Noções Sobre Teoria de Estoques
Tamilyn Toma Liozzi (RA: 118729)
Exemplo (Luz Consultoria)
“Há tempos atrás, atendemos uma oficina mecânica
aqui no Rio. Segundo os sócios a situação era “estamos ganhando bastante dinheiro, vendendo bem, mas no final do mês não sobra quase nada”. A partir dessa primeira informação começamos a analisar todo o negócio vendo quantas vendas eram feitas pro dia,
ticket médio, número de funcionários, custo de aluguel, salário de sócios, etc.
Exemplo (Luz Consultoria)
Tudo parecia estar indo muito bem, portanto era um mistério como a empresa estava de fato quase que
dando prejuízo todo mês. Continuamos nossa
investigação até ir conhecer o estoque dos pneus. Ao chegar lá, encontramos corredores e corredores de pneus empilhados. Provavelmente, 50% da loja era só de estoque de pneus. Assim, perguntamos ao dono:
Exemplo (Luz Consultoria)
Eles não sabiam exatamente e pediram para um funcionário fazer a contagem. O resultado foi que eles estavam com 1 milhão de reais em estoques de pneus. Para algumas empresas pode parecer pouco, mas eles
faturavam aproximadamente 100 mil por mês, ou seja, eles tinham um ano de faturamento EM ESTOQUE!
Assim, ficou claro que todo o dinheiro que “não
sobrava” estava armazenado no fundo da loja e a má gestão do estoque fez um negócio de sucesso quase
afundar em dívidas. De todo modo, conseguimos reverter a situação realizando promoções MUITO agressivas para diminuir o estoque em 50%!”
Para que servem Modelos de
Estoques?
Análise e desenvolvimento de sistemas de
O que significa controlar o estoque
de determinado produto?
Observar ao longo do tempo o nível de produto
Qual o objetivo do uso de um
Modelo de Estoque?
Instante de reposição
Nível de reposição
Dois modelos básicos de controle
de estoque
Controle de revisão contínuo
Controle sem revisão periódica
Medidas de Nível de Estoque
O que é Prazo de Reposição?
Quando há uma demora na entrega do
produto após ter sido colocado um pedido de
reposição
O que é Demanda Perdida?
Quando a demanda deixa de ser satisfeita pois
o estoque real atingiu o nível zero, ocasiona
perda financeira
O que é Demanda Retraída?
Quando o solicitante se dirige para outra
O que é Estoque Líquido e Estoque
em Falta?
Estoque Líquido = Quantidade Real – Estoque
Lote Econômico I
Demanda constante “μ” (unidades de produto por
tempo)
Variáveis envolvidas:
q = número de unidades de produto t = unidades de tempo
c = valor de cada unidade de produto b = (acredito que seja o frete)
Lote Econômico I
Custo de reposição dado por: 𝑏 + 𝑐. 𝑞
Custo de armazenagem: 𝑎. 𝑞. 𝑡
Interesse é minimizar o custo total por unidade de
tempo, variando os intervalos entre reposições e a quantidade de cada reposição.
Lote Econômico I
A demanda é constante, portanto cada unidade tem de ser
armazenada por t/2 unidades de tempo. Daí temos:
Custo 𝐻 𝑡 = 𝑏 + 𝑐𝑞 + 𝑎𝑞𝑡/2 (como 𝑞 = 𝜇𝑡) 𝐻 𝑡 = 𝑏 + 𝑐𝜇𝑡 + 𝑎𝜇𝑡
2
2 Dividindo pelo tempo temos:
ℎ 𝑡 = 𝑏
𝑡 + 𝑐𝜇 + 𝑎𝜇𝑡/2
Derivamos em relação a t e igualamos a zero (para minimizar): − 𝑏 𝑡2 + 𝑎𝜇 2 = 0 𝑡 = 2𝑏 𝜇𝑎 𝑞 = 2𝜇𝑏/𝑎
Lote Econômico I – Com Custos
Diversos
Ainda relativo ao Lote Econômico I, que tem demanda
constante e a reposição é feita de uma vez
Pode-se ter variáveis associadas a diferentes fatores que
influenciam em um Custo Total, tal como taxa de
manutenção do estoque, o que altera a forma com que vemos a fórmula do Custo
O importante é ter em foco que para minimizar o Custo
Total, temos que derivá-lo em relação à quantidade demandada, e igualar a zero, de modo a obter o tamanho ótimo ao caso em questão
Lote Econômico I – Com Custos
Diversos
Por exemplo, podemos ter uma fórmula do custo que
independe do tempo, se baseando apenas em 𝐷 =
demanda, 𝑄 = tamanho do Lote, 𝐶𝑝 = Custo do pedido por unidade, 𝐶𝑒 = Custo de estocagem por unidade
Assim temos a seguinte fórmula:
𝐶𝑇 = 𝐷
𝑄 𝐶𝑝 + 𝑄
2 𝐶𝑒
Que pode ser minimizada pelo tamanho de lote:
𝑄 = 2𝐷𝐶𝑝 𝐶𝑒
Lote Econômico II
Taxa de produção não muito superior a demanda, o
estoque não é reposto instantaneamente.
Variáveis envolvidas:
λ = taxa de produção μ = taxa de demanda
q = quantidade demandada em unidades s = período inicial do ciclo
t = unidade de tempo
c = valor de cada unidade de produto b = (acredito que seja o frete)
Lote Econômico II
A quantidade demandada 𝑞 em cada ciclo é a
quantidade produzida 𝜆 no período inicial 𝑠 do ciclo: 𝑞 = 𝜇𝑡 = 𝜆𝑠 𝑠 = 𝜇𝑡
𝜆
Produz-se a uma taxa 𝜆, consome-se com uma taxa 𝜇,
desde o nível de estoque zero até o máximo, ou seja, o estoque cresce a uma taxa 𝜆 − 𝜇
𝜆 − 𝜇 𝑠 = 𝜇(1 − 𝜇 𝜆)𝑡
Lote Econômico II
No final do ciclo, durante um intervalo 𝑡 − 𝑠, o estoque
formado é consumida a uma taxa 𝜇, até zero
Em média a quantidade armazenada é de 𝜇(1 − 𝜇
𝜆)𝑡/2
Portanto a cada ciclo tem-se o custo total de:
𝐻 𝑡 = 𝑎𝜇 1 − 𝜇 𝜆 𝑡2 2 + 𝑏 + 𝑐𝜇𝑡 E custo médio: ℎ 𝑡 = 𝐻 𝑡 𝑡 = 𝑎𝜇 1 − 𝜇 𝜆 𝑡/2 + 𝑏 𝑡 + 𝑐𝜇
Lote Econômico II
Para minimizar o custo médio, derivamos em relação a 𝑡
e igualamos a zero, obtendo: 𝑡 = 2𝑏 𝜇𝑎(1 − 𝜇𝜆) 𝑞 = 2𝜇𝑏 𝑎(1 − 𝜇𝜆) ℎ 𝑡 = 𝛼𝑐 + 2𝜇𝑎𝑏(1 − 𝜇 𝜆)
Problema do Jornaleiro
Demanda dada por V.A. 𝑋 com distribuição conhecida
A aquisição de 𝑞 jornais é dada por: 𝑏 + 𝑐𝑞, sendo c = preço
por unidade
Cada jornal é vendido por: 𝑒
Intenção é maximizar o lucro, baseando-se na quantidade a
ser comprada
Caso a quantidade 𝑞 seja menor que a demanda 𝑥, há um
custo dado por 𝑑(𝑥 − 𝑞), d = custo por unidade não vendida
Se 𝑞 > 𝑥 o jornaleiro vende os jornais em excesso como papel
Problema do Jornaleiro
Para maximizar o lucro, usamos uma função 𝐿(𝑞, 𝑥) dada por:
𝐿(𝑞, 𝑥) = 𝑒𝑥 − 𝑏 + 𝑐𝑞 + 𝑎 𝑞 − 𝑥 , 𝑥 ≤ 𝑞 𝑒𝑞 − 𝑏 + 𝑐𝑞 − 𝑑(𝑥 − 𝑞), 𝑥 > 𝑞
O lucro esperado 𝐿(𝑞) é obtido observando que 𝑋 é uma V.A. com densidade 𝑓 e distribuição 𝐹 conhecidas, por isso temos:
𝐿(𝑞) = 𝐸[𝐿(𝑞, 𝑋)] =
𝑥
𝐿 𝑞, 𝑥 𝑓 𝑥
Que após integrarmos e derivarmos em relação a q igualando a zero, obtemos que o valor que maximiza L(q) é dado por:
𝐹 𝑞 = 𝑒 + 𝑑 − 𝑐 𝑒 + 𝑑 − 𝑎
Problema do Jornaleiro
Exemplo:
Digamos que temos a demanda com função
densidade 𝑓(𝑥) = 1, com 𝑥 ∈ [0,1], ou seja, respeita uma distribuição uniforme
Valor do jornal vendido 𝑒 = 1.0, como papel usado 𝑎 =
0.2, custo de desperdício 𝑑 = 0.2, e custo por unidade 𝑐 = 0.9
A partir disso temos:
𝐹 𝑥 = 𝑥 𝐹 𝑞 = 𝑞 = 1.0 + 0.2 − 0.9
Problema do Jornaleiro
Assim para maximizar o lucro esperado, em uma
demanda uniforme de (0,1000) jornais, ele deve fazer um pedido de 300 jornais.
Também pode-se observar que o lucro por jornal
vendido é de 0.1 e que há 30% de chance de a
Modelo para Produção
Demanda dada por uma V.A. 𝑋 com densidade 𝑓(𝑥) Custo de reposição de q unidades = 𝑏 + 𝑐𝑞
Custo de armazenagem por unidade = 𝑎 Custo de falta por unidade = 𝑑
Intenção é determinar uma política de estoque,
estabelecendo o máximo e mínimo por (𝑞, 𝑄) , para minimizar o custo total esperado
Modelo para Produção
Separamos o custo esperado em Com e Sem
Reposição:
O custo esperado Sem Reposição para um nível de
estoque inicial 𝑞 é dado por: 𝐻𝑠 = −∞ 𝑞 𝑎 𝑞 − 𝑥 𝑓(𝑥) + 𝑞 ∞ 𝑑 𝑥 − 𝑞 𝑓(𝑥) O custo esperado Com Reposição é:
𝐻𝑐 = −∞ 𝑄 𝑎 𝑄 − 𝑥 𝑓(𝑥) + 𝑄 ∞ 𝑑 𝑥 − 𝑄 𝑓(𝑥) + 𝑏 + 𝑐(𝑄 − 𝑞)
Modelo para Produção
O nível de estoque máximo 𝐹(𝑄) deve satisfazer:
𝐹 𝑄 = 𝑑 − 𝑐 𝑑 + 𝑎
Fixando 𝑄 e igualando 𝐻𝑠 = 𝐻𝑐, obtemos o estoque mínimo que é o menor valor positivo 𝑞 que satisfaz:
𝑏 + 𝑐 − 𝑑 𝑄 − 𝑞 + (𝑎 + 𝑑)(𝑄𝐹 𝑄 − 𝑞𝑓 𝑞 ) =
𝑞 𝑄
𝑎 + 𝑑 𝑥𝑓(𝑥)
Ou seja, se estoque inicial 𝑞0 > 𝑞, não deve ser feita
reposição, mas para 𝑞0 < q, deve ser feita reposição de 𝑄 − 𝑞0 unidades, o que eleva o estoque ao máximo
Modelo para Produção
Exemplo:
Supondo uma demanda com função densidade 𝑓(𝑥) = 1, com 0 ≤ 𝑥 ≤ 1, custo fixo 𝑏 = 1.8, valor por unidade 𝑐 = 1, custo unitário de falta 𝑑 = 9, custo unitário de
armazenagem 𝑎 = 1, estoque inicial 𝑞0 = 0.1
Portanto temos função de distribuição 𝐹(𝑥) = 𝑥, 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 A partir disso podemos calcular os Estoques Máximo e Mínimo
Modelo para Produção
Estoque máximo Q: 𝐹 𝑄 = 𝑄 = (9 − 1) (9 + 1) = 0.8 Estoque mínimo q: 1.8 + 1 − 9 0.8 − 𝑞 + 1 + 9 0.82 − 𝑞2 = (1 + 9) 𝑞 0.8 𝑥 1.8 + 8 𝑞 − 0.8 + 10 0.64 − 𝑞2 = 5(0.82 − 𝑞2) 5𝑞2 − 8𝑞 + 1.4 = 0 𝑞 = 0.8 − 0.6 = 0.2Modelo para Produção
Portando, 𝑄 = 0.8 e 𝑞 = 0.2, temos assim (𝑞, 𝑄) = (0.2,0.8)
Como 𝑞0 = 0.1 < 𝑞 = 0.2, temos de fazer um pedido de reposição de 𝑄 − 𝑞0 = 0.8 − 0.1 = 0.7, e temos um custo esperado 𝐻 = 0.3
Bibliografia
Livro: Introdução à Simulação de Sistemas, de Clovis Perin
Filho https://www.youtube.com/watch?v=WL6bh8Kd8ck https://www.youtube.com/watch?v=NK91MzF2k0g http://www.hypeness.com.br/ http://blog.automatizando.com.br/2011/03/entendendo-o-lote-economico-de-compras.html
