O algoritmo de otimização foi executado com 1.500 matrizes. Para analisar os resultados dessa otimização levamos em consideração os valores obtidos de erro inicial, erro …nal, quantidade necessária de iterações para a convergência e a distância da matriz inicial da matriz ótima. Os resultados se apresentaram como esperado. O valor do erro inicial foi pequeno quando utilizada como ponto inicial a média das matrizes exatas para cada
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 x 104 0 200 400 600 Quantidade de iterações F requênc ia
Quantidade de iterações para o algoritmo convergir
0 500 1000 1500 0 10 20 30 40 Quantidade de iterações F requênc ia
Refinamento quantidade de iterações para o algoritmo convergir
Figura 5-9: Quantidade de iterações para o algoritmo de otimização, utilizando o modelo contínuo, convergir para um erro ótimo para a frequência de cotação de 5 minutos no intervalo de 10/03/2014 a 01/07/2014.
tempo analisado. O valor médio do erro inicial foi 7; 2 10 3 para o modelo discreto
e 7; 2 10 4 para o modelo contínuo. O erro …nal obtido, considerado o erro ótimo, foi em média 2; 75 10 5 no modelo discreto e 3; 14 10 5 com o modelo contínuo. Os
resultados estatísticos completos para o modelo de otimização discreto e o modelo contínuo são apresentados na tabela (5.1). Observamos que a média do erro inicial para o modelo discreto, bem como o respectivo desvio padrão, é bem maior que os seus equivalentes para o modelo contínuo. Contudo, as médias e desvios …nais são da mesma ordem de grandeza. Isto se deve à presença de casos com erros iniciais grandes (outliers), que apresentam erros …nais normais no caso discreto, evidenciando o sucesso do processo de otimização. Para fazer uma comparação desses resultados com as normas das matrizes utilizadas nos cálculos, apresentamos as tabelas (5.2) e (5.3), que mostram as médias das normas das matrizes utilizadas como pontos iniciais e as médias das normas das matrizes ótimas resultantes para cada modelo analisado. Percebemos que a norma da matriz utilizada como ponto inicial é da mesma ordem de grandeza da norma da matriz ótima.
Resultados estatísticos Modelo discreto de otimização
Modelo contínuo de otimização Média erro inicial 7,2 × 10−3 7,24 × 10−4
Desvio erro inicial 1,65 4,8 × 10−3
Média erro final 2,75 × 10−5 3,14 × 10−5 Desvio erro final 6,81 × 10−5 6,48 × 10−5 Média da distância da
matriz inicial e matriz ótima 1,23 2,31
Desvio da distância da
matriz inicial e matriz ótima 1,58 2,26
Média da quantidade de
iterações 674 841
Desvio da quantidade de
iterações 1583 1278
Tabela 5.1: Tabela com resultados estatísticos para os modelo de otimização discreto e o modelo de otimização contínuo para a frequência de cotação de 5 minutos.
utilizar as matrizes A calculadas no tempo t, as médias das matrizes A calculadas no tempo t e t 1, que foram utilizadas como pontos iniciais no algoritmo, e as matrizes ótimas A , obtidas com o modelo de otimização, na tentativa de previsão do preço no tempo t + 1.
Modelo discreto Media das
matrizes iniciais Matriz otimizada Média da norma 18,76 18,94
Desvio da norma 60,57 60,53
Tabela 5.2: Tabela com resultados estatísticos da norma das matrizes utilizadas como pontos iniciais e as matrizes ótimas obtidas com o modelo de otimização discreto para a frequência de cotação de 5 minutos.
Modelo contínuo Media das
matrizes iniciais Matriz otimizada Média da norma 13,19 19,82
Desvio da norma 29,49 39,53
Tabela 5.3: Tabela com resultados estatísticos da norma das matrizes utilizadas como pontos iniciais e as matrizes ótimas obtidas com o modelo de otimização contínuo para a frequência de cotação de 5 minutos.
Capítulo 6
Modelo de previsão
Acreditando que uma série de preços de fechamento apresente uma certa correlação e ainda mantenha algum padrão característico e, por isso, o preço no tempo t fornece alguma informação sobre o preço do período seguinte t + 1, desenvolvemos um modelo de previsão baseado em sistemas de equações de diferenças e outro baseado em sistemas de equações diferenciais. Nas próximas seções vamos apresentar o modelo discreto e o modelo contínuo de previsão. Nossa análise, aqui, concentra-se em veri…car se os modelos de previsão acertam mais que uma moeda justa (um processo completamente aleatório), o que evidenciaria desvios da hipótese de mercado e…ciente.
6.1
Modelo de previsão discreto
No capítulo (4), de…nimos um sistema de equações de diferenças, em que calculamos as matrizes At e At 1 que satisfazem aos períodos observados. Neste capítulo, o objetivo
principal é veri…car se as matrizes At, média de At e At 1 e a matriz ótima At são boas
aproximações para uma nova matriz At+1, que seria referente a um período futuro, no
tempo t + 1. Uma nova matriz At pode ser calculada a cada iteração, utilizando uma
nova janela de tempo que desliza por toda a amostra de dados. Assim, é possível executar o programa para diversos períodos e armazenar todos os valores para fazer uma análise estatística diante dos resultados obtidos. Para apresentar o modelo de previsão discreto, podemos partir da equação (4.9), apresentada no capítulo (4) e reproduzida abaixo:
A equação (6.1) representa um sistema para n tempos, que pode ser escrito como
Xnt Xnt 1= AtXnt: (6.2)
Evidenciando a matriz Xnt, encontramos
(I At)Xnt= Xnt 1: (6.3)
Fazendo Bt=(I At); temos
BtXnt= Xnt 1. (6.4)
Multiplicando ambos os lados por Bt1, considerando que Bt1 existe, obtemos
Xnt = Bt1Xnt 1. (6.5)
Neste ponto, a variável Xnt mostra a matriz com os preços de fechamento das ações nos
tempos t 2, t 1e t. Porém, estamos interessados em Xnt+1, que é a matriz com preços
de fechamento das ações incluindo aqueles relativos a t + 1. Fazendo a extrapolação, encontramos
Xnt+1 = Bt1Xnt, (6.6)
em que a matriz B pode ser obtida utilizando a matriz At, média de At e At 1 ou a
matriz ótima At.
Com a equação (6.6), temos Xnt+1, porém, o objetivo do modelo é encontrar a variação
Xnt+1, então, calculamos a diferença entre a matriz de preços previstos até o período
à frente Xnt+1 e a matriz de preços reais até o período atual Xnt:
Xnt+1 Xnt= Bt1(Xnt Xnt 1), (6.7)
Obtida por meio das equações (6.5) e (6.6). Para Bt=(I At), variação Xnt+1 é
Uma nova matriz B pode ser calculada a cada iteração, utilizando uma nova janela de tempo que desliza por toda a amostra de dados. Para cada janela analisada, uma uma nova matriz B é obtida, sendo possível executar o programa de previsão no período e armazenar todos os valores para realizar uma análise estatística diante dos diversos resultados obtidos.