Universidade Federal do Rio de Janeiro
Limite hidrodinˆ
amico para processos de
exclus˜
ao com elos lentos de taxa constante
Felipe Rafael Ribeiro Melo
Rio de Janeiro 2013
Felipe Rafael Ribeiro Melo
Limite hidrodinˆamico para processos de exclus˜ao com elos lentos de taxa constante
Tese de Doutorado apresentada ao Programa de P´ os-gradua¸c˜ao em Estat´ıstica do Instituto de Matem´atica da Universidade Federal do Rio de Janeiro como parte dos requisitos necess´arios `a obten¸c˜ao do t´ıtulo de Doutor em Estat´ıstica.
Orientador:
Glauco Valle da Silva Coelho
Departamento de M´etodos Estat´ısticos Instituto de Matem´atica
Universidade Federal do Rio de Janeiro
M528l Melo, Felipe Rafael Ribeiro.
Limite hidrodinâmico para processos de exclusão com elos lentos de taxa constante / Felipe Rafael Ribeiro Melo. -- Rio de Janeiro, 2013.
viii, 67 f. : il. ; 30 cm.
Orientador: Glauco Valle da Silva Coelho
Tese (doutorado) – UFRJ / Instituto de Matemática, Programa de Pós-graduação em Estatística, 2013. Referências: f. 66-67
1. Probabilidades- Tese. 2. Hidrodinâmica- Modelos matemáticos. I. Coelho, Glauco Valle da Silva (Orient.). II. Universidade Federal do Rio de Janeiro, Instituto de Matemática, Programa de Pós-graduação em Estatística. III. Título.
CDD 519.2
Agradecimentos
Em primeiro lugar, agrade¸co a Deus, for¸ca suprema e causa prim´aria de todas as coisas, e todas as for¸cas invis´ıveis que contribu´ıram comigo para que este trabalho chegasse ao ponto que chegou. Agrade¸co todas as for¸cas e ben¸c˜aos por mim recebidas nessa ´ardua tarefa chamada Doutorado.
`
A minha fam´ılia, sobretudo aos meus pais Jorge Nilson e Rosim´eri, e minha av´o Luzinete, pela confian¸ca no meu potencial e por todo tipo de ajuda, desde a mais simples e corriqueira at´e a mais nobre. E um agradecimento especial para minha namorada Tha´ıs, por todo o entendimento e motiva¸c˜ao ao longo de mais de um ano e meio de conv´ıvio.
Ao meu orientador Glauco Valle, que al´em de bastante participativo na constru¸c˜ao desta tese, foi meu primeiro profesor no doutorado ao ministrar a disciplina de Probabilidade Avan¸cada. Sempre disposto a colaborar quando eu externava minhas d´uvidas e tamb´em nas nossas discuss˜oes sobre a tese, n˜ao s´o nesta fase final de curso, mas desde os tempos do meu Mestrado. Deixo tamb´em meu agradecimento a todos os outros professores do programa com os quais tive oportunidade de fazer disciplinas e aprender mais sobre Probabilidade.
A todos os companheiros de P´os-gradua¸c˜ao com os quais tive o prazer de conviver por estes anos (alguns inclusive que n˜ao fazem mais parte do corpo discente). Todo o conv´ıvio (desde os caf´ezinhos at´e a troca de informa¸c˜oes e debates sobre R, TeX, Estat´ıstica ou Probabilidade) foi muito especial para mim, e j´a estou sentindo falta de vocˆes. Nestes ´ultimos meses, em especial meus agradecimentos `a Luzia (minha irm˜a acadˆemica); o bonde da Probabilidade; Kelly e Cristian (companheiros da Sala 2); Jo˜aozinho, Renatinha, Mariana, Larissa, enfim, a todos que tem feito do LSE um local de agrad´avel conv´ıvio.
`
A banca examinadora do Exame de Qualifica¸c˜ao (professores Maria Eul´alia Vares, Leandro Pimentel e Milton Jara), pelas sugest˜oes dadas que muito contribu´ıram para a continuidade deste trabalho.
Resumo
Considere um processo de exclus˜ao simples sim´etrico de vizinhos mais pr´oximos no toro d-dimensional discreto Td
N = {0, ..., N − 1}d. Seja Λ uma regi˜ao fechada e
simplesmente conexa contida no toro d-dimensional cont´ınuo Td = [0, 1)d, cuja fronteira
∂Λ obedece algumas condi¸c˜oes que s˜ao satisfeitas para uma abrangente classe de curvas. Para o processo de exclus˜ao acima em N−1Td
N e x, y ∈ TdN s´ıtios vizinhos, temos que a
taxa de mudan¸ca no elo [x/N, y/N ) ´e igual a N−1, se este elo ´e interceptado por ∂Λ, e igual a 1, caso contr´ario. Elos com taxa de mudan¸ca N−1 s˜ao chamados de elos lentos. Aqui, ∂Λ pode ser vista como uma membrana perme´avel, a qual dificulta a passagem de part´ıculas entre as regi˜oes Λ e ΛC. Estudaremos aqui o comportamento hidrodinˆamico
deste processo de exclus˜ao sob escala difusiva. Neste caso, a equa¸c˜ao hidrodinˆamica ´
e uma equa¸c˜ao parab´olica associada a um operador linear que n˜ao ´e o usual operador Laplaciano.
Abstract
We consider a nearest neighbor symmetric exclusion process on the d-dimensional discrete torus Td
N = {0, 1, . . . , N − 1}d. Let Λ be a simply connected closed region
contained in the d-dimensional continuous torus Td= [0, 1)d, whose boundary ∂Λ satisfies
some conditions that are satisfied by a large class of curves. For the exclusion process above in N−1Td
N and x, y ∈ TdN nearest neighbor sites, we have that the exchange rate
on a bond [x/N, y/N ) is N−1 if this bond is intercepted by ∂Λ, and 1 otherwise. Bonds with exchange rate equal to N−1 are called slow bonds. Here, we can interpret ∂Λ as a permeable membrane, which slows down the passage of particles between the regions Λ e ΛC. We study the hydrodynamic behaviour of this process under diffusive scaling.
In this case, the hydrodynamic equation is a parabolic equation associated to a linear operator which is not the usual Laplacian.
Sum´
ario
Introdu¸c˜ao 1
1 Conceitos Preliminares 5
1.1 O processo de exclus˜ao . . . 5 1.2 Natureza de ∂Λ . . . 7
2 O Limite Hidrodinˆamico 11
2.1 O operador LΛ . . . 11
2.2 A equa¸c˜ao hidrodinˆamica . . . 13 2.3 Propriedades do operador LΛ . . . 14
3 Prova do Limite Hidrodinˆamico 22
3.1 Demonstra¸c˜ao da Proposi¸c˜ao 3.2 . . . 25 3.2 Demonstra¸c˜ao da Proposi¸c˜ao 3.3 . . . 30 3.3 Demonstra¸c˜ao da Proposi¸c˜ao 3.4 . . . 38
4 Demonstra¸c˜ao do Lema de Reposi¸c˜ao 40
A Demonstra¸c˜ao da desigualdade 4.5 60
B Cota superior para entropia relativa 62
C Equivalence of Ensembles 64
Introdu¸
c˜
ao
O comportamento hidrodinˆamico de sistemas de part´ıculas interagentes tem se tornado alvo de diversos estudos, sendo essencial para a compreens˜ao da passagem da descri¸c˜ao microsc´opica para a descri¸c˜ao macrosc´opica em modelos da Mecˆanica Estat´ıstica. Podem ser considerados diferentes tipos de processos (como processos de exclus˜ao ou processos de alcance zero) e diferentes tipos de ambientes onde tais processos se desenvolvem (homogˆeneos ou n˜ao-homogˆeneos, determin´ısticos ou aleat´orios), onde o interesse sempre volta-se para a obten¸c˜ao de teoremas limites (na escala apropriada) como lei dos grandes n´umeros.
Trataremos aqui de processos de exclus˜ao simples sim´etricos de vizinhos mais pr´oximos, onde part´ıculas se movem como passeios aleat´orios independentes em um grafo, exceto pela regra de exclus˜ao que n˜ao permite que duas part´ıculas ocupem o mesmo s´ıtio. Para cada elo (ou aresta) do grafo, associamos uma sequˆencia enumer´avel de tempos de espera exponenciais, independente dos tempos de espera de qualquer outro elo. Quando um tempo de espera de um elo se esgota, as ocupa¸c˜oes nos s´ıtios (ou v´ertices) que tal elo conecta s˜ao trocadas. Este parˆametro de mudan¸ca de estados, denominado taxa de mudan¸ca, depende apenas do elo.
Para o comportamento hidrodinˆamico de tais processos (na escala difusiva) em ambientes homogˆeneos (isto ´e, nos quais a taxa de mudan¸ca entre dois s´ıtios vizinhos ´
e sempre a mesma), temos o j´a conhecido resultado em Kipnis & Landim [12], que diz que a equa¸c˜ao hidrodinˆamica ´e a equa¸c˜ao do calor. Todavia, estamos aqui interessados no estudo do comportamento hidrodinˆamico de processos de exclus˜ao em um ambiente n˜ao-homogˆeneo. Em particular, o grafo no qual o processo de exclus˜ao de nosso interesse se desenvolve ´e o toro discreto com Nd pontos Td
N, isto ´e, {0, ..., N − 1}d com condi¸c˜oes
de fronteira peri´odica, para d ≥ 2, e trabalhamos em um ambiente n˜ao-constante, que consiste de: elos usuais, com taxa de mudan¸ca igual a 1; e elos lentos, com taxa de mudan¸ca menor que 1.
toro d-dimensional, isto ´e, [0, 1)d com condi¸c˜oes de fronteira peri´odica, e Λ ⊂ [0, 1)d uma regi˜ao fechada e simplesmente conexa, cuja fronteira ∂Λ ´e uma hipersuperf´ıcie C2
que deve obedecer certa hip´otese, por´em permitindo o uso de uma fam´ılia abrangente de regi˜oes em [0, 1)d. Para {e
j : j = 1, ..., d} a base canˆonica de Rd e x ∈ TNd, se o
elo x
N, x+ej
N ∈ N −1
TdN ´e interceptado por ∂Λ, dizemos que este elo ´e lento, cuja taxa
de mudan¸ca ´e igual a N−1, onde a vari´avel N – a mesma que indexa o toro discreto – ´e o parˆametro de escala. E para elos que n˜ao s˜ao interceptados por ∂Λ, a taxa de mudan¸ca ´e definida como sendo 1. Este ´e o chamado processo de exclus˜ao com elos lentos sobre ∂Λ. Quando um elo ´e lento, a hip´otese que ∂Λ deve satisfazer garante (ao menos para N suficiente grande) que este elo ´e interceptado por ∂Λ em um ´unico ponto. Podemos interpretar a fronteira da regi˜ao Λ como uma membrana perme´avel, a qual torna mais demorada a passagem de part´ıculas entre as regi˜oes Λ e ΛC em rela¸c˜ao a passagem de part´ıculas entre s´ıtios na mesma regi˜ao. Em Franco, Valle & Neumann [10], ´e obtido o limite hidrodinˆamico para processos de exclus˜ao com elos lentos sobre ∂Λ, onde a taxa de mudan¸ca em um elo que intercepta a fronteira da regi˜ao Λ depende do ˆangulo de incidˆencia no qual a part´ıcula atravessa a membrana. Por´em, como n˜ao estamos considerando o fator velocidade no movimento das part´ıculas, ´e razo´avel manter a mesma taxa para todos os elos lentos (o que rege o movimento das part´ıculas ´e o ambiente). Ainda no campo de motiva¸c˜oes para o uso das mesmas taxas de mudan¸ca para elos lentos, note que, apesar de ∂Λ ser C2 do ponto de visto macrosc´opico (isto ´e,
em Td), isto n˜ao necessariamente ocorre do ponto de vista microsc´opico (onde, de fato,
podemos observar movimento de part´ıculas). Dessa forma, n˜ao podemos dizer de antem˜ao qual ser´a o ˆangulo de incidˆencia de uma part´ıcula ao atravessar a fronteira. Trabalhos que lidam com regime de Knudsen como em Comets, Popov, Sch¨utz & Vachkovskaia [2] incorporam tal motiva¸c˜ao.
A especifica¸c˜ao das taxas de mudan¸ca determinam o ambiente no qual o processo de exclus˜ao se desenvolve. Em Faggionato, Jara & Landim [5], ´e obtido um limite hidrodinˆamico de um sistema de part´ıculas desenvolvendo-se por passeios aleat´orios de vizinhos mais pr´oximos em Z sob forte intera¸c˜ao em um ambiente aleat´orio. J´a em Franco & Landim [9], ´e obtido um limite hidrodinˆamico no toro discreto unidimensional TN = {0, 1, ..., N − 1} com taxa de mudan¸ca em um elo [x/N, (x + 1)/N ] dada por
cx,x+1(η)/{N [(W ((x + 1)/N )) − W (x/N )]}, para x ∈ TN e uma classe n˜ao-aleat´oria de
fun¸c˜oes crescentes W : R → R. Aqui, η ∈ {0, 1}TN e c
x,x+1(η) = 1+a{η(x−1)+η(x+2)},
Franco & Landim [9] para uma classe n˜ao-aleat´oria de fun¸c˜oes crescentes W : Rd → R com W (x1, . . . , xd) =
Pd
k=1Wk(xk), onde W1, . . . , Wd s˜ao fun¸c˜oes da classe dada por
Franco & Landim [9]. Para x ∈ Td
N, a taxa de mudan¸ca em um elo [x/N, (x + ej)/N ]
´
e dada por cx,x+ej(η)/{N [(Wj((x + ej)/N )) − Wj(x/N )]}. Aqui, η ∈ {0, 1}T d N e
cx,x+ej(η) = 1+a{η(x−ej)+η(x+2ej)} para a > −1/2. A evolu¸c˜ao, na escala difusiva, da
densidade emp´ırica de processos de exclus˜ao em Zdcom taxas de mudan¸ca dadas conforme acima ´e descrita pelas solu¸c˜oes fracas de uma equa¸c˜ao diferencial parcial parab´olica n˜ ao-linear ∂tρ = (d/dxk)(d/dWk)Φ(ρ), onde Φ : [l, r] → R ´e uma fun¸c˜ao suave fixada ([l, r] um
intervalo definido em R), e d/dWk denota a derivada generalizada. Fixando uma fun¸c˜ao
W : Rd → R desta mesma classe, Farfan, Simas & Valentim [6] provam as flutua¸c˜oes
de equil´ıbrio para processos de exclus˜ao com condutˆancias (induzidas por W ) em um ambiente aleat´orio, quando o sitema come¸ca em uma medida de equil´ıbrio.
Franco, Gon¸calves & Neumann [8] consideram o processo de exclus˜ao em um toro discreto (ainda em dimens˜ao d = 1) com N s´ıtios, no qual todos os elos possuem taxa de mudan¸ca igual a 1, exceto um n´umero finito de elos, com taxa N−β. Mostra-se que o limite hidrodinˆamico do processo ´e distinto para β ∈ [0, 1), β = 1 e β ∈ (1, ∞). Em Franco, Valle & Neumann [10], ´e obtido o limite hidrodinˆamico do processo de exclus˜ao simples sim´etrico com vizinhos mais pr´oximos na presen¸ca de elos lentos (em dimens˜ao d ≥ 2), onde um elo lento Nx,x+ej
N
– para x ∈ TdN – tem taxa de mudan¸ca igual
a N−1 multiplicado pelo valor absoluto do produto interno entre ej e o vetor normal
exterior unit´ario partindo de ∂Λ. A equa¸c˜ao hidrodinˆamica deste processo utiliza, no lugar do operador Laplaciano da equa¸c˜ao do calor, um operador diferente cujo dom´ınio ´e um subconjunto das fun¸c˜oes cont´ınuas duas vezes diferenci´aveis dentro e fora de Λ, que podem ser descont´ınuas em ∂Λ, com condi¸c˜oes particulares nesta fronteira. A ideia para o presente trabalho ´e utilizar uma ligeira modifica¸c˜ao deste operador no intuito de obter existˆencia e unicidade de solu¸c˜oes fracas para a equa¸c˜ao hidrodinˆamica do processo de exclus˜ao simples sim´etrico de vizinhos mais pr´oximos na presen¸ca de elos lentos com taxa de mudan¸ca N−1.
Para o resultado de existˆencia de solu¸c˜oes fracas para a equa¸c˜ao hidrodinˆamica do processo de exclus˜ao com elos lentos de taxa de mudan¸ca N−1, precisaremos de um lema de reposi¸c˜ao, o qual ´e a principal contribui¸c˜ao deste trabalho. A demonstra¸c˜ao de tal resultado possui algumas adapta¸c˜oes da demonstra¸c˜ao da Estimativa de Um Bloco em Kipnis & Landim [12], resultado este que ´e utilizado para mostrar o Lema de Reposi¸c˜ao (Replacement Lemma) para processos de alcance zero em Kipnis & Landim
[12]. Entretanto, tal processo goza de invariˆancia por transla¸c˜ao, o que n˜ao ocorre no nosso caso. Isto nos leva a realizar uma adapta¸c˜ao mais trabalhosa no intuito de obter o mesmo comportamento probabil´ıstico dentro dos blocos de s´ıtios em Td
N, para que
possamos analisar apenas um destes blocos. Al´em disto, diferentemente do resultado em Franco, Valle & Neumann [10], onde consegue-se um resultado de convergˆencia mais forte para a obten¸c˜ao do limite hidrodinˆamico, o Lema de Reposi¸c˜ao aqui sugerido nos fornece um resultado de convergˆencia em m´edia. Todavia, isto ´e suficiente para a obten¸c˜ao de solu¸c˜oes fracas da equa¸c˜ao hidrodinˆamica do processo.
O seguinte trabalho ´e apresentado conforme se segue. No primeiro cap´ıtulo, ´e dada a defini¸c˜ao geral de processos de exclus˜ao, apresentando defini¸c˜oes e nota¸c˜oes que ser˜ao utilizadas ao longo do texto. O segundo cap´ıtulo trata do operador que substitui o operador Laplaciano na equa¸c˜ao hidrodinˆamica do nosso processo de interesse, o qual ser´a denotado por LΛ. Propriedades deste operador, que inicialmente ´e definido em um
particular dom´ınio, s˜ao destacadas neste cap´ıtulo, al´em da extens˜ao deste operador para um dom´ınio imersamente compacto em L2(Td). No terceiro cap´ıtulo ser´a provado o limite
hidrodinˆamico. A prova segue o m´etodo de entropia introduzido por Guo, Papanicolaou & Varadhan [11]. No quarto cap´ıtulo, o Lema de Reposi¸c˜ao proposto neste trabalho ser´a demonstrado.
Cap´ıtulo 1
Conceitos Preliminares
1.1
O processo de exclus˜
ao
O processo de exclus˜ao considera que cada s´ıtio no grafo pode ter, no m´aximo, uma part´ıcula. Portanto, uma vez trabalhando com o toro discreto TdN (isto ´e, {0, 1, . . . , N −
1}dcom condi¸c˜oes de fronteira peri´odica) como o grafo no qual o processo se desenvolve, o espa¸co de estados ´e dado por {0, 1}TdN.
Como tal processo n˜ao permite mais do que uma part´ıcula por s´ıtio, a chamada regra de exclus˜ao impede cada salto na dire¸c˜ao de um s´ıtio j´a ocupado. Entenderemos melhor como esta regra de exclus˜ao age ao analisar o gerador infinitesimal que define o processo.
Denote por ηN = (ηN(x))x∈Td
N uma configura¸c˜ao no espa¸co de estados ΩN = {0, 1}
TdN,
para a qual ηN(x) = 0 representa que o s´ıtio x ∈ TdN est´a vazio, e ηN(x) = 1 representa que o s´ıtio x ∈ Td
N est´a ocupado. Para cada par de s´ıtios (orientados) x, y ∈ TdN, associamos
uma sequˆencia enumer´avel de tempos de espera exponenciais de taxa pN(x, y), de forma
que tempos associados a pares distintos s˜ao independentes. Quando um tempo de espera se esgota, se o s´ıtio x est´a ocupado e o s´ıtio y est´a vazio, a part´ıcula em x salta para y. Dizemos que o processo de exclus˜ao ´e simples quando a taxa de mudan¸ca de uma part´ıcula de um s´ıtio x para um s´ıtio y depende da configura¸c˜ao ηN apenas atrav´es das vari´aveis ηN(x) e ηN(y). O gerador infinitesimal (aplicado `a fun¸c˜oes f : Ω
N → R) que
define o processo de exclus˜ao simples ´e dado por
(LNf )(ηN) = X x∈Td N X y∈Td N ηN(x)1 − ηN(y) pN(x, y)f ηNx,y − f ηN , (1.1)
e y vazio), e (ηN)x,y representa a mesma configura¸c˜ao ηN exceto nos s´ıtios x e y, para os quais os estados s˜ao trocados:
ηNx,y(z) = ηN(y) , se z = x, ηN(x) , se z = y,
ηN(z) , caso contr´ario.
Atrav´es do gerador infinitesimal, note que a dependˆencia da taxa de mudan¸ca em ηN(x)
e ηN(y) de fato reflete a regra de exclus˜ao, pois
ηN(x)1 − ηN(y) 6= 0 ⇐⇒ ηN(x) = 1 e ηN(y) = 0. No caso particular onde pN(x, y) = pN(y, x) para todo x, y ∈ Td
N, dizemos que o
processo de exclus˜ao (simples) ´e sim´etrico. Para processos de exclus˜ao simples sim´etricos e de vizinhos mais pr´oximos (isto ´e, quando a taxa de mudan¸ca ´e n˜ao nula apenas entre s´ıtios vizinhos no grafo), sua dinˆamica pode ser pensada da seguinte forma: para cada elo do grafo, associamos uma sequˆencia enumer´avel de tempos de espera exponenciais, independente dos tempos de espera de qualquer outra elo. Quando um tempo de espera de um elo se esgota, as ocupa¸c˜oes nos s´ıtios (ou v´ertices) que tal elo conecta s˜ao trocadas. Esta taxa de mudan¸ca de estados depende apenas do elo. O processo de exclus˜ao simples sim´etrico de vizinhos mais pr´oximos em Td
N com taxas de mudan¸ca denotadas por ξx,yN ,
com x, y ∈ TdN (x 6= y), ´e um processo de Markov com espa¸co de configura¸c˜oes ΩN =
{0, 1}TdN. Seu gerador infinitesimal LN age em fun¸c˜oes f : ΩN → R como
(LNf )(ηN) = 1 2 X x∈Td N d X j=1 ξx,x+eN j h f ηNx,x+ej − f ηN i , (1.2)
onde {ej : j = 1, . . . , d} denota a base canˆonica de Rd, e (ηN)x,x+ej´e a mesma configura¸c˜ao
obtida de ηN trocando apenas os estados das vari´aveis ηN(x) e ηN(x + ej), conforme
denotamos anteriormente. Note que a taxa de mudan¸ca ξx,yN associada ao elo de extremos x e y ´e dada por ξN
x,y = pN(x, y) + pN(y, x), pois tempo de espera neste elo ´e o m´ınimo
entre tempo de espera de salto do s´ıtio x para o s´ıtio y (exponencial de taxa pN(x, y)) e
tempo de espera de salto do s´ıtio y para o s´ıtio x (exponencial de taxa pN(y, x)). Devido
`
a simetria do processo e `as taxas de mudan¸ca n˜ao nulas apenas para saltos entre s´ıtios vizinhos, n˜ao ´e dif´ıcil mostrar que (1.2) prov´em do gerador (1.1). Trabalharemos aqui com este processo, por´em com presen¸ca de elos lentos, ou seja, elos com taxa de mudan¸ca
menor que 1 em meio a elos com taxas de mudan¸ca iguais a 1.
Seja o toro d-dimensional Td = [0, 1)d com condi¸c˜ao de fronteira peri´odica e
Λ ⊂ [0, 1)d ⊂ Td uma regi˜ao fechada e simplesmente conexa, cuja fronteira ∂Λ ´e uma
hipersuperf´ıcie C2 obedecendo certas caracter´ısticas que ser˜ao expostas na Se¸c˜ao 1.2. Os
elos lentos do nosso processo s˜ao todas os elos em N−1Td
N que interceptam ∂Λ. Aos elos
lentos, associamos taxa de mudan¸ca igual a 1/N , ou seja,
ξx,x+eN j = ξNx+ej,x = ( 1 N , se x N, x+ej N ∩ ∂Λ 6= ∅,
1 , caso contr´ario, (1.3)
para todo x ∈ Td
N e j = 1, . . . , d, onde N ´e o parˆametro de escala.
A quest˜ao das taxas de mudan¸ca em todos os elos lentos ser a mesma tem uma interpreta¸c˜ao razo´avel, uma vez que n˜ao consideramos velocidade das part´ıculas do nosso processo, isto ´e, todas atravessam a fronteira ∂Λ com a mesma taxa.
Como part´ıculas no processo de exclus˜ao desenvolvem-se independentemente tal como passeios aleat´orios exceto pela regra de exclus˜ao, o processo de exclus˜ao caracterizado pelo gerador (1.2) possui um passeio aleat´orio relacionado em N−1TdN, o qual descreve a evolu¸c˜ao do sistema com uma simples part´ıcula. Para simplificar nota¸c˜oes futuras, introduzimos aqui o gerador deste passeio aleat´orio, dado por
LNH x N = d X j=1 ξNx,x+ej H x + ej N − Hx N + ξx,x−eN j H x − ej N − Hx N , (1.4)
para toda H : N−1TdN → R e todo x ∈ TdN. Note que LN agindo em fun¸c˜oes H :
N−1Td
N → R equivale ao gerador em (1.2) agindo em fun¸c˜oes f : ΩN → R na configura¸c˜ao
na qual o s´ıtio x ∈ Td
N est´a ocupado e todos os outros s´ıtios em TdN est˜ao vazios.
1.2
Natureza de ∂Λ
Conforme mencionado anteriormente, a regi˜ao Λ ´e fechada, simplesmente conexa e com fronteira de classe C2. Nesta se¸c˜ao, vamos estabelecer uma condi¸c˜ao sobre ∂Λ que
ser´a necess´aria na prova do limite hidrodinˆamico.
Primeiramente, vamos particionar a regi˜ao [0, N )d no que chamaremos de caixas
defina as caixas microsc´opicas Cj,k,¯N,M,Ll como
×j−1
r=1[lrL, (lr+ 1)L) × [kM L, (k + 1)M L) ×d−1r=j [lrL, (lr+ 1)L) ∩ [0, N)d, (1.5)
para k ∈ {0, . . . , bN/(M L)c} e ¯l = (l1, . . . , ld−1) com lr ∈ {0, . . . , bN/Lc}. Para
simplificar a nota¸c˜ao, vamos omitir N , M e L, e denotar a caixa acima apenas por Cj,k,¯l. Defina as caixas macrosc´opicas por
e
Cj,k,¯l = N−1Cj,k,¯l⊂ [0, 1)d. (1.6)
Nota 1.1. Para N , M , L e j fixos, as caixas
{Cj,k,¯l : k = 0, . . . , bN/(M L)c, lr = 0, . . . , bN/Lc}
s˜ao disjuntas. Ainda, no subconjunto de [0, N )d
×j−1r=1h0, bN/LcL ×h0, bN/(M L)cM L ×d−1r=j h0, bN/LcL ,
temos uma parti¸c˜ao de caixas microsc´opicas com M Ld s´ıtios em Td
N cada uma. Caixas
fora desta regi˜ao (caso existam) possuem, cada uma, cardinalidade de s´ıtios em Td N
inferior a M Ld.
Defina os subconjuntos de Cj,k,¯l
Sj,k,¯m¯ l= ×j−1r=1{lrL + mr} × [kM L, (k + 1)M L) ×d−1r=j {lrL + mr} ∩ [0, N)d,
onde ¯m = (m1, . . . , md−1) com 0 ≤ mr < L (em d = 2, Sk,¯m¯l pode ser visto como uma
se¸c˜ao transversal). Denotando
e Sj,k,¯m¯ l = N−1Sj,k,¯m¯ l ⊂ eCj,k,¯l, tome Ij∗ =n(k, ¯l) : Se ¯ m j,k,¯l∩ ∂Λ = 1, ∀ 0 ≤ mr < L, r = 1, . . . , d − 1 o . (1.7)
O conjunto Ij∗ ´e composto pelos ´ındices (k, ¯l) tal que ∂Λ cruza (uma ´unica vez) todo segmento de reta maximal paralelo `a coordenada j dentro de eCj,k,¯l. As Figuras 1.1 e 1.2
ilustram casos de caixas eCj,k,¯l com (k, ¯l) ∈ Ij∗ e (k, ¯l) 6∈ Ij∗ respectivamente. A fronteira da regi˜ao Λ deve obedecer a seguinte hip´otese.
Hip´otese 1.2. Para j = 1, . . . , d e Vold−1 denotando medida de Lebesgue (d −
1)-dimen-sional,
lim
M →∞L→∞lim N →∞lim Vold−1
∂Λ ∩ [ (k,¯l) 6∈ I∗ j e Cj,k,¯l = 0. (1.8)
Figura 1.1: Exemplo de caixa eC1,k,¯lem d = 2 com (k, ¯l) ∈ I1∗. A curva em vermelho representa o trecho de ∂Λ que intercepta eC1,k,¯l.
Figura 1.2: Exemplo de caixa eC1,k,¯l em d = 2 na qual eC1,k,¯l∩ ∂Λ 6= ∅, por´em (k, ¯l) 6∈ I1∗. A curva em vermelho representa o trecho de ∂Λ que intercepta eC1,k,¯l.
Desta hip´otese, vemos que para N , M e L suficientemente grandes, o n´umero de elos em N−1TdN interceptados mais de uma vez por ∂Λ ´e tomado como desprez´ıvel. Uma
grande fam´ılia de superf´ıcies (d − 1)-dimensionais satifaz tal hip´otese, na qual podemos incluir elips´oides, circunferˆencias e possivelmente uma razo´avel classe de fronteiras com curvatura estritamente positiva.
Cap´ıtulo 2
O Limite Hidrodinˆ
amico
2.1
O operador L
ΛPara processos de exclus˜ao simples sim´etricos de vizinhos mais pr´oximos sem a presen¸ca de elos lentos, a equa¸c˜ao hidrodinˆamica ´e dada pela equa¸c˜ao do calor, expressa por
(
∂tρ = 12∆ρ
ρ(0, ·) = ρ0(·),
(2.1)
onde ρ0 : Td→ [0, 1] ´e um perfil Borel-mensur´avel, ∂texpressa a derivada com rela¸c˜ao `a t,
e ∆ρ representa o Laplaciano de ρ: ∆ρ =Pd i=1∂
2
uiρ. Por´em, como nosso processo possui
elos lentos, substituiremos o operador Laplaciano por outro operador, o qual denotaremos por LΛ.
Defini¸c˜ao 2.1. O dom´ınio DΛ⊂ L2(Td) do operador LΛ consiste do conjunto de fun¸c˜oes
H ∈ L2(Td) tais que, para alguma fun¸c˜ao h ∈ C2(Td) e λ ∈ R: (i) H(u) = h(u) + λ1Λ(u);
(ii) ∇h
∂Λ(u) = λ¯1.
Agora, defina o operador LΛ : DΛ → L2(Td) por
LΛH = ∆h.
Geometricamente, o operador LΛ remove a descontinuidade ao redor da superf´ıcie ∂Λ, e
Nota 2.2. Apesar do uso do vetor ¯1 na condi¸c˜ao (ii) implicar falta de simetria do operador sobre ∂Λ, veremos nos pr´oximos teoremas que o dom´ınio no qual o operador LΛ
agir´a no tocante ao comportamento hidrodinˆamico do nosso processo (que ´e sim´etrico) ´e uma extens˜ao de DΛ que goza de certas propriedades. Ainda, com o uso do vetor ¯1 na
Defini¸c˜ao 2.1(ii), conseguimos provar esta extens˜ao e, por conseguinte, os resultados que culminam no limite hidrodinˆamico do processo de exclus˜ao aqui estudado, enunciado no Teorema 2.4.
Denotemos por I o operador identidade em L2(Td), e por hh·, ·ii e ||·|| respectivamente
seu produto interno usual e norma:
hhf, gii = Z
Td
f (u)g(u)du,
||f || = phhf, fii, para f, g ∈ L2(Td). Temos o seguinte teorema:
Teorema 2.3. Existe um espa¸co H1
Λ dotado de um produto interno hh·, ·ii1,Λ tal que
DΛ ⊂ HΛ1 e LΛ pode ser estendido para LΛ : H1Λ → L2(Td). Al´em disto, esta extens˜ao
goza das seguintes propriedades:
(a) O dom´ınio H1
Λ ´e denso em L2(Td);
(b) O operador LΛ ´e auto-adjunto e n˜ao-positivo: hhH, −LΛHii ≥ 0, para todo H em
H1 Λ;
(c) O operador I − LΛ: H1Λ → L2(Td) ´e bijetivo e DΛ ´e um n´ucleo para ele;
(d) O operador LΛ ´e dissipativo, isto ´e, ||κH − LΛH|| ≥ κ||H|| para todo H em HΛ1 e
κ > 0;
(e) Os autovalores de −LΛ formam um conjunto enumer´avel 0 = µ0 ≤ µ1 ≤ ... com
limn→∞µn= ∞, e todos estes autovalores tem multiplicidade finita;
(f ) Existe uma base ortonormal completa de L2(Td) composta por autovetores de −L Λ.
Pelo Teorema de Hille-Yoshida (ver Se¸c˜ao 1.2 em Ethier & Kurtz [3]), o operador LΛ : H1Λ → L2(Td) ´e o gerador de um semigrupo de contra¸c˜ao fortemente cont´ınuo em
L2(Td) (em virtude das propriedades (a), (c) e (d) acima). A demonstra¸c˜ao do Teorema 2.3 segue de um conjunto de lemas e ser´a feita ap´os a apresenta¸c˜ao destes e de suas respectivas demonstra¸c˜oes.
2.2
A equa¸
c˜
ao hidrodinˆ
amica
Considere um perfil Borel-mensur´avel limitado ρ0 : Td → [0, 1]. A equa¸c˜ao
hidrodinˆamica do processo de exclus˜ao simples sim´etrico de vizinhos mais pr´oximos com elos lentos, todos com taxa de mudan¸ca igual a 1/N , ´e dada por
(
∂tρ = 12LΛρ
ρ(0, ·) = ρ0(·),
(2.2)
e ρ : R+× Td→ [0, 1] ´e dita ser uma solu¸c˜ao fraca da equa¸c˜ao diferencial acima se para
todas as fun¸c˜oes H em H1
Λ e todo t ≥ 0, ρ satisfaz a equa¸c˜ao integral
hhρt, Hii − hhρ0, Hii − 1 2 Z t 0 hhρs, LΛHiids = 0, (2.3)
onde ρt ´e a nota¸c˜ao para ρ(t, ·).
Agora, seja {ηN
t : t ≥ 0} um processo de Markov com espa¸co de estados ΩN e gerador
LN como em (1.2) acelerado por N2, e D(R+, ΩN) o espa¸co de trajet´orias cont´ınuas `a
direita com limites `a esquerda (c`adl`ag) tomando valores em ΩN, dotado da topologia
Skorohod (ver Cap´ıtulo 3 em Billingsley [1]). Para µ uma medida em ΩN, denotemos
por PN
µ a medida de probabilidade em D(R+, ΩN) induzida pelo processo de Markov
{ηN
t : t ≥ 0} com distribui¸c˜ao inicial µ. Ainda, denotemos ENµ como a esperan¸ca com
respeito a PN µ.
Seja {µN : N ≥ 1} uma sequˆencia de medidas de probabilidade, onde cada µN ´e uma medida sobre (ΩN, P(ΩN)). Tal sequˆencia ´e dita ser associada a um perfil γ : Td→ [0, 1]
se lim N →∞µ N 1 Nd X x∈Td N H (x/N ) ηN(x) − Z Td H(u)γ(u)du > δ = 0 (2.4)
para todo δ > 0, e toda fun¸c˜ao cont´ınua H : Td→ R.
Teorema 2.4 (Limite hidrodinˆamico). Fixe um perfil inicial Borel-mensur´avel ρ0 :
Td→ [0, 1] e considere uma sequˆencia de medidas de probabilidade µN em ΩN associadas
a ρ0. Ent˜ao, para qualquer t ≥ 0,
lim N →∞P N µN 1 Nd X x∈Td N H (x/N ) ηtN(x) − Z Td H(u)ρ(t, u)du > δ = 0,
para todo δ > 0 e toda fun¸c˜ao H ∈ C(Td), onde ρ ´e a ´unica solu¸c˜ao fraca da equa¸c˜ao diferencial (2.2).
A demonstra¸c˜ao do Teorema 2.4 ´e o objetivo final no sentido de provar o comportamento hidrodinˆamico do processo de interesse. Na sequˆencia deste trabalho, veremos lemas, proposi¸c˜oes e teoremas que ser˜ao fundamentais (direta ou indiretamente) para demonstrar o Teorema 2.4.
2.3
Propriedades do operador L
ΛEsta se¸c˜ao ´e dedicada `a prova do Teorema 2.3. Para tal, enunciaremos e provaremos lemas semelhantes aos apresentados em Franco, Valle & Neumann [10], por´em o operador LΛ conforme a Defini¸c˜ao 2.1 ´e diferente do operador definido neste artigo.
Portanto, as demonstra¸c˜oes destes lemas apresentam algumas diferen¸cas que n˜ao tornam a generaliza¸c˜ao trivial.
Lema 2.5. O dom´ınio DΛ ´e denso em L2(Td).
Demonstra¸c˜ao. ´E suficiente provar que existe um subconjunto de DΛ que seja denso
em L2(Td). Seja S o conjunto de todas as fun¸c˜oes C2(Td) com suporte contido em
Td\ ∂Λ. Logo, toda fun¸c˜ao G ∈ S pode ser escrita como G = g + λ1Λ, com g ∈ C2 e
λ = 0, satisfazendo assim a condi¸c˜ao (i) da Defini¸c˜ao 2.1. A condi¸c˜ao (ii) da Defini¸c˜ao 2.1 tamb´em ´e satisfeita, pois como o suporte de G = g est´a contido em Td\ ∂Λ, seu
complementar em Td ´e uma vizinhan¸ca aberta contendo ∂Λ, o que implica ∂
ujg(u) = 0
para todo u ∈ ∂Λ, j = 1, . . . , d. Logo, ∇g
∂Λ(u) = ¯0 = 0 × ¯1 = λ¯1. Portanto, S ⊂ DΛ.
Seja f ∈ L2(Td) ∩ C2(Td) e fixe ε ∈ (0, 1). Ent˜ao existe g
ε ∈ S que coincide com f
em Tdexceto em Vε = {u ∈ Td : dist(u, ∂Λ) < ε}, com |gε(u)| ≤ |f (u)| para todo u ∈ Td.
Logo, com `d denotando a medida de Lebesgue d-dimensional, temos
||f − gε|| = Z Td (f (u) − gε(u))2du 1/2 = Z Vε (f (u) − gε(u))2du 1/2 ≤ sup u∈Vε (f (u) − gε(u))2× `d(Vε) 1/2 ≤ `d(Vε)1/2 sup u∈Vε 4|f (u)|2 1/2 ≤ ε˜ 2,
com ˜ε escolhido conforme a escolha de ε. Entretanto, para qualquer ˜ε > 0, existe ε > 0 que satisfa¸ca a ´ultima desigualdade acima, pois supu∈Vε4|f (u)|2 ´e limitado e `d(Vε) → 0
quando ε ↓ 0. Portanto, para f ∈ L2(Td) ∩ C2(Td) e ˜ε t˜ao pequeno quanto desejarmos, existe ε > 0 tal que ||f − gε|| < ˜ε/2, com gε∈ S.
Agora tomemos f ∈ L2(Td) que n˜ao seja C2. Fixe ˜ε > 0. Ent˜ao existe ˜f = ˜fε˜ ∈
L2(Td) ∩ C2(Td) tal que ||f − ˜f || < ˜ε/2 (consequˆencia do Teorema de Lusin, ver Teorema
7.10 em Folland [7]). Fixe ε ∈ (0, 1) de forma que
`d(Vε)1/2 sup u∈Vε 4| ˜f (u)|2 1/2 ≤ ε˜ 2
(para qualquer ˜ε > 0, existe ε > 0 que satisfaz esta desigualdade). Conforme vimos acima, existe fun¸c˜ao ˜gε ∈ S que coincide com ˜f em Tdexceto em Vε, com |˜gε(u)| ≤ | ˜f (u)|
para todo u ∈ Td. Ent˜ao
||f − ˜gε|| ≤ ||f − ˜f || + || ˜f − ˜gε|| ≤ ˜ ε 2 + `d(Vε) 1/2 sup u∈Vε 4| ˜f (u)|2 1/2 ≤ ˜ε.
Portanto, S ´e denso em L2(Td), o que implica D
Λ ser denso em L2(Td).
Lema 2.6. O operador −LΛ: DΛ → L2(Td) ´e sim´etrico e n˜ao-negativo.
Demonstra¸c˜ao. Sejam H, G ∈ DΛ. Logo, podemos escrever H = h + λh1Λ, G =
g + λg1Λ, onde h, g ∈ C2(Td), λh, λg ∈ R, al´em de ∇h ∂Λ(u) = λh¯1, ∇g ∂Λ(u) = λg¯1.
Note que, integrando por partes, temos
Z Td h(u)∆g(u)du = Z Td g(u)∆h(u)du, (2.5)
e pela Identidade de Green e Defini¸c˜ao 2.1(ii),
λh Z Λ ∆g(u)du = λh Z ∂Λ (∇g · ~ζ)dS = λhλg Z ∂Λ (¯1 · ~ζ)dS = λg Z ∂Λ (∇h · ~ζ)dS = λg Z Λ ∆h(u)du, (2.6)
onde ~ζ ´e o vetor unit´ario normal exterior a superf´ıcie ∂Λ. De fato, a express˜ao acima vale 0, pois novamente pela Identidade de Green podemos escreverR∂Λ(¯1 · ~ζ)dS =RΛ∆ϕ(u)du com ϕ(u) =Pd
i=1ui. De (2.5) e (2.6), segue que
hhH, −LΛGii = Z Td (h(u) + λh1Λ(u))(−∆g(u))du = − Z Td h(u)∆g(u)du − λh Z Λ ∆g(u)du = − Z Td g(u)∆h(u)du − λg Z Λ ∆h(u)du = hhG, −LΛHii,
provando assim a simetria. Para provar a n˜ao-negatividade, note que, integrando por partes, − Z Td h(u)∆h(u)du = Z Td |∇h(u)|2du, e fazendo g = h em (2.6), temos λh R
Λ∆h(u)du = 0. Conclu´ımos ent˜ao que
hhH, −LΛHii ≥ 0, pois hhH, −LΛHii = Z Td (h(u) + λh1Λ(u))(−∆h(u))du = − Z Td h(u)∆h(u)du − λh Z Λ ∆h(u)du = Z Td |∇h(u)|2 du.
Antes de apresentarmos os pr´oximos resultados, denote por hh·, ·ii1,Λo produto interno
em DΛ definido por
hhF, Gii1,Λ= hhF, Gii + hhF, −LΛGii.
Seja H1,∗Λ o conjunto de todas as fun¸c˜oes F em L2(Td) para as quais exista uma sequˆencia
{Fn : n ≥ 1} em DΛtal que Fn converge para F em L2(Td) e Fn´e Cauchy para o produto
interno hh·, ·ii1,Λ. Tal sequˆencia {Fn} ´e dita admiss´ıvel para F . Para F , G em H 1,∗
Λ , defina
hhF, Gii1,Λ= lim
n→∞hhFn, Gnii1,Λ, (2.7)
onde {Fn}, {Gn} s˜ao sequˆencias admiss´ıveis para F , G, respectivamente. O espa¸co H1,∗Λ
dotado do produto interno hh·, ·ii1,Λ ´e um espa¸co real de Hilbert. O espa¸co de fun¸c˜oes
H1
Λ mencionado no Teorema 2.3 ´e dado por
H1
Λ=H ∈ H 1,∗
Λ : LΛH ∈ L2(Td) .
Lema 2.7. hh·, ·ii1,Λ ´e um produto interno para H1Λ.
Demonstra¸c˜ao. Para F , G e H em H1
Λ, sejam {Fn}, {Gn} e {Hn} sequˆencias
admiss´ıveis para F , G e H respectivamente. Temos que provar que:
(a) hhF, F ii1,Λ ≥ 0, e hhF, F ii1,Λ = 0 se e somente se F = 0.
(b) hhF, G + Hii1,Λ= hhF, Gii1,Λ+ hhF, Hii1,Λ.
(d) hhF, Gii1,Λ = hhG, F ii1,Λ.
Provando (a): Pelo Lema 2.6, temos que hhFn, −LΛFnii ≥ 0 para todo n. Logo,
hhF, F ii1,Λ= lim
n→∞hhFn, Fnii + limn→∞hhFn, −LΛFnii ≥ 0.
Note que, se F = 0, ent˜ao F ∈ DΛ, logo
hhF, F ii1,Λ = hhF, F ii + hhF, −LΛF ii = 0 ⇔ hhF, F ii = 0 e hhF, −LΛF ii = 0 ⇔ F = 0.
Provando (b): Pela linearidade do operador Laplaciano, temos hhFn, −LΛ(Gn +
Hn)ii = hhFn, −LΛGn− LΛHnii = hhFn, −LΛGnii + hhFn, −LΛHnii, para todo n. Logo,
hhF, G + Hii1,Λ= lim
n→∞(hhFn, Gnii + hhFn, Hnii + hhFn, −LΛGnii + hhFn, −LΛHnii)
= hhF, Gii1,Λ+ hhF, Hii1,Λ.
Provando (c): Novamente pela linearidade do operador Laplaciano, temos hhFn, −LΛ(kGn)ii = hhFn, k(−LΛGn)ii = khhFn, −LΛGnii, para todo n. Ainda, note
que {kGn} ´e uma sequˆencia admiss´ıvel para kG. Portanto,
hhF, kGii1,Λ = lim
n→∞hhFn, kGnii + limn→∞khhFn, −LΛGnii
= k lim
n→∞(hhFn, Gnii + hhFn, −LΛGnii) = khhF, Gii1,Λ.
Provando (d): Pela simetria de −LΛ : DΛ → L2(Td) provada no Lema 2.6, temos
hhFn, −LΛGnii = hhGn, −LΛFnii, para todo n. Logo,
hhF, Gii1,Λ= lim
n→∞hhGn, Fnii + limn→∞hhGn, −LΛFnii = hhG, F ii1,Λ.
De agora em diante, consideramos H1
Λ com a norma induzida por hh·, ·ii1,Λ(conforme
vista acima), salvo quando mencionarmos que estamos usando a norma L2.
Lema 2.8. A imers˜ao H1,∗Λ ⊂ L2
(Td) ´e compacta.
Demonstra¸c˜ao. Seja {Hn} sequˆencia limitada em H1,∗Λ . Fixe {Fn} sequˆencia em DΛ
limitada na norma induzida por hh·, ·ii1,Λ e tal que ||Fn− Hn|| → 0 quando n → ∞. Para
mostramos a imers˜ao compacta, devemos provar que {Hn} possui uma subsequˆencia
convergente (na norma usual em L2(Td)). Para tal, ´e suficiente mostrar que {Fn} possui
com fn ∈ C2(Td) e λn ∈ R. Fazendo ˜fn = fn + λn, temos que Fn = fn1ΛC + ˜fn1Λ, e
utilizando integra¸c˜ao por partes e Identidade de Green como na demonstra¸c˜ao do Lema 2.6, temos hhFn, Fnii1,Λ = hhFn, Fnii + hhFn, −LΛFnii = hhfn1ΛC + ˜fn1Λ, fn1ΛC + ˜fn1Λii + hhfn+ λn1Λ, −∆fnii = Z ΛC fn2(u)du + Z Λ ˜ fn2(u)du − Z Td fn(u)∆fn(u)du − λn Z Λ ∆fn(u)du = ||fn1ΛC||2+ || ˜fn1Λ||2+ ||∇fn||2.
Pela linearidade do gradiente, temos ||∇fn||2 = ||∇(fn1ΛC)||2 + ||∇( ˜fn1Λ)||2. Como
{Fn} ´e, por hip´otese, limitada na norma induzida por hh·, ·ii1,Λ, temos que as sequˆencias
{||fn1ΛC||2} e {||∇(fn1ΛC)||2} s˜ao limitadas, bem como {|| ˜fn1Λ||2} e {||∇( ˜fn1ΛC)||2}.
Logo, pelo Teorema de Compacidade de Rellich-Kondrachov (Evans [4], Teorema 5.7.1), {fn1ΛC} e { ˜fn1Λ} possuem subsequˆencia convergente em L2(Td). Portanto, de uma
subsequˆencia convergente de {fn1ΛC}, escolher uma subsequˆencia convergente de { ˜fn1Λ}
implica {Fn} possuir uma subsequˆencia convergente em L2(Td), o que prova a imers˜ao
compacta de H1,∗Λ em L2(Td).
Lema 2.9. A imagem de I − LΛ: DΛ → L2(Td) ´e densa em L2(Td).
Demonstra¸c˜ao. O que o lema acima menciona ´e que o conjunto de fun¸c˜oes {H −LΛH :
H ∈ DΛ} ´e denso em L2(Td). Assim como fizemos na demonstra¸c˜ao do Lema 2.5, ´e
suficiente mostrar que existe um subconjunto de {H − LΛH : H ∈ DΛ} denso em L2(Td).
Seja
S∞ = {f : f ´e suave e com suporte contido em Td\ ∂Λ}.
Temos que S∞ ´e denso em L2(Td). Vamos verificar que tal conjunto est´a contido em
{H − LΛH : H ∈ DΛ}: para F ∈ S∞, precisamos obter uma fun¸c˜ao H ∈ DΛ com suporte
em Td\ ∂Λ tal que F possa ser escrita como
F = H − LΛH.
Tomando H = h + λh1Λ com λh = 0, temos que F = h + ∆h. E pelo Teorema 6.3.3 em
Evans [4], h ´e suave, o que implica S∞ estar contido em {h − ∆h : h ∈ C∞(Td)}, que
denso em L2(Td), ou seja, a imagem de
I − LΛ : DΛ→ L2(Td)
´
e densa em L2(Td).
Demonstra¸c˜ao (do Teorema 2.3).
(a) Segue direto do Lema 2.5, pois DΛ⊂ H1Λ. Como DΛ´e denso em L2(Td), logo HΛ1
tamb´em o ´e.
(b) Denote I − LΛ = A : DΛ → L2(Td). Do Lema 2.6, A ´e linear, sim´etrico e
fortemente mon´otono no espa¸co de Hilbert L2(Td). A linearidade ´e consequˆencia do
operador Laplaciano ser um operador linear, logo temos, para H, G ∈ DΛ e a, b ∈ R,
A(aH + bG) = (I − LΛ)(aH + bG) = I(aH + bG) − LΛ(aH + bG)
= aH + bG − LΛ([ah + bg] + [(aλh+ bλg)1Λ])
= aH + bG − ∆(ah + bg) = aH + bG − a∆h − b∆g = a(H − ∆h) + b(G − ∆g) = a(H − LΛH) + b(G − LΛG)
= aA(H) + bA(G).
J´a a simetria de A ´e garantida pela simetria do operador −LΛ:
hhH, A(G)ii = hhH, (I − LΛ)Gii
= Z
Td
(h(u) + λh1Λ(u))(g(u) + λg1Λ(u) − ∆g)du
= hhh + λh1Λ, g + λg1Λii + hhh + λh1Λ, −∆gii
= hhH, Gii + hhH, −LΛGii = hhH, Gii + hh−LΛH, Gii
= hhH − LΛH, Gii = hhA(H), Gii,
para H, G ∈ DΛ. E dizemos que A ´e fortemente mon´otono se existe c > 0 tal que
hhA(H), Hii ≥ c||H||2, para todo H ∈ D
Λ. De fato, isto ocorre para c = 1, pois
para toda H ∈ DΛ, onde a desigualdade acima ´e garantida devido a n˜ao-negatividade
do operador −LΛ. Defina a extens˜ao LΛ : H1Λ → L2(Td) como (I − A). A extens˜ao de
Friedrichs A : H1
Λ→ L2(Td) ´e auto-adjunta, bijetiva e fortemente mon´otona (ver Zeidler
[19], Teorema 5.5.A), logo
hh(I − A)H, Gii = hhH − A(H), Gii = hhH, Gii − hhA(H), Gii
= hhH, Gii − hhH, A(G)ii = hhH, G − A(G)ii = hhH, (I − A)Gii e
hh−LΛH, Hii = hh−(I − A)H, Hii = hh−H + A(H), Hii
= −hhH, Hii + hhA(H), Hii ≥ −hhH, Hii + ||H||2 = 0
para H, G ∈ H1Λ, portanto LΛ: H1Λ → L2(Td) ´e auto-adjunto e n˜ao-positivo.
(c) A extens˜ao de Friedrichs A : H1
Λ → L2(Td) ´e bijetiva, conforme vimos
anteriormente. Resta-nos mostrar que DΛ´e um n´ucleo para esta extens˜ao. Para qualquer
operador B, denote por G(B) o grafo de B, isto ´e, o conjunto dos pares (f, B(f )) para f ∈ Dom(B). Ent˜ao DΛ ´e uma n´ucleo para A = I − LΛ : HΛ1 → L2(Td) se o fecho de
G(A|DΛ) em L
2× L2 ´e igual a G(A), ou seja, precisamos mostrar que
G(A|DΛ) = G(A),
ou ainda, mostrar que o menor conjunto fechado que cont´em G(A|DΛ) ´e G(A). Como
A ´e auto-adjunto, ent˜ao A ´e um operador fechado. Logo, G(A) ´e um conjunto fechado, isto ´e, para toda sequˆencia de pares {(fn, Afn)} ∈ G(A) que converge para (f, g), temos
g = Af . Portanto, G(A) = G(A), e como DΛ ⊂ H1Λ, temos G(A|DΛ) ⊂ G(A), o que
implica G(A|DΛ) ⊂ G(A) = G(A). Seja agora H ∈ H
1
Λ. Do Lema 2.9, existe uma
sequˆencia {Hn} ∈ DΛ tal que (I − LΛ)Hn = AHn converge para AH em L2(Td). E
pelo Teorema 5.5.A em Zeidler [19], o operador A−1 ´e linear, cont´ınuo e auto-adjunto (e, pelo Lema 2.8, A−1 ´e um operador compacto). Ent˜ao existe {Hn} ∈ DΛ tal que
Hn converge para H em L2(Td) quando AHn converge para AH em L2(Td), o que
leva `a existˆencia de um sequˆencia {(Hn, AHn)} ∈ G(A|DΛ) que converge para (H, AH).
(d) Fixe uma fun¸c˜ao H ∈ HΛ1 e κ > 0. Escrevendo G = (κI − LΛ)H, temos que hhG, Hii = Z Td [κH(u) − LΛH(u)]H(u)du = κ Z Td H2(u)du + Z Td H(u)[−LΛH(u)]du = κhhH, Hii + hhH, −LΛHii ≥ κ||H||2,
onde a desigualdade acima se d´a pela (j´a provada) n˜ao-positividade do operador LΛ (no
dom´ınio H1
Λ). Aplicando a desigualdade de Cauchy-Schwarz em hhG, Hii, conclu´ımos
que
κ||H||2 ≤ hhH, Hii1/2hhG, Gii1/2 = ||H|| ||G|| = ||H|| ||κH − L ΛH||,
o que implica ||κH − LΛH|| ≥ κ||H||.
(e) e (f ) Vimos na demonstra¸c˜ao do item (b) que o operador I − LΛ : DΛ→ L2(Td) ´e
linear, sim´etrico e fortemente mon´otono (com constante c = 1), e pelo Lema 2.8, a imers˜ao H1,∗Λ ⊂ L2(Td) ´e compacta. Logo, pelo Teorema 5.5.C em Zeidler [19], os autovalores de
A = I − LΛ : H1Λ → L2(Td) formam um conjunto enumer´avel 1 = λ0 ≤ λ1 ≤ . . .
com limn→∞λn = ∞, todos estes autovalores com multiplicidade finita, e os autovetores
{Hn} de A formam uma base ortonormal completa de L2(Td). Como −LΛ = (I − A),
os autovalores de −LΛ s˜ao dados por {µn} = {λn− 1}, e os autovetores de −LΛ s˜ao os
mesmos autovetores de A. Portanto, os autovetores de −LΛformam uma base ortonormal
completa de L2(Td), e os autovalores de −L
Λ formam um conjunto enumer´avel 0 = µ0 ≤
Cap´ıtulo 3
Prova do Limite Hidrodinˆ
amico
Esta se¸c˜ao ´e dedicada `a prova do Teorema 2.4. Primeiramente, precisaremos de algumas nota¸c˜oes e defini¸c˜oes que ser˜ao utilizadas daqui em diante.
Seja M o espa¸co de medidas positivas de Borel em Td com massa total limitada por
1, dotado da topologia fraca. Seja π uma medida em M e H : Td → R uma fun¸c˜ao
mensur´avel π-integr´avel. Denotemos ent˜ao a integral de H com respeito a medida π por hπ, Hi, isto ´e,
hπ, Hi = Z
Td
H(u)π(du).
Para {ηN
t : t ≥ 0} um processo de Markov com espa¸co de estados ΩN = {0, 1}T
d N e
gerador LN como em (1.2) acelerado por N2, e δu a medida de Dirac concentrada em
u ∈ Td, seja πtN ∈ M a medida emp´ırica no tempo t associada ao processo {ηN
t : t ≥ 0}, dada por πNt = 1 Nd X x∈Td N ηtN(x)δx/N. (3.1)
Cabe ressaltar que πN
t ´e uma medida aleat´oria em ΩN pertencente ao espa¸co de medidas
M. Al´em disto, hπN t , Hi = Z Td H(u) 1 Nd X x∈Td N ηNt (x)δx/N(du) = 1 Nd X x∈Td N ηtN(x) Z Td H(u)δx/N(du) = 1 Nd X x∈Td N H(x/N )ηtN(x), (3.2)
densidade ρ ∈ L2(Td) e H ∈ L2(Td), hπ, Hi = Z Td H(u)π(du) = Z Td H(u)ρ(u)du = hhρ, Hii.
A necessidade de ρ ser L2-limitada e de H ∈ L2(Td) se d´a no intuito de o produto interno
entre ρ e H estar bem definido.
Para T > 0 fixo, seja D([0, T ], M) o espa¸co de trajet´orias π : [0, T ] → M cont´ınuas `
a direita com limites `a esquerda (c`adl`ag) em M, dotado da topologia Skorohod. Sendo assim, o processo {πN
t : 0 ≤ t ≤ T } ´e um elemento aleat´orio de D([0, T ], M), com
distribui¸c˜ao determinada pela distribui¸c˜ao inicial do processo {ηN
t : 0 ≤ t ≤ T }. Para
cada medida de probabilidade µ em {0, 1}TdN, denote por QΛ,N
µ a distribui¸c˜ao de {πNt : 0 ≤
t ≤ T } no espa¸co de trajet´orias D([0, T ], M), onde {ηN
t : 0 ≤ t ≤ T } tem distribui¸c˜ao
inicial µ.
Suponha que, para um perfil Borel-mensur´avel γ : Td → [0, 1], exista uma ´unica solu¸c˜ao fraca ρ : R+× Td → [0, 1] de
(
∂tρ = 12LΛρ
ρ(0, ·) = γ(·), (3.3)
isto ´e, a equa¸c˜ao hidrodinˆamica do processo de exclus˜ao com elos lentos aqui proposto com distribui¸c˜ao inicial conforme o perfil de densidade γ (lembrando que ρ ´e dita uma solu¸c˜ao fraca do sistema acima se, para todas as fun¸c˜oes H ∈ H1
Λ e todo t > 0, a equa¸c˜ao
integral hhρt, Hii − hhγ, Hii − (1/2)
Rt
0hhρs, LΛHiids = 0 ´e satisfeita). Denote por Q Λ γ
a medida de probabilidade em D([0, T ], M) concentrada na trajet´oria determin´ıstica π(t, du) = ρ(t, u)du.
Proposi¸c˜ao 3.1. Fixe um perfil Borel-mensur´avel γ : Td → [0, 1] e considere uma sequˆencia {µN : N ≥ 1} de medidas em Ω
N associadas a γ no sentido de (2.4): para todo
δ > 0 e toda fun¸c˜ao cont´ınua H : Td→ R,
lim N →∞µ N 1 Nd X x∈TdN H (x/N ) η0N(x) − Z Td H(u)γ(u)du > δ = 0.
Ent˜ao existe uma ´unica solu¸c˜ao fraca ρ de (3.3), e a sequˆencia de medidas de probabilidade QΛ,NµN converge fracamente para Q
Λ
γ quando N → ∞.
de QΛ,NµN para Q
Λ
γ, temos (para qualquer fun¸c˜ao cont´ınua H : Td → R) que a trajet´oria
{hπN
t , Hi : 0 ≤ t ≤ T } converge em distribui¸c˜ao para {hπt, Hi : 0 ≤ t ≤ T } quando
N → ∞, esta ´ultima uma trajet´oria determin´ıstica. Como convergˆencia em distribui¸c˜ao para um elemento constante implica convergˆencia em probabilidade, isto nos garante que
lim N →∞P N µN 1 Nd X x∈Td N H (x/N ) ηtN(x) − Z Td H(u)ρ(t, u)du > δ = lim N →∞Q Λ,N µN hπN t , Hi − hπt, Hi > δ = 0,
para todo δ > 0 e para todo 0 ≤ t ≤ T . Fazendo T → ∞, o Teorema 2.4 est´a provado. Para demonstrar a Proposi¸c˜ao 3.1, precisamos provar as trˆes proposi¸c˜oes a seguir:
Proposi¸c˜ao 3.2. Para qualquer sequˆencia {µN : N ≥ 1} de medidas de probabilidade
com µN medida em Ω
N, a sequˆencia de medidas {QΛ,NµN : N ≥ 1} ´e r´ıgida, isto ´e, para
todo ε > 0, existe Kε ⊂ D([0, T ], M) compacto tal que inf N ≥1Q Λ,N µN ({π N t : 0 ≤ t ≤ T } ∈ Kε) > 1 − ε.
Proposi¸c˜ao 3.3. Fixe um perfil Borel-mensur´avel γ : Td → [0, 1] e considere uma
sequˆencia {µN : N ≥ 1} de medidas de probabilidade em Ω
N associadas a γ no
sentido de (2.4). Ent˜ao, qualquer ponto limite de QΛ,NµN est´a concentrado em trajet´orias
absolutamente cont´ınuas que s˜ao solu¸c˜oes fracas de (3.3).
Proposi¸c˜ao 3.4. A solu¸c˜ao fraca ρ da equa¸c˜ao hidrodinˆamica (3.3) ´e ´unica.
Demonstra¸c˜ao (da Proposi¸c˜ao 3.1). Provada a Proposi¸c˜ao 3.2, isto ´e, provada a rigidez da sequˆencia {QΛ,NµN : N ≥ 1}, temos pelo Teorema de Prohorov (Billingsley [1],
Teorema 5.1) que tal sequˆencia ´e relativamente compacta, existindo assim ao menos um ponto limite desta sequˆencia. Pela Proposi¸c˜ao 3.3 (a qual tem as mesmas prerrogativas da Proposi¸c˜ao 3.1), qualquer ponto limite de {QΛ,NµN : N ≥ 1} est´a concentrado em
trajet´orias absolutamente cont´ınuas que s˜ao solu¸c˜oes fracas de (3.3). E pela unicidade das solu¸c˜oes fracas de (3.3) (Proposi¸c˜ao 3.4), para qualquer ponto limite Q∗ da sequˆencia {QΛ,NµN : N ≥ 1}, temos que Q
∗
= QΛ γ.
3.1
Demonstra¸
c˜
ao da Proposi¸
c˜
ao 3.2
Pela defini¸c˜ao de {QΛ,NµN : N ≥ 1}, queremos ent˜ao provar a rigidez de {π
N
t : 0 ≤
t ≤ T } em D([0, T ], M). Pela Proposi¸c˜ao 4.1.7 em Kipnis & Landim [12], ´e suficiente provar a rigidez de {hπN
t , Hi : 0 ≤ t ≤ T } em D([0, T ], R) para um conjunto de
fun¸c˜oes H : Td → R que seja denso no espa¸co de fun¸c˜oes reais cont´ınuas em Td dotado
da topologia uniforme. E se uma sequˆencia de distribui¸c˜oes em D([0, T ], R) dotada da topologia uniforme ´e r´ıgida, ent˜ao esta sequˆencia tamb´em ´e r´ıgida em D([0, T ], R) dotada da topologia Skorohod. Ent˜ao, provaremos rigidez de {hπtN, Hi : 0 ≤ t ≤ T } em D([0, T ], R) dotado da topologia uniforme, para H ∈ C2(Td).
Fixe H ∈ C2(Td). Temos que {hπN
t , Hi : 0 ≤ t ≤ T } ´e r´ıgida (e logo, pelo Crit´erio de
Prohorov, relativamente compacta) se as duas condi¸c˜oes abaixo s˜ao satisfeitas (Teorema 13.2 em Billingsley [1]): lim m→∞supN P N µN sup 0≤t≤T |hπtN, Hi| > m = 0, (3.4) lim δ→0lim supN →∞ P N µN sup |t−s|≤δ |hπN t , Hi − hπ N s , Hi| > ε ! = 0, para todo ε > 0. (3.5)
Para provar (3.4), note que
|hπN t , Hi| ≤ 1 Nd X x∈Td N |H(x/N )| ≤ 1 NdN dsup u∈Td |H(u)| = sup u∈Td |H(u)|,
para todo t ∈ [0, T ] e para todo N , logo sup0≤t≤T|hπN
t , Hi| ≤ supu∈Td|H(u)| para todo
N . Como H ´e cont´ınua e com dom´ınio compacto, ent˜ao supu∈Td|H(u)| ≤ m para todo
m suficientemente grande. Portanto,
lim m→∞supN P N µN sup 0≤t≤T |hπN t , Hi| > m = 0.
Resta-nos provar (3.5). Por Kipnis & Landim [12] (Lema A1.5.1), temos que
MtN = hπtN, Hi − hπ0N, Hi − Z t
0
´
e um martingal. Pela express˜ao acima,
|hπN t , Hi − hπ N s , Hi| = MtN − MN s + Z t s N2LN(hπrN, Hi)dr . Denotando AN t,s = MtN − MsN e Bt,sN = Rt sN 2L
N(hπrN, Hi)dr, temos ent˜ao, para ε > 0
qualquer, as seguintes inclus˜oes:
( sup |t−s|≤δ |AN t,s+ Bt,sN| > ε ) ⊂ ( sup |t−s|≤δ (|ANt,s| + |BN t,s|) > ε ) ⊂ ( sup |t−s|≤δ |ANt,s| + sup |t−s|≤δ |Bt,sN| > ε ) ⊂ ( sup |t−s|≤δ |ANt,s| > ε/2 ) ∪ ( sup |t−s|≤δ |Bt,sN| > ε/2 ) .
Logo, se as equa¸c˜oes abaixo forem verdadeiras:
lim δ→0lim supN →∞ P N µN sup |t−s|≤δ |MN t − M N s | > ε ! = 0, para todo ε > 0, (3.6) lim δ→0lim supN →∞ P N µN sup |t−s|≤δ Z t s N2LN(hπrN, Hi)dr > ε ! = 0, para todo ε > 0, (3.7)
ent˜ao (3.5) vale. E para mostrar (3.6) e (3.7), mostraremos que
lim δ→0lim supN →∞ E N µN " sup |t−s|≤δ |MN t − M N s | # = 0, (3.8) lim δ→0lim supN →∞ E N µN " sup |t−s|≤δ Z t s N2LN(hπrN, Hi)dr # = 0. (3.9)
Note que (3.8) e (3.9) implicam respectivamente (3.6) e (3.7) devido `a desigualdade de Chebyshev: PNµN sup |t−s|≤δ ANt,s > ε ! ≤ 1 |ε|E N µN " sup |t−s|≤δ ANt,s # = 1 εE N µN " sup |t−s|≤δ ANt,s # ,
e o mesmo para Bt,sN no lugar de ANt,s.
Primeiramente, verifiquemos (3.8). Defina hMN
Pelo Teorema 3.26 em Sepp¨al¨ainen [17], temos ENµN[|MTN|2] = ENµN[hMTNi], pois M0N = 0.
Al´em disso, {|MN
t |p : 0 ≤ t ≤ T } para p ≥ 1 ´e um submartingal desde que |Mt|p seja
integr´avel para todo 0 < t < T . E pelas desigualdades de H¨older e de Doob (Teorema II.1.7 em Revuz & Yor [15]),
ENµN " sup |t−s|≤δ |MtN − MsN| # ≤ ENµN " sup |t−s|≤δ |MtN| # + ENµN " sup |t−s|≤δ |MsN| # ≤ 2 ENµN " sup 0≤t≤T |MtN| # = 2 ( ENµN " sup 0≤t≤T |MtN|2 #)1/2 ≤ 4 ( sup 0≤t≤T ENµN|MtN|2 )1/2 = 4 n ENµNhMTNi o1/2 .
Novamente pelo Lema A1.5.1 em Kipnis & Landim [12],
hMtNi = Z t 0 N2LN(hπrN, Hi 2 ) − 2hπrN, HiLN(hπNr , Hi) dr,
e tal express˜ao, por uma computa¸c˜ao direta, pode ser escrita como
hMtNi = Z t 0 N2 d X j=1 X x∈Td N ξx,x+eN j 1 N2d (ηrN(x) − ηrN(x + ej)) H x + ej N − Hx N 2 dr.
Portanto, como ξx,x+eN j ≤ 1 e [ηN
r (x) − ηNr (x + ej)]2 ≤ 1 para todo x ∈ TdN, hMTNi ≤ T N2d d X j=1 X x∈Td N ξx,x+eN j H x+e j N − H Nx 1/N 2 ≤ T Nd d X j=1 " sup u∈Td H u +ej N − H (u) 1/N #2 ≤ T Nd d X j=1 " sup u∈Td |∂ujH(u)| #2 , (3.10)
onde a ´ultima desigualdade se d´a devido ao Teorema do Valor M´edio. Logo, hMTNi → 0 quando N → ∞, o que nos garante que
lim δ→0lim supN →∞ 4 ENµNhMTNi 1/2 = 0,
Agora, verifiquemos (3.9). Note que, pela linearidade de LN, N2LN(hπrN, Hi) = 1 Nd−2 X x∈Td N H(x/N )LN(ηNr (x)), e para cada x ∈ TdN, LN(ηNr (x)) = 1 2 X y∈Td N d X j=1 ξy,y+eN j(η N r ) y,y+ej(x) − ηN r (x) ´
e diferente de zero apenas para x = y ou x = y + ej, ou seja, apenas para y = x ou
y = x − ej. Portanto, para x ∈ TdN fixo,
H(x/N )LN(ηrN(x)) = H(x/N ) 1 2 d X j=1 ξx,x+eN j(η N r ) x,x+ej(x) − ηN r (x) + H(x/N )1 2 d X j=1 ξx−eN j,x(ηrN)x−ej,x(x) − ηN r (x) . Logo, N2LN(hπrN, Hi) = 1 2Nd−2 X x∈Td N d X j=1 H(x/N )ξx,x+eN j(ηrN)x,x+ej(x) − ηN r (x) + X x∈Td N d X j=1 H(x/N )ξx−eN j,x(ηNr )x−ej,x(x) − ηN r (x) = 1 2Nd−2 X x∈Td N d X j=1 H(x/N )ξx,x+eN jη N r (x + ej) − ηrN(x) + X x∈Td N d X j=1 H(x/N )ξx−eN j,xη N r (x − ej) − ηrN(x) ,
e pelas condi¸c˜oes de fronteira do toro discreto, ap´os algumas mudan¸cas de vari´aveis em termos da soma acima, obtemos
N2LN(hπrN, Hi) = 1 2Nd−2 X x∈Td N d X j=1 ξNx,x+e jη N r (x) − η N r (x + ej) H x + ej N − Hx N = 1 2Nd−2 X x∈Td N d X j=1 ηNr(x) ξNx,x+e j H x + ej N − Hx N + ξx,x−eN j H x − ej N − Hx N . Defina ΓN = x ∈ TdN : x N, x + ej N ∩ ∂Λ 6= ∅ ou x − ej N , x N ∩ ∂Λ 6= ∅, j = 1, ..., d , (3.11)
isto ´e, o subconjunto de TdN cujos elementos s˜ao v´ertices associados em N−1TdN dos elos lentos. Ent˜ao, podemos particionar a soma acima em
1 2Nd−2 X x /∈ΓN d X j=1 ηrN(x) H x + ej N + H x − ej N − 2Hx N + 1 2Nd−2 X x∈ΓN d X j=1 ηNr(x) ξNx,x+e j H x + ej N − Hx N + ξx,x−eN j H x − ej N − Hx N .
Aplicando f´ormula de Taylor em H ∈ C2(Td) no valor absoluto da primeira parcela
acima, obtemos uma cota superior igual a
1 2Nd−2 X x /∈ΓN d X j=1 1 N2∂ 2 ujH(x/N ) + o(N −2 ) ,
a qual ´e menor ou igual a supu∈Td|∆H(u)| + CH, onde CH > 0 ´e uma constante que
depende apenas de H. E como temos da ordem de Nd−1 termos em Γ
N (pois Vold−1(∂Λ)
do ponto de vista microsc´opico ´e da ordem de Nd−1) e ξN
x,x+ej ≤ 1, o valor absoluto da
segunda parcela (da mesma soma citada acima) ´e limitado por
1 2Nd−1 d X j=1 X x∈ΓN H x+ej N − H x N 1/N + H x−ej N − H x N 1/N ! ≤ C d X j=1 sup x∈ΓN H x+ej N − H x N 1/N + H x−ej N − H x N 1/N ! ≤ 2C d X j=1 sup u∈Td |∂ujH(u)|,
que |ΓN| ≤ CNd−1 para todo N . Portanto, N2LN(hπrN, Hi) ≤ sup u∈Td |∆H(u)| + CH + 2C d X j=1 sup u∈Td |∂ujH(u)|,
ent˜ao existe uma constante eCH > 0 dependendo somente de H tal que N2LN(hπNs , Hi) ≤
e CH. Ent˜ao Z t s N2LN(hπrN, Hi)dr ≤ Z t s |N2L N(hπNr , Hi)|dr ≤ eCH(t − s),
e logo (3.9) vale, pois
lim δ→0lim supN →∞ E N µN " sup |t−s|≤δ Z t s N2LN(hπNr , Hi)dr # ≤ lim δ→0lim supN →∞ E N µN h e CHδ i = lim δ→0CeHδ = 0.
Portanto (3.7) vale, e como j´a mostramos, (3.6) tamb´em vale, provando assim a rigidez das trajet´orias {πN
t : 0 ≤ t ≤ T } em D([0, T ], M).
3.2
Demonstra¸
c˜
ao da Proposi¸
c˜
ao 3.3
Na se¸c˜ao anterior, provamos que a sequˆencia de medidas de probabilidade {QΛ,NµN :
N ≥ 1}, com µN medida em Ω
N, possui pontos limites. Agora, provaremos a Proposi¸c˜ao
3.3, isto ´e, provaremos que todos os pontos limites de uma sequˆencia QΛ,NµN (onde {µN :
N ≥ 1} ´e uma sequˆencia associada a um perfil Borel-mensur´avel γ : Td → [0, 1]) est˜ao
concentrados em trajet´orias absolutamente cont´ınuas π(t, du) = ρ(t, u)du, cuja densidade ρ(t, u) ´e uma solu¸c˜ao fraca da equa¸c˜ao hidrodinˆamica (3.3).
Seja Q∗ um ponto limite de {QΛ,NµN : N ≥ 1}. Assumimos, sem perda de generalidade,
que QΛ,NµN converge para Q
∗ quando N → ∞. Como temos no m´aximo uma part´ıcula por
s´ıtio, sup 0≤t≤T |hπN t , Hi| ≤ sup 0≤t≤T 1 Nd X x∈Td N |H(x/N )|
para toda H ∈ C(Td). Logo, hπtN, Hi ≤ (1/Nd)P
x∈Td
N|H(x/N )| para todo t ∈ [0, T ] e
todo N . Como sup0≤t≤T|hπt, Hi| ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua em D([0, T ], R) com respeito `a
hπt, Hi ≤
Z
Td
|H(u)|du = h`d, |H|i.
Portanto, temos que Q∗ ´e concentrada em trajet´orias {πt : 0 ≤ t ≤ T } tais que πt ´e
absolutamente cont´ınua com respeito `a medida de Lebesgue (sob Q∗): ou seja, ω-quase certamente,
dπt(ω)
d`d
= d
duπt(u, ω) = ρ(t, u, ω), onde ρ(t, u) ´e n˜ao-negativa e limitada por 1.
Visto isto e com o aux´ılio do Teorema 2.3(c), o seguinte lema prova a Proposi¸c˜ao 3.3:
Lema 3.5. Qualquer ponto limite Q∗ de QΛ,NµN est´a concentrado em trajet´orias
absolutamente cont´ınuas πt(du) = ρ(t, u)du tais que, para qualquer H ∈ DΛ,
hhρt, Hii − hhγ, Hii = 1 2 Z t 0 hhρs, LΛHiids. (3.12)
Antes de provar o Lema 3.5, note que, de fato, tal resultado prova a Proposi¸c˜ao 3.3, conforme segue abaixo.
Demonstra¸c˜ao (da Proposi¸c˜ao 3.3). Uma vez provado o Lema 3.5, resta apenas estender a equa¸c˜ao (3.12) para fun¸c˜oes H ∈ H1Λ. Seja H ∈ H1Λ. Pelo Teorema 2.3(c), I − LΛ : DΛ → L2(Td) ´e um n´ucleo para a extens˜ao A = I − LΛ : HΛ1 → L2(Td). Ent˜ao
existe uma sequˆencia {Hn} em DΛ tal que
(Hn, (I − LΛ)Hn) −→ (H, (I − LΛ)H)
em L2(Td) × L2(Td). Logo Hn→ H e LΛHn→ LΛH ambos em L2(Td). Substituindo H
por Hn na equa¸c˜ao (3.12), e aplicando o limite, provamos a Proposi¸c˜ao 3.3.
Portanto, de agora em diante, nossos esfor¸cos para concluir a existˆencia de solu¸c˜oes fracas da equa¸c˜ao hidrodinˆamica do processo em estudo se dar˜ao em demonstrar o Lema 3.5.
Lema 3.6. Para H ∈ DΛ, defina o martingal
MtH,N = MtN = hπtN, Hi − hπN0 , Hi − Z t
0
Para todo δ > 0, lim N →∞P N µN sup 0≤t≤T |MN t | > δ = 0. (3.14)
Demonstra¸c˜ao. Para H ∈ C2, a afirma¸c˜ao segue da Desigualdade de Doob e da cota
obtida para a varia¸c˜ao quadr´atica do martingal MN
t em (3.10): lim N →∞P N µN sup 0≤t≤T |MN t | > δ ≤ 1 δ2 N →∞lim E N µN|MTN|2 = 1 δ2 N →∞lim E N µN hMTNi ≤ 1 δ2 N →∞lim T Nd d X j=1 sup u∈Td |∂ujH(u)| 2 = 0.
Para H = h + λh1Λ ∈ DΛ, a primeira desigualdade em (3.10) ainda ´e v´alida, e logo
podemos escrever hMN t i ≤ T N2d−2 d X j=1 X x∈Td N ξx,x+eN j H x + ej N − Hx N 2 = T N2d−2 d X j=1 X x6∈ΓN h x + ej N − hx N 2 (3.15) + T N2d−2 d X j=1 X x∈ΓN ξNx,x+ej H x + ej N − Hx N 2 , (3.16)
com ΓN definido em (3.11). Pelo Teorema do Valor M´edio, a parcela (3.15) ´e limitada
superiormente por T Nd d X j=1 sup u∈Td ∂ujH(u) 2 ,
e portanto tende a zero quando N tende a infinito. Quanto a parcela (3.16), x/N e (x + ej)/N podem estar em quatro situa¸c˜oes distintas:
(i) Nx ∈ Λ , x+ej N ∈ Λ; (ii) x N ∈ Λ C , x+ej N ∈ Λ C; (iii) Nx ∈ Λ , x+ej N ∈ Λ C; (iv) Nx ∈ ΛC , x+ej N ∈ Λ.
Pela Defini¸c˜ao 2.1, a situa¸c˜oes (i) e (ii) implicam ξx,x+eN j H x + ej N − Hx N 2 ≤ h x + ej N − hx N 2 ,
a situa¸c˜ao (iii) implica
ξNx,x+ej H x + ej N − Hx N 2 ≤ h x + ej N − hx N − λh 2 ,
e a situa¸c˜ao (iv) implica
ξx,x+eN j H x + ej N − Hx N 2 ≤ h x + ej N − hx N + λh 2 .
Logo, como (a − b)2+ (a + b)2 = 2a2+ 2b2 para a, b ∈ R, e |ΓN| = O(Nd−1), temos que
(3.16) ´e limitada por 3T N2d−2 d X j=1 X x∈ΓN h x + ej N − hx N 2 + O(N−d+1), (3.17)
e como h ∈ C2, temos por expans˜ao de Taylor que
h x+ej N − h x N 1/N = ∂xjh x N + O(N−1).
Da´ı, conclu´ımos que (3.17) ´e da ordem de N−d+1. Portanto, para H ∈ DΛ,
lim N →∞P N µN sup 0≤t≤T |MN t | > δ ≤ 1 δ2 N →∞lim E N µN|MTN|2 = 1 δ2 N →∞lim E N µN hMTNi ≤ 1 δ2 N →∞lim O(N −d+1 ) = 0.
Note que o termo N2L
N(hπrN, Hi) no martingal em (3.13) pode ser escrito como
LN(hπsN, Hi) = 1 Nd X x∈Td N H(x/N )LN(ηsN(x)) = 1 Nd X x∈Td N H(x/N ) 1 2 X y∈Td N d X j=1 ξy,y+eN j (η N s ) y,y+ej(x) − ηN s (x) = 1 Nd X x∈Td N H(x/N ) " 1 2 d X j=1 ξx,x+eN j[ηsN(x + ej) − ηNs (x)] + ξx−eN j,x[η N s (x − ej) − ηNs (x)] # .
Pelas condi¸c˜oes de fronteira do toro discreto,
d X j=1 X x∈Td N H(x/N ) ξx,x+eN jηsN(x + ej) = d X j=1 X x∈Td N H x − ej N ξx−eN j,xηsN(x), d X j=1 X x∈Td N H(x/N )ξx−eN j,xηsN(x − ej) = d X j=1 X x∈Td N H x + ej N ξx,x+eN jηsN(x).
Portanto, podemos escrever
LN(hπNs , Hi) = 1 2Nd d X j=1 X x∈Td N ηNs (x) ξx,x+eN j H x + ej N − Hx N + ξx,x−eN j H x − ej N − Hx N , o que implica N2LN(hπsN, Hi) = 1 2Nd X x∈Td N ηsN(x)N2LNH(x/N ) = 1 2hπ N r , N2LNHi.
Logo, para H ∈ DΛ qualquer, MtN pode ser escrito como
MtN = hπtN, Hi − hπN0 , Hi − 1 2
Z t
0
hπNs , N2LNHids. (3.18)
O pr´oximo passo ´e mostrar que podemos substituir N2
LN na f´ormula em (3.18) pelo
operador LΛ e que a express˜ao resultante ainda converge em probabilidade para zero.
Tal substitui¸c˜ao (ou reposi¸c˜ao) ´e a motiva¸c˜ao para o nome do pr´oximo resultado que apresentaremos: o Lema de Reposi¸c˜ao.
