Br Br US US. tempo as estruturas a termo dos EUA e do Brasil, enquanto que o par x t x

3

Caso Brasileiro

Nesse capítulo especificamos uma versão simples do modelo desenvolvido no capítulo 2 (entendido como aquela em que não há um número excessivo de forças em operação nem tampouco um número elevado de parâmetros a serem estimados) a dados oriundos dos mercados norte-americano e brasileiro, ou seja, o par de países estudado é composto por EUA e Brasil e a taxa de câmbio bilateral é o preço do dólar dos EUA em reais. Aspectos relacionados à estimação do modelo por MM são discutidos e os resultados de estimação são analisados.

3.1.

Descrição do Modelo Simplificado

O primeiro passo é especificar o número de variáveis latentes no vetor de estado x_t. O exercício será realizado supondo k4, de maneira que:



1, 2, 1, 2,



T

Br Br US US

t t t t t

x  x x x x

O par



x_1,US_t x_2,US_t



refere-se às variáveis latentes que afetam ao mesmo tempo as estruturas a termo dos EUA e do Brasil, enquanto que o par



x_1,Br_t x_2,Br_t



influencia somente a estrutura a termo brasileira. Podemos pensar em



x_1,US_t x_2,US_t



como as forças que conduzem a dinâmica da economia norte-americana, enquanto que



x_1,Br_t x_2,Br_t



são forças idiossincráticas que influenciam somente o comportamento da economia brasileira. O fato do par



x_1,Br_t x_2,Br_t



influenciar somente a economia brasileira reflete a hipótese 2 de Bonomo e Lowenkron.

A fim de trabalhar com um modelo simples, vamos supor que a lei de movimento de x_t (cuja forma geral é dada por [39]) segue um processo VAR com média zero (0) e sem volatilidade estocástica, ou seja:

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1 1

t t t

x_ x _ [80]

onde

 

t1 NID



0,I4



e  é uma matriz diagonal. Os fatos dos choques em t

serem independentes e  ser diagonal aprofundam a simplicidade do modelo, pois estamos supondo que as driving forces da economia evoluem de maneira independente. Essa hipótese significa que  t I4, o que nos leva a vec I

 

4 e

16 4

0 x

 . Outra conseqüência dessa simplificação é que os market prices of risk relativos à recovery intensity e aos fatores de desconto estocásticos dos EUA e do Brasil vão ser constantes no tempo, ou seja, _tUS US, _temem e _t  (ver [52]). Sendo assim, os prêmios de risco inerentes a essa versão serão invariantes no tempo; em particular, a inclinação da regressão [70] seria igual a 1 sob a hipótese nula de que essa versão é válida. Mas como se trata apenas de um exercício preliminar e como a inserção de volatilidade estocástica poderia complicar sobremaneira o procedimento de estimação, decidiu-se optar essa simplificação em detrimento do realismo do modelo.

O fator de desconto estocástico dos Estados Unidos depende somente das variáveis latentes



x_1,US_t x_2,US_t



, de maneira que a curva de juros reflete somente a influência dessas variáveis. Isso nos leva a impor as seguintes restrições em [49] e [52]: 3 4 0 0 T US US US  _{ }   _ 0 0 _{3 4} T US US US  _{ }   _ [81]

o que elimina completamente a dependência com relação às variáveis latentes brasileiras e aos choques em _t que afetam a dinâmica de _1,Br

t

x e _2,Br t

x . Já o fator de desconto estocástico brasileiro e a recovery intensity vão depender de todos os elementos de x e vão ser afetados por todos os elementos de _t _t.

Com essas hipóteses, as taxas de juros relativas aos títulos de cupom zero emitidos pelo governo dos EUA e pelo governo do Brasil em dólares e reais são dadas por:

 

, 1 1 T US US US t t r_ A_ B_ x     [82] PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0812148/CA





$ $ $ , 1 1 T Br US Br US Br US t t r_ A_ B_ x    _  _  [83]





$ $ $ , 1 1 T Br R Br R Br R t t r_ A_ B_ x    _  _  [84]

Já as fórmulas recursivas para os coeficientes em [82] a [84] são:

1 T US US US B_   B_ [85] 1 1 1 1 2 T US US US US US US A_  A_ _  B_ _ B_   [86] $ $ 1 T em US US em US B_     B_ [87] $ $ $ $ 1 1 1 1 2 T em US US em US US em US em US A_    A_ _   B_ _ B_   [88] $ $ 1       T Br R Br Br R B_    B_ [89]





$ $ $ $ 1 1 1 1 2 T T Br R Br Br US Br R Br Br R Br R A_        A_    B_ B_   [90]

A lei de movimento para o logaritmo natural da taxa bruta de variação cambial é:







 



1 1 1 2            T T T _Br T _{US Br US Br US Br US} Br US t t t t s s _  _      x    [91]

É útil fazer uma contagem do número de parâmetros deste modelo. A lei de movimento [80] para o vetor de estado x_t possui 4 parâmetros, que são os elementos da diagonal principal de . Com as restrições impostas em [81], a especificação [49] para o fator de desconto estocástico do país desenvolvido

possui 5 parâmetros (1 em US, 2 em US e 2 em US). Já a especificação [50] para o fator de desconto estocástico do país emergente possui 9 parâmetros (1

em em_{, 4 em }em

e 4 em em_{). A especificação [51] para a lei de movimento da} recovery intensity, por sua vez, tem 9 parâmetros (1 em , 4 em  e 4 em ). Isso quer dizer que o número total de parâmetros é 4 5 9 9   27, o que dificulta um procedimento de estimação baseado na maximização da função de

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verossimilhança calculada por meio do filtro de Kalman. É por isso que acabamos utilizando o método MM a ser descrito na seção seguinte, onde neste método os parâmetros são estimados sucessivamente de forma a reproduzir os momentos incondicionais de ordens 1 e 2 estimados dos dados. O procedimento em etapas reduz o número de parâmetros estimado em cada uma delas e facilita a busca dos valores ótimos, pois cada sub-problema de minimização do quadrado da distância entre momentos observados e “teóricos” (ou seja, calculados com base nas restrições impostas pelo modelo simplificado) não possui dimensionalidade excessiva, de maneira que a busca pode ser feita em um espaço de tamanho moderado.

3.2.

Descrição do Procedimento de Estimação

Seja a variável aleatória y, cuja população estatística é caracterizada por um conjunto de k parâmetros e seja y



y , y ,_{1 2} , y_n



uma amostra aleatória dessa população estatística. Os momentos a serem considerados são os momentos populacionais, estabelecidos como funções dos parâmetros





 

' ' k k 1, , k E yk       e os momentos amostrais ' j k u u 1:n 1 m y , j 1: k n _ 





O método dos momentos (MM) é um método de estimação que consiste em igualar momentos populacionais com os respectivos momentos amostrais e resolver o sistema de equações resultante:









' '

k 1, , k m , kk 1, 2,

    

Em algumas situações, os momentos centrados também poderão ser utilizados e, em outras, toma-se q_k E q

 

_k , sendo q uma estatística obtida _k

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numa amostra da população estatística de y. As vantagens e desvantagens são estabelecidas contrastando o MM com o método da máxima verossimilhança (MMV).

- Em geral, o método da máxima verossimilhança produz estimadores de melhor qualidade que o método dos momentos.

- Em alguns casos o MMV exige recursos computacionais e técnicas numéricas sofisticadas enquanto que o MM é mais simples, rápido e de fácil aplicação. Entretanto, as estimativas pelo MM podem servir como estimativas preliminares do MMV.

- Em algumas situações os estimadores coincidem enquanto que em outras, como na estimação de componentes de variância em estruturas ortogonais, o MM produz estimadores ótimos.

Os momentos de ordens 1 e 2 computados para as taxas de juros de maturidade constante observadas nos EUA e no Brasil (caso no qual temos taxas em dólares dos EUA e em reais) e para a variação cambial vão ser utilizados no processo de estimação do modelo através de MM. A idéia básica, como já dissemos, é escolher valores para os parâmetros de forma que a distância entre os momentos calculados com base nos dados e os momentos que seriam obtidos caso o processo gerador dos dados fosse a versão simplificada do modelo (os chamados momentos “teóricos”) seja a menor possível.

Suponha que temos uma amostra de tamanho n na qual dispomos de dados relativos à variação da cotação do dólar em reais, às p₁ taxas de juros de maturidade constante pertencentes a curva de juros dos EUA (ou seja, essa curva conta com p₁ vértices observáveis), às p₂ taxas de juros de maturidade constante pertencentes a curva de juros brasileira para emissões em dólares dos EUA no mercado internacional e às p₃ taxas de juros de maturidade constante pertencentes a curva de juros brasileira para emissões em reais no mercado doméstico. A versão simplificada do modelo integrado de juros e câmbio descrita na seção anterior pode ser escrita sob a forma de um modelo em espaço de estados da seguinte maneira: PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0812148/CA

1 , 1, ,        t t t t t t y A Bx t n x x    [92] onde: NID 0 , 0               _{   }        T t t H G G Q   , 1 1 1 2 1 3 , , $ , $ , $ , $ , 1 p p p US t US t Br US t t _{Br US} t Br R t Br R t t t r r r y r r r s s                                                    , 1 1 1 1 2 2 1 3 3 1 1 1 1 $ 1 1 $ 1 $ 1 1 $ , p p p US US p Br US Br US p Br R Br R t p s A A A A A A A A                                                              ,

 

 

















 

1 1 1 1 2 2 1 3 3 1 1 1 1 $ 1 1 $ 1 $ 1 1 $                                                        T T p T T p T T p T US US p Br US Br US p Br R Br R p B B B B B B B s B             ,





1 1 1 2 1 3 , , $ , $ , $ , $ , 1                                          _      p p p T US t US t Br US t Br US t t Br R t Br R t Br US t           _      , 1   t t   , 4  Q I ,



 





1 1 1 2 1 3



$ $ $ $ , , , ,  , ,  ,  , ,  ,   T  p p p US US Br US Br US Br R Br R Br US Br US t H diag _ _ _ _ _ _     e 



04_{ 1} _{2 3} 



Br US p p p G   .

A forma em espaço de estados do modelo simplificado sugere as dificuldades do processo de estimar os parâmetros maximizando a função de verossimilhança calculada com o filtro de Kalman. Repare que temos os 27 parâmetros que contamos acima (que fazem parte das especificações assumidas para x_t, 1 US t m_ , 1 em t

m_ e _t1) mais p₁p₂p₃1 parâmetros que correspondem às variâncias dos erros (que estão em v ). Se tivermos, por exemplo, 15 vértices na t

curva de juros dos EUA, 10 vértices na curva de juros do Brasil para emissões em

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dólares no mercado internacional e 7 vértices na curva de juros do Brasil para emissões em reais no mercado doméstico, então o total de parâmetros do modelo em espaço de estados é 60, número que está muito acima daquilo que é considerado razoável para considerar seriamente a utilização dessa técnica.

Uma solução possível para melhorar a eficiência compatível da Máxima Verossimilhança, como já dissemos, é usar MM e adotar um procedimento em etapas no qual os parâmetros são estimados sucessivamente a fim de reproduzir os momentos de ordens 1 e 2 observados nos dados. A cada etapa, um sub-conjunto dos 27 parâmetros presentes nas leis de movimento de x_t, m_tUS_1, m_tem_1 e _t1 é estimado de forma a reduzir a distância entre uma coleção de momentos observados e “teóricos”. Na etapa posterior, os parâmetros estimados nas etapas passadas são tomados como dados e os valores ótimos para outro sub-conjunto são obtidos visando reduzir a distância entre outra coleção de momentos observados e “teóricos”. Ao final do processo logramos obter o conjunto completo de 27 parâmetros e, com isso, podemos estimar os valores assumidos pelos elementos de A e B. Ora, após essa etapa a obtenção dos valores assumidos pelas variáveis de estado em cada instante de tempo dos n que compõem a amostra é fácil, bastando para isso estimar uma regressão por mínimos quadrados ordinários. Vamos, então, à discussão das etapas.

I. Primeira Etapa:

Nessa etapa vamos estimar os parâmetros do vetor



, , ,





US US US US US

     , que são aqueles que afetam a dinâmica da curva de

juros dos EUA. US possui dois elementos, que são aqueles que pertencem à diagonal principal de  e estão vinculados às variáveis latentes que afetam a economia norte-americana



x_1,US_t x_2,US_t



. O modelo que descreve o comportamento da curva de juros dos EUA pode ser escrito como:









1 1 1 2 , 0, , 1, , , 0, US US US US US US US t t t t US US US US US t t t t y A B x N H t n x x N I               [93] PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0812148/CA

onde: 1 1 , , p US t US t US t r y r                1 1 1 1 1 1 p US US US p A A A                   

 

 

1 1 1 1 1 1 T T p US US US p B B B                     

e US é uma matriz diagonal de tamanho 2x2, o qual é a matriz diagonal particionada inferior da matriz  . Os elementos das matrizes AUS e BUS

obedecem às equações [77] e [78]. Adicionalmente, seja 1

US

P a matriz de variância e covariância de xUS_t ; é possível demonstrar que

  



1

 

1 4 . 2

US US US

vec P  I    vec I . Para o procedimento de estimação

1 1 0  US p xp H .

A estimação dos parâmetros em US será dividida em duas sub-etapas. Na primeira sub-etapa trabalhamos com os momentos de ordem 2 das taxas de juros norte-americanas, ou seja, vamos estimar os parâmetros em US que influenciam somente o valor assumido por esses momentos. Na segunda sub-etapa trabalhamos com os momentos de ordem 1, que são influenciados por todos os parâmetros em US. A sub-etapa 2 é executada tomando como dados os parâmetros estimados na sub-etapa 1 e estimando somente os parâmetros remanescentes. Em seguida vamos discutir cada uma dessas sub-etapas.

I.1. Estimação de ₁US 



US US



Nessa sub-etapa estimamos 1

US

 minimizando a soma de duas componentes, a saber, a soma do quadrado das diferenças computadas entre as variâncias “teóricas” e empíricas e a soma do quadrado das diferenças calculadas entre as autocorrelações “teóricas” e empíricas dos spreads (entendidos como a diferença entre as taxas de juros de  períodos e 1 período). O vetor de parâmetros ₁US contém somente os parâmetros que importam para o cálculo desses momentos. A

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matriz de variância e covariância “teórica” das taxas de juros dos EUA é denotada por V y

 

_tUS , enquanto que a sua contraparte empírica é denotada V yˆ

 

US_t . Já a matriz com as autocorrelações de ordem 1 “teóricas” dos spreads é denotada por

 

1

US t

w

 , enquanto que a sua contraparte empírica é simbolizada por ˆ₁

 

wUS_t . Uma forma compacta de representar o problema de estimação é:

   

   

1 2 2 1 ˆ 1 1 ˆ arg min ˆ US US US US US US t t t t diag V y V y diag w w    _{ }  _  _  _{ }   [94]

No Apêndice C demonstramos que

 

_{US US 1US} T

US t V y B P _B e

 

1 2 1 2 1 1 US _US US _US t w _{D D}  _  _ 

, onde DUS é a matriz diagonal cujos elementos

pertencem à diagonal principal da matriz _US



_{US 1US} T



T

US US F B P _{B F} . Já 1 US  é calculada como _US



_{US US 1US} T



T US US

F B  P _{B F} . Esses resultados são obtidos de maneira imediata se percebermos que o vetor com os spreads das taxas de juros, denotado por wUS_t , é extraído do vetor de taxas y_tUS _{através de uma}

pré-multiplicação desse último pela matriz FUS definida como:

 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 US p xp F     _       _   

Ao final dessa sub-etapa estimamos 4 parâmetros, ou seja, o procedimento de busca da solução do problema [94] é efetuado em um espaço de dimensão 4.

I.2. Estimação de ₂US 



US US



Nessa sub-etapa estimamos ₂US minimizando a soma do quadrado das diferenças computadas entre as médias “teóricas” e empíricas das taxas de juros dos EUA. As médias teóricas são denotadas por E y

 

US_{t , enquanto que as médias}

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empíricas são representadas por E yˆ

 

USt . Segue abaixo uma forma compacta de representar o problema:

   

2 2 2 ˆ ˆ arg min US US US US t t diag E y E y    _ _  _ _   [95]

De acordo com cálculos que podem ser encontrados no Apêndice C,

 

US US

t

E y A . Todos os parâmetros em US estão presentes nessa fórmula, mas os parâmetros em ₁US _{são fixados nos valores estimados na sub-etapa anterior ao} executarmos essa sub-etapa. Ao final da sub-etapa 2 conseguimos estimar mais 3 parâmetros em um procedimento de busca efetuado em um espaço de dimensão 3.

II. Segunda Etapa:

Nessa etapa vamos estimar os parâmetros  



   Br



, que são aqueles que afetam a recovery intensity. Como a recovery intensity depende das quatro variáveis latentes em x , é necessário estimar os valores dos elementos da _t

diagonal principal de  que estão vinculados às variáveis latentes que afetam a economia brasileira



x_1,Br_t x_2,Br_t



. Os parâmetros que influenciam a dinâmica da curva de juros dos EUA e que são importantes na determinação da curva de juros brasileira em dólares já foram estimados na primeira etapa e seus valores são tomados como dados. O modelo que descreve o comportamento da curva de juros do Brasil relativa a títulos denominados em dólares e negociados internacionalmente pode ser escrito como:









$ $ $ $ $ $ 1 1 1 4 , 0, , 1, , , 0, Br US Br US Br US Br US Br US Br US t t t t t t t t y A B x N H t n x x N I                     [96] onde: PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0812148/CA

1 2 $ , $ $ , p Br US t Br US t Br US t r y r                   1 2 2 1 $ 1 $ 1 $ p Br US Br US Br US p A A A                      









1 2 2 1 $ 1 $ 1 $ T T p Br US Br US Br US p B B B                         e  é definido em [80], sendo Br US          

 . Os elementos das matrizes

$

Br US

A 

e BBr US $ obedecem as equações [87] e [88], respectivamente. Adicionalmente, seja P₁ a matriz de variância e covariância de x_t; é possível demonstrar que ela é igual a vec P

  

₁  I₁₆  



1.vec I

 

₄ . E mantendo o suposto de HBr US $0.

A estimação dos parâmetros em  vai se dividir em duas sub-etapas. Na primeira sub-etapa trabalhamos com os momentos de ordem 2 das taxas de juros brasileiras para emissões em dólares no mercado internacional, ou seja, vamos estimar os parâmetros em  que influenciam somente o valor assumido por esses momentos. Na segunda sub-etapa trabalhamos com os momentos de ordem 1, que são influenciados por todos os parâmetros em . A sub-etapa 2 é executada tomando como dados os parâmetros estimados na sub-etapa 1 e estimando somente os parâmetros remanescentes. No que se segue vamos discutir cada uma dessas sub-etapas.

II.1. Estimação de ₁ 



 Br



Nessa sub-etapa estimamos 1



 minimizando a soma de duas componentes, a saber, a soma do quadrado das diferenças computadas entre as variâncias “teóricas” e empíricas e a soma do quadrado das diferenças calculadas entre as autocorrelações “teóricas” e empíricas dos spreads. O vetor de parâmetros ₁ contém somente os parâmetros que importam para o cálculo desses momentos. A matriz de variância e covariância “teórica” das taxas de juros brasileiras para operações no mercado internacional em dólares é denotada por V y



_tBr US $



,

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enquanto que a sua contraparte empírica é denotada V yˆ



_tBr US $



. Já a matriz com as autocorrelações de ordem 1 “teóricas” dos spreads é denotada por



$



1 Br US t w   , enquanto que a sua contraparte empírica é simbolizada por ˆ₁



w_tBr US $



. Uma forma compacta de representar o problema é:



 





 



1 2 $ $ 1 2 $ $ 1 1 ˆ ˆ arg min ˆ Br US Br US t t Br US Br US t t diag V y V y diag w w            _{ }   _  _       _  _   [97]

De acordo com resultados que podem ser encontrados no Apêndice C,



$



$ _$ 1 T Br US Br US _{Br US} t V y  B  _{P B}  e



$



$ 1 2 $ $ 1 2 1 wtBr US DBr US 1Br US DBr US   _{ }  _  _  , onde DBr US $ é a matriz diagonal cujos elementos são retirados da diagonal

principal da matriz $



$ $



$ 1 T T Br US Br US _{Br US Br US} F  B  _{P B}  _F  . Já ₁Br US $ é calculada como $



$ $



$ 1 T T Br US Br US _{Br US Br US}

F  B  _{P B}  _F  . Mais uma vez o vetor de spreads

$

Br US t

w  é calculado pré-multiplicando o vetor de taxas ytBr US$

 pela matriz $ Br US F  definida como:  2  2 $ 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 Br US p xp F      _       _   

Ao final dessa sub-etapa estimamos 6 parâmetros, ou seja, o procedimento de busca da solução do problema [97] é efetuado em um espaço de dimensão 6.

II.2. Estimação de ₂ 



 



Nessa sub-etapa estimamos ₂ minimizando a soma do quadrado das diferenças computadas entre as médias “teóricas” e empíricas das taxas de juros brasileiras para operações no mercado internacional em dólares. As médias

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teóricas e empíricas são representadas por E y



_tBr US $



e E yˆ



_tBr US $



, respectivamente. Segue abaixo uma forma compacta de representar o problema:



 



2

2

$ $

2 ˆ

ˆ arg min diag E y_tBr US E y_tBr US

    _  _  _  _   _{ }    [98]

De acordo com resultados do Apêndice C, E y



_tBr US $



ABr US $. Todos os parâmetros em  estão presentes nessa fórmula, mas os parâmetros estimados na sub-etapa anterior são tomados como dados (e assumem os valores estimados ali) ao executarmos essa sub-etapa. Ao final da sub-etapa 2 conseguimos estimar mais 5 parâmetros em um procedimento no qual buscamos a solução de [98] em um espaço de dimensão 5.

III. Terceira Etapa:

Nessa etapa vamos estimar os parâmetros do vetor Br



Br Br Br



, que estão presentes na lei de movimento do fator de desconto estocástico brasileiro em₁

t

m_ . Repare que essa é a etapa final, pois os parâmetros que pertencem às leis de movimento de mUS_t1, _t1 e x já foram estimados nas etapas anteriores. _t

O modelo que descreve o comportamento da curva de juros do Brasil relativa a títulos denominados em reais e negociados no mercado doméstico pode ser escrito como: $ $ $ $ 1 1 , 1, ,             BrR s BrR s BrR s BrR s t t t t t t y A B x t n x x    [99] $ $ _$ $ 1 4 0 , 0           _  _         _{ }        T BrR s BrR s _{BrR s} t BrR s t H _G N G I   onde PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0812148/CA

1 3 $ , $ $ , 1                 _    p Br R t BrR s t _{Br R} t t t r y r s s   1 2 2 1 $ 1 $ 1 $                       p Br R BrR s Br R p s A A A A    









 

1 3 3 1 $ 1 $ 1 $                         T T p T Br R BrR s Br R p s B B B B    

e  é definido em [80], o qual já foi estimado na segunda etapa. Os elementos das matrizes ABrR$s e BBrR$s obedecem às equações [89] e [90], respectivamente. Adicionalmente, P1, a matriz de variância e covariância de xt foi achada

anteriormente como vec P

  

₁  I₁₆  



1.vec I

 

₄ . Por outro lado, vamos supor que HBrR$s é uma matriz



p₃1

 

x p₃1



de zeros, exceto o elemento



p31



da diagonal principal, o qual vem a ser





 





T Br US Br US _{ }   . E a matriz



3



$ 4 0     BrR s Br US p G   .

Os parâmetros em Br serão estimados minimizando a soma de três componentes, quais sejam, a soma do quadrado das diferenças computadas entre as variâncias “teóricas” (denotadas por



BrR$ s



t

V y  ) e empíricas (V yˆ



_tBrR$s



), a soma do quadrado das diferenças calculadas entre as autocorrelações “teóricas” (₁



w_tBrR$s



) e empíricas (ˆ₁



w_tBrR$s



) dos spreads e variação cambial, e a soma do quadrado das diferenças calculadas entre as médias “teóricas” (



BrR$ s



t

E y  ) e empíricas (E yˆ



_tBrR$s



). Todos esses momentos serão levados em conta ao mesmo tempo (e, portanto essa etapa não será dividida em sub-etapas) porque os elementos de Br

(ou seja, os market prices of risk relativos ao fator de desconto estocástico no Brasil) são necessários para calcular todos eles. Uma forma compacta de representar o problema é:



 





 







2 $ $ 2 $ $ $ 1 1 ˆ ˆ arg min ˆ ˆ Br Br BrR s BrR s t t BrR s BrR s t t BrR s t t diag E y E y diag V y V y diag w w           _{ }  _{ }  _      _  _    



BrR$s



 2  _{ } PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0812148/CA

[100]

De acordo com o Apêndice C, E y



_tBrR$s



ABrR$s,



$



$



_$



1  _   T BrR s BrR s _{BrR s} t V y B _{P B} e



$



$ 1 2 $ $ 1 2 1 1 BrR s _{BrR s} BrR s _{BrR s} t w _{D D}   _{ }  _  _  , onde DBrR$s é a matriz diagonal cujos elementos são retirados da diagonal

principal da matriz $



$ $



$ 1    T  T BrR s BrR s BrR s BrR s F B _{P B F} . O 1 $ BrR s  é calculado como $ $



$ $



$ 1    T_   T BrR s BrR s _{BrR s} BrR s _{BrR s}

F B P_B G _F . Mais uma vez o vetor de

spreads e da variação de cambio w_tBrR$s é calculado pré-multiplicando o vetor de taxas ytBrR$ s



pela matriz FBrR$s assim definida:

  3 3 $ 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1      _       _        BrR s p x p F

Ao final dessa etapa conseguimos estimar os 9 parâmetros restantes em um procedimento no qual buscamos a solução de [100] em um espaço de dimensão 9.

IV. Etapa Final

Após a estimação dos hiperparâmetros é possível calcular os valores assumidos pelos coeficientes A_US, A_Br US $, A_Br R $, A , s B_US, B_Br US $, B_Br R $ e

s

B para quaisquer maturidades e curvas que se queira. Com isso, a estimação dos

valores assumidos pelas variáveis latentes a cada instante de tempo pode ser feita de maneira bastante simples, bastando para isso utilizar um estimador de mínimos quadrados ordinários. Por exemplo, os valores que as forças x_1,US_t e x_2,US_t relativas à curva de juros norte-americana assumem a cada período são obtidos a partir de [84] da seguinte maneira:



_'



1 _'





ˆUS_t  US US  US US_t  US , 1, , x B B B y A t n [101] PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0812148/CA

A repetição desse procedimento para dados relativos ao par de curvas de juros brasileiras e a variação cambial permite que recuperemos as trajetórias das variáveis latentes x e _1,Br_t x . Este procedimento requer que integremos as _2,Br_t

equações [87] e [90] da seguinte maneira

$ $ $ $ $ $ $ $ , 1, ,                       _  _{ } _     _{   }       Br US Br US Br US Br US t t t BrR s BrR s BrR s BrR s t t y A B x t n y A B   [102]

E observar que as forcas no x_t, correspondente à curva de juros norte-americana,

já foram estimadas no procedimento anterior, portanto é que a matriz

$ $           Br US BrR s B B

vai ser particionada tal que a equação [93] seja agora assim

$ $ $,1 $,2 $ $ $ $ ,1 $ ,2 $                         _  _{ } _      _{   }          Br US Br US Br US Br US Br Br US t t t BrR s BrR s BrR s BrR s Us BrR s t t t y A B B x y A B B x   ou $ $ $,1 $,2 $ $ $ $ ,1 $ ,2 $                           _  _{ } _ _ _     _{     }       Br US Br US Br US Br US Br US t Br Us t t t BrR s BrR s BrR s BrR s BrR s t t y A B B x x y A B B  

Onde xUs_t e x_tBr são os vetores de tamanho dois que contem as forcas das curvas norte-americanas e brasileiras, respectivamente. Portanto x_tBr é estimado da seguinte maneira: 1 ' ' $ $,1 $,1 $,1 $ $,2 $ $ ,1 $ ,1 $ ,1 $ $ ,2 ˆ              _{   } _{        }   _{ }  _  _{ } _ _{ } _ __{  }  _ _{   } _{        }   Br US Br US Br US Br US Br US Br US t Br Us t _{BrR s BrR s BrR s BrR s BrR s BrR s} t t y B B B A B x x y B B B A B [103] PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0812148/CA

3.3.

Descrição dos Dados

Os dados utilizados estão na freqüência mensal e se referem à taxa bruta de variação cambial registrada para o preço do dólar em reais e às taxas de juros de maturidade constante dos EUA e do Brasil para diversos prazos. No caso brasileiro, as taxas são extraídas dos preços de mercado de emissões em dólares para o mercado internacional e em reais para o mercado doméstico. Os dados brutos foram retirados de um terminal Bloomberg. As taxas de juros são expressas de tal forma que se x é a taxa de juros “original” expressa em % ao ano, então a medida utilizada é 100.ln 1 100    _  _   x

x . Os prazos incorporados à amostra são 3,

6, 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, 180, 240 e 360 meses no caso dos títulos emitidos pelo governo dos EUA; 12, 24, 48, 60, 72, 120, 180, 240, 300 e 360 no caso dos títulos emitidos pelo governo brasileiro denominados em dólares e negociados no mercado internacional; e 3, 6, 12, 24, 36, 48 e 84 meses para os títulos brasileiros denominados em reais e transacionados no mercado doméstico. A variável de câmbio é 100 vezes o logaritmo natural da variação do preço do dólar em termos de reais.

É necessário ressaltar que, infelizmente, existe uma grande quantidade de dados faltantes na amostra, especialmente nas séries temporais relativas às taxas de juros brasileiras. De acordo com a Tabela 1, dentro do período que se estende de 01/1997 a 10/2009 só temos séries temporais completas no caso da variação cambial e das taxas de juros norte-americanas para os prazos de 12 a 240 meses (as taxas relativas às maturidades de 3, 6 e 360 meses estão disponíveis somente a partir de 2007). No caso das taxas de juros brasileiras para emissões em dólares negociadas no mercado internacional, somente a taxa relativa à maturidade de 20 anos possui um track record razoável, pois sua série temporal começa em 02/2000. As circunstâncias são ainda mais graves para as taxas de juros brasileiras relativas a emissões em reais negociadas domesticamente. Nesse caso as taxas para as maturidades de 2 e 4 anos são aquelas que possuem uma quantidade maior de observações (40, retiradas do período entre 07/2006 a 10/2009).

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Tabela 1: Valores ausentes na base de dados das

taxas de juros.

Numero de observações Data

I. Taxa de Câmbio

Real / Dólar 154 Jan-97/Out-09 Taxa de Depreciação 153 Fev-97/Out-09

II. Taxas de Juros

USA 3m 18 Mai-08/Out-09 6m 18 Mai-08/Out-09 12m 154 Fev-97/Out-09 24m 154 Fev-97/Out-09 36m 154 Fev-97/Out-09 48m 154 Fev-97/Out-09 60m 154 Fev-97/Out-09 72m 154 Fev-97/Out-09 84m 154 Fev-97/Out-09 96m 154 Fev-97/Out-09 108m 154 Fev-97/Out-09 120m 154 Fev-97/Out-09 180m 154 Fev-97/Out-09 240m 103 Abr-01/Out-09 360m 3 Ago-09/Out-09 Brasil US$ 12m 73 Out-03/Out-09 24m 94 Jan-02/Out-09 48m 77 Jun-03/Out-09 60m 64 Jul-04/Out-09 72m 56 Mar-05/Out-09 120m 61 Out-04/Out-09 180m 57 Fev-05/Out-09 240m 117 Fev-00/Out-09 300m 70 Jan-04/Out-09 360m 46 Jan-06/Out-09 Brasil R$ 3m 25 Out-07/Out-09 6m 10 Jan-09/Out-09 12m 13 Out-08/Out-09 24m 40 Jul-06/Out-09 36m 28 Jul-07/Out-09 48m 40 Jul-06/Out-09 84m 34 Jan-07/Out-09

Existem muitas taxas de juros não disponíveis. A segunda coluna indica a quantidade dos dados existentes de cada variável, e a terceira apresenta a data inicial e final de disponibilidade dos dados.

A Figura 1 mostra a taxa de câmbio real/dólar em nível, cujos valores se encontram no eixo à direita, e as variações dessa taxa, com valores no eixo à esquerda. Saltam aos olhos a tendência de depreciação observada a partir da mudança do regime cambial em 01/1999 até o último trimestre de 2002, quando o

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processo atingiu o seu pico em virtude das incertezas decorrentes das eleições presidenciais daquele ano; a tendência de apreciação observada a partir daí, que pode ser atribuída a fatores como a recuperação da confiança que sucedeu o compromisso assumido pelo candidato vencedor (de oposição) em manter os princípios básicos da gestão macroeconômica (regimes de metas de inflação e câmbio flutuante, respeito à lei de responsabilidade fiscal e à política de geração de superávits primários); e a seqüência depreciação/apreciação observada nos últimos 2 anos, causada pelas perturbações introduzidas pela crise financeira e econômica em escala global que explodiu nesse período.

A Figura 2 mostra as trajetórias das taxas de juros para diversas maturidades nos casos de EUA e Brasil (quando as emissões podem ser em dólares e em reais). O gráfico no canto superior esquerdo mostra todas as trajetórias em um só frame, enquanto que os demais gráficos mostram as taxas de juros relativas a cada uma das curvas separadamente. Salta aos olhos a presença de dados faltantes, o que confirma visualmente a informação da Tabela 1. As taxas de juros norte-americanas e brasileiras para operações em dólares exibem uma clara tendência decrescente, mas nada pode ser dito acerca das taxas de juros brasileiras para operações em reais devido ao problema dos dados faltantes, que é mais agudo aqui. O pico observado em 2002 no caso das taxas de juros brasileiras em dólares reflete as incertezas inerentes ao período. Movimentos de abertura e fechamento dos spreads entre taxas de maturidades longas e curtas podem ser vistos com facilidade no caso norte-americano, porém o mesmo não ocorre no caso brasileiro. O gráfico do canto superior esquerdo indica que há uma distância entre a curva de juros dos EUA e a curva de juros brasileira para emissões em dólares no mercado internacional; essa distância reflete fundamentalmente o prêmio de risco exigido pelos investidores internacionais na hora de adquirir títulos soberanos brasileiros, dado que eles estão sujeitos ao risco de default. O mesmo gráfico indica que há uma distância entre a curva de juros brasileira para emissões em dólares no mercado internacional e a curva de juros brasileira para emissões em reais no mercado doméstico; essa distância reflete essencialmente as expectativas de variação cambial, dado que os investidores tentam igualar retornos em dólares e em reais. PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0812148/CA

Figura 1: Taxa de câmbio do real/dólar e a taxa de depreciação do real. 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 -15.0 -10.0 -5.0 0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0 30.0 ja n -97 o u t-97 ju l-98 ab r-99 ja n -00 o u t-00 ju l-01 ab r-02 ja n -03 o u t-03 ju l-04 ab r-05 ja n -06 o u t-06 ju l-07 ab r-08 ja n -09 o u t-09 (R$/US$)

Taxa de Câmbio: real/dólar

Depreciação do Real Taxa de Câmbio

Depreciação Real

Já mencionamos que o modelo simplificado descrito na seção 3.1 será estimado de acordo com o procedimento MM descrito na seção 3.2, no qual ajustamos os parâmetros a fim de promover a igualdade entre momentos teóricos (que são aqueles que refletem as restrições impostas pela estrutura do modelo) e empíricos. Para isso é necessário calcular os momentos de ordens 1 e 2 que nos

Figura 2: Series de tempo das taxas de juros do Tesouro americano e do Brasil em

dólares e reais. PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0812148/CA

interessam (quais sejam, médias, variâncias e autocorrelações dos spreads) dentro do período fixado, tarefa que é bastante delicada em um contexto no qual as séries temporais não só contêm muitos dados faltantes, mas também a falta de dados se distribui de maneira desigual entre elas (por exemplo, sendo mais forte no caso das taxas de juros relativas a emissões do governo brasileiro em reais para o mercado doméstico).

Nesse trabalho adotaremos a estratégia de preencher os dados faltantes a fim de trabalhar com séries temporais completas e, a partir daí, calcular os momentos de interesse. Mais especificamente, o que propomos é utilizar os trabalhos de Nelson e Siegel (1987), Diebold e Li (2005) e Diebold, Li e Yue (2008) para construir modelos que podem ser transcritos para a forma de espaço de estados e cujos poucos parâmetros podem ser estimados através da maximização de funções de verossimilhança calculadas por intermédio do filtro de Kalman. A utilização dessa técnica tem 2 vantagens fundamentais, que são tornar viável a estimação apesar da presença de dados faltantes e, ao final do processo, estimar valores para os próprios dados faltantes.

No caso da curva de juros que emana dos títulos de cupom zero emitidos pelo governo dos EUA, a saída é utilizar o modelo proposto por Diebold e Li e desenvolvido com base no framework de Nelson e Siegel, que propõem aproximar a curva de juros vigente em um dado período como uma soma de 3 funções exponenciais. As características dessas funções são tais que a dinâmica da curva é decomposta em movimentos de nível, inclinação e curvatura, ou seja, esse

framework é compatível com os fatos estilizados levantados, por exemplo, em

Litterman e Scheinkman (1991) [15]. O modelo contém apenas 4 parâmetros, que são aqueles que medem a contribuição de cada função exponencial na combinação linear que gera cada uma das taxas, além do parâmetro que mede as taxas de crescimento e decrescimento das exponenciais envolvidas. A metodologia é explicada em detalhe no Apêndice D.

No caso das curvas de juros que emanam dos títulos de cupom zero emitidos pelo governo brasileiro o problema é mais complexo porque há mais dados faltantes, principalmente no caso da curva doméstica para emissões em reais. A saída é utilizar o modelo hierárquico proposto por Diebold, Li e Yue, que pode ser

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visto como uma extensão do modelo de Diebold e Li para tratar simultaneamente um conjunto de curvas de juros potencialmente interligadas. A idéia básica desse modelo é que essas curvas refletem a ação de fatores globais (ou seja, que influenciam a dinâmica das curvas de todos os países) e idiossincráticos (que são forças típicas de cada país, ou seja, que só influenciam as trajetórias das taxas de juros observadas em um país específico e não agem sobre os demais). O tratamento que implementamos aqui é tal que, em uma primeira etapa, as curvas de juros brasileiras têm sua dinâmica explicada pelas trajetórias dos seus fatores subjacentes, que são responsáveis pelos movimentos no nível e na inclinação observados para cada uma delas4. Na segunda etapa esses fatores são decompostos em componentes globais (que afetam as 2 curvas simultaneamente) e idiossincráticas (que só afetam uma curva por vez), e é aí que a maior quantidade de informação disponível na curva de juros brasileira para emissões soberanas em dólares no mercado internacional pode ser utilizada para inferir os valores faltantes das taxas de juros para emissões em reais no mercado doméstico. Explicações detalhadas do modelo e do procedimento utilizado para a sua estimação estão no Apêndice E.

Os resultados de estimação desses modelos auxiliares se encontram na Tabela 2. A segunda coluna mostra os resultados de estimação dos parâmetros do modelo para a curva de juros dos EUA que, por hipótese, é influenciada por 3 fatores latentes. As colunas 3 e 4, por sua vez, mostram os valores estimados para os parâmetros dos modelos no caso das curvas de juros brasileiras referentes a emissões em dólares e em reais, respectivamente. As duas curvas, por hipótese, são influenciadas por 2 fatores latentes. Os valores estimados se referem à primeira etapa do procedimento, na qual as forças que determinam a dinâmica de cada uma das curvas são mapeadas separadamente. Os resultados de estimação da segunda etapa do processo, que faz a decomposição das forças levantadas na primeira etapa em uma componente global e uma componente idiossincrática, estão na Tabela 3.

4 _{Nesse caso não vamos utilizar o fator responsável por alterações na curvatura porque, além de}

não ser importante no caso brasileiro, sua inserção prejudicaria a parcimônia do modelo.

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Tabela 2: Estimação dos hiperparâmetros do modelo de Nelson e Siegel, na

primeira etapa.

Hiper parâmetros Tesouro

americano Brasil US$ Brasil R$

i  0.055 0.033 0.099 1,i  0.993 0.998 0.997 2,i  0.978 0.996 0.987 3,i  0.970 11,i  1.000* 0.326 0.901 22,i  1.000* 0.195 0.210 33,i  1.000* 12,i  0.357 -0.836 1 H 0.009 0.045 0.132 2 H 0.000 0.028 0.064 3 H 0.001 0.015 0.003 4 H 0.022 0.003 0.006 5 H 0.003 0.009 0.002 6 H 0.001 0.004 0.002 7 H 0.001 0.006 0.004 8 H 0.002 0.040 9 H 0.002 0.032 10 H 0.001 0.102 11 H 0.000 12 H 0.000 13 H 0.021 14 H 0.079 15 H 0.347 Likelihood 1 771.74 69.83 45.35

A trajetória dos fatores que conduzem a dinâmica das taxas de juros norte-americanas se encontram na Figura 3. Verifica-se que o primeiro fator (que é responsável pelos deslocamentos de nível) tem uma tendência decrescente, enquanto que o segundo fator (que é responsável por mudanças na inclinação) assume valores negativos (o que indica que a curva de juros estava positivamente inclinada) entre 2001 e 2005 e nos dois últimos anos, por efeito da crise econômica mundial. Já as trajetórias dos fatores que conduzem a dinâmica das taxas de juros brasileiras em dólares e em reais se encontram na Figura 4. O primeiro gráfico (esquerda) mostra os caminhos seguidos pelos fatores responsáveis por deslocamentos de nível e inclinação nas 2 curvas; as linhas

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cheias se referem aos fatores identificados com mudanças de nível, enquanto que as linhas pontilhadas indicam a trajetória dos fatores identificados com mudanças de inclinação. O segundo gráfico (direita) mostra os caminhos seguidos pelos mesmos fatores após o preenchimento dos valores faltantes, o que é possível graças ao vínculo existente com as trajetórias estimadas para os fatores globais subjacentes. Repare que é a recuperação das trajetórias dos fatores identificados com mudanças de nível e inclinação em cada uma das curvas que permite que recuperemos também as trajetórias das taxas ausentes.

Tabela 3: Estimação dos hiperparâmetros do modelo Global de

Nelson e Siegel na segunda etapa.

Hiper parâmetros Estimação

1 l  15.041 1 s  -1.711 2 l  9.764 2 s  -3.402 1 l  0.589 1 s  0.175 2 l  0.724 2 s  0.247 1  0.978 2  0.994 3  0.842 4  0.920 5  0.874 6  0.997 3  0.281 4  0.233 5  0.000 6  0.000 Likelihood -194.13

A Figura 4 mostra que o primeiro fator recuperado a partir das taxas de juros brasileiras em dólares exibe uma tendência decrescente e que, na hora de fazer o preenchimento dos dados faltantes, essa tendência acaba sendo incorporada pelo primeiro fator relativo às taxas de juros brasileiras em reais. Ela mostra também que o pico ocorrido em 2002 (provocado pelas incertezas

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eleitorais e suas conseqüências sobre a continuidade das políticas macroeconômicas), facilmente observável no primeiro caso, também acaba sendo incorporado no segundo. Assim como nos EUA, os fatores responsáveis por mudanças na inclinação também assumem valores bastante negativos nos dois últimos anos, o que evidencia o caráter mundial da crise.

Figura 3: Fatores de nível, inclinação e curvatura da curva de

juros dos Estados Unidos estimados do modelo de Nelson e Siegel.

A Figura 5 pode ser vista como a Figura 2 após a inserção dos dados faltantes. É a partir dessas séries que calcularemos os momentos necessários para executar o procedimento MM descrito na seção anterior. Repare que sintetizamos séries relativas às maturidades de 1 mês nos 3 casos, pois elas são importantes na estimação do vetor com as constantes (US,Bre ), que estão presentes nas leis

Figura 4: Fatores de nível e inclinação ajustados para as curvas brasileiras em dólares e

reais. PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0812148/CA

de movimento da recovery intensity e dos fatores de desconto estocásticos do Brasil e dos EUA.

Agora estamos aptos a calcular os momentos de ordens 1 e 2 que serão utilizados na estimação dos parâmetros da versão simplificada do modelo descrita na seção 3.1. Isso será feito com uma amostra que se inicia em 02/2000 e termina em 10/2009, que contém dados já disponíveis ou inferidos com base nos modelos auxiliares que acabamos de descrever. A Tabela 4-A mostra algumas propriedades estatísticas das taxas de juros de maturidade constante calculadas com base nos preços de mercado dos títulos de cupom zero emitidos pelo governo dos EUA. A segunda coluna da referida tabela informa as médias incondicionais dessas taxas; como essas médias crescem com a maturidade, conclui-se que a curva de juros média é positivamente inclinada. A terceira coluna mostra os desvios padrão incondicionais dessas taxas; como esses desvios padrão decrescem com as maturidades, conclui-se que a estrutura a termo da volatilidade é

Figura 5: Series de tempo das taxas de juros do Tesouro americano e do Brasil em dólares

e reais preenchidos pelo modelo de Nelson e Siegel.

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negativamente inclinada. Os coeficientes de assimetria são apresentados na quarta coluna. Eles são todos negativos e sua magnitude é maior para as taxas curtas, o que indica que as distribuições subjacentes possuem uma cauda longa à direita. Já as medidas de curtose são apresentadas na quinta coluna da tabela e sugerem que as taxas relativas a maturidades mais curtas (longas) são leptocúrticas (platicúrticas). Todas as taxas de juros são bastantes persistentes, conforme indicado pelas suas autocorrelações de ordem 1. Esses fatos estilizados já foram levantados em inúmeros trabalhos sobre o comportamento da curva de juros dos

treasuries nos EUA, e a aderência a eles sugere que o procedimento executado

para preencher dados faltantes chegou a resultados bastante aceitáveis.

Tabela 4: Propriedades das taxas de juros dos títulos do Tesouro Americano.

Maturidade Média Desvio Padrão Assimetria Curtose Autocorr(1) A. Taxas de juros 1 mês 3.811 1.473 -0.950 0.634 0.988 3 meses 3.803 1.489 -0.924 0.531 0.988 6 meses 3.818 1.479 -0.885 0.467 0.987 12 meses 3.869 1.452 -0.823 0.335 0.986 24 meses 3.965 1.390 -0.776 0.240 0.986 36 meses 4.262 1.172 -0.698 0.198 0.981 48 meses 4.404 1.087 -0.650 0.160 0.977 60 meses 4.547 0.980 -0.512 -0.070 0.974 72 meses 4.678 0.885 -0.406 -0.123 0.966 84 meses 4.799 0.795 -0.246 -0.336 0.958 96 meses 4.883 0.746 -0.230 -0.355 0.955 108 meses 4.942 0.722 -0.291 -0.310 0.954 120 meses 5.013 0.666 -0.237 -0.431 0.948 180 meses 5.120 0.570 -0.448 0.275 0.932 240 meses 5.076 0.562 -0.222 -0.084 0.941 360 meses 5.358 0.521 -0.174 -0.999 0.895

B. Spreads sobre a Taxa curta

3 meses -0.009 0.055 -1.484 4.601 0.718 6 meses 0.007 0.072 -0.336 0.471 0.892 12 meses 0.058 0.136 0.311 1.792 0.895 24 meses 0.153 0.328 -0.879 0.528 0.967 36 meses 0.451 0.385 1.147 2.011 0.969 48 meses 0.593 0.491 1.355 2.797 0.973 60 meses 0.736 0.596 1.282 2.047 0.979 72 meses 0.866 0.701 1.222 1.475 0.977 84 meses 0.988 0.808 1.243 1.356 0.980 96 meses 1.072 0.864 1.218 1.324 0.983 108 meses 1.131 0.894 1.109 1.010 0.984 120 meses 1.201 0.949 1.118 0.934 0.985 180 meses 1.308 1.077 1.131 1.114 0.986 240 meses 1.265 1.092 1.175 1.031 0.987 360 meses 1.547 1.201 0.987 0.462 0.983 PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0812148/CA

A Tabela 4-B apresenta estatísticas relacionadas aos spreads longo-curto, definidos como a diferença entre a taxas de juros relativa a operações de  períodos e a taxas de juros para operações de 1 período. Os spreads que serviram de base para calcular as estatísticas apresentadas na referida tabela são obtidos a partir das taxas de juros de maturidade constante calculadas com base nos preços de mercado dos títulos emitidos pelo governo dos EUA. Cabe destacar o fato das autocorrelações de ordem 1 dos spreads crescerem com a maturidade, o que é importante na hora de definir a persistência dos fatores _1,US

t

x e _2,US t

x . As médias são positivas (com exceção do primeiro spread) e crescem com a maturidade, o que é razoável na medida em que taxas mais longas costumam “carregar” um term

premium maior. Os desvios padrão dos spreads também exibem um padrão

crescente com a maturidade.

As Tabela 5 e Tabela 6 mostram as mesmas propriedades para as taxas de juros relativas a títulos emitidos pelo governo brasileiro. A Tabela 5 mostra estatísticas calculadas com base nas taxas de juros extraídas dos preços de mercado de títulos de cupom zero denominados em dólar e negociados no mercado internacional, enquanto que a Tabela 6 contém resultados para as taxas de juros extraídas dos preços de mercado de títulos de cupom zero denominados em real e transacionados no mercado doméstico. As tabelas do tipo A (B) mostram propriedades das taxas (spreads). O panorama geral que foi visto para a curva de juros dos treasuries dos EUA se repete aqui, ou seja, as curvas de juros brasileiras são positivamente inclinadas, suas estruturas a termo das volatilidades são negativamente inclinadas, médias e desvios padrão dos spreads crescem com a maturidade e autocorrelações de ordem 1 dos spreads decrescem com a maturidade. O nível geral ocupado pelas taxas da curva em reais é maior porque ela reflete dois riscos, a saber, o de default e o inerente às variações da cotação do dólar em reais. As taxas pertencentes à curva em dólares parecem ser mais voláteis do que as suas contrapartes em reais.

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