IT AGRICULTURA IRRIGADA. 7 Funções de produção na

7 – Funções de produção na

agricultura irrigada

7.1 – A água e seus efeitos na produção

agrícola

Os processos fisiológicos envolvidos na produção Os processos fisiológicos envolvidos na produção vegetal tem uma relação muito estreita com a maior ou menor disponibilidade da água para as plantas.

A água é um fator fundamental na produção vegetal. Sua falta ou excesso afeta de maneira decisiva o desenvolvimento das culturas e, devido a isto, seu manejo racional é um imperativo fundamental na maximização da produção agrícola.

Vários foram os estudos realizados a fim de se conhecer as relações entre a produção dos cultivos e o consumo de água.

A partir de 1958, novos conceitos foram desenvolvidos sobre os fatores determinantes da transpiração e da produção em condição de campo.

      = ETo T k Y em que em que

Y – prod. de matéria seca por unidade de área; T – lâmina transp. por unidade de superfície;

k – coef. de cultivo, que depende da espécie cultivada.

      − = ) U 1 ( ´ k T Y R em que em que

U_R – umidade relativa em decimal; k´– coeficiente de cultivo.

      − = − m a m r ET ET 1 Ky Y Y 1 em que em que Y_r – produção real;

Y_m – produção máxima potencial; Et_a – evapotranspiração real;

ET_m – evapotranspiração máxima de cultivo; e

Ky - constante que indica a intensidade de redução da produção.

      − = − m a m r ET ET 1 Ky Y Y 1

sensibilidade das culturas ao suprimento de água pode ser sensibilidade das culturas ao suprimento de água pode ser classificada segundo:

- Baixo (ky < 0,85);

- Baixo/médio (0,85 < ky < 1,00); - Médio/alto (1,00 < ky < 1,15) e - Alto (ky > 1,15).

0.3 0.4 0.5 Y /Y m y = 0,843x R² = 0,7981 y = 0,6532x + 0,0701 R² = 0,9429 0 0.1 0.2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 1 -Y /Y m 1 - ET/ET_m

0.3 0.4 Y /Y m y = 0,9575x R² = 0,7686 y = 0,7433x + 0,0853 R² = 0,9071 0 0.1 0.2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 1 -Y /Y m 1 - ET/ET_m

7.2 – Conceito de Função de Produção

Um princípio básico da economia está relacionado à escassez dos recursos disponíveis contrapondo-se às escassez dos recursos disponíveis contrapondo-se às necessidades do homem que são ilimitadas.

O conceito econômico de função de produção, segundo Frizzone & Andrade Junior (2005), é a relação física entre as quantidades utilizadas de certo conjunto de insumos e as quantidades físicas máximas que podem ser obtidas do produto, para uma dada tecnologia conhecida.

O êxito esperado da agricultura irrigada depende, além da água, de muitos outros fatores complementares, dentre os quais destacam-se os fertilizantes, defensivos e herbicidas, sementes de bom potencial genético, maquinaria e implementos agrícolas adequados, facilidade maquinaria e implementos agrícolas adequados, facilidade de créditos e comercialização dos produtos, disponibilidade de mão-de-obra durante todo o ciclo da cultura, pesquisa aplicada e assistência técnica contínua e permanente, capacitação e organização dos agricultores.

Ao exigir que a função de produção represente o máximo que se pode obter, para um determinado nível tecnológico, com o uso de cada uma combinação de insumos, está se constituindo uma relação funcional entre os insumos e o produto, ou seja, esta definição permite insumos e o produto, ou seja, esta definição permite escrever uma função de produção por meio de uma função matemática da forma: ) U , U , U U , U ( f Y = _{1 2 4 5 6}

)

X

,...,

X

,

X

,

X

(

f

Y

=

7.3 – Resposta da produção à utilização

dos fatores e à Lei dos Rendimentos

Marginais Decrescentes

Em uma função de produção, quando se faz variar um único fator e se mantém os demais constantes, os rendimentos obtidos do produto final podem assumir valores constantes, crescentes e decrescentes.

Os rendimentos constantes ocorrem quando a

7.3.1 Rendimentos constantes

Os rendimentos constantes ocorrem quando a aplicação de cada unidade do fator variável, mantidos os demais constantes, produzem acréscimos iguais no produto obtido, caracterizando uma relação linear.

Se a aplicação de uma determinada fórmula de adubo químico nas quantidades de 50, 100, 150 e 200 kg ha-1 _{provocam aumentos de 200, 400, 600 e 800 kg ha}-1_,

respectivamente, estamos diante de rendimentos constantes, ou seja, cada 50 kg ha-1 _{do adubo aplicado}

resulta em aumentos de 200 kg ha do produto.

Em funções de produção de natureza quadrática, a relação linear pode estar presente no primeiro ramo da função, quando aplicações do insumo variável são feitas em pequenas quantidades.

constantes, ou seja, cada 50 kg ha do adubo aplicado resulta em aumentos de 200 kg ha-1 _{do produto.}

No entanto, de um modo geral, a função de produção linear não reflete o comportamento da produção agrícola, dadas as especificidades inerentes à exploração das plantas

7.3.2 Retornos crescentes

Os retornos crescentes existem quando a aplicação de diferentes quantidades de um fator variável, mantendo os demais constantes, leva a aumentos no produto total, mais que proporcional às quantidades do fator variável aplicado.

Rendimentos crescentes podem ser verificados em pequenas propriedades com pouca aplicação de capital ou quando as primeiras unidades do fator variável são utilizadas com as quantidades fixas para os demais são utilizadas com as quantidades fixas para os demais fatores.

Os retornos decrescentes são conhecidos como a Lei dos Rendimentos Decrescentes ou mais precisamente Lei da Produtividade Marginal Decrescente, a qual estabelece que à medida que Decrescente, a qual estabelece que à medida que quantidades iguais de um recurso variável são acrescentadas, enquanto as quantidades dos demais recursos permanecem constantes, a quantidade do produto total vai aumentando até determinado ponto, a partir do qual, os acréscimos observados serão cada vez menores.

7.4 – Produto Médio e Produto Marginal

Duas importantes relações derivadas da função de Duas importantes relações derivadas da função de produto total são as relações de produto médio e produto marginal.

PRODUTO MÉDIO de um recurso pode ser expresso pela relação entre a quantidade do produto total (Y) e a quantidade do recurso (X) utilizado. Normalmente o produto médio se refere à utilização dos recursos variáveis.

Quando a função de produção é linear, o produto médio é constante. Se a função de produção apresenta rendimentos decrescentes, o produto médio será sempre decrescente à medida que a quantidade do fator variável aumenta, e vice-versa.

decrescente à medida que a quantidade do fator variável aumenta, e vice-versa.

Se a função apresenta ao mesmo tempo rendimentos crescentes e decrescentes, o produto médio será crescente no início, atingirá um máximo e depois diminuirá.

PRODUTO MARGINAL ou produtividade marginal pode ser expresso pela quantidade que é adicionada ao produto total quando uma unidade adicional do fator variável é utilizada.

Valores médios de rendimento (kg ha ) de grãos de caupi em função da lâminas totais de água.

PRODUTO MARGINAL ou produtividade marginal pode ser expresso pela quantidade que é adicionada ao produto total quando uma unidade adicional do fator variável é utilizada.

Generalizando, o produto médio e o produto marginal podem ser representados pelas equações a seguir:

n W Y PMe = n W Y PMg ∆ ∆ =

A análise do produto médio e do produto marginal pode ser ampliada para um melhor entendimento dessas relações.

Sabendo que PMe é a relação entre Y e W, PMg representa a declividade de qualquer linha traçada a partir da origem até qualquer ponto da curva de produto total.

200 250 300 350 400 450 500 R e n d im e n to d o c a u p o i (k g h a -1 ) 447,47 kg ha-1 a

Na Figura, a linha 1 traçada a partir do valor em que a produção é nula (W = 37,2 mm), intercepta a curva de produto total no ponto “a”, sendo o produto médio neste ponto igual a 2,11 kg ha-1 _{por mm de água aplicada. Neste}

ponto, o PMg = 0. 0 50 100 150 0 50 100 150 200 250 300 350 Lâmina (mm) R e n d im e n to d o c a u p o i (k g h a 211,92 mm

W 6699315 , 210 2082985 , 6 W 0146408 , 0 W Y PMe = = − + − 2082895 , 6 W 02292816 , 0 dW dY PMg = = − +

2,000 3,000 4,000 5,000 6,000 P M e e P M g 2,71 kg ha-1 _mm-1 -4,000 -3,000 -2,000 -1,000 0,000 1,000 2,000 0 50 100 150 200 250 300 350 Lâmina (mm) P M e e P M g 211,92 mm 120,00 mm

Na Figura, percebe-se que o PMg é decrescente, sendo maior que PMe quando este está crescendo, menor que o PMe quando este está diminuindo e igualando-se ao mesmo, quando este é máximo (Y=323,50 kg ha-1_{; W=}

120,0 mm). 120,0 mm).

A produção máxima é atingida com a aplicação de uma lâmina equivalente a 211,92 mm, e por consequencia, o PMg é zero.

7.5 – Maximização do rendimento físico

A maximização do produto total é obtida a partir da A maximização do produto total é obtida a partir da função de produção Y = f (W, X), satisfazendo-se às seguintes condições: 0 dX dY dW dY = = 0 dX Y d dW Y d 2 2 2 2 < =

7.6 – Os retornos da produção

7.6.1 Estágios de produção

As relações físicas entre insumos fixos e variáveis e seu correspondente produto total definem diferentes etapas no processo produtivo. As funções de produção que englobam as fases de retornos positivos crescentes, retornos positivos decrescentes e retornos negativos podem ser divididas em 3 estágios de produção.

Produtividade do caupi (Y) em função das lâminas de água (W), produto médio (Y/W) e produto marginal (dY/dW)

300 350 400 450 500 R e n d im e n to d o c a u p o i (k g h a -1 ) _{447,47 kg ha}-1 B A 323,50 kg ha-1 0 50 100 150 200 250 300 0 50 100 150 200 250 300 350 Lâmina (mm) R e n d im e n to d o c a u p o i (k g h a 211,92 mm 37,2 mm 323,50 kg ha-1 120,00 mm

Estágio I – Pela Figura, percebe-se que para uma aplicação de água inferior a 37,2 mm, nenhuma produção foi

7.6.1 Estágios de produção

aplicação de água inferior a 37,2 mm, nenhuma produção foi obtida. O intervalo que vai deste nível até 120,0 mm constitui o estágio I - onde o produto marginal é maior que o produto médio da água até o produto médio alcançar um máximo no ponto A, limite do estágio I.

Estágio I – Qualquer nível de água aplicado no estágio I é ineficiente, ou seja, a partir de 37,2 mm,

7.6.1 Estágios de produção

estágio I é ineficiente, ou seja, a partir de 37,2 mm, sempre será possível aumentar a eficiência do uso da água e a eficiência do uso da terra, se for aumentada a lâmina de água aplicada até atingir o ponto A.

Estágio III – corresponde ao intervalo que vai além do ponto de máxima produção obtida (ponto B),

7.6.1 Estágios de produção

do ponto de máxima produção obtida (ponto B), correspondente à aplicação de 211,92 mm de água. Neste estágio, o PMe da água é decrescente, o PMg é negativo e o produto total decresce. Do lado da terra, percebe-se que o produto total por unidade de terra é decrescente, significando que, tanto a eficiência do uso da água como a eficiência do uso da terra diminuem neste estágio.

Estágio III – qualquer nível de água aplicado no estágio III é ineficiente, ou seja, níveis de água aplicados

7.6.1 Estágios de produção

estágio III é ineficiente, ou seja, níveis de água aplicados acima de 211,92 mm, promoverá redução da produção total.

Estágio II – corresponde ao intervalo que vai do ponto A ao ponto B, quando o Pme e o PMg são

7.6.1 Estágios de produção

ponto A ao ponto B, quando o Pme e o PMg são decrescentes, mas o PMg é positivo e a produção total continua crescer. Neste estágio, a eficiência do uso da água diminui, mas a eficiência do uso da terra continua aumentando, até a fronteira com o estágio III, a partir do qual os dois fatores tem as suas eficiências reduzidas, além da produção total começar a diminuir.

7.7 – Tipos de funções de produção

As funções de produção são representadas por equações algébricas e podem assumir diversas formas, sendo dependentes dos fatores que afetam o processo sendo dependentes dos fatores que afetam o processo produtivo (solo, clima, cultura, tratos culturais, ...)

Devem ser determinadas experimentalmente, com base em fundamentos teóricos e processos investigatórios apropriados, devendo representar o mais aproximado possível, as relações funcionais existentes entre os insumos utilizados na obtenção do produto final.

7.7 – Tipos de funções de produção

Teoricamente existe um número infinito de funções diferentes que podem representar matematicamente um diferentes que podem representar matematicamente um processo de produção na agricultura irrigada. Entretanto, as pesquisas desenvolvidas nos últimos anos revelaram alguns modelos, que dentro de certas premissas e restrições, podem representar adequadamente as relações de produção na agricultura, e por isso são utilizadas frequentemente.

7.7 – Tipos de funções de produção

7.7.1 – Funções com uma variável - Função Cobb-Douglas b

W

a

Y

=

W

W

a

b

dW

dY

=

“a” é uma constante e “b” é a taxa de variação do produto quando W varia.

Na equação, se b = 1, o PMg e o PMe serão iguais ao valor de “a”; se b > 1, o PMg cresce quando W aumenta; se b < 1, o PMg diminui quando o valor de W aumenta.

Uma das restrições da função Cobb-Douglas é que ela não é adequada para os casos em que existem, no processo produtivo, intervalos de produtividade marginal crescente e produtividade marginal decrescente.

7.7 – Tipos de funções de produção

– Funções polinomiais

A funções polinomiais de graus diversos tem sido muito utilizadas na estimativa de funções de produção na agricultura irrigada. A forma polinomial pode ser generalizada conforme a expressão:

n n 2 2 1 0

b

W

b

W

...

b

W

b

Y

=

+

+

+

+

O parâmetro “b₀” representa o efeito combinado dos fatores fixos; “b₁ e b₂” representam as taxas de variações de Y quando W e W2 _{variam, respectivamente, mantidos os}

demais fatores constates. demais fatores constates.

5 , 0 2 1 0 b W b W b Y = − +

7.7 – Tipos de funções de produção

7.7.2 – Funções com mais de uma variável - Funções quadráticas

WX

b

X

b

W

b

X

b

W

b

b

Y

=

+

+

−

−

±

7.8 – Métodos de geração de funções

de produção na agricultura irrigada

É importante ressaltar os principais aspectos É importante ressaltar os principais aspectos relacionados à geração de funções de produção, especialmente aquelas voltadas para a agricultura irrigada, considerando sua importância no mundo atual, onde a escassez de água já é uma realidade em muitas regiões do planeta.

7.8 – Métodos de geração de funções

de produção na agricultura irrigada

Independente da forma de ajuste e condução do Independente da forma de ajuste e condução do experimento, é desejável fazer comparações dos resultados obtidos em campos experimentais, com aqueles conhecidos pelos agricultores, como elemento complementar na formulação das conclusões finais.

7.8 – Métodos de geração de funções

de produção na agricultura irrigada

7.8.1 Elementos a serem observados

- Solo (fertilidade, AFD, taxa de infiltração, Ds, Ko, etc.)

- práticas culturais

- sistemas de irrigação - mão de obra

a) Casualização

7.8.1 Elementos a serem observados

É o processo que distribui as unidades experimentais (parcelas) dentro do delineamento de forma completamente ao acaso, e não por processo de escolha. Dessa forma, cada parcela do delineamento tem iguais chances de receber os tratamentos que serão testados na pesquisa.

b) Repetição

7.8.1 Elementos a serem observados

O uso da repetição dos tratamentos testados possibilita a estimativa do erro experimental, e permite a obtenção de resultados médios, que é o que interessa na pesquisa. Qualquer que seja a fonte de erro experimental, a repetição diminui o erro associado com a diferença entre os resultados comuns de duas combinações de tratamento, desde que tenham sido distribuídos aleatoriamente nas parcelas.

c) Bloqueamento

7.8.1 Elementos a serem observados

É a distribuição dos tratamentos em parcelas constituindo blocos, de tal maneira que não haja heterogeneidade dentro de um mesmo bloco, podendo haver variabilidade entre eles. A finalidade de se adotar o delineamento em blocos é identificar fontes de variação que na ausência do bloqueamento seria creditado ao erro experimental.

d) Intervalo de aceitação

7.8.1 Elementos a serem observados

Equações que representam as relações entre os fatores de produção e os produtos obtidos ajustadas as partir de dados experimentais, tem os seus resultados válidos para o intervalo de tratamentos delineados. Na agricultura irrigada, se o intervalo de dados for relativamente grande, maior aplicabilidade terá a função para explicar as variações do produto, pelas variações das lâminas de água aplicadas.

a) Sulcos

7.8.2 Métodos de irrigação utilizados

b) Aspersão em linha (line-source) c) Gotejamento

a) Delineamento inteiramente casualizado

7.8.3 Principais delineamentos utilizados

b) Delineamento em blocos inteiramente casualizado c) Delineamento em parcelas subdivididas (split plot)

- Erros de estimativa (experimentais ou não)

7.8.4 Estimativa das funções

a) Variância do erro e dos parâmetros b) Coeficiente de determinação

7.9 – Maximização do rendimento físico

e da receita líquida

7.9.1 Definições básicas

a) Receita total, receita média, receita marginal e receita líquida 7.9.1 Definições básicas Y P RT = _y

Y

RT

RMe

=

∑

Derivando a equação de RL em relação à W e a qualquer insumo X:

7.9.2 Maximização da receita líquida

qualquer insumo X: x y w y P X Y P X RL e P W Y P W RL − ∂ ∂ = ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ Na condição de maximização de RL:

0

P

X

Y

P

e

0

P

W

Y

P

−

=

∂

∂

=

−

∂

∂

Seja a função de produção para o melão (Y), tendo como variáveis água de irrigação (W) e a adubação nitrogenada (X) : 7.9.3 Exemplo prático Seja P_w= R$0,50/mm; P_x = R$1,00/kg; P_y = R$2,00/kg 2 2

X

329

,

1

W

0627

,

0

X

39

,

591

W

26

,

26

37941

Y

=

−

+

+

−

−

Sendo CF = R$ 5.326,02, determinar as quantidades de água e nitrogênio que maximizam a receita líquida.

mm 42 , 207 W 0 , 2 5 , 0 W 1254 , 0 26 , 26 − = → =

X

W

∂

∂

Substituindo os valores de W e X na função de produção obtém-se Y = 30.598,73 kg ha-1_.

A receita bruta ou total: R$ 61.197,45. A receita líquida é R$ 55.545,41.

Professor Daniel Fonseca de Carvalho

D.S. ENGENHARIA DE ÁGUA E SOLO

Instituto de Tecnologia - Depto. de Engenharia

BR 465, km 7 - Seropédica-RJ - 23.890-000

(21) 2682-1864;

(21) 2682-1864;

e-mail: carvalho@ufrrj.br