Teste do sistema de submiss˜ao de provas pelo Google Classroom 16 de abril de 2021 - turmas C/D
RA: Nome:
Quest˜ao: Q1 Q2 Q3 Total:
Valor: 2 4 4 10
Nota:
Instru¸c˜oes para realiza¸c˜ao e entrega de sua prova:
1. Essa atividade ter´a in´ıcio `as 07h30 do dia 16/04. Vocˆe ter´a duas horas para resolver a atividade e mais 30 minutos para preparar um arquivo com sua resolu¸c˜ao e enviar atrav´es do formul´ario “Entrega do Teste” em sua turma no Google Classroom.
2. Vocˆe dever´a escrever a resolu¸c˜ao das quest˜oes em folhas de papel sulfite branca. Respostas n˜ao acompanhadas de argumentos que as confirmem n˜ao ser˜ao consideradas.
3. Vocˆe dever´a colocar seu nome, RA e sua assinatura em todas as folhas e numerar as p´aginas no formato {p´agina atual}/{total de p´aginas}. Uma nova quest˜ao sempre deve ser iniciada numa p´agina nova, isto ´e, nenhuma p´agina deve ter partes de mais do que uma quest˜ao.
4. A digitaliza¸c˜ao da prova deve estar suficientemente leg´ıvel e entregue preferencialmente como um ´unico arquivo .pdf.
5. Caso vocˆe tenha algum problema para submeter sua prova pelo Google Classroom, envie os arquivos escaneados por e-mail para seu professor (dentro do per´ıodo de realiza¸c˜ao da prova).
6. IMPORTANTE: Na primeira p´agina da sua prova dever´a constar a seguinte declara¸c˜ao (manuscrita) e sua assinatura:
“Declaro que n˜ao estou recebendo ajuda de outras pessoas durante o per´ıodo de realiza¸c˜ao da prova, nem fa¸co uso de recursos n˜ao permitidos. Comprometo-me a n˜ao compartilhar qualquer assunto referente a esta prova por 48h ap´os sua realiza¸c˜ao.”
Q1. (2 pontos) Encontre todos os valores de x tais que |2x − 3| ≤ 1.
Solu¸c˜ao: A equa¸c˜ao modular |2x − 3| ≤ 1 pode ser reescrita como −1 ≤ 2x − 3 ≤ 1.
Somando 3 em todos os termos, obtemos
2 ≤ 2x ≤ 4. Dividindo todos os termos por 2, obtemos
1 ≤ x ≤ 2, que ´e a solu¸c˜ao:
Q2. (4 pontos) Calcule
lim
x→+∞
3x2+ x + 4 x2 − 1 .
Solu¸c˜ao: Seja
f (x) = 3x
2+ x + 4
x2− 1 ,
definida para x 6= ±1 (pois esses valores anulam o denominador). Note que f (x) = 3x 2+ x + 4 x2− 1 = x2 3 + 1 x + 4 x2 x2 1 − 1 x2 = x2 3 + 1 x + 4 x2 x2 1 − 1 x2 = 3 + 1 x + 4 x2 1 − 1 x2
Agora podemos calcular limx→∞f (x) em cada um dos termos e juntar tudo (desde que
todos os limites existam!). Como lim x→∞ 1 x = 0 e lim x→∞ 1 x2 = 0 segue que lim x→∞f (x) = limx→∞ 3 + 0 1 x + 0 4 x2 1 − 0 1 x2 = 3 1 = 3
Observa¸c˜ao: Note que esse exerc´ıcio ´e parte de um resultado mais geral: sejam p(x) = anxn+ . . . + a1x + a0
e
q(x) = bnxn+ . . . + b1x + b0
dois polinˆomios com an 6= 0 e bn6= 0 (ou seja, eles tem grau n). Ent˜ao
lim x→∞ p(x) q(x) = an bn .
Q3. (4 pontos) Mostre que a equa¸c˜ao x3− 9x
5 +
cos(x) x = 0
tem solu¸c˜ao positiva, ou seja, existe x0 > 0 que resolve a equa¸c˜ao.
Solu¸c˜ao: Note que n˜ao conseguiremos resolver essa equa¸c˜ao de forma “fechada”, ou seja, usando algum m´etodo parecido com a “f´ormula de Bh´askara”. Seja
g(x) = x3− 9x 5 +
cos(x) x ,
com x 6= 0. A fun¸c˜ao g ´e cont´ınua, pois ´e combina¸c˜ao de um polinˆomio com uma fun¸c˜ao trigonom´etrica.
Se encontrarmos valores a, b ∈ R tais que g(a) < 0 e g(b) > 0 e g ´e cont´ınua em [a, b], ent˜ao o Teorema do Valor Intermedi´ario nos garantir´a que existe x0 ∈ (a, b) tal
que g(x0) = 0. Esse valor de x0 resolve a equa¸c˜ao do enunciado, pois g(x0) = 0 ´e
equivalente a x30 −9x0 5 + cos(x0) x0 = 0.
Vamos ent˜ao procurar tais valores, calculando alguns valores da fun¸c˜ao. • g(1) = 1 − 9 5+ cos(1) = − 4 5 + cos(1) • g(2) = 8 − 18 5 + cos(2) 2 = 22 5 + cos(2) 2
Para estimar g(1), precisamos estimar cos(1). Como podemos fazer isso? N˜ao precisa-mos do valor exato, s´o de uma aproxima¸c˜ao. Vamos olhar para o ciclo trigonom´etrico.
Somando −4
5 em todos os lados da desigualdade, podemos estimar g(1) por √ 2 2 − 4 5 > − 4 5 + cos(1) > − 4 5+ 1 2, ou seja, √ 2 2 − 4 5 > g(1) > − 4 5 + 1 2. Note que tanto
√ 2 2 − 4 5 quanto − 4 5 + 1
2 s˜ao negativos, portanto g(1) ´e negativo. Se provarmos que g(2) ´e positivo, estaremos nas hip´oteses do TVI e garantiremos a existˆencia de um zero entre 1 e 2. Como fazer isso?
Como g(2) = 22 5 + cos(2) 2 e 22 5 > 4, segue que 22 5 + cos(2) 2 > 3, pois certamente temos
cos(2) 2 < 1,
ent˜ao o termo cos(2)/3 n˜ao far´a com que g(2) deixe de ser positivo.
Portanto, g(1) < 0, g(2) > 0 e existe x0 ∈ (1, 2) tal que g(x0) = 0. Vocˆe pode encontrar
uma aproxima¸c˜ao para essa solu¸c˜ao usando o Mathematica, com o comando NSolve[x^3 - 9*x/5 + Cos[x]/x == 0, x, Reals, 20]
Com essa comando, obtemos a aproxima¸c˜ao com 20 casas: x0 ≈ 1, 2720477784428380897...
