Um Estudo Comparativo de. Algoritmos Genéticos e Beam Search para o Problema de Alocação de Células de Telefonia Celular

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Um Estudo Comparativo de

Algoritmos Genéticos e Beam Search para o

Problema de Alocação de Células de Telefonia Celular

Anibal Tavares de Azevedo

∗

e Cassilda Maria Ribeiro

Resumo: Este cap´ıtulo apresenta o problema de atribui¸cão de células às centrais de telefonia móvel. Este problema é conhecido como um problema de otimiza¸cão NP-completo. Isto significa que ainda não se encontrou um método de otimiza¸cão exato que seja capaz de encontrar a solu¸cão ótima do problema num tempo computacional razoável. Uma alternativa para a solu¸cão deste tipo de problema é a utiliza¸cão de métodos heur´ısticos, pois eles permitem que se encontre uma solu¸cão de boa qualidade num tempo computacional bastante satisfatório. Três heur´ısticas são apresentadas para resolver este problema, sendo duas baseadas em Algoritmos Genéticos e uma relacionada ao Beam Search. Os resultados mostram a qualidade das solu¸cões produzidas por cada método tanto em termos numéricos como através de uma análise gráfica da aloca¸cão de células para cada central. E observado o melhor desempenho do Beam´ Search devido a capacidade deste método em lidar com problemas cujas solu¸cões devem atender muitas restri¸cões.

Palavras-chave: Rede de telefonia celular, Otimiza¸cão combinatória, Beam search, Algoritmo genético. Abstract: This chapter presents the optimization problem of cell assignment to switches in a cellular mobile network. This optimization problem is known to be NP-Complete. It means, until now, it can not be solved by exact optimization algorithms, so the alternative is the heuristic methods, which can practically lead to good feasible solutions to problems of a certain size in a satisfactory computational time. Three heuristics are presented to solve these problems such that two of them are based on Genetic Algorithms and one is the Beam Search. It is also presented the solutions for each approach in terms of numerical and visualization of the cellular allocation for each central. We observed that the Beam Search Method always produces the best solutions. A possible explanation is the fact that the Beam Search Method is especially designed to deal with severely constrained problems.

Keywords: Cellular mobile network, Combinatorial optimization, Beam search, Genetic algorithm.

1. Introdução

Uma rede sem fio capaz de oferecer diferentes servi¸cos tais como: voz, v´ıdeo, correio eletrônico, etc; e acess´ıvel a partir de um terminal único é chamada Rede de Comunica¸cão Pessoal (RCP). Os diferentes servi¸cos da RCP são oferecidos por regiões. Essas regiões, também chamadas de zona de cobertura, são divididas em pequenas ´

areas geográficas denominadas de células. As células são, então, as unidades básicas do sistema de telefonia celular t´ıpica. Cada célula é responsável pelos servi¸cos oferecidos (cobrir) a um certo número de assinantes. Para tanto, em cada célula existe uma esta¸cão básica (antena) que faz a comunica¸cão entre os assinantes pertencentes à mesma célula. Além disto, cada célula está conectada a uma central de telefonia móvel (central de comuta¸cão) que é a responsável por fazer as liga¸cões entre os assinantes de duas células diferentes. Cada central de telefonia móvel tem capacidade de comutar um determinado número de assinantes. Assim, várias células podem ser conectadas a uma mesma central, bastando que se respeite a capacidade máxima da mesma. Contudo, uma célula não pode estar conectada a duas ou mais centrais ao mesmo tempo.

As células possuem, por razões de cálculos, o formato hexagonal, formando algo parecido com uma colméia de abelhas. O raio deste hexágono varia de acordo com o número de assinantes por unidade de superf´ıcie (1, 2, 4, 8, 16 e 32 quilômetros). No exemplo da Figura1 as células A e B estão conectadas à central telefônica 1 e as células C e D estão conectados à central telefônica 2.

∗_{Autor para contato: anibal.azevedo@fca.unicamp.br}

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Figura 1. Divis˜ao do sistema de telefonia celular em c´elulas.

As antenas situadas nas células utilizam canais de rádio para fazer a comunica¸cão entre os assinantes da rede de telefonia móvel e, para evitar interferências, os grupos de canais de rádios utilizados por duas células adjacentes são diferentes.

Quando um usuário em comunica¸cão se move de uma célula para outra, a esta¸cão básica (antena) da nova célula tem a responsabilidade de manter a comunica¸cão deste usuário, devendo para isto alocar para ele um novo canal de rádio. A transferência de comunica¸cão de uma esta¸cão básica para outra é chamada (em inglês) de handoff. O mecanismo que envolve a transferência de um usuário entre duas esta¸cões básicas (células) ocorre quando o n´ıvel do sinal recebido do usuário fica muito fraco. Existem dois tipos de handoff. No exemplo da Figura1, quando o usuário se move da célula A para a B, o handoff é chamado de simples porque as duas células estão conectadas à mesma central telefônica de comuta¸cão, e o custo induzido para se fazer a transferência de A para B não é elevado. Por outro lado, quando o usuário se move da célula A para a célula C, o handoff é dito complexo e custo induzido para se fazer esta transferência é alto, pois as duas centrais de comuta¸cão (1 e 2) devem estar ativas durante o processo de handoff e a base de dados contendo informa¸cões sobre os assinantes deve ser atualizada.

O Problema de Atribui¸cão de Células a Centrais (PACA) consiste em atribuir n células a m centrais telefônicas de comuta¸cão de modo ótimo, isto é, encontrar uma atribui¸cão de células a centrais que respeite certas restri¸cões e minimize o custo total de opera¸cão. Na minimiza¸cão do custo total de opera¸cão, dois fatores devem ser considerados. O primeiro deles é o custo da liga¸cão entre os assinantes das células e a central de comuta¸cão na qual elas estão conectadas. Este custo é chamado de custo de cabeamento. O segundo fator é o custo gerado pelo handoff entre células.

O PACA tal como formulado porMerchant & Sengupta(1995) é um problema NP-Completo e, portanto, de dif´ıcil solu¸cão. Aqui serão apresentadas duas versões de um algoritmo genético e uma versão do algoritmo Beam Search para resolu¸cão do PACA. A primeira versão do Algoritmo Genético usa uma estratégia de factibiliza¸cão das solu¸cões e a segunda usa uma estratégia de penaliza¸cão. Serão apresentadas compara¸cões entre as duas versões do Algoritmo Genético e o Beam Search.

2. O Problema de Atribuição de Células a Centrais

Uma das tarefas mais importantes no planejamento de redes de telefonia celular móvel é encontrar uma atribui¸cão de células às centrais telefônicas de comuta¸cão que seja ao mesmo tempo barata e eficaz. O que se pretende então é encontrar uma atribui¸cão de células às centrais que respeite algumas restri¸cões e minimize o custo total de opera¸cão considerando dois fatores. O primeiro fator a ser considerado é o custo da liga¸cão entre os assinantes das células e a central telefônica à qual elas estão conectadas (custo de cabeamento). Este custo depende da distância entre a célula e sua central. O segundo fator é o custo gerado pelo handoff entre células. Assim, uma atribui¸cão lógica é fazer com que duas células sejam conectadas a uma mesma central telefônica se a frequência do handoff entre elas é alta.

O problema de se atribuir n células a m centrais numa rede de telefonia celular é um problema NP-completo (AbuAmara et al., 2006) e, por isto, de modo geral os métodos de busca exaustiva não são adequados para resolvê-los. Para se encontrar a solu¸cão ótima deste problema através de uma busca exaustiva, seria necessário examinar todo o espa¸co de solu¸cões poss´ıveis. Por exemplo, para uma rede com 150 células e 4 centrais telefônicas; rede esta considerada de tamanho médio; seria necessário examinar (4150_{) solu¸}_c˜_{oes poss´ıveis.}

Utilizando-se um computador capaz de examinar uma solu¸c˜ao a cada 1ns, seriam necess´arios 6, 46 × 1073_anos

para examinar todas as solu¸cões poss´ıveis. Este problema vem sendo bastante estudado e devido à dificuldade de se resolvê-lo os métodos utilizados na sua resolu¸cão são invariavelmente as heur´ısticas.

Um dos primeiros a propor um modelo e uma heur´ıstica para a resolu¸cão do problema de atribui¸cão de células a centrais foi Merchant & Sengupta (1995), depois Saha et al. (2000) apresentaram algumas heur´ısticas e fizeram algumas compara¸cões com as heur´ısticas já existentes, comparando inclusive com a heur´ıstica de Merchant & Sengupta (1995). Hedible & Pierre (2000) estudaram este problema de maneira sistemática e usaram a Busca Tabu (Houeto & Pierre,2002), algoritmos genéticos (Hedible & Pierre, 2000)

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e Simulated Annealing (Quintero & Pierre, 2003). Algoritmos combinando duas ou mais técnicas de solu¸cão também já foram propostas. Na abordagem proposta por Menon & Gupta (2002) a técnica de Gera¸cão de Colunas é combinada com a meta-heur´ıstica Simulated Annealing. Houeto & Pierre (2002) propuseram um Algoritmo Memético e na compara¸cão com o Busca Tabu obtiveram melhores resultados para problemas de tamanho médio e grande. Salomão(2005) propôs um método de gera¸cão de colunas eAbuAmara et al.(2006) propuseram uma heur´ıstica usando técnicas de computa¸cão evolutiva.

2.1 Formulação matemática do problema

O problema de atribui¸cão de células a centrais de comuta¸cão foi formulado porMerchant & Sengupta(1995) como um problema de programa¸cão inteira com variáveis zero-um como mostrado a seguir.

Sejam n células que devem ser atribu´ıdas a m centrais de comuta¸cão. É assumido que a localiza¸cão das células e das centrais é fixa e conhecida.

Sejam Hij e Hij0 respectivamente os custos por unidade de tempo dos handoffs simples e complexo que

ocorrem entre as células i e j (i, j = 1, · · · , n). As taxas de handoffs entre células podem ser estimadas usando-se ou as estat´ısticas de medi¸cão do tráfego de chamadas existentes nos sistemas, ou modelos anal´ıticos e de simula¸cão (Alonso et al.,1992;Nanda,1993). Portanto, é assumido que os custos de handoffs são conhecidos e proporcionais à freqüência de handoffs que ocorrem entre as células i e j.

Seja ciko custo de cabeamento por unidade de tempo entre a c´elula i e a central de comuta¸c˜ao k. Seja λi

o n´umero de chamadas que a c´elula i faz por unidade de tempo e seja Mka capacidade da central k de efetuar

chamadas. O objetivo deste problema consiste em atribuir cada célula a uma central de modo a minimizar o custo total por unidade de tempo. Esse custo tem dois componentes: o custo do handoff por unidade de tempo e o custo de cabeamento entre as células e as centrais. A otimiza¸cão deste problema deve ser feita de modo que a capacidade máxima de cada central não seja violada e que cada célula seja atribu´ıda a uma única central.

Seja xik a variável que representa a atribui¸cão de uma célula i à uma central k. Assim pode-se escrever

que xik= 1 se a célula i for atribu´ıda à central k e zero caso contrário. Como cada célula só pode ser atribu´ıda

`

a uma única central, tem-se a restri¸cão dada pela Equa¸cão (1).

m

X

k=1

xik= 1, ∀i = 1, · · · , n. (1)

A restri¸cão de capacidade das centrais de efetuar as chamadas é dada pela Equa¸cão (2).

m

X

k=1

λixik≤ Mk, ∀k = 1, · · · , m. (2)

O custo total de cabeamento ´e dado pela Equa¸c˜ao (3).

n X i=1 m X k=1 cikxik (3)

Para se definir os custos de handoff foram criadas as vari´aveis dadas pela Equa¸c˜ao (4).

zijk= xikxjk, ∀i, j = 1, · · · , n, ∀k = 1, · · · , m (4)

Observe que a Equa¸cão (4) é tal que zijk = 1 se as células i e j são conectadas na mesma central de

comuta¸cão k e zijk = 0 caso contrário. Deste modo, pode-se definir a Equa¸cão (5).

yij = m

X

k=1

zijk= 1, ∀i, j = 1, · · · , n (5)

A partir da Equa¸cão (5) é poss´ıvel verificar que se yij = 1, então, as células i e j estão conectadas à mesma

central de comuta¸cão e se yij = 0, então, as células i e j estão conectadas a centrais distintas. Assim, o custo

(4)

n X i=1 m X k=1 cikxik+ n X i=1 n X j=1 Hijyij+ n X i=1 n X j=1 Hij0 (1 − yij) (6)

SegundoHedible & Pierre(2000), o custo do handoff simples Hij pode ser considerado irrelevante quando

comparado ao custo do handoff complexo H_ij0 . Fazendo-se, ent˜ao, hij = Hij0 − Hij, substituindo-o em (6) e

desconsiderando a parte constante, a fun¸cão objetivo a ser minimizada é dada pela Equa¸cão(7).

n X i=1 m X k=1 cikxik+ n X i=1 n X j=1 hij(1 − yij) (7)

As restri¸cões (4) e (5) são condi¸cões de igualdade que foram usadas para definir as variáveis zijk e yij.

Assim, zijk pode ser substitu´ıda em (5) de modo a se obter a equa¸c˜ao yij= m

X

k=1

xikxjk, que por sua vez pode

ser substitu´ıda na fun¸cão objetivo. Com estas modifica¸cões o problema pode ser formulado como dado por (8). min n X i=1 m X k=1 cikxik+ n X i=1 n X j=1 hij− n X i=1 n X j=1 m X k=1 hijxikxjk sujeito à: m X k=1 xik= 1, ∀i = 1, · · · , n n X i=1 λixik≤ Mk, ∀k = 1, · · · , m xik= 0ou1, ∀i = 1, · · · , n, ∀k = 1, · · · , m (8)

Na formula¸cão (8), note que as restri¸cões (4) e (5) foram integradas na fun¸cão objetivo e por isto puderam ser eliminadas do problema tal que o problema é não-linear. Este problema tem sido resolvido como um problema de Programa¸cão Linear Inteira (Menon & Gupta, 2002; Merchant & Sengupta, 1995; Salomão,

2005). Para isto basta que não se incorpore as restri¸cões (4) e (5) à fun¸cão objetivo, mas ao se proceder deste modo, o problema, que já é grande, torna-se ainda maior, pois para cada variável zijk são acrescentadas mais

quatro restri¸c˜oes.

Neste cap´ıtulo são propostos três algoritmos para resolver o PACA. Os algoritmos utilizam formula¸cão matemática mostrada anteriormente, sem transformá-lo em um problema linear. Dois dos algoritmos que serão apresentados são do tipo Algoritmo Genético e o outro é um Beam Search.

3. Algoritmos Genéticos

Os algoritmos genéticos (AGs) foram introduzidos porHolland(1975). Tratam-se de algoritmos de busca geral cujo funcionamento baseia-se nos mecanismos existentes na genética e na teoria da evolu¸cão natural. A idéia apresentada por Holland despertou o interesse de outros autores tais como Goldberg (1989) e Michalewicz

(1996) que aprofundaram os conceitos e técnicas envolvendo os AGs. Foi Goldberg (1989) quem descreveu a forma usual dos algoritmos genéticos como sendo técnicas de busca estocástica baseadas no mecanismo de sele¸cão natural e genética natural.

Os AGs se diferenciam das técnicas convencionais de pesquisa na medida que eles utilizam um conjunto aleatório de solu¸cões iniciais chamado popula¸cão. A popula¸cão é então um conjunto de indiv´ıduos ou cromossomos sendo que cada cromossomo representa uma solu¸cão para o problema. Cada cromossomo é então, uma sequência de s´ımbolos chamada de genes. O gene é a menor unidade de informa¸cão em um cromossomo e cada gene representa uma variável da solu¸cão do problema. Os cromossomos ou indiv´ıduos (solu¸cões) evoluem através de sucessivas itera¸cões, chamada gera¸cão. Durante cada gera¸cão (itera¸cão), os cromossomos são avaliados através de uma fun¸cão de avalia¸cão também chamada de fitness. A próxima gera¸cão (itera¸cão) é obtida com a cria¸cão de um novo cromossomo que pode ser formado de dois modos:

• Utilizando um operador de crossover (ou cruzamento) que mescla dois cromossomos da gera¸cão atual; • Modificando o cromossomo através de um operador de muta¸cão.

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Uma nova gera¸cão (t + 1) é então formada selecionando, de acordo com a avalia¸cão dos cromossomos (solu¸cões), alguns dos pais e descendentes gerados e rejeitando outros cromossomos, de modo a manter as popula¸cões com tamanhos constantes. Depois de várias gera¸cões, o algoritmo converge para o melhor cromossomo, o qual se espera que represente uma solu¸cão ótima ou próxima ao valor ótimo para o problema. Por ser uma ferramenta de propósito geral, o Algoritmo Genético pode ser aplicado a problemas cuja estrutura inviabiliza a aplica¸cão de métodos exatos, tal como o problema de aloca¸cão de células de telefonia celular cuja formula¸cão apresenta um problema combinatório. A Figura2, a seguir, mostra a estrutura geral do Algoritmo Genético utilizada para resolver o PACA tal que S(t) =S1_{, S}2_{, · · · , S}b_{é uma popula¸cão de b indiv´ıduos de}

uma (itera¸c˜ao) gera¸c˜ao t.

Figura 2. Estrutura geral de um algoritmo gen´etico.

3.1 Representação dos cromossomos para o PACA

Os AGs têm como princ´ıpio a evolu¸cão através de gera¸cões de uma popula¸cão de indiv´ıduos (ou cromossomos). Indiv´ıduos nada mais são do que uma poss´ıvel solu¸cão do problema, ou seja, são pontos dispostos dentro do universo de busca da solu¸cão ótima. Deste modo, a primeira coisa a ser definida na implementa¸cão de um algoritmo genético é como codificar um indiv´ıduo, isto é, como cada indiv´ıduo da popula¸cão representa uma solu¸cão para o PACA. Aqui, a representa¸cão de cada indiv´ıduo da popula¸cão S(t) foi feita através de um vetor s cujo elemento st

j= k indica que a antena j foi alocada para central k tal como dado na Figura 3.

Figura 3. Codifica¸c˜ao que relaciona uma solu¸c˜ao do PACA com um cromossomo do AG.

Então, a cada gera¸cão (itera¸cão t) uma popula¸cão com b indiv´ıduos (solu¸cões), pode ser armazenada em uma matriz S(t) de dimensão (n × b), onde n é o número de antenas e b os indiv´ıduos da gera¸cão t. De modo geral pode-se adotar b como sendo igual ao número de antenas n. Assim, cada coluna com q = 1, · · · , n da matriz representa uma solu¸cão (indiv´ıduo) para o problema de aloca¸cão de antenas na gera¸cão t. Então, cada elemento st

j,q da matriz S(t), representa a decis˜ao tomada na gera¸c˜ao t de se atribuir a antena j a uma central

k, isto ´e, St

j,q= k. A Figura 4mostra a matriz S(t), para um exemplo com duas centrais e 4 antenas. Nesta

figura supondo t = 1, os genes do individuo 1 s˜ao os elementos da primeira coluna da matriz S(t). Assim, nesta coluna s1

1,1 = 2 significa que a antena A1 foi atribu´ıda a central 2 na gera¸c˜ao 1, s12,1 = 1 significa que

a antena A2 foi atribu´ıda a central 1 na gera¸cão 1, s1_3,1= 1 indica que a antena A3 foi atribu´ıda a central 1 na gera¸cão 1 e assim por diante. Neste exemplo considerou-se o número de indiv´ıduos iguais ao número de antenas, isto é, b = 4.

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Figura 4. Representa¸cão das b melhores solu¸cões através da matriz S(t).

O número de indiv´ıduos de uma popula¸cão deve ser escolhido em fun¸cão do problema a ser resolvido. Com um número muito baixo de indiv´ıduos, o universo de busca pode ser representado de maneira muito pobre. Já com um número muito grande de indiv´ıduos, o tempo computacional pode se tornar inviável. (Haupt,

2000) fez um estudo sobre como identificar o número ideal de indiv´ıduos. No PACA, uma boa escolha é ter, no m´ınimo, o número de centrais. Testes computacionais para instâncias de pequeno porte indicam que um tamanho adequado para a popula¸cão é de 50 indiv´ıduos desde que combinado com operadores de muta¸cão apropriados.

Definindo que uma solu¸cão para o PACA está associada a uma coluna Sq da matriz S(t) de popula¸cão, isto é, Sq=st1,q, s2,qt , · · · , stn,q com sti,q , onde i refere-se a antena; k refere-se à central onde a antena i foi

atribu´ıda e q refere-se `a coluna da matriz S(t).

Uma das formas mais frequentes de codifica¸cão de solu¸cão utilizada na literatura é a binária, mas neste trabalho foi utilizada uma codifica¸cão de solu¸cão do tipo inteira. Este tipo de codifica¸cão foi escolhido pois a codifica¸cão binária demanda um vetor de solu¸cões de maior tamanho. Observe também que uma vez obtida uma solu¸cão Sq_{, fica f´}_{acil de se obter dos valores das vari´}_{aveis x}

ik do problema dado pela Equa¸c˜ao (8), pois

xik = 1 para todo gene sti,q = k representado no individuo Sq e xik = 0, caso contr´ario. A obten¸c˜ao dos

valores das variáveis xik se faz necessário para se calcular o valor da fun¸cão objetivo durante ao execu¸cão do

algoritmo.

3.2 Tratamento das restrições

Uma vez definida a codifica¸cão das solu¸cões é preciso pensar em como respeitar as restri¸cões do PACA, ou seja, a atribui¸cão de antenas às centrais deve ser feita de modo que o total de assinantes atribu´ıdos a uma central não ultrapasse sua capacidade. Para tanto, foram estabelecidas duas estratégias de atribui¸cões e cada qual está associada a um algoritmo genético.

1. Estratégia de Factibiliza¸cão: Toda vez que uma solu¸cão infact´ıvel é gerada aplica-se um operador heur´ıstico de repara¸cão (Din & Tseng,2002) que consiste nos seguintes passos.

• Passo 1: Para uma dada solu¸c˜ao infact´ıvel Sq_{, ordenar as centrais em ordem crescente de acordo}

com a utiliza¸c˜ao de suas capacidades.

• Passo 2: Ap´os a ordena¸c˜ao, criar duas listas de centrais: uma lista L1 com k1 centrais em ordem

decrescente de viola¸c˜ao da capacidade e outra lista L2 com k2 centrais em ordem decrescente de

capacidade ociosa.

• Passo 3: Para i = 1, · · · , k1verificar se a i-´esima central de L1 pode ter sua capacidade respeitada

transferindo-se sua primeira atribui¸c˜ao de antena para a j-´esima central de L2(j = 1, · · · , k2) desde

que a j-ésima central não ultrapasse sua capacidade máxima. Repetir este procedimento para a segunda antena alocada à i-ésima central e assim por diante até que a central que estava infact´ıvel seja factibilizada. Ao se fazer isto, se a capacidade da j-ésima central se esgotar, passa-se para a próxima central na lista L2 com capacidade dispon´ıvel.

2. Estrat´egia de Penaliza¸c˜ao: Seja Sq _{uma solu¸}_c˜_{ao que produz uma infactibilidade g (S}q_{) relativa `}_as

restri¸c˜oes de capacidade. Adiciona-se ent˜ao uma penalidade p (Sq_{) ao valor da fun¸}_c˜_{ao objetivo f (S}q₎

para reduzir a probabilidade deste indiv´ıduo, que representa esta solu¸cão, de participar da popula¸cão da próxima gera¸cão. Esta estratégia foi inicialmente proposta porGoldberg(1989) e torna o problema irrestrito e a fun¸cão objetivo passa a ser dada pela Equa¸cão (9):

min f (Sq) + p (Sq) · g (Sq) (9) onde:

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f (Sq) = n X i=1 m X k=1 cikxik+ n X i=1 n X j=1 hij− n X i=1 n X j=1 m X k=1 hijxikxjk, p (Sq) = 100  max i {cik} + maxi    m X j=1 hij     , g (Sq) = max ( 0, n X i=1 λixik− Mk )

A fun¸c˜ao de penaliza¸c˜ao p (Sq_{) ´}_{e geral e n˜}_{ao depende de ajustes para cada instˆ}_{ancia em quest˜}_{ao, pois foi}

constru´ıda de modo que a penalidade ´e calculada considerando os custos de cabeamento (cik) e handoff

(hij), bem como das capacidades das centrais (Mk) de cada instˆancia. 3.3 Função de avaliação (fitness)

O terceiro passo a ser realizado é definir a fun¸cão de avalia¸cão da solu¸cão, ou seja, a fun¸cão de fitness. Ela ´

e responsável por estabelecer uma rela¸cão de ordem entre os indiv´ıduos de uma popula¸cão para uma dada gera¸cão t. A fun¸cão de fitness deve ser tal que os indiv´ıduos mais aptos tenham uma melhor avalia¸cão de modo que estes indiv´ıduos quando presentes na solu¸cão fa¸cam com que a fun¸cão objetivo do problema seja menor. Isto se aplica tanto para a estratégia de factibiliza¸cão (fun¸cão objetivo do problema (1)), como para a estratégia de penaliza¸cão (fun¸cão objetivo do problema (9)).

A fun¸cão de fitness utilizada é a da Equa¸cão (10), onde Sq _´_{e o q-´}_{esimo indiv´ıduo de uma popula¸}_c˜_{ao t, que}

representa uma solu¸c˜ao.

F it(Sq) = 1

1 + f (Sq_{) + p (S}q₎ (10)

3.4 Seleção

O quarto passo a ser realizado é a sele¸cão de indiv´ıduos para a próxima gera¸cão. Não foram realizados testes com todas as possibilidades de processo de sele¸cão, devido à ênfase da literatura na elabora¸cão de operadores de muta¸cão e crossover como forma de superar a dificuldade em se obter solu¸cões fact´ıveis e ao mesmo tempo com baixo valor de fun¸cão objetivo (Hedible & Pierre,2000;Din & Tseng,2002;Dianati et al.,

2003). O processo de sele¸cão empregado é do Roulette Wheel, ou seja, é realizado um sorteio aleatório onde a probabilidade de sorteio do q-ésimo indiv´ıduo, de uma popula¸cão com k indiv´ıduos, para participar da próxima gera¸cão é diretamente relacionado ao seu fitness tal como dado pela Equa¸cão (11):

Q(Sq) = F it(S q₎ k X t=1 F it(Sq) (11)

Além disto, o melhor indiv´ıduo de todas as gera¸cões sempre é selecionado para a próxima gera¸cão (elitismo).

3.5 Operadores de crossover e mutação

A seguir é necessário estabelecer os chamados operadores de crossover. Esses operadores tem a fun¸cão de gerar novos indiv´ıduos para a popula¸cão combinando as informa¸cões de gera¸cões anteriores contidas em seus indiv´ıduos. Foram estabelecidos dois operadores e a defini¸cão de qual dos dois operadores será utilizado é feita através de um sorteio aleatório em que cada um dos operadores tem 50% de chance de ser escolhido. Os operadores utilizados são:

• Crossover OX: Primeiro seleciona-se aleatoriamente dois indiv´ıduos I1 e I2 de uma gera¸c˜ao t. O vetor

de solu¸c˜oes Sq _{possui n (n´}_{umero de antenas) elementos e um valor aleat´}_{orio inteiro r ´}_{e sorteado dentro}

do intervalo [1 n − 1]. Após isto, os genes de I1que estão nas posi¸cões r + i, até n são trocados com os

genes de I2que também estão nas posi¸cões r + i até n, de modo que esta troca gere dois novos indiv´ıduos

(8)

Figura 5. Exemplo de aplica¸c˜ao do operador de crossover OX.

• Crossover CE: Este operador é uma modifica¸cão do que é apresentado no trabalho de Din & Tseng

(2002). Ele consiste em primeiro empregar o crossover OX para obter dois novos indiv´ıduos N1 e N2.

O segundo passo ´e, para cada um dos novos indiv´ıduos, escolher dois elementos vi e vj. Ent˜ao, todo

elemento do vetor de solu¸c˜ao Sq _{, cujo valor ´}_{e igual ao valor contido em i ser´}_{a trocado pelo valor contido}

em j e vice-versa. A Figura6ilustra o funcionamento deste operador para o indiv´ıduo N1, i = 2 e j = 4.

Figura 6. Exemplo de aplica¸c˜ao do operador de crossover CE.

O próximo passo consiste em definir os Operadores de Muta¸cão. Foram definidos quatro Operadores de Muta¸cão que serão apresentados a seguir. Eles são utilizados para alterar informa¸cões existentes dentro de um único indiv´ıduo. O Algoritmo Genético emprega um processo de sorteio que considera diferentes probabilidades de utiliza¸cão de cada operador de muta¸cão. Estas probabilidades levam em conta o custo de utiliza¸cão do operador. Todas as muta¸cões empregadas foram extra´ıdas do trabalho deDin & Tseng(2002). • Muta¸cão Simples (S): Este operador de muta¸cão simplesmente realiza a muta¸cão de um gene st_i,q do

indiv´ıduo Sq na itera¸c˜ao t, de acordo com uma probabilidade dada por pela Equa¸c˜ao (12).

pmit= 0, 5 ×

_{max (F it(S(t))) − F it(S}q₎

max (F it(S(t))) − avg(F it(S))

(12)

onde: F it(Sq_{) ´}_{e o fitness do indiv´ıduo S}q _{na gera¸}_c˜_{ao t, max(F it(S(t))) ´}_{e o maior valor de fitness na}

gera¸c˜ao t e avg(F it(S)) =

b

X

q=1

F it(Sq) !

/b é a média do fitness da popula¸cão com b indiv´ıduos na gera¸cão t.

• Muta¸cão Menor Custo de Cabeamento Primeira Preferência (MMCPP): Este operador de muta¸cão orienta a redu¸cão de custo de cabeamento, privilegiando a atribui¸cão de uma antena à central mais próxima. Dada uma antena Ai e uma central Ck com custo de cabeamento cik, que é o menor de todos

os custos de cabeamento, ent˜ao, isto resultar´a em uma maior probabilidade da antena Ai ser atribu´ıda

`

a central Ck. A probabilidade de que uma antena Ai seja selecionada aleatoriamente, e que estava

atribu´ıda `a central j, passe a ser atribu´ıda para a central k, ´e dada por (13):

pmik= Lmax− cik m X i=1 (Lmax− cik) (13) onde: Lmax= m max k=1 {cik}

(9)

• Muta¸cão Maior Peso Primeira Preferência (MPPP): Este operador de muta¸cão considera que o custo de handoff é importante e que duas antenas Ai e Aj com grande valor hij devem ter uma probabilidade

maior de pertencerem `a mesma central. Assim, a probabilidade de que o valor st

i,q (aloca¸c˜ao para a

antena Ai) seja transformado no valor stj,q (aloca¸cão para a antena Aj ) é dado pela Equa¸cão (14).

pmik= hij n X i=1 n X j=1 hij (14)

• Muta¸cão M´ınimo Incremento Radial Primeira Preferência (MIRPP): Este operador de muta¸cão tem por objetivo a verifica¸cão da redu¸cão do custo de handoff quando antenas Ai e Aj, inicialmente atribu´ıdas

a centrais distintas, passam a serem alocadas a uma mesma central. Para tanto, é introduzida uma medida de varia¸cão do custo de handoff, ∆hij, quando a antena Ai é atribu´ıda à mesma central da

antena Aj. A partir desta medida é calculada a probabilidade que o valor vi(aloca¸cão à antena Ai) seja

transformado no valor vj (aloca¸cão à antena Aj) através da Equa¸cão (15).

pmik= ∆hij n X i=1 X k∈Ωi (D − (∆hik+ R)) (15) onde: ∆hij = X k∈Ωi hjk− hij− hji, R = min i∈Nminj∈N{∆hij} , D = max i∈N maxk∈Ωi |∆hik+ R|, N = {1, 2, 3, ..., n}

o conjunto dos ´ındices das antenas e Ωj o conjunto de antenas que n˜ao pertencem `a mesma central que

foi atribu´ıda `a antena Aj.

A principal diferen¸ca entre a Equa¸cão (15) e a Equa¸cão (14), é que a Equa¸cão (15) capta detalhada e corretamente a varia¸cão no custo de handoff quando ocorre a modifica¸cão da atribui¸cão de uma antena de uma central para outra, mas a um custo computacional elevado, ao passo que a Equa¸cão (14) fornece apenas uma estimativa desta varia¸cão, mas sua utiliza¸cão é de baixo custo computacional.

Devido ao alto custo computacional no cálculo da Equa¸cão (15), foi desenvolvido um mecanismo, em adi¸cão às muta¸cões especificadas anteriormente, que visa aumentar a utiliza¸cão da muta¸cão MIRPP de acordo com o número de gera¸cões sem melhoria no valor da fun¸cão objetivo. Inicialmente o algoritmo considera as seguintes probabilidades de utiliza¸cão das muta¸cões: 30% para MPPP, 1% para MIRPP e 69% para MMCPP. Se após 10 gera¸cões não ocorrer melhoria no valor da fun¸cão objetivo do melhor indiv´ıduo da popula¸cão (que ´

e sempre passado para a próxima gera¸cão), então, a probabilidade de uso de MIRPP, puso, será incrementada

segundo a Equa¸cão (16). puso= min γ, maxθ, γ1 − eN/α−t (16) onde: γ é o maior valor que a probabilidade de escolha da muta¸cão MIRPP pode assumir, γ = 5% ; θ é o menor valor que a probabilidade de escolha da muta¸cão MIRPP pode assumir, θ = 1%; t é um ´ındice que indica qual a gera¸cão atual; N é o número máximo de gera¸cões, atribu´ıdo como 1000; α é o parâmetro que indica o número de gera¸cões sucessivas que poderá ocorrer incremento no valor de puso, assumido como α = 7.

Se para um dado valor de γ ocorrer em uma dada gera¸cão uma melhoria no valor da fun¸cão objetivo do melhor indiv´ıduo, então, faz-se uma redu¸cão na probabilidade de utiliza¸cão da muta¸cão MIRPP de acordo com a Equa¸cão (17). puso= γ 1 − eN/β−t (17) onde: β é o parâmetro que indica o número de gera¸cões sucessivas que poderá ocorrer decréscimo no valor de puso, assumido como β = 8.

A Figura 7 fornece um indicativo da evolu¸c˜ao do valor de puso ao longo das gera¸c˜oes de acordo com a

Equa¸c˜ao (16) e com a Equa¸c˜ao (17).

A Figura7(a)ilustra o comportamento do Algoritmo Genético com rela¸cão à probabilidade de muta¸cão (puso). Observe que o algoritmo procura adotar valores mais altos de utiliza¸cão da muta¸cão MIRPP à medida

(10)

(a) Incremento de puso (b) Decremento de puso

Figura 7. Exemplo da evolu¸cão dos incrementos de puso ao longo das gera¸cões com a Equa¸cão (16) e evolu¸cão

dos decrementos de puso ao longo das gera¸c˜oes com a Equa¸c˜ao (17).

que o número de gera¸cões sem melhoria da fun¸cão objetivo se aproxima do número máximo adotado, que neste caso é 1000. A Figura7(b) mostra a evolu¸cão dos decréscimos da probabilidade de muta¸cão puso cada vez

que 10 gera¸cões não apresentam melhoria no fitness do melhor indiv´ıduo de uma popula¸cão. Com esta figura é poss´ıvel verificar que no in´ıcio a ado¸cão de valores altos de muta¸cão MIRPP não perdura muito tempo, pois a cada gera¸cão com melhoria, os valores de decréscimos a serem aplicados são altos. Após 500 gera¸cões os valores de redu¸cão são muito próximos de zero.

Foram implementadas duas versões do algoritmo genético: uma que emprega a estratégia de penaliza¸cão (AGP) e outra que usa a estratégia de factibiliza¸cão (AGF). As duas versões utilizam a estrutura de dados descrita na Se¸cão3.1, a fun¸cão de avalia¸cão (Equa¸cão (10)) e o processo de sele¸cão de indiv´ıduo para a próxima gera¸cão (Equa¸cão (11)). A Tabela1resume as caracter´ısticas que diferenciam as duas versões dos Algoritmos Genéticos.

Tabela 1. Algoritmos Gen´eticos implementados.

Restri¸c˜oes Crossover Muta¸c˜ao

AGP Penaliza¸c˜ao OX S

AGF Factibiliza¸c˜ao OX, CE MCCP, MPPP, MIRPP

4. Método Beam Search

O Beam Search (BS) é um método heur´ıstico para resolver problemas de Otimiza¸cão combinatória. Pode-se dizer que ele é uma adapta¸cão do método de Branch and Bound onde somente os nós mais promissores de cada n´ıvel da árvore de busca são guardados na memória para serem visitados, enquanto que os demais nós são descartados permanentemente. Como uma grande parte dos nós da árvore de busca é descartada, isto é, somente alguns poucos nós são selecionados para serem analisados, o tempo de execu¸cão do método é polinomial com o tamanho do problema. Em resumo pode-se dizer que o Beam Search é uma técnica de busca em árvore que utiliza um número de solu¸cões em paralelo. O número de solu¸cões em paralelo é chamado de largura de busca e é denotado por β.

O Beam Search foi usado pela primeira vez pela comunidade de Inteligência Artificial para tratar problemas de reconhecimento de fala (Lowerre, 1976). Desde então, tem aparecido na literatura várias aplica¸cões deste método em problemas de sequenciamento da produ¸cão (Fox, 1983; Ow & Morton, 1988a,b) criaram uma varia¸cão do método, para o qual deram o nome de Beam Search filtrado. Outra variante do método foi proposta porDella Croce & T’Kindt(2002). A esta variante foi dado o nome de Beam Search Recuperado (Recovering Beam Search). Valente et al. (2005) desenvolveram um Beam Search que mistura as versões propostas porOw & Morton(1988a) eDella Croce & T’Kindt (2002).

(11)

4.1 Árvore completa

Como já foi dito anteriormente, o BS consiste numa técnica de busca em árvore, logo é preciso que se gere uma ´

arvore com as solu¸cões poss´ıveis do problema. Mas vale lembrar que esta técnica não gera todas as solu¸cões, pois não se trata de um algoritmo de busca exaustiva. Assim serão geradas somente as solu¸cões dentro de uma certa largura de busca β, pré-determinada.

Será utilizado um exemplo para mostrar como seria a árvore de solu¸cões se fossem consideradas todas as solu¸cões poss´ıveis. Sejam n = 4, o número de células (antenas) que devem ser atribu´ıdas a m = 2 centrais de comuta¸cão. Cada célula (antena) Aitem capacidade de realizar um número fixo de chamadas λipor unidade

de tempo. Assim, o número de chamadas cobertas pela antena A1é λ1, e λ2é o número de chamadas cobertas

pela antena A2e assim por diante. Essas chamadas serão realizadas pela central de comuta¸cão Cj, se a célula

Ai estiver conectada `a central Cj. Cada uma destas centrais tem uma capacidade Mj de efetuar chamadas.

Ou seja, M1 ´e a capacidade da central C1, M2 ´e a capacidade da central C2 e assim sucessivamente. Cada

célula só pode estar conectada a uma única central. A variável é xij, onde xij = 1 significa que a célula i está

conectada a central j e xij = 0, caso contr´ario.

As Tabelas 2 e 3 mostradas a seguir apresentam as informa¸c˜oes sobre custo de cabeamento, custo de handoff, n´umero de chamadas de cada antena e capacidade das centrais, para o problema da Figura8.

Tabela 2. Custo de Cabeamento Cikentre as antenas e as centrais,

n´umero de chamadas λide cada antena e capacidade Mi de cada central.

Antena Cik λi Central 1 Central 2 1 0 0 4 2 4 4 4 3 4 4 4 4 8 8 4 Mi 10 10

Tabela 3. Custo de handoff Hij entre as antenas.

Antena 1 2 3 4

1 0 3 2 2

2 3 0 1 51

3 2 1 0 4

4 2 51 4 0

Antes de construir a árvore de decisões com todas as solu¸cões poss´ıveis para este problema é necessário estabelecer as seguintes defini¸cões:

• (D.1) A árvore é constru´ıda por n´ıveis e, a cada n´ıvel i, é estabelecida a atribui¸cão da i-ésima antena a k-ésima central.

• (D.2) Os nós da árvore associados ao n´ıvel 1 são chamados de nó semente.

• (D.3) De (D.1) vem que a árvore possui n n´ıveis e que uma solu¸cão completa, com a atribui¸cão de todas as antenas a todas as centrais só será obtida ao se definir as atribui¸cões até o n´ıvel n.

• (D.4) A cada n´ıvel i, ao se realizar a atribui¸cão da i-ésima antena à k-ésima central, são contabilizados dois custos: custo fixo de cabeamento Cke custo de handoff Hijconsiderando todas as k − 1 atribui¸cões

anteriores.

A Figura 8 mostra como é a árvore de decisões para este problema, considerando-se todas as solu¸cões poss´ıveis.

Os nós de cada n´ıvel da árvore representam uma atribui¸cão. Come¸ca-se a construir a árvore fixando uma central, por exemplo, a central C1 e atribuindo a ela uma célula, por exemplo, A1. Assim, o nó 1 do n´ıvel

(12)

Figura 8. Árvore de solu¸cões fact´ıveis considerando o nó semente C1

no n´ıvel 1 (´arvore da esquerda) e C2no n´ıvel 1 (´arvore da direita).

N1 significa que a célula A1 foi atribu´ıda a central C1, isto é, x11= 1. Para esta atribui¸cão inicial foi dado

o nome de nó semente. Uma vez feita a atribui¸cão do nó semente segue-se fazendo as demais atribui¸cões, sempre levando em conta as atribui¸cões que já foram feitas nos nós anteriores. Note que o número de nós sementes é igual ao número de centrais m, logo são criadas m árvores, uma para cada central.

Em cada nó da Figura 8 também estão representados os custos fixos de cabeamento e custos de handoff relativos à atribui¸cão efetuada no nó. Os nós marcados com uma cruz fornecem uma atribui¸cão infact´ıvel e, por esta razão, eles são automaticamente eliminados do processo. É importante frisar que o número total de solu¸cões é de mn _{= 2}4 _{= 16 solu¸}_c˜_{oes poss´ıveis, mas que dentre estas apenas 6 eram fact´ıveis, justificando a}

aplica¸cão de um procedimento de busca em árvore, como o é o BS.

4.2 Árvore de soluções do beam search

Um melhor detalhamento e descri¸cão da adapta¸cão do Beam Search para o PACA pode ser obtido emRibeiro et al. (2009) e Ribeiro et al. (2011). Para fins didáticos aqui será ilustrado a aplica¸cão do BS no exemplo fornecido na Se¸cão4.1.

As Figuras (9(a))-(11(b)), apresentam a resolu¸cão detalhada do exemplo da Se¸cão4.1pelo BS. No exemplo é considerada largura igual a β = 2. Os passos a serem seguidos para se resolver o exemplo são:

(a) (b)

Figura 9. Passos da execu¸c˜ao do BS para o exemplo da Se¸c˜ao4.1(Parte 1).

1. Construir os nós do n´ıvel 1 (um nó para cada central). Os custos de cabeamento e handoff, neste n´ıvel são iguais à zero (veja Tabelas2e3).

2. No n´ıvel 2 inicialmente são criados 4 nós, pois a partir da atribui¸cão feita no n´ıvel 1, existem 4 atribui¸cões poss´ıveis para a antena 2 a saber: A2C1 e A2C2 na árvore da esquerda e A2C2 e A2C1 na árvore da

direita. Esta situa¸cão esta descrita na Figura 9(a) e corresponde ao primeiro passo do Beam Search. Como a largura da busca é dois, somente dois destes nós permanecem na árvore.

3. Para escolher quais nós do n´ıvel 2 devem permanecer é realizada uma busca em profundidade, até o ultimo n´ıvel, para cada uma das 4 aloca¸cões parciais do n´ıvel 2. Esta busca escolhe os nós com atribui¸cões fact´ıveis e com menor custo de cabeamento mais handoff. Tal situa¸cão está descrita na Figura 9(b) e corresponde ao segundo passo do Beam Search. A Figura 10(a) mostra quais foram os nós escolhidos

(13)

(a) (b)

para ficar na árvore. A seguir é feita uma arborescência dos nós do n´ıvel 3 (passo 1) e depois uma busca em profundidade a partir destes nós (10(b)) de modo a se escolher quais nós do n´ıvel 3 vão permanecer na árvore. A Figura 11(a) mostra os nós escolhidos do n´ıvel 3. A Figura11(b) mostra arborescência (passo 1) dos nós da Figura11(b)e a nova solu¸cão gulosa (passo 2). Obtêm-se assim duas solu¸cões finais: A1C1, A2C2, A3C1, A4C2com custo de 28 e A1C2, A2C1, A3C2, A4C1com custo de 36. Adota-se então

a solu¸c˜ao de menor custo entre as duas.

5. Resultados Computacionais

Com o intuito de se fazer um estudo comparativo entre as duas versões do algoritmo genético (AGP e AGF), do Beam Search (BS) e do método apresentado por Merchant & Sengupta (1995) (MS) foram feitos testes computacionais com 28 instâncias com dimensões variadas. Foram testadas as mesmas instâncias utilizadas por Merchant & Sengupta (1995). Os resultados obtidos são apresentados na Tabela 4 a seguir. Come¸ cou-se com problemas de tamanho considerado pequeno (15 antenas e 2 centrais), até problemas de tamanho considerado médio (125 antenas e 4 centrais).

Os resultados na Tabela4 indicam que o algoritmo genético com estratégia de factibiliza¸cão das solu¸cões (AGF) apresenta melhores resultados do que a estratégia de penaliza¸cão (AGP). Além disto, o mecanismo de controle do uso de muta¸cões permitiu a redu¸cão do esfor¸co computacional demandado pelos operadores genéticos do AGF, sem que isto ocasionasse a perda de qualidade das solu¸cões obtidas.

Disto pode-se concluir que estratégias cujo foco é verificar a factibilidade das solu¸cões vão, na maioria das vezes, apresentar melhores resultados que as estratégias de penaliza¸cão. A prova disto é o pior desempenho desta estratégia em compara¸cão com o AGF e o BS. A qualidade da solu¸cões encontradas para o AGP, na maioria das instâncias, só não é pior que a heur´ıstica deMerchant & Sengupta (1995). Isto pode ser melhor visualizado através das Figuras12(a), 12(b), 12(c) e12(d) que fornecem a qualidade das melhores solu¸cões obtidas para cada metodologia para a instância com 60 antenas e 5 centrais.

A qualidade das solu¸cões obtidas pelos algoritmos AGP, BS, AGF e MS para a instância com 60 antenas e 5 centrais pode ser verificada visualmente através Figuras12(a),12(b),12(c)e12(d). Nestas figuras é poss´ıvel

(14)

Tabela 4. Resultados obtidos com AGP, AGF, MS e BS.

#A #C

Fobj

Gen´eticos Heur´ıstica Beam Search

AGF AGP MS BS 15 2 130,9110 130,9110 140,5057 134,6165 3 124,6243 126,5147 136,8644 131,9053 4 100,8334 102,5019 106,0827 100,8334 5 105,7730 112,6118 110,5230 106,4477 30 2 328,2806 328,2806 331,2613 328,2806 3 346,2276 347,1058 348,8777 345,5388 4 289,8188 307,1258 305,1077 285,9955 5 252,7450 298,2984 250,2420 246,7576 45 2 940,6231 945,8115 1136,7193 960,3399 3 546,0876 605,9818 592,2188 555,8071 4 532,5536 614,1382 642,3129 529,0161 5 477,7655 591,5730 498,2100 427,9526 60 2 921,9139 980,5671 924,6604 921,9139 3 716,2282 903,9688 875,8786 767,2522 4 773,8595 913,4981 755,2581 739,8948 5 728,4790 917,4070 825,8006 696,0658 75 2 1537,6759 1636,7313 1538,8437 1537,6759 3 998,1641 1287,5002 996,1693 995,4171 4 1435,9658 1621,9197 1450,8298 1444,1450 5 1043,2567 1420,2235 1066,2254 973,0930 100 2 1736,0389 2046,8755 1738,4696 1736,0389 3 1389,0926 1888,8002 1405,1077 1401,5673 4 1518,0191 2316,4231 1471,2770 1448,9114 5 1631,1551 2400,4563 1867,2980 1466,6661 125 2 2914,4800 3376,5644 2917,0490 2914,4800 3 2221,1392 2974,0999 2454,2371 2213,7804 4 3023,9196 3784,9294 3184,9914 2959,1424 5 2150,9579 3133,3012 2284,7271 2041,4051

constatar que quanto menor o valor da solu¸cão, em termos de valor da fun¸cão objetivo, mais compacto é o agrupamento de células pertencentes a mesma central. Por exemplo, a melhor solu¸cão obtida pelo AGP para as células pertencentes a central 2 estão bem distantes entre si o que implica em um grande custo de handoff. A solu¸cão apresentada pela heur´ıstica MS também apresenta o mesmo tipo de caracter´ısticas para as células pertencentes à central 3. Já para as solu¸cões do AGF e BS é poss´ıvel perceber que as solu¸cões propostas são tais que as células percentes a uma mesma central formam grupos mais nitidos e compactos.

Na compara¸cão entre o algoritmo BS com a MS, o BS teve melhores resultados em 100% dos casos e comparando do BS com os AGs, o BS teve melhores resultados em 71, 4% dos casos. Os resultados do AGF só foram melhores que o BS nos problemas de menor porte. Outra vantagem do BS advém do fato dele não necessitar de uma solu¸cão inicial e toda solu¸cão que ele fornece é sempre fact´ıvel.

As compara¸cões de tempo computacional entre os métodos não foi estudada tendo em vista que que o problema em questão é de planejamento e a qualidade das solu¸cões obtidas é mais importante. Todos os métodos foram implementados em Matlab 7.0.1, Windows XP e foram executados num Pentium 4 com processador de 2 GHz e memória RAM de 1Gb.

Tanto o Beam Search como os Algoritmos Genéticos podem ser facilmente implementados em paralelo. No caso do Beam Search a implementa¸cão em paralelo é mais simples porque os processos não requerem nenhuma comunica¸cão entre eles. Como cada central, no n´ıvel 1, resulta numa árvore independente (nó semente), basta colocar um processador para trabalhar em cada uma destas árvores. Deste modo, cada uma destas ´

arvores pode ser resolvida de modo totalmente independente, não sendo necessário nenhuma comunica¸cão entre processadores durante o processo de resolu¸cão das árvores.

(15)

(a) AGP (b) BS (c) AGF

(d) MS

Figura 12. Melhores solu¸c˜oes obtidas para o AGP, BS, AGF e MS para a instˆancia com 60 antenas e 5 centrais.

Agradecimentos

Os autores agradecem ao CNPq pelo apoio financeiro atrav´es do processo do Edital Universal do CNPq, n´umero 472385/2007 − 0.

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Notas Biográficas

Anibal Tavares de Azevedo é graduado em Matemática Aplicada e Computacional, tem mestrado, doutorado e p´ os-doutorado em Engenharia Elétrica (UNICAMP, 1999, 2002, 2006 e 2007, respectivamente). Foi Professor Assistente da UNESP-Guaratinguetá (2007-2011) e atualmente é Professor Assistente da Faculdade de Ciências Aplicadas da UNICAMP. Tem interesse na área de meta-heur´ısticas e otimiza¸cão combinatória, como aplica¸cões em problemas de sistemas de potência, planejamento e controle da produ¸cão, telecomunica¸cões e log´ıstica portuária.

Cassilda Maria Ribeiro é graduada em Engenharia Mecânica (UNESP, 1982), mestre em Engenharia Elétrica (UNICAMP, 1985) e doutor em Automa¸cão Industrial e Informática (LAAS-Toulouse-Fran¸ca, 1991). Atualmente é Professora Assistente do Departamento de Matemática da Faculdade Engenharia de Guaratinguetá da UNESP. Tem interesse na área de meta-heur´ısticas e otimiza¸cão combinatória, como aplica¸cões em problemas de telecomunica¸cões e log´ıstica.