Técnicas de Integração
INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS
Prof. Dr. José Ricardo de Rezende Zeni
UNESP, FEG, Depto de Matemática
Guaratinguetá, agosto de 2017
Integral de Função Racional - Teorema
Teorema: a integral (primitiva ou antiderivada)
de uma função racional pode ser escrita como
a combinação linear de uma função racional,
de logaritmos e de funções arcotangente.
Lembrando: uma função racional pode ser escrita
como o quociente de dois polinômios.
Integral de Função Racional
Alguns Exemplos do Teorema
∫
x−a
1
dx = ln(x−a) + c
∫
1
(
x−a)
2dx = −
1
x−a
+
c
∫
m x + k
a
2+
x
2dx = m/2 ln(a
2+
x
2) +
k/a arctan(x/a) + c
∫
6x
2−
9x + 9
x
3−
3x
2dx =
3
x
+
2ln(x) + 4ln(x−3) + c
Expansão em Frações Parciais
Considere que o grau do denominador, q(x), é
maior que o grau do numerador, p(x).
Neste caso, o quociente p(x)/q(x) pode ser
expandido na soma de frações parciais sendo
que a integral de cada fração parcial pode ser
resolvida facilmente.
A expansão de p(x)/q(x) em Frações Parciais
depende do tipo (real ou complexa) de raízes do
denominador e da multiplicidade de cada raiz.
Expansão em Frações Parciais
Contribuição de uma Raiz Real
Frações Parciais Associadas com uma raiz real r do
denominador q(x).
se r é raiz simples (m = 1)
se r é raiz dupla (m = 2)
se r é raiz tripla (m = 3)
e assim por diante. A, B e C são constantes.
A
x−r
A
x−r
+
B
(
x−r)
2A
x−r
+
B
(
x−r)
2+
C
(
x−r)
3Expansão em Frações Parciais
Raízes Reais - Observações
Cada raiz real de multiplicidade m do denominador q(x) contribui com m Frações Parciais para a expansão de p(x)/q(x).
● A soma das multiplicidades de todas as raízes de um
polinômio é igual ao seu grau.
● O número de Frações Parciais na expansão de p(x)/q(x) é
igual ao grau do denominador (incluindo na conta, as frações parciais cujos coeficientes são igual a zero).
● Nos exemplos do slide 3, as raízes do denominador são
reais, exceto o terceiro exemplo que é um caso de raízes complexas.
Expansão em Frações Parciais
Exemplo – grau do denominador igual a 2
2 Raízes reais e distintas, r
1e r
2(raízes simples)
A e B constantes a determinar em função dos coeficiente do numerador, m e k, e das raízes do denominador r1 e r2.
Escrevendo o lado direito sobre o mesmo denominador, obtemos a seguinte igualdade entre polinômios
p(x)
q(x)
=
mx + k
(
x −r
1).(x − r
2)
=
A
x − r
1+
B
x −r
2mx + k = A.(x − r
2) +
B.(x −r
1)
Integração de Funções Racionais
Denominador de grau 2 – Raízes reais
1)
Simmons, exercício 4.2)
Simmons, exercício 3.Dicas:
●
Fatore o denominador,
●
Expanda o integrando em frações parciais,
●Calcule os coeficientes da expansão (A e B),
●Integre as frações parciais.
∫
10 −2x
x
2+
5x
dx
∫
14 x −12
Expansão em Frações Parciais
D
enominador de grau 3 – Raízes reais
3 raízes reais e distintas, r
1,
r
2e r
3(cada raiz simples contribue com uma fração parcial)
1 raiz real simples, r
1, e 1 raiz real dupla, r
2(a raiz dupla contribue com duas frações parciais)
p(x)
q(x)
=
nx
2+
mx + k
(
x −r
1).(x − r
2).(x −r
3)
=
A
x − r
1+
B
x − r
2+
C
x −r
3p(x)
q(x)
=
nx
2+
mx + k
(
x − r
1).(x − r
2)
2=
A
x − r
1+
B
x − r
2+
C
(
x − r
2)
2Integração de Funções Racionais
Denominador de Grau 3 – Raízes Reais
1)
Simmons, exercício 8.2)
Simmons, exercício 10.3)
Thomas, exemplo 7.4)
Simmons, exercício 11.∫
16x
2+
3x −7
x
3−
x
dx
∫
6x
2−
9x + 9
x
3−
3x
2dx
∫
x + 4
x
3+
3x
2−
10x
dx
∫
−4 x
2−
5x −3
x
3+
2x
2+
x
dx
Expansão em Frações Parciais
Denominador de grau 4 – Raízes Reais
1) Escreva a expansão em Frações Parciais para p(x)/q(x) considerando os seguintes casos para as raízes do
denominador (grau p < grau q = 4, todas as raízes de q(x) são reais)
i) 4 raízes simples, ii) 2 raízes simples e 1 raiz dupla, iii) 2 raízes duplas, iv) 1 raiz simples e 1 raiz tripla.
Integração de Funções Racionais
Denominador de grau 4 – Raízes Reais
Calcule as integrais abaixo
2) 3) Simmons, exemplo 3. 4) Thomas, exercício 19.
∫
4 x
2+
2x
x
4−
5x
2+
4
dx
∫
1
(
x
2−
1)
2dx
∫
3x
3−
4 x
2−
3x + 2
x
4−
x
2dx
Integração de Funções Racionais
Raízes reais iguais - Observação
Se as raízes do denominador são todas reais e iguais, isto é, o denominador é da forma q(x) = (x – r)n , então o quociente
p(x)/q(x) pode ser integrado por substituição. Fazendo u = x – r, segue que
O integrando em u pode ser escrito como soma de potências de u, simples de integrar (não é necessário expandir em
frações parciais).
∫
p(x)
(
x −r)
ndx =
∫
p(u+r)
u
ndu
Integração de Funções Racionais
Raízes reais iguais - Exercícios
1) Thomas, exemplo 2. 2) 3) 4)
∫
2x −5
x
2+
6x + 9
dx
∫
x
2+
4
x
3−
3x
2+
3x −1
dx
∫
6x + 7
(
x + 2)
2dx
∫
x
3−
x
(
x −2)
4dx
Expansão em Frações Parciais
Denominador com pelo menos uma raiz
complexa
Considere polinômios com coeficientes reais (funções reais). As raízes complexas de um polinômio aparecem aos pares de complexas conjugadas.
Na fatoração de um polinômio, um par de raízes complexas está associado a um fator quadrático x^2 + bx + c do
polinômio do qual elas são raízes (observe que Δ = b2 – 4c < 0).
A multiplicidade de uma raiz complexa é o expoente do fator quadrático na fatoração do polinômio.
Cada par de raiz complexa conjugada contribui para a expansão em frações parciais de acordo com sua
Expansão em Frações Parciais
Contribuição de raízes complexas
Frações Parciais associadas com um par de raízes complexas conjugadas, associadas ao fator quadrático x² + bx + c de q(x). Raízes complexas simples
Raízes complexas dupla
E assim por diante, conforme a multiplicidade da raiz (uma raiz tripla contribuiria com 3 frações parciais).
Observe que o numerador é, em geral, uma função linear de x, distintamente
Ax + B
x
2+
bx + c
Ax + B
x
2+
bx + c
+
Cx + D
(
x
2+
bx + c)
2Integração de Funções Racionais
Denominador de grau 2 - raízes complexas
(b² – 4 c < 0) Neste caso, o quociente p(x)/q(x) é a própria fração parcial.
A integração é feita completando o quadrado em q(x), isto é, escrevendo q(x) como a soma de dois quadrados
x² + bx + c = (x + b/2)² + (c – b²/4) = u² + a² Substituindo u = x + b/2 e definindo a² = c – b²/4 segue
continua no próximo slide
∫
p(x)
q(x)
dx =
∫
mx + k
x
2+
bx + c
dx
∫
mx + k
x
2+
bx + c
dx =
∫
mu + k'
u
2+
a
2du
(
k' = k−mb/2)
Integração de Funções Racionais
Denominador de grau 2 - raízes complexas
Separando as frações (numerador) obtemos duas integrais básicas para o caso de raízes complexas
Deve-se retornar a variável x e também as constantes do problema original (m, k, b e c), lembrando das definições de u, a e k' afim de obter a solução para
∫
mu
u
2+
a
2du =
m
2
ln(u
2+
a
2)
∫
k'
u
2+
a
2du =
k'
a
arctan(u/a)
∫
p(x)
dx =
∫
mx + k
dx
Integração de Funções Racionais
Denominador de grau 2 - raízes complexas
Exemplos
1) 2)
Thomas, exercício 38 (seção 1)3) 4)
Simmons, exemplo 2 (seção 5)∫
2x+1
x
2+9
dx
∫
dx
x
2+
2x + 10
∫
2
x
2−
6x + 10
dx
∫
3x − 7
x
2+
2x + 5
dx
Expansão em Frações Parciais
Denominador de grau 3 - raízes complexas
Existe apenas um caso: além do par de raízes complexas
conjugadas, associadas ao fator quadrático x² + bx + c, o denominador tem uma raiz real simples, r.
Neste caso, a expansão em frações parciais é
A, B e C são constantes a determinar em função dos
coeficientes n, m e k (do numerador), b e c (do fator quadrático) e da raiz r, resolvendo a seguinte igualdade entre polinômios
p(x)
q(x)
=
nx
2+
mx + k
(
x − r).(x
2+
bx + c)
=
A
x − r
+
B x + C
x
2+
bx + c
nx
2+
mx + k = A.(x
2+
bx + c) + (B x + C).(x − r)
Integração de Funções Racionais
Denominador de grau 3 - raízes complexas
Exemplos
1)
P3, 2013.2)
Thomas, exercício 21.3)
Simmons, exercício 12.4)
P3, 2015.∫
1
x
3+
x
dx
∫
dx
x
3+
x
2+
x + 1
∫
3x
2x
3+
2x
2+
2x
dx
∫
4 x
2+
2x + 4
x
3+
4x
dx
Integração de Funções Racionais
Denominador de grau 4 – Raízes Complexas
1) Escreva a expansão em Frações Parciais para p(x)/q(x)
considerando os seguintes casos para as raízes do denominador i) 2 raízes reais simples e 2 raízes complexas conjugadas,
ii) 1 raiz real dupla e 2 raízes complexas conjugadas, iii) 2 pares de raízes complexas conjugadas (distintas), iv) 2 raízes complexas conjugadas dupla.
Resolva os exercícios abaixo
2) Thomas, exemplo 4 3) Simmons, exemplo 4
∫
x
3+
x
2+
2x −1
dx
Referências Bibliográficas
●
