RESUMO

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ÁLGEBRA E GEOMETRIA: A UTILIZAÇÃO DO GEOGEBRA COMO ESTRATÉGIA PARA A VERIFICAÇÃO DOS SABERES DE LICENCIANDOS

DE MATEMÁTICA SOBRE EQUAÇÕES DIOFANTINAS LINEARES

Nelson Victor Lousada Cade

Maria Auxiliadora Vilela Paiva

Este trabalho vinculado à linha de formação de professores que ensinam matemática é parte de uma pesquisa desenvolvida no Programa de Pós Graduação em Educação em Ciências e Matemática do Instituto Federal do Espírito Santo – Educimat/Ifes. Nosso objetivo foi refletir sobre

entre o saber científico e o escolar, numa turma de licenciatura em matemática, a partir da relação com os saberes q

Diofantinas Lineares (EDL). Uma das atividades da intervenção realizada foi a utilização de tecnologia, com o software de geometria dinâmica Geogebra. Os alunos observaram, por meio de gráficos,

são um conjunto de pontos com coordenadas x e y que estão sobre uma reta, apresentada em sua forma parametrizada. No desenrolar desta ação de pesquisa discutimos com os licenciandos importantes relações existentes entre geometria e álgebra, com

sala de aula.

Palavras-chave: Formação inicial. Geogebra. Equações Diofantinas Lineares.

1. INTRODUÇÃO

Entende-se a Álgebra como a parte da Matemática que tem entre outras fu ções o trabalho com generalização e abstração, representando quantidades através de símbolos. “A álgebra consiste em um conjunto de afirmações para as quais é possível produzir significado em termos de números e operações aritméticas, possivelmente envolvendo igualdade e desi

menez 1997, p.137). A partir da necessidade de propor reflexões sobre o ens

Nelson Victor Lousada Cade – Instituto Federal do Espírito Santo nvlcade@hotmail.com

Maria Auxiliadora Vilela Paiva - Instituto Federal do Espírito Santo/Cefor, vilelapaiva@gmail.com

RESUMO

Este trabalho vinculado à linha de formação de professores que ensinam matemática é parte de uma pesquisa desenvolvida no Programa de Pós

m Educação em Ciências e Matemática do Instituto Federal do Educimat/Ifes. Nosso objetivo foi refletir sobre

entre o saber científico e o escolar, numa turma de licenciatura em matemática, a partir da relação com os saberes que emergem do conteúdo de Equações Diofantinas Lineares (EDL). Uma das atividades da intervenção realizada foi a utilização de tecnologia, com o software de geometria dinâmica Geogebra. Os alunos observaram, por meio de gráficos, que as equações diofantina

são um conjunto de pontos com coordenadas x e y que estão sobre uma reta, apresentada em sua forma parametrizada. No desenrolar desta ação de pesquisa discutimos com os licenciandos importantes relações existentes entre geometria e álgebra, com vistas à reflexão de sua futura atuação docente em

ormação inicial. Geogebra. Equações Diofantinas Lineares.

se a Álgebra como a parte da Matemática que tem entre outras fu generalização e abstração, representando quantidades através de símbolos. “A álgebra consiste em um conjunto de afirmações para as quais é possível produzir significado em termos de números e operações aritméticas, possivelmente envolvendo igualdade e desigualdade” (Lins e G menez 1997, p.137). A partir da necessidade de propor reflexões sobre o ens

Instituto Federal do Espírito Santo/Cefor,

Este trabalho vinculado à linha de formação de professores que ensinam matemática é parte de uma pesquisa desenvolvida no Programa de

Pós-m Educação ePós-m Ciências e MatePós-mática do Instituto Federal do Educimat/Ifes. Nosso objetivo foi refletir sobre a articulação entre o saber científico e o escolar, numa turma de licenciatura em matemática, ue emergem do conteúdo de Equações Diofantinas Lineares (EDL). Uma das atividades da intervenção realizada foi a utilização de tecnologia, com o software de geometria dinâmica Geogebra. Os que as equações diofantinas lineares são um conjunto de pontos com coordenadas x e y que estão sobre uma reta, apresentada em sua forma parametrizada. No desenrolar desta ação de pesquisa discutimos com os licenciandos importantes relações existentes entre vistas à reflexão de sua futura atuação docente em

ormação inicial. Geogebra. Equações Diofantinas Lineares.

se a Álgebra como a parte da Matemática que tem entre outras fun-generalização e abstração, representando quantidades através de símbolos. “A álgebra consiste em um conjunto de afirmações para as quais é possível produzir significado em termos de números e operações gualdade” (Lins e Gi-menez 1997, p.137). A partir da necessidade de propor reflexões sobre o

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ensi-no e aprendizagem da Álgebra, em especial sobre o conteúdo de equações diofantinas lineares, esse trabalho apresenta parte de uma intervenção realiz da em uma licenciatura, numa Instituição pública de Vitória

O desenvolvimento desse trabalho permitiu a reflexão sobre as atividades realizadas com a utilização do Software Geogebra, como parte da etapa de produção de dados da nossa pesquisa. Teve como objetivo

potencialidades pedagógicas do Geogebra na resolução das atividades envolvendo equações diofantinas lineares em um curso de formação inicial de professores. Buscamos descrever as interações entre pesquisadores e futuros professores de matemátic

resolução de problemas relacionados ao ensino da Álgebra.

Shulman (1987) defende que a base do conhecimento docente está na conexão do Conhecimento do Conteúdo e do Conhecimento Pedagógico do Conteúdo (Pedagogical Content Knowledge

conhecimento que expressa o modo como o professor realiza a transformação do conteúdo sistematizado de forma a torná

Considerando que estamos num curso de licenciatura em mat

preciso enfatizar que além de dominar o saber matemático, o futuro professor precisa ser capaz de articulá

“pesquisas vêm evidenciando a necessidade de que, em programas de formação, os conteúdos ma

necessário pensar sob que olhar isso deveria acontecer” (NACARATO e PAIVA, 2008, p. 14).

Uma das formas de se trabalhar em cursos de formação inicial é por meio do uso de ambientes de geometria dinâmica, que

de importantes propriedades matemáticas, como as relações entre álgebra e geometria. Esta estratégia de ensino propicia ao licenciando deparar

situações em sua formação inicial que lhe propiciarão momentos de reflexão sobre sua futura atuação docente.

no e aprendizagem da Álgebra, em especial sobre o conteúdo de equações diofantinas lineares, esse trabalho apresenta parte de uma intervenção realiz

icenciatura, numa Instituição pública de Vitória- ES.

O desenvolvimento desse trabalho permitiu a reflexão sobre as atividades realizadas com a utilização do Software Geogebra, como parte da etapa de produção de dados da nossa pesquisa. Teve como objetivo

potencialidades pedagógicas do Geogebra na resolução das atividades envolvendo equações diofantinas lineares em um curso de formação inicial de professores. Buscamos descrever as interações entre pesquisadores e futuros professores de matemática em um ambiente que integrasse o GeoGebra na resolução de problemas relacionados ao ensino da Álgebra.

Shulman (1987) defende que a base do conhecimento docente está na conexão do Conhecimento do Conteúdo e do Conhecimento Pedagógico do cal Content Knowledge – PCK), pois este último é o conhecimento que expressa o modo como o professor realiza a transformação do conteúdo sistematizado de forma a torná-lo compreensível para o aluno. Considerando que estamos num curso de licenciatura em mat

preciso enfatizar que além de dominar o saber matemático, o futuro professor precisa ser capaz de articulá-lo com o saber matemático escolar. Além disso, “pesquisas vêm evidenciando a necessidade de que, em programas de formação, os conteúdos matemáticos sejam visitados e revisitados, mas é necessário pensar sob que olhar isso deveria acontecer” (NACARATO e PAIVA,

Uma das formas de se trabalhar em cursos de formação inicial é por meio do uso de ambientes de geometria dinâmica, que podem auxiliar na compreensão de importantes propriedades matemáticas, como as relações entre álgebra e geometria. Esta estratégia de ensino propicia ao licenciando deparar

situações em sua formação inicial que lhe propiciarão momentos de reflexão obre sua futura atuação docente.

2 no e aprendizagem da Álgebra, em especial sobre o conteúdo de equações diofantinas lineares, esse trabalho apresenta parte de uma intervenção

realiza-O desenvolvimento desse trabalho permitiu a reflexão sobre as atividades realizadas com a utilização do Software Geogebra, como parte da etapa de produção de dados da nossa pesquisa. Teve como objetivo mostrar as potencialidades pedagógicas do Geogebra na resolução das atividades envolvendo equações diofantinas lineares em um curso de formação inicial de professores. Buscamos descrever as interações entre pesquisadores e futuros a em um ambiente que integrasse o GeoGebra na

Shulman (1987) defende que a base do conhecimento docente está na conexão do Conhecimento do Conteúdo e do Conhecimento Pedagógico do PCK), pois este último é o conhecimento que expressa o modo como o professor realiza a transformação lo compreensível para o aluno. Considerando que estamos num curso de licenciatura em matemática, é preciso enfatizar que além de dominar o saber matemático, o futuro professor lo com o saber matemático escolar. Além disso, “pesquisas vêm evidenciando a necessidade de que, em programas de temáticos sejam visitados e revisitados, mas é necessário pensar sob que olhar isso deveria acontecer” (NACARATO e PAIVA,

Uma das formas de se trabalhar em cursos de formação inicial é por meio do podem auxiliar na compreensão de importantes propriedades matemáticas, como as relações entre álgebra e geometria. Esta estratégia de ensino propicia ao licenciando deparar-se com situações em sua formação inicial que lhe propiciarão momentos de reflexão

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Confirmando a importância da tecnologia em ambientes educacionais, a Base Nacional Comum Curricular (BNCC), aponta que uma das competências a ser desenvolvida no aluno diz respeito a

utilizar tecnologias digitais de

crítica, significativa, reflexiva e ética nas diversas práticas do cotidiano (incluindo as escolares) ao se comunicar, acessar e disseminar informações, produzir conhecimentos e resolver problemas. (BRASIL, 2016, p. 18).

Os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs) apontam que os computadores nas aulas de Matemática podem ser utilizados na construção de conhecimento, pelo uso de softwares que possibilitem pensar, refletir e criar soluções (Brasil, 1998, p.44). Além disso, de

caminhos para se “fazer Matemática” em sala de aula. É a partir disso, que se considera relevante o uso do computador e, consequentemente, de softwares no ensino de Matemática.

Bairral (2015, p.10) afirma que a inte

pode contribuir para o amadurecimento e o desenvolvimento da reflexão em um ambiente de aprendizagem. Ressalta que a interação em ambientes de aprendizagem que valorizam os relatos dos participantes, a partir de suas experiências profissionais e de vida, pode levar à compreensão dos conceitos propostos e vivenciados durante o trabalho. Conceitos e saberes profissionais vão sendo articulados e aprimorados a partir das relações estabelecidas durante uma reflexão interativ

desenvolve profissionalmente é parte fundamental de como ele constrói, continuamente, seus saberes e estabelece relações entre eles.

Ainda segundo Bairral (2015,p.17) a interação tem sido importante para o desenvolvimento da cognição matemática, por

Contribuir com a constituição da atividade formativa, mediada ou não por tecnologia digital; promover a constituição e o senso de pertencimento no coletivo de aprendizagem; permitir ao professor olhar o tempo form

potencializadoras do aprendizado; auxiliar a todos na deflagração ou no entendimento de uma dinâmica colaborativa de trabalho e aprendizado; caminhar conjuntamente com motivação (individual ou Confirmando a importância da tecnologia em ambientes educacionais, a Base Nacional Comum Curricular (BNCC), aponta que uma das competências a ser desenvolvida no aluno diz respeito a

utilizar tecnologias digitais de comunicação e informação de forma crítica, significativa, reflexiva e ética nas diversas práticas do cotidiano (incluindo as escolares) ao se comunicar, acessar e disseminar informações, produzir conhecimentos e resolver problemas. (BRASIL, 2016, p. 18).

s Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs) apontam que os computadores nas aulas de Matemática podem ser utilizados na construção de conhecimento, pelo uso de softwares que possibilitem pensar, refletir e criar soluções (Brasil, 1998, p.44). Além disso, destacam o uso de tecnologias como um dos caminhos para se “fazer Matemática” em sala de aula. É a partir disso, que se considera relevante o uso do computador e, consequentemente, de softwares no ensino de Matemática.

Bairral (2015, p.10) afirma que a interação é um elemento potencializador e pode contribuir para o amadurecimento e o desenvolvimento da reflexão em um ambiente de aprendizagem. Ressalta que a interação em ambientes de aprendizagem que valorizam os relatos dos participantes, a partir de suas xperiências profissionais e de vida, pode levar à compreensão dos conceitos propostos e vivenciados durante o trabalho. Conceitos e saberes profissionais vão sendo articulados e aprimorados a partir das relações estabelecidas durante uma reflexão interativa. Portanto, situações nas quais o indivíduo se desenvolve profissionalmente é parte fundamental de como ele constrói, continuamente, seus saberes e estabelece relações entre eles.

Ainda segundo Bairral (2015,p.17) a interação tem sido importante para o senvolvimento da cognição matemática, por

Contribuir com a constituição da atividade formativa, mediada ou não por tecnologia digital; promover a constituição e o senso de pertencimento no coletivo de aprendizagem; permitir ao professor olhar o tempo formativo presente, de modo a elaborar ações futuras potencializadoras do aprendizado; auxiliar a todos na deflagração ou no entendimento de uma dinâmica colaborativa de trabalho e aprendizado; caminhar conjuntamente com motivação (individual ou Confirmando a importância da tecnologia em ambientes educacionais, a Base Nacional Comum Curricular (BNCC), aponta que uma das competências a ser

comunicação e informação de forma crítica, significativa, reflexiva e ética nas diversas práticas do cotidiano (incluindo as escolares) ao se comunicar, acessar e disseminar informações, produzir conhecimentos e resolver s Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs) apontam que os computadores nas aulas de Matemática podem ser utilizados na construção de conhecimento, pelo uso de softwares que possibilitem pensar, refletir e criar soluções (Brasil, stacam o uso de tecnologias como um dos caminhos para se “fazer Matemática” em sala de aula. É a partir disso, que se considera relevante o uso do computador e, consequentemente, de softwares

ração é um elemento potencializador e pode contribuir para o amadurecimento e o desenvolvimento da reflexão em um ambiente de aprendizagem. Ressalta que a interação em ambientes de aprendizagem que valorizam os relatos dos participantes, a partir de suas xperiências profissionais e de vida, pode levar à compreensão dos conceitos propostos e vivenciados durante o trabalho. Conceitos e saberes profissionais vão sendo articulados e aprimorados a partir das relações estabelecidas a. Portanto, situações nas quais o indivíduo se desenvolve profissionalmente é parte fundamental de como ele constrói,

Ainda segundo Bairral (2015,p.17) a interação tem sido importante para o

Contribuir com a constituição da atividade formativa, mediada ou não por tecnologia digital; promover a constituição e o senso de pertencimento no coletivo de aprendizagem; permitir ao professor ativo presente, de modo a elaborar ações futuras potencializadoras do aprendizado; auxiliar a todos na deflagração ou no entendimento de uma dinâmica colaborativa de trabalho e aprendizado; caminhar conjuntamente com motivação (individual ou

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coletiva) e av

formador, para construir estratégias para a manutenção da sedução tecnológica dos envolvidos; materializar mediante várias formas de comunicação (escrita, pictórica, gestual, na tela de um dispositivo móve

relações e sobre relações entre relações.

Nessa pesquisa, após surgirem as equações diofantinas lineares a partir de situações problema alavancadoras da aprendizagem, surgiram por meio das discussões coletivas três perguntas centrais no estudo dessas equações: a EDL tem solução? Se sim, essas soluções são finitas ou infinitas? E por fim, quais são essas soluções?

Ao realizar a busca de respostas para essas perguntas o aluno se depara com a necessidade de analisar e refletir sobre o caminho para resolver esse tipo de equação.

Neste momento achamos pertinente apresentar ao leitor algumas informações importantes, como por exemplo, qual o formato de uma EDL e como saber se a mesma apresenta ou não solução.

Uma EDL é uma equação do tipo ax + by = c, onde a, b e c são números inteiros dados e as soluções

Z. A seguinte proposição permeia este estudo: Uma Equação Diofantina Linear

ax + by = c tem solução

Na ação de resolver uma equação deste tipo muitos conceitos básicos são trabalhados com os alunos, como o cálculo do máximo divisor comum (mdc), divisibilidade e também as discussões sobre as soluções de

Ressaltamos que todos esses conceitos podem ser trabalhados em turmas de ensino fundamental ou médio, de forma que ocorra a articulação entre a matemática científica e escolar.

2. PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS A pesquisa, na linha qualitativa s

observações e intervenções foram realizadas em uma turma de quinto período coletiva) e avaliação de práticas formativas; fornecer pistas ao formador, para construir estratégias para a manutenção da sedução tecnológica dos envolvidos; materializar mediante várias formas de comunicação (escrita, pictórica, gestual, na tela de um dispositivo móvel etc.) e potencializar o estudo de dinâmica sobre objetos, sobre relações e sobre relações entre relações.

Nessa pesquisa, após surgirem as equações diofantinas lineares a partir de situações problema alavancadoras da aprendizagem, surgiram por meio das iscussões coletivas três perguntas centrais no estudo dessas equações: a EDL tem solução? Se sim, essas soluções são finitas ou infinitas? E por fim, quais são essas soluções?

Ao realizar a busca de respostas para essas perguntas o aluno se depara com cessidade de analisar e refletir sobre o caminho para resolver esse tipo de

Neste momento achamos pertinente apresentar ao leitor algumas informações importantes, como por exemplo, qual o formato de uma EDL e como saber se a

o solução.

Uma EDL é uma equação do tipo ax + by = c, onde a, b e c são números inteiros dados e as soluções x e y procuradas, também pertencem ao conjunto Z. A seguinte proposição permeia este estudo: Uma Equação Diofantina Linear

se, e somente se, d divide c, sendo d = mdc(a, b).

Na ação de resolver uma equação deste tipo muitos conceitos básicos são trabalhados com os alunos, como o cálculo do máximo divisor comum (mdc), divisibilidade e também as discussões sobre as soluções de

Ressaltamos que todos esses conceitos podem ser trabalhados em turmas de ensino fundamental ou médio, de forma que ocorra a articulação entre a matemática científica e escolar.

2. PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS

A pesquisa, na linha qualitativa se deu via intervenção pedagógica. As observações e intervenções foram realizadas em uma turma de quinto período

4 aliação de práticas formativas; fornecer pistas ao formador, para construir estratégias para a manutenção da sedução tecnológica dos envolvidos; materializar mediante várias formas de comunicação (escrita, pictórica, gestual, na tela de um dispositivo l etc.) e potencializar o estudo de dinâmica sobre objetos, sobre Nessa pesquisa, após surgirem as equações diofantinas lineares a partir de situações problema alavancadoras da aprendizagem, surgiram por meio das iscussões coletivas três perguntas centrais no estudo dessas equações: a EDL tem solução? Se sim, essas soluções são finitas ou infinitas? E por fim,

Ao realizar a busca de respostas para essas perguntas o aluno se depara com cessidade de analisar e refletir sobre o caminho para resolver esse tipo de

Neste momento achamos pertinente apresentar ao leitor algumas informações importantes, como por exemplo, qual o formato de uma EDL e como saber se a

Uma EDL é uma equação do tipo ax + by = c, onde a, b e c são números procuradas, também pertencem ao conjunto Z. A seguinte proposição permeia este estudo: Uma Equação Diofantina Linear

se, e somente se, d divide c, sendo d = mdc(a, b).

Na ação de resolver uma equação deste tipo muitos conceitos básicos são trabalhados com os alunos, como o cálculo do máximo divisor comum (mdc), uma equação. Ressaltamos que todos esses conceitos podem ser trabalhados em turmas de ensino fundamental ou médio, de forma que ocorra a articulação entre a

e deu via intervenção pedagógica. As observações e intervenções foram realizadas em uma turma de quinto período

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do curso de Licenciatura em Matemática do Ifes, com a presença de 19 alunos, no período de Junho a Julho de 2017, tendo cada encontro sido detal

tabela a seguir. Tabela 1 Dias Dia 1 – 13/06/2017 Dia 2 – 20/06/2017 Dia 3 – 23/06/2017 Dia 4 – 27/06/2017 Dia 5 – 04/07/2017 Fonte

Ressaltamos que nesta pesquisa as definições apresentadas, bem como a formalização matemática por meio do teorema de EDL não foram apresentadas do curso de Licenciatura em Matemática do Ifes, com a presença de 19 alunos, no período de Junho a Julho de 2017, tendo cada encontro sido detal

Tabela 1 – Dias e Objetivos das Intervenções

Organização Objetivo

Individual/Grupo Levantar os conhecimentos prévios dos licenciandos e resolver problemas de EDL em grupo e discutir no coletivo as

Grupo com discussões coletivas

Resolver problemas de EDL em grupo e discutir no coletivo as soluções.

Propor um problema que recaia em uma EDL.

Demonstrar os Teoremas de EDL.

Duplas com discussões coletivas

Utilizar o software Geogebra para construção do gráfico de EDLs.

Fonte – Organizado pelos pesquisadores, 2017

Ressaltamos que nesta pesquisa as definições apresentadas, bem como a formalização matemática por meio do teorema de EDL não foram apresentadas do curso de Licenciatura em Matemática do Ifes, com a presença de 19 alunos, no período de Junho a Julho de 2017, tendo cada encontro sido detalhado na

Levantar os conhecimentos prévios dos licenciandos e resolver problemas de EDL em grupo e discutir no coletivo as soluções.

Resolver problemas de EDL em grupo e discutir no coletivo as soluções.

Propor um problema que recaia em uma EDL.

Demonstrar os Teoremas

Utilizar o software Geogebra para construção do gráfico de

Ressaltamos que nesta pesquisa as definições apresentadas, bem como a formalização matemática por meio do teorema de EDL não foram apresentadas

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de imediato aos alunos. Na maior parte do tempo, os licenciandos trabalhavam em pequenos grupos, numa metodologi

eles se deparavam com algumas equações e tentavam buscar estratégias para solucioná-las. Somente no quarto encontro a teoria foi formalizada e demonstrada.

Em especial, a intervenção pedagógica com o uso de Geometria Din

ocorreu no quinto encontro, realizado no dia 04 de julho de 2017, no Laboratório de Informática do IFes/Vitória. O objetivo dessa intervenção foi propor a utilização do software Geogebra para a construção do gráfico de uma EDL e desse modo discutirm

Para o desenvolvimento da atividade, primeiramente entregamos aos licenciandos uma atividade, com equações diofantinas lineares, por exemplo: 2x + 3y = 10, entre outras, pedimo

seguir.

a) Explique, utilizando o Teorema das Equações Diofantinas Lineares, porque as equações acima podem ou não ter soluções inteiras;

b) É possível escrever todas as soluções dessas equações?

c) É possível generalizar as soluções dessas

d) Utilizando o Teorema das Equações Diofantinas Lineares, escreva a forma geral, para determinar a solução de cada equação acima.

e) Escreva na linha de comando do Geogebra cada uma das equações descritas anteriormente. De que forma você relaci

encontradas em (d) com o gráfico formado?

Como podemos destacar com a letra (e) dessa atividade, desejávamos que essa etapa da produção de dados, permitisse aos licenciandos observarem pelo gráfico que as equações diofantinas são um conjunto de pontos com coordenadas x e y que estão sobre uma reta. Além disso, foi possível visualizarem, pelo recurso de exibição de malha quadriculada, que no momento de imediato aos alunos. Na maior parte do tempo, os licenciandos trabalhavam em pequenos grupos, numa metodologia de resolução de problemas, em que eles se deparavam com algumas equações e tentavam buscar estratégias para las. Somente no quarto encontro a teoria foi formalizada e

Em especial, a intervenção pedagógica com o uso de Geometria Din

ocorreu no quinto encontro, realizado no dia 04 de julho de 2017, no Laboratório de Informática do IFes/Vitória. O objetivo dessa intervenção foi propor a utilização do software Geogebra para a construção do gráfico de uma EDL e desse modo discutirmos importantes relações entre geometria e álgebra. Para o desenvolvimento da atividade, primeiramente entregamos aos licenciandos uma atividade, com equações diofantinas lineares, por exemplo: 2x + 3y = 10, entre outras, pedimo-lhes que respondessem as pe

a) Explique, utilizando o Teorema das Equações Diofantinas Lineares, porque as equações acima podem ou não ter soluções inteiras;

b) É possível escrever todas as soluções dessas equações?

c) É possível generalizar as soluções dessas equações?

d) Utilizando o Teorema das Equações Diofantinas Lineares, escreva a forma geral, para determinar a solução de cada equação acima.

e) Escreva na linha de comando do Geogebra cada uma das equações descritas anteriormente. De que forma você relaciona as soluções inteiras encontradas em (d) com o gráfico formado?

Como podemos destacar com a letra (e) dessa atividade, desejávamos que essa etapa da produção de dados, permitisse aos licenciandos observarem que as equações diofantinas são um conjunto de pontos com coordenadas x e y que estão sobre uma reta. Além disso, foi possível visualizarem, pelo recurso de exibição de malha quadriculada, que no momento 6 de imediato aos alunos. Na maior parte do tempo, os licenciandos trabalhavam a de resolução de problemas, em que eles se deparavam com algumas equações e tentavam buscar estratégias para las. Somente no quarto encontro a teoria foi formalizada e

Em especial, a intervenção pedagógica com o uso de Geometria Dinâmica, ocorreu no quinto encontro, realizado no dia 04 de julho de 2017, no Laboratório de Informática do IFes/Vitória. O objetivo dessa intervenção foi propor a utilização do software Geogebra para a construção do gráfico de uma os importantes relações entre geometria e álgebra. Para o desenvolvimento da atividade, primeiramente entregamos aos licenciandos uma atividade, com equações diofantinas lineares, por exemplo: lhes que respondessem as perguntas a

a) Explique, utilizando o Teorema das Equações Diofantinas Lineares, porque

d) Utilizando o Teorema das Equações Diofantinas Lineares, escreva a forma

e) Escreva na linha de comando do Geogebra cada uma das equações ona as soluções inteiras

Como podemos destacar com a letra (e) dessa atividade, desejávamos que essa etapa da produção de dados, permitisse aos licenciandos observarem que as equações diofantinas são um conjunto de pontos com coordenadas x e y que estão sobre uma reta. Além disso, foi possível visualizarem, pelo recurso de exibição de malha quadriculada, que no momento

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em que um número inteiro pertencente ao eixo x, tem

inteiro em y, é possível marcar pontos de intercessão que são as soluções da EDL.

3. APRESENTAÇÃO E DISCUSSÃO DOS RESULTADOS Ao término da atividade os licenciandos enviaram ao e os arquivos com os gráficos que for

mostrada na figura a seguir e representa o gráfico da EDL: 2x + 3y = 10.

Figura 1: Construção de gráfico de uma EDL

Como encerramento da atividade questionamos aos

forma você avalia a utilização do software Geogebra para o ensino aprendizagem de EDL?”, e algumas respostas obtidas foram:

R: Facilita muito a percepção e/ou visualização do que a EDL corresponde.

Y: A utilização do Geogebra foi pudemos refletir sobre a

diante das demais equações, quando o software nos mostrava uma equação linear definida em uma reta e, através dos conhecimentos em que um número inteiro pertencente ao eixo x, tem um correspondente inteiro em y, é possível marcar pontos de intercessão que são as soluções da

3. APRESENTAÇÃO E DISCUSSÃO DOS RESULTADOS

Ao término da atividade os licenciandos enviaram ao e-mail dos pesquisadores os arquivos com os gráficos que foram construídos. Uma dessas construções é mostrada na figura a seguir e representa o gráfico da EDL: 2x + 3y = 10.

Figura 1: Construção de gráfico de uma EDL

Fonte – Dados da Pesquisa, 2017

Como encerramento da atividade questionamos aos licenciandos “

forma você avalia a utilização do software Geogebra para o ensino aprendizagem de EDL?”, e algumas respostas obtidas foram:

R: Facilita muito a percepção e/ou visualização do que a EDL corresponde.

Y: A utilização do Geogebra foi riquíssima, pois através dele, pudemos refletir sobre as peculiaridades das equações diofantinas diante das demais equações, quando o software nos mostrava uma equação linear definida em uma reta e, através dos conhecimentos um correspondente inteiro em y, é possível marcar pontos de intercessão que são as soluções da

mail dos pesquisadores am construídos. Uma dessas construções é mostrada na figura a seguir e representa o gráfico da EDL: 2x + 3y = 10.

licenciandos “De que forma você avalia a utilização do software Geogebra para o ensino

R: Facilita muito a percepção e/ou visualização do que a EDL riquíssima, pois através dele, peculiaridades das equações diofantinas diante das demais equações, quando o software nos mostrava uma equação linear definida em uma reta e, através dos conhecimentos

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adquiridos nesses 5 encontros,

diofantinas são, na verdade, um conjunto de pontos com coordenadas x e y inteiros que se

caso de duas variáveis. Além de evidenciar que os X e Y iniciais, encontrados através da equação e utilizados

também pertenciam a esse conjunto de pontos.

M: Percepção das soluções inteiras. Que por mais que a equação não tenha solução inteira, pode ter outras soluções. Visualização das soluções inteiras.

Observamos ainda, pelas respostas d

ampliar suas experiências sobre o ensino da Álgebra e suas relações com a geometria, de forma aliada ao uso de novas tecnologias de ensino. Em especial a resposta dada pelo licenciando Y, mostra uma percepção da relação entre álgebra e geometria, o que segundo

observação, o levantamento e verificação de conjecturas, bem como as diferentes formas (não estáticas) de representação do objeto em estudo”.

Além disso, foi possível notar o envolv

realizadas com o Geogebra, visto que todos se empenharam na atividade de estabelecer relação entre a forma algébrica de uma EDL com sua representação geométrica. Isso se confirma pelas respostas dos alunos R e M, em que os termos percepção e visualização aparecem nas duas respostas, o que confirma a necessidade do uso de ambientes de geometria dinâmica na articulação entre geometria e álgebra, e o Geogebra é um dos possíveis caminhos. Como aponta Bairral (2015), o uso

possibilita as descobertas relacionadas a um determinado conceito, a dinamicidade na visualização e a verificação de propriedades.

Sem dúvida, momentos como esses vivenciados na formação inicial, propiciarão ao o futuro professor fo

saber escolar, necessário para que um conteúdo matemático se torne compreensível ao aluno.

4. CONCLUSÃO

adquiridos nesses 5 encontros, observávamos que as equações diofantinas são, na verdade, um conjunto de pontos com coordenadas x e y inteiros que se comportam como

caso de duas variáveis. Além de evidenciar que os X e Y iniciais, encontrados através da equação e utilizados para parametrizá também pertenciam a esse conjunto de pontos.

M: Percepção das soluções inteiras. Que por mais que a equação não tenha solução inteira, pode ter outras soluções. Visualização das soluções inteiras.

Observamos ainda, pelas respostas dos participantes que eles puderam ampliar suas experiências sobre o ensino da Álgebra e suas relações com a geometria, de forma aliada ao uso de novas tecnologias de ensino. Em especial a resposta dada pelo licenciando Y, mostra uma percepção da relação tre álgebra e geometria, o que segundo Bairral (2009, p. 26) representa “a observação, o levantamento e verificação de conjecturas, bem como as diferentes formas (não estáticas) de representação do objeto em estudo”.

Além disso, foi possível notar o envolvimento dos licenciandos, nas atividades realizadas com o Geogebra, visto que todos se empenharam na atividade de estabelecer relação entre a forma algébrica de uma EDL com sua representação geométrica. Isso se confirma pelas respostas dos alunos R e M, que os termos percepção e visualização aparecem nas duas respostas, o que confirma a necessidade do uso de ambientes de geometria dinâmica na articulação entre geometria e álgebra, e o Geogebra é um dos possíveis Como aponta Bairral (2015), o uso de geometria dinâmica, possibilita as descobertas relacionadas a um determinado conceito, a dinamicidade na visualização e a verificação de propriedades.

Sem dúvida, momentos como esses vivenciados na formação inicial, propiciarão ao o futuro professor formas de articular o saber científico com o saber escolar, necessário para que um conteúdo matemático se torne compreensível ao aluno.

8 observávamos que as equações diofantinas são, na verdade, um conjunto de pontos com como uma reta, no caso de duas variáveis. Além de evidenciar que os X e Y iniciais, para parametrizá-las, M: Percepção das soluções inteiras. Que por mais que a equação não tenha solução inteira, pode ter outras soluções. Visualização das

os participantes que eles puderam ampliar suas experiências sobre o ensino da Álgebra e suas relações com a geometria, de forma aliada ao uso de novas tecnologias de ensino. Em especial a resposta dada pelo licenciando Y, mostra uma percepção da relação Bairral (2009, p. 26) representa “a observação, o levantamento e verificação de conjecturas, bem como as diferentes formas (não estáticas) de representação do objeto em estudo”.

imento dos licenciandos, nas atividades realizadas com o Geogebra, visto que todos se empenharam na atividade de estabelecer relação entre a forma algébrica de uma EDL com sua representação geométrica. Isso se confirma pelas respostas dos alunos R e M, que os termos percepção e visualização aparecem nas duas respostas, o que confirma a necessidade do uso de ambientes de geometria dinâmica na articulação entre geometria e álgebra, e o Geogebra é um dos possíveis de geometria dinâmica, possibilita as descobertas relacionadas a um determinado conceito, a

Sem dúvida, momentos como esses vivenciados na formação inicial, rmas de articular o saber científico com o saber escolar, necessário para que um conteúdo matemático se torne

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Esta experiência contribuiu para a formação dos participantes, que serão em sua maioria futuros professores

construção de saberes da docência. As reflexões sobre modos de articular o conhecimento científico e o escolar em salas de aula de cursos de formação inicial de professores se mostrou oportuna e um diferencial

tarefas propostas permitiram que os licenciandos aprofundassem o entendimento sobre o tema e tivessem uma maior participação nas atividades.

Com isso acreditamos ser possível propiciar alternativas em relação ao modelo tradicional de ensino do conteúdo de equações diofantinas lineares, valorizando momentos de construção de saberes na licenciatura que estejam articulados à prática profissional d

Entendemos que a profissão de professor requer saberes próprios da docência e que a formação inicial tem um papel importante na construção desses saberes.

Além disso, na licenciatura faz

formas de articular o saber científico ao escolar. A metodologia utilizada nessa formação e o uso do Geogebra mostraram

conceitos da Álgebra com vistas à construção e articulação de saberes.

5. REFERÊNCIAS

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educação matemática, Seropédica: EDUR, 2009. 112p. Série InovaComTic (V.1).

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BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs) Fundamental. Terceiro e quarto ci

Esta experiência contribuiu para a formação dos participantes, que serão em sua maioria futuros professores da educação básica, por ter sido primordial na construção de saberes da docência. As reflexões sobre modos de articular o conhecimento científico e o escolar em salas de aula de cursos de formação inicial de professores se mostrou oportuna e um diferencial da pesquisa. As tarefas propostas permitiram que os licenciandos aprofundassem o entendimento sobre o tema e tivessem uma maior participação nas atividades.

Com isso acreditamos ser possível propiciar alternativas em relação ao modelo tradicional de ensino do conteúdo de equações diofantinas lineares, valorizando momentos de construção de saberes na licenciatura que estejam articulados à prática profissional docente.

Entendemos que a profissão de professor requer saberes próprios da docência e que a formação inicial tem um papel importante na construção desses

Além disso, na licenciatura faz-se premente que trabalhemos e discutamos o saber científico ao escolar. A metodologia utilizada nessa formação e o uso do Geogebra mostraram-se propícios para se trabalhar conceitos da Álgebra com vistas à construção e articulação de saberes.

Tecnologias da Informação e Comunicação na formação e , Seropédica: EDUR, 2009. 112p. Série InovaComTic

Pesquisas em Educação Matemática com Tecnologias Digitais: algumas faces da interação. Revista Perspectivas da Educação

UFMS, Campo Grande, v.8, p. 485-505, 2015.

Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs). Introdução. Ensino Fundamental. Brasília;MEC/SEF,1998.

Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs). Matemática. Ensino Fundamental. Terceiro e quarto ciclos. Brasília;MEC/SEF,1998.

Esta experiência contribuiu para a formação dos participantes, que serão em da educação básica, por ter sido primordial na construção de saberes da docência. As reflexões sobre modos de articular o conhecimento científico e o escolar em salas de aula de cursos de formação da pesquisa. As tarefas propostas permitiram que os licenciandos aprofundassem o entendimento sobre o tema e tivessem uma maior participação nas atividades.

Com isso acreditamos ser possível propiciar alternativas em relação ao modelo tradicional de ensino do conteúdo de equações diofantinas lineares, valorizando momentos de construção de saberes na licenciatura que estejam

Entendemos que a profissão de professor requer saberes próprios da docência e que a formação inicial tem um papel importante na construção desses

se premente que trabalhemos e discutamos o saber científico ao escolar. A metodologia utilizada nessa se propícios para se trabalhar conceitos da Álgebra com vistas à construção e articulação de saberes.

Informação e Comunicação na formação e , Seropédica: EDUR, 2009. 112p. Série InovaComTic

Pesquisas em Educação Matemática com Tecnologias . Revista Perspectivas da Educação

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