ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE SETÚBAL DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA Exame Época Especial TE - 2011/2012
Turma: Curso: TGI 14/09/2012
Nome: No
Instruções:
Esta prova tem a duração de 2h30m e é constituída por 2 Partes. A primeira parte tem 8 problemas de escolha múltipla; cada resposta certa vale 1; 5 valores, cada resposta em branco vale 0 valores e cada resposta errada vale 0; 5 valores. A cotação mínima desta parte é de 0 valores.
A segunda parte tem 2 problemas devendo justi…car as suas respostas e apresentar todos os cálculos que efectuar.
O abandono da sala em caso de desistência só poderá efectuar-se decorridos 45 minutos a partir do início da prova.
Não se aceitam provas ou questões escritas a lápis.
Não é permitido o manuseamento ou exibição de telemóveis durante a prova.
Para os 8 problemas da primeira parte, marque com uma cruz as suas escolhas nas tabelas seguintes (se quiser alterar a resposta, risque por inteiro o quadrado correspondente à resposta que não é válida e marque uma nova cruz na resposta que considera ser a correcta):
A) B) C) D) 1 X 2 X 3 X 4 X A) B) C) D) 5 X 6 X 7 X 8 X
O quadro abaixo destina-se à correcção da prova. Por favor não escreva nada.
Escolha Múltipla
Número de respostas certas Número de respostas erradas
Primeira Parte
1.
[1,5] Seja X uma variável aleatória contínua e FX(x)a sua função de distribuição. Se FX(1) = 1
6 e FX(2) = 5
6, qual das seguintes a…rmações é inequívocamente verdadeira?
A. P (X 1) = 16 B. P (1 < X < 2) = 2 3 C. P (1 < X < 3) = 23 D. P (X 2) = 16 Resolução:
Como X é uma variável aleatória continua, FX(1) = P (X 1) = P (X < 1) =
1
6 e FX(2) = P (X 2) = P (X < 2) = 5 6 pelo que as a…rmações A e D são falsas. Por outro lado,
P (1 < X 2) = F (2) F (1) = 5 6 1 6 = 4 6 = 2 3
pelo que a a…rmação B é verdadeira. A restante a…rmação é falsa porque P (1 < X < 3) = F (3) F (1):
2.
[1,5] Seja X uma variável aleatória com a seguinte função de probabilidade:
X 0 1 2 3
f (x) a b 0:2 0:25 Qual o valor de b para que o valor esperado de X seja 1:35?
A. 0:2 B. 0:3 C. 0:15 D. 0:55
Resolução:
E [X] = 0 a + 1 b + 2 0:2 + 3 0:25 = 1:35 , b + 0:4 + 0:75 = 1:35 ,
, b = 1:35 1:15, , b = 0:2
Assim a opção correcta é a A.
3.
[1,5] A probabilidade de encontrar um prémio numa raspadinha é de 5%. Ao adquirir 15 raspadinhas, qual a probabilidade de se receber, no mínimo, 2 prémios?
A. 0:9638 B. 0:1710 C. 0:0362 D. 0:8290
Resolução:
X no de prémios em 15 raspadinhas, que tem prémio.
X B(n = 15; p = 0:05)
P (X 2) = 1 P (X < 2) = 1 P (X 1) = 1 0:8290 = 0:171 A opção correcta é a B.
4. Um processo de fabrico de placas de vidro produz, em média, 4 bolhas de ar espalhadas aleatoriamente em 10m2 de placa. Sabendo que a distribuição do número de bolhas de
ar é uma Poisson, qual a probailidade de, numa placa de 5m2 existirem 3 bolhas de ar? A. 0:1429
B. 0:8571 C. 0:1804 D. 0:0076
Resolução:
Seja X a variável aleatória que representa o no de bolhas de ar em 10m2.Então X P (4):
Como se pretende calcular a probabilidade do número de bolhas existente, em 5m2,
temos que:
Y no de bolhas de ar em 5m2.
Y P (5 4 10 = 2) e P (Y = 3) = 0:1804: Pelo que, a opção correcta é a C.
5.
[1,5] O tempo, em minutos, que um molde leva a ser cortado é uma variável aleatória de valor esperado 1:25. Suponha que a máquina começou a cortar há pelo menos 1 minuto, qual a probabilidade de demorar ainda mais de 3 minutos?
A. 0:9093 B. 0:0907 C. 0:0183 D. 0:9817
Resolução: Seja T tempo, em minutos, que um molde leva a ser cortado. Então T Exp (1:25)
P (T 1 + 3jT 1) = P (T 3) = 1 P (T < 3) = 1 1 e 1:253 = 0:0907:
6.
[1,5] Uma empresa de distribuição sabe que o tempo necessário para descarregar material é uma variável aleatória X com distribuição normal de média 10 minutos e desvio padrão 3minutos. Qual a probabilidade de um descarregamento demorar entre 8 e 13 minutos?
A. 0:4972 B. 0:0927 C. 0:4101 D. 0:5899
Resolução: Seja X tempo (em minutos) necessário para descarregar material. Então X N (10; 3) P (8 X 13) = P 8 10 3 Z 13 10 3 = (1) ( 0:67) = 0:8413 (1 0:7486) = 0:5899 A opção correcta é a B. 7.
[1,5] Com o objectivo de estimar a proporção de alunos de uma universidade que almoçam diariamente na cantina, recolheu-se uma amostra de 500 alunos e veri…cou-se que apenas 175 fazem as refeições naquele local. O intervalo de con…ança obtido para a proporção foi, ]0:3004; 0:3996[. O grau de con…ança considerado no intervalo é:
A. 98%. B. 99%. C. 95%. D. 90%
Resolução: O I.C. para p com (1 )100%é dado porip z1 2
q p q n ; p + z1 2 q p q n h , logo a amplitude deste intervalo de con…ança é dada por:
AIC = 2 z1 2
r p q
n
Como a amplitude do intervalo dado é AIC = 0:3996 0:3004 = 0:0992 e pelo
enunciado sabe-se que p = 175
500 = 0:35 e que q = 1 p = 0:65, então 2 z1 2 r 0:35 0:65 500 = 0:0992, z1 2 = 0:0992 2 q 0:35 0:65 500 , z1 2 ' 2:33 , , 1 2 ' (2:33) , 1 2 ' 0:9901 , ' 0:0198 logo 1 = 1 0:0198' 0:98 ou seja, a a…rmação A é verdadeira.
8.
[1,5] Um biólogo, ao investigar o nível de poluição de um lago, mediu a concentração de mercúrio em 21 peixes (expressa em miligramas por quilograma), obtendo x = 1:219 e s2 = 0:1069
Admitindo que a concentração de mercúrio nos peixes segue uma distribuição normal, pretende-se testar se a concentração média de mercúrio nos peixes é superior a 1mg=kg. Considere as seguintes a…rmações:
I. A estatística teste a utilizar é representada por T = XS
pn s t(n 1)
II. O teste a realizar é bilateral.
III. A concentração média de mercúrio nos peixes é superior a 1mg=kg, para um nível de signi…cância de 5%.
A lista completa das a…rmações correctas é::
A) I e II. B) Somente a I C) II e III. D) I e III. (a)
Resolução: Pretende-se realizar um teste unilateral direito para a média, com desconhecido e n < 30
H0 : = 1
H0 : > 1
sendo a distribuição a utilizar:
Z = X s
pn N (0; 1) :
...
Segunda Parte
Justi…que todos os cálculos que tiver de efectuar.
9. O tempo, em horas, que o João Pestana dorme por noite é uma variável aleatória com distribuição normal de média 7 horas e variância 4 horas.
(a)
[1,0] Qual a probabilidade do Joao Pestana dormir mais de 8 horas numa noite sabendo que já dormiu mais de 4 horas.
Resolução:
X- tempo, em horas, que o João Pestana dorme por noite X s N (7; 2) ; então Z = X 7 2 s N (0; 1) assim P (X > 8jX > 4) = P (X > 8^ X > 4) P (X > 4) = P (X > 8) P (X > 4) = 1 P (X 8) 1 P (X 4) = = 1 8 7 2 1 4 72 = 1 (0:5) 1 ( 1:5) = 1 0:6915 1 (1 0:9332) = 0:3306 (b)
[1,0] Determine o no máximo de horas que o João Pestana dorme em 95% das noites. Resolução: P (X x) = 0:95, P Z x 7 2 = 0:95, x 7 2 = 0:95 , x 2 7 = 0:95, x = 0:95 2 + 7, x = 8:9h (c)
[1,5] Qual a probabilidade do João Pestana num mês (30 dias) dormir mais de 200 horas? Resolução:
Sendo a v.a. T - tempo total que o João Pestana dorme em 30 noites T = 30 X i=1 Xi s N 30 7; p 30 22 () N (210; 10:954) e Z = T 210 10:954 s N (0; 1) então P (T > 200) = 1 P (T < 200) = 1 P Z < 200 210 10:954 = = 1 ( 0:91) = 1 (1 (0:91)) = 0:8186
10. Uma máquina automática é usada para encher e selar latas de 1 litro de um produto líquido. Na sequência de algumas queixas relativamente ao facto das latas se encontrarem demasiado cheias, foi medido o conteúdo de 101 latas seleccionadas ao acaso do fabrico diário, tendo-se obtido:
101 X i=1 xi = 105 e 101 X i=1 x2i = 121: (a)
[1,0] Calcule um intervalo de con…ança, a 90%, para a média da quantidade de líquido por lata
i. Resolução:
a) Como é desconhecido e n 30, vamos usar a seguinte variável fulcral Z = X s
p n
N (0; 1)
Logo o intervalo de con…ança a (1 ) 100% para é dado por: ][
Para 90% de con…ança, temos que 1 = 0:9, pelo que z0:95 =
e
][ = ]8:681; 15:230[ (b)
[1,5] Utilizando um nível de signi…cância de 0.025, teste a hipótese das queixas serem fundamentadas.
i. Resolução: Teste unilateral direito para a média: H0 :
H0 : >
Como o desvio padrão é desconhecido e n 30a distribuição a utilizar será:
P (rej H0jH0 verd) = , P X > kj = 40 = 0:05 , P T > k 40 11 p 19 ! = 0:05 , 1 P T k 1140 p 19 ! = 0:05, P T k 1140 p 19 ! = 0:95 , kp1140 19 = t0:95;18 , k = 1:73 11 p 19+ 40 = 44:37 Assim a região critica será [44:37; +1[
pelo que
X = 42 =2 RC,
concluindo-se pela não rejeição de H0( 40), isto é, segundo os dados do problema
as baterias não são …áveis.
