VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA

(1)

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2

Modelos Contínuos de Probabilidade

• Associamos probabilidades a intervalos de valores da variável.

• Assume valores num intervalo de números reais.

• Não é possível listar, individualmente, todos os possíveis valores da variável aleatória contínua.

(3)

3

Exemplos

• Em uma certa fábrica se fabricam cada dia uma média de 40 mil metros de cabo. A quantidade de metros de cabo fabricados em um dia segue uma distribuição ….. • A variável X representa o tempo em horas que uma

pessoa demora para realizar determinado trabalho. • Quantidade de kilos de carne consumidos em um ano

por uma família.

(4)

Uma v.a. X contínua é caracterizada por sua função densidade de probabilidade (fdp), f(x), com as propriedades:

(i) f(x)  0, para todo x;

(ii) A área sob a curva de densidade f(x) é 1;

(iii) Para quaisquer valores a, b, com a < b, P(a  X  b) = = área sob a curva da densidade f(x) e acima do eixo x, entre os pontos a e b;

(iv) P(X = x₀) = 0, para x₀ fixo.

Propriedades dos modelos contínuos:

Assim,

P(a < X < b) = P(a  X < b) = P(a < X  b) = P(a  X  b). 4



b a dx x f ( )

(5)

5

Como para variável aleatória discreta, função de

distribuição acumulada (fda) da variável aleatória X é:

F(x) = P(X ≤ x)

Função de Distribuição de Probabilidade

Acumulada

que para o caso contínuo, resulta:( ) ( )



( ) ,

 − =  = P X x x f s ds x F

Como X é uma v.a. contínua, então _F ₍_x₎ _f ₍_x_).

x X = X

 

(6)

6

O valor de F(x), num ponto x₁ representa a área sob a f(x), acima do eixo x, à esquerda do ponto x₁.

(7)

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8

Fonte:By Skbkekas - Own work, CC BY 3.0,

https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=964 9146

Função de densidade de probabilidade

Fonte By Skbkekas - Own work, CC BY 3.0,

https://commons.wikimedia.org/w/index.php?c urid=9649157

Função de distribuição acumulada

(9)

9

Valor Esperado e Variância

Em variáveis aleatórias contínuas, temos que:

1. Esperança matemática (valor esperado, média):



+  − = = E(X) xf (x)dx  2. Variância:



+  − − = − = [( ( ))2] ( )2 ( ) 2 dx x f x X E X E  

Ou usando a fórmula alternativa:

2 2 2 2 2 ) ( )] ( [ ] ) [(   = − =



− +  − dx x f x X E X E

(10)

10

Distribuição Uniforme

A distribuição uniforme é a mais simples distribuição contínua, entretanto, uma das mais importantes e utilizadas dentro da teoria de probabilidade.

Exemplo: Suponha que tenhamos uma corda de 2 m de

comprimento e que queremos cortar em um ponto, ao acaso, na distancia x de um dos extremos.

(11)

11

Distribuição Uniforme

A v.a. com distribuição Uniforme no intervalo [a, b], denotada por U[a, b], tem fdp dada por:

c.c. se , 0 , 1 b x a a b −   = ) (x f

Gráfico da função de densidade da distribuição U[a,b]

(12)

12

Distribuição Uniforme

Para a v.a. com distribuição U[a, b], tem-se:

1. Média (Esperança matemática,valor esperado):

2. Variância: 2 ) (X a b E = + =  12 ) ( ) ( 2 2 b a X Var = − = 

(13)

13

Qual é a função de densidade?

Se trata de escolher, ao acaso, um ponto entre 0 e 2. Como a área deve ser 1, a altura do retângulo será ½.

Voltando ao Exemplo:

Suponha que tenhamos uma corda de 2 m de comprimento e que queremos cortar em um ponto, ao acaso, na distancia x de um dos extremos. c.c. , 0 ,     _ _ = ₂1 0 2 ) (x x f Ou seja,

(14)

Exemplo:

A dureza X de uma peça de aço pode ser pensada como sendo uma variável aleatória uniforme no intervalo (50,70) da escala Rockwel. Qual é a probabilidade de que uma peça tenha dureza entre 55 e 60?

    _ _ = c c x x f . , 0 70 50 , 20 1 ) ( Solução:

Seja X: dureza de uma peça de aço, X ~ U(50,70)

25 , 0 20 5 20 1 ) 60 55 ( 60 55 = = =   X



dx P 60 2 50 70 ) (X =  = + = E 33,3 12 ) 50 70 ( 2 2 = − =  Então,

(15)

15

O gráfico de sua função de densidade é chamado de uma curva normal, a curva em forma de sino, descreve de forma

satisfatória muitos fenômenos que ocorrem na natureza, na indústria e na pesquisa de maneira geral.

• medições físicas em meteorologia, como os estudos de chuva

• Os erros em medições científicas se aproximam extremamente bem por uma distribuição normal.

(16)

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 25 40 55 70 85 ₁₀₀ ₁₁₅

Peso da população adulta

n= 5000 µ= 75 kg  = 12 kg 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 133 137 141 145 149 153 157 161 165 169 Altura de universitários n= 3000 µ= 152 cm = 5 cm 0,00 0,05 0,10 0,15 29,5 29,6 29,7 29,8 29,9 30 30,1 30,2 30,3 30,4 30,5

Comprimento de uma régua

n= 1000 µ= 30 cm = 0,15 cm 0 0,05 0,1 0,15 0,2 197 215 233 251 269 287 305 litros de água consumidos num restaurante

n= 360 µ = 250 por dia  = 20 por dia

(17)

17

O histograma por densidade dos pesos é o seguinte:

Exemplo

: Suponha que observemos o peso, em kg, de 1500 pessoas adultas selecionadas, ao acaso, em uma determinada população. 3 0 4 0 50 60 7 0 8 0 90 1 00 0 .00 0 .01 0 .02 0 .03 0 .04 P e s o D e n s id a d e

Distribuição Normal

(18)

A análise do histograma indica que:

18

- a distribuição dos valores é, aproximadamente, simétrica em torno de 70 kg;

- a maioria dos valores (88%) encontra-se no intervalo (55;85); - existe uma pequena proporção de valores abaixo de 48 kg

(1,2%) e acima de 92 kg (1%).

(19)

A curva contínua da figura denomina-se curva

Normal (ou curva de Gauss).

Como se distribuem os valores da variável aleatória X, isto é, qual é a distribuição de probabilidades de X?

Considere a v.a. X: peso, em kg, de uma pessoa adulta

escolhida, ao acaso, da população.

3 0 40 50 6 0 70 80 90 10 0 0.00 0 0.01 5 0 .03 0 P es o D e n s id a d e 4

Distribuição Normal

(20)

20

A distribuição de probabilidade Normal é uma das mais importantes distribuições contínuas de probabilidade pois: ✓ Muitos fenômenos aleatórios comportam-se próximos a

essa distribuição:

Altura; Pressão Sanguínea; Peso; entre outros.

✓ Pode ser utilizada para calcular, de forma aproximada, probabilidades para outras distribuições, como por exemplo, para a distribuição binomial.

Distribuição Normal

✓ A distribuição das médias de amostras retiradas de qualquer distribuição de probabilidade tendem a apresentar comportamento como o da Normal, à medida que o número de observações (tamanho da amostra) aumenta (Teorema do Limite Central)

(21)

21

Distribuição Normal

Um pouco do histórico:

• Distribuição normal introduzida inicialmente pelo matemático francês Abraham de Moivre (1667 – 1754) em um artigo que foi reimpresso na 2ª. edição do seu livro “A doutrina do acaso” de 1738: ele percebeu que à medida que o número de eventos do lançamento de moedas aumentava a distribuição binomial se aproximava de uma curva suave.

• Seus resultados estendidos pelo francês P. S. de Laplace (1748 – 1827) em seu livro “Teoria Analítica da Probabilidade” de 1812, num resultado que hoje é conhecido como Teorema de Moivre-Laplace: Laplace utilizou a Normal na análise de erros de experimentos. Mostrou, também, que mesmo uma distribuição não sendo normal a média de repetidas amostras dessa distribuição é aproximadamente normal e que quanto maior for o tamanho da amostra melhor será essa aproximação.

(22)

22

Distribuição Normal

• O italiano Galileo Galilei (1564 - 1642) já havia notado que esses erros eram simétricos e que os valores pequenos apresentavam uma frequência de ocorrência maior do que os valores grandes.

• A primeira pessoa a aplicar a distribuição normal na área social foi o belga Adolph Quetelet (1796-1874) que coletou dados sobre medidas do peito de soldados escoceses e da altura de soldados franceses e verificou que elas podiam ser modeladas pela distribuição.

• De forma independente os matemáticos alemães Robert Adrian (1775 1843), em 1808, e Carl Friedrich Gauss (1777 -1855), em 1809, desenvolveram a equação da distribuição e mostraram que modelava bastante bem os erros de observações astronômicas.

(23)

23

Distribuição Normal

• Gauss utilizou a equação em 1809 para justificar o MMQ (Método dos Mínimos Quadrados), introduzido por Adrien Marie Legendre (1752 - 1833), em 1809, mas já utilizado por ele desde 1794 (Stigler,1999; Daw e Pearson, 1972).

• O nome de distribuição normal ou curva normal foi dado de forma independente pelo filósofo americano Charles S. Peirce (1839 – 1914), pelo antropólogo e geneticista britânico Francis Galton (1822 – 1911) e pelo economista alemão Wilhelm Lexis (1837 – 1914) por volta de 1875.

• A terminologia de curva em forma de sino foi cunhada em 1872 pelo francês Esprit Pascal Jouffret que denominou a normal bivariada de superfície campanular (bell surface).

Referência:

http://www.pucrs.br/famat/viali/mestrado/literatura/artigos/planilhas/Sipem_06.pdf

“CONTRIBUIÇÕES PARA O ENSINO DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL OU CURVA DE GAUSS EM CURSOS DE GRADUAÇÃO ”

(24)

24

Gráfico da Função Densidade de Probabilidade Normal (x)

Gráfico da Função de Distribuição Acumulada

Normal  (x)

Distribuição Normal

Através dos valores da média  e do desvio padrão , pode-se identificar cada curva ou distribuição normal.

(25)

25

(26)

26

Distribuição Normal

A função densidade de probabilidade da v. a. X com

distribuição Normal com parâmetros  e 2 é dada por:

. x , 2 1 ) ( 2 2 1 +    =      − −     x e x f

Pode ser mostrado que:

•  é o valor esperado (média) de X, com - <  < ;

•  2 _{é a variância de X, com} 2 _{> 0.}

(27)

27

Propriedades de X ~ N( ;  2)

Distribuição Normal

• E(X) =  (média ou valor esperado); • Var(X) =  2 _{(e portanto, DP(X) =} _); • x =  é ponto de máximo de f(x);

• f(x) → 0, quando x → ;

•  -  e  +  são pontos de inflexão de f(x);

(28)

28

(29)

A probabilidade em distribuições normais sempre está associada a valores de área sob a curva no intervalo desejado.

29

Cálculo de Probabilidade

Distribuição Normal

P(a < X < b) = P(a  X  b) =

Área sob a curva e acima do eixo horizontal (x) entre a e b.

(30)

30

Distribuição Normal

A fda é útil para calcular probabilidades, mas exige a utilização de uma tabela ou de um software para o cálculo das áreas (probabilidades).

Como existem infinitas curvas normais não é possível tabelar todas, assim, escolhe-se uma para ser tabelada.

) 1 , 0 ( ~ N X Z   − =

A escolhida é denominada normal padrão ou padronizada e qualquer outro modelo normal pode ser reduzido à

(31)

31 a  b x f(x) X ~ N( ; 2₎ a -   0 b -_ z f(z) Z ~ N(0; 1)

Distribuição Normal

      − _ _ − =       − _ − _ − =             b Z a P b X a P b X a P( )

(32)

USO DA TABELA NORMAL PADRÃO

Denotamos : A(z) = P(Z  z), para z  0.

32

(33)

Exemplo:

Após 28 dias de curagem, o cimento de certa marca tem uma resistência compressiva média de 4000 psi. Suponha que a resistência tem uma

distribuição normal com desvio-padrão de 120 psi.

Qual é a probabilidade de se comprar um pacote de cimento com resistência compressiva após 28 dias menor que 3850 psi?

X: resistência do cimento após 28 dias de curagem ~ N(4000,1202)

% 56 , 10 1056 , 0 ) 25 , 1 ( ) 3850 (X  = P Z  − = = P -1,25

Área em vermelho: A(z) =A(1,25) = 0,8944

Área desejada = 1- 0,8944 = 0,1056 = 10,56% 25 , 1 120 4000 3850 − = − = − =   x z 3850 4000 P(Z ≤ -1,25)

(34)

34

Alguns exemplos de uso da tabela da N(0, 1):

1) P(Z  0,32) P(Z  0,32) = A(0,32) = 0,6255. 2) P(0 < Z  1,71) = P(Z  1,71) - P(Z  0) Obs.: A(0)=P(Z < 0)=P(Z > 0)=0,5. = A(1,71) - A(0) = 0,9564 - 0,5 = 0,4564. 3) P(–1,32 < Z < 0)= P(0 < Z < 1,32) = P(Z  1,32) - P(Z  0) = A(1,32) - 0,5 = 0,9066 - 0,5 = 0,4066. 2

(35)

35

4) P(Z  –1,3)

Obs.: Pela simetria, P(Z  – 1,3) = P(Z  1,3).

= P(Z  1,3) = 1 – P(Z  1,3) = 1 – A(1,3) = 1 – 0,9032 = 0,0968. 5) P(-1,5  Z  1,5) = P(Z  1,5) – P(Z  –1,5) = 2P(Z  1,5) -1= 2A(1,5) - 1 = P(Z  1,5) - [1-P(Z  1,5)] = 20,9332 - 1 = 0,8664. ₃

(36)

36

Como encontrar quantis z na N(0, 1) usando a tabela?

(i) P(0 < Z  z) = 0,4975

z é tal que A(z)=0,5 + 0,4975=0,9975.

Pela tabela z = 2,81.

Z z

(ii) P(Z  z) = 0,3

z é tal que A(z) = 0,7.

Pela tabela, z = 0,53.

Z z

(37)

(iii) P(Z  z) = 0,10

a é tal que A(a)=0,90 e z = – a.

Pela tabela, a = 1,28 e, assim, z = – 1,28. 37 (iv) P(– z  Z  z) = 0,80 z é tal que P(Z < –z) = P(Z > z) = 0,1. Z z – z Isto é, P(Z < z) = A(z) = 0,90  z = 1,28 (pela tabela). Z z

(38)

38

Como encontrar probabilidade e quantil na N(, 2_{), usando a}

N(0, 1)? Exemplo: Seja X ~ N(10 ; 64) ( = 10, 2 _{= 64 e} _{= 8 )} Calcular: (a) P(6  X  12) Z

(

−0,5   0,25

)

= P Z = A(0,25) - (1 - A(0,5) ) = 0,5987- (1- 0,6915) = 0,5987- 0,3085 = 0,2902 5       − _ − _ − = 8 10 12 8 10 8 10 6 X P

(39)

b) k tal que P( X  k) = 0,025

Logo k = 10 – 1,96  8 = – 5,68.

z é tal que A(z) = 0,975.

Pela tabela, z = 1,96. Z 39 0,025. 8 10 -8 10 -8 10 -0,025  =       =       _  =  k P X k P Z k X P( ) 1,96. 8 10 Então, k − = −z = − z

(40)

Resultado : Se X ~ N( ; 2_{), então} ) ( ) i ( P  −  X   + Z = 2(A(1) - 0,5) = 2(0,8413 – 0,5) = 0,6826 ou seja, P(  -   X   +  ) = 0,683. (ii) P(  – 2  X   + 2 ) = P(– 2  Z  2 ) = 0,955. = P(-1  Z  1) (iii) P(  – 3  X   + 3 ) = P(– 3  Z  3 ) = 0,997. 68% -2 2 95,5% -3 3 99,7%       + −   − − =         Z P 40 Analogamente,

(41)

41

Exercício: (lista)

a) Sorteando-se um aluno ao acaso, qual é a probabilidade dele terminar o exame antes de 100 minutos?

b) Qual deve ser o tempo de prova, de modo a permitir que 95% dos vestibulandos terminem no prazo estipulado?

c) Qual é o intervalo de tempo, simétrico em torno da média (intervalo central), tal que 80% dos estudantes gastam para completar o exame?

O tempo gasto no exame vestibular de uma universidade tem distribuição Normal, com média 120 min e desvio padrão 15 min.

(42)

42

Exemplo: Considere a variável aleatória

Y: Duração, em horas, de uma lâmpada de certa marca,

selecionada ao acaso.

A experiência sugere que esta distribuição deve ser assimétrica - grande proporção de valores entre 0 e 500 horas e pequena proporção de valores acima de 1500 horas.

(43)

43

Uma

aplicação

de

distribuições

de

probabilidade

Noções de Risco

(44)

44

Uma

aplicação

de

distribuições

de

probabilidade

Conceito de risco na área econômica

A definição mais genérica de risco é que este representa um

valor, estimado ou calculado, da probabilidade da ocorrência

de um fato ou da sua gravidade.

Podemos também definir risco como a volatilidade de

resultados inesperados, normalmente relacionada a possíveis

perdas ou impactos negativos.

(45)

45

Risco é definido como a probabilidade de que algum acontecimento desfavorável venha a ocorrer.

Mais especificamente, é a probabilidade de perda financeira.

Risco é uma das principais variáveis que afetam os resultados dos investimentos.

(46)

46

Cálculo de risco pode ser definido como a tentativa

de se medir o grau de incerteza na obtenção do retorno esperado em uma determinada aplicação financeira ou investimento realizado, podendo até mesmo trazer prejuízos aos investidores.

(47)

47

Dessa forma, os investimentos podem ser classificados

como de baixo, médio e alto risco.

Geralmente, investimentos de baixo risco apresentam um maior nível de segurança ao investidor, mas em

contrapartida costumam ter um retorno

menor. Investimentos de alto risco, por outro lado, podem trazer um retorno mais alto, mas com um grau muito maior de incerteza, podendo até mesmo trazer prejuízos aos investidores.

(48)

48

Gestão de risco

Pode ser entendida como o processo de

identificar, mensurar e controlar o impacto de possíveis fatos denominados de maneira geral

como risco. De forma geral, a gestão de risco

pode ser considerada como medidas para evitar, ou antecipar, os impactos ou efeitos dos possíveis riscos.

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49

Os riscos podem ter origem em diversas fontes. Podemos ter:

✓risco de preço: grande variação inesperada do preço de

um produto;

✓risco natural: enchentes ou terremotos;

✓risco da taxa de juro ou de câmbio: elevação ou redução

não prevista da taxa de juro ou de câmbio;

✓inadimplência: risco de não receber o pagamento por um

produto ou um serviço;

(50)

50

Estes são apenas alguns exemplos de risco que

encontramos nas atividades. Formalmente, podemos definir os riscos relacionados ao mercado, conhecidos como riscos financeiros, em quatro grandes áreas:

1. risco de mercado; 2. risco de crédito; 3. risco de liquidez; 4. risco operacional.

Obviamente, além desses riscos tradicionais, existem outros tipos que impactam o mercado financeiro como: riscos legais, compliance, riscos de imagem, entre

outros, dependendo da atividade e da abrangência da instituição.

(51)

51

Medidas de Risco

▪ Não existe uma medida universal de risco

▪ Existe a necessidade de quantificação do risco ▪ O histórico de retornos pode ser usado como referência de risco de determinado ativo

▪ A dispersão dos retornos anteriores mede distância entre os retornos e sua média

(52)

52

Duas maneiras de considerar risco:

• Desvio padrão: Quanto menor é o desvio padrão e a

variância mais reduzida é a distribuição de

probabilidade e, assim, mais reduzido será o fator de risco.

• Valor em risco (VaR – Value at Risk): determinará o

ponto da abscissa sobre o qual, valores observados mais a esquerda podem causar um desastre anormal para o evento observado.

(53)

53 Considere 6 retornos de um ativo: 1 2 3 4 5 6 15%; 10%; 19%;-5%; 20%; 14%

Coeficiente de retorno relativo ao risco – Medida que fornece a unidade de retorno por partícula de risco assumida

Suponha que além da ação anterior você tem uma

alternativa que lhe fornece 15,5% de retorno médio e 11% de risco (Desvio padrão). Qual investimento você escolhe? CR₁ = 0,1217/0,0915 = 1,33

CR₂ = 0,1550/0,110 = 1,41

A segunda alternativa tem maior retorno por risco relativo. • Retorno médio = 12,17% • Variância = 0,00838 ou 0,838% • Desvio padrão=  0,00838= 0,0915 ou 9,15% • Desvio padrão

(54)

54

Exemplo: Considere a variável aleatória

Y: Duração, em horas, de uma lâmpada de certa marca,

selecionada ao acaso.

A experiência sugere que esta distribuição deve ser assimétrica - grande proporção de valores entre 0 e 500 horas e pequena proporção de valores acima de 1500 horas.

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55

• Valor em risco (VaR – Value at Risk):

O cálculo do VaR (value at risk) determinará o ponto da abscissa sobre o qual, valores observados mais a esquerda podem causar um “desastre anormal” para o evento observado.

O valor do VaR na cauda à direita também pode ser calculado para ganhos acima da normalidade. No entanto, do ponto de vista financeiro, a cauda esquerda é mais importante pois determina o risco de perdas inesperadas pelos investidores, ou falhas de um sistema automático, ou ainda efeitos colaterais severos de algum tipo de tratamento médico.É calculado por:

(56)

56

Z representa o quantil da distribuição normal localizado na abscissa da distribuição de probabilidade Normal.

Geralmente, utiliza-se três valores de Z, que regulam a área de perdas à esquerda da média. Os valores da área que mais interessam são 1%, 5% e 10%, que representam a

probabilidade das perdas inesperadas.

Por exemplo, para probabilidade de 5% de perdas anormais o ponto é Z=-1,64 e o VaR seria VaR(5%) = média – 1,64  desvio VaR = média + Z  desvio

(57)

57

Principais críticas ao VaR

Um dos principais críticos do VaR, é o conhecido trader de opções e filósofo Nassim Taleb, autor do livro “A Lógica do Cisne Negro”, de 2007, utilizado por muitos para entender a crise de 2008 nos EUA, por expolorar o impacto de eventos com baixíssima probabilidade de ocorrência.

Segundo Taleb, o VaR é falho por pressupor que o mercado pode ser representado por uma curva normal, desconsiderando os eventos “fora da curva”, ou melhor, à esquerda da curva, por serem estatisticamente raros e causarem um grande impacto .

Como consequencia deste contraponto, o VaR foi uma ferramenta de manejo de risco ineficiente na última crise, uma vez que o mercado recuou forte em um velocidade acima do normal, passando a negociar ”na cauda da curva”

(58)

58

Seus méritos

Em meio a duras críticas, o VaR se sustenta entre as ferramentas de risco mais utilizadas pelo mercado como um todo.

Contudo para evitar erros grosseiros de interpretação, tanto o investidor institucional, como o investidor pessoa física, deve desenvolver o modelo com validação estatística, para alinhar perdas máximas previstas com perdas reais, o que é chamado de “manejo de risco”.

http://www.infomoney.com.br/educacao/guias/noticia/1855214/var-vantagens-criticas-dos-metodos-manejo-risco-mais-utilizados

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Distribuição Normal : Valores de P( Z < z ) = A(z)

Segunda decimal de z Pa rte in te ira e p rim eir a d ec im al de z 60 volta 2 3 4