GDE Passo a Passo Prof Jair UDESC Alunos

(1)

PROF. JAIR ROBERTO B

PROF. JAIR ROBERTO B ÄÄCHTOLD CHTOLD

UDESC

GEOMET

GEOMETRIA RIA DESCRIDESCRITIVTIV

PASSO A PASSO

(2)

(3)

Sistemas de Projeções Sistemas de Projeções Estudo do Ponto Estudo do Ponto Estudo da Reta Estudo da Reta Métodos Descritivos Métodos Descritivos

Plano Auxiliar Primário e Projeção Pontual da Reta

Direção de uma Reta

Inclinação de uma Reta

Pontos Colineares

Pontos Coplanares

Posição Relativa das Retas

ÍNDICE

Verdadeira Grandeza da Reta

Verdadeira Grandeza da Reta Tópico 02 Tópico 02 Tópico 05 Tópico 05 Tópico 04 Tópico 04 Tópico 03 Tópico 03 Tópico 01 Tópico 01 Tópico 06 Tópico 06 Tópico 07 Tópico 07 Tópico 08 Tópico 08 Tópico 09 Tópico 09 Tópico 10 Tópico 10 Tópico 11 Tópico 11

(4)

Interseção entre Planos (Visibilidade)

Ângulo entre Planos (Ângulo Diedro)

Interseção entre Planos

ÍNDICE

ÍNDICE Estudo do Plano

Estudo do Plano

Verdadeira Grandeza de um Plano

Inclinação de um Plano

Distância Perpendicular entre Ponto e Plano

Interseção entre Reta e Plano

Ângulo entre Reta e Plano

Interseção entre Reta e Plano (Visibilidade)

Posições Relativas das Retas no Espaço

Posições Relativas das Retas no Espaço Tópico 13 Tópico 13 Tópico 15 Tópico 15 Tópico 16 Tópico 16 Tópico 17 Tópico 17 Tópico 14 Tópico 14 Tópico 12 Tópico 12 Tópico 22 Tópico 22 Tópico 20 Tópico 20 Tópico 18 Tópico 18 Tópico 19 Tópico 19 Tópico 21 Tópico 21

(5)

Índice Geral

(6)

/OBLÍQUA SISTEMAS DE PROJEÇÕES a₁ a₂ a₃ a₄ _a 7 a₈ A B C B₁ A₁ C₁ A B C B₁ A₁ C₁ A B C A₁ _B₁ C₁

CENTRAL OU CÔNICA CILÍNDRICA: ORTOGONAL O

a₆ a₅

A

A projeção de um ponto sobre um plano é a interseção de uma reta que passa

por um ponto (Reta Projetante) de um plano de projeção.

(7)

ESTUDO DO PONTO

Estudo do Ponto

Estudo da Representação do Ponto Desenvolvimento dos Diedros

Projeções Ortográficas nos Diedros Representação do Ponto

Posicionamento de Elementos num Espaço

Posições do Ponto em Relação aos Planos de Projeção Posições do Ponto

(8)

(9)

ESTUDO DO PONTO

O ponto é o menor elemento da Geometria e dar origem aos demais elementos Geométricos.

Apesar da sua importância não existe problemas geométricos apenas com o ponto e sim quando este estiver em conjunto com outros elementos.

Índice Índice Geral

(10)

ESTUDO DO PONTO

O ponto em relação aos planos de projeções, pode está situado no 1o_{, 2}o_{, 3}o _{e 4}o _{diedros, mas não é}

interessante a representação no 2o _{e 4}o _diedros

tendo em vista a superposição de imagens após o rebatimento dos planos de projeções sobre o plano vertical.

O sistema de representação no 1o _{diedro é utilizado}

nas normas DIN (DASS. INT. NORM) e o no 3o _diedro

(11)

No Brasil as representações podem ser feitas pelos dois sistemas, com preferência para a projeção

ortogonal no 1o _diedro.

Os diedros estão formados pela interseção de dois planos, um vertical e outro horizontal, a reta interseção entre os dois planos é chamada de Linha de Terra e é comum aos quatro semi-planos:

PVS - Plano Vertical Superior PVI - Plano Vertical Inferior

PHA Plano Horizontal Anterior PHP - Plano Horizontal Posterior

(12)

ESTUDO DA REPRESENTAÇÃO DO PONTO a' b' c' a c b a' b' c'

(13)

DESENVOLVIMENTO DOS DIEDROS (Gaspard Monge) 1o _Diedro 2o _Diedro 3o _Diedro ₄o_Diedro T L a' a Plano Vertical Superior Plano Horizontal Anterior

Plano Horizontal Posterior

P l a n o V e r t i c a l I n f e r i o r A Índice Índice Geral

(14)

(15)

Z Y X PH PV O

PROJEÇÕES ORTOGRÁFICAS NO 1o _DIEDRO

PH PV

(16)

Z Y X PH PV O No 2o _{Diedro acontece} superposição de imagem.

PV

(17)

Z Y X PH PV O

PH

PV

(18)

PH PV Z Y X PH PV O No 4o _{Diedro acontece} superposição de imagem.

(19)

PH PV REPRESENTAÇÃO DO PONTO PH PV L T L T PH a a' a A a' a Índice Índice Geral

(20)

Para posicionar os elementos num espaço

tridimensional determina-se um ponto “O” chamado

ponto de referência que é o ponto comum aos três planos principais de projeção.

A partir do ponto “O” de origem para localizar os

elementos usa-se o sistema de coordenadas cartesianas: Abscissa (X), Afastamento (Y) e Cota (Z). Sobre o eixo X marca-se a abscissa,

Sobre o eixo Y marca-se o afastamento, Sobre o eixo Z marca-se a cota.

Todos os valores deverão ser sempre positivos e escritos em milímetro.

(21)

PH PH PV PV Z PP Y PH X Y O

POSIÇÃO DO PONTO EM RELAÇÃO AOS PLANOS DE PROJEÇÃO Abscissa a a'' A f a s t a m e n t o C o t a s a a'' Abscissa Cota

ÉPURA

A(30, 15, 20) Abscissa Afastamento Cota a' a PP PP a'' a a' a'' A a' PH PV PP X Z Y Y O Afastamento Índice Índice Geral

(22)

1. Plano Vertical (A) (X e Z) 2. Plano Horizontal (B) (X e Y) 3. Plano de Perfil (C) (Y e Z) 4. Eixo X (D) (PH e PV) 5. Eixo Y (E) (PH e PP) 6. Eixo Z (F) (PV e PP) 7. Origem (G) (PV, PH e PP)

8. No espaço (H) (X, Y, Z - diferentes de zero)

O ponto em relação aos planos de projeções, pode ocupar 8 (oito) pos ições distintas:

(23)

Quando um ponto pertence a um dos planos de projeção, é representado em Épura através de suas duas projeções e do próprio ponto.

O ponto pertencente a um dos eixos é representado por este e por mais duas projeções, se coincidir com

o ponto “O” de origem a representação em Épura é

o próprio ponto e suas projeções.

A representação de um ponto no espaço é feita através das três projeções, nos planos: vertical, horizontal e de perfil.

POSIÇÕES DO PONTO

(24)

z x PV y PP PH

POSIÇÕES DO PONTO EM RELAÇÃO AOS PLANOS DE PROJEÇÃO

d'' H,h,h',h'' b' b b'' f f'' F g'g'' G B e e' E 2. Plano Vertical (B) (X e Z) 4. Plano de Perfil (D) (Z e Y)

5. Eixo X (E) (Interseção PV e PH) 6. Eixo Y (F) (Interseção PH e PP) 3. Plano Horizontal (C) (X e Y) 7. Eixo Z (G) (Interseção PV e PP)

8. Origem (H) (PH, PV, PP) 1. No Espaço (A) (X, Y, Z - diferente de zero)

d d' A a" a' a c'' C D PH PV PH X Z Y Y h h''h' H

ÉPURA

b'' b b'B c'' e e' E c' cC d'' D a'' a' a g'g'' G F f Ff'' d d' c c'

(25)

Pontos Colineares

a' b' O PP PV PH Z X Y Y c' a b c a'' b'' c'' Três ou mais pontos são Colineares se e se somente se, por estes pontos passar uma reta imaginária.

Na representação em épura dos pontos em cada plano de projeção, também ficam numa

mesma linha reta.

(26)

Pontos Coplanares

a' b' c' a b c a'' b'' c'' O PP PV PH Z X Y Y

Pontos Coplanares são três ou mais pontos por onde se pode passar

um plano imaginário. Se por dois pontos se pode passar infinitos planos, por um conjunto de

pontos Coplanares composto de pelo menos três pontos

pode-se passar apenas um e um único plano.

(27)

ESTUDO DA RETA

Estudo da Reta

Posições Relativas das Retas Identificação das Retas

Propriedades: Retas do Primeiro Grupo Propriedades: Retas do Segundo Grupo Propriedades: Retas do Terceiro Grupo

(28)

(29)

ESTUDO DA RETA

A projeção de uma reta sobre um plano de projeção, é o lugar geométrico das projeções de todos os seus pontos sobre este plano. De um modo geral a posição de uma reta no espaço fica bem determinada quando são conhecidas as posições dessa reta, sobre dois ou mais planos ortogonais. (Planos de Projeção).

(30)

ESTUDO DA RETA

POSIÇÕES RELATIVAS DAS RETAS

Em relação aos planos de projeção as retas podem ocupar várias posições em relação aos planos de projeção, posições estas que determinam propriedades e identidades. As retas estão divididas em três grupos distintos, devido o posicionamento destas com os planos de projeção.

(31)

ESTUDO DA RETA

IDENTIFICAÇÃO DAS RETAS

Retas do 1o _GRUPO 1. Ao PH - Reta Vertical 2. Ao PV - Reta de Topo 3. Ao PP - Reta Fronto-Horizontal Retas do 2o _GRUPO 1. Ao PH - Reta Horizontal 2. Ao PV - Reta Frontal 3. Ao PP - Reta Perfil 1. Ao PV, PH e PP - Reta Qualquer Retas do 3o _GRUPO Índice Índice Geral

(32)

ESTUDO DA RETA

PROPRIEDADES:

Retas do 1o _{Grupo: São retas perpendiculares a um}

dos planos principais de projeção. Neste plano principal a projeção da reta se reduz a um PONTO, o qual chamamos de projeção pontual da reta.

Sendo a reta perpendicular a um plano é paralela aos outros dois planos adjacentes, nestes planos as retas se apresentam em suas dimensões reais, que chamamos de VG, ou seja, Verdadeira Grandeza da reta.

(33)

RETAS DO 1O _{GRUPO: PERPENDICULARES A UM}

DOS PLANOS DE PROJEÇÃO

PV

Y

PH

X

Z

PP PV

RETA VERTICAL

Z Y X Y PV PH PP o b'' a'' a' b' b a VG VG a'' b'' A a B b' a' b VG VG Índice Índice Geral

(34)

Y

PH PP

X

Z

PV c'' d'' d' c d

RETA DE TOPO

Z Y Y X PV PH PP o

RETAS DO 1O _{GRUPO: PERPENDICULARES A UM}

c' VG VG d'' c'd' c'' C d D c VG VG

(35)

Y

PH PH PP PP

X

Z

PV PV e' e' f'f' e e _f_f

RET

A FRON

TO-HO

RIZON

T

AL

Z Z Y Y X X Y Y PV PV PH PH PP PP o o RETAS DO 1

RETAS DO 1OO _{GRUPO: PERPENDICULARES A UM}_{GRUPO: PERPENDICULARES A UM}

f f '''' e e'''' E E F F e e'' f f f f '' e e e e''''f f '''' VG VG VG VG VG VG VG VG Índice Índice Índic

(36)

Y Y PH PH PP PP X X Z Z PV PV Y Y PH PH PP PP X X Z Z PV PV Y Y PH PH PP PP X X Z Z PV PV

RETAS PERPENDICULARES A UM DOS PLANOS DE PROJEÇÃO

RETA VERTICAL

RETA VERTICAL RETA DE TOPORETA DE TOPO RETA FRONTO-RETA FRONTO-HORIZONTALHORIZONTAL

A A a’’ a’’ a a B B b' b' a' a' b b b'' b'' VG VG VG VG c' c'd'd' c'' c'' d''d'' C C d d D D c c VG VG VG VG E E F F e' e' f f f' f' e e e'' f'' e'' f'' VG VG VG VG Z Z Y Y X X Y Y PV PV PH PH PP PP o o b b'''' a a'''' b b a a a a'' b b'' VG VG VGVG Z Z Y Y X X Y Y PV PV PH PH PP PP c'' c'' d''d'' c' c'd'd' o o c c d d VG VG VG VG e' e' f'f' e e _f_f e'' e''f''f'' o o Z Z Y Y X X Y Y PV PV PH PH PP PP VG VG VG VG

(37)

ESTUDO DA RETA

PROPRIEDADES:

Retas do 2

Retas do 2oo _Grupo:_Grupo: _{São retas paralelas a um dos}_{São retas paralelas a um dos} planos principais de projeção, neste plano principal

planos principais de projeção, neste plano principal

de projeção a reta se apresenta em V.G. (Verdadeira

Grandeza) e nos outros dois planos se apresentam

oblíquas, portanto, em projeção reduzidas.

Índice

Índic

(38)

Y

PH PP

X

Z

PV

RETA HORIZONTAL

b'' a b a'' b' a'

RETAS DO 2O _{GRUPO: PARALELAS A UM}

Y Y X PV PH PP Z o a a' a'' B b' b'' b A VG VG

(39)

Y

PH PP

X

Z

PV c c'' d d'' d' c'

RETA FRONTAL

Y Y X PV PH PP Z o d' c'' d'' C d D c c' VG VG Índice Índice Geral

(40)

Y

PH PP

X

Z

PV e'' f '' e' f ' e f Y Y X PV PH PP Z o

RETA DE PERFIL

PV e'' F f e f '' e' f ' E VG _VG

(41)

Y PH PP X Z PV Y PH PP X Z PV Y PH PP X Z PV

RETAS PARALELAS A UM DOS PLANOS DE PROJEÇÃO

RETA HORIZONTAL RETA FRONTAL RETA DE PERFIL

a' A a’’ a B b' b'' b VG d' c'' d'' C d D c c' VG f'' f E F e' f' e'' e VG e'' f'' e' f' e f X PP Y Y Z o PV PH VG X PP Y Y Z o PV PH c c'' d d'' d' c' VG b'' PV PH X PP Y Y Z o a b a'' b' a' VG Índice Índice Geral

(42)

ESTUDO DA RETA

PROPRIEDADES:

Retas do 3o _{Grupo: São retas oblíquas aos três}

planos principais de projeção.

Não apresentam projeção em V. G. (Verdadeira Grandeza).

(43)

Y

PH PP

X

Z

PV b' a' a'' b'' a b

RETAS OBLÍQUAS AOS TRÊS PLANOS DE PROJEÇÃO

RETA QUALQUER

b' A a'' a B a' b'' b Y Y X PV PH PP Z o Índice Índice Geral

(44)

POSIÇÕES RELATIVAS DAS RETAS NO ESPAÇO

o Y Z PV PH X

RETAS PARALELAS RETAS COINCIDENTES d d' b b' a a' c c' o Y Z PV PH X b a b' a' d c d' c'

(45)

RETAS CONCORRENTES E REVERSAS

Duas retas são concorrentes quando em Épura as projeções do ponto de concorrência estiverem sobre uma mesma perpendicular

c c' a a' d' d b' b p p' o Y Z PV PH X

RETAS CONCORRENTES RETAS REVERSAS

o Y Z PV PH X c d' c' d a a' b' b

POSIÇÕES RELATIVAS DAS RETAS NO ESPAÇO

(46)

MÉTODOS DESCRITIVOS

Métodos Descritivos

Mudança de Plano de Projeção Método de Rotação

(47)

ESTUDO DA RETA

MÉTODOS DESCRITIVOS:

Para resolvermos problemas espaciais,

recorremos aos métodos descritivos, que são: 1. Mudanças de Planos de Projeção

2. Rotação

3. Rebatimento

(48)

Mudanças de Planos de Projeção: Consiste em considerar a figura fixa e determinar uma nova projeção sobre um plano auxiliar perpendicular a um plano de projeção. Este deve ser paralelo à figura no espaço.

(49)

Método de Rotação: Consiste em fazer girar a figura em torno de um eixo de rotação conveniente, até que ela venha ocupar uma posição desejada.

(50)

Método de Rebatimento: Este método conduz a traçados simples, é utilizado em muitos problemas, cujo tratamento descritivo exigirá a rigor, apenas uma mudança de plano e uma única rotação.

(51)

POSIÇÕES RELATIVAS DAS RETAS NO ESPAÇO

Retas Paralelas

Distâncias entre Retas Paralelas Retas Concorrentes e Reversas Retas Perpendiculares

Pertinência Ponto-Reta

Distância Perpendicular entre Ponto e Reta Distância Perpendicular entre Retas Reversas Retas Paralelas e Coincidentes

Índice Geral

(52)

POSIÇÕES RELATIVAS DAS RETAS NO ESPAÇO

o Y Z PV PH X

RETAS PARALELAS RETAS COINCIDENTES d d' b b' a a' c c' o Y Z PV PH X b a b' a' d c d' c'

(53)

RETAS CONCORRENTES E REVERSAS

Duas retas são concorrentes quando em Épura as projeções do ponto de concorrência estiverem sobre uma mesma perpendicular

c c' a a' d' d b' b p p' o Y Z PV PH X

RETAS CONCORRENTES RETAS REVERSAS

o Y Z PV PH X c d' c' d a a' b' b

POSIÇÕES RELATIVAS DAS RETAS NO ESPAÇO

(54)

RETAS PERPENDICULARES

Duas retas concorrentes são perpendiculares quando num plano de projeção as duas retas aparecem perpendiculares entre si e pelo menos uma delas aparece em V.G., neste plano.

Para as retas do 1o _{e 2}o _{Grupos esta}

perpendicularidade é vista em um dos planos principais. No caso de duas retas quaisquer, a perpendicularidade deverá ser determinada onde encontrarmos a V.G. de pelo menos uma das retas, isto poderá ser determinado no P.A.1.

(55)

POSIÇÕES RELATIVAS DAS RETAS NO ESPAÇO

o Y Z PV PH X RETAS PERPENDICULARES o Y Z PV PH X d b' b d' c c' a a' e' e a b' b c' c _d a' d' e' e e₁ VG Índice Índice Geral

(56)

POSIÇÕES RELATIVAS DAS RETAS NO ESPAÇO

Duas retas são paralelas quando suas projeções de mesmo nome sobre pelo menos dois planos são paralelas. Com exceção as retas de perfil, que necessita da projeção no plano de perfil.

(57)

Um ponto pertence a uma reta, quando as projeções desse ponto estão sobre as projeções de mesmo nome da reta, isto é, a projeção horizontal do ponto sobre a projeção horizontal da reta, a projeção vertical do ponto sobre a projeção vertical da reta e a projeção de perfil do ponto sobre a projeção de perfil da reta.

PERTINÊNCIA PONTO E RETA

(58)

Y o Z Y X PV PH PP b'' a'' a' b' c' c'' b a c

PERTINÊNCIA DE PONTO E RETA

o Z Y X PV PH PP b' a' a'' b'' a b c c'' c' Y b'' o Z Y X PV PH PP a b a'' b' a' c c'' c' Y

(59)

ESTUDO DO PLANO

Estudo do Plano

Elementos que definem um Plano Identificação dos Planos

Propriedades: Planos do Primeiro Grupo Propriedades: Planos do Segundo Grupo Propriedades: Planos do Terceiro Grupo

(60)

(61)

Plano, também chamado de superfície, é uma extensão expressa em duas dimensões: Comprimento e Largura. A superfície plana (Plano) é uma superfície tal que toda reta que une dois quaisquer de seus pontos, está inteiramente compreendida nesta superfície.

Sabemos que: um plano pode ser definido por três ou mais pontos não alinhados (Coplanares), por duas retas paralelas, por duas retas concorrentes ou ainda, por uma reta e um ponto não pertencente a esta.

O plano pode ser: Ilimitado e Limitado O plano Ilimitado é imensurável

O limite do plano é a linha, assim podemos distinguir linhas retas e curvas.

Os planos limitados por linhas retas (lados), são

chamados de polígonos. Já os planos limitados por linhas curvas, tem denominação própria, como sejam, círculo, circunferência, elipse, etc...

ESTUDO DO PLANO

(62)

ESTUDO DO PLANO

Elementos que definem um plano:

o Y Z PV PH X o Y Z PV PH X o Y Z PV PH X o Y Z PV PH X c c' a a' b b' d d' c c' b b' a a' c c' a a' d' d b' b a' a b' b c c' Três Pontos não Alinhados Duas Retas Paralelas Duas Retas Concorrentes Uma Reta e Um Ponto

(63)

ESTUDO DO PLANO

IDENTIFICAÇÃO DOS PLANOS

1. Ao PH - Plano Vertical Planos do 2o _{GRUPO 2.} _{Ao PV - Plano de Topo}

3. Ao PP - Plano de Rampa Planos do 1o _GRUPO 1. Ao PH - Plano Horizontal 2. Ao PV - Plano Frontal 3. Ao PP - Plano de Perfil 1. Ao PV, PH e PP - Plano Qualquer Planos do 3o _GRUPO Índice Índice Geral

(64)

ESTUDO DO PLANO

PROPRIEDADES:

Planos do 1o _{Grupo: São Planos paralelos a um dos}

planos principais de projeção, neste plano é mostrada a sua V.G., as projeções nos outros planos são perpendiculares e são chamadas de projeções lineares.

• Plano Horizontal paralelo ao Plano Horizontal

• Plano Frontal paralelo ao Plano Vertical

(65)

Y

PH PP

X

Z

PV

PLANOS DO 1O _{GRUPO: PARALELO A UM DOS}

PLANOS DE PROJEÇÃO – PARALELO AO PLANO HORIZONTAL

b'' a' a b' b c' c c''a'' Y Y X PV PH PP Z

PLANO HORIZONTAL

b'' c A a' b' c' a'' c'' b B C a VG VG Índice Índice Geral

(66)

Y

PH PP

X

Z

PV f ' f Y Y X PV PH PP Z

PLANO FRONTAL

e'' d''f '' d' d e' e

PLANOS DE PROJEÇÃO – PARALELO AO PLANO VERTICAL

d''f '' e' f ' d' d e E f F D e' VG VG

(67)

Y

PH PP

X

Z

PV g'' h'' _i_'' h' Y Y X PV PH PP Z

PLANO DE PERFIL

h g i g' i'

PLANOS DE PROJEÇÃO – PARALELO AO PLANO DE PERFIL

g'' h'' _i_'' g' h'i' h g _i G I H VG VG Índice Índice Geral

(68)

Y PH PP X Z PV A a' b' c' a''c'' b'' b c B C a VG

PLANOS PARALELOS A UM DOS PLANOS DE PROJEÇÃO

PLANO HORIZONTAL PLANO FRONTAL PLANO DE PERFIL

Y PH PP X Z PV d'' e' f ' d' e E f F D VG f '' d XPV PP Y Y Z PH o a' b' c' c'' b'' a b c a'' VG Y Y X Z PV PH PP o g'' h'' _i_'' g' h'i' i g h VG Y PH PP X Z PV g'' h'' _i_'' g' h'i' h _g _i G I H VG f Y Y X Z PV PH PP o e'' d''f '' e' f ' d' d _e VG

(69)

(70)

ESTUDO DO PLANO

PROPRIEDADES:

Planos do 2o _{Grupo: São Planos perpendiculares a}

um dos planos principais de projeção, neste plano é mostrada a sua projeção linear, as projeções nos outros planos são oblíquas e são chamadas de projeções reduzidas.

• Plano Vertical perpendicular ao Plano Horizontal

• Plano de Topo perpendicular ao Plano Vertical

(71)

Y

PH PP

X

Z

PV c' a' b' c A b b c'' B a'' b'' C c' a' a c'' a'' b'' b Y Y X PV PH PP Z

PLANO VERTICAL

b'

PLANOS DO 2O _{GRUPO: PERPENDICULARES A UM DOS}

PLANOS DE PROJEÇÃO – PERPENDICULAR AO PLANO HORIZONTAL

c

(72)

Y

PH PP

X

Z

PV a' c'b' a c'' a'' b'' b Y Y X PV PH PP Z

PLANO DE TOPO

c' a' b' c'' A b c B a'' b'' C _a c

(73)

Y

PH PP

X

Z

PV c' a' b' c a b'' c'' a'' b Y Y X PV PH PP Z

PLANO DE RAMPA

c' a' b' c A a c'' B a'' b'' C _b

PLANOS DE PROJEÇÃO – PERPENDICULAR AO PLANO DE PERFIL

(74)

PLANOS PERPENDICULARES A UM DOS PLANOS DE PROJEÇÃO

PLANO VERTICAL PLANO DE TOPO PLANO DE RAMPA

Y PH PP X Z PV c' a' b' c A b b c'' B a'' b'' C Y Y X Z PV PH PP o c' a' b' c a c'' a'' b'' b Y Y X Z PV PH PP o c' a' b' c a c'' a'' b'' b XPV PP Y Y Z PH o c' a' b' c a c'' a'' b'' b Y PH PP X Z PV c' a' b' c A b c B a'' b'' C _a Y PH PP X Z PV c' a' b' c A a c'' B a'' b'' C _b

(75)

ESTUDO DO PLANO

PROPRIEDADES:

Planos do 3o _{Grupo: São Planos oblíquos aos três}

planos principais de projeção, nestes planos não apresentam projeção em V.G. nem projeção linear e sim projeções reduzidas sobre os três planos.

• Plano Qualquer, oblíquo aos três Planos Principais

de projeção