Capítulo 2. Mistura e Convecção

Capítulo 2

Mistura

• Mistura Isobária

Mistura isobárica

M1, T1, q1, w1,P M2, T2, q2, w2,P

Média Ponderada das massas

2 1 2 1 2 2 1 1 q m m m q m m m q + + + = 2 1 2 1 2 2 1 1 w m m m w m m m w + + + = 2 1 2 1 2 2 1 1 e m m m e m m m e + + + = Umidade específica Razão de mistura Pressão de Vapor

Se durante a mistura não ocorrer perda ou ganho de calor, a quantidade de calor

perdida pela parcela quente é igual à

recebida pela fria. Portanto podemos calcular

a temperatura final da mistura T como:

) )( ( 2 ) )( ( 1 c w₁c T₁ T m c w ₂ c T T₂ m _p + _pv − = _p + _pv −

negligenciando as pequenas contribuições do vapor d’água: 2 2 1 2 1 2 1 1 _T m m m T m m m T + + + ≈

Durante este processo de mistura, a UR pode atingir valores superiores a 100%, ou seja, a mistura estará super-saturada em relação a água.

Lembrando que a UR pode ser descrita como:

s s w w x ou e e x UR(%) =100 100

Possíveis condições após a

mistura

• Super-Saturada e > es(T) • Saturada e = es(T) • Não Satura e < es(T)

Para saber se temos a saturação

• 1º Calculamos e_m

• 2º Calculamos T_m

• 3º Calculamos es(T_m) – eq. C.C.

























−

=

T

T

R

L

T

e

T

e

v v s s

1

1

exp

)

(

)

(

0 0

Vapor condensado e Temperatura

da Mistura

• Para calcular a quantidade de material

condensado ou mesmo a temperatura que a parcela irá atingir após a condensação, avaliamos a variação da razão de mistura da parcela que esta condensando, pois ela estará liberando calor.

• Logo o calor liberado durante este processo de condensação pode ser expresso como:

Ldw

dq

=

−

dp

dT

c

dq

=

_p

−

α

• Lembrando que temos um processo

isobárico (p=cte), a equação anterior pode se simplificada como:

dT

c

dq

=

_p

Ldw

dT

c

_p

=

−

• Como a razão de mistura é: Temos:

p

e

w

=

ε

const

p

p

e

Ld

dT

c

_p

_

=











−

=

ε

,

• Rearranjando os termos:

de

p

L

dT

c

_p

=

−

ε

ε

L

pc

dT

de

p

−

=

⇒

• Esta equação descreve a taxa de mudança da temperatura e pressão de vapor (coeficiente angular) da linha de T,e->(Tf,ef) durante um processo de condensação isobárico.

ε

L

pc

dT

de

p

−

=

⇒

• Sendo que Tf e ef representarão a

temperatura e a pressão de vapor final de parcela, após o processo de condensação terminar, ou seja, quando a parcela atingir a saturação teremos que ef = es(Tf).

• Para duas parcelas de nuvem não

misturadas que não possuem precipitação considerável, o processo termodinâmico pode ser considerado como saturado

• Neste processo tanto a razão de mistura da água total Q como temperatura

potencial equivalente úmida são conservativos: 2 1

2

1

2

2

1

1

2

2

1

2

1

2

1

1

q q q

m

m

m

m

m

m

Q

m

m

m

Q

m

m

m

Q

θ

θ

θ

+

+

+

=

+

+

+

=

Mistura adiabática

• Durante processos de levantamento, massas de ar podem se misturar em diferente níveis de pressão e como no caso anterior, nuvens e nevoeiros podem ser formar.

• O processo de mistura ocorre em um mesmo nível de pressão, ou seja, aplicamos o mesmo procedimento de mistura isobárica. Porém

como as parcelas estavam em um outro nível, elas precisam ser deslocadas até o nível da mistura através de um processo adiabático.

• Portanto, elas podem sofrer expansão ou compressão adiabática caso não estejam saturadas ou expansão ou compressão pseudo-adiabática caso estejam

saturadas.

• Logo precisamos acompanhar todos estes processos até que a mistura ocorra.

• Durante este processo de mistura

adiabática, tanto a temperatura potencial da mistura como a umidade específica

são representados pela média ponderada das massa das parcelas de ar.

2 1 2 1

2

1

2

2

1

1

2

1

2

2

1

1

θ

θ

θ

m

m

m

m

m

m

q

m

m

m

q

m

m

m

q

+

+

+

=

+

+

+

=

• Posteriorme, quando a coluna de ar

estiver totalmente misturada a umidade especifica tenderá a um valor constante dentro da coluna

∫

∫

=

=

2 1 2 1

1

z z z z m

dz

M

qdz

M

q

ρ

ρ

• Usando a aproximação hidrostática

dz

g

dp

g

dz

dp

ρ

ρ

=

−

−

=

∫

∫

∫

=













−

=

=

1 2 2 1 2 1

1

1

1

P P m P P z z m

g

dp

q

M

q

g

dp

q

M

qdz

M

q

ρ

∫

=

∆

=

−

∆

=

2 1 z z

g

p

z

dz

M

ρ

ρ

∫

∫

=

_∆

∆

−

=

2 1 1 2

1

p p p p m

qdp

p

g

dp

q

p

g

q

∫

∆

=

2 1

1

p p m

dp

p

θ

θ

o mesmo se aplica para a razão de mistura (w) e a pressão de vapor (e)

• Finalmente quando a coluna estiver totalmente misturada, a variação da temperatura com a altura na coluna

vertical da mistura se aproximará da taxa de variação de temperatura para um

processo adiabática seco, ou seja,

d

dz

d

Γ

=

Γ

Exemplo

• 2 amostras de ar com mesma massa são misturadas isobaricamente e um nevoeiro se forma. A 1º amostra está com uma

temperatura de 30ºC e 90% de UR enquanto que a 2º amostra tem uma temperatura de 2ºC e UR=80%.

• Assumindo que mistura ocorreu no nível de 1000 mb, determine a temperatura do ar do nevoeiro e o conteúdo de água

líquida em gramos de vapor por quilo de ar.

• Mas como m1 = m2 = m 2 2 1 2 1 2 1 1 T m m m T m m m T + + + = 2 2 1 1 2 1 2 1 T T T m m m T m m m T = + + + + = C Tm 2 15 1 16 o 2 1 30 2 1 = + = + =

2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1 e e e m m m e m m m e _m = + + + + = ) ( 100 e T UR e = _s mb x e e mb x e e s s 648 , 5 06 , 7 8 , 0 ) 2 ( 100 8 , 0 2 205 , 38 45 , 42 9 , 0 ) 30 ( 100 90 1 = = = = = = mb e e e _m 21 ,93 2 648 , 5 205 , 38 2 2 1 = + = + = Mas

Nevoeiro: em > es(Tm)

• es(Tm) = es(16ºC) = 18,18 mb. • em = 21,93 mb

•
em > es(Tm)

•

• Dessa maneira, a pressão de vapor do nevoeiro irá variar com a temperatura durante a condensação da seguinte forma:

ε

L

pc

dT

de

p

−

=

• Logo, integramos a equação anterior

desde o estágio inicial da mistura (T_m,e_m) até o estágio que a parcela ficará somente saturada (T*,e*)

∫

∫

=

−

* * T Tm p e em

dT

L

pc

de

ε

[

T Tm

]

L pc em e*− = − p *− ε

Como sabemos que a condensa

Como sabemos que a condensaçção ira ocorrer atão ira ocorrer atéé que a parcela que a parcela fique simplesmente saturada, temos que e* = es(T*)

• Pela equação de Clausius-Clapeyro es(T*) pode ser expresso como:

























−

=

Tm

T

R

L

T

e

T

e

v v m s s

1

*

1

exp

)

(

*)

(

Lembrando que Lv = 2,5x106 J/kg, Rv = 461 J/kgK e_m = 21,93 mb, es(T_m) = 18,18 mb T_m = 16ºC

• A seguir as 2 equações devem interagir de forma a obter uma solução que

satisfaça e* = es(T*).

[

T

Tm

]

L

pc

em

e

*

−

=

−

p

*

−

ε

























−

=

Tm

T

R

L

T

e

T

e

v v m s s

1

*

1

exp

)

(

*)

(

Interação

20,70 20,70 17,89 20,70 20,73 17,91 20,68 20,77 17,94 20,72 20,68 17,875 20,80 20,52 17,75 20,96 20,19 17,5 21,28 19,55 170 20,68 20,63 18,0 18,18 21,93 16,0 Es(T*) e*(mb) T*(o_C)

• Finalmente, para calcularmos o conteúdo de água liquida condensada precisamos saber a razão de mistura da parcela

mistura e depois do vapor condensado, uma vez que ∆χ=-(w*-wm)

• Como , temos que:

•
∆χ=7,6x10-4 kg/kg = 0,76 g/kg 01364 , 0 1000 93 , 21 622 , 0 012875 , 0 1000 70 , 20 622 , 0 * = = = = x w x w m

Lista 2:

Entrega 28/05/2012

Suponha que duas amostras de ar com massas M1 e M2 fossem misturadas isobaricamente ao nível de 850 hPa. A parcela 1 tem uma Temperatura de 2ºC e uma razão de mistura de 3,65 g/kg enquanto que a parcela 2 esta com uma temperatura de 29ºC e razão de mistura de 25,61 g/kg.

a) Calcule qual o intervalo de massas (M1 e M2) que possibilita a formação de nevoeiro.

b) Calcule a temperatura do nevoeiro e água líquida condensada para a mistura que apresentar a maior super-saturação.

c) A partir de que valor de umidade relativa a parcela 1 necissitaria atingir para que não ocorresse saturação durante a mistura,

d) A partir de que temperatura a parcela 2 teria que ser aquecida para não termos condensação.