Matemática A. Teste Intermédio Matemática A. Versão 1. Teste Intermédio. Versão 1. Duração do Teste: 90 minutos º Ano de Escolaridade

(1)

Teste Intermédio Matemática A

Versão 1

Teste Intermédio

Matemática A

Versão 1

Duração do Teste: 90 minutos | 27.05.2009

12.º Ano de Escolaridade

Decreto-Lei n.º 74/2004, de 26 de Março

Na folha de respostas, indique claramente a versão do teste.

A ausência dessa indicação implica a classificação das respostas

aos itens de escolha múltipla com zero pontos.

(2)

Formulário

Comprimento de um arco de

circunferência

α

<

(

α

amplitude, em radianos, do ângulo ao centro;

<

raio

)

Áreas de figuras planas

Losango: H3+198+6 7+39< ‚ H3+198+6 7/89<_# Trapézio: F+=/ 7+39< F+=/ 7/89<_# ‚ E6>?<+ Polígono regular: Semiperímetro‚Apótema Sector circular: α <_# #

(α

amplitude, em radianos, do ângulo ao centro;

<

raio

)

Áreas de superfícies

Área lateral de um cone:

1 < 1

(

<

raio da base;

1

geratriz

)

Área de uma superfície esférica:

% <

1

#

(

<

raio

)

Volumes

Pirâmide: "_$ ‚ Área da base Altura‚ Cone: "_$ ‚ Área da base Altura‚ Esfera: %_$

1 (

<

$

<

raio

)

Trigonometria

senÐ+ ,Ñ œsen cos+ Þ , sen cos, Þ + cosÐ+ ,Ñ œcos cos+ Þ , sen sen+ Þ , tgÐ+ ,Ñ œ _{" + Þ ,}tg_tg+ ,tg_tg

Complexos

3-3=)8 œ 38-3= Ð8 Ñ)

Probabilidades

. œ B : ÞÞÞÞ B :" " 8 8 5œÉB " .#: ÞÞÞÞ B " 8 .#:8 Se é \ RÐ ß Ñ. 5 , então: T Ð \ Ñ ¸ ! ')#(. 5 . 5 , T Ð # \ # Ñ ¸ ! *&%&. 5 . 5 , T Ð $ \ $ Ñ ¸ ! **($. 5 . 5 ,

Regras de derivação

Ð? @Ñ œ ? @w w w Ð?Þ@Ñ œ ? Þ @ ? Þ @w w w ˆ ‰?_@ wœ ? Þ @ ? Þ @w _@# w Ð? Ñ œ 8 Þ ?8 w 8"Þ ?wÐ8 − Ñ_‘ Ðsen?Ñ œ ? Þw w cos? Ðcos?Ñ œ ? Þw w sen? Ð ?Ñ œtg w _cos?_#w_? Ð Ñ œ ? Þ/? w w /? Ð Ñ œ ? Þ Þ ++? w w +? _lnÐ+ −_‘Ï Ö"×Ñ Ð ?Ñ œln w ?_?w Ðlog₊?Ñ œw _{? Þ +}?_lnw Ð+ −‘Ï Ö"×Ñ

Limites notáveis

lim Š

"

₈"

‹

8

œ /

lim

BÄ! sen B B

œ "

lim

BÄ! / " B B

œ "

lim

BÄ! ln ÐB"Ñ B

œ "

lim

ln B_B

œ !

(3)

Grupo I

• Os cinco itens deste grupo são de escolha múltipla.

• Em cada um deles, são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta. • Escreva na sua folha de respostas apenas o número de cada item e a letra

correspondente à alternativa que seleccionar para responder a esse item. • .Não apresente cálculos, nem justificações

• Se apresentar mais do que uma alternativa, ou se a letra transcrita for ilegível, a resposta será classificada com zero pontos.

1.

Sejam

+ B

ß e três números reais tais que

C

log

₊

B œ " &

log

₊

C

Qual das igualdades seguintes é necessariamente verdadeira?

(A) (B)

B œ + C

&

B œ & + C

(C) (D)

B œ & C

B œ C

&

2.

Sejam , , , e as funções reais de variável real definidas por:

+ , -

.

+ÐBÑ œ $

ln

B

,ÐBÑ œ /

B

-ÐBÑ œ "!

sen

B

.ÐBÑ œ #

tg

B

Considere que o domínio de cada uma das quatro funções é o conjunto dos números reais para os quais tem significado a expressão que a define.

Qual é a função cujo gráfico tem mais do que uma assimptota?

(A) (B)

A função

+

A função

,

(4)

3.

Seja a função, de domínio , definida por

0 ‘

0ÐBÑ œ B "

# Seja a função cujo gráfico é a recta

1

representada na figura 1. Seja

2 œ 0 1

.

Seja

2

w a função derivada da função .

2

_{Figura 1}

O gráfico da função

2

w

é uma recta. Sejam

7

e , respectivamente, o declive e a

,

ordenada na origem desta recta.

Qual das afirmações seguintes é verdadeira?

(A) (B)

7 !

e

, !

7 !

e

, !

(C) (D)

7 !

e

, !

7 !

e

, !

4.

Uma certa linha do Triângulo de Pascal tem exactamente nove elementos. Escolhem-se ao acaso dois desses nove elementos.

Qual é a probabilidade de escolher dois números cujo produto seja igual a ?

)

(A) (B) (C) (D)

!

"_* #_* %_*

5.

Para um certo número real positivo e para um

3

certo número real compreendido entre e

α

!

1_# , o número complexo

3 -3=

α

tem por imagem geométrica o ponto

T

, representado na figura 2. Qual é a imagem geométrica do número complexo

3

#

-3= #

α

? Figura 2

(5)

GRUPO II

Nas respostas aos itens deste grupo, apresente todos os cálculos que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias.

Atenção: quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente sempre o valor exacto.

1.

Seja o conjunto dos números complexos; designa a unidade imaginária.

‚

3

Determine Ð # 3 Ñ " ' 3_{" # 3} .

# $&

sem recorrer à calculadora Apresente o resultado na forma algébrica.

2.

Efectua-se um único lançamento de um dado tetraédrico, com as faces numeradas de a 1 4. Considere que o «número que sai» é o número que está na face que fica voltada para baixo. O dado não é equilibrado, pelo que os quatro números não têm a mesma probabilidade de sair. Sejam e

E

F

os acontecimentos seguintes:

« »;

E

À sair número ímpar

« ».

F

À sair número maior do que 2 Sabe-se que:

•

T ÐE ∩ FÑ œ ! %

,

•

T ÐEÑ œ T ÐEÑ

,

•

T ÐE ∪ FÑ œ ! )

Seja

\

a variável aleatória «número saído no lançamento efectuado». Construa a tabela de distribuição de probabilidades da variável aleatória

\

.

Nota: apresente todas as justificações e todos os cálculos que efectuar na determinação dos valores das probabilidades.

(6)

3.

derivadaDe uma função , de domínio , sabe-se que a sua

0 ‘

,

0

w, é definida por

0 ÐBÑ œ Ð#B %Ñ /

w B

Resolva os dois itens seguintes, sem recorrer à calculadora.

3.1.

Seja o ponto de intersecção do gráfico de com o eixo das ordenadas. Sabe-se

E

0

que a ordenada deste ponto é igual a .

"

Determine a equação reduzida da recta tangente ao gráfico de no ponto .

0 E

3.2.

Estude a função quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e quanto à

0

existência de pontos de inflexão.

4.

Considere a função , de domínio

1

Ò

"_#

ß ∞

Ò

, definida por

1ÐBÑ œ

# B

" B B

=/

Ÿ B "

#

=/ B œ "

=/ B "

Ú

Ý

Û

Ý

Ü

ln

# " # B " B " È

4.1.

Verifique se a função é contínua em

1 B œ ",

sem recorrer à calculadora.

4.2.

Recorrendo às capacidades gráficas da sua calculadora, determine o valor de

B

pertencente ao intervalo

Ò

"_#

ß "

Ò

tal que

1ÐBÑ œ # 1Ð%Ñ

.

Indique o valor pedido arredondado às décimas e apresente o(s) gráfico(s) visualizado(s) na calculadora.

(7)

5.

Na figura 3 estão representados:

• uma circunferência de centro

S

e raio

"

• dois pontos, e

E

F

, sobre a circunferência,

tais que

ÒEFÓ

é um diâmetro • uma semi-recta

SE

Þ

• um segmento de recta

ÒT UÓ

Considere que:

• o ponto

T

, partindo de , se desloca sobre

E

a circunferência, dando uma volta completa, no sentido indicado pelas setas da figura 3

• o ponto

U

se desloca sobre a semi-recta

SE

Þ

, acompanhando o movimento do ponto

T

, de tal forma que se tem sempre

T U œ $

Para cada posição do ponto

T

, seja a

B

amplitude, em radianos, do ângulo orientado que tem por lado origem a semi-recta

SE

Þ

e por lado extremidade a semi-recta

ST

Þ

(ver figura 4). Seja a função que, a cada valor de

.

B

pertencente a

Ò!ß # Ó

1

, associa a distância,

.ÐBÑ

, do ponto

U

ao ponto

S

.

Figura 3

Figura 4

5.1.

Considere as seguintes afirmações sobre a função e sobre a sua derivada,

.

w (a função tem derivada finita em todos os pontos do seu domínio).

.

I. .Ð!Ñ œ # .Ð Ñ

1 II. a B − Ò!ß # Ó ß . ÐBÑ !

1

w

Elabore uma pequena composição na qual indique, justificando, se cada uma das afirmações é verdadeira, ou falsa.

Nota: neste item, não defina analiticamente a função ; a sua composição deve

.

apoiar-se na forma como esta função foi apresentada (para cada valor de , tem-se

B

que

.ÐBÑ

é a distância do ponto

U

ao ponto

S

).

5.2.

Defina analiticamente a função no intervalo

.

Ó

!ß

1

_#

Ò

(isto é, determine uma expressão que dê o valor de

.ÐBÑ

, para cada pertencente a este intervalo).

B

Sugestão: trace a altura do triângulo

ÒST UÓ

relativa ao vértice

T

, designe por

V

o ponto de intersecção desta altura com a semi-recta

SE

Þ

, e tenha em conta que

(8)

COTAÇÕES

Grupo I ... (5

‚

10 pontos) ...50 pontos

Grupo II ...150 pontos

1. ... 20 pontos 2. ... 20 pontos 3. ... 35 pontos 3.1. ...15 pontos 3.2. ...20 pontos 4. ... 35 pontos 4.1. ...20 pontos 4.2. ...15 pontos 5. ... 40 pontos 5.1. ...20 pontos 5.2. ...20 pontos

(9)

TESTE INTERMÉDIO DE MATEMÁTICA A - 12º ANO

RESOLUÇÃO - VERSÃO 1

______________________________________________

GRUPO I

1.

Nas condições do enunciado, tem-se:

log

₊

B œ " &

log

₊

C Í

log

₊

B œ

log

₊

+

log

₊

C

&

Í

log

₊

B œ

log

₊

+ C

&

Í B œ + C

& _Resposta_A

2.

O gráfico da função , definida por

.

.ÐBÑ œ # tg B

, tem uma

infinidade de assimptotas verticais. Resposta D

3. 2 ÐBÑ œ 0 ÐBÑ 1 ÐBÑ œ B " 1 ÐBÑ œ #B 1 ÐBÑ

w w w

#

w w w

Como o gráfico da função é uma recta, tem-se

1 1 ÐBÑ œ ,

w , sendo o declive dessa recta, que é negativo.

,

Logo,

2 ÐBÑ œ #B ,

w , com

.

, !

Resposta B

4.

A linha do Triângulo de Pascal com nove elementos é a linha que contém os elementos da forma )

G

_: , pelo que o segundo e o penúltimo elementos dessa linha são iguais a . Como o primeiro e o último

)

elementos da linha são iguais a , a linha contém dois elementos

"

iguais a e dois elementos iguais a , sendo todos os outros maiores

)

"

do que . Portanto, para o produto dos dois elementos escolhidos ser

)

igual a , é necessário que um deles seja e o outro seja .

)

"

)

A probabilidade pedida é, portanto,

# # " " * # G ‚ G G

œ

$'%

œ

"*

Resposta B

5.

O número complexo 3 tem, relativamente ao número

#

-3= #

α

complexo

3 -3=

α

, metade do módulo e o dobro do argumento.

(10)

GRUPO II

1.

Ð # 3 Ñ " ' 3_{" # 3}# $&

œ

% % 3 3 " ' 3_{" # 3}# $

œ

% % 3 " " ' 3_{" # 3}

œ

_{" # 3}% # 3

œ

_{" # 3 Ð" # 3Ñ}% # 3 Ð" # 3Ñ

œ

% ) 3 # 3 % 3_{" % 3}# #

œ

% ) 3 # 3 %_{" %}

œ

"! 3_&

œ # 3

2.

O acontecimento

E ∩ F

é o acontecimento «sair número ímpar maior do que 2». Ora, dos números 1, 2, 3 e 4, só há um número ímpar maior do que 2, que é o 3. Portanto,

E ∩ F œ Ö$×

Concluímos assim que

T ÐÖ$×Ñ œ ! %

,

De

T ÐEÑ œ T ÐEÑ

resulta que

T ÐEÑ œ ! &

,

e

T ÐEÑ œ ! &

,

.

Portanto, como

E œ Ö"ß $×

e como

T ÐÖ$×Ñ œ

! %

,

, vem

T ÐÖ"×Ñ œ

! "

,

Como

E ∪ F œ Ö"ß $ß %×

e

T E ∪ F

œ

! )

,

, vem

T ÐÖ"ß $ß %×Ñ œ

! )

,

, pelo que

T ÐÖ#×Ñ œ ! #

,

.

Finalmente, como

T ÐEÑ œ

T ÐÖ#ß %×Ñ œ

! &

, ,

e como

T ÐÖ#×Ñ œ

! #

, vem

T ÐÖ%×Ñ œ ! $

,

Tem-se, então, a seguinte tabela de distribuição de probabilidades da variável aleatória

\

:

B

"

#

$

%

T Ð\ œ B Ñ ! " ! # ! % ! $

3 3

,

3.1.

Como o ponto pertence ao eixo das ordenadas, a sua abcissa é igual a .

E

!

Portanto, o declive da recta tangente ao gráfico de , no ponto , é igual a

0 E

0 Ð!Ñ

w . Tem-se que

0 Ð!Ñ œ Ð# ‚ ! %Ñ ‚ / œ % ‚ " œ %

w !

Como o ponto pertence ao eixo das ordenadas, e a sua ordenada é igual a , tem-se

E

"

que a recta intersecta o eixo das ordenadas no ponto de ordenada .

"

(11)

3.2.

Tem-se:

0 ÐBÑ œ Ð#B %Ñ Þ / Ð#B %Ñ Þ Ð/ Ñ œ

ww w B B w

œ # / Ð#B %Ñ / œ Ð#B 'Ñ /

B B B

0 ÐBÑ œ ! Í Ð#B 'Ñ / œ ! Í #B ' œ ! Í B œ $

ww B

B

∞

$

∞

0 !

0

ww

:Þ3.

Concluímos assim que o gráfico de tem a concavidade voltada para baixo no intervalo

0 Ó ∞ß $Ó

e voltada para cima no intervalo

Ò $ß ∞Ò

; o ponto de abcissa

$

é

ponto de inflexão.

4.1.

Tem-se: •

lim

ln

B Ä " B Ä " #

1ÐBÑ œ

c

# B

" B B

d

œ #

" œ # ! œ #

•

lim

B Ä " B Ä " B Ä " ! !

1ÐBÑ œ

œ

B " B " B " B " B " B " È ˆ ˆ‰ˆ ‰ ‰ È È È

œ

lim

œ

lim

B " œ

" " œ #

B Ä " B Ä " B " ˆÈB "‰ B "

ˆ

È

‰

È

•

1Ð"Ñ œ #

Como

lim

, concluímos que a função é contínua em

B Ä "

1ÐBÑ œ

B Ä "

1ÐBÑ œ 1Ð"Ñ

B œ "

4.2.

Tem-se

1Ð%Ñ œ

% "

œ $

. Portanto,

1ÐBÑ œ # 1Ð%Ñ Í 1ÐBÑ œ "

% " È

Trata-se, assim, de determinar pertencente a

B

Ò

"_#

ß "

Ò

tal que

1ÐBÑ œ "

Na figura está representado o gráfico de

1

, nesse intervalo, bem como a recta de equação

C œ "

. Esta recta intersecta o gráfico de no ponto assinalado na

1

figura, cuja abcissa, arredondada às décimas, é igual a

! %

,

.

(12)

5.1.

Quando

B œ !

, o ponto

T

coincide com o ponto , pelo que a distância do ponto

E

U

ao ponto

S

é igual a

$ "

, ou seja, é igual a .

%

Quando

B œ

1

, o ponto

T

coincide com o ponto

F

, pelo que a distância do ponto

U

ao ponto

S

é igual a

$ "

, ou seja, é igual a .

#

Como

.Ð!Ñ œ %

e

.Ð Ñ œ #

1

, resulta que se tem, efectivamente,

.Ð!Ñ œ # .Ð Ñ

1

, pelo que a afirmação é verdadeira.

I

Quando varia de a , o ponto

B

!

1 T

vai de até

E

F

, percorrendo, no sentido directo, a semicircunferência que está acima do diâmetro

ÒEFÓ

, pelo que o ponto

U

se vai aproximando do ponto

S

. Tem-se, assim, que, no intervalo

Ò!ß Ó

1

,

.ÐBÑ

diminui à medida que aumenta, pelo que a função é estritamente decrescente neste intervalo.

B

.

O mesmo não se passa quando varia de a

B

1 #

1

. Neste caso, o ponto

T

vai de

F

até , percorrendo, no sentido directo, a semicircunferência que está abaixo do diâmetro

E

ÒEFÓ

, pelo que o ponto

U

se vai afastando do ponto

S

. Portanto, no intervalo

Ò ß # Ó

1 1

,

.ÐBÑ

aumenta à medida que aumenta, pelo que a função é estritamente crescente

B

.

neste intervalo. Logo, a função derivada,

.

w, não pode ser negativa no intervalo

Ò ß # Ó

1 1

. Portanto, a afirmação é falsa.

II

5.2.

Tem-se, de acordo com a sugestão,

SU œ SV VU

Por um lado, tem-se

SV œ

cos

B

Por outro lado, aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo

ÒT UVÓ

, vem: Portanto,

VU

#

_sen

#

B œ $

#

VU œ

È

*

_sen

#

B