DICAS PARA RESOLUÇÃO - TÓPICO 4
PRINCÍPIOS DE CONTAGEM / ANÁLISE COMBINATÓRIA
1. 3 2 3 :3 2 3 18 A B C D R → → → × × = 2. 3 5 3 5 : : 3 5 15 : 5 3 15 : 15 15 225CASA CENTRO TRABALHO
R IDA opções
VOLTA opções
IDAe VOLTA opções
→ → ← ← × = × = × = 3. 4 6 3 5 1. : 4 6 24 : 5 3 15 : 24 15 360 → → ← ← × = × = × = A B C IDA opções VOLTA opções TOTAL opções 4 6 3 6 6 4 3 2. : 4 6 24 : 6 3 18 : 24 18 432 3. : 4 6 24 : 3 : 24 3 72 → → ← ← × = × = × = → → ← × = × = A B C IDA opções VOLTA opções TOTAL opções A B C IDA opções VOLTA opções TOTAL opções 4. 3 1 3 3 2 1 2 3 2 2 3 2 ;3 ;18 ;2 ;12 ;6 :41 x R Z opções x R Y Z opções x Y Z opções x S Y Z opções x S Z opções TOTAL opções → → → → → → → → → → → → 5. Forma-se 2 grupos: 1º ) 3 4 5 2 º ) 5 3 4 ≠ ∴ Número ARRANJOS Número
Como são grupos diferentes temos um problema de arranjo. 1. opções: 7× × =6 5 210 números 2. opções: 4 4 4× × =64senhas 6. 1º : 12 3 2º :2 31 ≠ ∴ Número ARRANJOS Número 1. opções: 6× × =5 4 120 2. opções:
(
1ou22)
× × =5 4 40 3. opções:(
3)
5 4× × =60 PAR 7. 1º ) Pr /12 34 2º ) Pr / 43 21 ≠ ∴ telefone ef ARRANJOS telefone ef 1. opções: pref/ 10 10 10 10 10× × × = 4 2. opções: pref/(
PAR5)
×10 10 10 5.000× × = 3. opções: pref/ 10 9× × × =8 7 5040 4. opções: pref/( )
12 × ×10 10×(
PAR5)
=500 5. opções: pref/( )
12 × × ×8 7(
PAR4)
=224 8. 1ª ) 2 36 / 0000 2º ) 6 23 / 0000 ≠ ∴ tel ARRANJOS tel opções: 9 9 8 / 0000 0 ≠ × × ≠ R:6489. cos 1ª ) . cos 2ª ) . ≠ ∴ Mar Nelson dupla repres auxiliar ARRANJOS Nelson Mar dupla repres auxiliar opções: 4× =3 12 10. 1ª ) 2º ) opções: 30 29 28 24360 ≠ ∴ × × = ARRANJOS classificação A B C classificação B C A 11. 1ª ) 2ª ) opções: 87 6 5 4 6720 ≠ ∴ = forma A B C D E ARRANJOS forma E D B AC 12. 1ª ) 12 3 2ª ) 2 31 opções: 26 25 24 10 10 10 ≠ ∴ × × × × × diferentes senha A B C ARRANJOS senha B C A 13. 1ª ) 12 3 2ª ) 312 1. opções: 26 26 10 10 10 676.000 2. opções: 26 1 10 10 10 26.000 3. opções: 26 25 10 9 8 468.000 ≠ ∴ × × × × = × × × × = × × × × = iguais codificação A B ARRANJOS codificação B A 14. 1º )1346 2º ) 4613 opções: 10 10 10 10 10 9 8 7 10000 5040 4960 ≠ ∴ × × × − × × × = − =
pode haver repetição sem repetição
round ARRANJOS round 15. lg 1ª ) 123 2ª ) 2 31 opções: 26 26 10 1010 ≠ ∴ × × × letras a arismos senha A B ARRANJOS senha B A 16. 1º ) 12 34 5 2º ) 2513 4 ≠ ∴ código A B C D ARRANJOS código DC B A min 52 52 52 52 10 10 10 10 10 16 26 26 26 26 10 10 10 10 10 × × × × × × × × = = × × × × × × × × maiúscula e úscula maiúsculo 17.
( ) ( )
lg 1ª ) 0123 2ª ) 130 2 1 1 opções: 3 3 3 10 10 2.700 2 6 ≠ ∴ × × × × × × = letras a arismos placa A B C ARRANJOS placa BC A 18. ( ) ( ) 1º )12 7 2º ) 712 8 5 opções: 8 320 0 ≠ ∴ × × = ≠ número ARRANJOS número ímpar19. Como é importante a ordem em que os algarismos são escolhidos, temos, então, um problema de arranjo. Assim se cada número apresentar:
(
)
( )
( )
6 2 lg : 10 60 2 3 4 5 6 7 6 6 lg : 10 10 10 10 10 600.000 . . . 6 7 lg : 10 10 10 10 10 10 10 6.000.000 . . . × = × × × × × = × × × × × × × = i i i a residencias ou ou ou ou ou a residencias a residenciasPara atender 850.000 residências cada número deverá ter no mínimo 7 dígitos. 20. 1ª ) 2ª ) ≠ ∴ diretoria A B C D ARRANJOS diretoria D C B A
A ordem é importante pois a posição da pessoa no grupo difere seu papel.
(
5)
opções: × × × =5 4 3 300 ≠Pedro 21.( ) ( ) ( )
( ) (
)
( )
1º ) 213 2º )312 opções: 1 1 1 1 2 0 3 1 2 2 4 2 1 3 1 3 2 6 3 : 1 4 6 11 ≠ ∴ × × = × × = × × = + + = número ARRANJOS número ou R22.
( ) ( )
1ª ) 1234 2ª ) 4321 1. opções: 26 25 24 10 9 8 7 78.624.000 1 1 2.opções: 24 10 9 8 7 120.960 ≠ ∴ × × × × × × = × × × × × × = codificação A B C ARRANJOS codificação C A B A B 23. 1ª ) 1234 2ª ) 4321 opções: 5 5 5 7 6 5 4 3 315000 ≠ ∴ × × × × × × × = codificação A BC ARRANJOS codificação C A B 24.( )
1º ) 2º ) 1 1. opções: 24 23 552 2. opções: 4 3 2 24 3. opções: 26 26 26 17576 4. opções: 26 25 24 23 22 21 165.765.600 ≠ ∴ × × = × × = × × = × × × × × =letras maíusculas diferentes
código A Lu C ARRANJOS código C A Lu Lu 25. 1ª ) 2ª ) ≠∴ colocação A BC ARRANJOS colocação C A B 1. opções: 4 3 2× × =24 diferentes de A
( )
1 2. opções: 4 3 12 3. opções: 5 4 3 60 × × = × × = A26. Como a ordem importa:
opções: 8 7 7 1 1 392× × × × = 27. 1ª ) 157 2ª ) 571 ≠ ∴ placa A B ARRANJOS placa B A
(
8)
( )
1 opções: 26 10 10 20.800 8bairros × × × × DV = 28. 4 9 1ª ) 2ª ) 9 8 7 6 : 9 4: 126 4 3 2 1 = ∴ × × × → = = × × × Comissão A B C D COMBINAÇÕES Comissão D C B A C 29. 3 8 8 7 6 :8 3: 56 3 2 1 × × → = = × × J C 30. 3 7 7 6 5 :8 3: 35 3 2 1 × × → = = × × D C 31. 2 7 7 6 : 7 2: 21 2 1 × → = = × J D C 32. 4 18 1º ) 2º ) 18 17 16 15 18 4 : 3060 4 3 2 1 = ∴ × × × → = = × × × grupo A B C D COMBINAÇÕES grupo D C B A C 33. 1º ) 2º ) = ∴ grupo A B C D COMBINAÇÕES grupo D C B A 3 2 8 10 8 3 10 2 8 7 6 10 9 2520 3 2 1 2 1 → → × × × × = × = × × × rapazes moças e C C 34. ∴COMBINAÇÕES 4 2 3 2 9 4 : 9 3 4 2 9 8 7 4 3 504 3 2 1 2 1 × = → → × × × = × = × × × alunos alunos X C C e35. ∴COMBINAÇÕES inf 23 :8 23 :1 sup 23 :6
idade erior a anos bailarinas idadeigual a anos bailarina idade erior a anos bailarinas
23 23 23 5 1 3 8 1 6 8 5 1 1 6 3 8 7 6 5 4 1 6 5 4 1120 5 4 3 2 1 1 3 2 1 < = > → → → × × × × × × × × = × × = × × × × × × C C C 36. 1º ) 2º ) = ∴ grupo A B C D E F grupo F E D C B A COMBINAÇÕES possibilidades: 11 pessoas 7 hom 4 ens mulheres
(
) (
) (
)
2 4 3 3 4 2 4 7 4 7 4 7 2 4 3 3 4 2 6 35 4 35 1 21 210 140 21 371 × + × + × = × + × + × = + + = M e H ou M e H ou M e H C C C C C C 37. total 9 min 2 7 istros auditores procuradores 1. 1 1 2 7 : 2 7 14 2 1 7 1 × = × = → → auditor procurador C C 2. `1ª 2ª 3 3 9 6 1680 9 3 6 3 = × = → → camara camara e C C3.2ª câmara (após formação da primeira) 3min 1 1 3 1 1 6 1 6 6 3 1 1 6 1 20 1 6 120 → → → × × = × × =
istros auditor procurador
C C C 38.
(
)
(
)
2 2 15 1 2 2 2 15 ' ' 1º ) 2º ) 1 1 150 105 150 45 2 2 9 90 90 0 10 = ∴ − − + = ∴ + = ∴ = =− − = ∴ − − = =+ n rapazes moças cumprimento A B COMBINAÇÕES cumprimento B A n n n n C C n n n n n n 39. 4 4 4 7 7 4 1 10 1ª ) 2ª ) 10 9 8 7 : 210 4 3 2 1 + − = ∴ × × × = = = = × × × opção A B C D COMBINAÇÕES opção D C B A CR C C 40. 8 8 8 6 6 8 1 13 1ª ) 2ª ) 6 8 13 12 11 10 9 8 7 6 1287 8 7 6 5 4 3 2 1 + − = ∴ → × × × × × × × = = = = × × × × × × × opção A B C D E F G H opção H G F E D C B A COMBINAÇÕES CR C C 41. 3 2 10 10 1º ) 2º ) 3 2 10 9 8 10 9 / : 5400 3 2 1 2 1 10 3 10 2 = ∴ × × × × = × = × × × → → grupo A B C D E COMBINAÇÕES grupo E D C B A H M C C 42.Como 4 pontos determinarão sempre o mesmo quadrilátero independentemente da ordem em que serão escolhidos: 4 12 12 11 10 9 495 4 3 2 1 12 4 × × × = = = × × × → C
43. 3 2 10 10 / : 5.400 10 3 10 2 × = → → C C 44. 2 6 1ª ) 2 ª ) 6 5 : 15 2 1 6 2 =∴ × = = × → dupla A B combinação dupla B A C 45. 3 8 8 7 6 : 56 3 2 1 8 3 × × = = × × → C 46. 6 8 : 28 8 6 = → C 47. 3 3 3 13 5 8 286 10 56 220 C −C −C = − − = 48. 2 3 4 9 / 4 2 9 3 6 84 504 → → × = × = Marcela C C 49. 6 8 : 28 8 6 = → C 50. 1 2 1 10 12 8 / / : 10 1 12 2 8 1 10 66 8 5280 A B C C C C → → → × × = × × = 51. 10 5 15 15 3003 C =C = 52. 4 3 3 10 6 3 1 2 3 / / 10 4 6 3 3 3 210 20 1 4200
sala sala sala
C C C → → → × × = × × = 53. 1 2 3 4 5 6 6 6 6 6 6 6 ; 6 1 6 2 6 3 6 4 6 5 6 6 63 → → → → → → = + + + + + = ou ou ou ou ou ou ou ou ou ou C C C C C C 54. 3 1 2 7 1 4 18 18 18 / / 7 3 1 1 4 2 35 1 6 210 < > → → → × × = × × =
anos anos anos
C C C 55. / / 10→3 7→3 4→4 J M 3 3 4 10× ×7 4=120 35 1 4200× × = C C C 56. 5 0 10 9 8 7 6 : 252 5 4 3 2 1 10 5 × × × × = = × × × × → C
Como haverá jogos entre as equipes, 252 126
2 = maneiras 57. 1. 5 12 12 11 10 9 8 : 792 5 4 3 2 1 12 5 × × × × = = × × × × → C
58.
(
)
(
)
1 1 0 1 2 3 3 4 4 4 :5 :4 :6 3 3 1 4 6 99 × × + + = × × + + = PR GOV SF C C C C C 59. 1ª : 1 2 3 4 5 2ª : 2 3 1 5 4 ≠ ∴ autenticção A B C autenticação C A B ARRANJOS lg int 5 × 5 × 5 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 =315000letras a arismos dist os
opções 60. ( ) ( ) 1ª : 1 2 3 2ª : 3 1 2 8 1 : 26 10 10 20800 ≠ ∴ × × × × = placa A B ARRANJOS placa B A opções BAIRRO DV 61. 1ª : 2 ª : . : 4 3 12 ≠∴ × = dupla A B ARRANJOS B A dupla repres auxiliar opções 62. 1 1 1 15 5× ×5 ... 5= × × × =5 5 ... 5 5 C C C 63. 1ª : 2 ª : : 30 29 28 24360 ≠∴ × × = classificação A B C ARRANJOS classificação C A B opções 64. 1ª : 2 ª : =∴ equipe A B C D COMBINAÇÃO equipe D C B A 4 8 2 9 2 2 1 2 1 2 6 3 1. : 70 8 4 2. : 36 9 2 3. / 15 3 45 6 2 3 2 = → = → = × = × = → → C F F C M M S S C C 65. 5 29 2 3 12 17 2 1 2 12 8 9 1ª : 2 : 1. 29 5 2. / 12 2 17 3 3. / / 12 2 8 1 9 2 =∴ = → = × → → = × × → → → equipe A B C D E COMBINAÇÃO equipe E D B C A C RJ C C RJ SP MG C C C 66. 7 1ª : 2 ª : : 7! 5040 disposição C A M I N H O disposição O H N M I A C
OBS não há repetição deletras
P ≠ = 67. Anagramas ⇒ Permutações
A palavra UNIVERSAL não apresenta letras repetidas (permutações simples) 9 1. : 9! 362.880 = = P
( )
8 1 2. :8! 40.320= P E( )
7( )
7 3. 1 1 : 7! 5040 = = p A S P 4.( )
( )
( )
6 1 1 1 : 6! 720 V I V P= =5.
(
)
8 4 : 4 8! 4 40.320 161.280× = × = vogal P 6.(
)
7(
)
5 4 5 7! 4 100.800 = × × = cons P vogal 7.(
)
7(
)
4 3 4 7! 3 60.480 = × × = vogal P vogal 8. 6 6 / 6! 720 = = nesta ordem N E C P P 9. 3 6 6 3 / 6! 3! 720 6 4320 = × = × = × = qualquer ordem N E L P P P P 10. 7= =7! 5040 nesta ordem N E L P 11. 7× = × =3 7! 3! 5040 6 30.240× = qualquer ordem N E L P P 68. 1ª : 2ª : classificação A B C D E classificação E D B C A ≠ 1. 4 4 3 : 3 4! 3 24 3 72 (hom ) × = × = × = P P em 2. 3× = × = × =3 3! 3! 6 6 36 qualquer ordem B L R P P 3. 4 : 4! 24 A P = = 4. 5 :P= =5! 120 69.A ordem importa (altera) resultado, e trabalha-se com todos os elementos, simultaneamente, em grupos cuja quantidade de elementos coincide o total geral de elementos
⇒ permutações.
(
)
(
)
1 2 3 1 2 3 4 5 6 2 2 2 5 2 hom 2! 2! 2! 5! 2! 2 2 2 120 2 1920 × × × × = × × × × = × × × × =permuta entreos ens permuta entre as mulheres
H H H M M M M M M P P P P P 70. 3, 2 7 7! 7 6 5 4 3! : 420 3! 2! 3! 2 1 × × × × = = = × × × P 71. 3 5 5! 5 4 3! : 20 3! 3! P = = × × = 72. 3 1 2 1 2 3 3 6 6! 6 5 4 3! : 120 3! 3! × × × = = = G G P P P G P 73.
(
)
(
)
4 2 3 2 1) : 4! 24 2) 2 2 :2 2! 2 8 3) : 3! 2! 6 2 12 P cons P vogal A R P P = = × × = × = × = × = 74. 1. 12 12! 12 10! 12 11 10! 12 10! 11 1> × ∴ × × > × ∴ > P 2.( )
11 11! 1 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 240 990 56 30 24 240 = ∴ × × × × × × × × × × < × × × < L P 3) 10∴ × × × × × × × × × < × × × ∴ <10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 72 42 20 6 10 1 C J P 4) / C J : 10× = × ∴ × × × < × × × × × ∴ <2 10! 2! 10 9 8! 2! 6 5 4 3 2! 8! 90 360 P P75. 3 ,4 8 8! 8 7 6 5 4! 280 3!4! 4! 3 2 1 P = = × × × × = × × × 76.
( )
( )
5 2 5 1 : 5! 120 1 : 60 :120 60 180 = = = + = P A ou p E R 77.(
)
(
)
2 , 3 5 9! : 30240 3!2! : 4 3 4 5! 3 1440 P cons P vogal α β = = = × × = 78. todos os anagramas : P103 , 2 , 2=151.200 com 3 letras A juntas:2, 2 8 : 10080 = A A A p
com 2 letras A juntas :
2, 2 9 90.720 : 151.200 90.720 10080 70.560 = − + = A A P R 79.
A palavra se repetirá quando, mantidas as letras que não se repetem nas posições originais, houver a permutação das letras repetidas entre si.
PRO
