FILTRO DE SAVITSKI GOLAY
PEDROSA, Leandro1 COELHO, Clarimar José2 Palavras – chave: Polinômios, Filtros Digitais, Filtro de Média Móvel, Filtro de Savitski Golay.
INTRODUÇÃO
Atualmente existe um grande interesse em que as informações possam ser utilizados na forma digital, ou seja, as informações que descrevem uma certa grandeza deve ser inicialmente amostrada. Não é necessário manipular todo o conjunto de dados de um universo infiníto (contínuo) de valores. Apenas um número finito de valores bem conhecidos e que representam fielmente a informação devem ser escolhidos para serem são tratados [1].
Os objetivos deste trabalho é estudar os Filtros Digitais com um enfoque especialmente no Filtro de Savitzky-Golay. A partir dos conhecimentos adquiridos com a revisão da literatura o software em linguagem Java é implementado para fazer o cálculo do erro de predição para amostras de aço-liga contendo Manganês (Mn), Cromo (Cr), Molibdênio (Mo), Níquel (Ni) e Ferro (Fe), após a suavização dos dados através do filtro implementado.
METODOLOGIA
Em geral, dados na forma digital estão sujeitos a ruídos e perturbações aleatórias que podem dificultar os procedimentos de análise e identificação. Com isso, os filtros digitais realizam filtragem dos sinais com a dinâmica de interesse presente no sistema, na tentativa de minimizar ruídos nas medidas analíticas. Filtrar um sinal é deixar passar pelo sistema a informação de interesse e bloquear a informação indesejada. Filtros podem ser aplicados não somente para diminuir a influência do ruído do processo, mas também para “suavizar” o resultado de não homogeneidade de misturas, turbulências ou fluxos não uniformes. Os Filtros digitais mais utilizados pelos químicos analíticos são o filtro de Média Móvel e o de Savitzky-Golay [2, 3].
O Filtro de Média Móvel, suaviza o sinal através da média aritmética de um conjunto de pontos pré-definidos ou largura de um intervalo (janela). Logo após desloca-se a
1
Acadêmico do curso de Bacharelado em Sistemas de Informação da UniEVANGÉLICA.
2
Doutor em Engenharia Eletrônica e da Computação, Mestre em Ciência da Computação, Professor no curso de Bacharelado em Sistemas de Informação na UniEVANGÉLICA.
janela do intervalo para o ponto seguinte do sinal original repetindo a etapa anterior da média dos pontos [4].
O Filtro de Savitzky-Golay é parecido com o filtro de média móvel, a diferença é que ele é essencialmente um método de média ponderada sob a forma
xi
*= 1
2m+ 1 j= − m
∑
m
wjxi+ j( 1) (1)
O problema é encontrar os pesos corretos wj na Equação (1) através da regressão
polinomial.
O filtro Savitsky-Golay usa a Equação (2) para encaixar os primeiros dados e em seguida encontra todos os pesos através da técnica de mínimos quadrados por
xij= a0+ a1j+ a2j2+ …+ ak jk
( j= -m,-m + 1,…,m-1,m;i= 1,…,n ) (2)
onde xj i
e J são conhecidos. A técnica dos mínimos quadrados pode ser aplicada para encontrar aR (R=0,1,2). Substituindo os valores corretos na Equação (2), são obtidos os
conjunto de equações lineares na forma matricial:
(3) a a a 4 2 1 1 1 1 0 0 1 1 1 -1 4 2 -1 4a 2a a a a a -4a 2a -2 1 0 2 1 0 2 2 2 1 0 1 1 0 0 2 1 0 1 1 2 1 0 2 2 = + + = + + = = + = + = + + − − − − a x a x a x a x a x i i i i i Ou X = Ma ( 4 ) onde = + + − − − − 2 2 1 1 0 1 1 2 2 i i i i i x x x x x X 4 2 1 1 1 1 0 0 1 1 1 -1 4 2 -1 = M (5) a a a 2 1 0 = a
A equação (5) pode ser resolvida por ajuste dos mínimos quadrados via
) 6 ( x ) (MtM Mt a =
A substituição da solução para a equação (5) apresenta os valores estimados de xˆ ) 7 ( ) ( ˆ t t M M M M x = ou sob a forma comum
(8) ) 31x x 9 x 3 x 5 (3x 35 1 ) x 9 x 13 x 12 x 6 (-5x 35 1 ) 3x x 12 x 17 x 12 (-3x 35 1 ) 5x x 6 x 12 13x (9x 35 1 ) 3x x 5 x 3 9x (31x 35 1 2 i 2 1 i 1 i 0 1 -i 1 -2 -i 2 -2 2 2 i 2 1 i 1 i 0 1 -i 1 -2 -i 2 -1 1 2 i 2 1 i 1 i 0 1 -i 1 -2 -i 2 -0 2 i 2 1 i 1 i 0 1 -i 1 -2 -i 2 -1 1 2 i 2 1 i 1 i 0 1 -i 1 -2 -i 2 -2 2 + − − − = + + + + = − + + + = + − − + = + − − + = + + + + + + + + + + − − + + − − i i i i i x x x x x
Percebe-se que o filtro Savitsky só utiliza o ponto central na janela que se deslocam para fazer alisamento. Assim, os pesos
[
w-2 -w1 w w1 w2]
podem ser determinados a partir dos coeficientes de x0i
das equações acima, e que têm valores de
[
− 3 35 12 35 17 35 12 35 − 335
]
para a utilização de cinco pontos na janela em movimento.Também se podem empregar diferentes tamanhos de janela e polinômios de diferentes ordens para deduzir os pesos [4].
MATERIAIS E MEDIDA
Os dados foram obtidos por meio de um espectrômetro de emissão atômica em plasma com acoplamento indutivo sequencial convertido para um sistema de múltiplos canais de detecção baseado em um arranjo linear de 1024 fotodiodos. A Figura 1 mostra o sinal certificado para o Mn.
Figura 1. Sinal original do Mn.
A medida da capacidade de predição do modelo é feita com a soma quadrada da diferença entre a concentração esperada e a concentração predita pelo modelo conforme equação
(
ˆ
)
(9)
1 2∑
=−
=
n i i in
y
y
RMSEP
RESULTADOSDentre todos os tamanhos de janelas testados (janela menores que 20) e dentre todos os graus possíveis (o grau do polinômio sempre deve ser menor que o tamanho da janela), o melhor resultado é dado para janela de tamanho 7 e polinômio de grau 2, onde o sinal original do Mn. filtrado apresentou RMSEP igual a 102,0019 contra 141,9988 do sinal com ruído com uma melhora de 28,15%.
1000 1500 2000 2500 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 CONCLUSÃO:
O resultado foi o esperado, o filtro suavizou o sinal do experimento e diminuiu a relação sinal ruído.
Os valores do RMSEP calculados com o software desenvolvido para a regressão linear múltipla Utilizando o Filtro de Savitski Golay estão de acordo com os valores encontrados na literatura. Isso demonstra que o software produz resultados confiáveis e pode ser incorporado ao software SAM (Sistema de Análise Multivariada).
REFERÊNCIAS BIBLIOGRAFICAS:
1. Scalassara, Barin, Maciel, Minimização de Ruído Eletroquímico Usando Processamento Digital de Sinais, Universidade Estadual de Londrina, Brasil, 2004.
2. Alberto F., S. T. Diagnóstico de lesões da tireóide pela espectroscopia de absorção no infravermelho por transformada de Fourier - FTIR, Instituto de pesquisas Energéticas e Nucleares, Brasil, 2009.
3. Brown, S. D. Aplicação de Algoritmos Genéticos na Seleção de Vaiáveis em Espectroscopia no Infravermelho Médio. Determinação Simultânea de Glicose, Maltose e Frutose. Instituto de Química, Universidade Estadual de Campinas, 2002.
4. Chau, Zeng L., Gao J., Shao X. Chemometrics From Basics to Wavelet Transform, v. 164, n. 42, p. 23–32, 2004.
5. Pimentel, M. F., Neto, B. B., Araújo, M. C. U, Pasquini, C. Simultaneous multielemental determination using Law-resolution inductively coupled plasma spectrometer/diode array detection system. Spectrochimica Acta, Part B, 52:2151-2161, 1997
