FORMULAÇÃODECONTROLEPARAOPOSICIONAMENTOPARCIALDEPOLOSDE SISTEMASDEPOTÊNCIAMULTIMÁQUINAS
RICARDO V. DE OLIVEIRA,C. H. ROSSI,MIGUEL A.CARDOSO,RAFAEL ZAMODZKI
Depto. de Engenharia Elétrica, Universidade Tecnológica Federal do Paraná, Via do Conhecimento, Km 1 Pato Branco, 85503-390, PR, Brasil, +55-46-3220-2576
E-mails: vasques@utfpr.edu.br, hrossi@ig.com.br, miguel.cardoso@hotmail.com,
rzamodzki@hotmail.com
Abstract – This work proposes a formulation for the design of low-order robust damping controllers for power systems. The proposed
control formulation employs an alternative design objective, based on the energy of the system output, to overcome the drawbacks of the traditional regional pole placement in the form of linear matrix inequalities (LMIs). The formulation allows setting a performance index only for the response modes of interest. The control formulation is less costly in terms of computational effort when compared to the one with the traditional regional pole placement. This work also establishes a relation between the value of the energy of the system output and the damping ratio of the system output. In this paper, the methodology is applied to generate damping controller for synchronous generator. However, the proposed procedure is general enough to be applied to other kinds of power plants (wind generation, for example), to FACTS devices, as well as to other dynamic systems. The methodology has generated an effective controller for a case where the formulation based on the regional pole placement is unable to generate a controller which assures a good stability margin for the response modes of interest.
Keywords – Power system dynamics, robust control, linear matrix inequalities, electromechanical oscillations, damping controller. Resumo – Este trabalho propõe uma formulação de controle para o projeto de controladores de amortecimento robustos de baixa ordem
para sistemas elétricos de potência. A formulação de controle proposta emprega um objetivo alternativo de projeto, baseado na energia do sinal de saída do sistema, para contornar as limitações inerentes à técnica de posicionamento regional de polos na forma de desigualdades matriciais lineares. A formulação permite impor um índice de desempenho apenas para os modos de resposta de interesse. A formulação de controle é menos dispendiosa em termos de esforços computacionais quando comparada ao uso do posicionamento regional de polos tradicional. Este trabalho também estabelece uma relação entre o valor da energia do sinal de saída do sistema e seu fator de amortecimento. Neste artigo, a metodologia é aplicada na geração de controladores de amortecimento para geradores síncronos. Entretanto, o procedimento proposto é genérico o suficiente para ser aplicado a outros tipos de geradores (gerador de indução empregado em unidades eólicas, por exemplo), a dispositivos FACTS (do Inglês, Flexible AC Transmission System) assim como a outros tipos de sistemas dinâmicos. A metodologia gerou um controlador eficaz para um caso onde a formulação baseada no tradicional posicionamento regional de polos é incapaz de gerar um controlador que assegure uma boa margem de estabilidade para o modo de resposta de interesse.
Palavras-chave – Dinâmica e controle de sistemas de potência, controle robusto, desigualdades matriciais lineares, oscilações eletromecânicas, controlador de amortecimento.
1 Introdução
A estabilidade e o desempenho de sistemas de potência dependem fortemente do projeto e ajuste dos controladores de amortecimento. O aumento da demanda energética e a competitividade no reestruturado mercado de energia, têm contribuído para a redução na margem de estabilidade a pequenas perturbações dos sistemas de potência. Além disso, novos controladores de amortecimento são incluídos aos novos tipos de unidades de geração (unidades eólicas, por exemplo) (Mishra, et al., 2009; Gautam, et al., 2011; Miao, et al., 2009) e aos dispositivos FACTS (do Inglês, Flexible AC Transmission System) (Simões, et al., 2009; Furini, et al., 2011) distribuídos ao longo do sistema de potência. Neste contexto, um projeto adequado de controladores de amortecimento é essencial para que oscilações eletromecânicas de baixa frequência não afetem o desempenho e a estabilidade dos sistemas de potência.
A grande dimensão e as interconexões dos sistemas de potência contribuem para a flexibilidade da operação do sistema, entretanto, tornam a coordenação dos controladores do sistema mais complexa. Novas metodologias de projeto de controladores de amortecimento que consideram a interação entre a dinâmica dos múltiplos geradores e dispositivos do
sistema de potência têm sido propostas (Jarb, et al., 2010; Nguyen e Gianto, 2010). Formulações de controle baseadas em desigualdades matriciais lineares (LMIs, do Inglês, Linear Matrix Inequalities) têm sido adotadas em metodologias para o projeto de controladores de amortecimento (Liu, et al., 2005; Campos, et al., 2006; Oliveira, et al., 2010).
Um valor mínimo para o fator de amortecimento dos modos de resposta de interesse é um tradicional índice de desempenho para avaliar a margem de estabilidade a pequenas perturbações em sistemas de potência (Gomes, et al., 2003). Ele também é amplamente utilizado para avaliar a eficiência dos controladores de amortecimento incluídos nos sistemas de potência. O fator de amortecimento para os modos de resposta de interesse é usualmente especificado através do posicionamento regional de polos (PRP) em metodologias de projeto na forma de LMIs (Oliveira, et al., 2010; Chilali, et al., 1999) (ou seja, o PRP é usualmente o objetivo de projeto empregado para assegurar o índice de desempenho correspondente ao fator de amortecimento mínimo para os modos de resposta do sistema). Este objetivo de projeto impõe que todos os polos do sistema em malha fechada estejam localizados numa região previamente especificada no plano complexo. Entretanto, conforme será apresentado na sequência, o PRP pode ser inadequado para o projeto de um ou poucos controladores para sistemas de potência com múltiplos
geradores. Além disso, o uso do PRP em metodologias de projeto estruturadas na forma de LMIs pode requerer esforços computacionais excessivos, pois é imposta a todos os polos do sistema em malha fechada uma localização previamente determinada no plano complexo. Este esforço computacional excessivo pode ser proibitivo para o projeto de controladores de amortecimento para sistemas de médio e grande porte.
Neste contexto, este trabalho propõe o uso da energia da saída do sistema como objetivo de projeto para uma metodologia de projeto de controladores robustos de amortecimento para sistemas de potência. A energia da saída do sistema é utilizada como uma alternativa ao tradicional PRP. Este objetivo de projeto é proposto para contornar as limitações inerentes ao PRP na forma de LMIs. Diferente de muitas metodologias na forma de LMIs, a formulação proposta fornece controladores de amortecimento de ordem reduzida. Além disso, o tempo computacional requerido para o projeto dos controladores propostos é usualmente menor que o tempo requerido por metodologias baseadas no PRP. O uso de um modo de resposta de interesse como sinal de saída do sistema, o desenvolvimento de uma equação que estabelece a relação entre o valor da energia do sinal de saída e o fator de amortecimento e os controladores resultantes de ordem reduzida são as principais vantagens da metodologia apresentada nesse trabalho em relação à metodologia apresentada em Oliveira et al. (2007).
Este trabalho é está estruturado da seguinte forma: A Seção 2 delineia os fundamentos do posicionamento regional de polos e da energia da saída do sistema; A formulação LMI correspondente à imposição de um limite superior para a energia da saída do sistema é apresentada na Seção 3; A Seção 4 descreve a formulação de controle correspondente ao procedimento de projeto proposto; A Seção 5 apresenta os testes e resultados obtidos com a formulação proposta e a Seção 6 apresenta as conclusões e comentários finais.
2 Posicionamento Regional de Polos e Energia da Saída do Sistema
Esta seção discute e compara dois objetivos de projeto empregados em formulações de controle na forma de LMIs. Alguns conceitos básicos a respeito destes dois objetivos de projeto são apresentados para um melhor entendimento da formulação proposta.
O modelo de sistemas de potência para estudos de dinâmica e estabilidade é usualmente baseado em um conjunto de equações algébrico-diferencias não-lineares do tipo ( , , ), x f x u z (1) ( , , ), 0 g x u z (2) ( , , ), y h x u z (3) onde n R
x é o vetor de estado do sistema, uRpé o vetor de entrada de controle, q
R
y é o vetor com as saídas do sistema) e zRm é o vetor com as variáveis
algébricas. Para permitir o uso de formulações baseadas
em LMIs, o modelo apresentado anteriormente é linearizado nas vizinhanças de um ponto de equilíbrio. A equação algébrica (2) pode ser eliminada de (1)-(3), resultando no modelo linear descrito por
x( )t Ax( )t Bu( ),t (4) y( )tCx( ).t (5) Em (4)-(5), n
R
x corresponde ao desvio da variável de estado com relação a um ponto de equilíbrio x de (1). e De forma análoga, uRp e q
R
y representam o desvio com relação a ue e y , respectivamente. e
Considere-se que i, para i 1, , ,n são os autovalores da matriz de estados que descrevem todos os modos de resposta do sistema de potência. O fator de amortecimento do i-ésimo modo oscilatório
i i j i é dado por 2 2. i i i i (6)
Conforme mencionado anteriormente, um valor mínimo para o fator de amortecimento correspondente aos modos oscilatórios do sistema de potência é usualmente empregado como uma margem de estabilidade a pequenas perturbações (Gomes, et al., 2003).
Em metodologias de projeto na forma de LMIs, o fator de amortecimento para os modos de resposta do sistema de potência são normalmente especificados através do posicionamento regional de polos (Werner, et al., 2003; Oliveira, et al., 2010). Este objetivo de projeto impõe que todos os polos do sistema de potência estejam alocados no interior de uma região previamente determinada do plano complexo. De acordo com este conceito, uma margem de estabilidade satisfatória para o sistema de potência é alcançada se todos os polos do modelo do sistema estiverem dentro da região cônica apresentada na Figura 1. Re Região para o posicionamento de polos Im (fator de amortecimento mínimo)
Figura 1. Região para o posicionamento de polos adotada para garantir um fator de amortecimento mínimo.
O objetivo de projeto correspondente ao posicionamento regional de polos pode ser especificado através de uma formulação de controle baseada em LMIs. Todos os autovalores da matriz A apresentam fator de amortecimento maior que se existir uma 0 matriz T
P P 0 tal que (Chilali, et al., 1999)
s n cos . cos s T T T T T e en A P PA A P PA 0 A P PA A P PA (7)Em (7), 1 0 cos
, com 0
sendo o fator deamortecimento mínimo para os modos de resposta do sistema.
Em situações onde os controladores a serem projetados são incluídos em apenas alguns geradores do sistema, a formulação LMI clássica apresentada em (7) pode falhar no projeto de controladores para sistemas multimáquinas, pois as entradas de controle dos geradores com os controladores a serem projetados podem não exercer influência sobre os modos de resposta de outros geradores do sistema (ou seja, os controladores localizados em apenas alguns geradores do sistema não são capazes de melhorar a dinâmica de outros geradores distantes dos geradores com os controladores a serem projetados). Visando proporcionar um melhor entendimento desta limitação do PRP, uma ilustração hipotética considerando um sistema de potência com dois geradores é apresentada. Considere um sistema com dois geradores (G1 e G2) onde um
controlador de amortecimento é adicionado em apenas um dos geradores do sistema. Figura 2 apresenta os modos de resposta oscilatórios correspondentes ao sistema hipotético com e sem um controlador de amortecimento inserido no gerador G1.
Região para o posicionamento de polos Re Im
*
*
Polo de G1 Polo de G2 Re Im*
*
Polo de G1 Polo de G2 (a) (b) Região para o posicionamento de polosFigura 2. Ilustração hipotética do PRP para um sistema multimáquinas: a) Sistema sem controlador de amortecimento; b) Sistema com o controlador de amortecimento adicionado apenas ao gerador G1.
De acordo com a Figura 2, é possível notar que o controlador localizado no gerador G1 não é capaz de
introduzir amortecimento ao modo de resposta associado ao gerador G2. Esse modo de resposta não foi afetado
pelo controlador pelo fato de não poder ser controlado pela entrada de controle do gerador G1.
A energia de um sinal de saída pré-especificado do sistema é utilizada neste trabalho como um objetivo de projeto para contornar a limitação do PRP descrita anteriormente. Considerando o sinal de saída descrito por (5), a energia da saída do sistema (4), para uma dada condição inicial x(0), é definida como
0 ( ) ( ) .
T
t t dt
y y (8)A energia
fornece informações a respeito do decaimento do sinal de saída do sistema. Oscilações com amplitudes crescentes (o que corresponde a um sistema instável) resultam em um valor crescente de
. O modo de resposta de interesse é estável apenas se o valor da energia for finito.Um exemplo gráfico correspondente à energia da saída de dois sinais hipotéticos de saída é apresentado na Figura 3 para esclarecer os conceitos adotados na
formulação proposta. A saída y t é associada a um 1( ) modo oscilatório não amortecido, como conseqüência, o valor da energia ( ( ))y t1 tende ao infinito conforme o tempo tende ao infinito. A resposta de y t é 2( ) caracterizada por oscilações amortecidas, o que resulta em um valor finito para energia ( ( ))y t2 .
tempo tempo Valor y1(t) y2(t) y(t) t constante
Figura 3. Exemplo hipotético da energia de sinais oscilatórios.
A metodologia de projeto do controlador pode ser formulada como uma imposição de um limite superior para
, conforme será apresentado na próxima seção. Na formulação em questão é possível escolher uma saída do sistema associada ao i-ésimo modo de resposta de interesse. Para selecionar o i-ésimo modo de resposta de interesse como saída do sistema considere que o modelo apresentado em (4) pode ser representado na forma( )t ( )t ( ),t
x Ax Bu (9)
onde A WAV e B WB com V e W sendo, , respectivamente, os autovetores à direita e à esquerda de
A . A matriz A é uma matriz diagonal com os
autovalores de .A Os acoplamentos entre os modos de resposta do sistema (novas variáveis do sistema) são eliminados com esta transformação. A relação entre o vetor de estados x( )t e a nova variável
x
( )
t
é dada por( )t ( ).t
x Vx (10)
Considerando u( ) 0t , o modelo (9) pode ser reescrito
como n equações desacopladas de primeira ordem na forma
( ) ( ),
i i i
x t x t i 1, , .n (11) A solução analítica de (11), com relação ao tempo, é dada por
( ) (0) it,
i i
x t x e (12)
onde xi(0) é o i-ésimo elemento do vetor de condição inicial x(0).
Considerando a matriz na forma modal (ou seja, os autovalores complexos da diagonal são transformados em blocos com a parte real do autovalor na diagonal e a parte imaginária fora da diagonal (Chen, 1999)), é possível selecionar o i-ésimo modo de resposta como a saída do sistema. Dessa forma, a energia do i-ésimo modo de interesse pode ser escrita como
0 ( ) ( ) ,
T
i y t y t dti i
(13)onde y ti( ) Re( ( )) x ti , com Re correspondendo à parte
( ) ( ).
i i
y tC x t (14)
Em (14), Ci é a matriz que seleciona o i-ésimo modo de resposta de interesse como a saída do sistema. A solução analítica de (13), para o modo oscilatório
i i j
i, é dada por 2 2 2 2 2 2 2 (0) ( ) cos(2 ) sin(2 ) , cos ( ) 4 ( ) i i i i i i i i i i x (15) onde arcsin( / 2 2) i i i . A equação (15) foiobtida integrando-se (13) no intervalo de t=0 a t = ∞. A relação entre o valor da energia da saída
i e o fator de amortecimento i pode ser estabelecida por meio das equações (6) e (15) (ou seja, é possível determinar o valor de
i para um dado fator de amortecimento i correspondente ao modo i).3 Formulação LMI para a Imposição de um Limite Superior para a Energia da Saída do Sistema
A abordagem apresentada neste trabalho é baseada na teoria de Lyapunov para sistemas lineares. Uma função quadrática de Lyapunov (Boyd, et al., 1994) é a base para a formulação proposta. Suponha-se que exista uma função quadrática de Lyapunov dada por
( ) T( ) ( ) 0, V(xt )x tPxt , P (16) e que ( ) T( ) T ( ) T( ) ( ), i i V( t )x x t (A P PA x ) t y t y t (17)
para todo x t( ) e y t( ) satisfazendo o sistema (9) e (14). Integrando-se ambos os lados da equação (17), para o intervalo de tempo
0,
, obtém-se0
0 T( ) ( ) ,
i i
V( ( )) V( ( ))x x
y t y t dt (18) para todo . Somando 00 ( ) ( ) ( (0)) T i i y t y t dt V
x emambos os lados da inequação (18), tem-se
0 ( ( )) T( ) ( ) ( (0)). i i V x
y t y t dt V x (19) Note que 0 ( ) ( ) T i i y t y t dt
será positivo e V( ( )) 0x para P0. Deste modo, é possível concluir que ( (0)) T(0) (0)
V x x Px é um limite superior para a energia
da saída y ti( ) para uma dada condição inicial x(0)
(Boyd, et al., 1994). Substituindo (14) em (17), obtém-se
( ( )) T( ) T T ( ) 0.
i i
V xt x t (A P PA C C x) t (20)
As desigualdades matriciais correspondentes à imposição de um limite superior para a energia da saída, para uma dada condição inicial x(0), são obtidas a partir
de (19)-(20) e dadas por 0, P T T , i i A P PA C C 0 (21) 0 (0) (0) , T x Px (22)
onde
0 é limite superior para a energia da saída referente ao modo de resposta de interesse. O valor da energia da saída do sistema depende da condição inicial(0)
x adotada. Entretanto, para cada condição inicial
adotada é possível determinar o valor da energia
que corresponde um fator de amortecimento de interesse.4 Formulação do Problema de Controle para o Posicionamento Parcial de Polos
Nesta seção a metodologia de projeto proposta é estruturada baseada na formulação de controle apresentada na seção anterior. A metodologia gera controladores de amortecimento de ordem reduzida, o que é uma das vantagens dela sobre outras metodologias baseadas em LMI. A estrutura tradicional de compensação de fase tipicamente empregada em estabilizadores de sistemas de potência é adotada na formulação proposta. O diagrama de blocos correspondente a esta estrutura de controlador é apresentado na Figura 4. Nessa figura, o índice k denota o k-ésimo controlador a ser projetado e nb o número de blocos de avanço-atraso. 1+ST2k KPSSk yk STw k 1+STwk 1+ST1knb uk Figura 4. Diagrama de blocos de um típico controlador de
amortecimento baseado em compensação de fase.
Considerando um controlador com dois blocos de avanço-atraso, a função de transferência, correspondente ao diagrama de blocos apresentado na Figura 4, pode ser representada na forma de espaço de estado como
2 2 0 0 1 ( ) 0 ( ) ( ), k ck k k k k ck k k k k k k k k k k k t t y t
x x (23) ( ) 0 0 ( ), k t Kpssk ck t u x (24) onde 1 k wk T , 1 2 k k k T T , 21
.
k kT
(25) Em (23)-(24),( )
sv ckt
R
x
é um vetor de variáveis deestado do controlador e y t( ) é a derivada da saída do sistema adotada como entrada do controlador
y tk( )Cx( )t CAx( )t
. A derivada de y t( ) surge da transformada inversa de Laplace aplicada na função detransferência do controlador apresentado na Figura 4. O desvio da velocidade do gerador síncrono de interesse é empregado como entrada do controlador, pois esta variável é fortemente afetada pela dinâmica de interesse. Conforme descrito em (23-(24), o controlador gerador pela metodologia proposta é descrito por um modelo com 3 variáveis de estado (ou seja, modelo de ordem 3). As equações (23)-(24) podem ser escritas na forma compacta como ( ) ( ) ( ), c t c c t c t x A x B CAx (26)
( )
t
c c( ).
t
u
C x
(27)As incertezas do modelo do sistema de potência em relação às variações normais do ponto de operação (carregamento do sistema) são tratadas nesta abordagem de projeto por meio da técnica de modelagem politópica (Boyd, et al., 1994). O uso da modelagem politópica garante a estabilização do sistema em malha fechada para todos os múltiplos pontos de operação levados em conta na metodologia de projeto. Considerando múltiplas condições de operação para o sistema, o modelo sistema em malha fechada, obtido a partir da conexão de (9) com (26)-(27), é descrito por ( ) ( ) ( ) , ( ) j j c j c j c c t t t t A B C x x A x B CA A x (28)
( )
,
( )
i i ct
y
t
x
C
x
(29) para j 1, , ,L onde L é o número de condições de operação consideradas no projeto. Em (29),y
i é a saída do sistema em malha fechada correspondente ao i-ésimo modo de resposta de interesse. Na metodologia utiliza-se uma única saíday
i para os L modelos do sistema em malha fechada (modelos descritos em (28)).Considerando o sistema em malha fechada, a formulação (21)-(22) pode ser escrita como
, T P P 0 A P PATj jC C Ti i 0, (30) 0 (0) (0) , T x Px (31)
para j 1, ,L. A expressão apresentada em (30) é uma desigualdade matricial, sobre as variáveis
( , , Kpss)
A e P , com termos não lineares. Este tipo de desigualdade matricial é conhecido como desigualdade matricial bilinear (BMI, do Inglês, Bilinear Matrix Inequality). Problemas de controle na forma de BMI normalmente não podem ser solucionados diretamente através de solvers convencionais para solução de LMI. Entretanto, é possível aplicar um procedimento que transforma a busca pela solução de uma BMI em um busca iterativa de soluções de LMIs. O método conhecido como iteração V-K (onde V corresponde à função de Lyapunov e K ao controlador) (Skelton, et al., 1998) é adotado neste trabalho para determinar a solução das BMIs. Ele é baseado no fato de
que escolhendo um valor fixo para ( , ,A Kpss)
ou P transforma-se (30) em uma LMI. Deste modo, o problema pode ser solucionado através do algoritmo iterativo a seguir:
i) Fixe A c, Bc e Cc e minimize
sobre P , sujeito às LMIs P PT 0, T T , j j i i A P PA C C I (32) 0
(0) (0)
.
T
x
Px
(33)ii) Com os resultados do passo anterior, fixe
P
e minimize
sobre Ac, B e c Cc, sujeitos àsLMIs (32)-(33). A solução de (32) e (33) com um valor negativo de
corresponde à solução de (30)-(31).O escalar
presente nas LMIs do problema de controle tem a função de reduzir o conservadorismo da formulação LMI e evitar que o solver usado para resolver as LMIs apresente problemas numéricos.A convergência do algoritmo pode ser melhorada se as variáveis do problema forem adequadamente limitadas. Neste sentido, as características no domínio da frequência do controlador empregado são levadas em consideração no desenvolvimento do algoritmo.
A compensação de fase que causa amortecimento adicional para os modos eletromecânicos de interesse pode ser determinada através da análise dos resíduos da função de transferência do sistema (Pagola, et al., 1989), por exemplo. Essa análise permite definir uma faixa de valores de compensação de fase necessária para causar amortecimento para o modo de resposta de interesse. A restrição da faixa de compensação de fase também restringe o conjunto de soluções factíveis de modo a gerar apenas controladores fisicamente aplicáveis. Para realizar a restrição mencionada, os parâmetros
k ek
, em (23), são mantidos constantes. Isto reduz a quantidade de variáveis escalares do problema. O parâmetro
é relacionado ao filtro washout e é definido de acordo com valores típicos empregados em projetos de controladores de amortecimento. Valores usuais para constantes de tempo de filtros washout são da ordem de 3 a 20 segundos (Kundur, 1994).A máxima compensação de fase provida pelo k-ésimo controlador é determinada pelo seu parâmetro . Este k parâmetro é determinado, baseado em um valor de compensação de fase previamente definido, por
1 max 2 max 1 s n( ) , 1 s n( ) k k k k k T e T e (34)
onde
max k é a máxima compensação de fase que pode ser proporcionada pelos blocos de avanço-atraso do k-ésimo controlador. Esta máxima compensação de fase é definida baseada na análise do ângulo de fase do resíduo da função de transferência relacionado ao i-ésimo modo oscilatório de interesse (Aboul-Ela, et al., 1996). Esta compensação de fase corresponde ao ângulo para o qual uma variação positiva de ganho do controlador faz com que o autovalor correspondente ao i-ésimo modo deoscilação se desloque no sentido do semi-plano esquerdo do plano complexo.
A freqüência angular para a qual a máxima compensação de fase
max k acontece depende do parâmetro
k, em (23), e é dada por. k k k (35)
O parâmetro
k é uma variável de decisão e determina a faixa de frequências na qual o controlador proporciona a máxima compensação de fase
max k especificada pork
. Portanto, a imposição de limites para
k implica em limites na compensação de fase do controlador para a frequência do modo oscilatório de interesse (frequência,
i
para i i ji). Estes limites são levados em consideração no algoritmo proposto por meio da restrição dada pormink 10º k maxk 10º
,
(36)onde
mink10º e
maxk10º são os limites inferior esuperior para
k, os quais correspondemrespectivamente às compensações de fase iguais a
maxk 10º
e maxk10º. Estes limites implicam que a compensação de fase a ser proporcionada pelo k-ésimo controlador esteja dentro de uma faixa dada por
maxk 10º k maxk 10º
. Desvios de 10º em torno de
maxk são adequados para o projeto de controladores, pois max k assegura amortecimento adicional ao i-ésimo modo de resposta de interesse (Aboul-Ela, et al., 1996).O parâmetro Kpss k_ também é limitado pela restrição
dada por
_
0Kpss k50. (37)
O limite superior para o parâmetro
pss
K é estabelecido
em 50 p.u. devido à considerações práticas, pois valores elevados de ganho podem levar à saturação da saída do controlador e amplificações indesejadas de dinâmicas de alta frequência. Informações detalhadas a respeito deste algoritmo podem ser obtidas em (Oliveira, et al., 2010).
5 Análises e Resultados
Uma sequência de testes foi realizada a fim de avaliar a formulação de controle proposta. O objetivo principal é demonstrar que a abordagem proposta é capaz de assegurar um desempenho pré-especificado apenas para os modos de resposta de interesse. O desempenho do controlador resultante foi avaliado através de testes realizados em um modelo de sistema de potência tipicamente adotado em estudos de estabilidade, e os resultados obtidos com as análises modais e simulações
não-lineares são apresentados nesta seção. O sistema teste é um sistema de potência composto por quatro geradores, conforme apresentado na Figura 5. Os dados completos sobre este sistema podem ser obtidos em (Kundur, 1994).
Figura 5. Diagrama unifilar do sistema teste.
Três condições de operação foram levadas em consideração nos testes: um caso base e duas outras condições correspondentes à variações de carga de ±10% em relação ao caso base.
Na modelagem do sistema, os geradores foram descritos por um modelo de dois eixos (Kundur, 1994) e assume-se que cada gerador está equipado com um regulador automático de tensão, representado por um modelo de primeira ordem. O sistema de transmissão foi modelado como um circuito passivo e as cargas do sistema foram representadas como impedâncias constantes. É importante enfatizar que a abordagem proposta é geral o suficiente para ser aplicada a outros modelos de sistema sem alterações na formulação geral.
Antes de aplicar a abordagem proposta, um controlador de amortecimento foi inserido no gerador G3 para amortecer o modo eletromecânico local associado à área 2. Os parâmetros referentes a esse controlador foram retirados da literatura e detalhes a respeito do projeto do controlador podem ser obtidos em (Kundur, 1994). A Figura 6 apresenta os autovalores relacionados aos modos eletromecânicos do sistema, nas três condições de operação, com um controlador apenas no gerador G3.
Figura 6. Autovalores relacionados aos modos eletromecânicos considerando o sistema operando sem o controlador proposto.
Analisando os resultados apresentados na Figura 6 é possível notar que o sistema apresenta dois modos eletromecânicos locais e um modo inter-área. No caso base, o modo local correspondente aos geradores G3 e G4 apresenta fator de amortecimento de 5,6% e o modo local associado aos geradores G1 e G2 é instável com fator de amortecimento de -1,2%. Esta análise linear foi
L1 L2 G4 G1 G3 1 5 6 7 9 10 11 3 4 8 Área 1 Área 2 G2 2 -0.45 -0.4 -0,3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.14 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Real (1/s) Im a g in á ri o (ra d /s ) = 5% Caso base +10% nas cargas
- 10% nas cargas Modo local(G1 e G2) Modo local
(G3 e G4)
Modo inter-área (G1, G2, G3 e G4)
validada com uma simulação não-linear considerando o sistema de potência operando nas condições correspondentes ao caso base. A Figura 7 apresenta resposta não-linear correspondente às velocidades dos geradores do sistema considerando apenas um controlador inserido no gerador G3. Conforme o esperado, a resposta não-linear está de acordo com a análise linear.
Figura 7. Resposta da velocidade dos geradores considerando o sistema operando sem o controlador proposto.
De acordo com a análise dos resíduos (Pagola, et al., 1989), um controlador de amortecimento para os geradores G1 ou G2 é suficiente para amortecer o modo local instável. Entretanto, controladores adicionados aos geradores G1 e G2 não são capazes de melhorar o amortecimento do modo local associado aos geradores G3 e G4, pois o modo local da área 2 não pode ser controlado pelas entradas de controle dos geradores G1 e G2. Por consequência, considerando o projeto de controladores apenas para os geradores G1 e G2, a técnica do posicionamento regional de polos é incapaz de posicionar o polo correspondente ao modo local instável dentro de uma região no plano complexo que assegure fator de amortecimento superior a 10%, por exemplo, pois esta técnica requer que todos os polos do sistema estejam localizados nesta região.
A abordagem proposta é empregada para gerar um controlador robusto apenas para o gerador G1. A abordagem baseada na energia da saída do sistema permite solicitar um fator de amortecimento superior a 10% apenas para o modo de resposta de interesse. O desvio da velocidade do gerador G1 foi adotado como entrada do controlador. O modo de resposta de interesse (modo local relacionado aos geradores G1 e G2) foi tomado como saída do sistema em malha fechada. Considerando a condição inicial de 0,2 apenas para o modo de resposta de interesse (ou seja, xinteresse(0) 0,2 e
i(0) 0,
x para i 1, , ,n com xinteresse(0)xi(0)), um
fator de amortecimento de 10% para o modo de resposta de interesse corresponde a uma energia de 0,0129 (
0,0129
). Levando em consideração a frequência do modo local de interesse e o fator de amortecimento desejado, a energia da saída foi calculada utilizando a equação (15). Este valor de energia foi utilizado como limite superior para a energia da saída do sistema na etapa de projeto.
O parâmetro
, que corresponde à compensação de fase requerida para amortecer o modo de resposta de interesse, foi calculado baseando-se no resíduo da função de transferência como +34,2º (o valor positivo indica avanço de fase). O valor do parâmetro do controlador, calculado a partir de (34), é igual a 3,57
3,57 .
Utilizando o limite superior e inferior para oângulo de compensação de fase
10º 10º
, é possível calcular os limites para
, a partir de (35), como 11,73 <
< 17,96. O controlador foi gerado pelo algoritmo em 9 iterações. A solução para a formulação de controle proposta foi obtida utilizando-se o solver ‘mincx’, disponível no LMI Toolbox do MATLAB®.A Figura 8 apresenta os autovalores relacionados ao sistema em malha fechada com o controlador resultante inserido no gerador G1. Nessa figura, é possível verificar que o controlador proposto assegurou um fator de amortecimento maior que 10% para o modo de resposta de interesse (modo local correspondente a área 1). Conforme o esperado, o modo local correspondente a área 2 permaneceu quase inalterado com a inclusão do controlador projetado.
Figura 8. Autovalores correspondentes aos modos de resposta do sistema teste com o controlador projetado inserido no gerador G1.
Uma análise não-linear também foi realizada visando validar a análise linear. A Figura 9 apresenta a resposta não-linear correspondente às velocidades de todos os geradores do sistema, em um caso onde as cargas foram aumentadas em 7,5% em relação ao caso base. As análises lineares e não-lineares mostraram que a metodologia proposta é capaz de gerar um controlador robusto que garante o desempenho adequado/desejado apenas para o modo de resposta de interesse.
A formulação de controle proposta foi comparada com a formulação de controle baseada no PRP (Oliveira et al., 2010) em termos dos esforços computacionais exigidos para a resolução das respectivas formulações LMIs. Nesta avaliação com a abordagem baseada no PRP, um controlador é projetado usando o mesmo modelo politópico empregado no projeto realizado na metodologia proposta nesse trabalho. Neste caso, cada iteração do algoritmo foi resolvida em cerca de 52 segundos. Na formulação de controle proposta, cada
2 3 4 5 6 7 8 9 10 376.6 376.8 377 377.2 377.4 377.6 377.8 Tempo (s) V e lo c ida de do r o to r d o s ge ra d o re s ( rad /s ) Ger. 1Ger. 2 Ger. 3 Ger. 4 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Real (1/s) Im a g in á rio ( ra d /s ) = 5% = 10% Caso base + 10% nas cargas - 10% nas cargas Modo local (G1 e G2) Modo local (G3 e G4) Modo inter-área (G1, G2, G3 e G4)
iteração do algoritmo foi resolvida em cerca de 8 segundos.
Figura 9. Resposta da velocidade dos geradores considerando o sistema operando com o controlador proposto incluído no gerador G1.
6 Conclusões
O uso de objetivos de projeto adequados para formulações de controle na forma de LMI é de grande importância para evitar esforços computacionais excessivos para a solução de formulações de controle. Ademais, alguns objetivos de projeto podem não ser adequados a alguns tipos de problemas, conforme mostrado no estudo de caso realizado neste trabalho. Considerando este fato, este trabalho propôs o uso de um objetivo de projeto alternativo para superar as limitações do tradicional posicionamento regional de polos na forma de LMI. O objetivo de projeto proposto impõe um limite superior para a energia da saída do sistema. O trabalho também estabeleceu uma relação entre o valor da energia da saída do sistema e o fator de amortecimento da saída do sistema.
O procedimento proposto gerou um controlador robusto de amortecimento de baixa ordem capaz de garantir um desempenho desejado apenas para o modo de resposta de interesse. É importante ressaltar que o índice de desempenho assegurado apenas para o modo de resposta de interesse não poderia ser obtido pelo posicionamento regional de polos.
A aplicação da abordagem proposta a unidades eólicas de geração e dispositivos FACTS, assim como o uso de sistemas de potência de grande porte, serão considerados em pesquisas futuras.
Agradecimentos
Os autores agradecem ao CNPq, CAPES, FINEP, SETI e Fundação Araucária pelo apoio financeiro.
Apêndice
A função de transferência do controlador gerado pela metodologia proposta é dada por
1 10 (1 0,2035) (1 0,2035) ( ) 17,5 . (1 10) (1 0,0570) (1 0,0570) G s s s F s s s s (A.1) Referências Bibliográficas
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2 3 4 5 6 7 8 9 10 376.8 376.9 377 377.1 377.2 377.3 377.4 377.5 377.6 377.7 Tempo (s) V e loc id a d e d o r o tor d os g e ra d or e s ( ra d/ s ) Ger. 1 Ger. 2 Ger. 3 Ger. 4
