CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DEMINAS GERAIS
PROGRAMA DEPÓS-GRADUAÇÃO EM MODELAGEM MATEMÁTICA E COMPUTACIONAL
PREVISÃO DE TENDÊNCIA DE
RETORNOS DE ATIVOS:
UM MODELO
INSPIRADO EM EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
LINEARES
C
HARLENEC
ÁSSIA DER
ESENDEOrientador: Arthur Rodrigo Bosco de Magalhães CEFET-MG
BELO HORIZONTE JULHO DE2015
C
HARLENEC
ÁSSIA DER
ESENDEPREVISÃO DE TENDÊNCIA DE RETORNOS
DE ATIVOS:
UM MODELO INSPIRADO EM EQUAÇÕES
DIFERENCIAIS LINEARES
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-graduação em Modelagem Matemática e Computacional do Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais, como requisito parcial para a obtenção do título de Mestre em Modelagem Matemática e Computacional.
Área de concentração: Modelagem Matemática e
Computacional
Linha de pesquisa: Métodos Matemáticos Aplicados Orientador: Arthur Rodrigo Bosco de Magalhães
CEFET-MG
CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DEMINAS GERAIS
PROGRAMA DEPÓS-GRADUAÇÃO EM MODELAGEM MATEMÁTICA E COMPUTACIONAL BELO HORIZONTE
Esta folha deverá ser substituída pela cópia digitalizada da folha de aprova-ção fornecida pelo Programa de Pós-graduação.
A meu filho, Miguel, para compensar minha ausência em etapas importantes de seu de-senvolvimento. A meu companheiro, Ademir, por sempre estar do meu lado nos momentos mais difíceis.
Agradecimentos
Agradeço a Deus por ter me dado forças para continuar nos momentos em que tudo parecia não ter mais solução.
Agradeço imensamente ao meu orientador, Arthur, que cumpriu o seu papel de forma bri-lhante. Obrigada pelo seu empenho, motivação, paciência e pela grande contribuição para a minha formação, inclusive pessoal. Obrigada pela confiança.
Agradeço meu filho, Miguelzinho. Obrigada por me permitir ausentar e até ignorar o seu choro. Mesmo diante das dificuldades nós conseguimos.
Agradeço aos meus pais, Maria Lúcia e Josué, por sempre me conduzirem pelos caminhos da honestidade.
Ao meu companheiro, Ademir, obrigada por ser paciente. Obrigada por não desistir e não deixar que eu desistisse dos nossos sonhos. Obrigada por estar comigo mesmo na minha ausência.
Aos professores Rodrigo e Adriano pelas valiosas sugestões. Ao professor José Geraldo pelas inúmeras consultorias. À minha sempre Professora, Cristiane Neri Nobre.
À Maura, por prontamente nos ajudar nas mais diversas situações.
Ao grande amigo que ganhei nesta caminhada. Obrigada Nilmar! Conte sempre comigo. Aos amigos e colegas desta minha longa passagem pelo CEFET. Em especial Denise, Alline, Aline, Vanessa, Fernanda, Carol, Juliana, Juliane, Sílvia, Zé Maurício, Paloma, Victor, Carla e Priscilla.
Ao Programa de Pós Graduação em Modelagem Matemática Computacional. Ao CEFET-MG, pelo apoio financeiro.
“A dúvida não é uma condição agradável, mas a certeza é absurda” ( Voltaire).
Resumo
Sob a hipótese de mercado e…ciente, toda informação relevante disponível é rapida-mente absorvida pelo mercado e incorporada nos valores dos ativos. Entretanto, estudos apontam que o mercado não é tão e…ciente em termos de rápida absorção da informação e de ajuste nos preços. Mostram, ainda, que os mercados de países emergentes são mais ine…cientes que os mercados de países desenvolvidos. A hipótese de mercado e…ciente não leva em consideração o aspecto comportamental dos agentes. Pesquisas em …nanças comportamentais apontam que a imitação entre os investidores pode levar a instabilidade do preço. O desbalanceamento entre a quantidade de capital disponível e a quantidade de ativos, dentre outros fatores, também leva o mercado a ser menos e…ciente. Diante da possibilidade de questionar a hipótese de mercado e…ciente, acreditando que uma série …nanceira temporal apresente algum padrão e, com isso, os preços passados tragam al-guma informação do preço futuro, desenvolvemos um modelo para a dinâmica dos preços baseado em um sistema de equações de diferenças que acoplam a evolução de preços de variadas ações. O limite em que as equações de diferenças tornam-se equações difer-enciais também é explorado. O modelo tem o objetivo de compreender a evolução do mercado de ações e a possível previsão de tendência do preço futuro. Os dados utiliza-dos foram os preços de fechamento das 14 ações mais negociadas na BMF&BOVESPA no dia 09/04/2014 coletados em diferentes períodos, dependendo de sua granularidade. Dentro desse portifólio, diante de um critério estabelecido a partir do cálculo de matrizes de correlação, buscando menor custo de processamento computacional e melhor visual-ização dos resultados, selecionamos 3 ações. Os dados foram tratados de acordo com uma metodologia que baseia-se quanti…car o desvio do preço em relação ao preço considerado justo utilizando-se médias móveis. Técnicas de otimização foram utilizadas para encon-trar matrizes de coe…cientes ótimas que se adaptem a intervalos maiores. Tais matrizes e outros parâmetros foram utilizados nos modelos de previsão, desenvolvidos a partir dos modelos discreto e contínuo. Os resultados apontam para uma taxa de acerto dos modelos superior a de um processo totalmente aleatório. Para classi…car e validar estes resultados utilizamos matrizes de confusão e testes de hipótese.
Palavras-chave: Mercado de ações, Séries Financeiras, Previsão de tendência, Equações Diferenciais, Otimização, Econofísica e Previsão de preços.
Abstract
Under the e¢ cient market hypothesis, all relevant available information are quickly absorbed by the market and incorporated in asset values. Studies indicate that the mar-ket is not so e¢ cient in terms of rapid absorption of information and adjustment of the prices. They show further that emerging markets are more ine¢ cient than the markets of developed countries. The e¢ cient market hypothesis does not take into account the behavioral aspect of the agents. Researches in behavioral …nance indicate that imitation among investors can lead to price instability. The imbalance between the amount of cap-ital available and the amount of assets, among other factors, also leads the market to be less e¢ cient. Faced with the possibility of questioning the e¢ cient market hypothesis, believing that a …nancial time series present some pattern and, thus, the past prices bring some information on the future price, we have developed a model for the price dynamics based on a system of di¤erence equations that couple the evolution of prices of various stocks. At limit at which the di¤erence equations become di¤erential equations is also explored. The model aims to understand the evolution of the stock market and the pos-sible prediction of the future price trend. The data used were the closing prices of the 14 most traded stocks on BMF&BOVESPA on 04/09/2014 collected in di¤erent periods, depending on their granularity. Within this portfolio, we selected three stocks by using a criterion established by calculating the correlation matrices, aiming at low computa-tional cost and better visualization of the results. The data were treated according to a methodology that is based on quantifying the deviation of the price compared to the price considered fair by using moving averages. Optimization techniques were used to …nd optimal matrices of coe¢ cients that adapt to longer intervals. Such matrices and other parameters were used in forecasting models, developed from the discrete and continuous models. The results point to a success rate greater than the one of a completely random process. In order to classify and validate the results, we used confusion matrices and hypothesis test.
Keywords: Stock Market, Financial Series, Trend Forecast, Di¤erential Equations, Optimization, Econophysics e Price Forecast.
Conteúdo
1 Introdução 6
1.1 Motivação . . . 11
1.2 Justi…cativa . . . 11
1.3 Metodologia . . . 11
1.4 Visão Geral do Trabalho . . . 13
2 Coleta e tratamento dos dados 14 2.1 Dados utilizados . . . 14
2.2 Tratamento dos dados - Média móvel . . . 16
2.2.1 Cálculo da média móvel para a frequência de cotação de 5 minutos 17 3 Matriz de correlação 19 3.1 Matriz de correlação para dados referentes a cotações em tempos simultâneos 19 3.2 Matriz de correlação para dados referentes a cotações em tempos adjacentes 29 4 Modelos 39 4.1 Modelo de equações de diferenças . . . 39
4.2 Modelo contínuo . . . 43
4.3 Comparação entre as matrizes obtidas com o modelo discreto e modelo contínuo . . . 47
5 Ajuste de pontos por meio de técnicas de otimização 51 5.1 De…nição do modelo discreto para ajuste da matriz ótima . . . 51
5.2 De…nição do modelo contínuo para ajuste da matriz ótima . . . 53
5.3 Técnicas de otimização aplicadas aos modelos . . . 55
5.3.2 Método do gradiente . . . 58
5.3.3 Descrição do método utilizado . . . 61
5.4 Resultados do processo otimização aplicado aos dados reais . . . 64
5.4.1 Modelo discreto . . . 65
5.4.2 Modelo contínuo . . . 67
5.5 Considerações gerais . . . 70
6 Modelo de previsão 74 6.1 Modelo de previsão discreto . . . 74
6.2 Modelo de previsão contínuo . . . 76
6.3 Previsão de tendência . . . 77
6.4 Resultados dos modelos de previsão . . . 78
6.4.1 Resultados da previsão para todas as tendências não nulas . . . 79
6.4.2 Resultados da previsão de acerto de tendência de alta ou baixa . . . 80
6.4.3 Resultados da previsão de tendência prevista maior que um valor k 82 6.4.4 Resultados da previsão de tendências previstas maiores que k na alta e baixa . . . 86
6.5 Classi…cação e validação dos resultados dos modelos de previsão . . . 88
6.5.1 Classi…cação dos resultados . . . 88
6.5.2 Testes de hipóteses . . . 92
6.6 Considerações gerais sobre os resultados . . . 95 7 Discussões …nais e trabalhos futuros 104 8 Apêndice A - Cálculo da média móvel para cada frequência de cotação111 9 Apêndice B- Matrizes de confusão 118 10 Apêndice C - Testes de hipótese para = 0; 01 150
Lista de Tabelas
3.1 Matriz de correlação 5 minutos . . . 21
3.2 Matriz de correlação 15 minutos . . . 26
3.3 Matriz de correlação 30 minutos . . . 27
3.4 Matriz de correlação 1 hora . . . 28
3.5 Matriz de correlação para dados diários . . . 29
3.6 Matriz de correlação para dados semanais . . . 32
3.7 Matriz de correlação para dados mensais . . . 34
3.8 Resultados estatísticos das matrizes de correlação . . . 34
3.9 Matriz de correlação 5 minutos para tempos adjacentes . . . 37
3.10 Matriz de correlação semanal para tempos adjacentes . . . 37
3.11 Matriz de correlação mensal para tempos adjacentes . . . 38
4.1 Estatística das matrizes de coe…cientes . . . 50
4.2 Estatística das distâncias das matrizes de coe…cientes . . . 50
5.1 Resultados da otimização . . . 72
5.2 Norma das matrizes iniciais e ótimas no modelo discreto . . . 73
5.3 Norma das matrizes iniciais e ótimas no modelo contínuo . . . 73
6.1 Quantidade de retornos não nulos na amostra completa . . . 79
6.2 Porcentagens de acerto dos modelos na amostra completa . . . 80
6.3 Distribuição da amostra completa . . . 81
6.4 Quantidade de tendências observadas de alta e baixa . . . 82
6.5 Porcentagens de acertos dos modelos na tendência de alta e baixa na amostra completa . . . 83
6.6 Taxa de acerto do modelo para a ação da Itaúsa para as diferentes amostras 84 6.7 Valores que dividem a amostra em maiores e menores retornos . . . 85
6.8 Quantidade de retornos não nulos na amostra com as maiores tendências . 85 6.9 Porcentagens de acertos dos modelos na amostra com maiores tendências . 86 6.10 Quantidade de tendências de alta e baixa na amostra com maiores
tendên-cias previstas . . . 87
6.11 Distribuição da amostra com maiores tendências . . . 88
6.12 Porcentagens de acerto dos modelos na alta e baixa para a amostra com maiores tendências . . . 89
6.13 Matriz de confusão para duas classes . . . 90
6.14 Métricas da matriz de confusão . . . 91
6.15 Matriz de confusão e suas métricas para a ação da Itaúsa . . . 97
6.16 Matriz de confusão e suas métricas para a ação do Bradesco . . . 98
6.17 Matriz de confusão e suas métricas para a ação da Usiminas . . . 99
6.18 Resultados dos testes de hipótese para a taxa de acurácia dos modelos na amostra completa. . . 100
6.19 Resultados dos testes de hipótese para a taxa de precisão e especi…cidade dos modelos na amostra completa. . . 101
6.20 Resultados dos testes de hipótese para a taxa de acurácia dos modelos na amostra com as maiores tendências em módulo . . . 102
6.21 Resultados dos testes de hipótese para a taxa de precisão e especi…cidade dos modelos na amostra com as maiores tendências . . . 103
9.1 Matriz de confusão e suas métricas para a ação da Itaúsa . . . 119
9.2 Matriz de confusão e suas métricas para a ação da Itaúsa . . . 120
9.3 Matriz de confusão e suas métricas para a ação da Itaúsa . . . 121
9.4 Matriz de confusão e suas métricas para a ação da Itaúsa . . . 122
9.5 Matriz de confusão e suas métricas para a ação da Itaúsa . . . 123
9.6 Matriz de confusão e suas métricas para a ação do Bradesco . . . 124
9.7 Matriz de confusão e suas métricas para a ação do Bradesco . . . 125
9.8 Matriz de confusão e suas métricas para a ação do Bradesco . . . 126
9.9 Matriz de confusão e suas métricas para a ação do Bradesco . . . 127
9.10 Matriz de confusão e suas métricas para a ação do Bradesco . . . 128
9.11 Matriz de confusão e suas métricas para a ação da usiminas . . . 129
9.12 Matriz de confusão e suas métricas para a ação da usiminas . . . 132
9.13 Matriz de confusão e suas métricas para a ação da usiminas . . . 133
9.14 Matriz de confusão e suas métricas para a ação da usiminas . . . 134
9.15 Matriz de confusão e suas métricas para a ação da usiminas . . . 135
9.16 Matriz de confusão e suas métricas para a ação da Itaúsa . . . 136
9.17 Matriz de confusão e suas métricas para a ação da Itaúsa . . . 137
9.18 Matriz de confusão e suas métricas para a ação da Itaúsa . . . 138
9.19 Matriz de confusão e suas métricas para a ação da Itaúsa . . . 139
9.21 Matriz de confusão e suas métricas para a ação do Bradesco . . . 140
9.22 Matriz de confusão e suas métricas para a ação do Bradesco . . . 141
9.23 Matriz de confusão e suas métricas para a ação do Bradesco . . . 142
9.24 Matriz de confusão e suas métricas para a ação do Bradesco . . . 143
9.25 Matriz de confusão e suas métricas para a ação do Bradesco . . . 144
9.26 Matriz de confusão e suas métricas para a ação da Usiminas . . . 145
9.27 Matriz de confusão e suas métricas para a ação da Usiminas . . . 146
9.28 Matriz de confusão e suas métricas para a ação da Usiminas . . . 147
9.29 Matriz de confusão e suas métricas para a ação da Usiminas . . . 148
9.30 Matriz de confusão e suas métricas para a ação da Usiminas . . . 149
10.1 Resultados dos testes de hipótese para a taxa de acurácia dos modelos na amostra completa. . . 150
10.2 Resultados dos testes de hipótese para a taxa de precisão e especi…cidade dos modelos para a amostra completa. . . 151
10.3 Resultados dos testes de hipótese para a taxa de acurácia dos modelos na amostra com os maiores retornos previstos. . . 152
10.4 Resultados dos testes de hipótese para a taxa de precisão e especi…cidade dos modelos na amostra com as maiores tendências previstas . . . 153
Lista de Figuras
1-1 Etapas do desenvolvimento do trabalho . . . 12 2-1 Evolução da dinâmica do preço bruto e da média móvel para frequência de
cotação de 5 minutos para a Itaúsa no intervalo de 10/03/2014 a 13/03/2014. 18 3-1 Dinâmica dos preços das ações correlacionadas - Itaúsa e Bradesco para
cotações de 5 minutos no intervalo de 10/03/2014 a 30/05/2014. . . 22 3-2 Variação das ações da Itaúsa e Bradesco que apresentaram maior
coe…-ciente de correlação para dados com frequência de cotação de 5 minutos no intervalo de 10/03/2014 a 22/04/2014. . . 23 3-3 Evolução dos preços das ações da Itaúsa e Usiminas que apresentaram
menor coe…ciente de correlação para dados com frequência de cotação de 5 minutos no intervalo de 04/04/2014 a 15/05/2014. . . 24 3-4 Variação das ações da Itaúsa e Usiminas que apresentaram menor
coe…-ciente de correlação para dados com frequência de cotação de 5 minutos no intervalo de 10/03/2014 a 26/03/2014. . . 25 3-5 Evolução do preço de fechamento das ações do Bradesco e Itaú que
apre-sentaram maior correlação para dados com frequência de cotação de 1 dia calculada no intervalo de 26/10/2007 a 30/05/2014. . . 30 3-6 Variação do preço de fechamento das ações do Bradesco e Itaúsa que
apre-sentaram correlação para dados com frequência de cotação de 1 dia calcu-lada no intervalo de 26/10/2007 a 30/05/2014. . . 31 3-7 Evolução do preço de fechamento das ações da Itaúsa e Itaú que
apresen-taram maior correlação para dados com frequência de cotação de 1 semana calculada no intervalo de 29/10/2007 a 26/05/2014. . . 33
3-8 Evolução do preço de fechamento das ações do Bradesco e Itaú que apre-sentaram maior correlação para dados com frequência de cotação de 1 mês calculada no intervalo de 29/10/2007 a 26/05/2014. . . 35 3-9 Evolução do preço de fechamento das ações da BRFS3 e BVMF3 que
ap-resentaram menor correlação para dados com frequência de cotação de 1 mês calculada no intervalo de 29/10/2007 a 26/05/2014. . . 36 3-10 Evolução do preço de fechamento das ações da Petrobrás e Banco do Brasil,
que apresentaram maior correlação quando calculada em um período à frente para dados com frequência de cotação de 1 semana calculada no intervalo de 29/10/2007 a 30/06/2014. . . 38 4-1 Distância entre as matrizes At e At 1 calculadas com o modelo discreto
para a frequência de cotação de 5 minutos referentes ao intervalo de 10/03/2014 a 01/07/2014. . . 43 4-2 Distância entre as matrizes A(t) e A(t 1)calculadas com o modelo
con-tínuo para a frequência de cotação de 5 minutos calculadas no intervalo de 10/03/2014 a 01/07/2014. . . 48 4-3 Distância da matriz de coe…cientes At, obtida com o modelo discreto e a
matriz A(t), obtida com o modelo contínuo para a frequência de cotação de 5 minutos calculada no intervalo de 10/03/2014 a 01/07/2014. . . 49 5-1 Curva de convergência do valor do erro utilizando os modelos de otimização
discreto e o contínuo para o caso da segunda matriz encontrada a partir do arquivo de dados com frequência de cotação de 5 minutos no intervalo de 10/03/2014 a 01/07/2014. . . 64 5-2 Erro inicial apresentado quando avaliada a função f (A(0))utilizando como
parâmetros de entrada no modelo discreto a média das matrizes At e At 1
para a frequência de cotação de 5 minutos no intervalo de 10/03/2014 a 01/07/2014. . . 65 5-3 Erro …nal apresentado depois do processo de otimização do modelo discreto
para a frequência de cotação de 5 minutos no intervalo de 10/03/2014 a 01/07/2014. . . 66
5-4 Distância entre a média das matrizes At e At 1, utilizadas como ponto
inicial no modelo discreto, e a matriz ótima A para a frequência de cotação de 5 minutos no intervalo de 10/03/2014 a 01/07/2014. . . 67 5-5 Quantidade de iterações para o algoritmo do modelo discreto convergir para
um erro ótimo para a frequência de cotação de 5 minutos no intervalo de 10/03/2014 a 01/07/2014. . . 68 5-6 Erro inicial apresentado quando avaliada a função com os parâmetros de
entrada no modelo contínuo para a frequência de cotação de 5 minutos no intervalo de 10/03/2014 a 01/07/2014. . . 68 5-7 Erro …nal apresentado depois do processo de otimização do modelo contínuo
para a frequência de cotação de 5 minutos no intervalo de 10/03/2014 a 01/07/2014. . . 69 5-8 Distância entre a média das matrizes A(t)t e A(t 1), utilizadas como
ponto inicial no modelo contínuo, e a matriz ótima A para a frequência de cotação de 5 minutos no intervalo de 10/03/2014 a 01/07/2014. . . 70 5-9 Quantidade de iterações para o algoritmo de otimização, utilizando o
mod-elo contínuo, convergir para um erro ótimo para a frequência de cotação de 5 minutos no intervalo de 10/03/2014 a 01/07/2014. . . 71 6-1 Região crítica para o teste de hipótese bilateal . . . 93 8-1 Evolução da dinâmica do preço bruto e da média móvel para frequência de
cotação de 15 minutos para a Itaúsa no intervalo de 12/03/2014 a 20/03/2014.112 8-2 Evolução da dinâmica do preço bruto e da média móvel para frequência de
cotação de 30 minutos no intervalo de 12/03/2014 a 27/03/2014. . . 113 8-3 Evolução do preço bruto e da média móvel para frequência de cotação de
1 hora para Itaúsa no período de 06/12/2012 a 13/03/2013. . . 114 8-4 Evolução da dinâmica do preço bruto e da média móvel para frequência de
cotação de 1 dia para a Itaúsa no intervalo de 26/10/2007 a 20/01/2010. . 115 8-5 Evolução da dinâmica do preço bruto e da média móvel para frequência de
cotação de 1 semana para Itaúsa no intervalo de 05/11/2007 a 26/01/2010. 116 8-6 Evolução da dinâmica do preço bruto e da média móvel para frequência de
Capítulo 1
Introdução
Cada vez mais o mercado de ações vem adquirindo uma crescente importância no cenário …nanceiro. Os países em desenvolvimento abrem suas economias para receber novos in-vestimentos externos. As empresas abrem seu capital através de IPO1 para obter novos
sócios e captar recursos. A implantação do Home Broker2 pela Bovespa, em 1999, pos-sibilitou ao investidor o envio de ordens de forma eletrônica à bolsa. Esta mudança na forma de negociação facilitou e aumentou signi…cativamente a participação de pessoas físicas na bolsa de valores. Essa maior quantidade de agentes atuando diretamente na compra e venda de ativos proporciona uma maior liquidez3 ao mercado. A evolução de ferramentas computacionais, maior difusão de informações e disponibilidade de bases de dados possibilitam uma melhor análise dos investimentos, facilitando a tomada de decisão destes agentes que atuam no mercado …nanceiro. Porém, o mercado de renda variável é caracterizado por não dimensionar no momento da aplicação a remuneração ou retorno de capital. É um sistema dinâmico que envolve diversas variáveis com dados imprevisíveis e complexos.
A teoria econômica clássica defende que não é possível obter informação de dados futuros baseando-se em informações passadas, pois os mercados seriam capazes de reunir o conhecimento de todos os agentes e preci…car os ativos com precisão [11]. Em um mercado dito e…ciente, os preços dos ativos deveriam assimilar e re‡etir imediatamente
1IPO- Initial Public O¤ ering: Abertura de capital da empresa através de uma oferta pública inicial
de ações.
2"O home broker é uma ferramenta de acesso aos mercados da Bolsa oferecida por quase todas as
corretoras e por meio da qual os investidores negociam ações e minicontratos pela Internet"[1].
toda informação relevante disponível e ainda manter um certo nível de estabilidade. Esta é a denominada hipótese de mercado e…ciente. De acordo com [13], os preços das ações ajustam-se rapidamente às novas informações, tais como proventos, novos investimentos, mudança na hierarquia corporativa da empresa. Eles também se adequariam a mudanças na conjuntura econômica que impactam diretamente as operações da empresa. Sob a teoria da hipótese de e…ciência, o mercado descobre o preço correto dos ativos, não sendo possível atingir retornos acima da média sem assumir riscos acima da média.
Alguns pesquisadores defendem a hipótese de mercado e…ciente, outros a questionam [3]. Pesquisas no campo da econofísica têm dado outras interpretações para a hipótese e mostrado uma instabilidade de mercado. Com isso, a possibilidade do estudo aqui proposto se justi…ca com base em modelos de alguns pesquisadores que mostram que o mercado não é tão e…ciente. Os modelos econômicos apresentados nos artigos [4] e [5] testam a hipótese de mercado e…ciente utilizando a metodologia do expoente de Hurst. O expoente de Hurst é calculado utilizando dados de séries temporais com o objetivo de observar o seu comportamento. O resultado assume valores entre 0 e 1. Valores próximos de 1 indicam persistência, valores próximos de zero indicam anti-persistência e valores próximos de 0,5 indicam que a série segue um caminho completamente aleatório. No artigo [4], os autores calcularam o expoente de Hurst para séries …nanceiras temporais e para séries arti…ciais de fractais. Para as séries de preços reais de ativos encontraram valores fora da faixa de variabilidade local, indicando que o mercado não segue o movimento browniano. Este resultado contraria a hipótese de mercado e…ciente, onde os expoentes deveriam ser próximos de 0,5.
Já no artigo [5], com o objetivo de mostrar que mercados emergentes são menos e…-cientes que mercados desenvolvidos, os autores calculam o expoente de Hurst das séries dos índices de 11 mercados emergentes e de 2 países desenvolvidos. Como resultado, en-contraram que a dinâmica do expoente de Hurst, para países desenvolvidos, se aproxima de uma distribuição normal, ‡utuando em torno do valor 0,5. Nos países emergentes, os valores dos expoentes apresentam uma maior variação, indicando certos níveis de ine…ciên-cia, com predominância de persistência. Ainda de acordo com [5], a maior ine…ciência em mercados emergentes pode estar relacionada a algumas características que os diferenciam dos mercados desenvolvidos, relacionadas à velocidade de propagação de informações, ao ‡uxo de capitais e à e…ciência no processo de negociação. Por outro lado, os autores do
artigo [6] a…rmam que, em um país em desenvolvimento, num mercado de ações em início de implantação, pode ser esperada ine…ciência, devida à di…culdade de capitalização dos ativos, ao menor número e à falta de experiência dos investidores. Quanto à ine…ciên-cia atribuída à quantidade de capital disponível, resultados experimentais mostram que um desbalanceamento entre a quantidade de capital e de ativos pode levar o mercado a preços incorretos [7]. Esse resultado sugere que o preço negociado no mercado é re‡exo também do ‡uxo de recursos e não apenas do preço verdadeiro do ativo. Outros resultados experimentais que indicam a ine…ciência de mercado podem ser encontrados em [10].
Outra contribuição que contradiz a hipótese de mercado e…ciente é o artigo [16]. Uti-lizando testes estatísticos para determinar a dependência entre os preços, os autores con-cluíram que o índice de mercado Standard and Poor’s 500 (S&P 500) não é tão e…ciente e que informação prévia contida na série histórica de preços é capaz de impactar no movi-mento futuro do preço até aproximadamente 30 minutos, período este que o mercado caminha em direção a uma maior e…ciência. Este resultado se desprende dos resultados de [5] ao encontrar correlação em um mercado desenvolvido, uma vez que o S&P 500 representa o índice do mercado das ações mais amplamente negociadas no mundo [16].
No estudo realizado por [26] nos variados setores da Bolsa de valores de Bombaim (BSE)4, em um período de 8 anos (abril 2006 a março 2014), os resultados indicam
claramente que os dados não satisfazem a suposição de normalidade. Mostram que os retornos dos ativos analisados são guiados por curvas assimétricas e com caudas pesadas, indicando, também, que o mercado não segue a hipótese de random walk.
Algumas contribuições recentes deixam de lado a hipótese de mercado e…ciente, tendo em vista considerações no âmbito das …nanças comportamentais e no desenvolvimento de simulações de mercado. No artigo [18], os autores consideram 3 tipos de comportamento dos agentes, modelados por autômatos celulares: imitação, anti-imitação e indiferente. No artigo [15], os autores desenvolveram um modelo também baseado em autômatos celulares que leva em consideração tais fatores psicológicos dos investidores. Encontraram como re-sultado que o aumento do comportamento de imitação entre os agentes leva a um mercado menos estável. Já no artigo [17], os autores desenvolveram um modelo utilizando equações diferenciais, que também incorpora o aspecto emocional dos investidores em um mercado
4A Bolsa de Valores de Bombaim está localizada na Índia, fundada em 1875, é a principal bolsa de
…nanceiro teórico. Nesse modelo, o comportamento dos investidores é baseado no preço fundamentalista, mas também em comprar quando o preço está subindo e vender quando o preço esta caindo. Nesse contexto, se fatores psicológicos são capazes de in‡uenciar na estabilidade dos preços, então os investidores não podem ser considerados racionais: isso contraria a hipótese de mercado e…ciente.
Diante dos resultados apresentados em [3], [4], [5], [6], [15] e [16] é possível questionar a e…ciência do mercado. Os autores do artigo [6], acreditam que existem diferentes níveis de e…ciência de mercado, que dependem do investidor e da natureza do investimento. Já na referência [3], os autores a…rmam que o mercado e…ciente é uma estrutura ideal-izada, ou seja, acreditam que uma série de retornos traga informações do retorno futuro. Tais autores acreditam, ainda, que o mercado demora para absorver completamente no-vas informações e declaram: "Mercados reais são apenas uma aproximação do mercado e…ciente"[3]. Estes resíduos de ine…ciência criam vieses que despertam o interesse dos investidores motivados pela oportunidade de ganhos acima da média. Os agentes que acreditam na violação da e…ciência e na possibilidade de previsão do mercado baseiam-se na análise técnica para determinar as mudanças relevantes nos preços de negociação das ações. Essa análise acredita que preços passados podem ajudar a prever o movimento fu-turo. Ela se baseia em grá…cos, volume e outros indicadores para compreender a dinâmica. Investidores que realizam operações de day trade 5, usualmente se respaldam na análise
técnica, utilizando dados intraday6 para a tomada de decisão.
A evolução de ferramentas computacionais, a facilidade de acesso à informação e a maior disponibilidade de dados, com frequência de cotação em tempos menores, possibili-tam desenvolver modelos capazes de investigar a dinâmica do mercado de ações. De acordo com [4], a modelagem para previsão de retorno e volatilidade7de preços é a principal tarefa
da pesquisa …nanceira. A atividade neste sentido tem sido mantida pela suposição de que muitas séries …nanceiras temporais apresentam algum padrão de correlação e pela opor-tunidade de arbitragem. Se correlação de longo prazo está presente nas séries de retornos de ativos …nanceiros, então a hipótese de que o preço segue um caminho completamente
5De acordo com [1], "Considera-se day trade a operação ou a conjugação de operações iniciadas e
encerradas em um mesmo dia, com o mesmo ativo, em uma mesma instituição intermediadora, em que a quantidade negociada tenha sido liquidada, total ou parcialmente".
6Dados de alta frequência com cotações ao longo de 1 dia.
7Volatilidade é a medida para a oscilação do preço. Teoricamente está associada ao risco, quanto mais
aleatório não é válida [5]. Podemos destacar algumas contribuições relacionadas à área de previsão realizada por [16] e [23]. Na primeira contribuição, os autores realizam um estudo utilizando probabilidade condicional para identi…car continuidade e reversão de tendências de preços em dados de negociações em alta frequência. O estudo é realizado para os dados dos preços do fundo de ações do S&P 500 para as frequências de cotações de 1, 3, 5, 10, e 20 segundos, e 1, 5, e 30 minutos. Os autores concluem que o mercado apresenta ine…ciência até aproximadamente 30 minutos. Para intervalos maiores o mer-cado analisado caminha em direção a se tornar mais e…ciente. Já na contribuição [23], os autores desenvolveram um modelo baseado em redes neurais arti…ciais. As entradas da rede são alguns indicadores técnicos e fundamentalistas, juntamente com a série de preços da ação da Petrobrás, e a saída da rede é o preço previsto. As taxas de acerto do preço e de sua tendência, para as con…gurações das redes e os períodos apresentados, são satis-fatórias. Na literatura pesquisada, não encontramos trabalhos diretamente relacionados à previsão de retornos no mercado real de ações utilizando equações diferenciais.
Diante da necessidade de ferramentas que auxiliem na compreensão da dinâmica do mercado e da lacuna deixada pela hipótese de mercado e…ciente, desenvolvemos um mod-elo de previsão de tendências baseado em um sistema de equações diferenciais lineares. Este trabalho tem como objetivo apresentar inicialmente um modelo baseado em um sistema de equações de diferenças que acoplam a evolução de preços de variadas ações. O limite em que as equações de diferenças tornam-se equações diferenciais também é explorado. O modelo utiliza séries de preços das ações para encontrar padrões e, possivel-mente, prever a tendência dos preços no tempo futuro. Esta contribuição tem o intuito de diminuir a incerteza e auxiliar os agentes do mercado em suas estratégias de negoci-ação. O trabalho tem como objetivo geral contribuir para a compreensão da dinâmica dos mercados …nanceiros. Na decomposição do objetivo geral, destacam-se dois dentre os principais objetivos especí…cos:
Desenvolver um modelo capaz de prever tendências de preços com taxa de acerto satisfatória.
Investigar o nível de e…ciência do mercado com base nos resultados advindos do modelo.
1.1
Motivação
Na literatura encontramos modelos com diferentes metodologias que simulam e analisam o mercado de ações. Estudos apontam para a possibilidade de contrariar a teoria clássica que indica que os mercados são e…cientes. A ine…ciência sugere que exista oportunidade de arbitragem, este viés possibilita auferir ganhos decorrentes de padrões encontrados em algumas séries de preços. Diante dos pontos de instabilidade e motivados pelas oportu-nidades, desenvolvemos um modelo que utiliza séries de preços para encontrar padrões e possivelmente previsão de tendência no tempo futuro.
1.2
Justi…cativa
Se a hipótese de mercado e…ciente pode ser questionada, então existem oportunidades de arbitragem que possibilitam encontrar padrões de instabilidade, decorrentes da ine…ciência de mercado.
1.3
Metodologia
Para a elaboração do trabalho seguimos as seguintes etapas: coleta de dados referentes a preços de fechamento, ajustados a proventos, das 14 ações mais negociadas no dia 09/04/2014 na BOVESPA coletados em diferentes períodos, dependendo de sua granu-laridade. Tratamento destes dados, de forma que os valores utilizados sejam referentes às variações dos preços das ações em relação a um preço considerado justo. Cálculo das matrizes de correlação para todas as frequências de cotações para analisar se existe cor-respondência entre as séries analisadas. Seleção de 3 ações dentre as 14 que compõem o portfólio, baseando nos seus coe…cientes de correlação. Exploração do modelo de equações de diferenças no limite contínuo, gerando um modelo baseado em equações diferenciais. Uso de técnicas de otimização para encontrar matrizes de coe…cientes que se ajustem a intervalos maiores de pontos. Desenvolvimento dos modelos de previsão discreto e con-tínuo, baseados no sistema de equações de diferenças e no sistema de equações diferenciais. Finalmente, classi…cação e validação da capacidade de previsão dos modelos utilizando testes estatísticos. As etapas do desenvolvimento do trabalho estão resumidas na …gura (1-1).
1.4
Visão Geral do Trabalho
Este trabalho está estruturado em 7 capítulos:
Capítulo 1 - Introdução, é o presente capítulo, onde contextualiza-se a pesquisa proposta, por meio da apresentação de alguns modelos econômicos destinados ao mercado de ações. Também são introduzidas as características do desenvolvimento deste trabalho e a conceitualização de alguns termos que serão utilizados posterior-mente.
Capítulo 2 - Apresentam-se os dados que serão utilizados no modelo. Neste capítulo é feito o tratamento dos dados brutos e a transformação em dados ajustados. Capítulo 3 - Nesta etapa são calculadas as matrizes de correlação para todas as fre-quências de cotações analisadas. Como resultado, temos os coe…cientes de correlação que indicam a associação entre as ações avaliadas.
Capítulo 4 - O modelo de equações de diferenças é apresentado, posteriormente, fazemos a aproximação deste modelo discreto para o contínuo. Baseados nas séries históricas de preços, os modelos utilizam equações de diferenças e equações diferen-ciais para calcular as séries de retornos.
Capítulo 5 - Neste, tratamos das técnicas de otimização que serão utilizadas para encontrar parâmetros ótimos para os modelos.
Capítulo 6 - Interessados no retorno no tempo futuro, desenvolvemos dois modelos de previsão na tentativa de calcular a tendência no tempo seguinte. Neste capítulo, classi…camos e validamos os resultados obtidos com estes modelos de previsão. Capítulo 7 - Aqui, apresentamos as considerações e discussões …nais sobre a pesquisa e as sugestões de trabalhos futuros.
Capítulo 8 - Neste capítulo estão dispostas as tabelas com os resultados dos testes de hipóteses para as proporções de acertos dos modelos de previsão.
Capítulo 9 - Neste capítulo constam as matrizes de confusão utilizadas para realizar a classi…cação dos resultados dos modelos de previsão.
Capítulo 2
Coleta e tratamento dos dados
Neste capítulo vamos apresentar a coleta e formulação dos dados que serão utilizados nas etapas seguintes do trabalho.
2.1
Dados utilizados
A amostra de dados utilizada para a análise é composta por dados discretos de cotações de ações negociadas na BOVESPA1. Utilizamos 14 papéis de empresas de variados setores. O
critério para escolha da composição da carteira foi selecionar as 14 ações mais negociadas no dia 09/04/2014. As empresas selecionadas foram: Itaúsa (ITSA4), Bradesco (BBDC4), Usiminas (USIM5), BRF (BRFS3), BM&FBOVESPA (BVMF3), Cemig (CMIG4), Ger-dau (GGBR4), Banco do Brasil (BBAS3), Itaú Unibanco (ITUB4), Petrobrás (PETR4), Vale (VALE5), Ambev (ABEV3), Pão de Açúcar (PCAR4) e Cielo (CIEL3).
Coletamos dados de observações com frequência de cotação mensal, semanal, diária e de 60, 30, 15 e 5 minutos. Para períodos de 1 dia, 1 semana e 1 mês, o intervalo de tempo foi de 29/10/2007 a 30/10/2014. Para os dados intraday, o intervalo é menor, porém, a quantidade de observações é maior. Como exemplo, temos a base composta por dados de cotações de 5 minutos, que para cada dia apresenta 84 cotações, sendo esta a base que possui a maior quantidade de dados, totalizando 8.173 observações, no período, para cada ação. Todos os valores de fechamento estão ajustados aos eventos e benefícios, tais como: boni…cação, desdobramento, agrupamento, subscrições, dividendos e juros sobre capital próprio.
A ideia central do modelo, em relação aos dados de fechamento, é determinar um preço justo e calcular o quanto o preço bruto varia em relação a esse valor. Tal variação será aqui chamada de preço ajustado pelo modelo. Como é o usual [3], consideraremos aqui variações logarítmicas. Assim, de…niremos a matriz
Xt = 2 6 6 6 6 6 6 4 X1;t X2;t .. . Xn;t 3 7 7 7 7 7 7 5 ; (2.1) onde Xk;t = log xk;t log pjk;t; (2.2)
sendo xk;t o preço original da k-ésima ação investigada, como descrito acima, e pjk;t o
preço justo correspondente. Contudo, determinar o preço de cada ação considerado justo pelo mercado envolve diversas variáveis que não estão no foco do estudo. Uma forma que estabelecemos como critério para o cálculo foi calcular a média móvel dos preços de fechamento, utilizando um certo período precedente ao preço analisado. Assim, o preço justo será de…nido como o valor da média móvel. Esse valor é utilizado para retirar o ruído da série e suavizar a dinâmica dos preços brutos. O cálculo da média móvel para o tratamento dos dados de cada período de negociação é apresentado de forma detalhada na seção 2.2. É necessário ressaltar a distinção entre os termos preços ajustados pelo modelo e preços ajustados a benefícios. Para tanto, nas etapas seguintes, utilizaremos a nomenclatura preços tratados para referirmos a preços ajustados pelo modelo.
Com a matriz Xt; podemos calcular a variação da ação no período t em relação ao
período anterior t 1. Os valores da variação serão armazenados em uma matriz
Xt = 2 6 6 6 6 6 6 4 X1;t X2;t .. . Xn;t 3 7 7 7 7 7 7 5 , (2.3)
onde Xk;t = Xk;t Xk;t 1; (2.4) = log xk;t pjk;t log xk;t 1 pjk;t 1 :
Para darmos continuidade à de…nição dos dados e do modelo, precisamos apresentar o conceito de média móvel. A média móvel é aplicada no momento de tratamento do preço bruto de fechamento das ações. Após a introdução desse conceito, daremos sequência à de…nição do modelo e, naquele ponto, utilizaremos os dados já tratados quando referirmos a preços de fechamento.
2.2
Tratamento dos dados - Média móvel
O termo média móvel é devido ao valor da média ser atualizado a cada iteração. No cálculo usual da média móvel, ao percorrer a série, um novo preço é incorporado à janela e o primeiro preço do período é descartado. Um novo valor da média é calculado. O valor é utilizado pelos analistas técnicos como um indicador de tendências no mercado …nanceiro. Mas para a média móvel indicar, de forma e…ciente, a tendência, é preciso ter um equilíbrio do tamanho do período, pois, uma janela grande tem mais estabilidade, porém, pode indicar a reversão de forma lenta, por outro lado, se o período for curto, a informação pode não se con…rmar. Na prática, para eliminar esse problema, os investidores costumam utilizar três médias com janelas de tempos diferentes, analisando o momento em que duas cruzam, indicando reversão, e quando a terceira cruza indicando con…rmação. No modelo, utilizaremos a média móvel para fazer o tratamento dos dados. Conside-raremos esse valor como o preço justo da ação. Desta forma, vamos calcular o quanto o preço bruto de fechamento de cada ação varia em relação ao seu preço justo. Nas etapas posteriores ao tratamento dos dados, a matriz Xt armazenará preços de fechamento já
transformados.
Os dados utilizados para o cálculo foram de fechamento com frequência de 5, 15, 30 e 60 minutos e de 1 dia, 1 semana e 1 mês. Para cada uma das bases disponíveis, de…nimos diferentes critérios para o cálculo da média móvel, tais como: quantidade de pontos considerados, tamanho da janela de tempo e forma de percorrer o arquivo. Desta forma,
em alguns casos, o cálculo não seguirá o método usual, que é implementado utilizando janelas deslizantes. O próximo tópico apresenta a formulação do cálculo e o grá…co que ilustra a dinâmica da média móvel para a frequência de cotação de 5 minutos. Os detalhes das análises para todas as outras frequências de cotações são apresentados no Apêndice A do corrente trabalho.
2.2.1
Cálculo da média móvel para a frequência de cotação de
5 minutos
A média móvel para este período foi calculada em uma janela de tempo de 1 hora. Neste intervalo encontramos 12 observações, ou seja, uma cotação a cada 5 minutos, totalizando 12 cotações em 1 hora. A janela de tempo desliza a cada preço novo que é incorporado à série.
Com os pontos e períodos de…nidos …zemos uma média aritmética. Somamos todos os valores e dividimos pela quantidade de elementos da janela:
M edia = n X t=1 xk;t n . (2.5)
Na equação (2.5), xk;t representa o preço bruto de fechamento da ação k no tempo t e n
é o tamanho da janela de tempo em que calculamos a média.
Os dados da primeira hora de negociação do dia são utilizados para o cálculo da primeira média, assim, as primeiras 12 cotações são retiradas da análise subsequente por não ter uma média anterior como referência. Um novo arquivo com preços ajustados é criado com os valores da diferença do logaritmo natural do preço bruto pela média móvel obtida, conforme equação (2.2). Neste arquivo o primeiro registro é referente à primeira cotação da segunda hora de negociação do dia. O primeiro dado do arquivo utiliza a média obtida com os 12 dados anteriores. Desta forma, todos os outros dados são calculados baseados nos 12 primeiros dados que os antecedem. Ao …nal do dia de negociação, a janela de tempo para o cálculo da média móvel não desliza para o preço seguinte. O período então utilizado no cálculo tem que abranger a primeira hora do dia seguinte. Isso é feito para que a média não tenha resíduo do dia anterior.
aproximação de pontos para a frequência de cotação de 5 minutos. A evolução do preço bruto e as médias móveis da ação da Itaúsa são representadas, respectivamente, pela linhas contínua e pontilhada.Percebemos que a linha que representa as médias móveis é um
50 100 150 200 250 8 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5
Observação a cada 5 minutos
P reço de fecham ent o Fechamento Bruto Médias Móveis
Figura 2-1: Evolução da dinâmica do preço bruto e da média móvel para frequência de cotação de 5 minutos para a Itaúsa no intervalo de 10/03/2014 a 13/03/2014.
alisamento do preço. Os movimentos são suavizados, eliminando os ruídos, representados por diversas altas e baixas sem importância. Apenas os movimentos mais relevantes são destacados.
Toda a discussão até o momento foi para de…nir e tratar os dados que serão utilizados no modelo, que será de…nido no capítulo 4. No próximo capítulo vamos selecionar as ações que serão analisadas.
Capítulo 3
Matriz de correlação
Usualmente a correlação é utilizada para selecionar carteiras de ativos. Com o objetivo de diversi…car o portfólio e na tentativa de minimizar o risco, as carteiras são compostas por ações anticorrelacionadas. Desta forma, em caso de ações anticorrelacionadas, os preços tendem a seguir direções opostas.
O critério de escolha das ações que foram utilizadas no cálculo da matriz de correlação foi selecionar as 14 empresas mais negociadas no pregão1do dia 09/04/2014 da BOVESPA. Destas, retiramos da base de dados o arquivo das empresas que iniciaram negociações no mercado de ações depois do dia 26/10/2007. Isso, devido à menor quantidade de dados disponíveis para as que abriram capital depois desta data. As ações retiradas da análise foram Pão de Açúcar (PCAR4) e Cielo (CIEL3). Estas iniciaram as negociações na Bovespa no dia 01/04/2011 e 29/06/2009, respectivamente.
3.1
Matriz de correlação para dados referentes a
co-tações em tempos simultâneos
No modelo em questão, para simpli…cação e melhor avaliação dos resultados, utilizaremos as matrizes de correlação, obtidas com dados de negociação em tempos simultâneos, para selecionar, dentre a 14 cujas séries de preços coletamos, 3 ações que irão compor o portifólio que será analisado nas etapas seguintes do trabalho.
1Conforme [14], "Pregão é a modalidade de licitação para aquisição de bens e serviços comuns em que
a disputa pelo fornecimento é feita em sessão pública, por meio de propostas e lances, para classi…cação e habilitação do licitante com a proposta de menor preço."
De acordo com [3], para determinar a similaridade ou a diferença entre pares de ações, utilizamos o coe…ciente de correlação de Pearson ; que é calculado com os dados das séries de preços das ações i e j:
i;j = < xi;t xj;t > < xi;t >< xj;t > q < x2 i;t < xi;t >2>< x2j;t < xj;t >2> ; (3.1) sendo,
xi;t = log xi;t log xi;t 1; (3.2)
onde xi;t é o preço bruto de fechamento da ação i no tempo t e xi;t é a variação do
logaritmo do preço da ação i no tempo t. O símbolo < > indica a média dos preços de todo o período analisado. O coe…ciente i;j pode assumir valores entre -1 e 1, sendo que
valores próximos de -1 indicam que as ações i e j são anticorrelacionadas linearmente, valores próximos de 1 que a ação i é correlacionada linearmente com a ação j e valores iguais a zero indicam que as ações i e j não têm correlação linear.
Utilizamos as bases de dados de fechamento de 5, 15, 30 e 60 minutos e de 1 dia, 1 semana e 1 mês. Calculamos a matriz de correlação para cada um destes períodos de negociação disponíveis. Como ilustração, mostramos abaixo os grá…cos de evoluções de cotações de preços e de retornos logarítmicos visando comparar os casos correlacionados e anticorrelacionados, para o intervalo de 5 minutos. Para os outros intervalos, mostramos tais evoluções somente quando encontramos casos de coe…cientes especialmente cor-relacionados ou anticorcor-relacionados. As subseções seguintes apresentam as matrizes de correlação para cada frequência de cotação e os grá…cos da evolução dos preços das ações para os dados que apresentaram os maiores coe…cientes de correlação.
Cotações de 5 minutos
A tabela (3.1) apresenta a matriz de correlação dos dados de 5 minutos, em que os elementos são os coe…cientes de correlação i;j, entre pares de ações i e j: Através desta,
observamos que existe correlação entre todas as ações no período analisado. A maior correlação encontrada foi entre as ações da Itaúsa e Bradesco, com o coe…ciente = 0; 409922. A ação que apresentou menor coe…ciente de correlação com uma delas foi
ITSA4 BBDC4 USIM5 BRFS3 BVMF3 CMIG5 GGBR4 BBAS3 ITUB4 PETR4 VALE5 ABEV3 ITSA4 1 0,409922 0,028896 0,164021 0,269948 0,093935 0,054175 0,052057 0,212398 0,082653 0,184336 0,114314 BBDC4 0,409922 1 0,05023 0,147494 0,338123 0,090542 0,127063 0,046304 0,293 0,078185 0,347252 0,129796 USIM5 0,028896 0,05023 1 0,105574 0,024524 0,057177 0,158624 0,086605 0,203333 0,206927 0,026326 0,084543 BRFS3 0,164021 0,147494 0,105574 1 0,067992 0,089934 0,041526 0,007074 0,223209 0,157398 0,012523 0,042116 BVMF3 0,269948 0,338123 0,024524 0,067992 1 0,129306 0,142135 0,049822 0,186879 0,093302 0,280168 0,155298 CMIG4 0,093935 0,090542 0,057177 0,089934 0,129306 1 0,104628 0,041034 0,123637 0,217553 0,083211 0,124855 GGBR4 0,054175 0,127063 0,158624 0,041526 0,142135 0,104628 1 0,036533 0,292252 0,223004 0,25423 0,163484 BBAS3 0,052057 0,046304 0,086605 0,007074 0,049822 0,041034 0,036533 1 0,019754 0,011151 0,086484 0,075681 ITUB4 0,212398 0,293 0,203333 0,223209 0,186879 0,123637 0,292252 0,019754 1 0,309725 0,13984 0,209552 PETR4 0,082653 0,078185 0,206927 0,157398 0,093302 0,217553 0,223004 0,011151 0,309725 1 0,177576 0,105663 VALE5 0,184336 0,347252 0,026326 0,012523 0,280168 0,083211 0,25423 0,086484 0,13984 0,177576 1 0,113348 ABEV3 0,114314 0,129796 0,084543 0,042116 0,155298 0,124855 0,163484 0,075681 0,209552 0,105663 0,113348 1
Tabela 3.1: Matriz de correlação para dados com frequência de cotação de 5 minutos calculada no intervalo de 10/03/2014 a 30/05/2014.
a Usiminas (USIM5), com = 0; 0288960, quando analisada a sua similaridade com a Itaúsa. A …gura (3-1) apresenta a evolução do logaritmo natural do preço de fechamento das ações mais correlacionadas para a mesma frequência de cotação. Uma análise na …gura (3-1) nos permite visualizar um sincronismo na tendência de evolução dos preços das ações da Itaúsa e Bradesco, indicando uma forte correlação, que pode ser con…rmada pelo valor do coe…ciente apresentado na tabela (3.1). A dinâmica também é observada para o grá…co da variação.
Calculamos a variação logarítmica do preço para cada ação disponível na amostra de dados utilizando a equação (3.2). A …gura (3-2) mostra a variação das ações com maior coe…ciente de correlação , referente aos papéis da Itaúsa e Bradesco, ainda para o período de cotação de 5 minutos.
A …gura (3-3) mostra a evolução do logaritmo natural do preço bruto para as ações da Itaúsa e Usiminas para dados de cotações com frequência de 5 minutos. Com uma análise visual na …gura (3-3), percebemos que as trajetórias dos preços, em alguns momentos, não estão bem sincronizadas. Seguem tendências diferentes, não sendo bem realçados os
500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 2.05 2.1 2.15 2.2 2.25
observações de cotações de 5 minutos
L oga ritm o do pr eç o de fec ha mento Fechamento da Itaúsa 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 3.2 3.3 3.4 3.5
observações de cotações de 5 minutos
Logari tm o do preç o de fec ham ent o Fechamento do Bradesco
Figura 3-1: Dinâmica dos preços das ações correlacionadas - Itaúsa e Bradesco para cotações de 5 minutos no intervalo de 10/03/2014 a 30/05/2014.
movimentos como na …gura (3-1). A …gura (3-4) mostra variação logarítmica do preço da Itaúsa e Usiminas.
Cotações de 15 minutos
A tabela (3.2) mostra a matriz de correlação obtida com os dados de fechamento no período de 15 minutos. Todas as ações analisadas apresentaram correlação positiva, destacando uma grande similaridade para as ações da Itaúsa e Itaú, com coe…ciente = 0; 869402: Os resultados dos coe…cientes de correlação para esta frequência de cotação são maiores que os obtidos na tabela (3.1), indicando que todas as ações anal-isadas no período apresentam uma forte correlação. Valores maiores dos coe…cientes , encontrados na matriz (3.2), podem indicar o tempo que a correlação persiste. Sendo, assim, 15 minutos o tempo necessário para a ação i incorporar a reversão de tendência de preço de sua ação similar j, na qual mantém correlação.
200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 2200 -0.01
0 0.01
observações de cotações de 5 minutos
v ar iação logar it mica do pr eç o Variação Itaúsa 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 2200 -0.01 0 0.01
observações de cotações de 5 minutos
v ar iação logar it mica do pr eç o Variação Bradesco
Figura 3-2: Variação das ações da Itaúsa e Bradesco que apresentaram maior coe…ciente de correlação para dados com frequência de cotação de 5 minutos no intervalo de 10/03/2014 a 22/04/2014.
Cotações de 30 minutos
A tabela (3.3) representa a matriz de correlação obtida com os dados de fechamento com frequência de 30 minutos. Para este período de cotação, o maior coe…ciente de correlação foi encontrado para as ações da Itaúsa e Itaú, sendo = 0; 900172. O coe…ciente de correlação = 0; 780022 con…rma a forte correlação existente entre as ações da Itaúsa e Bradesco, como obtido anteriormente na tabela (3.1) que utiliza dados com frequência de cotação de 5 minutos para o cálculo da matriz de correlação.
Cotações de 1 hora
A tabela (3.4) representa a matriz de correlação que foi obtida utilizando dados de fechamento para a frequência de cotação de 1 hora. Como nos resultados da matriz (3.3), a maior correlação manteve-se para as ações da Itaúsa e Itaú, com coe…ciente = 0; 917015. No portifólio analisado, para esta frequência de cotação, não encontramos
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 2.05 2.1 2.15 2.2 2.25 2.3
observações de cotações de 5 minutos
L oga ritm o do pr eç o de fec ha mento Fechamento Itaúsa 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 2 2.1 2.2 2.3 2.4
observações de cotações de 5 minutos
L oga ritm o do pr eç o de fec ha mento Fechamento Usiminas
Figura 3-3: Evolução dos preços das ações da Itaúsa e Usiminas que apresentaram menor coe…ciente de correlação para dados com frequência de cotação de 5 minutos no intervalo de 04/04/2014 a 15/05/2014.
nenhuma anticorrelação entre as ações.
Cotações de 1 dia
A tabela (3.5) representa a matriz de correlação para dados com frequência de cotação de 1 dia. Nesta matriz, a forte correlação, apresentada pelas ações da Itaúsa e Bradesco na matriz (3.1), que utiliza dados de cotações de 5 minutos, também se con…rmou para esta frequência. Sendo o coe…ciente de correlação entre ITSA4 e BBDC4 igual a 0; 872404. O maior coe…ciente de correlação , encontrado na tabela (3.5), para os dados com frequência de cotação de 1 dia, foi apresentada para as ações da Itaúsa e Itaú, com = 0; 960455. Nesta matriz também não encontramos ações anticorrelacionadas.
A …gura (3-5) é referente a cotações com períodos de 1 dia. Mostra a evolução do preço de fechamento das duas ações mais correlacionadas de acordo com a tabela (3.5). Respectivamente, as linhas preta e vermelha representam a dinâmica dos preços dos papéis da Itaúsa e Itaú, que têm coe…ciente de correlação = 0; 960455, indicando uma forte
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 -0.01
0 0.01
observações de cotações de 5 minutos
v ar iação logar ít imi ca do pr eç o Variação Itaúsa 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 -0.01 0 0.01 0.02 0.03
observações de cotações de 5 minutos
v ar iação logar ít imi ca do pr eç o Variação Usiminas
Figura 3-4: Variação das ações da Itaúsa e Usiminas que apresentaram menor coe…-ciente de correlação para dados com frequência de cotação de 5 minutos no intervalo de 10/03/2014 a 26/03/2014.
correlação.
A forte correlação entre outro par de ações é observada na tabela (3.5), com coe…ciente de correlação = 0; 872404, para as ações da Itaúsa e Bradesco. A …gura (3-6) apresenta a variação no intervalo de cada uma destas ações, para a frequência de cotação diária.
Cotações de 1 semana
A tabela (3.6) representa a matriz de correlação para dados com frequência de cotação semanal. O maior coe…ciente encontrado foi = 0; 9788 para as ações do Itaú e Itaúsa. Sendo que valores de muito próximo de 1 indicam uma forte correlação entre os pares de ações em questão.
A …gura (3-7) mostra a dinâmica da evolução dos preços das ações do Itaú e Itaúsa, com observações semanais. Respectivamente, as linhas superior e inferior indicam o logaritmo do preço de fechamento semanal do Itaú e Itaúsa.
ITSA4 BBDC4 USIM5 BRFS3 BVMF3 CMIG5 GGBR4 BBAS3 ITUB4 PETR4 VALE5 ABEV3 ITSA4 1 0,717002 0,364205 0,403411 0,429454 0,441459 0,415561 0,552513 0,869402 0,55771 0,490927 0,398256 BBDC4 0,717002 1 0,40157 0,447952 0,414968 0,435386 0,434547 0,588827 0,753621 0,583216 0,505605 0,414528 USIM5 0,364205 0,40157 1 0,371355 0,362896 0,362689 0,489941 0,377345 0,382262 0,417453 0,404388 0,296598 BRFS3 0,403411 0,447952 0,371355 1 0,335008 0,295693 0,341095 0,363028 0,382821 0,426648 0,388224 0,406757 BVMF3 0,429454 0,414968 0,362896 0,335008 1 0,423035 0,392347 0,427754 0,422352 0,413033 0,411234 0,308288 CMIG4 0,441459 0,435386 0,362689 0,295693 0,423035 1 0,344984 0,422509 0,456299 0,444488 0,305495 0,340066 GGBR4 0,415561 0,434547 0,489941 0,341095 0,392347 0,344984 1 0,426936 0,452366 0,443687 0,534908 0,333129 BBAS3 0,552513 0,588827 0,377345 0,363028 0,427754 0,422509 0,426936 1 0,560317 0,577443 0,459018 0,295793 ITUB4 0,869402 0,753621 0,382262 0,382821 0,422352 0,456299 0,452366 0,560317 1 0,556457 0,495928 0,372143 PETR4 0,55771 0,583216 0,417453 0,426648 0,413033 0,444488 0,443687 0,577443 0,556457 1 0,523218 0,413738 VALE5 0,490927 0,505605 0,404388 0,388224 0,411234 0,305495 0,534908 0,459018 0,495928 0,523218 1 0,364395 ABEV3 0,398256 0,414528 0,296598 0,406757 0,308288 0,340066 0,333129 0,295793 0,372143 0,413738 0,364395 1
Tabela 3.2: Matriz de correlação para dados com frequência de cotação de 15 minutos calculada no intervalo de 12/03/2014 a 30/05/2014.
valor observado foi referente às ações do Bradesco e BVM&FBovespa com = 0; 08803:
Cotações de 1 mês
A tabela (3.7) apresenta os coe…cientes de correlação para a frequência de cotação mensal. O maior valor foi encontrado para as ações do Bradesco e Itaú, com o coe…ciente
=0,868976.
A …gura (3-8) mostra a forte correlação entre os preços das ações. As linhas vermelha e preta representam a evolução do preço do Bradesco e Itaú, respectivamente.
Na tabela (3.7) encontramos ações anticorrelacionadas para a frequência de cotação mensal. O menor valor encontrado foi referente ao par de ações BRFS3 e BVMF3 com coe…ciente de correlação = 0; 26148: A …gura (3-9) mostra a dinâmica de evolução do preço das ações anticorrelacionadas. Respectivamente, as linhas superior e inferior representam o preço de fechamento mensal da BVMF3 e BRFS3.
ITSA4 BBDC4 USIM5 BRFS3 BVMF3 CMIG5 GGBR4 BBAS3 ITUB4 PETR4 VALE5 ABEV3 ITSA4 1 0,780022 0,395905 0,426919 0,455078 0,435283 0,398406 0,595488 0,900172 0,570404 0,495701 0,431743 BBDC4 0,780022 1 0,400739 0,472374 0,40005 0,485661 0,409585 0,628192 0,779749 0,609778 0,496129 0,462082 USIM5 0,395905 0,400739 1 0,409342 0,387148 0,384977 0,48977 0,357384 0,383539 0,42576 0,385536 0,261792 BRFS3 0,426919 0,472374 0,409342 1 0,345149 0,32576 0,340712 0,353172 0,403721 0,434877 0,356617 0,446086 BVMF3 0,455078 0,40005 0,387148 0,345149 1 0,429684 0,379478 0,475897 0,454387 0,49448 0,399192 0,333644 CMIG4 0,435283 0,485661 0,384977 0,32576 0,429684 1 0,366181 0,489461 0,430665 0,487295 0,349616 0,363349 GGBR4 0,398406 0,409585 0,48977 0,340712 0,379478 0,366181 1 0,441777 0,420578 0,430335 0,551627 0,328074 BBAS3 0,595488 0,628192 0,357384 0,353172 0,475897 0,489461 0,441777 1 0,59107 0,625343 0,495459 0,313554 ITUB4 0,900172 0,779749 0,383539 0,403721 0,454387 0,430665 0,420578 0,59107 1 0,549246 0,485677 0,398907 PETR4 0,570404 0,609778 0,42576 0,434877 0,49448 0,487295 0,430335 0,625343 0,549246 1 0,517449 0,398127 VALE5 0,495701 0,496129 0,385536 0,356617 0,399192 0,349616 0,551627 0,495459 0,485677 0,517449 1 0,344739 ABEV3 0,431743 0,462082 0,261792 0,446086 0,333644 0,363349 0,328074 0,313554 0,398907 0,398127 0,344739 1
Tabela 3.3: Matriz de correlação para dados com frequência de cotação de 30 minutos calculada no intervalo de 12/03/2014 a 30/05/2014.
Considerações gerais
Calculamos uma matriz de correlação para cada uma das bases de dados com diferentes in-tervalos de negociação. Valores de positivos indicam ações correlacionadas linearmente, valores negativos indicam ações anticorrelacionadas linearmente, e nulos, inexistência de correlação linear. Observamos nas tabelas 3.1, 3.2, 3.3, 3.4 e 3.5 a predominância de correlação. Na matriz de correlação que utilizou dados de fechamento com frequência de 5 minutos, os valores de são menos realçados. As matrizes de correlação utilizando dados de fechamento no período de 15 minutos, 1 dia e semanal apresentam coe…cientes de correlação mais evidentes, ou seja, ações mais correlacionadas e anticorrelacionadas. O maior coe…ciente, para ações correlacionadas, foi encontrado na matriz com período de fechamento semanal, com = 0; 9788. Este coe…ciente é referente ao grau de correlação entre as ações do Itaú (ITUB4) e da Itaúsa (ITSA4). Acreditamos que valores mais ex-pressivos de ; encontrados em matrizes com tempo de cotação igual ou superior a 15 minutos, acontecem pelo fato de que o mercado precisa de um certo tempo para absorver a informação e reagir incorporando-a no ajuste do preço. Este intervalo de tempo deve ser superior a 5 minutos. Uma outra interpretação é que, para dados com frequências de
ITSA4 BBDC4 USIM5 BRFS3 BVMF3 CMIG5 GGBR4 BBAS3 ITUB4 PETR4 VALE5 ABEV3 ITSA4 1 0,764644 0,34058 0,344252 0,421716 0,256855 0,387466 0,528183 0,917015 0,40223 0,452579 0,230412 BBDC4 0,764644 1 0,356849 0,369989 0,391746 0,270663 0,407942 0,544447 0,803651 0,452421 0,485782 0,225993 USIM5 0,34058 0,356849 1 0,263122 0,283077 0,251626 0,518949 0,343704 0,34516 0,371672 0,444189 0,154946 BRFS3 0,344252 0,369989 0,263122 1 0,248573 0,194086 0,291734 0,281436 0,348375 0,290862 0,293992 0,232049 BVMF3 0,421716 0,391746 0,283077 0,248573 1 0,248207 0,298037 0,34097 0,403966 0,315851 0,364537 0,177763 CMIG4 0,256855 0,270663 0,251626 0,194086 0,248207 1 0,26899 0,273003 0,285457 0,333846 0,267432 0,131157 GGBR4 0,387466 0,407942 0,518949 0,291734 0,298037 0,26899 1 0,330247 0,397602 0,372089 0,501682 0,189154 BBAS3 0,528183 0,544447 0,343704 0,281436 0,34097 0,273003 0,330247 1 0,531913 0,381151 0,368863 0,170827 ITUB4 0,917015 0,803651 0,34516 0,348375 0,403966 0,285457 0,397602 0,531913 1 0,422783 0,474191 0,234586 PETR4 0,40223 0,452421 0,371672 0,290862 0,315851 0,333846 0,372089 0,381151 0,422783 1 0,49799 0,164051 VALE5 0,452579 0,485782 0,444189 0,293992 0,364537 0,267432 0,501682 0,368863 0,474191 0,49799 1 0,191811 ABEV3 0,230412 0,225993 0,154946 0,232049 0,177763 0,131157 0,189154 0,170827 0,234586 0,164051 0,191811 1
Tabela 3.4: Matriz de correlação para dados com frequência de cotação de 1 hora calculada no intervalo de 05/12/2012 a 30/05/2014.
cotações com tempos pequenos, os coe…cientes com valores menores podem estar rela-cionados a ruídos internos à dinâmica de preços. Não dependem tanto da empresa ou do mercado, mas, possivelmente, de motivos para compra e venda oriundos das necessidades dos investidores. Para as frequências de cotações com tempo médio analisadas, encon-tramos coe…cientes mais evidentes, acreditamos que esta forte correlação apresentada entre as empresas é devida ao impulso de mercado, ou seja, não há muitas notícias ou fatos que as individualizem. Nos casos analisados, para tempos maiores, os coe…cientes ten-dem a diminuir, indicando que a correlação entre as empresas para este período é menor. Acreditamos que, neste ponto, as empresas seguem caminhos individuais, de forma que os fatos relativos a cada empresa já são incorporados e com isso o seu preço está mais próximo do valor fundamental. A tabela (3.8) apresenta a estatística dos coe…cientes encontrados na matriz de correlação para cada frequência de cotação.
Baseado nos coe…cientes encontrados na tabela (3.1), que representa a matriz de cor-relação que utilizou dados com frequência de cotação de 5 minutos, escolhemos as 3 ações que serão utilizadas nas etapas seguintes do trabalho. O critério de escolha foi selecionar duas ações correlacionadas e uma outra que apresentava pouca ou nenhuma correlação
ITSA4 BBDC4 USIM5 BRFS3 BVMF3 CMIG5 GGBR4 BBAS3 ITUB4 PETR4 VALE5 ABEV3 ITSA4 1 0,872404 0,526374 0,477551 0,592194 0,417315 0,621382 0,7132 0,960455 0,581547 0,630964 0,383758 BBDC4 0,872404 1 0,542632 0,482428 0,603729 0,424766 0,639931 0,732586 0,898143 0,611516 0,665677 0,414821 USIM5 0,526374 0,542632 1 0,344783 0,506529 0,32772 0,700769 0,513167 0,530241 0,537881 0,631947 0,309592 BRFS3 0,477551 0,482428 0,344783 1 0,379171 0,285107 0,426656 0,441193 0,460298 0,374515 0,43621 0,327766 BVMF3 0,592194 0,603729 0,506529 0,379171 1 0,321135 0,56576 0,538754 0,597067 0,530783 0,57856 0,307283 CMIG4 0,417315 0,424766 0,32772 0,285107 0,321135 1 0,382292 0,379251 0,412962 0,347407 0,37003 0,269646 GGBR4 0,621382 0,639931 0,700769 0,426656 0,56576 0,382292 1 0,569491 0,623735 0,64586 0,742824 0,365652 BBAS3 0,7132 0,732586 0,513167 0,441193 0,538754 0,379251 0,569491 1 0,711265 0,530713 0,592982 0,363887 ITUB4 0,960455 0,898143 0,530241 0,460298 0,597067 0,412962 0,623735 0,711265 1 0,582215 0,640202 0,386314 PETR4 0,581547 0,611516 0,537881 0,374515 0,530783 0,347407 0,64586 0,530713 0,582215 1 0,704271 0,274936 VALE5 0,630964 0,665677 0,631947 0,43621 0,57856 0,37003 0,742824 0,592982 0,640202 0,704271 1 0,381942 ABEV3 0,383758 0,414821 0,309592 0,327766 0,307283 0,269646 0,365652 0,363887 0,386314 0,274936 0,381942 1
Tabela 3.5: Matriz de correlação para dados com frequência de cotação de 1 dia calculada no intervalo de 26/10/2007 a 30/05/2014.
com as duas anteriores. As ações escolhidas foram Itaúsa (ITSA4), Bradesco (BBDC4) e Usiminas (USIM5). Selecionamos as ações da Itaúsa e Bradesco por apresentarem o maior coe…ciente de correlação. Para as ações da Itaúsa e Bradesco o coe…ciente positivo tam-bém persistiu para as outras matrizes que utilizaram frequências de cotações superiores a 5 minutos. A Usiminas foi escolhida por ser a ação que apresentou menor coe…ciente de correlação quando calculado aos pares com Bradesco ou Itaúsa.
3.2
Matriz de correlação para dados referentes a
co-tações em tempos adjacentes
Para o cálculo da matriz de correlação com um período à frente, aplicamos os mesmos métodos e dados utilizados no cálculo das matrizes de correlação no mesmo tempo de negociação. A diferença básica é que a variação das ações é calculada em um período de tempo diferente, ou seja, de…nidas as ações i e j cujos coe…cientes de correlação serão avaliados; calculamos a variação da ação i no tempo t e a variação da ação j no tempo t 1. Para determinar a similaridade ou a diferença entre pares de ações em períodos
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 1
1.5 2 2.5
Observações de cotações de 1 dia
L oga ritm o do pr eço de fec hame nto Fechamento Itaúsa 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2 2.5 3 3.5 4
Observações de cotações de 1 dia
L oga ritm o do pr eço de fec hame nto Fechamento Itaú
Figura 3-5: Evolução do preço de fechamento das ações do Bradesco e Itaú que apre-sentaram maior correlação para dados com frequência de cotação de 1 dia calculada no intervalo de 26/10/2007 a 30/05/2014.
diferentes, calculamos o coe…ciente utilizando os dados das séries de mudança de preço da ação i e j: i;j = < xj;t 1 xi;t > < xj;t 1 >< xi;t > q < x2 j;t 1 < xj;t 1 >2>< x2i;t < xi;t >2> ; (3.3) sendo
xi;t = log xi;t log xi;t 1; (3.4)
e
xj;t 1 = log xj;t 1 log xj;t 2; (3.5)
onde xi;t é o preço bruto de fechamento da ação i no tempo t, xi;t é a variação do
logaritmo do preço da ação i no tempo t, xj;t 1 é o preço bruto de fechamento da ação j
