos que no fim do século XVI, o desenvol-vimento da Astronomia e da navega¸cão exigia longos e laboriosos cálculos aritméticos. Um aux´ılio precioso já tinha sido obtido com a inven¸cão das fra¸cões decimais. Mesmo assim, achar um método que permitisse efetuar com presteza multiplica¸cões, divisões, potencia¸cões e extra¸cões de ra´ızes era, nos anos próximos de 1600, um problema fundamental.

Segundo o grau de dificuldade, (LIMA, 2016) classificou as opera¸c˜oes aritm´eticas em 3 grupos:

1) opera¸c˜oes de 1a _esp´_{ecie: adi¸c˜}_{ao e subtra¸c˜}_ao; 2) opera¸c˜oes de 2a _esp´_{ecie: multiplica¸c˜}_{ao e divis˜}_ao;

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3) opera¸c˜oes de 3a _esp´_{ecie: potencia¸c˜}_{ao e radicia¸c˜}_ao.

Procurava-se então um processo que permitisse reduzir cada opera¸cão de 2a ou 3a espécie a uma de espécie inferior e portanto mais simples e o meio que os estudiosos da ´

epoca encontraram foi o c´alculo atrav´es de logaritmos.

Jost Bürgi (1552 - 1632) su´ı¸co, relojoeiro, matemático e inventor; e John Napier (1550 -1617), um nobre escocês, teólogo e matemático, cada uma deles desconhecendo inteiramente um ao outro, publicaram as primeiras tábuas de logaritmos. As tábuas de Napier foram publicadas em 1614 e as de Bürgi em 1620. Logo depois do aparecimento da primeira tábua de logaritmos de Napier, o matemático inglês Henry Briggs (1561 - 1631), professor da Universidade de Londres, e depois em Oxford, elaborou, juntamente com Napier, uma nova tábua, de mais fácil utiliza¸cão, contendo os chamados logaritmos decimais, ou logaritmos ordinários, que tiram proveito do fato de usar o sistema de numera¸cão decimal.

Recentemente, com a utiliza¸cão cada vez mais divulgada dos computadores, sendo este cada vez com maior velocidade de processamento de dados, as tábuas de logaritmos perderam algo do seu poder como instrumento de cálculo, o mesmo acaba acontecendo com outras tabelas matemáticas. O estudo dos logaritmos ainda é e continuará a ser de fundamental importância. Com efeito, embora eles tenham sido inventados como acessório para facilitar opera¸cões aritméticas, o desenvolvimento da matemática e das ciências em geral veio mostrar que diversas leis matemáticas e vários fenômenos naturais e mesmo sociais são estreitamente relacionados com os logaritmos. Assim sendo, os logaritmos, que no princ´ıpio eram importantes apenas por causa das tábuas, mostraram seu apreciável valor intr´ınseco.

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7

2 Exponenciais

Do dicionário da l´ıngua portuguesa, (AURÉLIO. . . , ) exponencial é: “que tem expoente variável ou indeterminado, relativo a expoente”. Em matemática, o estudo com expoentes partem das potências, as quais, partiremos delas para o estudo das exponenciais, fun¸cões exponenciais, gráficos, equa¸cões e inequa¸cões exponenciais.

Para iniciarmos faremos algumas defini¸cões de potências no conjunto dos números na-turais, posteriormente, nos inteiros, racionais e irracionais, partindo para um entendimento do comportamento de potências com expoentes reais.

Defini¸cão 2.1. Seja α um n´_{umero real positivo. Para todo n ∈ N, a potência α}n, de base α e expoente n é definida como o produto de n fatores iguais a α, ou seja

αn= α.α.α...α

Observemos que para n = 1, como não há produto de um só fator, põe-se α1 = α, por defini¸cão.

A defini¸c˜ao indutiva de αn´e: α1 = α e αn+1 = α.αn.

Para quaisquer m, n ∈ N tem-se αm_.αn_=αm+n_{. Essa afirma¸c˜}_{ao ´}_{e verdadeira, uma vez} que ambos os membros desta igualdade temos o produto de m + n fatores iguais a α.

Assim, para m1, m2, m3, ...., mk ∈ N temos: αm1.αm2.αm3...αmk = αm1+m2+m3+...+mk. Em particular se m1 = m2 = m3 = ... = mk= m temos (αm)k = αm.k

Podemos observar o comportamento de α, se α > 1 ou se 0 < α < 1.

Se α > 1, multiplicando ambos os membros dessa desigualdade por αn_{, obtemos} αn+1 > αn. Portanto,

α > 1 ⇒ 1 < α < α2 < α3 < ... < αn < αn+1< ....

Al´em disso, pode-se observar que multiplicando ambos os membros da desigualdade α < 1 pelo n´umero positivo αn, obtemos αn+1 < αn. Portanto,

0 < α < 1 ⇒ 1 > α > α2 > α3 > ... > αn> αn+1 > .... Exemplos:

1. Seja α = 1, 000001 (um inteiro e um milionésimo). As potências sucessivas α, α2, α3 , . . . , αn a princ´ıpio próximas de 1, podem tornar-se tão grandes quanto se deseje, desde que o expoente seja tomado suficientemente grande. Observe:

1, 00000110_{= 1, 000010000045} 1, 000001100 _{= 1, 000001}102

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1, 0000011.000 _{= 1, 000001}103 = 1, 0010004996 1, 00000110.000 _{= 1, 000001}104 _{= 1, 010005016} 1, 000001100.000 = 1, 000001105 = 1, 10517086 1, 0000011.000.000 = 1, 000001106 = 2, 71828046 1, 00000110.000.000 = 1, 000001107 = 22.026, 35566282 1, 00000120.000.000 = 1, 0000012.107 = 22.026, 355662822 = 485.160.343, 203664

Observando as potˆencias acima percebemos que os valores das potˆencias crescem a medida que o expoente cresce.

Se usar o argumento acima podemos obter uma potˆencia de α que seja superior a 1 bilh˜ao, devemos calcular o expoente para ter (1, 000001)n _{> um bilh˜}_ao.

Portanto as potências sucessivas de um número maior do que 1 crescem acima de qualquer limite prefixado, bastando tomarmos um expoente suficientemente grande. 2. Seja α = 0, 999 (novecentos e noventa e nove milésimos). As potências sucessivas α, α2, α3 , . . . ,αn a princ´ıpio próximas de 1, podem tornar-se tão pequenas quanto se deseje, desde que o expoente seja tomado suficientemente grande. Observe:

(0, 999)2 = 0, 998001 (0, 999)5 _{= 0, 995009} (0, 999)10_{= 0, 990044} (0, 999)50_{= 0, 951205} (0, 999)100_{= 0, 904792}

Portanto a sequência cujo n-ésimo termo é αné crescente quando α > 1, logo, αn< αm, se α > 1 e n < m e decrescente se 0 < α < 1, logo, αn> αm, se 0 < α < 1 e n < m. Para α = 1, esta sequência é constante, com todos os seus termos iguais a 1.

Procuremos agora atribuir um significado à potência αn _{, quando n ∈ Z é um número} inteiro, que pode ser negativo ou zero. Isto deve ser feito de modo que seja mantida a regra fundamental,

αn+1= α.αn

Em primeiro lugar, qual deve ser o valor de α0_{? Para responder a quest˜}_{ao observemos} que como,

α0.α1 = α0+1, teremos α1 = α, como α > 0, logo α0 = 1.

Em seguida, dado qualquer n ∈ N, devemos ter α−n.αn_{= α}−n+n _{= α}0 _{= 1, logo,} α−n= 1

αn.

Assim para estender a defini¸cão de potências para números inteiros, preservando que αm_.αn _{= α}m+n_{, acrescentaremos a seguinte defini¸c˜}_ao:

(22)

CAP´ITULO 2. EXPONENCIAIS 9 Defini¸c˜ao 2.2. Seja α um n´_{umero real positivo. Para todo m e n ∈ Z, definimos α}0_{=1 e} α−n= _α1n para todo n ∈ N, assim temos que αm.αn = αm+n e (αm)

n

= αm.n_.

Com as defini¸cões de potências de expoente natural e potência de expoente inteiro, podemos estabelecer a seguinte defini¸cão:

Defini¸c˜ao 2.3. Se α um n´_{umero real positivo e n ∈ Z ent˜ao}

αn=      1 se n = 0 αn−1_{.α se n > 0} 1 αn se n < 0 e α 6= 0

Agora prosseguindo vejamos que sentido pode ser dado à potência αr, quando r = m_n é um n´_{umero racional (onde m ∈ Z e n ∈ Z}∗), de modo que continua válida a regra αr_.αs_{= α}r+s _{onde r e s ∈ Q. Dessa igualdade resulta, que se deve ter, para}

para r = m n ⇒ nr = n m n = m. (αr)n= αr.αr.αr...αr | {z } n vezes = αr+r+r+....+r = αn.r = αm .

Portanto αr _´_{e um n´}_{umero real positivo cuja n-´}_{esima potˆ}_{encia ´}_{e igual a α}m_{, ou seja,} (αr₎n _{= α}m_{, o que nos motiva a defini¸c˜}_{ao a seguir.}

Defini¸c˜ao 2.4. Definimos a potˆencia αr_{, com r ∈ Q, r =} m

n, m ∈ Z e n ∈ Z

∗ _por

αmn= n

√ αm_.

As potˆencias αr_{, com expoente racional, embora n˜}_{ao contenha todos os n´}_{umeros reais} positivos, est˜_{ao espalhados por toda a parte em R}+, desde que α 6= 1.

Dados um número real positivo α e um número irracional a, podemos construir, as potências αa_{, por exemplo a potˆ}_{encia 3}√2_{. Calculamos o valor real de} √_{2 e achamos os} arredondamentos mais próximos a casa das unidades, aos décimos, aos centésimos, aos milésimos e aos décimos de milésimos. Os valores abaixo e acima nos arrendondamentos dessas casas, chamaremos de valores racionais aproximados por falta e ou por excesso de √2, e usando uma calculadora obtemos em correspondência os valores aproximados por falta ou por excesso de 3

√

2 _(potˆ_{encia de base 3 e expoente racional, j´}_{a definidos} anteriormente).

(23)

Exemplo 2.0.1. Vamos construir uma tabela para a aproxima¸c˜ao de 3 √

2_. Tabela 1 – Tabela indicando as aproxima¸c˜oes para√2 e para 3

√ 2 A1 A2 B1 B2 Valor de B1 Valor de B2 1 2 31 ₃2 ₃ ₉ 1, 4 1, 5 31,4 ₃1,5 _{4, 6555} _{5, 1961} 1, 41 1, 42 31,41 ₃1,42 _{4, 7069} _{4, 7589} 1, 414 1, 415 31,414 31,415 4, 7277 4, 7329 1, 4142 1, 4143 31,4142 ₃1,4143 _{4, 7287} _{4, 7292} ↓ ↓ ↓ ↓ √ 2 √2 3 √ 2 ₃√2

Observe que o para valores pr´oximos de √2, o valor de 3 √

2 _est´_{a entre 4, 7287 e 4, 7292} (valores aproximados por falta ou por excesso de 3

√ 2_).

Defini¸c˜ao 2.5. Definimos a potˆencia αa_{, com α > 0 e a ∈ I, considerando os conjuntos} A1 = {r ∈ Q | r < a} e A2 = {s ∈ Q | s > a} .

Notemos que:

• a) todo número de A1 é menor que qualquer número de A2.

• b) existem dois racionais r e s tais que r < a < s e a diferen¸ca r − s é menor que qualquer número positivo e arbitrário.

Em correspondˆencia aos conjuntos A1 e A2 consideremos os conjuntos B1 = {αr | r ∈ A1} e B2 = {αs | s ∈ A2}

. Nota-se que:

• a) todo número de B1 é menor que qualquer número de B2.

• b) existem dois números αr e αs tais que a diferen¸ca αr− αs _´_{e menor que qualquer} número positivo e arbitrário.

Nessas condi¸cões, dizemos que αr e αs são aproxima¸cões por falta e por excesso, respectivamente de αa e que B1 e B2 são classes que definem αa.

Obtemos assim, por aproxima¸cão de racionais, as potências αa_{, com α > 0 e a ∈ I.} As potências αa _{om α > 0 e a ∈ I podem ser obtidas envolvendo o conceito de limites} de sequências, que não é abordado na Educa¸cão Básica, mas que os professores podem consultar em vários materiais dispon´ıveis.

(24)

CAPÍTULO 2. EXPONENCIAIS 11 Agora, naturalmente dever´ıamos o conceito de αx _{para x um n´}_{umero real qualquer} (inclusive irracional). Este conceito requer algum resultado mais refinado que não se encaixam no 2o grau, por isso ele será abordado no Cap´ıtulo 4, em fun¸cões exponenciais.

2.1 Propriedades das potˆencias

Seja α e b ∈ R∗; m e n ∈ N valem as seguintes propriedades:

Propriedades: 1) αm_.αn_{= α}m+n

Demonstra¸cão. Demonstraremos P1 por indu¸cão sobre n, para isso consideremos m fixo. • i) A propriedade é verdadeira para n = 0, pois αm+0 _{= α}m _{= α}m_{.1 = α}m_.α0

• ii) Suponhamos que a propriedade seja verdadeira para n = p, isto é, αm_.αp _{= α}m+p_, e mostraremos que é verdadeira para n = p + 1, isto é, αm_.αp+1 _{= α}m+p+1_.

De fato: αm.αp+1 = αm. (αp.α) = (αm.αp) | {z } HI .α = αm+p.α = αm+p+1. 2) α_αmn = α m−n_{, α 6= 0 e m ≥ n}

Demonstra¸cão. Para P2, o racioc´ınio é análogo e será feita por indu¸cão sobre n, para isso consideremos m fixo.

• i) A propriedade ´e verdadeira para n = 0, pois αm−0 = αm = α

m 1 =

αm α0

• ii) Suponhamos que a propriedade seja verdadeira para n = p, isto ´e, αm

αp = α

m−p_{, e}

mostraremos que ´e verdadeira para n = p + 1, isto ´e, αm

αp+1 = αm−p−1. De fato: αm αp+1 = αm (αp_.α) = αm. 1 αp. 1 α = αm αp | {z } HI ._α1 = αm−p_.1 α = α m−p_.α−1 _{= α}m−p−1_. 3) (α.b)n= αn.bn

Demonstra¸cão. A demonstra¸cão de P3 também será feita por indu¸cão sobre n, para isso consideremos m fixo.

(25)

• i) A propriedade ´e verdadeira para n = 0, pois

(α.b)0 = 1 = 1.1 = α0.b0

• ii) Suponhamos que a propriedade seja verdadeira para n = p, isto é, (α.b)p = αp.bp, mostraremos que é verdadeira para n = p + 1, isto é, (α.b)p+1= αp+1_.bp+1_.

De fato: (α.b)p+1 = (α.b)p | {z } HI . (α.b) = (αp_.bp_{) . (α.b) = (α}p_{.α) . (b}p_{.b) = α}p+1_.bp+1_. 4) α_bn = α_bnn, b 6= 0

Demonstra¸cão. A demonstra¸cão de P4 será feita por indu¸cão sobre n, para isso considere-mos m fixo.

• i) A propriedade ´e verdadeira para n = 0, pois α b 0 = 1 = 1 1 = α0 b0

• ii) Suponhamos que a propriedade seja verdadeira para n = p, isto ´e, α b

p = αp

bp,

mostraremos que ´e verdadeira para n = p + 1, isto ´e, α_bp+1

= α_bp+1p+1. De fato: α b p+1 =α b p | {z } HI . α_b = α_bpp . α b = (αp_.α) (bp_.b) = αp+1 bp+1. 5) (αm₎n = αm.n

Demonstra¸cão. A demonstra¸cão de P5 também será feita por indu¸cão sobre n, para isso consideremos m fixo.

• i) A propriedade ´e verdadeira para n = 0, pois (αm)0 = 1 = α0 = αm.0

• ii) Supondo que a propriedade seja verdadeira para n = p, isto ´e, (αm₎p

= αm.p_, mostraremos que ´e verdadeira para n = p + 1, isto ´e, (αm₎p+1

= αm.(p+1)_. De fato: (αm₎p+1_{= (α}m₎p | {z } HI . (αm_{) = α}m.p_.αm _{= α}(m.p)+m _{= α}m(p+1)_.

(26)

CAP´ITULO 2. EXPONENCIAIS 13 Para α e b ∈ R∗; m e n ∈ Z valem as propriedades:

Propriedades: 1) αm.αn= αm+n 2) α_αmn = α m−n_{, α 6= 0 e m ≥ n} 3) (α.b)n = αn.bn 4) α_bn = α_bnn, b 6= 0 5) (αm₎n = αm.n

As demonstra¸cões para os números inteiros são análogas para os números naturais, através de indu¸cão sobre n.

No conjunto dos racionais, para α e b ∈ R∗; m e n ∈ Q tomemos m = pq e n = r s, então as propriedades P1, P2, P3, P4 e P5 são válidas e utilizaremos a defini¸cão 2.4 para demonstrar as propriedades P1 a P5, como segue:

Propriedades: 1) αpq.αrs = α p q+ r s Demonstra¸cão. αpq_.αrs = q √ αp_.√s αr ₌ q.s√ αp.s_.q.s√ αr.q₌ q.s√ αp.s_.αr.q ₌ q.s√_αp.s+r.q _{= α}ps+rqqs _{= α} p q+ r s Observe que: (*) αpq = α p.s q.s = q.s √ αp.s αrs = α r.q s.q = q.s √ αr.q 2) α p q αrs = α p q− r s, α 6= 0, q 6= 0 e s 6= 0 Demonstra¸cão. αpq αrs = q √ αp s √ αr ∗ z}|{₌ q.s√ αp.s q.s√ αr.q = q.sr αp.s αr.q = q.s√ αp.s−r.q _{= α}ps−rqqs _{= α} p q− r s 3) (α.b)pq _{= α} p q.b p q Demonstra¸cão. (α.b)pq ₌ q q (α.b)p =√qαp_.bp ₌√q αp_.√q_bp _{= α}pq_.b p q UFTM PROFMAT

(27)

4) α_b p q ₌ α p q b p q , b 6= 0 e q 6= 0 Demonstra¸c˜ao. α b p_q = q r α b p =r αq p bp = q √ αp q √ bp = αpq bpq 5) αpq r_s = αpq. r s Demonstra¸c˜ao. αpq r_s = s r αpq r = s r q √ αpr ₌ s q q √ αp.r ₌ q.s√ αp.r _{= α}p.rq.s _{= α} p q. r s Observe que: αpq r_s =αpq. r s =αp.rq.s = q.s√ αp.r

Para α ∈ R∗; m e n ∈ I, também são válidas as propriedades:

Propriedades: 1) αm_.αn _{= α}m+n 2) α_αmn = αm−n, α 6= 0 e m ≥ n 3) (α.b)n= αn_.bn 4) α_bn = α_bnn, b 6= 0 5) (αm)n= αm.n

Portanto qualquer n´_{umero α > 0 e α 6= 1, x ∈ R, α}x é uma exponencial. Em números, podemos dizer que 2x, 3x, 4x, ..., αx s˜_{ao exponenciais. Para x ∈ I, utilizamos a defini¸cão 2.5} e exemplificamos em 2.0.1 e para x ∈ R os exemplos serão melhor abordadas no Cap´ıtulo 4 desse trabalho.

2.2 Equa¸c˜

oes exponenciais

Equa¸cão exponencial é uma igualdade, onde a variável é o expoente. Existem dois métodos fundamentais para resolu¸cão das equa¸cões exponenciais: se as bases forem iguais, essas poderão ser canceladas e o outro para bases diferentes, que está ligado ao estudo de logaritmos e será abordado no Cap´ıtulo 3.

Vejamos como resolver equa¸cões reduzindo a uma base comum: este método, como o próprio nome já diz, consiste em escrever ambos os membros da equa¸cão na mesma base (se poss´ıvel) com as transforma¸cões convenientes baseadas nas propriedades de potências

(28)

CAP´ITULO 2. EXPONENCIAIS 15 de mesma base α (α > 0 e α 6= 1). Assim, do fato da fun¸c˜ao exponencial ser injetora temos que:

αb = αc⇔ b = c (α > 0 e α 6= 1) Exemplos:

1. 8x =√3

16

Resolu¸cão: (23)x = √324 _{⇒ (2}3₎x _{= 2}3₄ _{⇒ 2}3x _{= 2}3₄_{, cancelando a base 2, pois a} fun¸cão exponencial é injetora, teremos 3x = 3₄, ou seja, x = 1₄

S = x = 1₄ 2. 2x _{= 64}

Resolu¸c˜ao: Fatorando o 64 temos: 2x = 26 ⇒ x = 6 S = {x = 6}

3. 8x ₌ 1 32

Resolu¸c˜ao: Fatorando o 32 e aplicando as propriedades temos: (23₎x _{= 2}−5 _{⇒ 2}3x_{= 2}−5_{⇒ 3x = −5 ⇒ x =} −5

3 S = x = −5₃

4. √3x= √3

81

Resolu¸c˜ao: Fatorando o 81 e aplicando as propriedades temos: 312 x =√3 34 _{⇒ 3}x₂ _{= 3}4₃ _⇒ x 2 = 4 3 ⇒ 3x = 8 ⇒ x = 8 3 S = x = 8₃

2.3 Inequa¸c˜

oes exponenciais

Inequa¸cões exponenciais são inequa¸cões que envolvem incógnitas no expoente, ou seja, desigualdades entre números, cujo expoente é uma incógnita.

Assim como em equa¸cões exponenciais, existem dois métodos fundamentais para resolu¸cão das inequa¸cões exponenciais. Faremos a apresenta¸cão agora do primeiro método e o segundo no estudo de logaritmos.

Redu¸cão a uma base comum: este método será aplicado quando ambos os membros da inequa¸cão puderem ser representados como potências de mesma base, com as transforma¸cões convenientes baseadas nas propriedades de potências de mesma base α (α > 0 e α 6= 1). Lembremos que a fun¸cão exponencial f (x) = αx _´_{e crescente se α > 1 e decrescente se} 0 < α < 1, portanto se b e c são números reais, então:

para α > 1 tem-se αb > αc⇔ b > c; αb < αc ⇔ b < c;

para 0 < α < 1 tem-se αb _{> α}c_{⇔ b < c;} αb _{< α}c _{⇔ b > c;}

(29)

Exemplos: 1. 2x _{> 128}

Solu¸c˜ao: Observe que α > 1, fatorando o 128 temos: 2x _{> 128 ⇔ 2}x _{> 2}7_{. Como a} base ´e maior que um, temos x > 7.

S = {x ∈ R | x > 7} 2. 3₅x

≥ 125 27

Solu¸c˜ao: Observe que α = 3₅, 0 < α < 1 e aplicando as propriedades temos que: 3 5 x ≥ 53 33 ⇔ 3 5 x ≥ 3 5 −3

. Como a base est´a compreendida ente 0 e 1, temos x ≤ −3

S = {x ∈ R | x ≤ −3} 3. √3

2x< √4

8

Solu¸c˜ao: Observe que √3

2x< √4 _{8 ⇔} 213 x <√423_{⇔ 2}x3 < 2 3 4. Como a base

´e maior que 1, temos: x₃ < 3₄ ⇔ x < 9 4 S = x ∈ R | x < 9₄

4. Resolver x2x2_−9x+4

< 1 em R+

Solu¸c˜ao: Devemos considerar trˆes casos: 1o _Caso:

Devemos verificar se 0 ou 1 são solu¸cões particulares da inequa¸cão. Fazendo x = 0 e x = 1, temos:

x = 0 ⇒ 04 < 1 (verdadeira) ⇒ x = 0 é solu¸cão x = 1 ⇒ 1−3 < 1 (falsa) ⇒ x = 1 não é solu¸cão A solu¸cão neste caso é S1 = {0}

2o Caso:

A base da potˆencia ´e maior que um. Se x > 1 (I), temos:

x2x2_−9x+4

< 1 ⇒ x2x2_−9x+4

< x0 _{⇒ 2x}2_{− 9x + 4 < 0 ⇒} 1

2 < x < 4 (II) A solu¸c˜ao desse caso ´e dada por (I) ∩ (II)

S2 = {x ∈ R | 1 < x < 4} 3o _Caso:

A base da potˆencia ´e positiva, mas menor que um. Se 0 < x < 1 (III), temos:

x2x2−9x+4< 1 ⇒ x2x2−9x+4< x0 ⇒ 2x2_{− 9x + 4 > 0 ⇒ x <} 1

2 ou x > 4 (IV ) A solu¸c˜ao desse caso ´e dada por (III) ∩ (IV )

S3 =x ∈ R | 0 < x < 1₂

A solu¸cão da inequa¸cão proposta é:

S = S1∪ S2∪ S3 =x ∈ R | 0 ≤ x < 1₂ ou 1 < x < 4

(30)

17

3 Logaritmos

Os logaritmos foram criados como instrumento para tornar mais simples cálculos aritméticos complicados. Posteriormente verificou-se que a importância dos logaritmos na Matemática e nas Ciências em geral era bem maior do que se pensava. Com efeito, diversos fatos matemáticos, bem como fenômenos naturais e até mesmo sociais, podem ser expressos quantitativamente através dos logaritmos.

Uma das primeiras motiva¸cões para o ensino de logaritmos, parte do estudo de equa¸cões exponenciais, onde teremos, por exemplo, que calcular o valor que assume o x, se 2x _{= 3,} ou seja, resolver equa¸cão exponencial com bases diferentes. Sabemos que x assume um valor entre 1 e 2, pois 21 < 2x < 22, mas com o conhecimento que temos até aqui não saber´ıamos qual é esse valor e nem o processo para determiná-lo. A fim de que possamos resolver este e outros problemas, vamos iniciar o estudo de logaritmos.

Defini¸cão 3.1. Sendo a e b números reais e positivos, com a 6= 1, chama-se logaritmo de b na base a, o expoente que se deve dar à base a de modo que a potência obtida seja igual a b. Em s´ımbolos: a, b ∈ R, a > 0 a 6= 1 e b > 0, então

logab = x ⇔ ax = b .

Em logab = x, dizemos: a é a base do logaritmo, b é o logaritmando, x é o logaritmo. Conhe¸camos também o que é antilogaritmo e cologaritmo. O número b é o logaritmando ou também chamado antilogaritmo de x na base a.

Defini¸cão 3.2. Sejam a e b números reais positivos com a 6= 1, se o logaritmo de b na base a é x, então b ´_{e o antilogaritmo de x na base a. Em s´ımbolos: a, b ∈ R, a > 0 a 6= 1 e b > 0,} então logab = x ⇔ b = antilogax.

Defini¸cão 3.3. Chama-se cologaritmo de um n´_{umero b ( b ∈ R e b > 0 ), numa base} a ( a ∈ R, a > 0 a 6= 1 ), ao oposto do logaritmo de b na base a. Em s´ımbolos: se a > 0 a 6= 1 e b > 0 então cologab = −logab. Considerando que logab = −loga1_b então cologab = loga1_b.

3.1 Sistema de logaritmos

Ao conjunto dos logaritmos de todos os n´umeros positivos, em certa base α, chamamos sistema de logaritmos de base α. Assim, o conjunto dos logaritmos, na base 2, de todos os

(31)

n´umeros positivos constitui o sistema de logaritmos de base 2. Entre a infinidade de valores que a base pose assumir, s˜ao particularmente importante dois sistemas de logaritmos a seguir.

3.1.1 Sistema de Logaritmos Decimais

Sistema de logaritmo decimal é o sistema de base 10, também chamado sistema de logaritmos comuns, ou vulgares, ou de Briggs (Henry Briggs, matemático Inglês (1561 – 1630), foi quem primeiro destacou a vantagem do emprego dos logaritmos de base 10 para os cálculos).

Dentre os diversos sistemas de logaritmos (diversas bases), vamos agora estudar, com particular interesse, o sistema de logaritmos de base 10.

Lembremos as principais propriedades dos logaritmos de base 10: 1) log1 = 0

2) log10 = 1

3) x > 1 ⇒ logx > 0 e se 0 < x < 1 ⇒ logx < 0

3.1.2 Sistema de Logaritmos Neperianos

´

E o sistema de base e ( e = 2,718 ..., número irracional), também chamado sistema de logaritmos naturais. O nome neperiano lembra John Neper, matemático escocês (1.550 -1.617), autor de um dos primeiros trabalhos desenvolvendo a teoria dos logaritmos. Diz-se também sistema de logaritmos naturais, uma vez que no estudo de fenômenos naturais surge, muitas vezes, uma lei exponencial de base e. Os logaritmos neperianos são usados na Análise Matemática e em assuntos técnicos.

Indica-se, em geral, com um dos s´ımbolos : logex , ou lnx, ou dependendo do texto, usa-se lgx, logx ou Lx.

No livro do ensino médio (DANTE, 2012) o logaritmo natural é definido como o logaritmo que tem base e e lembrado como uma importante ferramenta nas aplica¸cões de logaritmos, as quais intitula de “A matemática e as práticas sociais”.

Para (LIMA, 2016) o logaritmo natural de x, x um número real positivo, é definido como a área da faixa delimitada pelo eixo x e a fun¸cão 1_x, designada Área (Hx

1), com x variando de 1 a x. Assim, quando x > 0, escrevendo ln x para indicar o logaritmo natural de x, temos: lnx = ´Area (Hx

(32)

CAP´ITULO 3. LOGARITMOS 19

Figura 3.1 – Figura esquema para indicar o logaritmo natural a partir do c´alculo da ´area

3.2 Propriedades de logaritmos

Notemos que, com as propriedades operatórias de logaritmos, podemos transformar uma multiplica¸cão em uma soma, uma divisão em uma subtra¸cão e uma potência em uma multiplica¸cão, isto é, com o emprego da teoria de logaritmos podemos transformar uma opera¸cão em outra mais simples de ser realizada ou de ordem inferior.

Seja a, b e c ∈ R, a > 0 a 6= 1, b > 0 e c > 0 s˜ao v´alidas as seguintes propriedades: • 1a_{) Logaritmo do produto:}

Em qualquer base a (a > 0 a 6= 1), o logaritmo do produto de dois n´umeros reais positivos ´e igual a soma dos logaritmos dos fatores.

Em s´ımbolos: a, b e c ∈ R+, a > 0 a 6= 1, b > 0 e c > 0, ent˜ao loga(b.c) = logab + logac

Demonstra¸cão. Fazendo logab = x e logac = y e loga(b.c) = z, provaremos que z = x + y. De fato:      logab = x ⇒ ax = b logac = y ⇒ ay = c =⇒ az = ax.ay ⇒ az = ax+y ⇒ z = x + y loga(b.c) = z ⇒ az = b.c OBSERVAÇ ÕES:

1) Esta propriedade pode ser entendida para o caso do logaritmo do produto de n (n ≥ 2) fatores reais e positivos, isto ´e: Se a > 0, a 6= 1 e b1, b2, b3, ..., bn ∈ R∗+ ent˜ao loga(b1.b2.b3...bn) = logab1+ logab2+ logab3+ .... + logabn.

2) Devemos observar que se b > 0 e c > 0 ent˜ao b.c > 0 e vale a identidade: loga(b.c) = logab + logac com a > 0, a 6= 1, mas se soubermos apenas que b.c > 0

(33)

então, temos: loga(b.c) = loga|b| + loga|c| com a > 0, a 6= 1, uma vez que o logaritmo só está definido para valores positivos.

• 2a_{) Logaritmo do quociente:}

Em qualquer base a (a > 0 a 6= 1), o logaritmo do quociente de dois números reais positivos é igual a diferen¸ca entre o logaritmo do dividendo e o logaritmo do divisor. Em s´ımbolos: a, b e c ∈ R+, a > 0 a 6= 1, b > 0 e c > 0, então

loga( b

c) = logab − logac

Demonstra¸cão. Fazendo logab = x e logac = y e loga(b_c) = z, mostraremos que z = x − y. De fato:      logab = x ⇒ ax = b logac = y ⇒ ay = c =⇒ az = a x ay ⇒ az = ax−y ⇒ z = x − y loga(b_c) = z ⇒ az = b_c OBSERVAÇ ÕES:

1) Fazendo b = 1, escrevemos loga(1_c) = loga1 − logac =⇒ loga(1_c) = −logac.

2) Se b > 0 e c > 0 ent˜ao b_c > 0 e vale a identidade: loga(b_c) = logab − logac com a > 0, a 6= 1, mas se soubermos apenas que b_c > 0 ent˜ao, temos:

loga(b_c) = loga|b| − loga|c| com a > 0, a 6= 1, uma vez que o logaritmo s´o est´a definido para valores positivos.

• 3a_{) Logaritmo da potˆ}_encia

Em qualquer base a (a > 0 a 6= 1), o logaritmo de uma potência de base real positiva e expoente real é igual ao produto do expoente pelo logaritmo da base da potência. Em s´ımbolos: a, b ∈ R+, α ∈ R, a > 0 a 6= 1, b > 0, então

logabα = α.logab

Demonstra¸c˜ao. Fazendo logab = x e logabα= y, provaremos que y = α.x. De fato:

(

logab = x ⇒ ax = b

logabα = y ⇒ ay = bα =⇒ ay = (ax)α ⇒ ay = aα.x ⇒ y = α.x OBSERVAC¸ ˜OES:

1) Decorre da 3a _{propriedade que em qualquer base a (a > 0 a 6= 1), o logaritmo da} raiz enésima de um número real positivo é igual ao produto do inverso do ´ındice da raiz pelo logaritmo do radicando.

Em s´ımbolos: a, b ∈ R+, n ∈ N∗, a > 0 a 6= 1, b > 0, ent˜ao, log √nb = log bn1 = 1.log b

(34)

CAP´ITULO 3. LOGARITMOS 21 2) Se b > 0 ent˜ao bα _{> 0 para todo α real e vale a identidade: log}

abα = α.logab, mas se soubermos apenas que bα _{> 0 ent˜}_{ao, temos: log}

abα = α.loga|b|, uma vez que o logaritmo s´o est´a definido para valores positivos.

As propriedades vistas anteriormente, válidas com as devidas restri¸cões impostas aos números reais a, b, c e α, nos permitem obter o logaritmo de um produto, de um quociente ou de uma potência, conhecendo somente os logaritmos dos termos do produto, dos termos do quociente ou da base da potência.

Notemos a impossibilidade de obter o logaritmo de uma soma ou de uma diferen¸ca, por meio de regras semelhantes `as dadas. Assim, para encontrarmos loga(b + c) e loga(b − c), devemos, calcular inicialmente (b + c) e (b − c) respectivamente.

Observe que at´e o momento tratamos de logaritmos de bases iguais, caso essas bases sejam diferentes, procederemos uma a mudan¸ca de base para uma base conveniente. Vejamos o processo que permite transformar o logaritmo de um n´umero positivo em uma certa base para outro em base conveniente, aqui vamos considerar como uma 4a propriedade.

• 4a_{) Mudan¸ca de base:}

Se a, b e c são números reais positivos (a 6= 1 e c 6= 1), então tem-se: logab =

logcb logca

Demonstra¸c˜ao. Considerando logab = x, logcb = y e logca = z, e notemos que z 6= 0, pois a 6= 1. Provaremos que x = y_z.

De fato:      logab = x ⇒ ax = b logcb = y ⇒ cy = b =⇒ (cz) x = (ax_{) = b = c}y _{⇒ (c}z₎x _{= c}y _{⇒ zx = y ⇒ x =} y z logca = z ⇒ cz = a

3.3 Como calcular logaritmos?

Nessa se¸cão vamos falar como eram feitos os cálculos de logaritmos no passando, com o uso de tábuas. Hoje com o avan¸co da computa¸cão essas tábuas perderam a utilidade, ficando registradas na história da matemática.

Para calcular logaritmos podemos usar uma tábua de logaritmos. Essa tábua consiste essencialmente de duas colunas de números. A cada número da coluna à esquerda corresponde um números à sua direita, chamado de logaritmo. A tábua de logaritmos é uma tabela de valores que possibilita determinar o valor do logaritmo decimal de qualquer número real positivo na base decimal. Se houver necessidade de determinar o valor de

(35)

um logaritmo n˜ao decimal, deve-se antes transform´a-lo em logaritmo decimal para depois procurar o valor na tabela.

Com as tábulas podemos calcular por exemplo o produto de dois números, basta somar seus logaritmos, o resultado é o logaritmo do produto e assim encontrar o valor na tabela do produto.

Vejamos uma tabela de logaritmos decimais dos números naturais de 1 a 300, os valores são aproxima¸cões até a quinta casa decimal, para ser utilizada como exemplo para o cálculo do produto de dois números.

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CAPÍTULO 3. LOGARITMOS 23 Exemplo 3.3.1. Retirando dados da tabela Figura 3.2, log3 ≈ 0,47712 e log5 ≈ 0,69897, logo log3+log5 ≈ 1,17609. Observe que consultado a tabela citada, o valor 0,17609 corresponde a coluna de log 15. O número 1 é a caracter´ıstica do número 15, logo, log 15

≈ 1 + 0,17609 = 1,17609.

Exemplo 3.3.2. Vamos calcular o log 1024 de trˆes formas diferentes: • log 1024 = log 2.512

Consultando a tabela de logaritmo Figura 3.2, log 2 ≈ 0,30103 e consultando a tabela Figura 3.5 log 512 ≈ 0,70927. Somando as mantissas 0,30103 + 0,70927 = 1,0103. Logo a mantissa de 2.512 ´e 0,0103. Como 103 _{< 1024 < 10}4_{, a carater´ıstica ´}_{e 3.} Portanto log 1024 ≈ 3 + 0,0103 = 3,0103

• log 1024 = log 4.256

Consultando a tabela Figura 3.2, log 4 ≈ 0,60206 e log 256 ≈ 0,40824. Somando as mantissas 0,60206 + 0,40824 = 1,0103. Logo a mantissa de 4.256 ´e 0,0103. Como 103 _{< 1024 < 10}4_{, a carater´ıstica ´}_{e 3. Portanto log 1024 ≈ 3 + 0,0103 = 3,0103} • log 1024 = log 210 _{= 10. log 2}

Consultando a tabela Figura 3.2, log 2 ≈ 0,30103. Portanto log 1024 ≈ 10.0,30103 = 3,0103.

Os exemplos acima foram calculados com números pequenos, mas as tabelas envolviam números grandes. Poderia-se também aplicar algumas propriedades e encontrar uma vasta quantidade de resultados. Na época em que não existia calculadoras esses cálculos se tornaram bem interessantes.

Os escritos que encontramos nos contam que levamos 20 anos para construir a primeira tábua de logaritmos dos números, o que mostra as dificuldades que tiveram aqueles que se dedicaram a esta tarefa, pois tudo tinha que ser feito apenas com a disponibilidade do conhecimento matemático, lápis e papel e uma infinita paciência. A constru¸cão da tábua parte do grau de aproxima¸cão desejada para o cálculo dos logaritmos de um número, digamos que seja a quarta casa decimal, para isso, dividindo o eixo x (logaritmos dos números) no intervalo entre 0 e 1 em 220 _{partes, ou seja,} 1

1048576 ser´a a menor parte, o qual

correspondente a uma progressão aritmética. Para cada correspondente de y (números aos quais se pesquisem os logaritmos) y = 101048576n correspondem a uma progressão

geométrica. Se conhecermos dois pontos consecutivos de uma PA e PG já teremos definido suas respectivas razões e isso é suficiente para tra¸car todos os pontos da PA e PG no intervalo definido. Podemos colocar em correspondência os pontos da PG e PA, e para os mesmos valores de n ir anotando os resultados dos números para a constru¸cão da tábua de logaritmos.

(37)

Vale lembrar também que é importante para nós professores insistirmos para que os alunos conhe¸cam a história da matemática, como eram os cálculos com utiliza¸cão das tabelas, conhecer como foi constru´ıdo os conteúdos matemáticos e como este foi mudando com a utiliza¸cão das tecnologias. Conhecer as propriedades de logaritmos se torna interessante para a realiza¸cão de provas de acesso às universidades, Exame Nacional do Ensino Médio, ou concurso público, onde não é permitida a utiliza¸cão de calculadoras.

Segue abaixo um modelo de tabela (cópia retirada do Livro), utilizada em 1977, publicada no livro (SERR ÃO, 1977) que era utilizada para achar o valor do logaritmo de alguns números usuais.

Figura 3.3 – Tabela 1 - Apresenta os resultados de logaritmos dos números decimais, irracionais, medidas na circunferência (π, medida de ângulos (◦) e raio)

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Figura 3.4 – Tabela 2 de logaritmo de n´umeros usuais

As tábuas apresentadas nas tabelas (Figura 3.3) e (Figura 3.4) são números, cujo logaritmos não poderiam ser obtidos através de aplica¸cão de propriedades. São apresentados com uma nota¸cão não usual. Nesse caso, o s´ımbolo barra, acima do número, por exemplo no cálculo de log(1₂), 1 quer dizer caracter´ıstica + mantissa, 1, abcd = 0, abcd − 1, onde 0,abcd é a mantissa e -1 é a caracter´ıstica de 1₂, a maneira de calcular será vista logo a seguir. Mas como calcular os logaritmos de um número utilizando os dados da tabela? E quando o números não forem inteiros?

A seguir veremos mais uma tabela, trata-se de tábuas de logaritmos decimais dos números inteiros de 300 até 600 com cinco decimais. A tabela completa está publicada no livro (SERR ÃO, 1977) e vai de 1 até dez mil.

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Figura 3.5 – Tabela de logaritmo decimais dos n´umeros naturais de 300 a 600

Se quisermos calcular o logaritmo de um número não natural e que este não esteja em tabelas, observaremos a caracter´ıstica e a mantissa. Para isso veremos abaixo como encontrar a caracter´ıstica e a mantissa e utilizar as tabelas de mantissa.

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3.3.1 Caracter´ıstica e Mantissa

Qualquer que seja o número real positivo x, considere n = [x] (parte inteira de x). Se n tiver k + 1 d´ıgitos então 10k _{≤ n ≤ 10}(k+1) _{e a mesma coisa acontece para x, ou seja, x} estará necessariamente compreendido entre duas potências de 10 com expoentes inteiros consecutivos.

Exemplo 3.3.3. Se x = 0, 04 ⇒ 10−2 < 0, 04 < 10−1.

Assim, dado x > 0, existe c ∈ Z tal que: 10c≤ x < 10c+1 _{⇒ log 10}c _{≤ log x < log 10}c+1 ⇒ c ≤ log x < c + 1, pois, log x ´e crescente.

Podemos afirmar que:

log x = c + m onde c ∈ Z e 0 ≤ m < 1

isto é, o logaritmo decimal de x é a soma de um número inteiro c com um número decimal m não negativo e menor que 1.

O número inteiro c é por defini¸cão a caracter´ıstica do logaritmo de x e o número decimal m (0 ≤ m < 1) é por defini¸cão a mantissa do logaritmo de x.

Em geral, a mantissa é um número irracional, as tábuas de logaritmos nos fornecem valores aproximados dos logaritmos dos números inteiros, geralmente de 1 a 10.000.

Ao procurarmos a mantissa do logaritmo decimal de x, devemos lembrar a seguinte propriedade:

Propriedade 01: A mantissa do logaritmo decimal de x n˜ao se altera se multiplicarmos x por uma potˆencia de 10 com expoente inteiro.

Demonstra¸c˜_{ao. Para demonstrarmos essa propriedade mostraremos que se p ∈ Z ent˜ao} (log(x.10p_{) − log x) ∈ Z}

De fato:

(log(10p.x) − log x) = log(10 p_.x

x ) = log 10 p

= p ∈ Z

Uma consequˆencia importante ´e:

“Os logaritmos de dois números cujas representa¸cões decimais diferem ape-nas pela posi¸cão da v´ırgula tem mantissas iguais.”

Assim os logaritmos decimais dos n´umeros: 2, 200, 2000, 0,2; 0,002 tem todos a mesma mantissa 0,3010; mas com caracter´ısticas diferentes, ou seja, iguais a 0, 2, 3, -1 e -3, respectivamente.

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Segue abaixo tabelas de mantissas dos logaritmos dos n´umeros inteiros de 100 a 999, encontradas no livro (IEZZI; DOLCE; MURAKAMI, 1985, p.113-114).

Figura 3.6 – Tabela de mantissas de n´umeros naturais de 100 a 549

Na tabela 3.6 a mantissa pode ser encontrada localizando o número pela linha e coluna, por exemplo o número 517, a mantissa está na linha 51 coluna 7. A mantissa juntamente com a caracter´ıstica nos fornece o logaritmo do número procurado.

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Figura 3.7 – Tabela de mantissas de n´umeros naturais de 550 a 999

3.3.2 Exemplos de aplica¸c˜

ao das t´

abua de logaritmos utilizando a caracter´ıstica

e mantissa

1. Calcular log 23, 4

Como 10 < 23, 4 < 100, a caracter´ıstica é 1 e a mantissa é 0,3692 que é a mesma do número 234 (basta verificar na tabela Figura 3.6 na linha 23, coluna 4). Temos então:

log 23, 4 = 1 + 0, 3692 = 1, 3692

(43)

Como 10−2 < 0, 042 < 100_{, logo a caracter´ıstica ´}_{e -2 e a mantissa ´}_{e 0,6232 que ´}_{e a} mesma do n´umero 420 (vide Figura 3.6). Temos, ent˜ao:

log 0, 042 = −2 + 0, 6232 = −1, 3768.

Entretanto, é usual escrevermos -2+0,6232 sob a forma 2, 6232; onde figura expli-citamente a mantissa do logaritmo e a caracter´ıstica -2 é substitu´ıda pela nota¸cão 2.

Dizemos que 2, 6232 ´e a forma mista ou preparada do log 0, 042 e que -1,3768 ´e a forma negativa de log 0, 042.

Para calcularmos log 314, 3 usaremos um processo de interpola¸c˜ao linear.

Como 102 _{< 314, 3 < 10}3_{, logo a caracter´ıstica ´}_{e 2 e consideremos os valores de} mantissa (vide Figura 3.6), mostrados na tabela abaixo:

x y= log x

314 y= log 314 = 2,4969 315 y= log 315 = 2,4983

Figura 3.8 – Figura esquema para interpola¸c˜ao

A varia¸cão da fun¸cão logar´ıtmica não é linear, mas podemos aceitar como uma boa aproxima¸cão de log 314, 3, a ordenada y do ponto F sobre a reta DE. Para determinarmos o valor de y, consideremos os triângulos ECD e EHF. Como os triângulos ECD e EHF são semelhantes, temos:

(44)

CAP´ITULO 3. LOGARITMOS 31 y log 315−log 314 = 0,3 1 y 2,4983−2,4969 = 0, 3 y = 0, 0004

Portanto log 314, 3 = log 314 + y = 2,4969 + 0,0004 = 2,4973 4. Calcular antilog -1,3716

Fazendo x = antilog -1,3716, e aplicando a defini¸c˜ao do antilogaritmo log_ab = x ⇔ b = antilogax temos:

log x = -1,3716 Observe que:

−1, 3716 = −1 − 0, 3716 = −1 − 1 + 1 − 0, 3716 = −2 + 0, 6284 = 2, 6284.

Com a mantissa 0,6284 encontramos o n´umero 425, mas como a caracter´ıstica do log x ´e -2, duas casas decimais, temos x = 0,0425.

Os exemplos a seguir não são para resolver o cálculo de logaritmo, mas para usar o logaritmo para o cálculo de potências e ra´ızes.

5. Calcular a potˆencia (1, 12)20

Fazendo x = (1, 12)20, podemos aplicar log em ambos os membros da igualdade, assim teremos: log x = log(1, 12)20 ⇒ log x = 20. log(1, 12) ⇒ log x = 20.0, 0492 ⇒ log x = 0, 9840.

Portanto x = antilog0, 9840 = 100,9840 _{≈ 9, 638.} 6. Calcular x = √7

1969

Aplicando log e suas propriedades, temos: log x = log(1969)17 ⇒ log x = 1

7. log 1969 ⇒ log x = 1₇.3, 2943 ⇒ log x = 3,2943₇ ⇒ log x = 0, 4806.

Portanto x = antilog0, 4806 = 100,4806 ≈ 3, 024.

Em problemas, utilizaremos da modelagem matemática e as fun¸cões exponenciais e logar´ıtmicas como ferramentas de resolu¸cão.

3.4 Equa¸c˜

oes logar´ıtmicas

Para resolver equa¸cões logar´ıtmicas é importante lembrar do conceito de logaritmo, a, b ∈ R, a > 0 a 6= 1 e b > 0, então

log_ab = x ⇔ ax = b.

Observe que a base e o logaritmando sempre são positivos, ou seja, uma condi¸cão de existência para os mesmos.

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Se log_ax = log_ay, aplicando a defini¸c˜ao temos: log_ax = z ⇔ az _{= x}

log_ay = z ⇔ az = y

Portanto, se log_ax = log_ay ⇒ x = y.

Podemos classific´a-las em trˆes tipos:

1o _{Tipo: log}

af (x) = logag(x) ´

E a equa¸c˜ao que apresenta ou ´e redut´ıvel a uma igualdade entre dois logaritmos de mesma base a, (a > 0 e a 6= 1).

A resolu¸cão de uma equa¸cão deste tipo baseia-se na consequência da defini¸cão. Não devemos esquecer das condi¸cões de existência do logaritmo, isto é, a base do logaritmo deverá ser positiva e diferente de um e o logaritmando deverá ser positivo. Assim sendo, os valores encontrados na solu¸cão da equa¸cão só serão considerados solu¸cão da equa¸cão logar´ıtmica proposta se for um valor qe satisfaz as condi¸cões de existência do logaritmo.

Esquematicamente, temos: Se a > 0 e a 6= 1 ent˜ao

log_af (x) = log_ag(x) =⇒ f (x) = g(x) (f (x) > 0 e g(x) > 0)

2o _{Tipo: log}

af (x) = α ´

E a equa¸cão que apresenta ou é redut´ıvel a uma igualdade ente um logaritmo e um número real.

A resolu¸cão de uma equa¸cão deste tipo é simples, basta aplicarmos a defini¸cão de logaritmo.

Esquematicamente, temos: Se a > 0, a 6= 1 e α ∈ R ent˜ao log_af (x) = α =⇒ f (x) = aα

Não precisamos nos preocupar com a condi¸cão de existência do logaritmo, sendo a > 0, a 6= 1, temos aα _{> 0 para todo α real e consequentemente f (x) = a}α _{> 0.}

3o _{Tipo: inc´}_{ognita auxiliar}

São as equa¸cões que resolvemos fazendo inicialmente uma mudan¸ca de incógnita. Ex: (log₂x)2 − log₂x = 2, ou seja, devemos resolver fazendo log₂x = y, assim sendo, iremos

resolver a equa¸c˜ao em y, y2− y − 2 = 0.

(46)

CAP´ITULO 3. LOGARITMOS 33 Resolver as seguintes equa¸c˜oes:

1. log₂(3x − 5) = log₂7

Solu¸c˜ao: log₂(3x − 5) = log₂7 ⇒ (3x − 5) = 7 > 0

Resolvendo 3x − 5 = 7 ⇒ x = 4. Logo x = 4 é solu¸cão da equa¸cão proposta e não há necessidade de verificarmos pois 7 > 0 é satisfatória para todo x real.

S = {4}

2. log₃(2x − 3) = log₃(4x − 5)

Solu¸c˜ao: log₃(2x − 3) = log₃(4x − 5) ⇒ (2x − 3) = (4x − 5) > 0

Resolvendo 2x − 3 = 4x − 5 ⇒ x = 1. Observe que x = 1 não pode ser solu¸cão da equa¸cão proposta pois fazendo x = 1 em 4x − 5 encontramos 4.1 − 5 = −1 < 0, logo a equa¸cão proposta não tem solu¸cão. Chegar´ıamos a mesma conclusão se ao invés de fazer x = 1 em 4x − 5, o fizéssemos em 2x − 3, já que 2x − 3 = 4x − 5.

S = ∅

3. log₅(x2_{− 3x − 10) = log}

5(2 − 2x) Solu¸c˜ao: log₅(x2_{− 3x − 10) = log}

5(2 − 2x) ⇒ (x2− 3x − 10) = (2 − 2x) > 0 Resolvendo x2_{− 3x − 10 = 2 − 2x ⇒ x}2_{− 3x − 12 = 0 ⇒ x = 4 ou x = −3. Observe} que x = 4 não pode ser solu¸cão da equa¸cão proposta pois fazendo x = 4 em 2 − 2x encontramos 2 − 2.4 = −6 < 0. Fazendo x = −3 em 2 − 2x ou em x2_{− 3x − 10} encontramos 2 − 2.(−3) = 8 > 0 ou (−3)2_{− 3.(−3) − 10 = 8 > 0. Portanto x = −3} ´

e solu¸c˜ao da equa¸c˜ao proposta. S = {−3}

4. log₂(3x + 1) = 4

Solu¸c˜ao: Aplicando a defini¸c˜ao de logaritmo temos: log₂(3x + 1) = 4 ⇒ 3x + 1 = 24 _{⇒ 3x = 15 ⇒ x = 5}

S = {5}

5. log₃(x2+ 3x − 1) = 2

Solu¸c˜ao: Aplicando a defini¸c˜ao de logaritmo temos: log₃(x2 + 3x − 1) = 2 ⇒ x2 + 3x − 1 = 32 ⇒ x2_{+ 3x − 10 = 0 ⇒ x = 2 ou x = −5.}

S = {2, −5}

6. log₂[1 + log₃(1 − 2x)] = 2

Solu¸c˜ao: Aplicando a defini¸c˜ao de logaritmo temos: log₂[1 + log₃(1 − 2x)] = 2 ⇒ 1 + log₃(1 − 2x) = 22 _{⇒ log}

3(1 − 2x) = 3 ⇒ 1 − 2x = 33 ⇒ −2x = 26 ⇒ x = −13. S = {−13}

7. (log₂x)2− log₂x = 2

Solu¸c˜ao: Fazendo uma mudan¸ca de vari´avel temos: log₂x = y, assim sendo, iremos

(47)

resolver a equa¸c˜ao em y, y2_{− y − 2 = 0.}

Resolvendo y2_{− y − 2 = 0 temos y = 2 ou y = −1.} Mas, log₂x = y, ent˜ao log₂x = 2 ⇒ x = 22 ⇒ x = 4 log₂x = −1 ⇒ x = 2−1 ⇒ x = 1 2 S =4,1₂ 8. 2+log3x log3x + log3x 1+log3x = 2

Solu¸c˜ao: Fazendo log₃x = y, temos: 2+y y + y 1+y = 2 ⇒ (2 + y) (1 + y) + y 2 _{= 2y (1 + y) ⇒ 2y}2_{+ 3y + 2 = 2y}2 _{+ 2y ⇒} 3y + 2 = 2y ⇒ y = −2

Substituindo em log₃x = y, temos: log₃x = −2 ⇒ x = 3−2 ⇒ x = 1 9 S =1₉

9. log₃x = log₂10

Solu¸c˜ao: Aplicando a propriedade de mudan¸ca de base, temos: log10x

log103 =

log1010

log102

Consultando a tabela Figura 3.2 temos: log₁₀3 ≈ 0, 47712

log₁₀10 = 1 log₁₀2 ≈ 0, 30103

Fazendo as substitui¸c˜oes temos: log10x 0,47712 = 1 0,30103 log₁₀x = 0,47712_0,30103 log₁₀x = 1, 5849 → x = 101,5849 _{→ x ≈ 38, 45} S = {x ≈ 38, 45}

3.5 Inequa¸c˜

oes logar´ıtmicas

Assim como classificamos as equa¸cões logar´ıtmicas em três tipos básicos, vamos também classificar as inequa¸cões logar´ıtmicas em três tipos:

Tipo I: log_af (x) > log_ag(x) ´

E a inequa¸c˜ao que ´e redut´ıvel a uma desigualdade entre dois logaritmos de mesma base a, (a > 0 e a 6= 1).

Como a fun¸c˜ao logaritmo ´e crescente se a > 1 e decrescente se 0 < a < 1, devemos considerar dois casos:

• 1o _{Caso: Quando a base ´}_{e maior que 1, a rela¸c˜}_{ao de desigualdade existente entre os} logaritmandos ´e de mesmo sentido que o dos logaritmos, ou seja, cresce (ou decresce)