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Conceito de função
Quatro amigos decidiram apostar no totoloto, tendo cada um deles preenchido o seu boletim da seguinte forma:
Boletim do Hugo Boletim do João
Jogos Apostas Jogos Apostas
1 Equipa A – Equipa B 1 X 2 1 Equipa A – Equipa B 1 X 2 2 Equipa C – Equipa D 1 X 2 2 Equipa C – Equipa D 1 X 2 3 Equipa E – Equipa F 1 X 2 3 Equipa E – Equipa F 1 X 2 4 Equipa G – Equipa H 1 X 2 4 Equipa G – Equipa H 1 X 2 5 Equipa I – Equipa J 1 X 2 5 Equipa I – Equipa J 1 X 2
Boletim da Ana Boletim da Marta
Jogos Apostas Jogos Apostas
1 Equipa A – Equipa B 1 X 2 1 Equipa A – Equipa B 1 X 2 2 Equipa C – Equipa D 1 X 2 2 Equipa C – Equipa D 1 X 2 3 Equipa E – Equipa F 1 X 2 3 Equipa E – Equipa F 1 X 2 4 Equipa G – Equipa H 1 X 2 4 Equipa G – Equipa H 1 X 2 5 Equipa I – Equipa J 1 X 2 5 Equipa I – Equipa J 1 X 2
X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X
Os boletins de totobola estabelecem uma relação entre dois conjuntos: o conjunto dos jogos e o conjunto das apostas.
Quais destas correspondências são funções?
Recorde que
Uma função é uma correspondência entre dois conjuntos
Tal que:
Todos os elementos do primeiro conjunto estão envolvidos na correspondência. Cada elemento do primeiro conjunto tem um e um só correspondente no segundo conjunto.
Funções
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Representemos cada Boletim através de um Diagrama de Venn:
Todos os elementos do primeiro conjunto estão envolvidos na correspondência.
Cada elemento do primeiro conjunto tem um e um só correspondente no segundo conjunto. Todos os elementos do primeiro conjunto estão envolvidos na correspondência. Existem elementos do primeiro conjunto com vários correspondentes no segundo conjunto Nem todos os elementos do primeiro conjunto estão envolvidos na correspondência porque um dos elementos do primeiro conjunto não tem correspondência no segundo conjunto.
Cada elemento do primeiro conjunto tem um e um só
correspondente no segundo conjunto. Cada correspondência é uma FUNÇÃO –
boletim válido.
As correspondências NÃO são FUNÇÕES – boletim não válido.
Todo o processo que faz corresponder a cada elemento 𝑥 de um conjunto A um e um só elemento 𝑦 do conjunto B é uma correspondência que se chama aplicação ou função de A em B.
Representando a função por 𝑓, podemos escrever:
O conjunto A – conjunto de partida – é o domínio da função. Representa-se por 𝐷𝑓.
O conjunto B designa-se por conjunto de chegada.
Os elementos do domínio designam-se por objectos e os respectivos elementos do conjunto B designam-se por imagens.
𝑥 é a variável independente e 𝑦 é a variável dependente. O contradomínio é o conjunto das imagens. Representa-se por 𝐷′𝑓.
𝐷′𝑓⊆ 𝐵.
Atenção Não confunda f
com f (x)!
𝑓 designa uma função com o seu domínio, o seu conjunto de chegada e a indicação do processo para encontrar a imagem de cada elemento do domínio. 𝒇(𝒙) representa a imagem do objecto 𝑥 do domínio, pela função 𝑓. Boletim do Hugo Jogo Aposta 1 2 3 4 5 1 X 2 Boletim do Ana Jogo Aposta 1 2 3 4 5 1 X 2 Boletim do João Jogo Aposta 1 2 3 4 5 1 X 2 Boletim do Marta Jogo Aposta 1 2 3 4 5 1 X 2
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Considerando a função do boletim da Ana: a) Quais são os objectos?
b) Quais são as imagens? c) Indique o domínio da função? d) Indique o conjunto de chegada? e) Indique o contradomínio da função? f) Qual é a imagem do objecto 1? g) Quais os objectos cuja imagem é X?
Resolução: a) Os objectos são e . b) As imagens são e X. c) O domínio da função é { }. d) O conjunto de chegada é { }. e) O contradomínio da função é { }. f) A imagem do objecto 1 é 1.
g) Os objectos cuja imagem é X são e .
Teste os seus conhecimentos
1) Considere as seguintes correspondências de A para B:a) Diga, justificando, se são funções.
b) Das que são funções indique o domínio, o contradomínio e o conjunto de chegada. Carro Comboio Barco garagem estação porto A B f Março Maio Junho Julho 31 30 29 A B g 1 2 3 1 4 9 16 A B h A B 1 3 5 2 3 8 j Boletim do Ana Jogo Aposta 1 2 3 4 5 1 X 2
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Modos de definir uma função
Imagine que vai de férias e encontra o seguinte anúncio.
Como só dispõe de 50€, quantos dias pode alugar a bicicleta?
A cada número de dias de aluguer ( ) corresponde um único custo ( ). Assim, e são varáveis.
Como o custo depende do número de dias de aluguer , diz-se que é a variável dependente e a chama-se variável independente. é função de .
Existem algumas formas de representar a função.
Representando a função por meio de um diagrama de Venn.
N.º de dias Custo 1 2 3 4 5 12 21 30 39 48
Representando a função por meio de uma tabela, obtém-se:
Representando a função por meio de uma expressão analítica.
A expressão é a expressão analítica da função. Assim, a função representa-se da seguinte forma:
{ }
Número de dias de aluguer ( ) 1 2 3 4 5
Custo (em euros) ( ) 12 21 30 39 48
ALUGA-SE BICICLETAS
DE P Ó S I T O … € 3 € 9 P O R D I A
Note que os número de dias só variam de 1 a 5. Para 6 dias teria de pagar 57€, o que não seria possível, visto que só dispõe de 50€.
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As expressões analíticas permitem determinar facilmente os valores de C a partir dos valores de N.
Representando a função por meio de um gráfico, obtemos:
Teste os seus conhecimentos
1) A função { } está definida pelo seguinte gráfico-1 1 2 3 4 -2 -1 1 2 3 x y
a)
Defina f por meio de uma tabela.b)
Calcule ( ) e ( ).c)
Indique o objecto cuja imagem é 3.1 2 3 4 5 6 12 18 24 30 36 42 48 N C 21 39 Nota:
O gráfico de f identifica-se com o conjunto de pares ordenados ( ( )), . Como para representar um ponto no referencial cartesiano usamos o sistema de coordenadas o valor dos objectos é representado no eixo dos e o das respectivas imagens no eixo dos . Por este motivo é vulgar a identificação ( ).
Página 6 de 20 2) Identifique nas seguintes situações as que representam funções:
3) Considere as funções:
{ } { } { } ( )
a) Defina g por meio de um diagrama. b) Defina f por meio de uma tabela. c) Calcule ( ) e ( ).
d) Indique o conjunto de chegada de f e de g. e) Indique o domínio de cada função.
f) Indique o contradomínio de cada função.
Representação gráfica
Através da representação gráfica, muita informação pode ser obtida.
O seguinte gráfico representa o movimento de um automóvel ao longo de um trajecto de 700m.
a) Qual a variável independente? E a variável dependente?
b) Nos primeiros 40 segundos quantos metros percorreu o automóvel?
c) Durante o passeio, o automóvel alguma vez esteve parado? Se sim, quanto tempo? d) Indique o instante em que o automobilista iniciou o regresso.
x y x y 0 100 200 300 400 500 600 700 0 20 40 60 80 100 120 140 P osiçã o a c a da inst a nt e
Página 7 de 20 e) Em que momento o automóvel se encontra a 500m do ponto de partida? No momento 77s
em que posição estava o automóvel?
f) Qual o domínio e o contradomínio da função? Resolução:
a) A variável independente é o tempo e a variável dependente é a posição a cada instante.
b) O automóvel percorreu 600 metros nos primeiros 40s.
c) Sim, esteve parado durante 40s (dos 40 aos 80 s.)
d) Aos 80 segundos iniciou a viagem de regresso.
e) Nos momentos 30 e 85 o automóvel estava a 500m do ponto de partida. No momento 77 o automóvel estava a 600m do ponto de partida.
f) [ ], [ ]
Teste os seus conhecimentos
4) Ao longo de uma viagem de carro, o número de litros de gasolina no depósito é dado pelo seguinte gráfico. x y Gaso lin a n o dep ó sit o ( li tr os ) Km 15 25
a)
O gráfico representa uma função? Justifique.b)
Quantos litros de gasolina havia no depósito do carro no início da viagem? Não se esqueça que o domínio é visto no eixo dos 𝑥𝑥, neste caso, no eixo do tempo, e o contradomínio no eixo dos 𝑦𝑦.Página 8 de 20
c)
Quantos litros de gasolina se gastaram por cada 100 km de viagem?d)
Quantos litros de gasolina se gastaram nos 400 km de viagem?5) Feito um estudo sobre uma determinada população, analisou-se a evolução da altura de acordo com a idade e, construiu-se o seguinte gráfico:
A lt ur a (cm ) 100 90 120 130 110 10 20 30 40 50 60 80 70 0 10 20 30 40 50 60 70 80 Idade (anos) a) O gráfico representa uma função? Justifique.
b) Qual foi a altura máxima atingida pela pessoa e em que altura da sua vida? c) A partir de que idade a altura começou a decrescer?
d) Indique a altura da pessoa quando nasceu.
Até agora….
Conceito e classificação de função
Modos de definir uma função
Representação gráfica
Função real de variável real
Zeros de uma função
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Zeros de uma função
Considere a função f, de domínio , definida pelo gráfico que se segue e a sua expressão analítica.
x y
-3 -1 2
y = f(x)
a) Determine graficamente os zeros da função; b) Determine analiticamente os zeros da função.
a) A função intersecta o eixo dos nos pontos ( ), ( ) e ( ).
Tal significa que ( ) , ( ) e ( ) , ou seja, e são zeros da função .
b)
Chama-se função real de variável real a uma função cujos domínio e contradomínio são conjuntos de números reais.
Recorde que
Zero de uma função é todo o objecto que tem imagem nula.
Os zeros de uma função correspondem
graficamente aos pontos de intersecção com o eixo dos 𝑥𝑥.
Página 10 de 20 Para calcular os zeros de uma função analiticamente basta resolver a equação 𝑓(𝑥) . Só as soluções pertencentes ao 𝐷𝑓 são zeros da função. ( ) ( )( )( )
Os zeros da função são: e 2, uma vez que .
Funções Afins
O José todas as semanas enche o depósito do seu carro com gasóleo. O preço de um litro de gasóleo durante seis semanas consecutivas pode ser representado pelo gráfico seguinte: 1,21 1 2 3 4 5 6 Cu sto (€ ) Semanas O que pode concluir acerca do preço do gasóleo?
Concluímos assim, que o preço do gasóleo se manteve constante durante as seis semanas. A situação pode ser descrita pela função .
Num dos dias em que o José ia para o trabalho, devido a uma avaria, o seu automóvel movia-se à velocidade constante de 10 km/h. Logo, ao fim de uma hora teria andado 10 km, ao fim de duas horas, 20km, e assim sucessivamente.
Página 11 de 20 Tempo (h) D is tân cia Pe rc or rid a(km )
Quando o José foi levar o automóvel ao mecânico, teve de ir para casa de táxi. O custo de uma viagem de táxi é representado pelo seguinte gráfico:
km Cu sto ( €)
a) Quanto custa, no mínimo uma viagem de táxi?
b) Se o José morar a 3km de casa, quanto vai pagar pela viagem?
Resolução:
a) Por observação do gráfico, verifica-se que uma viagem de táxi custa, no mínimo, um euro. b) Se o João morar a 3km de casa paga 7€ pela viagem.
A situação por ser descrita pela expressão ( ) . No contexto do problema consideramos uma vez que não faz sentido considerar valores negativos para os quilómetros.
Traduzindo o gráfico por uma
expressão analítica, tem-se
( ) onde, no contexto do problema, uma vez que não faz sentido considerar valores negativos para o tempo.
Assim, a função ( ) terá por gráfico a semi-recta que representa o percurso.
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Dado o gráfico de uma função afim, como podemos determinar a sua expressão analítica?
Considere o seguinte gráfico e determine a sua expressão analítica.
Conhecemos dois pontos que constituem o gráfico, por exemplo, ( ) e ( ). Sabemos que a equação da recta é do tipo .
Primeiro vamos determinar o declive da recta, ou seja, .
( )
Logo, temos .
Para saber , basta substituir e pelas coordenadas de um dos pontos, considerando, por exemplo, ( ) obtemos:
Concluímos que a expressão analítica de f é .
x y
Toda função do tipo 𝑦 𝑚𝑥 𝑏, que é polinómio de grau 1, tem por gráfico uma recta. A estas funções chamam-se funções afins. 𝑚 é o declive da recta e 𝑏 é a ordenada na origem.
Observação:
Se 𝑏 então 𝑦 𝑚𝑥, logo trata-se de uma função linear.
Se 𝑚 então 𝑦 𝑏, logo trata-se de uma função constante.
Recorde que
Dados dois pontos ( ) e ( ), o declive da recta que passa em A e em B é dado por
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Teste os seus conhecimentos
6) Uma marca de automóveis pretende, com o gráfico seguinte, mostrar qual o consumo de gasolina de um novo modelo lançado no mercado.
Observe e responda:
a)
Esta correspondência é uma função linear?b)
Com 18 litros de gasolina, quantos quilómetros se podem percorrer?c)
Quantos litros de gasolina são necessários para percorrer 300 km?d)
Sendo o número de quilómetros percorridos e a quantidade de gasolina consumida, complete: ( ) ( ) ( ) 7) Observe o gráfico: Horas 0 5 10 15 20 5 10 15 20 25 D is tân ci a p er co rr id a (km )a) A que horas partiu cada um dos veículos?
b) Depois de quantas horas o carro alcançou a bicicleta?
c) Se o objectivo dos condutores é chegar à mesma cidade, que distava 25 km do ponto de partida, qual é o primeiro a chegar à cidade?
d) Escreva a expressão analítica da função cujo gráfico é: d1) a recta associada ao percurso da mota;
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Funções quadráticas
Num grande prémio de Fórmula 1, um espectador encontra-se num local em que consegue visualizar um determinado troço do percurso. A certa altura vê um carro. A distância, em metros, deste ao espectador é dada por
( ) , com em segundos. a) Construa o gráfico da função, no contexto do problema.
b) Qual o domínio da função no contexto do problema?
c) A que distância se encontra o carro do espectador quando este o vê pela primeira vez? d) Ao fim de quanto tempo se atinge a menor distância entre o carro e o espectador? Qual é
essa distância?
a) Recorrendo ao software “winplot” pode construir o gráfico da função, no contexto do problema. Tempo (s) D is tân cia (m ) Relembre que
A toda a função, real de variável real, do tipo 𝑦 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐, com 𝑎 ≠ , que é polinómio de grau 2, chama-se função quadrática.
A sua representação gráfica é uma parábola em que:
— se 𝑎 > a concavidade é voltada para cima; — se 𝑎 < a concavidade é voltada para baixo.
Página 15 de 20 b) O domínio da função no contexto do problema é [ [ pois não faz sentido
considerar o tempo negativo.
c) O espectador vê o carro pela primeira vez em . Para saber a distância temos que determinar a imagem de 0.
( )
Assim, quando o espectador vê o carro pela primeira vez, este está a uma distância de 155 metros.
d) Para saber qual é menor distância entre o carro e o espectador basta calcular as coordenadas do vértice da parábola.
Comecemos por igualar a função a um valor qualquer do contradomínio, por exemplo 155 para ser mais fácil de resolver.
( ) Existem dois objectos cuja imagem é 155: 0 e 6.
Logo, o eixo de simetria passa pelos pontos cuja abcissa é a média destes valores, ou seja, .
Para saber a ordenada do vértice determina-se a imagem de 3
( ) As coordenadas do vértice são: ( ).
Ao fim de 3 segundos atinge-se a menor distância entre o carro e o espectador. Essa distância é de 20 metros.
Recorrendo ao “winplot” faça a representação gráfica das seguintes funções quadráticas e, para cada uma delas, indique o domínio, o contradomínio, os zeros, a concavidade, os intervalos onde é positiva e negativa e a monotonia:
a) ( ) b) ( )
A parábola tem um eixo de simetria que passa pelo
vértice da parábola.
Página 16 de 20 a) ( )
′
Zeros: 0
Concavidade voltada para cima. É positiva em { }. É decrescente em ] ]. É crescente em [ [. b) ( ) Zeros: 1, -2 ( ) ( ) √( ) ( ) ( ) √
Para saber o contradomínio da função precisamos de saber as coordenadas do vértice da parábola.
Como o eixo de simetria da parábola passa pelo vértice e, existem dois objectos (1 e -2) que têm imagem 0, o eixo de simetria é que é a média dos dos objectos que têm a mesma imagem. Assim a abcissa do vértice é . Para saber a ordenada basta calcular a imagem de .
( ) ( ) ( )
As coordenadas do vértice são ( ) ′ ] ]
Concavidade voltada para baixo. É positiva em] [. É negativa em ] [ ] [. É decrescente em [ [. É crescente em ] ]. x y x y f(x) Recorde
Graficamente uma função é positiva se está acima do eixo dos e é negativa quando está abaixo do mesmo eixo. Analiticamente, uma função f é positiva em [ ] se qualquer que seja [ ], ( ) >
E é negativa em [ ] se qualquer que seja [ ], ( ) <
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Teste os seus conhecimentos
8) No dia 20 de Abril, foi detectada num doente uma infecção cutânea, que evoluiu de acordo com o seguinte modelo matemático: ( ) , sendo ( ) a área de pele infectada (em mm2) e t o tempo (em dias) contado a partir do momento em que foi detectada.
Sabe-se que a área infectada começou a diminuir quando foi administrado um antibiótico. a) Qual a área de pele atingida durante a infecção?
b) Em que dia se iniciou o tratamento com o antibiótico?
c) A infecção afectou uma área de 16 mm2? Se sim, passado quantos dias? Comente os resultados obtidos?
e) Ao fim de quanto tempo a infecção se extinguiu?
9) Uma bola é lançada ao ar e segue a trajectória representada na figura. A altura h(t) da bola em metros, passados t segundos de ser lançada é definida pela função
( ) a) Quanto tempo a bola se manteve no ar?
b) Dois segundos após o lançamento, qual a altura a que se encontra a bola?
c) A bola ultrapassou a altura de um prédio de 15,5 metros de altura. Em que instantes teve a bola à altura do edifício? d) A que altura foi lançada a bola?
Funções racionais
Uma espécie rara de insectos gigantes foi descoberta numa floresta da Amazónia. Para proteger esta espécie, os cientistas fizeram transportar alguns dos insectos para uma área protegida. A população de insectos, t meses depois de ser deslocada, era dada por:
( ) ( ) a) Qual é o domínio da função no contexto do problema? b) Quantos insectos foram transportados?
Página 18 de 20 c) Qual é a população, passados 5 anos?
d) Passados quantos anos a população atinge 1000 insectos?
Resolução:
a) O domínio da função é
{ ≠ } { }
No contexto do problema não faz sentido que os meses sejam negativos, por isso o domínio da função, no contexto do problema é [ [.
b) Para sabermos os insectos que foram transportados temos de calcular a população no inicio da contagem do tempo, ou seja, para .
( ) ( )
R: Foram transportados 25 insectos.
c) Passados 5 anos são meses ( ) ( ) R: Passados 5 anos, a população é de 596 aproximadamente.
d) Para saber passados quantos meses a população atinge os 1000 insectos tem-se de resolver a equação ( ) . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ≠ ≠
uma vez que [ [. 130 meses correspondem a 10 anos e 10 meses.
R: Passados 10 anos e 10 meses a população atinge 1000 insectos.
Recorde que:
Na presença de uma fracção temos de garantir que o
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A função ( ) ( ) é exemplo de uma função racional.
Teste os seus conhecimentos
10) Determine o domínio e os zeros das funções definidas por:a) ; b) ; c) ; d) .
11) Admita que uma determinada raça de cães tem um desenvolvimento que obedece ao seguinte modelo matemático:
( )
sendo ( ) o peso médio (em Kg) de um animal em função do tempo t (em meses) de vida desde o seu nascimento.
a)
Qual é o peso médio de um animal recém-nascido?b)
Com que idade um cão desta raça atinge os 9 Kg?c)
Até que idade o peso médio do animal não excede 5kg?12) A altura, em metros, de uma árvore, t anos após o momento em que foi plantada, é dada por ( ) .
a)
Com que altura a árvore foi plantada?b)
Qual foi a variação da altura da árvore nos primeiros nove meses após ter sido plantada?c)
Passado quanto tempo a árvore atinge uma altura de 4 metros?Referências
Uma função f, real de variável real, chama-se função racional se pode ser representada pelo quociente entre dois polinómios, sendo o divisor um polinómio não nulo.
O domínio de uma função racional 𝑓(𝑥) 𝑎(𝑥)𝑏(𝑥) é dado por: 𝐷𝑓 {𝑥 𝑏(𝑥) ≠ }.
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[1] Neves, M.A.;Guerreiro, L.; Neves, A; Matemática 8º ano, 1ª Parte ,1ª edição, Porto Editora, 2003;
[2] Guerreiro, L.; Neves, M.A.; Matemática A 10.º - Funções I, Porto Editora 2004;
[3] Costa, B.; Resende, L.; Rodrigues, E.; Espaço 10 , 2ª edição, Edições Asa, 2005
[4] Soveral, A.; Silva, C.; Matemática 10º ano, vol. 2, 1ª edição, Texto Editora, 2003
[5] Guerreiro, L.; Neves, M.A.; Moura, A.; Matemática A 11.º - Funções II, Porto Editora 2005;
