VOLUME EXERCÍCIOS DO ENEM

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VOLUME – EXERCÍCIOS DO ENEM

E0599 (ENEM 1998 – QUESTÃO 01)

Observe nas questões 1 e 2 o que foi feito para colocar bolinhas de gude de 1 cm de diâmetro numa caixa cúbica com 10 cm de aresta.

Uma pessoa arrumou as bolinhas em camadas superpostas iguais, tendo assim empregado.

a) 100 bolinhas b) 300 bolinhas c) 1.000 bolinhas d) 2.000 bolinhas e) 10.000 bolinhas

RESOLUÇÃO

RESOLUÇÃO RESUMIDA:

I. Uma caixa cúbica de 10cm a aresta. Se a bolinha tem 1 cm, cabem 10 bolinhas para o lado, 10 bolinhas para trás e 10 bolinhas para cima.

II. Temos 10 x 10 x 10 = 1.000 bolinhas.

RESOLUÇÃO PASSO A PASSO:

I. A caixa é cúbica, ou seja, é um cubo. Sendo um cubo, todos os seus lados tem o mesmo tamanho.

II. Cada lado da caixa tem 10 centímetros. Assim, a largurLa, o comprimento e a altura tem 10cm.

III. Foram colocadas bolinhas de gude superpostas, ou seja, uma em cima da outra.

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IV. Cada bolinha tem 1 cm de diâmetro. Assim, a largura da bolinha no meio é de 1 cm.

V. Se a largura da caixa tem 10cm e cada bolinha tem 1cm, logo, na caixa cabem 10 bolinhas para o lado.

VI. Como é um cubo e todos os lados são côngruos (mesma medida), temos 10 bolinhas para trás.

VII. Se temos 10 fileiras com 10 bolinhas em cada fileira, temos 100 bolinhas no chão da caixa.

VIII. A altura também cabem 10 fileiras de bolinhas. Se temos 100 bolinhas na 1ª fileira, temos mais 100 bolinhas na 2ª fileira e assim por diante até chegar na 10º fileira.

IX.100 bolinhas vezes 10 fileiras, teremos ao todo na caixa, 1.000 bolinhas.

X. A pergunta é: quantas bolinhas a pessoa colocou na caixa? A resposta vimos que são 1.000 bolinhas.

E0600 – ENEM 1998 – QUESTÃO 2 – VOLUME

Uma segunda pessoa procurou encontrar outra maneira de arrumar as bolas na caixa achando que seria uma boa ideia organizá-la em camadas alternadas, onde cada bolinha de uma camada se apoiaria em 4 bolinhas da camada inferior, como mostra a figura. Deste modo, ela conseguiu fazer 12 camadas. Portanto, ela conseguiu colocar na caixa:

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1.200 bolinhas

RESOLUÇÃO

RESOLUÇÃO RESUMIDA:

No 1º andar temos 10 fileiras de 10 bolinhas, enquanto que no 2º andar 1.

teremos 9 fileiras com 9 bolinhas.

A cada par de andares temos 181 bolinhas. Se temos 12 andares, temos 6 2.

pares. 6 x 181 = 1.086 bolinhas. RESOLUÇÃO PASSO A PASSO:

I. Vimos no exercício anterior que cada camada tem 10 bolinhas

II. E que temos 10 camadas de 10 bolinhas no 1º andar, ou seja, 100 bolinhas.

III. No 2º andar teríamos mais 100 bolinhas, pois era superpostas (uma em cima da outra). Porém, desta vez vamos colocar as bolinhas em cima de quatro bolinhas, ou seja, no meio.

III. Sendo assim, onde deveria ter 10 bolinhas, terá apenas 9.

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V. Temos, então, no 1º andar, 100 bolinhas, enquanto que no 2º andar temos apenas 81 bolinhas, totalizando em 2 andares, 181 bolinhas.

VI.Deveríamos ter 10 andares, porém, como as bolas se ajustarão nos espaços entre 4 bolinhas, teremos mais andares. O enunciado diz que agora são 12 andares. Quantas bolinhas teremos nos 12 andares?

VII. Se a cada 2 andares temos 181, em 4 andares teremos 362. Em 8 andares teremos 724 e em 12 andares teremos 1.086 andares.

OPÇÃO D

Uma garrafa cilíndrica está fechada, contendo um líquido que ocupa quase completamente seu corpo, conforme mostra a figura. Suponha que, para fazer medições, você disponha apenas de uma régua milimetrada.

Para calcular o volume do líquido contido na garrafa, o número mínimo de medições a serem realizadas é:

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RESOLUÇÃO

Para calcular o volume do líquido que ocupa essa garrafa, precisamos de pelo menos 2 medidas:

o raio para calcular a área para da base e a altura, já que este sólido seria Área da Base x Altura.

E0602 (ENEM 1999 – QUESTÃO 21) Para calcular a capacidade total da garrafa, lembrando que você pode virá-la, o número mínimo de medições a serem realizadas é:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

RESOLUÇÃO

No exercício anterior, nós calculamos apenas o volume do líquido. Agora, deveremos calcular o volume da garrafa.

Ficaria difícil, porque tem uma parte menor, que é o bico. Mas, se virarmos de cabeça para baixo,

Conseguiremos medir o tanto que está faltando (para cima)

Assim, para medir a capacidade total da garrafa, basta medir primeiro o volume do líquido que está lá dentro e depois, virar, e medir o que falta.

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A capacidade da garrafa será o líquido + o líquido que falta.

Para todas estas medidas, quantas vezes deverei medir?

O raio da base

1.

A altura do líquido

2.

(com estes dois eu descubro o volume do líquido)

Vire a garrafa

O raio da base

3.

A altura vazia

4.

Observe que deveriam ser 4 medidas, mas, já havia medido o raio da base, logo, o passo 3 não será necessário, caindo para apenas 3 medições.

OPÇÃO C

E0603 (ENEM 1999 – QUESTÃO 30)Assim como na relação entre o perfil de um corte de um torno e a peça torneada, sólidos de revolução resultam da rotação de figuras planas em torno de um eixo. Girando-se as figuras abaixo em torno da haste indicada obtêm-se os sólidos de revolução que estão na coluna da direita.

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A correspondência correta entre as figuras planas e os sólidos de revolução obtidos é: a) 1A, 2B, 3C, 4D, 5E. b) 1B, 2C, 3D, 4E, 5A. c) 1B, 2D, 3E, 4A, 5C. d) 1D, 2E, 3A, 4B, 5C. e) 1D, 2E, 3B, 4C, 5A. RESOLUÇÃO

Você pode imaginar o desenho da figura plana girando ou simplesmente esconder a metade na vertical da figura

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Sólido 3 = figura A Sólido 4 = figura B Sólido 5 = figura C

OPÇÃO D

Uma empresa de transporte armazena seu combustível em um reservatório cilíndrico enterrado horizontalmente. Seu conteúdo é medido com uma vara graduada em vinte intervalos, de modo que a distância entre duas graduações consecutivas representa sempre o mesmo volume.

A ilustração que melhor representa a distribuição das graduações na vara é:

RESOLUÇÃO

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a) Que o cilindro está cheio de combustível e está deitado.

b) que foi retirado todo o combustível e dividido em 20 garrafas

c) Agora que o cilindro está vazio, vamos enchê-lo com uma garrafa de cada vez.

d) Após encher com a primeira garrafa, qual será a altura que o líquido alcançou?

e) Após encher com a segunda garrafa, marque a altura do líquido. f) Marque cada altura que o líquido alcança, garrafa por garrafa.

g) Agora que temos todas as medidas marcadas, qual das opções acima representa melhor essas marcações?

Observe que com certeza deveremos ter uma marcação no meio do cilindro, que foi a décima garrafa. Afinal. Se todo líquido tem 20 garrafas, 10 garrafas vai ter a altura no meio.

Se o meio do cilindro deverá estar marcado, já poderemos excluir as opções B, D e E.

Temos, agora, as opções A e C

Observe que a diferença entre elas se dá pela distância entre os traços. A opção C tem os traços com a mesma distância entre eles, enquanto a opção A tem os traços próximos do centro.

Evidente que a garrafa 9 e 11, que são próximas a garrafa 10 (do meio) terão a altura menor, já que nesta altura, o cilindro é mais largo.

Assim, a resposta é a letra A

E0605 (ENEM 2001 – QUESTÃO 9) Em muitas regiões do Estado do Amazonas, o volume de madeira de uma árvore cortada é avaliado de acordo com uma prática dessas regiões:

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I – Dá-se uma volta completa em torno do tronco com um barbante.

II – O barbante é dobrado duas vezes pela ponta e, em seguida, seu comprimento é medido com fita métrica.

III – O valor obtido com essa medida é multiplicado por ele mesmo e depois multiplicado pelo comprimento do tronco. Esse é o volume estimado de madeira. Outra estimativa pode ser obtida pelo cálculo formal do volume do tronco, considerando-o um cilindro perfeito.

A diferença entre essas medidas é praticamente equivalente às perdas de madeira no processo de corte para comercialização. Pode-se afirmar que essas perdas são da ordem de:

a ) 3 0 % b ) 2 2 % c ) 1 5 % d ) 12% e) 5%

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Um fabricante de brinquedos recebeu o projeto de uma caixa que deverá conter cinco pequenos sólidos, colocados na caixa por uma abertura em sua tampa. A figura representa a planificação da caixa, com as medidas dadas em centímetros.

Os sólidos são fabricados nas formas de

I. um cone reto de altura 1 cm e raio da base 1,5 cm. II. um cubo de aresta 2 cm.

III. uma esfera de raio 1,5 cm.

IV. um paralelepípedo retangular reto, de dimensões 2 cm, 3 cm e 4 cm. V. um cilindro reto de altura 3 cm e raio da base 1 cm.

O fabricante não aceitou o projeto, pois percebeu que, pela abertura dessa caixa, só poderia colocar os sólidos dos tipos:

(A) I, II e III. (B) I, II e V. (C) I, II, IV e V. (D) II, III, IV e V. (E) III, IV e V.

RESOLUÇÃO

Observe que as laterais, 5 cm será a altura e 6 cm será a parte de cima. Como teremos 6 cm de um lado e mais 6 cm de outro lado, teremos na parte de cima da caixa 12 cm.

Observe que a caixa tem na parte de baixo 15 cm de largura, o que deveria ser também na parte de cima. Como estão faltando 3 cm, subentende-se

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que a abertura será de 3 cm.

O mesmo acontece com a parte da frente, em que 5 cm é a altura e 4 cm é a parte de cima.

Como a parte de cima deveria ser 10 cm e teremos duas de 4, somando 8cm, faltam 2 cm, o que subentende-se ser a abertura. Assim, a abertura tem 3 cm x 2 cm.

A partir disso, podemos ver quais sólidos conseguem passar por esse espaço.

A figura I tem 1,5 cm, logo, passa pelos 2cm

A figura II tem um cubo com 2 cm de aresta, então, também passa.

A figura III é uma esfera de raio 1,5 cm, ou seja, 3 cm de diâmetro. Esta que não passa pelos 2 cm de abertura.

A figura IV é um paralelepípedo 4 cm x 3 cm x 2 cm. Vira este para que passe nos 2 cm de abertura e faz entrar em pé, para que seus 4 cm entrem nos 5 cm de altura da caixa.

A figura V entra em pé, pois tem 1 cm de raio, que dá os 2 cm de abertura.

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Opção C

Uma editora pretende despachar um lote de livros, agrupados em 100 pacotes de 20 cm x 20 cm x 30 cm. A transportadora acondicionará esses pacotes em caixas com formato de bloco retangular de 40 cm x 40 cm x 60 cm. A quantidade mínima necessária de caixas para esse envio é:

a) 9 b) 11 c) 13 d) 15 e) 17

RESOLUÇÃO

Os livros estão dentro de um pacote. Esse pacote tem 20 x 20 x 30 cm. Ao todo tem-se 100 desses pacotes.

Precisa-se colocar esses 100 pacotes em várias Caixas. Essas caixas tem 40 x 40 x 60 cm.

Quantos pacotes cabem em cada caixa?

Dos lados tem 40 cm. Cabem 2 pacotes de 20 Para trás tem 40 cm. Cabem 2 pacotes de 20 Para cima tem 60 cm. Cabem 2 pacotes de 30 Ao todo, cada caixa cabem 8 pacotes.

Para colocar os 100 pacotes, precisaremos de 13 caixas. 13 x 8 = 104 pacotes.

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E0608 (ENEM 2003 – QUESTÃO 35) Prevenindo-se contra o período anual de seca, um agricultor pretende construir um reservatório fechado, que acumule toda a água proveniente da chuva que cair no telhado de sua casa, ao longo de um período anual chuvoso. As ilustrações a seguir apresentam as dimensões da casa, a quantidade média mensal de chuva na região, em milímetros, e a forma do reservatório a ser construído.

Sabendo que 100 milímetros de chuva equivalem ao acúmulo de 100 litros de água em uma superfície plana horizontal de um metro quadrado, a profundidade (p) do reservatório deverá medir.

a) 4m b) 5m c) 6m d) 7m e) 8m

RESOLUÇÃO

A água vai cair no telhado e correr para uma calha, que será colocada em volta.

Dessa calha, ela vai por um cano para o tal reservatório.

Esse reservatório tem 4 m de comprimento e 2 de largura. A questão pede a medida da altura.

Vamos analisar:

100 mm de chuva vai encher 100 litros em um pedaço de 1 metro quadrado.

Isso significa que, num espaço de 1 metro, 100 litros caíram ali.

Em janeiro, choveu 100 mm, ou seja, 100 litros em cada metro quadrado Em fevereiro 100, em março 300 e assim por diante.

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Somando todas as quantidades de chuva no ano, temos 700 litros de água que caíram em 1 metro quadrado.

O telhado tem 10mx 8m, que dá 80 m².

Se em 1 m² caíram 700 litros de água, em 80 m² caíram 56.000 litros (700 x 80)

(Lembrando que 1m³ tem 1000 litros, 56.000 litros tem 56 m³)

Assim, o reservatório deverá ter 56 m³ para receber TODA A ÁGUA proveniente da chuva num período de UM ano (ignora o uso e a evaporação da água)

Para calcular o volume, devemos multiplicar a área da base pela altura.

Se o reservatório tem 4m x 2m, logo, são 8m² de área da base.

Qual a medida que deveremos multiplicar esses 8 m² para dar os 56 m³ ? 7 m.

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Opção D

Os três recipientes da figura têm formas diferentes, mas a mesma altura e o mesmo diâmetro da boca. Neles são colocados líquido até a metade de sua altura, conforme indicado nas figuras. Representando por V1, V2 e V3 o volume de líquido em cada um dos recipientes, tem-se:

a) V1 = V2 = V3 b) V1 < V3 < V2 c) V1 = V3 < V2 d) V3 < V1 < V2 e) V1 < V2 = V3 RESOLUÇÃO

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Uma artesã confecciona dois diferentes tipos de vela ornamental a partir de moldes feitos com cartões de papel retangulares de 20 cm x 10 cm (conforme ilustram as figuras abaixo). Unindo dois lados opostos do cartão, de duas maneiras, a artesã forma cilindros e, em seguida, os preenche completamente com parafina.

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Supondo-se que o custo da vela seja diretamente proporcional ao volume de parafina empregado, o custo da vela do tipo I, em relação ao custo da vela do tipo II, será

a) o triplo b) o dobro c) igual d) a metade e) a terça parte

RESOLUÇÃO

E0611 (ENEM 2006 – QUESTÃO 60) Eclusa é um canal que, construído em águas de um rio com grande desnível, possibilita a navegabilidade, subida ou descida de embarcações. No esquema abaixo, está representada a descida de uma embarcação, pela eclusa do porto Primavera, do nível mais alto do rio Paraná até o nível da jusante.

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Enquanto a válvula de enchimento está fechada e a de dreno, aberta, o fluxo de água ocorre no sentido indicado pelas setas, esvaziando a câmara até o nível da jusante. Quando, no interior da câmara, a água atinge o nível da jusante, a porta 2 é aberta, e a embarcação pode continuar navegando rio abaixo.

A câmara dessa eclusa tem comprimento aproximado de 200 m e largura igual a 17 m. A vazão aproximada da água durante o esvaziamento da câmara é de 4.200 m3

por minuto. Assim, para descer do nível mais alto ate o nível da jusante, uma embarcação leva cerca de:

a) 2 min b) 5 min c) 11 min d) 16 min e) 21 min

RESOLUÇÃO

A câmara da eclusa tem a forma de um paralelepípedo reto retângulo. As dimensões são

200 m x 17 m x 20 m = 68.000 m³

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Logo, se em cada minuto, há uma vazão de 4.200 m³, temos

68.000 / 4.200 = 16,1

Aproximadamente 16

E0612 (ENEM 2008 – QUESTÃO 56) A figura ao lado mostra um reservatório de água na forma de um cilindro circular reto, com 6 m de altura. Quando está completamente cheio, o reservatório é suficiente para abastecer, por um dia, 900 casas cujo consumo médio diário é de 500 litros de água. Suponha que, um certo dia, após uma campanha de conscientização do uso da água, os moradores das 900 casas abastecidas por esse reservatório tenham feito

economia de 10% no consumo de água. Nessa situação, a) a quantidade de água economizada foi de 4,5 m³.

b) a altura do nível da água que sobrou no reservatório, no final do dia, foi igual a 60 cm.

c) a quantidade de água economizada seria suficiente para abastecer, no máximo, 90 casas cujo consumo diário fosse de 450 litros.

d) os moradores dessas casas economizariam mais de R$ 200,00, se o custo de 1 m3 de água para o consumidor fosse igual a R$ 2,50.

e) um reservatório de mesma forma e altura, mas com raio da base 10% menor que o representado, teria água suficiente para abastecer todas as casas.

RESOLUÇÃO

a) gasta-se 500 litros. Economizando 10% (50 litros), a quantidade economizada será de 50 litros, e não 4,5 m³, que é o mesmo que 4.500 litros

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b) São 6 metros, ou 600 cm. Há dois momentos:

I – Antes da economia: gastava tudo, ficando vazio II – sobrará no reservatório os 10% economizados

Assim, a altura dessa água economizada será dos 10% dos 600, que dá 60 cm.

E0613 (ENEM 2009 – QUESTÃO 180) A cisterna é um recipiente utilizado para armazenar água da chuva. Os principais critérios a serem observados para captação e armazenagem de água da chuva são:

A demanda diária de água na propriedade; o índice médio de precipitação (chuva), por região, em cada período do ano; o tempo necessário para armazenagem; e a área de telhado necessária ou disponível para captação. Para fazer o cálculo do volume de uma cisterna, deve-se acrescentar um adicional relativo ao coeficiente de evaporação. Na dificuldade em se estabelecer um coeficiente confiável, a Empresa Brasileira de Pesquisa Agropecuária (EMBRAPA) sugere que sejam adicionados 10% ao volume calculado de água. Desse modo, o volume, em m3_{, de uma cisterna é calculado por Vc = Vd × Ndia, em que Vd =}

volume de demanda da água diária (m³), Ndia = número de dias de armazenagem, e este resultado deve ser acrescido de 10%.

Para melhorar a qualidade da água, recomenda-se que a captação seja feita somente nos telhados das edificações. Considerando que a precipitação de chuva de 1 mm sobre uma área de 1 m2 produz 1 litro de água, pode-se calcular a área de um telhado a fim de atender a necessidade de armazenagem da seguinte maneira: área do telhado (em m2

) = volume da cisterna (em litros)/precipitação.

Disponível em: www.cnpsa.embrapa.br. Acesso em: 8 jun. 2009 (adaptado).

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armazenagem de 15 dias e precipitação média de 110 mm, o telhado, retangular, deverá ter as dimensões mínimas de:

a) 6 metros por 5 metros, pois assim teria uma área de 30 m². b) 15 metros por 20 metros, pois assim teria uma área de 300 m². c) 50 metros por 60 metros, pois assim teria uma área de 3.000 m². d) 91 metros por 30 metros, pois assim teria uma área de 2.730m². e) 110 metros por 30 metros, pois assim teria uma área de 3.300 m².

RESOLUÇÃO

Entendendo, a situação, ele quer criar uma cisterna para aproveitar a água da chuva.

Essa água que ele vai captar deve atender a necessidade diária deles, que é de 2000 litros por dia. Ele quer captar água o suficiente para 15 dias.

Se ele precisa de 2000 litros por dia, em 15 dias ele precisará de 30.000 litros.

Porém, se ele guardar 30.000 litros de água, quando ele for usar, não haverá 30.000, pois parte terá evaporado.

O enunciado diz que há uma necessidade de captar 10% a mais do valor que ele vai precisar para compensar essa evaporação.

Logo, 30 mil + 10%, ele vai precisar captar 33 mil litros.

Ao invés de fazer uma cisterna grande para captar maior quantidade de água da chuva, ele preferiu fazer uma calha ao redor do telhado. Assim, toda a água que caísse sobre o telhado, escorreria para a calha, que cairia

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para a cisterna.

Sabe-se que para cada 1 mm de “chuva” em 1m² do telhado, a cisterna enche 1 litro.

Mas, a chuva que caiu tinha 110 mm. Se 1 mm enche 1 litro, 110 mm encherão 110 L.

Mas, os 110 mm encherão 110 litros em 1 m² do telhado. Se fossem 2 m² encheriam 220 mm (110 x 2). E fosse 330 mm, precisaria de 3m². Ele quer 30.000 litros.

33.000 : 110 = 300 m².