PRECISÃO DA ANÁLISE DE EXPERIMENTOS COM MEDIDAS REPETIDAS NO TEMPO USANDO PROCEDIMENTOS DO SAS

PRECISÃO DA ANÁLISE DE EXPERIMENTOS COM

MEDIDAS REPETIDAS NO TEMPO USANDO

PROCEDIMENTOS DO SAS

Euclides Braga MALHEIROS1 RESUMO: As técnicas de análise de experimentos com medidas repetidas no tempo devem levar em consideração a estrutura de correlação inter e intra tempos. Alguns autores sugerem o uso do esquema em parcelas subdivididas, o que nem sempre é correto pois, como se sabe, essa análise pressupõe que a estrutura da matriz de covariâncias satisfaz a condição de esfericidade. A análise desses experimentos pode ser realizada no SAS®_, usando os procedimentos PROC GLM ou o PROC MIXED. O PROC GLM disponibiliza testes F com correções nos graus de liberdade, de tal forma que se tenha testes aproximados, caso a condição de esfericidade da matriz de covariâncias não seja satisfeita, e o PROC MIXED permite informar a estrutura dessa matriz, mas, na prática, esta estrutura nem sempre é conhecida. Neste trabalho são avaliadas, através de dados simulados em computador, as precisões: a) dos testes F para a análise da variância pelo PROC GLM, independente da condição de esfericidade ser satisfeita ou não, b) dos testes F para a análise da variância pelo PROC MIXED, dependendo da estrutura da matriz de covariâncias entre tempos ser especificada corretamente ou não.

PALAVRAS-CHAVE: Análise de variância, medidas repetidas no tempo, modelo linear, modelo misto.

1 Departamento de Ciências Exatas – Faculdade de Ciências Agrárias e Veterinárias – UNESP, CEP 14884-900 – Jaboticabal – SP. euclides@fcav.unesp.br

1 Introdução

As técnicas de análise de experimentos com medidas repetidas no tempo devem levar em consideração a estrutura de correlação inter e intra tempos.

Aspectos básicos da análise de perfis por técnicas univariadas foram estudados por vários autores. Alguns sugerem o uso do esquema em parcelas subdivididas considerando o tempo como sub-parcelas, o que pode causar problemas pois, como se sabe, este esquema pressupõe que a estrutura da matriz de covariâncias ( ) satisfaça a condição de esfericidade, o que nem sempre acontece. O que se encontra na literatura é que medidas repetidas em uma mesma unidade experi-mental ao longo do tempo são, no geral, correlacionadas e que essas correlações são maiores para tempos mais próximos.

Segundo Huynh & Feldt (1970) uma condição necessária e suficiente para que os testes F para a análise da variância sejam exatos, quando se usa o esquema em parcelas subdivididas, é que a matriz satisfaça a condição de esfericidade.

Outros autores como Box (1954a, b), Geisser & Greenhouse (1958) e Huynh & Feldt (1976) mostram que, ainda que a matriz não satis-faça a condição de esfericidade, a distribuição F central pode ser usada de forma aproximada, desde que seja efetuada uma correção dos graus de liberdade associados às causas de variação que envolvem o fator tempo.

A análise desses experimentos pode ser realizada no SAS®_,

usando os procedimentos PROC GLM ou o PROC MIXED.

O PROC GLM considera o modelo linear geral e permite, além da obtenção da análise da variância, realizar o teste de Mauchly (Mauchly, 1940) para a hipótese de esfericidade da matriz e as correções dos graus de liberdade sugeridas por Geisser & Greenhouse (1958) e Huynh & Feldt (1976).

O PROC MIXED considera uma generalização do modelo linear geral, separando no modelo os efeitos fixos dos aleatórios, e é escrito como: y=Xββββ+Zν+εεεε onde ββββ é o vetor dos parâmetros associados aos efeitos fixos, ν aos efeitos aleatórios, e εεεε o vetor de erros aleatórios, sendo νννν e εεεε não correlacionados, com esperanças nulas e matrizes de covariâncias G e R, respectivamente. Esse procedimento permite infor-mar a estrutura da matriz (G), através do comando RANDOM, e a dos erros (R), através do comando REPEATED. O problema que surge é

que, na prática, essas estruturas são desconhecidas ou se conhece ape-nas uma aproximação das mesmas.

Dado que em medidas repetidas no tempo a estrutura de cova-riâncias entre tempos é uma estrutura dos efeitos fixos, usa-se informá-la na estrutura de erros, como pode ser visto em Verbeke & Molen-berghs (1997) e Littell et al. (1998).

Neste trabalho foram avaliadas, através de dados simulados em computador, as precisões:

a) dos testes F para a análise da variância pelo PROC GLM, independente da condição de esfericidade ser satisfeita ou não.

b) dos testes F para a análise da variância pelo PROC MIXED, dependendo da estrutura da matriz de covariâncias entre tempos ser especificada corretamente ou não.

2 Material e métodos

Foram simulados em computador, pelo SAS, experimentos com as características de dados com medidas repetidas no tempo, num deli-neamento em blocos completos casualizados com p tratamentos, b blocos e t medidas repetidas (tempos), como representados na Tabela 1.

Para a simulação utilizou-se uma rotina apresentada em Timm & Mieczkowski (1997), de forma que as pb linhas da matriz de dados, Y=[yijk], tivessem distribuições normais t-variadas, que fossem

inde-pendentes e que a matriz de variâncias e covariâncias:

Var(Y)= = 2 t 2 t 1 t t 2 2 2 21 t 1 12 2 1 ... ... ... ... ... ... ...

Tabela 1 – Forma geral dos dados gerados, como experimentos com medidas repetidas no tempo, num delineamento em blocos completos casualizados. Tempos Tratamentos Blocos 1 2 ... t 1 ... 1 1 b ... 2 1 bt 1 2 b 1 1 b 1 t 12 122 121 t 11 112 111 y ... y y ... ... ... ... y ... y y y ... y y 2 ... 2 2 b ... 2 1 bt 2 2 b 2 1 b 2 t 22 222 221 t 21 212 211 y ... y y ... ... ... ... y ... y y y ... y y p ... p p b ... 2 1 pbt 2 pb 1 pb t 2 p 22 p 21 p t 1 p 12 p 11 p y ... y y ... ... ... ... y ... y y y ... y y

Para a simulação foram estabelecidas algumas condições de inte-resse, ou sejam:

a) Efeitos aleatórios para blocos, com média zero e variância 25, ( bl ~ N(0,25) );

b) Efeitos aleatórios para interação tratamentos x blocos, com média zero e variância 36, ( tr*bl ~ N(0,36 ) );

c) Efeitos fixos para tratamentos (tr) , para tempos (tp) e para a interação tratamentos*tempos (tr*tp). Para esses efeitos duas situações foram consideradas:

c.1) efeitos nulos para tr, tp e interação tr*tp;

c.2) efeitos nulos para tp e não nulos para tr e para a interação

tr*tp;

d) Seis estruturas para a matriz de covariâncias , denotadas por

Essas estruturas foram escolhidas por representarem situações que ocorrem na prática. Elas são: S1: Diagonal com variâncias iguais

(DVI); S2: Diagonal com variâncias desiguais (DVD); S3: Estrutura

homogênea (EH); S4: Covariâncias apenas nos tempos imediatamente

anteriores/posteriores (CTAP) – TOEP(1) na classificação do SAS; S5:

Estrutura com covariâncias linearmente decrescentes (CLD) e S6:

Estrutura auto-regressiva de primeira ordem (AR).

Tabela 2 – Estruturas da matriz de variâncias e covariâncias utilizadas na simulação dos experimentos.

b.1) S1 : DVI S1= 50 0 0 0 0 0 50 0 0 0 0 0 50 0 0 0 0 0 50 0 0 0 0 0 50 b.2) S2 : DVD S2= 90 0 0 0 0 0 70 0 0 0 0 0 50 0 0 0 0 0 30 0 0 0 0 0 10 b.3) S3 : EH S3= 50 25 25 25 25 25 50 25 25 25 25 25 50 25 25 25 25 25 50 25 25 25 25 25 50 b.4) S4 : CATP S4= 50 20 0 0 0 20 50 20 0 0 0 20 50 20 0 0 0 20 50 20 0 0 0 20 50 b.5) S5 : CLD S5= 50 30 25 20 15 30 50 30 25 20 25 30 50 30 25 20 25 30 50 30 15 20 25 30 50 b.6) S6 : AR S6= 48 24 12 06 03 24 48 24 12 06 12 24 48 24 12 06 12 24 48 24 03 06 12 24 48

Para o PROC MIXED, independente da estrutura da matriz gerada, foram especificadas para a matriz R (matriz dos erros) quatro estruturas (R1, R2, R3 e R4), denominadas pelo SAS por: R1: SIM

(Simple), R2: CS (Compound symmetric), R3: TOEP (

Toeplitz

UN (Unstructured), cujas formas são apresentadas na Tabela 3. Essas estruturas foram selecionadas por representarem situações esperadas na prática e por proporcionarem uma variabilidade desejável no número de parâmetros (R1: SIM - 1 parâmetro, R2: CS - 2

parâme-tros, R3: TOEP - t parâmetros e R4: UN - t(t+1)/2 parâmetros).

Ressal-ta-se que para a matriz gerada S1 a estrutura correta a ser especificada

Tabela 3 – Estruturas especificadas para a matriz R (matriz dos erros), no PROC MIXED do SAS.

R1 : SIM 2 2 2 ... 0 0 ... ... ... ... 0 ... 0 0 ... 0 R2 : CS + + + 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ... ... ... ... ... ... ... R3 : TOEP − − 2 1 k k 1 k 2 1 k 1 2 ... ... ... ... ... ... ... R4 : UN 2 kk 2 k 1 k 2 k 2 22 21 1 k 21 2 11 ... ... ... ... ... ... ...

Para cada uma das situações, combinação das seis estrutura da matriz gerada, das duas condições para os efeitos fixos e das quatro estruturas especificadas, foram simulados 1000 ensaios e, para cada ensaio foram realizadas as análises de variâncias segundo o modelo:

yijk=µ + blj + tri + (bl*tr)ji + tpk + (tr*tp)ik + eijk

onde: µ = efeito da média geral;

blj = efeito do bloco j

, j=1, ... , b

i, i=1, ... ,p

(bl*tr)ji = efeito da interação do bloco j e o tratamento i,

j=1,

... , b e i=1, ... ,

tpk = efeito do tempo

k, k=1, ... , t

(tr*tp)ik = efeito da interação do tratamento i com o tempo

k,

i=1, ... , p e k=1, ... ,t

eijk = erro aleatório correspondente à observação yijk, i=1, ... , p, j=1, ... , b e k=1, ... ,t.

As análises foram realizadas pelos procedimentos PROC GLM e PROC MIXED do SAS (Rotinas apresentadas no Anexo 1).

Dessas análises de variância foram arquivados para estudo: 1) Os Níveis Mínimos de Significância (NMS) dos testes F associados aos efeitos fixos: tratamentos (tr), tempos (tp) e a interação (tr x tp). Esses NMS foram distribuídos em classes de freqüências de amplitude 0,05, no intervalo [0,1), resultando 20 classes, e então aplicou-se o teste Qui-Quadrado (χ2_{) para a hipótese de aderência da}

distribuição dos NMS à distribuição uniforme [0,1).

2) Média dos valores do teste de esfericidade da matriz . O PROC MIXED não apresenta explicitamente esse teste, mas produz informações que permitem obtê-lo (Xavier (2000) e SAS/ ESTAT (1997)), ou seja:

a) Obtêm-se a Tabela(UN), que é a tabela “Model Fitting Infor-mation for Y”, gerada pelo PROC MIXED do SAS quando na estrutura UN (desestruturada) é especificada para a matriz de erros (R).

b) Obtêm-se a Tabela(HF), que é a tabela “Model Fitting Infor-mation for Y”, gerada pelo PROC MIXED do SAS quando na estrutura HF (estrutura de Huynh-Feldt) é especificada para a matriz de erros

(R).

c) Calcula-se a estatística do teste: χ2 _{= Est(HF) - Est(UN),}

que é testada com a distribuição Qui-quadrado com gl = gl(UN)–

gl(HF) graus de liberdade,

onde: Est(UN) é o valor da estatística “-2 REM Log Likelihood” da Tabela(UN);

Est(HF) é o valor da estatística “-2 REM Log Likelihood” da

Tabela(HF);

gl(UN) é o número de graus de liberdade apresentado em “Null model LRT DF” da Tabela(UN) e

gl(HF) é o número de graus de liberdade apresentado em “Null model LRT DF” da Tabela(HF).

A probabilidade do teste é obtida pela função PROBCHI do SAS. 3)Médias das estatísticas AIC (Akaike’s Information Criterion) e BIC (Schwarz’s Bayesian Criterion), utilizadas na seleção de modelos. Essas estatísticas penalizam os modelos com números excessivos de parâmetros, sendo considerado melhor o modelo com maior valor para tais estatísticas. Os valores dessas estatísticas fazem parte da Tabela “Model Fitting Information for Y”, gerada pelo PROC MIXED.

3 Resultados e discussão

Apresentam-se na Tabela 4 os valores da estatística Qui-quadrado ( χ2 _{), obtidos nos testes de aderência à distribuição uniforme dos}

Níveis Mínimos de Significância (NMS) associados aos testes F para os efeitos fixos, tratamentos (tr), tempos (tp) e interação (tr*tp), nos casos com valores nulos para os efeitos fixos, para as seis estruturas de covariâncias geradas e quatro estruturas especificadas.

Tabela 4 – Valores da estatística Qui-quadrado obtidos nos testes de aderência dos Níveis Mínimos de Significância (NMS) dos testes F para os efeitos fixos, tratamentos (tr), tempos (tp) e interação (tr*tp), à distribuição uniforme, nos casos com valores nulos para os efeitos fixos, para as seis estruturas geradas e quatro estruturas especificadas.

Estrutura Especificada Estrutura

gerada Proced. Efeito SIMPLE VC TOEP UN

tr 28.12 24.56 18.42 24.76 tp 18.92 18.92 18.92 18.92 GLM tr*tp 10.92 10.92 10.92 10.92 tr 29.08 20.40 17.60 18.60 tp 19.60 18.88 18.92 19.36 S1: DVI MIXED tr*tp 12.88 10.92 10.60 12.20 tr 18.48 23.42 23.60 18.08 tp 38.56 38.56 38.56 38.56 GLM tr*tp 27.68 27.68 27.68 27.68 tr 16.48 28.20 25.48 25.68 tp 39.88 40.28 37.52 37.44 S2: DVD MIXED tr*tp 27.76 28.48 28.20 28.02 tr 13.00 11.76 24.56 20.00 tp 11.64 11.64 11.64 11.64 GLM tr*tp 12.32 12.32 12.32 12.32 tr 14.12 21.48 23.76 22.84 tp 11.64 12.16 11.24 11.64 S3: EH MIXED tr*tp 12.32 12.76 13.08 12.32 tr 12.04 22.20 13.24 17.40 tp 37.20 37.20 37.20 37.36 GLM tr*tp 25.04 25.04 25.04 22.12 tr 21.32 31.12 12.04 19.72 tp 36.96 35.96 37.32 37.20 S4: CTAP MIXED tr*tp 23.92 24.20 23.48 25.04 tr 14.36 25.20 16.76 13.92 tp 13.92 13.92 13.92 13.92 GLM tr*tp 18.42 18.48 18.48 18.48 tr 19.36 28.08 18.28 14.52 tp 13.92 13.32 13.92 14.28 S5: CLD MIXED tr*tp 18.48 18.24 18.48 18.12

Continuação tr 08.12 20.56 18.40 14.28 tp 25.48 25.48 25.48 25.48 GLM tr*tp 17.84 17.84 17.84 17.84 tr 13.88 26.24 19.24 22.80 tp 25.24 25.00 25.24 25.08 S6: AR MIXED tr*tp 17.16 18.36 17.80 17.44

* _{DVI – Diagonal com variâncias iguais, DVD – Diagonal com variâncias desiguais, EH} – Estrutura homogênea, CTAP – Covariâncias apenas nos tempos imediatamente ante-riores/posteriores, CLD – Estrutura com covariâncias linearmente decrescentes e AR – Estrutura auto-regressiva de primeira ordem.

Pelo número de classes consideradas, 20, a hipótese de aderência é rejeitada, à 5% de probabilidade, se o valor da estatística for maior que 30,14.

Observa-se na Tabela 4 que, para o efeito de tratamentos (tr), os valores associados ao PROC MIXED apresentam grandes variações quando comparados aos correspondentes obtidos pelo PROC GLM e, para os efeitos de tempo (tp) e da interação (tr*tp) essas variações são bem menores, sugerindo que a precisão do teste F da análise da variância, especificamente para o efeito de tratamentos, depende do procedimento usado.

Ressalta-se que, apesar das variações dos valores da estatística χ2

nos testes de aderência dos NMS para tratamentos à distribuição uni-forme (0,1], a hipótese de aderência não foi rejeitada na grande maioria dos casos considerados, indicando que o teste F para esse efeito tem precisão satisfatória para todos os casos considerados, independente da estrutura gerada e da estrutura especificada. Este resultado era esperado pois, como se sabe, o teste F para este efeito é exato.

Observa-se também que a hipótese de aderência não foi rejeitada nos testes associados a interação (tr*tp).

Nos testes associados ao efeito de tempos (tp), a hipótese de aderência foi rejeitada quando a estrutura gerada foi S2: DVD ou S4:

CTAP, para todas as estruturas especificadas. Esses resultados sugerem que a precisão do teste F para esse efeito depende da estrutura da ma-triz das observações e não da estrutura especificada no PROC GLM.

Na Tabela 5 são apresentadas as médias dos valores da estatística do teste da esfericidade da matriz (teste Qui-quadrado), e das estatís-ticas AIC e BIC, nos casos com valores nulos para os efeitos fixos, para as seis estruturas de dados geradas e quatro estruturas especificadas.

Tabela 5 – Médias obtidas para as estatísticas do teste de esfericidade, e para AIC e BIC, nos casos com valores nulos para os efeitos fixos, para as seis estruturas geradas e quatro estru-turas especificadas.

Estrutura Especificada Estrutura

gerada Estatística SIMPLE VC TOEP UN

Teste Esfericidade 16.735 16.075 17.091 15.780 AIC -172.123 -173.151 -172.139 -172.215 S1: DVI* BIC -174.833 -176.764 -174.849 -174.925 Teste Esfericidade 19.401 20.184 19.560 20.008 AIC -172.124 -173.074 -171.888 -172.094 S2: DVD BIC -174.834 -176.687 -174.598 -174.804 Teste Esfericidade 16.188 16.772 16.044 16.702 AIC -161.076 -162.067 -160.978 -161.068 S3: EH BIC -163.786 -165.680 -163.688 -163.778 Teste Esfericidade 19.537 19.464 19.928 20.127 AIC -169.234 -170.208 -169.335 -169.299 S4: CTAP BIC -171.944 -173.821 -172.045 -172.009 Teste Esfericidade 17.347 17.587 18.092 17.650 AIC -160.984 -161.956 -160.892 -160.976 S5: CLD BIC -163.694 -165.569 -163.602 -163.686 Teste Esfericidade 18.962 18.674 18.597 18.951 AIC -165.418 -166.467 -165.478 -165.609 S6: AR BIC -169.128 -170.080 -168.188 -168.319 * _{DVI – Diagonal com variâncias iguais, DVD – Diagonal com variâncias desiguais, EH} – Estrutura homogênea, CTAP – Covariâncias apenas nos tempos imediatamente anteriores/posteriores, CLD – Estrutura com covariâncias linearmente decrescentes e AR – Estrutura auto-regressiva de primeira ordem.

Pelos valores de p, b e t considerados, o teste Qui-quadrado para a hipótese de esfericidade de , com 9 graus de liberdade, é rejeitado, à 5% de probabilidade, se os valores forem maiores que 16,92.

Observa-se na Tabela 5 que a hipótese de esfericidade é rejeitada, à 5% de probabilidade, para quase todas as estruturas geradas, exceto para S1 e S3. Ressalta-se que dentre as estruturas geradas, essas são as

que satisfazem a condição de esfericidade.

a) As maiores médias para o teste de esfericidade são observados para as estruturas geradas S2 e S4, que foram as estruturas que

apre-sentaram problemas com a precisão dos testes F para o efeito de tempos, na análise de variância.

b) Apesar da hipótese de esfericidade ter sido rejeitada para as estruturas geradas S5 e S6, os testes F associados foram consideradas

precisos.

c) Os valores das estatísticas AIC e BIC apresentam coerência com os valores das estatísticas dos testes de esfericidade (maiores va-lores de AIC e BIC correspondem aos menores vava-lores dessa esta-tística).

Apresentam-se nas Tabelas 6 a 11 as freqüências dos NMS, para os casos considerados com efeitos não nulos para tratamentos (tr) e para a interação tr*tp, distribuídas em classes de freqüências de ampli-tude 0,05. Como as tomadas de decisões relativas aos testes F da análise da variância baseiam-se em um nível de significância α, geral-mente menor que 0,20, optou-se em apresentar essas freqüências apenas para as classes de 0 a 0,20, ou sejam: (0,00-0,05], (0,05-0,10], (0,10-0,15] e (015-0,20], aqui tratadas como as primeiras classes. O que se sabe é que, quanto mais concentradas estiverem as freqüências nas primeiras classes, maior a sensibilidade em indicar a existência de efeitos não nulos.

Observa-se nessas Tabelas que para os efeitos de tempos (tp) e da interação tr*tp, que são os efeitos testados com o resíduo geral da análise, as freqüências nas primeiras classes são praticamente iguais, independente da estrutura especificada e do procedimento usado (GLM ou MIXED), para as seis estruturas entre tempos geradas.

Para efeito de tratamentos (tr), que na análise é testado com o resíduo tr*bl (Resíduo a), observa-se uma superioridade sistemática das freqüências nas primeiras classes quando se usa o PROC MIXED que quando se usa o PROC GLM, independente da estrutura gerada e da estrutura especificada.

Pela análise detalhada dessas Tabelas observa-se para o PROC MIXED uma subestimação ou uma superestimação da existência de efeitos de tratamentos, quando a estrutura da matriz não é especificada corretamente.

Analisando os dados da Tabela 6, onde a estrutura gerada foi S1 e

a estrutura correta é a SIMPLE, verifica-se uma superestimação da indicação da existência de efeitos de tratamentos, quando qualquer outra estrutura é especificada.

Tabela 6 – Freqüências dos Níveis Mínimos de Significância (NMS) observados nas primeiras classes, associadas aos valores de F para os efeitos fixos: tratamentos (tr), tempos (tp) e interação (tr*tp), para as quatro estruturas especificadas, quando a estrutura entre tempos gerada foi S1: DVI –

Diagonal com variâncias iguais.

Classes de freqüências Estrutura

especificada Efeito Procedimento 0,00-0,05 0,05-0,10 0,10-0,15 0,15-0,20

GLM 265 151 93 99 tr MIXED 282 149 92 94 GLM 996 3 1 0 tp MIXED 996 3 1 0 GLM 173 122 102 61 SIMPLE tr*tp MIXED 174 121 102 62 GLM 268 148 117 86 tr MIXED 281 149 126 82 GLM 996 3 1 0 tp MIXED 996 3 1 0 GLM 173 122 102 61 CS tr*tp MIXED 173 122 102 62 GLM 283 135 110 85 tr MIXED 295 136 115 85 GLM 996 3 1 0 tp MIXED 997 2 1 0 GLM 173 122 103 62 TOEP tr*tp MIXED 173 122 103 62 GLM 321 145 111 88 tr MIXED 332 155 107 90 GLM 996 3 1 0 tp MIXED 996 3 1 0 GLM 173 122 102 62 UN tr*tp MIXED 175 121 102 60

Nas Tabelas 7, 8, 9, 10 e 11, onde as estruturas geradas foram S2, S3, S4, S5 e S6 e as estruturas corretas a serem especificadas são: UN,

CS, TOEP, UN e UN, respectivamente, verifica-se, no geral, uma subestimação da indicação da existência de efeitos de tratamentos, quando a estrutura não é especificada corretamente.

Tabela 7 – Freqüências dos Níveis Mínimos de Significância (NMS) observados nas primeiras classes, associadas aos valores de F para os efeitos fixos: tratamentos (tr), tempos (tp) e interação (tr*tp), para as quatro estruturas especificadas, quando a estrutura entre tempos gerada foi S2: DVD –

Diagonal com variâncias desiguais.

Classes de freqüências Estrutura

especificada Efeito Procedimento 0,00-0,05 0,05-0,10 0,10-0,15 0,15-0,20

GLM 283 141 127 82 tr MIXED 290 155 127 72 GLM 997 2 1 0 tp MIXED 997 2 1 0 GLM 188 91 92 79 SIMPLE tr*tp MIXED 188 92 91 79 GLM 297 138 98 85 tr MIXED 308 136 103 91 GLM 997 2 1 0 tp MIXED 998 1 1 0 GLM 188 91 92 79 CS tr*tp MIXED 188 92 92 78 GLM 284 153 116 92 tr MIXED 296 163 110 93 GLM 997 2 1 0 tp MIXED 997 2 1 0 GLM 188 91 92 79 TOEP tr*tp MIXED 188 92 91 79 GLM 297 166 92 73 tr MIXED 302 173 91 71 GLM 997 2 1 0 tp MIXED 997 2 1 0 GLM 188 91 92 79 UN tr*tp MIXED 188 92 91 81

Tabela 8 – Freqüências dos Níveis Mínimos de Significância (NMS) observados nas primeiras classes, associadas aos valores de F para os efeitos fixos: tratamentos (tr), tempos (tp) e interação (tr*tp), para as quatro estruturas especificadas, quando a estrutura entre tempos gerada foi S3: EH –

Estrutura homogênea.

Classes de freqüências Estrutura

especificada Efeito Procedimento 0,00-0,05 0,05-0,10 0,10-0,15 0,15-0,20

GLM 201 124 93 102 tr MIXED 209 137 97 100 GLM 1000 0 0 0 tp MIXED 1000 0 0 0 GLM 370 140 100 72 SIMPLE tr*tp MIXED 370 140 100 72 GLM 213 138 96 83 tr MIXED 228 136 106 77 GLM 1000 0 0 0 tp MIXED 1000 0 0 0 GLM 370 140 100 72 CS tr*tp MIXED 370 140 100 72 GLM 204 133 99 85 tr MIXED 207 147 107 75 GLM 1000 0 0 0 tp MIXED 1000 0 0 0 GLM 370 140 100 72 TOEP tr*tp MIXED 370 140 100 72 GLM 208 144 89 91 tr MIXED 220 146 88 100 GLM 1000 0 0 0 tp MIXED 1000 0 0 0 GLM 370 140 100 72 UN tr*tp MIXED 370 140 101 71

Tabela 9 – Freqüências dos Níveis Mínimos de Significância (NMS) observados nas primeiras classes, associadas aos valores de F para os efeitos fixos: tratamentos (tr), tempos (tp) e interação (tr*tp), para as quatro estruturas especificadas, quando a estrutura entre tempos gerada foi S4: CTAP –

Covariâncias apenas nos tempos imediatamente anteriores/ posteriores.

Classes de freqüências Estrutura

especificada Efeito Procedimento 0,00-0,05 0,05-0,10 0,10-0,15 0,15-0,20

GLM 253 155 102 68 tr MIXED 264 156 105 70 GLM 994 5 1 0 tp MIXED 994 5 1 0 GLM 239 109 91 59 SIMPLE tr*tp MIXED 239 109 91 51 GLM 252 146 100 92 tr MIXED 263 148 112 85 GLM 994 5 1 0 tp MIXED 994 5 1 0 GLM 239 109 91 59 CS tr*tp MIXED 240 110 88 62 GLM 258 144 105 90 tr MIXED 272 143 113 80 GLM 994 5 1 0 tp MIXED 994 5 1 0 GLM 233 109 91 59 TOEP tr*tp MIXED 240 109 91 58 GLM 246 148 95 77 tr MIXED 259 150 100 79 GLM 994 5 1 0 tp MIXED 994 5 1 0 GLM 239 109 91 59 UN tr*tp MIXED 239 109 91 59

Tabela 10 – Freqüências dos Níveis Mínimos de Significância (NMS) observados nas primeiras classes, associadas aos valores de F para os efeitos fixos: tratamentos (tr), tempos (tp) e interação (tr*tp), para as quatro estruturas especificadas, quando a estrutura entre tempos gerada foi S5: CLD –

Estrutura com covariâncias linearmente decrescentes. Classes de freqüências Estrutura

especificada Efeito Procedimento 0,00-0,05 0,05-0,10 0,10-0,15 0,15-0,20

GLM 205 139 107 78 tr MIXED 219 144 108 74 GLM 1000 0 0 0 tp MIXED 1000 0 0 0 GLM 380 108 81 66 SIMPLE tr*tp MIXED 380 108 81 66 GLM 212 143 111 73 tr MIXED 224 157 108 66 GLM 1000 0 0 0 tp MIXED 1000 0 0 0 GLM 380 108 81 66 CS tr*tp MIXED 380 108 81 66 GLM 210 135 92 75 tr MIXED 223 132 96 78 GLM 1000 0 0 0 tp MIXED 1000 0 0 0 GLM 380 108 81 66 TOEP tr*tp MIXED 380 108 81 66 GLM 216 119 94 82 tr MIXED 236 113 103 76 GLM 1000 0 0 0 tp MIXED 1000 0 0 0 GLM 380 108 81 66 UN tr*tp MIXED 380 108 81 66

Tabela 11 – Freqüências dos Níveis Mínimos de Significância (NMS) observados nas primeiras classes, associadas aos valores de F para os efeitos fixos: tratamentos (tr), tempos (tp) e interação (tr*tp), para as quatro estruturas especificadas, quando a estrutura entre tempos gerada foi S6: AR –

Estrutura auto-regressiva de primeira ordem. Classes de freqüências Estrutura

especificada Efeito Procedimento 0,00-0,05 0,05-0,10 0,10-0,15 0,15-0,20

GLM 216 136 111 73 tr MIXED 226 143 107 81 GLM 999 1 0 0 tp MIXED 999 1 0 0 GLM 298 110 76 71 SIMPLE tr*tp MIXED 298 110 76 71 GLM 222 138 104 72 tr MIXED 235 144 103 75 GLM 999 1 0 0 tp MIXED 999 1 0 0 GLM 298 110 76 71 CV tr*tp MIXED 298 110 76 72 GLM 247 130 113 76 tr MIXED 256 144 110 77 GLM 999 1 0 0 tp MIXED 999 1 0 0 GLM 298 110 76 77 TOEP tr*tp MIXED 298 110 76 71 GLM 253 130 93 90 tr MIXED 263 132 98 92 GLM 999 1 0 0 tp MIXED 999 1 0 0 GLM 298 110 76 71 UN tr*tp MIXED 298 110 76 71

De uma maneira geral esses resultados sugerem que, se a estru-tura especificada tem mais parâmetros que a estruestru-tura da matriz dos dados, existe uma tendência de superestimação da indicação de efeitos

de tratamentos e, se tem menos, existe uma tendência de subestimação da existência desses efeitos.

Agradecimentos

Ao CNPq pela bolsa de produtividade em Pesquisa Concedida.

MALHEIROS, E. B. Accuracy of the statistical analysis for repeated measures using SAS procedures. Rev. Mat. Estat. (São Paulo), v.19, p.253-272, 2001.

ABSTRACT: The statistical analysis of repeated measures in time requires special attention to the covariance structure, due to the sequential nature of the data. Some authors suggest the using the split-plot design, but this analysis is not always free from error because it requires particular condi-tions for the covariance matrix (Huynh-Feldt condition). This analysis can be done in the SAS software by the procedures PROC ANOVA or PROC GLM. The PROC GLM consider the general linear model and make some corrections when the Huynh-Feldt condition is not true. By using the PROC MIXED it is possible to specify the structure of the matrix of covariance for random effects and random errors, that in general are unknown. In this article we have used computer simulated data for studying the accuracy of the: a) F tests for analysis of variance by PROC GLM, irrespective of the Huynh-Feldt condition being true or not. b) F tests for analysis of variance by PROC MIXED, irrespective of the structures of the matrix be correctly specified or not.

KEYWORDS: Analysis of variance, repeated measures in time, linear model, mixed model.

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XAVIER, L. H. Modelos univariado e multivariado para análise de

medidas repetidas e verificação da acurácia do modelo univariado por meio de simulação. 2000. 91f. Dissertação (Mestrado em Estatística e

experimentação agronômica) – Escola Superior de Agricultura “Luiz de Queiroz”, Universidade de São Paulo, Piracicaba, 2000.

Anexo 1

Macros usadas para as análises de variância

/*********** MACRO - ANALISE DE VARIANCIA (PROC GLM/REPEATED) ************/ %MACRO AN1(DADOS,SDS_S);

PROC GLM DATA=DADOS OUTSTAT=&SDS_S NOPRINT; CLASS VR;

MODEL EP1-EP5=VR;

REPEATED EP 5 POLYNOMIAL/PRINTE PRINTH SUMMARY; RUN;

%MEND AN1;

/******* MACRO - ANALISE DE VARIANCIA (PROC GLM – Parcelas Subdivididas) *******/ %MACRO AN2(DADOS,SDS_S);

PROC GLM DATA=DADOS OUTSTAT=&SDS_S NOPRINT; CLASS J I K;

MODEL Y=J I J*I K I*K/&T_SQ; TEST H=J I E=J*I;

RUN; %MEND AN2;

/********* MACRO - ANALISE DE VARIANCIA ( PROC MIXED - RANDOM ) ***********/ %MACRO AN3(DADOS,SDS_S1,SDS_S2,SDS_S3);

*PROC PRINT DATA=DADOS; PROC MIXED DATA=DADOS; CLASS J I K;

MODEL Y=I K I*K/HTYPE=&V_HTYPE; RANDOM J J*I/TYPE=&RAM_TYPE; REPEATED / TYPE=&REP_TYPE; MAKE "TESTS" OUT=&SDS_S1; MAKE "FITTING" OUT=&SDS_S2; MAKE "COVPARMS" OUT=&SDS_S3; RUN;