Cálculo Infinitesimal I prof. Felipe Acker

(1)

C´

alculo Infinitesimal I

prof. Felipe Acker

N ´

UMEROS

1 Introdu¸

c˜

ao

Uma apresenta¸cão rigorosa dos números deveria, provavelmente, come¸car pelos fundamentos da lógica e da teoria dos conjuntos para, em seguida, con-struir sucessivamente os naturais, os inteiros, os racionais, os reais e os com-plexos. Esta é uma escada cujos degraus têm alturas diferentes: come¸car da lógica poderia nos tomar um curso inteiro. Estas notas não têm tal ambi¸cão e

devem, portanto, ser tomadas apenas como uma indica¸c˜ao do percurso.

Par-tiremos dos naturais e discuPar-tiremos brevemente como passar da´ı aos inteiros, e destes aos racionais. O degrau que mais nos interessa, do ponto de vista da Análise, é o que corresponde à passagem dos racionais aos reais. Nele nos deteremos um pouco mais.

Uma introdu¸c˜ao elementar e bem escrita dos fundamentos da L´ogica e

da Teoria dos Conjuntos est´a no livro Teoria ingˆenua dos conjuntos, de Paul Halmos (Naive set theory).

Em cada caso (Naturais, Inteiros, Racionais, Reais e Complexos),

procu-raremos caracterizar o sistema num´erico em quest˜ao por um conjunto de

axiomas. Isto significa que vamos fixar, em cada caso, um conjunto de

propriedades b´asicas a partir das quais nossos teoremas devem poder ser

demonstrados. Esta ´e uma forma de organizar o conhecimento matem´atico

que remonta `a Gr´ecia antiga e tem nos Elementos, de Euclides, o primeiro

grande exemplo1.

A maior parte do trabalho é deixada como exerc´ıcio; resultados essencial-mente óbvios são usados livremente, ficando a critério do leitor a decisão de demonstrá-los detalhadamente ou não .

1_{O sonho de axiomatizar toda a Matem´}_{atica tem suas limita¸}_c˜_{oes : em 1932, Kurt}

Gödel demonstrou que, mesmo que nos limitemos aos números naturais, não é poss´ıvel fixar um conjunto finito de axiomas a partir do qual se possa decidir, de cada senten¸ca, se ´

(2)

2 Um m´ınimo de linguagem

Para fixar um pouco as id´eias, vamos apresentar informalmente um pouco

da nota¸cão e alguns conceitos básicos envolvendo conjuntos e fun¸cões . Us-aremos livremente os s´ımbolos ⇒, ⇔, ∀, ∃ e | :

p ⇒ q significa se p ent˜ao q, ou p implica q;

p ⇔ q significa p se e somente se q, ou p ´e equivalente a q; ∀ se lˆe para todo;

∃ se lˆe existe;

x | p se lˆe x tal que p;

usaremos tamb´em, `as vezes, sss no lugar de se e somente se. O s´ımbolo ∃! significa existe um e somente um.

Se x ´e um elemento do conjunto X, diremos que x pertence a X e

usaremos a nota¸c˜ao x ∈ X. Se o conjunto A ´e subconjunto de X, diremos

que A est´a contido em X (A ⊂ X), ou que X cont´em A (X ⊃ A). Isto

significa que todo elemento de A ´e tamb´em elemento de X, ou seja: A ⊂ X ⇐⇒ (x ∈ A ⇒ x ∈ X).

Para provar a igualdade entre os conjuntos A e B ser´a preciso, em

geral, provar que A ⊂ B e B ⊂ A. A primeira parte desta prova come¸ca por Seja x ∈ A

e termina quando conclu´ımos que x ∈ B; a segunda come¸ca com Seja x ∈ B

e termina quando provamos que x ∈ A.

Um conjunto ´e usualmente definido apresentando explicitamente seus

el-ementos ou por meio de uma propriedade que os caracterize:

X = {a, b, c} significa que X ´e o conjunto cujos elementos s˜ao precisa-mente a, b e c;

X = {x ∈ Y | p(x)} significa que X ´e o conjunto cujos elementos s˜ao

precisamente aqueles que est˜ao em Y e satisfazem `a propriedade p.

Dados dois conjuntos A e B, definimos A \ B (A menos B) por A \ B =

{x ∈ A|x /∈ B}. Se todos nossos conjuntos, em um determinado contexto,

s˜ao subconjuntos de um certo X, X \ A ´e chamado de complementar de

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O produto cartesiano dos conjuntos X e Y , X × Y , ´e definido por X × Y = {(x, y)|x ∈ X, y ∈ Y }.

Para evitar considerar par ordenado como um conceito primitivo, pode-mos definir, dados x e y, o par ordenado (x, y) por

(x, y) = {x, {x, y}}

(´e uma defini¸c˜ao meio extravagante, mas funciona).

Uma fun¸c˜ao f entre os conjuntos X e Y pode ser definida sem o uso

da palavra regra. Basta especificarmos todos os pares ordenados do tipo (x, f (x)). De maneira um pouco mais pedante, diremos que um subconjunto f de X × Y ´e uma fun¸c˜ao (notada por f : X → Y ) se

∀x ∈ X ∃! y ∈ Y | (x, y) ∈ f.

(esta defini¸c˜ao vem acompanhada da nota¸c˜ao y = f (x) para y tal que (x, y) ∈

f ). X ´e chamado de dom´ınio de f , Y ´e chamado de contradom´ınio de f

e f (X) = {y ∈ Y |∃x ∈ X|(x, y) ∈ f } ´e chamado de imagem de f . Mais

geralmente, se A ⊂ X, a imagem de A por f ´e o conjunto f (A) = {y ∈

Y | ∃x ∈ A | f (x) = y}. O elemento f (x) de Y tamb´em ´e chamado de

imagem de x por f .

Uma fun¸c˜ao f ´e dita injetiva, injetora ou biun´ıvoca, se f (a) = f (b) ⇒ a = b;

sobrejetiva, sobrejetora ou sobre, se

∀y ∈ Y ∃x ∈ X | y = f (x).

Se for injetiva e sobrejetiva, f é dita bijetiva, ou bijetora. Neste último caso, podemos definir a fun¸cão inversa, notada por f−1 e definida por

f−1 = {(y, x) | (x, y) ∈ f }.

No caso geral, a nota¸c˜ao f−1 ´e usada para a imagem inversa de um

subconjunto B de Y :

f−1(B) = {x ∈ X | f (x) ∈ B}

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3 Os naturais

Uma das maneiras mais simples de caracterizar nossos velhos amigos na-turais, os números de contar, é descrevê-los por um conjunto de axiomas, devido a Peano, que apresentamos a seguir.

Postulado: Existem um conjunto, IN (conhecido como conjunto dos

n´umeros naturais) e uma fun¸c˜ao S : IN → IN , com as seguintes

pro-priedades:

• (i)S ´e injetiva;

• (ii)existe em IN um elemento 0 tal que 0 /∈ S(IN );

• (iii) Se A ´e um subconjunto de IN tal que 0 ∈ A e S(A) ⊂ A, ent˜ao

A = IN .

Exerc´ıcio: S(n) é o sucessor de n, o seguinte, o próximo da fila. Traduza S(n) por n + 1 e entenda o significado dos axiomas acima. (iii) é conhecido como princ´ıpio da indu¸cão . Note que o elemento 0, citado em (ii) e (iii), também poderia ser o 1.

Exerc´ıcio: Mostre que n˜ao pode haver em IN um segundo elemento ˜0 tal que ˜

0 /∈ S(IN ). Sugestão : considere A = IN \n˜0oe use o princ´ıpio da indu¸cão . Exerc´ıcio: Mostre que a injetividade de S é indispensável. Sugestão : senão , poder´ıamos fazer IN = {0, 1}, com S(0) = 1 e S(1) = 1.

Observa¸cão: Uma idéia para construir um conjunto com as propriedades acima (que seria um modelo concreto para IN ) é defini-lo a partir de seus elementos, que seriam: 0 = φ, 1 = {φ}, 2 = {φ, {φ}}, 3 = {φ, {φ} , {φ, {φ}}} . . .. De qualquer forma, ter´ıamos que postular a existência de tal conjunto.2

O que costumamos chamar de defini¸cão por indu¸cão requer a demonstra¸cão do seguinte resultado fundamental:

2_{Esta defini¸}_c˜_{ao parece t˜}_{ao “concreta”, que a necessidade de um tal postulado pode}

parecer um exagero; no entanto, uma postura excessivamente ingênua, na Teoria dos Conjuntos, pode levar a paradoxos. Um dos mais famosos é o Paradoxo de Russel : seja p(x) a propriedade x não pertence a x e seja A = {x | p(x)}; então é fácil concluir que A pertence a A sss A não pertence a A.

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Teorema da Recursão : Se X é um conjunto, ϕ : X → X é uma fun¸cão e a ∈ X, então existe uma fun¸cão f : IN → X tal que f (0) = a e f (S(n)) = ϕ(f (n))∀n ∈ IN .

Demonstra¸cão : Vamos definir a fun¸cão f , como manda o regulamento, como um subconjunto do produto cartesiano IN × X (de maneira algo sinistra, é verdade). Consideremos a cole¸cão F de todos os subconjuntos F de IN × X tais que:

(i)(0, a) ∈ F ;

(ii)(n, x) ∈ F ⇒ (S(n), ϕ(x)) ∈ F . Seja agora f o menor elemento de F , isto ´e:

f = {(m, y) ∈ IN × X|(m, y) ∈ F ∀F ∈ F } .

Note que f ∈ F e f ⊂ F ∀F ∈ F .Vamos mostrar que f é a fun¸cão que queremos. Para come¸car, devemos provar que f (n) está definido para todo n em IN . Seja pois A = {n ∈ IN |∃y ∈ X, (n, y) ∈ f } e provemos que A = IN . Como (0, a) ∈ F ∀F ∈ F , temos 0 ∈ f .Além disto, se n ∈ A, então existe y ∈ X|(n, y) ∈ f , o que significa que (n, y) ∈ F ∀F ∈ F , o que implica em (S(n), ϕ(y)) ∈ F ∀F ∈ F , o que nos dá S(n) ∈ A. Logo, pelo princ´ıpio da indu¸cão , A = IN .

Resta provar que (n, x) ∈ f, (n, y) ∈ f ⇒ x = y. Como já provamos que, para cada n ∈ IN , existe um y ∈ X tal que (n, y) ∈ f , basta provar que, se B é o conjunto dos n ∈ IN tais que tal y é único, então B = IN . Comecemos mostrando que 0 ∈ B. De fato: temos (0, a) ∈ f ; se (0, b) ∈ f , com b 6= a, podemos considerar F = f \ {(0, b)}; ter´ıamos então F ∈ F mas f não pode ser subconjunto de F . Suponhamos agora que n ∈ B e provemos que S(n) ∈ B. Se n ∈ B, existe um ´

unico y ∈ X tal que (n, y) ∈ f . Podemos então garantir que (S(n), ϕ(y)) ∈ f . Se (S(n), z) ∈ f , com z 6= ϕ(y), podemos considerar F = f \ {(S(n), z)} e observar que F ∈ F , mas f não está contido em F , o que é imposs´ıvel. Logo, S(n) ∈ B, o que mostra que B = IN e completa a demonstra¸cão .

Uma fun¸cão cujo dom´ınio é IN é chamada uma seqüência (ou, eventualmente, uma sucessão ).

A constru¸cão das opera¸cões de adi¸cão e multiplica¸cão de números naturais, a partir dos axiomas de Peano, é uma tarefa interessante (e trabalhosa, se nos dispusermos a provar cada uma das propriedades que utilizamos quotidianamente), `

a qual não vamos nos dedicar. Uma pequena amostra é dada nos três exer¸cicios a seguir.

Exerc´ıcio: Defina, fixado n em IN , n + 0 = n, n + S(m) = S(n + m). Prove que a adi¸cão assim definida é comutativa e associativa. Note que a defini¸cão seria ligeiramente diferente se come¸cássemos IN em 1. Mostre que da defini¸cão decorre que S(n) = n + 1∀n ∈ IN . Mostre que, se m + n = 0, então m = 0 ou n = 0.Mostre que m + p = n + p ⇒ m = n.

Exerc´ıcio: Defina, fixado n em IN , n0 = 0, nS(m) = (nm) + n. Prove que a multiplica¸cão assim definida é comutativa e associativa. Prove também a pro-priedade distributiva. Mostre que, se mn = 0, então m = 0 ou n = 0. Mostre que mp = np, p 6= 0 ⇒ m = n.Como seria a defini¸cão se escolhêssemos come¸car IN em 1?

Exerc´ıcio: Defina, para n e m em IN , a rela¸cão de ordem n ≤ m por: ∃p ∈ IN |n + p = m (note que, se IN come¸casse em 1, esta defini¸cão corresponderia a n < m). Defina n ≥ m por m ≤ n, n < m por n ≤ m e n 6= m, n > m por m < n. Mostre que, se n ≤ m e k ∈ IN , então k + n ≤ k + m e kn ≤ km. Mostre que, dados quaisquer naturais m e n, sempre se tem m ≤ n ou n ≤ m. Mostre que

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a ≤ b e b ≤ c ⇒ a ≤ c. Mostre que a ≤ b e b ≤ a ⇒ a = b. Seja 1 = S(0); mostre que n˜ao existe n em IN tal que 0 < n e n < 1. Mostre que, para qualquer n ∈ IN , n˜ao existe m em IN tal que n < m < S(n).

Dois resultados referentes `a ordem merecem ser destacados. O primeiro ´e o

Princ´ıpio da Boa Ordena¸cão : Se A é um subconjunto não vazio de IN , então A tem um menor elemento.

Demonstra¸cão : Suponhamos que A 6= φ e que A não tem um menor elemento. Seja B = {n ∈ IN | n < m∀m ∈ A}. Então 0 ∈ B, pois, caso contrário, 0 seria o m´ınimo de A. Suponhamos agora que um certo n está em B. Como não há ninguém entre n e S(n), temos S(n) ≤ m ∀m ∈ A. Se §(n) ∈ A, S(n) seria o m´ınimo de A, que estamos supondo não existir. Logo, S(n) ∈ B, o que mostra que B = IN . Mas isto é imposs´ıvel, pois A 6= φ.

O segundo é uma versão bastante útil do princ´ıpio da indu¸cão , conhecido como

Princ´ıpio da Indu¸cão Completa: Se A ⊂ IN é tal que 0 ∈ A e S(n) ∈ A sempre que m ∈ A para todo m ≤ n, então A = IN .

Demonstra¸cão : Seja B = IN \ A. Se B fosse não vazio, B teria um menor elemento b. Como 0 ∈ A, temos b 6= 0, o que nos garante que existe n ∈ IN tal que b = S(n); mas da defini¸cão de b temos m ∈ A∀m ≤ n, o que nos garante que b = S(n) ∈ A, absurdo.

4 Os Inteiros

Os números inteiros são constru´ıdos, a partir dos naturais, da maneira simples que aprendemos no colégio: acrescenta-se a IN o conjunto dos inteiros negativos, que são os naturais diferentes de 0 com um sinal - na frente. As opera¸cões são definidas como de hábito. Chegamos, assim, a um conjunto, que notamos por ZZ, com IN ⊂ ZZ, munido de opera¸cões3 de adi¸cão (+) e multiplica¸cão (), satisfazendo `

as seguintes propriedades:

• (i) x + (y + z) = (x + y) + z para todos x, y e z em ZZ;

• (ii) x + y = y + x para todos x e y em ZZ;

3_{em matematiquˆ}_{es erudito, uma opera¸}_c˜_ao _{definida no conjunto X ´}_{e uma fun¸}_c˜_ao

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• (iii) o elemento 0 de IN ´e tal que x + 0 = x para todo x em ZZ;

• (iv) para todo x em ZZ existe ¯x (denotado por −x) em ZZ tal que x + ¯x = 0; • (v) x(yz) = (xy)z para todos x, y e z em ZZ;

• (vi) xy = yx para todos x e y em ZZ;

• (vii) x(y + z) = (xy) + (xz) para todos x, y e z em ZZ;

• (viii) o elemento 1 = S(0) de IN ´e tal que 1x = x para todo x em ZZ.

Como as opera¸cões em ZZ estendem as que já t´ınhamos em IN , valem também as propriedades, para o conjunto P = IN \ {0}:

• (ix)x + y ∈ P para todos x e y em P ;

• (x) xy ∈ P para todos x e y em P ;

• (xi) se x ∈ ZZ, vale uma e uma s´o das seguintes: x ∈ P , −x ∈ P ou x = 0.

Cabem aqui algumas observa¸cões sobre o que foi escrito acima. Em primeiro lugar, notemos que não pode haver um “segundo zero” nem um “segundo 1”: de fato, se ¯0 é tal que x + ¯0 = x∀x ∈ ZZ, então

¯

0 = 0 + ¯0 = ¯0 + 0 = 0.

Exerc´ıcio: Note que a mesma demonstra¸c˜ao vale com 1 no lugar de 0.

Em segundo lugar, o elemento −x referido em (iv) também é único: se ˜x é tal que x + ˜x = 0, então

˜

x = ˜x + 0 = ˜x + (x + (−x)) = (˜x + x) + (−x) = = (x + ˜x) + (−x) = 0 + (−x) = −x + 0 = −x.

Mas podemos ver algo ainda mais interessante. Suponhamos que não vamos come¸car pelos naturais, mas sim pelos inteiros. Podemos então admitir direta-mente, sem fazer referência a IN , a existência de um conjunto ZZ, munido das opera¸cões de adi¸cão e multiplica¸cão , do qual se destaca um subconjunto P (dos positivos), com as seguintes propriedades:

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• (ii) x + y = y + x para todos x e y em ZZ;

• (iii) existe em ZZ um elemento 0 tal que x + 0 = x para todo x em ZZ;

• (iv) para todo x em ZZ existe ¯x (denotado por −x) em ZZ tal que x + ¯x = 0;

• (v) x(yz) = (xy)z para todos x, y e z em ZZ; • (vi) xy = yx para todos x e y em ZZ;

• (vii) x(y + z) = (xy) + (xz) para todos x, y e z em ZZ;

• (viii) existe em ZZ um elemento 1 6= 0 tal que 1x = x para todo x em ZZ.

• (ix)x + y ∈ P para todos x e y em P ;

• (x) xy ∈ P para todos x e y em P ;

• (xi) se x ∈ ZZ, vale uma e uma s´o das seguintes: x ∈ P , −x ∈ P ou x = 0.

Observe que a unicidade dos elementos 0 e 1 continua valendo, com a mesma demonstra¸c˜ao , assim como a unicidade do sim´etrico referido em (iv).Vejamos o que pode ser diretamente deduzido destas propriedades.

Proposi¸cão : Suponhamos que o conjunto ZZ está munido das opera¸cões de adi¸cão e multiplica¸cão e que tem um subconjunto P , de tal forma que valem as onze propriedades acima. Então :

• (i)−(−x) = x ∀x ∈ ZZ;

• (ii)(−x)y = −(xy) ∀x∀y ∈ ZZ;

• (iii)1 ∈ P

A demonstra¸cão é fácil, do n´ıvel das que acabamos de fazer.

A opera¸cão de subtra¸cão é definida por x − y = x + (−y) e a divisão , quando poss´ıvel, por x ÷ y = z ⇔ yz = x. Definimos, para x e y em ZZ, x < y por (y − x) ∈ P e x ≤ y por x < y ou x = y (é claro que x > y se y < x e x ≥ y se y ≤ x).

Exerc´ıcio: Mostre que x < y, z > 0 ⇒ xz < yz. Mostre tamb´em que x < y, z ∈ ZZ ⇒ x + z < y + z.

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Observemos, porém, que o conjunto dos inteiros não é o único, dos nossos con-hecidos, a possuir as propriedades acima. É fácil ver que o conjunto dos racionais também as possui.

Exerc´ıcio: Mostre que A = nn + m√2, n ∈ ZZ, m ∈ ZZo, com as opera¸c˜oes usuais, satisfaz `as onze propriedades acima.

Para caracterizar ZZ, devemos acrescentar alguma propriedade. Uma poss´ıvel escolha ´e o chamado princ´ıpio da boa ordena¸c˜ao :

• (xii)todo subconjunto não vazio de P tem um menor elemento, isto é: se φ 6= A ⊂ P , então existe a ∈ A tal que a ≤ x∀x ∈ A.

Proposi¸c˜ao : Se definirmos IN por IN = {0} ∪ P e S : IN → IN por S(n) = n + 1, ent˜ao IN satisfaz aos axiomas de Peano.

Demonstra¸cão : S é injetiva, pois x + 1 = y + 1 ⇒ x = (x + 1) − 1 = (y + 1) − 1 = y.0 6= S(n)∀n ∈ IN , pois 0 = n + 1 ⇒ n = −1. Como 1 ∈ P , temos −1 6= 0 e −1 /∈ P . Seja agora A ⊂ IN tal que 0 ∈ A e n ∈ A ⇒ S(n) ∈ A. Provemos que A = IN . Se X = P \ A, basta provar que X = φ. Se x 6= φ, podemos chamar de m o menor elemento de X. Note que m ∈ P e m 6= 1 (pois 1 = S(0) ∈ A). Tudo que temos a provar, agora, é que o menor elemento de P é 1, pois isto nos dá 1 < m e, conseqüentemente, 0 < m − 1 ∈ P ∩ A, o que daria S(m − 1) = m ∈ A. Ora, se a é o menor elemento de P e a < 1, ter´ıamos aa < a1 = a, o que é imposs´ıvel.

Exerc´ıcio: Seja a um inteiro qualquer e sejam INa = {n ∈ ZZ|n ≥ a} , Sa : INa →

INa, Sa(n) = n + 1. Mostre que INa satisfaz aos axiomas de Peano.

Exerc´ıcio: Mostre que A = nn + m√2, n ∈ ZZ, m ∈ ZZo n˜ao satisfaz ao princ´ıpio da boa ordena¸c˜ao .

Exerc´ıcio: Suponha que dois faróis eternos piscam com per´ıodos distintos a e b e que ab−1 é irracional. Suponha também que eles acabam de piscar ao mesmo tempo. Mostre que:

• (i) nunca mais voltar˜ao a piscar ao mesmo tempo;

• (ii) para qualquer natural n e para qualquer real ε > 0, pode-se garantir que piscar˜ao ambos, daqui a mais de n anos, pelo menos uma vez com uma defasagem menor do que ε.

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5 Os Racionais

Os racionais, como sabemos, s˜ao os n´umeros da forma p

q, p ∈ ZZ, q ∈ ZZ, q 6= 0.

Se quisermos criá-los a partir de ZZ, porém, temos que evitar a ambigüidade. Podemos representar a fra¸cão p/q pelo par ordenado (p, q), mas queremos consid-erar iguais pares ordenados que, embora diferentes, deveriam representar o mesmo número. Esta é uma prática comum em Taxonomia, que tem uma defini¸cão precisa em matematiquês erudito. Vamos fazer uma pequena digressão para apresentá-la.

Defini¸cão :Uma rela¸cão de equivalência em um conjunto X é um subconjunto ≡ de X × X (vamos usar a nota¸cão x ≡ y, que se lê x é equivalente a y, no lugar de (x, y) ∈≡)4 _{tal que:}

• (i)x ≡ x ∀x ∈ X; • (ii)x ≡ y ⇒ y ≡ x;

• (iii)x ≡ y, y ≡ z ⇒ x ≡ z.

O conjunto ¯x = {y ∈ X|y ≡ x} ´e chamado de classe de equivalˆencia de x por ≡.

Exerc´ıcio: Note que as classes de equivalência determinam uma parti¸cão de X: cada elemento de X pertence a uma e somente uma classe de equivalência.

O conjunto das classes de equivalˆencia de X por ≡ ´e chamado de espa¸co quociente (ou, mais carinhosamente, quociente) de X por ≡ e notado por X/≡.

Vamos agora usar este conceito para definir os racionais. Seja ZZ∗ = ZZ \ {0} e seja, em ZZ × ZZ∗, a rela¸c˜ao de equivalˆencia

(p, q) ≡ (m, n) ⇔ pn = mq.

Exerc´ıcio: Mostre que esta é, de fato, uma rela¸cão de equivalência. Note que (p, q) ≡ (m, n) significa exatamente que p/q = m/n.

Defini¸cão : O conjunto IQ = ZZ × ZZ∗ é chamado de conjunto dos números racionais. Em IQ são definidas as opera¸cões :

4_{Como no caso das fun¸}_c˜_{oes , para n˜}_{ao introduzir um novo conceito, rela¸}_c˜_{ao, preferimos}

apresentá-lo em termos de conjuntos: a rela¸cão R é definida pelo conjunto dos pares ordenados (x, y) tais que x está relacionado a y por R

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• adi¸c˜ao : (p, q) + (m, n) = (np + qm, qn);

• multiplica¸c˜ao : (p, q)(m, n) = (pm, qn).

Os racionais positivos s˜ao definidos como os que pertencem ao conjunto P das classes de equivalˆencia de pares (m, n), com m e n em IN∗= IN \ {0}.

Exerc´ıcio: Perceba que as defini¸cões acima são óbvias. Mostre que as opera¸cões de adi¸cão e multiplica¸cão estão bem definidas, isto é, independem dos representantes das classes de equivalência que considerarmos.

Exerc´ıcio: Mostre que, sendo Q, P , a adi¸I c˜ao e a multiplica¸c˜ao definidos como acima, valem as seguintes propriedades:

• (i) x + (y + z) = (x + y) + z para todos x, y e z em IQ; • (ii) x + y = y + x para todos x e y em IQ;

• (iii) existe em IQ um elemento 0 tal que x + 0 = x para todo x em IQ; • (iv) para todo x em IQ existe −x em IQ tal que x + (−x) = 0;

• (v) x(yz) = (xy)z para todos x, y e z em IQ;

• (vi) xy = yx para todos x e y em IQ;

• (vii) x(y + z) = (xy) + (xz) para todos x, y e z em IQ;

• (viii) existe em IQ um elemento 1 6= 0 tal que 1x = x para todo x em IQ. • (ix) para todo x em IQ tal que x 6= 0 existe x−1 em IQ tal que xx−1= 1;5

• (x) x + y ∈ P para todos x e y em P ; • (xi) xy ∈ P para todos x e y em P ;

• (xii) se x ∈ IQ, vale uma e uma s´o das seguintes: x ∈ P , −x ∈ P ou x = 0.

Nota¸cão : Se (p, q) ∈ ZZ × ZZ∗, a classe de equivalência (p, q) será notada por p_q (ou por p/q). Caso q = 1, usaremos também a nota¸cão p para (p, q).

Exerc´ıcio: Considere os conjuntosn(n, 1), n ∈ ZZoen(n, 1), n ∈ INo. Note que o primeiro é uma “cópia” de IN e o segundo uma “cópia” de ZZ. Mostre que, mesmo

5_{um conjunto munido de duas opera¸}_c˜_{oes com as propriedades (i) a (ix) acima ´}_{e dito}

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se não soubermos de que é feito IQ, o simples fato de gozar das doze propriedades acima implica na existência de tais cópias. Sugestão : defina ϕ : IQ → IQ por ϕ(x) = x+1 e f : IN → IQ por f (0) = 0 (são zeros diferentes!) e f (S(n)) = ϕ(f (n)); mostre que f é uma bije¸cão e tome f (IN ) ∈ IQ como cópia de IN . Passaremos a designar por IN esta cópia padrão de IN e por ZZ a cópia padrão de ZZ.

Exerc´ıcio: Note que os racionais não são caracterizados pelas propriedades acima, já que os reais, por exemplo, também as possuem. Mostre que

A =nx + y√2, x ∈ IQ, y ∈ IQo tamb´em satisfaz `as doze propriedades acima.

Para caracterizar IQ, podemos impor uma propriedade a mais:

• (xiii) se K ⊂ IQ e K goza das doze propriedades acima, ent˜ao K = IQ.

Exerc´ıcio: Prove que o nosso IQ (que definimos a partir de ZZ) goza desta pro-priedade. Prove que se K ⊂ IQ, basta que K goze das propriedades (i) a (ix), para que se tenha K = IQ.

Como de hábito, definimos, para x e y em IQ, x < y por x − y ∈ P (com as defini¸cões habituais para x ≤ y, x > y e x ≥ y). Para x em IQ definimos o valor absoluto (tambm dito módulo) de x, |x|, por

|x| =      x, x > 0 0, x = 0 −x, x < 0.

Exerc´ıcio: Sejam x e y n´umeros racionais. Mostre que |xy| = |x||y|. Mostre que |x + y| ≤ |x| + |y|. Mostre que |x − y| ≥ ||x| − |y||.

Uma propriedade fundamental e óbvia, mas que desempenha um papel central (entre outras coisas, por estar na base dos sistemas de numera¸cão) e merece ser destacada, é a seguinte:

Proposi¸c˜ao : Seja a ∈ IQ, a 6= 0. Para cada racional q existe um ´unico inteiro n tal que na ≤ q < (n + 1)a.

Demonstra¸cão : Vamos considerar apenas o caso em que a e q estão em P (os outros são análogos). Escrevendo a = b/c e q = j/k, com b, c, j e k em IN , queremos achar o menor n ∈ IN tal que (n + 1)b/c > j/k. Fazendo as contas no rascunho, isto nos dá (n + 1)bk > jc. Isto significa que devemos tomar n = m − 1, onde m é o menor elemento de A = {x ∈ IN | x(bk) > jc}. Como todo subconjunto não vazio de IN tem um menor elemento (princ´ıpio da boa ordena¸cão

(13)

), a demonstra¸cão estará encerrada se provarmos que A 6= φ. Como b e k não podem ser nulos, basta mostrar que se d = bk e e = cj são naturais, com d 6= 0, então existe m ∈ IN tal que md > e.

Lema: Se d e e s˜ao naturais, com d > 0, ent˜ao existe um natural m tal que md > e.

Demonstra¸c˜ao : Se n˜ao existisse tal m, ter´ıamos e ≥ xd ∀x ∈ IN e, portanto, e − xd ∈ IN ∀x ∈ IN . Seja C = {e − xd, x ∈ IN } e seja c0o menor elemento de C. Temos c0= e − x0d para um certo x0∈ IN . Se considerarmos

x1= x0+ 1 e c1= e − x1d, teremos c1∈ C e, portanto, c1≥ c0. Mas isto significa que e − x0d = c0≤ c1= e − x1d =

e − (x0+ 1)d = e − x0d − d = c0− d, o que ´e um absurdo, j´a que d > 0.

Um outro resultado b´asico pode servir de exerc´ıcio.

Exerc´ıcio: Seja q um racional positivo. Mostre que existem naturais m e n sem fatores comuns e tais que q = m/n, isto é: se m = dj e n = dk, com d, j e k naturais, então d = 1 (m/n é dita uma fra¸cão irredut´ıvel).

6 Os Reais

Se os naturais são os números de contar, os reais são os números de medir. Em uma primeira aproxima¸cão , reduzimos o problema de medir ao de contar da seguinte forma: fixamos um segmento u como unidade; dado um outro segmento s, contamos quantas vezes u cabe dentro de s. Como sabemos, nem sempre temos a sorte de existir um natural n tal que s corresponda exatamente a n cópias de u postas lado a lado. Mas sempre podemos dividir u em m partes iguais, bem pequenas, até que nos pare¸ca certo que s corresponde a, exatamente, n destas partes. Dizemos então que s corresponde a n/m vezes u. Ou seja: no sistema que tem u por unidade, a medida de s é dada pelo número n/m.

Mas... a razão alcan¸ca coisas que os olhos não conseguem ver. Sabemos, pelo Teorema de Pitágoras, que, sendo s a diagonal de um quadrado e u o lado do mesmo quadrado, o quadrado de lado s tem área igual a duas vezes a do de lado u. Se expressamos s como n/m vezes u, podemos supor que n/m é irredut´ıvel e tal que

n2 m2 = 2.

(14)

Mas isto nos dá n2 = 2m2, o que significa que n2 é par. Como o quadrado de qualquer número ´ımpar é ´ımpar (prove!), segue que n é par. Escrevendo n = 2k, temos

2(2k2) = n2= 2m2.

Da´ı decorre m2= 2k2, o que significa que m2´e par e, por conseguinte, m tamb´em ´

e par. Mas m e n n˜ao poderiam ser ambos m´ultiplos 2, pois n/m foi suposta irredut´ıvel.

Isto significa que, na verdade, nem sempre é poss´ıvel expressar a medida de um segmento por um número racional6. Assim, os números reais, usados para medir, formam um conjunto mais complicado que o dos racionais. Apenas a partir do século XVII, com a assimila¸cão do sistema de numera¸cão de posi¸cão e sua extensão para fra¸cões decimais, puderam os números reais finalmente ser representados de forma “simples”. Recordemos brevemente como isto se dá (o leitor está convidado a desenhar, sobre uma reta, o procedimento).

Dados os segmentos s e u, fazemos s0 = s, u0 = u, e tomamos um natural a0

tal que s0 esteja entre a0u0 e (a0+ 1)u0 (entendido a´ı que a0u0 ≤ s < (a0+ 1)u0).

Fazemos s1 = s0− a0u0, u1 = (1/10)u0 e tomamos a1 natural tal que a1u1 ≤ s1<

(a1+ 1)u1 (note que, necessariamente, 0 ≤ a1 ≤ 9). Mais geralmente, por indu¸c˜ao,

definidos sn, un e an, fazemos sn+1 = sn− anun, un+1 = (1/10)un, e tomamos

an+1 natural tal que an+1≤ sn+1< (an+1+ 1)un+1.

Exerc´ıcio: Entenda perfeitamente que este procedimento define indutivamente uma fun¸c˜ao a : IN → IN (usaremos a nota¸c˜ao an para a(n)) tal que para todo n > 0,

an est´a em {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

A fun¸c˜ao a costuma ser representada por a = a0, a1a2a3a4. . .. Escrevendo

cada um dos n´umeros naturais an na base dez, temos a representa¸c˜ao decimal

do número real (vamos igualmente notá-lo por s) que expressa a razão entre os comprimentos de s e u. O que acabamos de dizer significa também que, para cada n, o número s está compreendido entre dois racionais, sn e ¯sn, dados por

sn= a0+a₁₀1 +₁₀a22 +₁₀a33 + . . . +₁₀ann,

¯

sn= sn+₁₀1n .

6_{em um certo sentido, matematicamente falando, ´}_{e praticamente imposs´ıvel, dado um}

(15)

Em outras palavras (e avan¸cando um pouco), podemos dizer que a repre-senta¸cão a de s nos dá uma seqüência (sn) de números racionais cujo limite é

s (usamos também a nota¸cão sn → s). Estamos tão habituados a trabalhar com

os decimais que costumamos pensar o número s como se fosse a própria expressão a0, a1a2a3a4. . .. Podemos inclusive adotar essa representa¸cão como defini¸cão para

n´umero real.

Exerc´ıcio: Note que esta defini¸c˜ao deve ser acompanhada das defini¸c˜oes das opera-¸

cões de adi¸cão e multiplica¸cão, o que pode ser menos simples do que parece. Dada a seqüência a = a0, a1a2. . ., calcule a−1, ou, mais simplesmente, prove sua existência.

Por outro lado, em muitas situa¸cões relevantes, os números em questão são dados por seqüências de racionais que não são do modelo acima. Um bom exemplo ´ e dado por s = ∞ X n=1 1 n2 = 1 + 1 22 + 1 32 + 1 42 + . . . .

Neste caso, s é naturalmente aproximado pela seqüência (sn) dada por

sn= n X k=1 1 k2 = 1 + 1 22 + 1 32 + 1 42 + . . . + 1 n2.

Um outro exemplo interessante é dado pelo número π. A forma mais natural de se obter π é inscrever e circunscrever sucessivamente no c´ırculo unitário pol´ıgonos regulares com um número crescente de lados, aproximando cuidadosamente por racionais os semiper´ımetros de cada um deles. Este processo foi descrito por Ar-quimedes há mais de 2000 anos, muito antes da cria¸cão de nosso sistema de base 10.7

Exerc´ıcio: Defina a seq¨uˆencia (xn) por um x0 qualquer racional positivo e xn+1= 1

2(xn+ 2

xn). Esta é uma forma simples de criar uma seqüência de racionais

apro-ximando o n´umero√2 (que sabemos n˜ao ser racional). Entenda isto.

Uma das maneiras mais concretas de definir o n´umero e ´e dada por

e = 1 + 1 + 1 2 + 1 3!+ 1 4!+ 1 5! + . . . = ∞ X n=0 1 n!,

o que equivale a caracterizá-lo por meio da seqüência de números racionais

7_{a primeira prova de que π ´}_{e, de fato, um n´}_{umero irracional foi dada em 1770 por}

(16)

en= n X k=0 1 k!.

Um último e crucial exemplo: consideremos um inocente número racional, digamos 1/7. Sua expansão decimal nos dá 1/7=0,142857142857.... Como bem sabemos, isto dará uma seqüência (sn) tal que sn+1 6= sn∀n ∈ IN . No entanto

o mesmo número 1/7, quando representado na base 7, se escreve 1/7=0,1. A correspondente seqüência (sn) é dada por s0= 0 e sn= 1/7 ∀n > 0.

Isto é mais que um exemplo: a menos que queiramos atrelar a defini¸cão de número real à base do sistema de numera¸cão , é mais conveniente aceitar que cada real é caracterizado não por uma, mas por uma infinidade de seqüências (diferentes) de números racionais. É claro que ainda estamos longe de dar, com isto, uma defini¸cão precisa do conjunto dos números reais, mas já podemos tra¸car uma estratégia.

Estrat´egia:

• (i)consideraremos equivalentes as seqüências de racionais que definem o mesmo número real; isto deve estabelecer uma rela¸cão de equivalência entre seqüências de racionais;

• (ii)um número real deve ser definido, a exemplo do que fizemos com os racionais, como uma classe de equivalência de seqüências de racionais.

Para que isto dê resultado, porém, precisamos de uma defini¸cão de limite e, principalmente, de um critério que nos permita decidir, sem exibir esse limite, se uma seqüência tem ou não limite.

Exerc´ıcio: Pare e pense profundamente. Se vamos definir os números reais a partir das seqüências de racionais que para eles convergem, não podemos fazer coisas como: a seqüência en=Pnk=01/k! define o número e porque converge para e - isto

seria usar um número que ainda não existe na sua própria defini¸cão .

Exerc´ıcio: Pense em um caso conhecido: quando provamos que existe a soma infinita e =P∞

k=01/k!, o que fazemos é provar que a seqüência en=Pnk=01/k! é

crescente e que en < 3 ∀ n ∈ IN . Assim, implicitamente, aplicamos um crit´erio

que garante que aquela seqüência tem um limite sem ter que exibi-lo a priori. Ao contrário, uma vez provada a existência do limite, este é batizado com o nome e.

(17)

7 Limites de Seq¨

uˆ

encias

Seja (an) uma seqüência de números racionais e a um número racional.

Dize-mos que (an) converge para a, com a nota¸c˜ao

lim

n→∞an= a,

se, por melhor que enxerguemos, a partir de um certo ponto “vemos” an= a.

A expressão por melhor que enxerguemos deve ser entendida da seguinte manei-ra: nossa capacidade de distingüir dois pontos será dada por um número (racional) positivo ε, de forma que veremos como iguais dois pontos que distem menos do que ε um do outro; tal ε deve poder ser tomado tão pequeno quanto se queira (para significar por melhor que enxerguemos).

Em termos mais precisos, devemos ser capazes de, fixado um ε positivo qual-quer, encontrar um n0a partir do qual a distˆancia entre ane a (medida por |an−a|)

ser´a sempre inferior a ε. Mais concisamente, temos a

Defini¸cão: O limite da seqüência (an) é o número a (nota¸cão : limn→∞an= a,

ou an→ a) se

∀ε > 0 ∃n₀∈ IN | n > n₀⇒ |a_n− a| < ε.

Se n˜ao quisermos citar explicitamente o limite a, diremos simplesmente que (an)

converge (ou que ´e convergente).

Exerc´ıcio: Pense meia hora sobre a defini¸c˜ao acima.

Defini¸c˜ao: Diremos que limn→∞an= ∞ se

∀ M ∈ IQ ∃ n0∈ IN | n > n0⇒ an> M

(a defini¸cão de limn→∞an= −∞ é análoga).

Exerc´ıcio: Seja q um racional, com |q| < 1. Mostre que qn→ 0. Seja a_n=Pn

k=0qk.

Mostre que (an) converge para 1/(1 − q) (estamos pondo, por defini¸c˜ao, 00 = 1).

Temos agora que demonstrar os resultados óbvios sobre limites. Cada uma das proposi¸cões deste cap´ıtulo é fundamental. O leitor deve procurar demonstrar cada uma delas por si próprio, sem ler as demonstra¸cões do texto (que estão em letras miúdas de propósito). Se, após um m´ınimo de duas horas de esfor¸co (para cada uma), não tiver conseguido, pode dar uma primeira lida para pegar a idéia. Mas

(18)

não deve se dar por satisfeito enquanto não conseguir fazê-las sozinho, acreditar nelas e se sentir capaz de convencer outras pessoas de sua veracidade.

Proposi¸cão : Uma seqüência não pode ter mais de um limite.

Demonstra¸c˜ao : Suponhamos que an → a e an → b, com a 6= b. Vamos usar o princ´ıpio do cobertor curto,

escolhendo ε tal que n˜ao seja poss´ıvel estar simultaneamente a uma distˆancia menor que ε de a e de b. Tomemos ε = |b − a|/2.Como an→ a, podemos tomar n1tal que n > n1⇒ |an− a| < ε. Da mesma forma, podemos tomar n2

tal que n > n2⇒ |an− a| < ε.Dados tais n1e n2, seja n0o maior dos dois. teremos ent˜ao , para n > n0, |an− a| < ε

e |an− b| < ε. Mas isto nos d´a

|b − a| = |(b − an) + (an− a)| ≤ |b − an| + |an− a| < ε + ε = 2ε = |b − a|,

o que ´e absurdo.

Proposi¸cão : Sejam (an) e (bn) seqüências e a e b números racionais tais que

an→ a e bn→ b. Ent˜ao :

• (i)(an+ bn) → (a + b);

• (ii)(anbn) → (ab);

• (iii) se a 6= 0, ent˜ao existe m tal que n > m ⇒ an 6= 0; neste caso,

con-siderando apenas n > m, temos (1/an) → (1/a).

Demonstra¸cão : Queremos, em cada caso, mostrar que, dado ε > 0, existe n0tal que a diferen¸ca entre o valor da seqüência

e o limite proposto ´e, em m´odulo, inferior a ε. Vejamos cada item:

(i)Dado ε > 0, sejam n1e n2tais que n > n1⇒ |an− a| < ε/2 e n > n2⇒ |bn− b| < ε/2. Seja n0o maior dentre

n1e n2. Se n > n0, teremos n > n1e n > n2, de forma que

|(an+ bn) − (a + b)| = |(an− a) + (bn− b)| ≤ |an− a| + |bn− b| < ε/2 + ε/2 = ε.

(ii)Escrevendo αn= an− a e βn= bn− b, temos

|anbn− ab| = |bαn+ aβn+ αnβn| ≤ |bαn| + |aβn| + |αnβn|.

Seria agora conveniente achar n0tal que, para n > n0, cada uma das trˆes parcelas `a direita fosse inferior a ε/3. Para

controlar a primeira, podemos pensar em n1tal que

n > n1⇒ |αn| <

ε 3|b|. Mas, como n˜ao podemos jurar que b 6= 0, ´e melhor tomar n1tal que

n > n1⇒ |αn| <

ε 3(|b| + 1). Da mesma forma, tomemos n2tal que

n > n2⇒ |βn| <

ε 3(|a| + 1).

Poder´ıamos quase jurar que, nestas condi¸c˜oes |αnβn| est´a sob controle: afinal, estamos com

|αn| < ε 3(|b| + 1)≤ ε 3, |βn| < ε 3(|a| + 1)≤ ε 3.

Na verdade, se ε não for pequeno, podemos ter ε/3 > 1. Para evitar tal inconveniente, podemos impor uma condi¸cão a mais anossos αn(poderia, é claro, ser com os βn): tomamos n3tal que n > n3⇒ |αn| < 1. Agora basta tomar para n0

o maior dentre n1, n2e n3.

(iii)Comecemos provando que, sendo a 6= 0, temos an6= 0 para n suficientemente grande. Usando o princ´ıpio do cobertor curto, tomamos m tal que n > m ⇒ |an− a| < |a|/2. temos ent˜ao , se n > m,

(19)

|an| = |(an− a) + a| ≥ ||a| − |an− a|| = |a| − |an− a| > |a| −

|a| 2 =

|a| 2 > 0. Seja agora ε > 0. Queremos, j´a supondo n > m, obter |(1/an) − 1/a)| < ε. Mas

1 an −1 a = a − an aan = 1 |aan| |an− a|,

Como j´a estamos com |an| > |a|/2, podemos assegurar que 1/|aan| < 2/|a|2. Logo, para n > m, temos

1 an −1 a < 2 |a|2|an− a|.

Se conseguirmos fazer com que |an− a| seja inferior a |a|2ε/2, teremos a vit´oria. Ora, como an→ a, basta tomar n1tal

que isto aconte¸ca para n > n1(note que |a|2ε/2 é positivo). Agora é só fazer n0igual ao maior dentre m e n1.

Exerc´ıcio: Seja c um racional fixo e seja (bn) dada por bn= c∀n ∈ IN . Mostre que

bn → c. Conclua que, se an → a, ent˜ao can→ ca; em particular, (−an) → (−a).

Mostre que an → a, bn → b ⇒ (an− bn) → (a − b). Mostre que, se a 6= 0

an→ a, bn→ b, ent˜ao existe m tal que an6= 0 para n > m e que, para n > m, se

tem bn/an→ b/a.

Exerc´ıcio: Sejam (an) e (bn) seq¨uˆencias de racionais tais que an→ 0 e existe c ∈ IQ

tal que |bn| < c∀n ∈ IN . Mostre que anbn→ 0.

Exerc´ıcio: Seja (an) uma seqüência tal que (an) não converge para zero. Mostre

que existem α > 0 e n0 ∈ IN tais que |an| > α ∀n > n0.

Os resultados acima são , certamente, importantes e úteis. Mas temos um problema: as seqüências de racionais que usamos para definir números irracionais não têm, com certeza, limite em IQ. Por outro lado, nem toda seqüência que não tem limite em IQ define, de fato, um número real.

Exerc´ıcio: Sejam (an), (bn) e (cn) as seq¨uˆencias de racionais dadas por an =

(−1)n, bn= n, cn= p/q, com p e q naturais n˜ao nulos e tais que (p + q − 1)(p +

q − 2)/2 + q = n. Mostre que nenhuma das três é digna de convergir (a terceira contém um pequeno enigma e é um tanto mais dif´ıcil que as outras duas).

Isto nos coloca duas quest˜oes :

• Como distingüir, dentre as seqüências de racionais, aquelas que definem, de fato, um número real?

• Como decidir se duas seqüências distintas definem um mesmo número real?

A segunda questão tem uma resposta simples: duas seqüências (an) e (bn) que

(20)

´

e ótimo, já que, para decidir se an− bn→ 0, não precisamos saber para que valor

convergem (an) e (bn) !

A primeira questão , porém, é mais delicada: precisamos de um critério que nos permita dizer que uma seqüência tem limite, sem ter que exibir tal limite.8

Uma resposta pode ser dada pela seguinte observa¸cão : se uma seqüência (an)

converge para a, os an, ao se aproximarem de a, tˆem que se aproximar uns dos

outros. Ou seja, a partir de um certo ponto, por melhor que enxerguemos, “ve-mos” todos os an como se fossem iguais. Podemos dizer que este comportamento

independe, na verdade, de a ser racional ou irracional.

Ora, isto quer dizer que, dado qualquer ε positivo (para marcar o qu˜ao bem enxergamos), teremos um n0 tal que, para n e m maiores que n0, a distˆancia entre

an e am, dada por |an− am|, ´e inferior a ε.

8 Seq¨

uˆ

encias de Cauchy

Defini¸cão: Uma seqüência (an) é dita de Cauchy se

∀ε > 0 ∃n0 ∈ IN | n, m > n0 ⇒ |an− am| < ε.

Proposi¸cão: Toda seqüência convergente é de Cauchy.

Demonstra¸c˜ao: Suponhamos que an→ a e seja ε > 0 dado. Basta tomar n0tal que n > n0⇒ |an− a| < ε/2. Temos

ent˜ao , se n > n0e m > n0,

|an− am| = |an− a + a − am| = |(an− a) + (a − am)| ≤ |an− a| + |a − am| <ε2+ε2= ε.

Exerc´ıcio: Veja se está claro para você que o resultado acima deve ser verdadeiro também quando a for um número real. Mais ainda: veja se, dentro do que acredita que sejam os reais, é razoável crer que as defini¸cões e proposi¸cões sobre limites que até agora discutimos devem continuar verdadeiras em IR.

8_{Temos que fugir `}_{a tenta¸}_c˜_{ao de dizer, por exemplo, que a}

n = Pn_k=01/n! e bn =

(1 + 1/n)n_tˆ_{em o mesmo limite porque ambas convergem para e: no atual est´}_{agio, estamos}

tentando definir os números reais (dentre eles o número e); desta forma, se nos limitamos aos racionais, nem (an) nem (bn) têm limite

(21)

Exerc´ıcio: Mostre que, sendo (an) uma seq¨uˆencia de Cauchy, existe M tal que

|an| < M ∀n ∈ IN . Sugest˜ao : tome n0 tal que |an− am| < 1 ∀n, m > n0 e fa¸ca

M igual ao maior dentre |a0|, |a1|, . . . , |an0| e |an0+1| + 1.

Exerc´ıcio: Seja (an) dada por a0 = 2 e an+1= an/2 + 1/an. Mostre que (an) ´e de

Cauchy, mas não existe a em IQ tal que an → a (aten¸cão, não vale roubar: supor

que existe o limite e depois provar que este é √2 foge às regras, já que √2, para nós, ainda “não existe”; vai ser preciso provar diretamente que (an) é de Cauchy).

Exerc´ıcio: Seja (an) uma seq¨uˆencia de naturais tal que an∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

para todo n > 1 e seja (sn) dada por sn = Pnk=0ak/10k. Mostre que (sn) ´e de

Cauchy.

Pelo que acabamos de ver, as seqüências de Cauchy podem ser chamadas de “potencialmente convergentes”: se uma seqüência de Cauchy de racionais não tem limite em IQ, então é por que seu limite é um número real. Mas, como os números reais ainda não foram formalmente definidos, esta afirmativa ainda não faz sentido. A consagrada representa¸cão de número real, dada por objetos do tipo ±a₀, a1a2a3. . ., com a0 ∈ IN e an ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ∀n > 0,9 nos indica

que “pensamos” um número real como um tipo particular de seqüência de Cauchy de racionais. Nosso propósito, agora, é radicalizar esta idéia, definindo um número real por uma seqüência de Cauchy (qualquer) de racionais.

Para tornar equivalentes seqüências de Cauchy com o mesmo limite, vamos criar um monstro que, felizmente, terá vida provisória.

Seja R o conjunto de todas as seqüências de Cauchy de números racionais. Definamos em R a seguinte rela¸cão, dada por ≡:

(an) ≡ (bn) ⇔ lim

n→∞(an− bn) = 0.

Exerc´ıcio: Mostre que ≡ é uma rela¸cão de equivalência.

Defini¸cão : Um número real é uma classe de equivalência de R pela rela¸cão acima. O conjunto dos números reais é designado por IR. Se o número real x corresponde à seqüência (an), diremos que x é representado, ou definido, por

(an).

Exerc´ıcio: Mostre que, se (an) é de Cauchy e (bn− an) → 0, então (bn) também

´

e de Cauchy (sugest˜ao : fa¸ca |bn− bm| = |(bn− an) + (an− am) + (am− bm)| ≤

|b_n− a_n| + |a_n− a_m| + |a_m− b_m|).

9_{As correspondentes seq¨}_uˆ_{encias de racionais s˜}_{ao dadas por q}

(22)

Exerc´ıcio: Mostre que, se q é um racional e (an) é uma seqüência de Cauchy, então

ou bem an→ q, ou bem existe n0∈ IN tal que, para n > n0, todos os an est˜ao do

mesmo lado de q (todos acima ou todos abaixo).

Para garantir que o monstro não é tão mau quanto parece, temos um teorema a demonstrar.

Teorema: Seja b um natural, com b > 1. Para toda seq¨uˆencia de Cauchy (an) de

racionais, existe uma seq¨uˆencia de Cauchy (qn) tal que (qn) ≡ (an), com (qn) de

uma das seguintes formas:

qn= 0 ; qn= n X k=0 bk bk ; qn= − n X k=0 bk bk, com b0∈ IN , e bn∈ {m ∈ IN | m < b} ∀n ∈ IN∗.

Demonstra¸cão: Fixemos o b e seja (an) nossa seqüência . Se an→ 0, estamos no caso qn= 0∀n ∈ IN . Podemos então

supor que (an) não converge para 0. Observemos agora o seguinte: se a seqüência de Cauchy (an) não converge para q, então existe notal que an> q ∀n > no ou an< q ∀n > no (vamos usar reiteradamente esta idéia). Basta então

considerar o caso em que an> 0 para n suficientemente grande. Consideremos os n´umeros da forma

q = m X k=0 bk bk, b0∈ IN, bk∈ {m ∈ IN | m < b} ∀k ≤ m.

Se (an) converge para algum destes n´umeros, ent˜ao (an) ≡ (qn), com

qn= n X k=0 bk bk,

entendido que b_k= 0 se k > m. Podemos então supor que (an) não converge para nenhum dos números q como acima.

Usando a base b para representar os naturais, é fácil ver que os racionais acima referidos são os números da forma q = p 1

bm, p ∈ IN ∗

, m ∈ IN.

Como (an), sendo de Cauchy, ´e limitada superiormente por algum M , temos que, para cada n em IN , existe um natural pntal que, a partir de um certo no, todos os amse˜ao tais que

pn

bn < am<

pn+ 1 bn .

Basta ent˜ao fazer qn= pn/bn.

Exerc´ıcio: Preencha os detalhes obscuros da demonstra¸cão. Entenda que o teorema acima significa que, fixada uma base b para o sistema de numera¸cão , todo número real tem uma representa¸cão na base b. Esta representa¸cão é única? Se não é, quais

(23)

são os números que têm mais de uma e quantas representa¸cões , no máximo, pode um número ter?

Definido e entendido o que é um número real, ficam ainda por definir as opera¸cões e a ordem em IR. Esta é nossa próxima ocupa¸cão .

Defini¸cão : Sejam a e b os números reais representados, respectivamente, pelas seqüências de Cauchy (an) e (bn). Então sua soma, a + b, e seu produto, ab, são

os números reais definidos, respectivamente, pelas seqüências de Cauchy (an+ bn)

e (anbn).

A defini¸cão acima depende, é claro, da demonstra¸cão de algumas coisas: deve-mos poder garantir que as seqüências (an+ bn) e (anbn) são , de fato, de Cauchy e,

mais ainda, que os números reais por elas definidos não mudariam se trocássemos (an) e (bn) por seqüências equivalentes.

Proposi¸cão : Sejam (an) e (bn) seqüências de Cauchy em IQ. Então :

• (a_n+ bn) e (anbn) são seqüências de Cauchy;

• se (¯an) ≡ (an) e (¯bn) ≡ (bn), ent˜ao (¯an+ ¯bn) ≡ (an+ bn) e (¯an¯bn) ≡ (anbn).

Demonstra¸c˜ao : Para provar que (an+ bn) e (anbn) s˜ao de Cauchy, fixemos ε > 0. Tomando n1 tal que

n, m > n1⇒ |an− am| < ε/2 e n2tal que n, m > n2⇒ |bn− bm| < ε/2, temos que, se m, n > no= n1+ n2, ent˜ao

m, n > n1e m, n > n2; logo, |(an+ bn) − (am+ bm)| = |(an− am) + (bn− bm)| ≤ |an− am| + |bn− bm| < ε/2 + ε/2 = ε,

o que prova que (an+ bn) ´e de Cauchy. Por outro lado, escrevendo |anbn− ambm| = |an(bn− bm) + bm(an− am)| ≤ |an||bn− bm| + |bm||an− am|, podemos tomar n3, n4, M1e M2tais que:

• |an| < M1∀n ∈ IN ;

• |bm| < M2∀m ∈ IN ;

• m, n > n3⇒ |bn− bm| < ε/2M1;

• m, n > n4⇒ |an− am| < ε/2M2.

Ent˜ao , se m, n > no= max {n3, n4, n5, n6}, temos |anbn− ambm| < ε, o que mostra que (anbn) ´e de Cauchy.

Para provar a segunda parte, basta notar que se (an − ¯an) → 0 e (bn− ¯bn) → 0, ent˜ao :

• (an+ bn− ¯an− ¯bn) = (an− ¯an) + (bn− ¯bn) → 0;

• (anbn− ¯an¯bn) = an(bn− ¯bn) + ¯bn(an− ¯an) → 0 (note que (an) e (¯bn), sendo de Cauchy, s˜ao limitadas).

As opera¸cões acima definidas fazem de IR um corpo, isto é, satisfazem às seguintes propriedades:

• (i) x + (y + z) = (x + y) + z para todos x, y e z em IR;

(24)

• (iii) existe em IR um elemento 0 tal que x + 0 = x para todo x em IR;

• (iv) para todo x em IR existe −x em IR tal que x + (−x) = 0;

• (v) x(yz) = (xy)z para todos x, y e z em IR;

• (vi) xy = yx para todos x e y em IR;

• (vii) x(y + z) = (xy) + (xz) para todos x, y e z em IR;

• (viii) existe em IR um elemento 1 6= 0 tal que 1x = x para todo x em IR.

• (ix) para todo x em IR tal que x 6= 0 existe x−1 em IR tal que xx−1 = 1.

Das onze propriedades acima (que o leitor deve ser capaz de demonstrar so-zinho), provaremos a (ix), que ´e um pouco mais dif´ıcil que as demais.

Demonstra¸cão de (xi): O número real 0 corresponde às seqüências de racionais que convergem para 0. Assim, se x ∈ IR e x 6= 0, podemos tomar uma seqüência qualquer (an) representando x e, como (an) não converge para 0, garantir

que existe um m1∈ IN tal que an6= 0 ∀n > m1(mais ainda: como (an) ´e de Cauchy, existem um α ∈ IQ e um m2∈ IN

tais que |an| > α > 0 ∀n > m2). Podemos então definir x−1pela seqüência (bn) dada por

bn= n

1/an, n > m1,

0, n ≤ m1.

Devemos provar que (bn) ´e de Cauchy. Sendo m1, m2e α como acima, temos para n e m maiores que m1e que

Supondo dado ε > 0, podemos tomar m3 ∈ IN tal que n, m > m3 ⇒ |a − m − an| < α2ε e fazer no =

max {m1, m2, m3}. Ent˜ao , para n, m > no, temos bn− bm| < ε.

´

E imediato que, para x−1assim definido, temos xx−1= 1 (onde o número real 1 é definido pela seqüência (1n) dada

por 1n= 1 ∀n ∈ IN ). Para fechar a demonstra¸cão , devemos provar que o x−1que obtivemos independe do processo que utilizamos. A prova é puramente algébrica. Se, por um outro processo qualquer (usando outra seqüência para representar x, por exemplo), obtivéssemos um ¯x tal que x¯x = 1, ter´ıamos:

¯

x = ¯x1 = ¯x(xx−1) = (¯xx)x−1= (x¯x)x−1= 1x−1= x−1.

Exerc´ıcio: Note que existe, dentro de IR, uma “cópia” de IQ, dada pelas seqüências constantes (isto é, o número racional q tem em IR um clone, dado pela seqüência (qn), qn= q ∀n ∈ IN ).

Para definir a ordem em IR, basta que digamos quais s˜ao os n´umeros positivos.

Exerc´ıcio: Seja (an) a seq¨uˆencia definida por an= 1/(n + 1). Note que:

• an> 0 ∀n ∈ IN ;

(25)

O exerc´ıcio acima nos mostra que, para definir o conjunto P dos reais positivos, não é uma boa idéia incluir todos os que podem ser representados por seqüências de Cauchy (an) com an> 0 ∀n ∈ IN , pois isto resultaria em fazer de 0 um número

positivo. Por outro lado, a exigˆencia de que an> 0 ∀n ∈ IN pode ser excessiva.

Exerc´ıcio: Seja (bn) a seq¨uˆencia dada por

bn=

(

−1, n ≤ 1989, 1, n > 1989.

Note que (bn) é de Cauchy, os bn não são todos positivos, mas (bn) certamente

corresponde a um real positivo.

Poder´ıamos dizer, então , que os reais positivos são os representados por se-qüências de Cauchy (an) de racionais para cada uma das quais existe m ∈ IN tal

que an > 0 ∀n > m e tais que (an) n˜ao converge para 0. Vamos, por´em, adotar

uma outra defini¸c˜ao (que o leitor est´a convidado a provar ser equivalente).

Defini¸cão: Um número real x é dito positivo se pode ser representado por uma seqüência de Cauchy (an) de racionais tal que existem um racional α e um natural

m com an> α ∀n > m. Designaremos por P o conjunto dos reais positivos. Dados

x e y em IR, diremos que x é maior que y quando (x − y) ∈ P (nota¸cão : x > y). As defini¸cões para “≥”, “<” e “≤” são as usuais.

Como de hábito, devemos provar que a defini¸cão não depende da seqüência (an) escolhida para representar x. Vamos incluir a demonstra¸cão no lema abaixo.

Lema: Se x é um real positivo, então existe um racional q tal que 0 < q < x (estamos identificando q com o real dado pela seqüência constante e igual a q).

Demonstra¸cão : Sejam (an) uma seqüência representando x, α racional positivo e m natural tais que an > α ∀n > m. Se (bn) é uma outra seqüência representando x, temos an− bn→ 0, de forma que podemos tomar m1tal que

n > m1⇒ |an− bn| < α/2. Da´ı segue, para n acima de m e de m1, bn= an+ (bn− an) ≥ an− |bn− an| > α −

α 2 =

α 2.

Isto mostra que, para toda seqüência (bn) representando x, existe notal que bn> α/2 ∀n > no. Fazendo q = α/4, temos também bn− q > α/4 ∀n > no, o que mostra que, identificando q com a correspondente seqüência constante, temos

x > q > 0, como prometido.

Podemos agora garantir que o conjunto P dos reais positivos satisfaz `as pro-priedades:

(26)

• (xi) xy ∈ P para todos x e y em P ;

• (xii) se x ∈ IR, vale uma e uma s´o das seguintes: x ∈ P , −x ∈ P ou x = 0.

Obviamente, as doze propriedades que acabamos de enunciar, sendo comuns a IR e a IQ, não são suficientes para caracterizar o conjunto dos números reais. Mas já podemos, com elas, falar em módulo (ou norma) de um número real e definir limite (em IR) de uma seqüência de números reais.

Defini¸cão: Dado um número real x, seu valor absoluto (também dito módulo, ou norma), é o elemento de P dado por

|x| =      x, se x ∈ P ; 0, se x = 0; −x, se − x ∈ P.

Exerc´ıcio: Prove as tradicionais propriedades do valor absoluto. N˜ao esque¸ca a desigualdade triangular: |x + y| ≤ |x| + |y| ∀x, y ∈ IR. Prove tamb´em que |x − a| < ε ⇔ a − ε < x < a + ε.

Defini¸cão : Uma seqüência (xn) de números reais converge para o número real

x se

∀ε > 0 ∃n₀∈ IN | n > n₀⇒ |x_n− x| < ε.

Diremos, neste caso, que x ´e o limite de xn(quando n tende a infinito) e usaremos,

indiferentemente, as nota¸c˜oes xn→ x, limn→∞xn= x ou lim xn= x.

Valem, obviamente, e com as mesmas demonstra¸cões , as mesmas propriedades que já provamos para seqüências de racionais (inclusive as defini¸cões e propriedades de seqüências de Cauchy).

Defini¸cão: Uma seqüência (xn) de números reais é dita de Cauchy se

∀ε > 0 ∃n0 ∈ IN | n, m > n0 ⇒ |xn− xm| < ε.

Como já vimos, existem seqüências de Cauchy de números racionais que não convergem para qualquer elemento de IQ. Este foi, na verdade, o ponto de partida e a motiva¸cão para nossa constru¸cão de IR. Conclu´ıda a (laboriosa) constru¸cão, ´

e chegada a hora de demonstrarmos o aguardado teorema garantindo que todo real é limite de uma seqüência de racionais e que toda seqüência de Cauchy de

(27)

racionais tem limite em IR. Na verdade, provaremos um pouco mais, já que pode-mos trabalhar também, agora, com seqüências de Cauchy de números reais. Estas considera¸cões fazem sentido, é claro, por estarmos identificando cada racional q ao real definido pela seqüência constante (qn), qn= q ∀n ∈ IN .

Teorema: O conjunto dos números reais tem as seguintes propriedades: • todo número real é limite de uma seqüência de números racionais;

• toda seqüência de Cauchy de números reais converge para um número real.

Demonstra¸cão : Seja x um número real e seja (an) uma seqüência de racionais que representa x. Vamos mostrar que a seqüência (qn) de reais dada pelos próprios anconverge para x (note que cada qmé definido pela seqüência constante

(qmn) dada por qmn= am). Seja, pois, dado um número real ε positivo (note que ε deve ser dado, também, por uma se-qüência (εn) de racionais). Podemos então tomar um racional α, positivo, e um n1∈ IN tais que n > n1⇒ 0 < α < εn.

Como (an) é de Cauchy, podemos tomar n2 ∈ IN tal que n, m > n2 ⇒ |an− am| < α/2. Isto nos dá, sendo qmn= am ∀n ∈ IN, |an− qmn| < α/2 ∀m, n > n2. Seja então n0 = max {n1, n2}. Fixado m > n0, temos, para

n > n0, εn− |an− qmn| > α/2. Mas isto significa que |x − qm| < ε ∀m > n0, o que prova que todo real é limite de uma seqüência de racionais e, ao mesmo tempo, que toda seqüência de Cauchy de racionais converge para o real por ela definido.

Seja agora (xn) uma seq¨uˆencia de Cauchy em IR e seja, para cada n ∈ IN , qnum racional tal que |qn− xn| < 1/n

(acabamos de provar que tal qnexiste, já que xné limite de uma seqüência de racionais). Como (xn) é de Cauchy, (qn)

também é. De fato, se ε é um real positivo, podemos, tomando n1∈ IN tal que n, m > n1⇒ |xn− xm| < ε/3 e n2∈ IN

tal que n > n2⇒ 1/n < ε/3, concluir que n, m > n0= max {n1, n2} ⇒ |qn−qm| = |qn−xn|+|xn−xm|+|xm−qm| <

1/n + ε/3 + 1/m < ε. Ora, sendo (qn) uma seq¨uˆencia de Cauchy de racionais, existe um real x tal que qn→ x. Mas isto

equivale a (qn− x) → 0. Como, por outro lado, temos (xn− qn) → 0, segue (xn− x) → 0, o que prova a convergˆencia de (xn).

Corol´ario: Entre dois reais distintos existe sempre um racional.

Demonstra¸c˜ao : Sejam x e y reais, com x 6= y. Suponhamos, para simplificar, que y > x. Como y − x > 0, podemos tomar racionais a e b com |x − a| < (y − x)/2 e |y − b| < (y − x)/2. Seja q = (a + b)/2. Temos ent˜ao , como a − (y − x)/2 < x < a + (y − x)/2, que x − (y − x)/2 < a < (x + y)/2. Analogamente, temos (x + y)/2 < b < y + (y − x)/2. Somando as desigualdades, temos 2x < a + b < 2y.

Exerc´ıcio: Mostre que entre dois reais distintos existe sempre um irracional. Su-gest˜ao : comece provando a existˆencia de um irracional positivo u (√2, por exem-plo).

Tendo constru´ıdo o conjunto dos números reais e provado suas propriedades fundamentais, podemos agora, sem remorso, esquecer as classes de equivalência de seqüências de Cauchy de racionais. Podemos simplesmente trabalhar com os reais a partir de suas propriedades, sem estarmos a lembrar, a cada instante, de que material são feitos.

(28)

9 Propriedades caracter´ısticas de IR

Come¸caremos de novo, agora a partir de IR, cujas propriedades fundamentais listamos a seguir. O conjunto IR dos números reais é dotado de duas opera¸cões , ditas de adi¸cão ((x, y) 7→ x + y) e de multiplica¸cão ((x, y) 7→ xy), além de um subconjunto P (dos positivos), de forma que valem as seguintes propriedades:

• (i) x + (y + z) = (x + y) + z para todos x, y e z em IR;

• (ii) x + y = y + x para todos x e y em IR;

• (iii) existe em IR um elemento 0 tal que x + 0 = x para todo x em IR;

• (iv) para todo x em IR existe −x em IR tal que x + (−x) = 0;

• (v) x(yz) = (xy)z para todos x, y e z em IR;

• (vi) xy = yx para todos x e y em IR;

• (vii) x(y + z) = (xy) + (xz) para todos x, y e z em IR;

• (viii) existe em IR um elemento 1 6= 0 tal que 1x = x para todo x em IR.

• (ix) para todo x em IR tal que x 6= 0 existe x−1 em IR tal que xx−1 = 1.

• (x) x + y ∈ P para todos x e y em P ;

• (xi) xy ∈ P para todos x e y em P ;

• (xii) se x ∈ IR, vale uma e uma s´o das seguintes: x ∈ P , −x ∈ P ou x = 0;

• (xiii) se (x_n) é uma seqüência de Cauchy em IR, então existe x em IR tal que xn→ x.

Como já vimos, IR contém uma “cópia” de IQ (que será, doravante, identificada ao original), o mesmo acontecendo com ZZ e IN . Vamos aproveitar as propriedades de IN , ZZ e IQ já demonstradas, mas poder´ıamos tentar partir dos axiomas acima e reconstruir tudo. Neste caso, ainda falta uma propriedade para caracterizar IR. De fato, usamos fortemente o fato (aparentemente óbvio) de que a seqüência (1/(n+1) converge para 0. Isto equivale à seguinte propriedade, dita propriedade arquimediana:

(29)

• (xiv) para todo x em IR e para todo ε em P existe n em IN tal que nε > x.

No enunciado da propriedade arquimediana, usamos, é claro, conceitos que não foram definidos neste cap´ıtulo, mas que podem ser recriados: a > b significa (a + (−b)) ∈ P e IN é o menor subconjunto de IR contendo {0, 1} e fechado para a adi¸cão (isto é, ao qual pertence a soma de quaisquer dois de seus elementos). De qualquer forma, se tivéssemos que come¸car nosso estudo dos números pelos reais, seria desagradável partir de axiomas como os acima, que fazem referência aos naturais e ao conceito de limite. Por este motivo, é usual, quando se tomam os reais como ponto de partida, substituir as propriedades (xiii) e (xiv) por uma outra, conceitualmente mais simples, dita propriedade do supremo.

Um intervalo em IR (poderia tamb´em ser em IQ, ZZ ou mesmo em IN ) ´e um subconjunto I de IR tal que

x, y ∈ I, x < z < y ⇒ z ∈ I

(onde a rela¸cão x < y é definida, como de hábito, por (y−x) ∈ P , assim como x ≤ y sss x < y ou x = y e x ≥ y sss x > y ou x = y). Se I = {x ∈ IR | a ≤ x ≤ b}, I é notado [a, b]; se I = {x ∈ IR | a < x ≤ b}, I é notado ]a, b], com defini¸cões análogas para [a, b[ e ]a, b[. A propriedade do supremo afirma, simplesmente, que intervalos limitados possuem extremidades. Sejamos mais precisos.

Propriedade do Supremo: Se φ 6= A ⊂ IR e A ´e limitado superiormente, isto ´e,

∃ M ∈ IR | M ≥ a ∀ a ∈ A, ent˜ao existe s em IR, dito o supremo de A, tal que:

• s ≥ a ∀ a ∈ A;

• r ≥ a ∀ a ∈ A ⇒ r ≥ s.

Demonstra¸cão : Note, inicialmente, que I = {r ∈ IR | r ≥ a ∀ a ∈ A} é um intervalo (um elemento de I é dito uma cota superior de A). Mais: se r1∈ I e r2> r1então necessariamente r2∈ I. Sejam agora a0um elemento de A e

b0= M . Vamos definir, indutivamente duas seq¨uˆencias , (an) e (bn), da seguinte forma: fazemos cn= (an+ bn)/2 e an+1= n an, cn∈ I cn, cn∈ I/ bn+1= n cn, cn∈ I bn, cn∈ I/ Basta agora notar que:

• bn∈ I ∀n ∈ IN ;

• ∀ n ∈ IN ∃αn∈ A | an≤ αn;

• an< bm∀ n, m ∈ IN ;

(30)

Da´ı segue que (an) e (bn) são seqüências de Cauchy, convergindo ambas para o mesmo limite s. Vamos mostrar que

s é o supremo de A. Primeiramente, não pode haver a ∈ A com a > s, pois, neste caso, haveria necessariamente n ∈ IN tal que bn< a, o que é imposs´ıvel. Por outro lado, se existisse r tal que r ∈ I e r < s, haveria n ∈ IN tal que r < ane,

portanto, um αn∈ A com r < αn, o que também não dá.

Um argumento central na demonstra¸cão acima tem até nome (é uma pro-priedade explorada por Cantor).

Propriedade dos Intervalos Encaixantes: Se a seqüência de intervalos fecha-dos ([an, bn] é tal que

• [an+1, bn+1] ⊂ [an, bn] ∀n ∈ IN ,

• lim (bn− an) = 0,

então existe um único número real c tal que c ∈ [an, bn] ∀n ∈ IN .

Demonstra¸cão : Basta notar que tanto (an) como (bn) são de Cauchy (uma crescente e a outra decrescente) e têm

o mesmo limite.

Uma seqüência (an) tal que an+1≤ an∀n ∈ IN é dita monótona decrescente

(ou, simplesmente, decrescente). Se an+1 < an ∀n ∈ IN , (an) ´e dita

estrita-mente decrescente, defini¸cões análogas valendo para seqüências crescentes. Se não quisermos especificar crescente ou decrescente, dizemos apenas monótona. Exerc´ıcio: Mostre que, se (an) é decrescente e converge para a, então a ≤ an ∀n ∈

IN .

Uma outra propriedade, talvez um pouco menos evidente, diz respeito à possi-bilidade de extrairmos, de uma seqüência de reais (em princ´ıpio não convergente) uma subseqüência convergente. Uma subseqüência da seqüência (an) é obtida

jogando fora alguns dos an e considerando a seq¨uˆencia dos que sobram (podemos

at´e jogar fora infinitos an, desde que tamb´em sobrem infinitos).

Defini¸cão : (ank) é dita uma subseqüência de (an) se a aplica¸cão

k 7→ nk, k ∈ IN

´

e uma fun¸cão estritamente crescente de IN em IN (note que, neste caso, a aplica¸cão k 7→ ank define uma nova seqüência ).

Propriedade de Bolzano-Weierstrass: Se (xn) é uma seqüência limitada de

(31)

Demonstra¸c˜ao : (xn) ser limitada significa que existem reais a e b tais que xn ∈ [a, b] ∀n ∈ IN . Fa¸camos ent˜ao

a0 = a, b0 = b, c0 = (a + b)/2 e observemos o seguinte: se xn ∈ [ak, bk] ∀n > k, ck = (ak+ bk)/2, Ak =

{n ∈ IN | xn∈ [ak, ck]} e Bk= {n ∈ IN | xn∈ [ck, bk]}, ent˜ao pelo menos um, dentre Ake Bk´e ilimitado. Tomemos

pois x_n0em [a0, b0] e, uma vez dados [ak, bk] e ck= (ak+ bk)/2, fa¸camos [ak+1, bk+1] = [ak, ck], se Ak´e ilimitado,

ou [ak+1, bk+1] = [ck, bk], caso contr´ario. Tomamos ent˜ao xnk+1 em [ak+1, bk+1] e reiteramos. Fica assim definida a

subseqüência (x_nk) de (xn). Como xnk∈ [ak, bk] ∀k ∈ IN e os intervalos [ak, bk] satisfazem à propriedade dos intervalos